Как найти критерий стьюдента по таблице

Как найти критерий стьюдента по таблице

t-критерий Стьюдента – общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента.

Таблица значений критерия Стьюдента в теории вероятностей и математической статистике используется довольно часто. На сайте можно посмотреть примеры ее использования в следующих задачах:

  • Доверительные интервалы для среднего и дисперсии

  • Проверка гипотезы о равенстве средних

Ниже размещена таблица критический точек t-критерия Стьюдента для односторонней и двусторонней критической области.

Число степеней свободы 
k 		Уровень значимости α (двусторонняя критическая область) 
0,1 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001
1 6,31 12,70 31,82 63,70 318,30 637,00
2 2,92 4,30 6,97 9,92 22,33 31,60
3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,90
4 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61
5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86
6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96
7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,40
8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,50 5,04
9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,30 4,78
10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59
11 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,44
12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32
13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22
14 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14
15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07
16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01
17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,95
18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92
19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88
20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85
21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82
22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,79
23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,59 3,77
24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,74
25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72
26 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44 3,71
27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69
28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66
29 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66
30 1,70 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65
40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55
60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46
120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37
∞ 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29
Число степеней свободы 
k 		0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005
Уровень значимости α (односторонняя критическая область)

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пример решения задачи

Задача

Имеется
три независимых реализации нормальной случайной величины: 0.8, 3.2, 2.0.

Построить
доверительный интервал для среднего.

Указание:
воспользоваться таблицами Стьюдента

Решение

Вычислим
среднее и
исправленную дисперсию:

Найдем

доверительный интервал для оценки неизвестного среднего.
Он считается по формуле:

По таблице распределения Стьюдента:

 

Искомый доверительный интервал для среднего:

Источник

Finance and the credit Institute of economy and management

© St. Amelja Stanitsin e-mail: nowboard@rambler.ru

Таблица распределения Стьюдента

Таблицы интеграла вероятностей используются для выборок большого объема из бесконечно большой генеральной совокупности. Но уже при (n) < 100 получается Несоответствие между

табличными данными и вероятностью предела; при (n) < 30 погрешность становится значительной. Несоответствие вызывается главным образом характером распределения единиц генеральной совокупности. При большом объеме выборки особенность распределения в гене-

ральной совокупности не имеет значения, так как распределение отклонений выборочного показателя от генеральной характеристики при большой выборке всегда оказывается нормаль-

ным. В выборках небольшого объема (n) < 30 характер распределения генеральной совокупности сказывается на распределении ошибок выборки. Поэтому для расчета ошибки выборки при небольшом объеме наблюдения (уже менее 100 единиц) отбор должен проводиться из со-

вокупности, имеющей нормальное распределение. Теория малых выборок разработана английским статистиком В. Госсетом (писавшим под псевдонимом Стьюдент) в начале XX в. В

1908 г. им построено специальное распределение, которое позволяет и при малых выборках соотносить (t) и доверительную вероятность F(t). При (n) > 100, таблицы распределения Стьюдента дают те же результаты, что и таблицы интеграла вероятностей Лапласа, при 30 < (n) <

100 различия незначительны. Поэтому практически к малым выборкам относят выборки объемом менее 30 единиц (безусловно, большой считается выборка с объемом более 100 единиц).

Использование малых выборок в ряде случаев обусловлено характером обследуемой совокупности. Так, в селекционной работе «чистого» опыта легче добиться на небольшом числе

делянок. Производственный и экономический эксперимент, связанный с экономическими затратами, также проводится на небольшом числе испытаний. Как уже отмечалось, в случае малой выборки только для нормально распределенной генеральной совокупности могут быть рассчитаны и доверительные вероятности, и доверительные пределы генеральной средней.

Плотность вероятностей распределения Стьюдента описывается функцией.

−

n

2

1 + t2

f (t ,n) := Bn

n − 1

Где:

t – текущая переменная; n – объем выборки;

B – величина, зависящая лишь от (n).

Распределение Стьюдента имеет только один параметр: (d.f.) -число степеней свободы (иногда обозначается (к)). Это распределение – как и нормальное, симметрично относительно точки (t) = 0, но оно более пологое. При увеличении объема выборки, а, следовательно, и числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Число степеней свободы равно числу тех индивидуальных значений признаков, которыми нужно рас-

полагать для определения искомой характеристики. Так, для расчета дисперсии должна быть известна средняя величина. Поэтому при расчете дисперсии применяют (d.f.) = n – 1.

Таблицы распределения Стьюдента публикуются в двух вариантах:

1.аналогично таблицам интеграла вероятностей приводятся значения (t) и соответствую-

щие вероятности F(t) при разном числе степеней свободы;

2.значения (t) приводятся для наиболее употребляемых доверительных вероятностей

0,70; 0,75; 0,80; 0,85; 0,90; 0,95 и 0,99 или для 1 – 0,70 = 0,3; 1 – 0,80 = 0,2; …… 1 – 0,99 = 0,01.

3.при разном числе степеней свободы. Такого рода таблица приведена в приложении

(Таблица 1 – 20), а также значение (t)- критерий Стьюдента при уровне значимости от 0,7

– 0,99.

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 1

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

1

63,6567412

12,7062047

6,3137515

4,1652998

3,0776835

2,4142136

1,9626105

2

9,9248432

4,3026527

2,9199856

2,2819306

1,8856181

1,6035675

1,3862066

3

5,8409093

3,1824463

2,3533634

1,9243197

1,6377444

1,4226253

1,2497781

4

4,6040949

2,7764451

2,1318468

1,7781922

1,5332063

1,3443976

1,1895669

5

4,0321430

2,5705818

2,0150484

1,6993626

1,4758840

1,3009490

1,1557673

6

3,7074280

2,4469119

1,9431803

1,6501732

1,4397557

1,2733493

1,1341569

7

3,4994833

2,3646243

1,8945786

1,6165917

1,4149239

1,2542787

1,1191591

8

3,3553873

2,3060041

1,8595480

1,5922214

1,3968153

1,2403183

1,1081454

9

3,2498355

2,2621572

1,8331129

1,5737358

1,3830287

1,2296592

1,0997162

10

3,1692727

2,2281389

1,8124611

1,5592359

1,3721836

1,2212554

1,0930581

11

3,1058065

2,2009852

1,7958848

1,5475598

1,3634303

1,2144602

1,0876664

12

3,0545396

2,1788128

1,7822876

1,5379565

1,3562173

1,2088525

1,0832114

13

3,0122758

2,1603687

1,7709334

1,5299196

1,3501713

1,2041462

1,0794687

14

2,9768427

2,1447867

1,7613101

1,5230951

1,3450304

1,2001403

1,0762802

15

2,9467129

2,1314495

1,7530504

1,5172280

1,3406056

1,1966893

1,0735314

16

2,9207816

2,1199053

1,7458837

1,5121302

1,3367572

1,1936854

1,0711372

17

2,8982305

2,1098156

1,7396067

1,5076598

1,3333794

1,1910471

1,0690331

18

2,8784405

2,1009220

1,7340636

1,5037077

1,3303909

1,1887115

1,0671695

19

2,8609346

2,0930241

1,7291328

1,5001888

1,3277282

1,1866293

1,0655074

20

2,8453397

2,0859634

1,7247182

1,4970355

1,3253407

1,1847614

1,0640158

21

2,8313596

2,0796138

1,7207429

1,4941938

1,3231879

1,1830764

1,0626697

22

2,8187561

2,0738731

1,7171444

1,4916196

1,3212367

1,1815487

1,0614488

23

2,8073357

2,0686576

1,7138715

1,4892769

1,3194602

1,1801572

1,0603365

24

2,7969395

2,0638986

1,7108821

1,4871358

1,3178359

1,1788845

1,0593189

25

2,7874358

2,0595386

1,7081408

1,4851713

1,3163451

1,1777160

1,0583844

26

2,7787145

2,0555294

1,7056179

1,4833625

1,3149719

1,1766394

1,0575232

27

2,7706830

2,0518305

1,7032884

1,4816916

1,3137029

1,1756443

1,0567270

28

2,7632625

2,0484071

1,7011309

1,4801434

1,3125268

1,1747218

1,0559887

29

2,7563859

2,0452296

1,6991270

1,4787048

1,3114336

1,1738642

1,0553022

30

2,7499957

2,0422725

1,6972609

1,4773647

1,3104150

1,1730649

1,0546623

31

2,7440419

2,0395134

1,6955188

1,4761131

1,3094635

1,1723181

1,0540644

32

2,7384815

2,0369333

1,6938887

1,4749418

1,3085728

1,1716189

1,0535045

33

2,7332766

2,0345153

1,6923603

1,4738431

1,3077371

1,1709628

1,0529790

34

2,7283944

2,0322445

1,6909243

1,4728105

1,3069516

1,1703459

1,0524849

35

2,7238056

2,0301079

1,6895725

1,4718382

1,3062118

1,1697649

1,0520194

36

2,7194846

2,0280940

1,6882977

1,4709212

1,3055139

1,1692167

1,0515802

37

2,7154087

2,0261925

1,6870936

1,4700547

1,3048544

1,1686986

1,0511651

38

2,7115576

2,0243942

1,6859545

1,4692348

1,3042302

1,1682082

1,0507721

39

2,7079132

2,0226909

1,6848751

1,4684578

1,3036386

1,1677433

1,0503995

40

2,7044593

2,0210754

1,6838510

1,4677204

1,3030771

1,1673020

1,0500458

41

2,7011813

2,0195410

1,6828780

1,4670197

1,3025434

1,1668826

1,0497095

42

2,6980662

2,0180817

1,6819524

1,4663529

1,3020355

1,1664834

1,0493895

43

2,6951021

2,0166922

1,6810707

1,4657177

1,3015516

1,1661030

1,0490846

44

2,6922783

2,0153676

1,6802300

1,4651119

1,3010901

1,1657402

1,0487936

45

2,6895850

2,0141034

1,6794274

1,4645335

1,3006493

1,1653936

1,0485158

46

2,6870135

2,0128956

1,6786604

1,4639807

1,3002280

1,1650624

1,0482501

47

2,6845556

2,0117405

1,6779267

1,4634518

1,2998249

1,1647454

1,0479959

48

2,6822040

2,0106348

1,6772242

1,4629453

1,2994389

1,1644418

1,0477524

49

2,6799520

2,0095752

1,6765509

1,4624598

1,2990688

1,1641507

1,0475190

50

2,6777933

2,0085591

1,6759050

1,4619940

1,2987137

1,1638714

1,0472949

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 2

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

51

2,6757222

2,0075838

1,6752850

1,4615468

1,2983727

1,1636032

1,0470798

52

2,6737336

2,0066468

1,6746892

1,4611170

1,2980450

1,1633454

1,0468730

53

2,6718226

2,0057460

1,6741162

1,4607037

1,2977298

1,1630975

1,0466741

54

2,6699848

2,0048793

1,6735649

1,4603059

1,2974265

1,1628588

1,0464826

55

2,6682160

2,0040448

1,6730340

1,4599228

1,2971343

1,1626289

1,0462982

56

2,6665124

2,0032407

1,6725223

1,4595535

1,2968527

1,1624073

1,0461204

57

2,6648705

2,0024655

1,6720289

1,4591974

1,2965810

1,1621936

1,0459489

58

2,6632870

2,0017175

1,6715528

1,4588538

1,2963189

1,1619873

1,0457833

59

2,6617588

2,0009954

1,6710930

1,4585219

1,2960657

1,1617881

1,0456234

60

2,6602830

2,0002978

1,6706489

1,4582013

1,2958211

1,1615955

1,0454689

61

2,6588571

1,9996236

1,6702195

1,4578913

1,2955846

1,1614094

1,0453196

62

2,6574786

1,9989715

1,6698042

1,4575914

1,2953558

1,1612293

1,0451750

63

2,6561450

1,9983405

1,6694022

1,4573011

1,2951343

1,1610550

1,0450351

64

2,6548543

1,9977297

1,6690130

1,4570201

1,2949198

1,1608861

1,0448996

65

2,6536045

1,9971379

1,6686360

1,4567478

1,2947120

1,1607226

1,0447683

66

2,6523935

1,9965644

1,6682705

1,4564838

1,2945106

1,1605640

1,0446410

67

2,6512197

1,9960084

1,6679161

1,4562278

1,2943152

1,1604102

1,0445176

68

2,6500813

1,9954689

1,6675723

1,4559795

1,2941256

1,1602609

1,0443978

69

2,6489768

1,9949454

1,6672385

1,4557384

1,2939416

1,1601161

1,0442815

70

2,6479046

1,9944371

1,6669145

1,4555042

1,2937629

1,1599754

1,0441685

71

2,6468634

1,9939434

1,6665997

1,4552768

1,2935893

1,1598387

1,0440588

72

2,6458519

1,9934636

1,6662937

1,4550557

1,2934205

1,1597058

1,0439521

73

2,6448688

1,9929971

1,6659962

1,4548408

1,2932564

1,1595766

1,0438484

74

2,6439129

1,9925435

1,6657069

1,4546317

1,2930968

1,1594509

1,0437475

75

2,6429831

1,9921022

1,6654254

1,4544282

1,2929415

1,1593286

1,0436493

76

2,6420783

1,9916726

1,6651514

1,4542302

1,2927903

1,1592095

1,0435537

77

2,6411976

1,9912544

1,6648845

1,4540374

1,2926430

1,1590936

1,0434606

78

2,6403400

1,9908471

1,6646246

1,4538495

1,2924996

1,1589806

1,0433699

79

2,6395046

1,9904502

1,6643714

1,4536665

1,2923598

1,1588705

1,0432815

80

2,6386906

1,9900634

1,6641246

1,4534881

1,2922236

1,1587632

1,0431953

81

2,6378971

1,9896863

1,6638839

1,4533141

1,2920907

1,1586586

1,0431113

82

2,6371234

1,9893186

1,6636492

1,4531444

1,2919611

1,1585565

1,0430294

83

2,6363688

1,9889598

1,6634202

1,4529788

1,2918347

1,1584569

1,0429494

84

2,6356325

1,9886097

1,6631967

1,4528173

1,2917113

1,1583597

1,0428713

85

2,6349139

1,9882679

1,6629785

1,4526595

1,2915908

1,1582648

1,0427951

86

2,6342123

1,9879342

1,6627654

1,4525055

1,2914732

1,1581722

1,0427207

87

2,6335272

1,9876083

1,6625573

1,4523550

1,2913582

1,1580816

1,0426480

88

2,6328580

1,9872899

1,6623540

1,4522080

1,2912459

1,1579932

1,0425770

89

2,6322042

1,9869787

1,6621553

1,4520643

1,2911362

1,1579067

1,0425075

90

2,6315652

1,9866745

1,6619611

1,4519238

1,2910289

1,1578222

1,0424397

91

2,6309405

1,9863772

1,6617712

1,4517865

1,2909240

1,1577396

1,0423733

92

2,6303296

1,9860863

1,6615854

1,4516521

1,2908214

1,1576587

1,0423083

93

2,6297321

1,9858018

1,6614037

1,4515207

1,2907210

1,1575796

1,0422448

94

2,6291476

1,9855234

1,6612259

1,4513921

1,2906227

1,1575022

1,0421827

95

2,6285757

1,9852510

1,6610518

1,4512662

1,2905265

1,1574265

1,0421218

96

2,6280158

1,9849843

1,6608814

1,4511430

1,2904324

1,1573523

1,0420622

97

2,6274678

1,9847232

1,6607146

1,4510223

1,2903402

1,1572796

1,0420039

98

2,6269311

1,9844675

1,6605512

1,4509041

1,2902499

1,1572085

1,0419467

99

2,6264055

1,9842170

1,6603912

1,4507883

1,2901614

1,1571388

1,0418908

100

2,6258905

1,9839715

1,6602343

1,4506749

1,2900748

1,1570705

1,0418359

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 3

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

101

2,6253860

1,9837310

1,6600806

1,4505637

1,2899898

1,1570036

1,0417821

102

2,6248915

1,9834953

1,6599300

1,4504547

1,2899065

1,1569380

1,0417294

103

2,6244068

1,9832641

1,6597823

1,4503478

1,2898249

1,1568736

1,0416777

104

2,6239315

1,9830375

1,6596374

1,4502430

1,2897448

1,1568105

1,0416271

105

2,6234655

1,9828153

1,6594954

1,4501403

1,2896663

1,1567487

1,0415774

106

2,6230084

1,9825973

1,6593560

1,4500394

1,2895892

1,1566879

1,0415286

107

2,6225600

1,9823834

1,6592193

1,4499405

1,2895136

1,1566284

1,0414807

108

2,6221201

1,9821735

1,6590851

1,4498434

1,2894395

1,1565699

1,0414338

109

2,6216883

1,9819675

1,6589535

1,4497482

1,2893666

1,1565125

1,0413877

110

2,6212645

1,9817653

1,6588242

1,4496546

1,2892952

1,1564562

1,0413424

111

2,6208485

1,9815668

1,6586973

1,4495628

1,2892250

1,1564009

1,0412980

112

2,6204401

1,9813718

1,6585726

1,4494726

1,2891561

1,1563466

1,0412544

113

2,6200390

1,9811804

1,6584502

1,4493840

1,2890884

1,1562932

1,0412115

114

2,6196450

1,9809923

1,6583300

1,4492970

1,2890219

1,1562408

1,0411694

115

2,6192580

1,9808075

1,6582118

1,4492115

1,2889565

1,1561893

1,0411280

116

2,6188777

1,9806260

1,6580957

1,4491275

1,2888923

1,1561387

1,0410874

117

2,6185041

1,9804476

1,6579817

1,4490449

1,2888292

1,1560890

1,0410474

118

2,6181369

1,9802722

1,6578695

1,4489637

1,2887672

1,1560401

1,0410081

119

2,6177760

1,9800999

1,6577593

1,4488840

1,2887062

1,1559921

1,0409695

120

2,6174211

1,9799304

1,6576509

1,4488055

1,2886462

1,1559448

1,0409316

121

2,6170723

1,9797638

1,6575443

1,4487284

1,2885873

1,1558983

1,0408942

122

2,6167292

1,9795999

1,6574395

1,4486525

1,2885293

1,1558526

1,0408575

123

2,6163918

1,9794387

1,6573364

1,4485779

1,2884722

1,1558077

1,0408214

124

2,6160599

1,9792801

1,6572350

1,4485045

1,2884161

1,1557634

1,0407859

125

2,6157334

1,9791241

1,6571352

1,4484322

1,2883609

1,1557199

1,0407509

126

2,6154121

1,9789706

1,6570370

1,4483611

1,2883066

1,1556771

1,0407165

127

2,6150960

1,9788195

1,6569403

1,4482912

1,2882531

1,1556350

1,0406826

128

2,6147849

1,9786708

1,6568452

1,4482223

1,2882005

1,1555935

1,0406493

129

2,6144787

1,9785245

1,6567516

1,4481546

1,2881487

1,1555526

1,0406165

130

2,6141772

1,9783804

1,6566594

1,4480878

1,2880977

1,1555124

1,0405842

131

2,6138805

1,9782385

1,6565686

1,4480221

1,2880474

1,1554728

1,0405524

132

2,6135882

1,9780988

1,6564793

1,4479574

1,2879980

1,1554339

1,0405210

133

2,6133005

1,9779613

1,6563912

1,4478937

1,2879492

1,1553955

1,0404902

134

2,6130171

1,9778258

1,6563045

1,4478309

1,2879013

1,1553576

1,0404598

135

2,6127379

1,9776923

1,6562191

1,4477691

1,2878540

1,1553204

1,0404298

136

2,6124629

1,9775608

1,6561350

1,4477082

1,2878074

1,1552837

1,0404003

137

2,6121920

1,9774312

1,6560521

1,4476481

1,2877615

1,1552475

1,0403713

138

2,6119250

1,9773035

1,6559704

1,4475890

1,2877163

1,1552118

1,0403426

139

2,6116620

1,9771777

1,6558899

1,4475307

1,2876717

1,1551767

1,0403144

140

2,6114027

1,9770537

1,6558105

1,4474732

1,2876278

1,1551421

1,0402866

141

2,6111472

1,9769315

1,6557323

1,4474166

1,2875845

1,1551080

1,0402592

142

2,6108953

1,9768110

1,6556552

1,4473608

1,2875418

1,1550743

1,0402321

143

2,6106470

1,9766922

1,6555791

1,4473057

1,2874997

1,1550411

1,0402054

144

2,6104021

1,9765751

1,6555042

1,4472514

1,2874582

1,1550084

1,0401792

145

2,6101607

1,9764596

1,6554303

1,4471979

1,2874173

1,1549761

1,0401532

146

2,6099227

1,9763457

1,6553573

1,4471451

1,2873770

1,1549443

1,0401277

147

2,6096879

1,9762333

1,6552854

1,4470930

1,2873371

1,1549129

1,0401024

148

2,6094563

1,9761225

1,6552145

1,4470417

1,2872979

1,1548820

1,0400776

149

2,6092279

1,9760132

1,6551445

1,4469910

1,2872591

1,1548514

1,0400530

150

2,6090026

1,9759053

1,6550755

1,4469410

1,2872209

1,1548213

1,0400288

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 4

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

151

2,6087802

1,9757989

1,6550074

1,4468917

1,2871832

1,1547916

1,0400049

152

2,6085609

1,9756939

1,6549402

1,4468430

1,2871460

1,1547622

1,0399813

153

2,6083444

1,9755903

1,6548738

1,4467950

1,2871093

1,1547333

1,0399581

154

2,6081308

1,9754881

1,6548084

1,4467476

1,2870730

1,1547047

1,0399351

155

2,6079200

1,9753871

1,6547438

1,4467008

1,2870372

1,1546765

1,0399124

156

2,6077119

1,9752875

1,6546800

1,4466546

1,2870019

1,1546487

1,0398901

157

2,6075065

1,9751892

1,6546170

1,4466090

1,2869671

1,1546212

1,0398680

158

2,6073037

1,9750921

1,6545549

1,4465640

1,2869326

1,1545940

1,0398462

159

2,6071035

1,9749962

1,6544935

1,4465195

1,2868986

1,1545672

1,0398246

160

2,6069058

1,9749016

1,6544329

1,4464757

1,2868651

1,1545408

1,0398034

161

2,6067106

1,9748081

1,6543731

1,4464323

1,2868319

1,1545147

1,0397824

162

2,6065179

1,9747158

1,6543140

1,4463895

1,2867992

1,1544888

1,0397616

163

2,6063275

1,9746246

1,6542556

1,4463472

1,2867669

1,1544634

1,0397411

164

2,6061395

1,9745346

1,6541979

1,4463055

1,2867350

1,1544382

1,0397209

165

2,6059538

1,9744456

1,6541410

1,4462642

1,2867034

1,1544133

1,0397009

166

2,6057703

1,9743578

1,6540847

1,4462235

1,2866722

1,1543887

1,0396812

167

2,6055891

1,9742710

1,6540291

1,4461832

1,2866415

1,1543645

1,0396617

168

2,6054101

1,9741852

1,6539742

1,4461434

1,2866110

1,1543405

1,0396424

169

2,6052332

1,9741004

1,6539199

1,4461041

1,2865810

1,1543168

1,0396233

170

2,6050584

1,9740167

1,6538663

1,4460653

1,2865513

1,1542934

1,0396045

171

2,6048856

1,9739340

1,6538133

1,4460269

1,2865219

1,1542702

1,0395859

172

2,6047149

1,9738522

1,6537609

1,4459890

1,2864929

1,1542474

1,0395675

173

2,6045462

1,9737713

1,6537092

1,4459515

1,2864642

1,1542247

1,0395494

174

2,6043795

1,9736914

1,6536580

1,4459144

1,2864359

1,1542024

1,0395314

175

2,6042146

1,9736125

1,6536074

1,4458778

1,2864079

1,1541803

1,0395136

176

2,6040517

1,9735344

1,6535574

1,4458416

1,2863802

1,1541585

1,0394961

177

2,6038906

1,9734572

1,6535080

1,4458058

1,2863528

1,1541369

1,0394787

178

2,6037314

1,9733809

1,6534591

1,4457703

1,2863257

1,1541155

1,0394616

179

2,6035739

1,9733054

1,6534108

1,4457353

1,2862990

1,1540944

1,0394446

180

2,6034182

1,9732308

1,6533630

1,4457007

1,2862725

1,1540735

1,0394278

181

2,6032643

1,9731570

1,6533158

1,4456665

1,2862463

1,1540529

1,0394112

182

2,6031120

1,9730841

1,6532690

1,4456326

1,2862204

1,1540325

1,0393948

183

2,6029615

1,9730119

1,6532228

1,4455992

1,2861948

1,1540123

1,0393786

184

2,6028126

1,9729405

1,6531771

1,4455660

1,2861695

1,1539923

1,0393626

185

2,6026653

1,9728699

1,6531319

1,4455333

1,2861444

1,1539726

1,0393467

186

2,6025196

1,9728001

1,6530871

1,4455009

1,2861196

1,1539530

1,0393310

187

2,6023755

1,9727310

1,6530429

1,4454688

1,2860951

1,1539337

1,0393154

188

2,6022330

1,9726627

1,6529991

1,4454371

1,2860709

1,1539146

1,0393001

189

2,6020919

1,9725951

1,6529558

1,4454057

1,2860469

1,1538956

1,0392848

190

2,6019524

1,9725282

1,6529129

1,4453747

1,2860231

1,1538769

1,0392698

191

2,6018143

1,9724620

1,6528705

1,4453440

1,2859996

1,1538584

1,0392549

192

2,6016777

1,9723965

1,6528286

1,4453136

1,2859764

1,1538401

1,0392402

193

2,6015425

1,9723317

1,6527871

1,4452835

1,2859534

1,1538219

1,0392256

194

2,6014087

1,9722675

1,6527460

1,4452537

1,2859306

1,1538040

1,0392112

195

2,6012764

1,9722041

1,6527053

1,4452243

1,2859081

1,1537862

1,0391969

196

2,6011453

1,9721412

1,6526651

1,4451951

1,2858858

1,1537686

1,0391827

197

2,6010156

1,9720790

1,6526252

1,4451662

1,2858637

1,1537512

1,0391687

198

2,6008873

1,9720175

1,6525858

1,4451377

1,2858418

1,1537340

1,0391549

199

2,6007602

1,9719565

1,6525467

1,4451094

1,2858202

1,1537169

1,0391412

200

2,6006344

1,9718962

1,6525081

1,4450814

1,2857988

1,1537000

1,0391276

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 5

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

201

2,6005099

1,9718365

1,6524698

1,4450537

1,2857776

1,1536833

1,0391142

202

2,6003866

1,9717774

1,6524320

1,4450262

1,2857566

1,1536668

1,0391009

203

2,6002646

1,9717188

1,6523945

1,4449991

1,2857358

1,1536504

1,0390877

204

2,6001438

1,9716609

1,6523573

1,4449721

1,2857152

1,1536341

1,0390746

205

2,6000241

1,9716035

1,6523206

1,4449455

1,2856949

1,1536181

1,0390617

206

2,5999056

1,9715467

1,6522841

1,4449191

1,2856747

1,1536022

1,0390489

207

2,5997883

1,9714904

1,6522481

1,4448930

1,2856547

1,1535864

1,0390363

208

2,5996721

1,9714347

1,6522124

1,4448671

1,2856349

1,1535708

1,0390237

209

2,5995570

1,9713795

1,6521770

1,4448415

1,2856153

1,1535553

1,0390113

210

2,5994431

1,9713248

1,6521420

1,4448161

1,2855959

1,1535400

1,0389990

211

2,5993302

1,9712706

1,6521073

1,4447910

1,2855767

1,1535249

1,0389868

212

2,5992184

1,9712170

1,6520729

1,4447661

1,2855576

1,1535098

1,0389747

213

2,5991077

1,9711639

1,6520389

1,4447414

1,2855388

1,1534950

1,0389628

214

2,5989980

1,9711113

1,6520052

1,4447170

1,2855201

1,1534802

1,0389509

215

2,5988893

1,9710591

1,6519717

1,4446928

1,2855015

1,1534656

1,0389392

216

2,5987817

1,9710075

1,6519387

1,4446688

1,2854832

1,1534512

1,0389276

217

2,5986750

1,9709563

1,6519059

1,4446450

1,2854650

1,1534368

1,0389160

218

2,5985694

1,9709056

1,6518734

1,4446215

1,2854470

1,1534226

1,0389046

219

2,5984647

1,9708554

1,6518412

1,4445982

1,2854292

1,1534085

1,0388933

220

2,5983609

1,9708056

1,6518093

1,4445751

1,2854115

1,1533946

1,0388821

221

2,5982581

1,9707563

1,6517777

1,4445522

1,2853940

1,1533808

1,0388710

222

2,5981563

1,9707074

1,6517464

1,4445295

1,2853766

1,1533671

1,0388600

223

2,5980554

1,9706590

1,6517153

1,4445070

1,2853594

1,1533535

1,0388491

224

2,5979553

1,9706110

1,6516846

1,4444847

1,2853424

1,1533401

1,0388383

225

2,5978562

1,9705634

1,6516541

1,4444626

1,2853255

1,1533268

1,0388276

226

2,5977580

1,9705162

1,6516239

1,4444407

1,2853087

1,1533135

1,0388169

227

2,5976606

1,9704695

1,6515939

1,4444190

1,2852921

1,1533005

1,0388064

228

2,5975641

1,9704232

1,6515642

1,4443975

1,2852757

1,1532875

1,0387960

229

2,5974684

1,9703773

1,6515348

1,4443762

1,2852594

1,1532746

1,0387856

230

2,5973736

1,9703318

1,6515056

1,4443550

1,2852432

1,1532619

1,0387754

231

2,5972796

1,9702867

1,6514767

1,4443341

1,2852272

1,1532492

1,0387652

232

2,5971864

1,9702419

1,6514481

1,4443133

1,2852113

1,1532367

1,0387552

233

2,5970941

1,9701976

1,6514196

1,4442927

1,2851955

1,1532243

1,0387452

234

2,5970025

1,9701536

1,6513915

1,4442723

1,2851799

1,1532120

1,0387353

235

2,5969117

1,9701101

1,6513635

1,4442521

1,2851644

1,1531997

1,0387255

236

2,5968217

1,9700669

1,6513358

1,4442320

1,2851491

1,1531876

1,0387157

237

2,5967324

1,9700240

1,6513084

1,4442121

1,2851338

1,1531756

1,0387061

238

2,5966439

1,9699815

1,6512812

1,4441924

1,2851187

1,1531637

1,0386965

239

2,5965562

1,9699394

1,6512542

1,4441728

1,2851038

1,1531519

1,0386870

240

2,5964692

1,9698976

1,6512274

1,4441534

1,2850889

1,1531402

1,0386776

241

2,5963829

1,9698562

1,6512008

1,4441341

1,2850742

1,1531286

1,0386683

242

2,5962973

1,9698151

1,6511745

1,4441151

1,2850596

1,1531171

1,0386590

243

2,5962125

1,9697744

1,6511484

1,4440961

1,2850451

1,1531057

1,0386498

244

2,5961283

1,9697340

1,6511225

1,4440774

1,2850308

1,1530943

1,0386407

245

2,5960449

1,9696939

1,6510968

1,4440588

1,2850165

1,1530831

1,0386317

246

2,5959621

1,9696542

1,6510713

1,4440403

1,2850024

1,1530720

1,0386227

247

2,5958800

1,9696148

1,6510461

1,4440220

1,2849884

1,1530609

1,0386139

248

2,5957985

1,9695757

1,6510210

1,4440038

1,2849745

1,1530500

1,0386051

249

2,5957178

1,9695369

1,6509962

1,4439858

1,2849607

1,1530391

1,0385963

250

2,5956376

1,9694984

1,6509715

1,4439679

1,2849471

1,1530283

1,0385876

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 6

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

251

2,5955581

1,9694602

1,6509470

1,4439502

1,2849335

1,1530176

1,0385790

252

2,5954793

1,9694224

1,6509228

1,4439326

1,2849200

1,1530070

1,0385705

253

2,5954011

1,9693848

1,6508987

1,4439152

1,2849067

1,1529965

1,0385620

254

2,5953235

1,9693475

1,6508748

1,4438978

1,2848934

1,1529860

1,0385536

255

2,5952465

1,9693106

1,6508511

1,4438807

1,2848803

1,1529757

1,0385453

256

2,5951701

1,9692739

1,6508276

1,4438636

1,2848673

1,1529654

1,0385370

257

2,5950943

1,9692375

1,6508043

1,4438467

1,2848543

1,1529552

1,0385288

258

2,5950191

1,9692014

1,6507811

1,4438299

1,2848415

1,1529451

1,0385207

259

2,5949445

1,9691656

1,6507581

1,4438133

1,2848288

1,1529350

1,0385126

260

2,5948705

1,9691300

1,6507353

1,4437968

1,2848161

1,1529250

1,0385046

261

2,5947970

1,9690947

1,6507127

1,4437804

1,2848036

1,1529152

1,0384967

262

2,5947241

1,9690597

1,6506903

1,4437641

1,2847911

1,1529053

1,0384888

263

2,5946518

1,9690250

1,6506680

1,4437480

1,2847788

1,1528956

1,0384809

264

2,5945800

1,9689905

1,6506459

1,4437320

1,2847665

1,1528859

1,0384732

265

2,5945088

1,9689563

1,6506240

1,4437161

1,2847544

1,1528763

1,0384655

266

2,5944381

1,9689223

1,6506022

1,4437003

1,2847423

1,1528668

1,0384578

267

2,5943679

1,9688886

1,6505806

1,4436846

1,2847303

1,1528574

1,0384502

268

2,5942983

1,9688552

1,6505592

1,4436691

1,2847184

1,1528480

1,0384427

269

2,5942292

1,9688220

1,6505379

1,4436537

1,2847066

1,1528387

1,0384352

270

2,5941605

1,9687890

1,6505167

1,4436384

1,2846949

1,1528294

1,0384278

271

2,5940925

1,9687563

1,6504958

1,4436232

1,2846833

1,1528203

1,0384204

272

2,5940249

1,9687238

1,6504750

1,4436081

1,2846717

1,1528112

1,0384131

273

2,5939578

1,9686916

1,6504543

1,4435931

1,2846603

1,1528021

1,0384058

274

2,5938912

1,9686596

1,6504338

1,4435782

1,2846489

1,1527932

1,0383986

275

2,5938251

1,9686279

1,6504134

1,4435635

1,2846376

1,1527843

1,0383914

276

2,5937594

1,9685963

1,6503932

1,4435488

1,2846264

1,1527754

1,0383843

277

2,5936943

1,9685650

1,6503732

1,4435343

1,2846153

1,1527666

1,0383773

278

2,5936296

1,9685340

1,6503532

1,4435198

1,2846042

1,1527579

1,0383703

279

2,5935654

1,9685031

1,6503335

1,4435055

1,2845933

1,1527493

1,0383633

280

2,5935016

1,9684725

1,6503138

1,4434913

1,2845824

1,1527407

1,0383564

281

2,5934384

1,9684421

1,6502943

1,4434771

1,2845716

1,1527322

1,0383495

282

2,5933755

1,9684119

1,6502750

1,4434631

1,2845608

1,1527237

1,0383427

283

2,5933131

1,9683819

1,6502557

1,4434492

1,2845502

1,1527153

1,0383360

284

2,5932512

1,9683522

1,6502367

1,4434353

1,2845396

1,1527069

1,0383293

285

2,5931896

1,9683226

1,6502177

1,4434216

1,2845291

1,1526986

1,0383226

286

2,5931286

1,9682933

1,6501989

1,4434080

1,2845186

1,1526904

1,0383160

287

2,5930679

1,9682641

1,6501802

1,4433944

1,2845083

1,1526822

1,0383094

288

2,5930077

1,9682352

1,6501617

1,4433810

1,2844980

1,1526741

1,0383029

289

2,5929479

1,9682064

1,6501432

1,4433676

1,2844878

1,1526661

1,0382964

290

2,5928885

1,9681779

1,6501249

1,4433544

1,2844776

1,1526581

1,0382900

291

2,5928295

1,9681496

1,6501068

1,4433412

1,2844675

1,1526501

1,0382836

292

2,5927709

1,9681214

1,6500887

1,4433281

1,2844575

1,1526422

1,0382772

293

2,5927127

1,9680935

1,6500708

1,4433151

1,2844476

1,1526344

1,0382709

294

2,5926549

1,9680657

1,6500530

1,4433022

1,2844377

1,1526266

1,0382647

295

2,5925976

1,9680381

1,6500353

1,4432894

1,2844279

1,1526188

1,0382584

296

2,5925406

1,9680107

1,6500177

1,4432767

1,2844182

1,1526112

1,0382523

297

2,5924840

1,9679835

1,6500003

1,4432640

1,2844085

1,1526035

1,0382461

298

2,5924277

1,9679565

1,6499830

1,4432515

1,2843989

1,1525960

1,0382400

299

2,5923719

1,9679297

1,6499658

1,4432390

1,2843893

1,1525884

1,0382340

300

2,5923164

1,9679030

1,6499487

1,4432266

1,2843799

1,1525809

1,0382280

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 7

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

301

2,5922613

1,9678765

1,6499317

1,4432143

1,2843705

1,1525735

1,0382220

302

2,5922066

1,9678502

1,6499148

1,4432021

1,2843611

1,1525661

1,0382161

303

2,5921522

1,9678241

1,6498981

1,4431899

1,2843518

1,1525588

1,0382102

304

2,5920982

1,9677981

1,6498814

1,4431778

1,2843426

1,1525515

1,0382043

305

2,5920445

1,9677724

1,6498649

1,4431659

1,2843334

1,1525443

1,0381985

306

2,5919912

1,9677467

1,6498485

1,4431540

1,2843243

1,1525371

1,0381927

307

2,5919383

1,9677213

1,6498321

1,4431421

1,2843152

1,1525300

1,0381870

308

2,5918857

1,9676960

1,6498159

1,4431304

1,2843062

1,1525229

1,0381813

309

2,5918334

1,9676709

1,6497998

1,4431187

1,2842973

1,1525158

1,0381756

310

2,5917815

1,9676459

1,6497838

1,4431071

1,2842884

1,1525088

1,0381700

311

2,5917299

1,9676211

1,6497679

1,4430956

1,2842796

1,1525019

1,0381644

312

2,5916786

1,9675965

1,6497521

1,4430841

1,2842709

1,1524950

1,0381588

313

2,5916277

1,9675720

1,6497364

1,4430727

1,2842621

1,1524881

1,0381533

314

2,5915771

1,9675477

1,6497208

1,4430614

1,2842535

1,1524813

1,0381478

315

2,5915268

1,9675235

1,6497053

1,4430502

1,2842449

1,1524745

1,0381424

316

2,5914769

1,9674995

1,6496899

1,4430390

1,2842364

1,1524677

1,0381370

317

2,5914272

1,9674757

1,6496746

1,4430279

1,2842279

1,1524610

1,0381316

318

2,5913779

1,9674519

1,6496594

1,4430169

1,2842194

1,1524544

1,0381262

319

2,5913289

1,9674284

1,6496443

1,4430060

1,2842111

1,1524478

1,0381209

320

2,5912802

1,9674050

1,6496293

1,4429951

1,2842027

1,1524412

1,0381156

321

2,5912318

1,9673817

1,6496144

1,4429843

1,2841944

1,1524347

1,0381104

322

2,5911837

1,9673586

1,6495996

1,4429735

1,2841862

1,1524282

1,0381052

323

2,5911359

1,9673356

1,6495848

1,4429628

1,2841781

1,1524218

1,0381000

324

2,5910884

1,9673128

1,6495702

1,4429522

1,2841699

1,1524153

1,0380948

325

2,5910411

1,9672901

1,6495556

1,4429417

1,2841619

1,1524090

1,0380897

326

2,5909942

1,9672675

1,6495412

1,4429312

1,2841538

1,1524026

1,0380846

327

2,5909476

1,9672451

1,6495268

1,4429208

1,2841459

1,1523964

1,0380796

328

2,5909012

1,9672228

1,6495125

1,4429104

1,2841379

1,1523901

1,0380745

329

2,5908552

1,9672007

1,6494983

1,4429001

1,2841301

1,1523839

1,0380695

330

2,5908094

1,9671787

1,6494842

1,4428899

1,2841222

1,1523777

1,0380646

331

2,5907639

1,9671568

1,6494701

1,4428797

1,2841144

1,1523716

1,0380596

332

2,5907187

1,9671351

1,6494562

1,4428696

1,2841067

1,1523655

1,0380547

333

2,5906737

1,9671134

1,6494423

1,4428595

1,2840990

1,1523594

1,0380499

334

2,5906290

1,9670920

1,6494286

1,4428496

1,2840914

1,1523534

1,0380450

335

2,5905846

1,9670706

1,6494149

1,4428396

1,2840838

1,1523474

1,0380402

336

2,5905405

1,9670494

1,6494013

1,4428298

1,2840762

1,1523414

1,0380354

337

2,5904966

1,9670283

1,6493877

1,4428200

1,2840687

1,1523355

1,0380306

338

2,5904530

1,9670073

1,6493743

1,4428102

1,2840613

1,1523296

1,0380259

339

2,5904096

1,9669865

1,6493609

1,4428005

1,2840538

1,1523238

1,0380212

340

2,5903665

1,9669657

1,6493476

1,4427909

1,2840465

1,1523180

1,0380165

341

2,5903236

1,9669451

1,6493344

1,4427813

1,2840391

1,1523122

1,0380119

342

2,5902810

1,9669246

1,6493213

1,4427718

1,2840318

1,1523064

1,0380073

343

2,5902387

1,9669043

1,6493082

1,4427623

1,2840246

1,1523007

1,0380027

344

2,5901966

1,9668840

1,6492952

1,4427529

1,2840174

1,1522950

1,0379981

345

2,5901547

1,9668639

1,6492823

1,4427435

1,2840102

1,1522894

1,0379935

346

2,5901131

1,9668439

1,6492695

1,4427342

1,2840031

1,1522838

1,0379890

347

2,5900717

1,9668240

1,6492567

1,4427250

1,2839960

1,1522782

1,0379845

348

2,5900306

1,9668042

1,6492440

1,4427158

1,2839890

1,1522726

1,0379801

349

2,5899897

1,9667846

1,6492314

1,4427066

1,2839820

1,1522671

1,0379756

350

2,5899490

1,9667650

1,6492189

1,4426975

1,2839750

1,1522616

1,0379712

Значение t-критерия Стьюдента приуровне значимости

( 0,01; 0,05; 0,1; 0,15; 0,20; 0,25; 0,30)

Таблица 8

n

Р – 0,01

Р – 0,05

Р – 0,1

Р – 0,15

Р – 0,2

Р – 0,25

Р – 0,3

351

2,5899086

1,9667456

1,6492064

1,4426885

1,2839681

1,1522562

1,0379668

352

2,5898684

1,9667262

1,6491940

1,4426795

1,2839612

1,1522507

1,0379625

353

2,5898284

1,9667070

1,6491817

1,4426706

1,2839544

1,1522453

1,0379581

354

2,5897886

1,9666879

1,6491694

1,4426617

1,2839476

1,1522400

1,0379538

355

2,5897491

1,9666689

1,6491572

1,4426528

1,2839408

1,1522346

1,0379495

356

2,5897098

1,9666500

1,6491451

1,4426441

1,2839341

1,1522293

1,0379453

357

2,5896707

1,9666312

1,6491331

1,4426353

1,2839274

1,1522241

1,0379410

358

2,5896319

1,9666125

1,6491211

1,4426266

1,2839208

1,1522188

1,0379368

359

2,5895932

1,9665939

1,6491092

1,4426180

1,2839142

1,1522136

1,0379326

360

2,5895548

1,9665755

1,6490973

1,4426094

1,2839076

1,1522084

1,0379284

361

2,5895166

1,9665571

1,6490855

1,4426009

1,2839011

1,1522032

1,0379243

362

2,5894786

1,9665388

1,6490738

1,4425924

1,2838946

1,1521981

1,0379202

363

2,5894408

1,9665206

1,6490621

1,4425839

1,2838881

1,1521930

1,0379161

364

2,5894032

1,9665026

1,6490505

1,4425755

1,2838817

1,1521879

1,0379120

365

2,5893659

1,9664846

1,6490390

1,4425671

1,2838753

1,1521829

1,0379079

366

2,5893287

1,9664667

1,6490276

1,4425588

1,2838689

1,1521779

1,0379039

367

2,5892917

1,9664489

1,6490162

1,4425506

1,2838626

1,1521729

1,0378999

368

2,5892550

1,9664313

1,6490048

1,4425423

1,2838563

1,1521679

1,0378959

369

2,5892184

1,9664137

1,6489935

1,4425342

1,2838500

1,1521630

1,0378919

370

2,5891820

1,9663962

1,6489823

1,4425260

1,2838438

1,1521581

1,0378880

371

2,5891459

1,9663788

1,6489712

1,4425179

1,2838376

1,1521532

1,0378841

372

2,5891099

1,9663615

1,6489601

1,4425099

1,2838315

1,1521483

1,0378801

373

2,5890741

1,9663443

1,6489490

1,4425019

1,2838253

1,1521435

1,0378763

374

2,5890385

1,9663272

1,6489380

1,4424939

1,2838192

1,1521387

1,0378724

375

2,5890032

1,9663102

1,6489271

1,4424860

1,2838132

1,1521339

1,0378686

376

2,5889679

1,9662932

1,6489163

1,4424782

1,2838072

1,1521292

1,0378647

377

2,5889329

1,9662764

1,6489055

1,4424703

1,2838012

1,1521244

1,0378609

378

2,5888981

1,9662596

1,6488947

1,4424625

1,2837952

1,1521197

1,0378572

379

2,5888635

1,9662430

1,6488840

1,4424548

1,2837893

1,1521151

1,0378534

380

2,5888290

1,9662264

1,6488734

1,4424471

1,2837834

1,1521104

1,0378497

381

2,5887947

1,9662099

1,6488628

1,4424394

1,2837775

1,1521058

1,0378459

382

2,5887606

1,9661935

1,6488523

1,4424318

1,2837717

1,1521012

1,0378422

383

2,5887267

1,9661772

1,6488418

1,4424242

1,2837659

1,1520966

1,0378385

384

2,5886929

1,9661610

1,6488314

1,4424166

1,2837601

1,1520920

1,0378349

385

2,5886594

1,9661448

1,6488211

1,4424091

1,2837543

1,1520875

1,0378312

386

2,5886260

1,9661288

1,6488108

1,4424017

1,2837486

1,1520830

1,0378276

387

2,5885928

1,9661128

1,6488005

1,4423942

1,2837429

1,1520785

1,0378240

388

2,5885597

1,9660969

1,6487903

1,4423868

1,2837373

1,1520740

1,0378204

389

2,5885268

1,9660811

1,6487802

1,4423795

1,2837317

1,1520696

1,0378168

390

2,5884941

1,9660653

1,6487701

1,4423722

1,2837261

1,1520652

1,0378133

391

2,5884616

1,9660497

1,6487600

1,4423649

1,2837205

1,1520608

1,0378098

392

2,5884292

1,9660341

1,6487501

1,4423576

1,2837149

1,1520564

1,0378062

393

2,5883970

1,9660186

1,6487401

1,4423504

1,2837094

1,1520521

1,0378027

394

2,5883650

1,9660032

1,6487302

1,4423433

1,2837039

1,1520477

1,0377993

395

2,5883331

1,9659879

1,6487204

1,4423361

1,2836985

1,1520434

1,0377958

396

2,5883014

1,9659726

1,6487106

1,4423290

1,2836931

1,1520392

1,0377924

397

2,5882698

1,9659574

1,6487009

1,4423220

1,2836876

1,1520349

1,0377889

398

2,5882384

1,9659423

1,6486912

1,4423149

1,2836823

1,1520306

1,0377855

399

2,5882072

1,9659273

1,6486815

1,4423080

1,2836769

1,1520264

1,0377821

400

2,5881761

1,9659123

1,6486719

1,4423010

1,2836716

1,1520222

1,0377787
Источник

Предположим, что надо сравнить между собой результаты выполнения тестов на внимание в двух группах. Чтобы узнать различаются ли группы между собой необходимо вычислить t-критерий Стьюдента для независимых выборок.

1. Внесем данные по группам в таблицу:

№ Результаты группы №1 (сек.) Результаты группы №2 (сек.)
1 30 46
2 45 49
3 41 52
4 38 55
5 34 56
6 36 40
7 31 47
8 30 51
9 49 58
10 50 46
11 51 46
12 46 56
13 41 53
14 37 57
15 36 44
16 34 42
17 33 40
18 49 58
19 32 54
20 46 53
21 41 51
22 44 57
23 38 56
24 50 44
25 37 42
26 39 49
27 40 50
28 46 55
29 42 43

Шаг 2. Проверить распределения на нормальность.

Шаг 3. Рассчитать среднее арифметическое, стандартное отклонение и количество человек в каждой группе.

Шаг 4. Вычисляем эмпирическое значения по формуле t-критерия Стьюдента для независимых выборок

t_e=frac{|40,2 - 50|}{sqrt{frac{6,4_2}{29} + frac{5,8_2}{29}}}=frac{9,8}{sqrt{1,4 + 1,1}}=6,09

Шаг 5. Вычисляем степени свободы.

df=29+29-2=56

Шаг 6. Определяем по таблице критических значений t-Стьюдента уровень значимости.

Значение 6,09 больше чем значение 3,473 следовательно уровень значимости меньше 0,001

Шаг 7. Если уровень значимости меньше 0,05 делается вывод о наличи различий между группами. Таким образом между двумя группами есть различия в скорости выполнения тестов на внимание.

Источник

Критерий Стьюдента применяется для проверки равенства средних значений двух выборок, сравнение количественных значений только двух выборок с нормальным распределением случайной величины. 

 Критерий Стьюдента определяется по формуле:

Критерий Стьюдента формула

$bar{X_1}$ – выборочные средние значения первой выборки;

$bar{X_2}$ – выборочные средние значения второй выборки;

n1 – объем первой выборки;

n2 – объем второй выборки;

σ1 и σ2 – среднее квадратическое отклонение в соответствующих выборках и находятся из формулы:

СКО

Число степеней свободы определяется по формуле:

k=n1+n2−2

Fкр(α, k) определяется по таблице

При Fнабл<Fкр нулевая гипотеза принимается.

Формула критерия Стьюдента для несвязанных независимых выборок:

Формула критерия Стьюдента для независимых выборок

Формула для определения стандартной ошибки разности средних арифметических σxy:

стандартная ошибка разности средних арифметических формула

Число степеней свободы определяется выражением:

k=n1+n2–2

При n1=n2 число степеней свободы находится по формуле:

k=2n-2

а стандартная ошибка разности средних арифметических σxy задаётся выражением:

стандартная ошибка разности средних арифметических

Пример

Даны две выборки.

В первой выборки продажа товара со скидкой, а во второй без скидки.

№ п/п X Y
1 25 19
2 34 31
3 23 17
4 35 24
5 33 28
6 25 31
7 45 39
8 41 32
9 27 38
10 54 43
11 32 21
12 32

По критерию Стьюдента определить зависит ли спрос на товар от скидок на него при p=0.99?

Решение

В соответствии с таблицей n1=12, n2=11

Вычислим дисперсии D(X), D(Y)

№ п/п X Y D(X) D(Y)
1 25 19 78,028 107,4
2 34 31 0,0278 2,6777
3 23 17 117,36 152,86
4 35 24 1,3611 28,769
5 33 28 0,6944 1,8595
6 25 31 78,028 2,6777
7 45 39 124,69 92,86
8 41 32 51,361 6,9504
9 27 38 46,694 74,587
10 54 43 406,69 185,95
11 32 21 3,3611 69,95
12 32 3,3611
Сумма 406 323 911,67 726,55
Среднее 33,833 29,364

Подставим значения в формулу стандартной ошибки разности средних арифметических σxy:

 стандартная ошибка разности решение

Вычисляем критерий Стьюдента:

критерий Стьюдента решение

Число степеней свободы равно:

k=12+11–2=21

По таблице Стьюдента находим критическое значение:

tкрит=2,8310     

Отсюда tкрит> tнабл, следовательно, зависит.

17915


Источник

Проверка статистической гипотезы позволяет сделать строгий вывод о характеристиках генеральной совокупности на основе выборочных данных. Гипотезы бывают разные. Одна из них – это гипотеза о средней (математическом ожидании). Суть ее в том, чтобы на основе только имеющейся выборки сделать корректное заключение о том, где может или не может находится генеральная средняя (точную правду мы никогда не узнаем, но можем сузить круг поиска).

Распределение Стьюдента

Общий подход в проверке гипотез описан здесь, поэтому сразу к делу. Предположим для начала, что выборка извлечена из нормальной совокупности случайных величин X с генеральной средней μ и дисперсией σ2. Средняя арифметическая из этой выборки, очевидно, сама является случайной величиной. Если извлечь много таких выборок и посчитать по ним средние, то они также будут иметь нормальное распределение с математическим ожиданием μ и дисперсией

Генеральная дисперсия средней

Тогда случайная величина

Нормированное отклонение выборочное средней

имеет стандартное нормальное распределение со всеми вытекающими отсюда последствиями. Например, с вероятностью 95% ее значение не выйдет за пределы ±1,96.

Однако такой подход будет корректным, если известна генеральная дисперсия. В реальности, как правило, она не известна. Вместо нее берут оценку – несмещенную выборочную дисперсию:

Оценка дисперсии средней

где

Выборочная несмещенная дисперсия

Возникает вопрос: будет ли генеральная средняя c вероятностью 95% находиться в пределах ±1,96sx̅. Другими словами, являются ли распределения случайных величин

Нормированное отклонение выборочное средней

и

Нормированное отклонение выборочной средней относительно оценки стандартной ошибки

эквивалентными.

Впервые этот вопрос был поставлен (и решен) одним химиком, который трудился на пивной фабрике Гиннесса в г. Дублин (Ирландия). Химика звали Уильям Сили Госсет и он брал пробы пива для проведения химического анализа. В какой-то момент, видимо, Уильяма стали терзать смутные сомнения на счет распределения средних. Оно получалось немного более размазанным, чем должно быть у нормального распределения.

Собрав математическое обоснование и рассчитав значения функции обнаруженного им распределения, химик из Дублина Уильям Госсет написал заметку, которая была опубликована в мартовском выпуске 1908 года журнала «Биометрика» (главред – Карл Пирсон). Гиннесс строго-настрого запретил выдавать секреты пивоварения, и Госсет подписался псевдонимом Стьюдент.

Несмотря на то что, К. Пирсон уже изобрел распределение Хи-квадрат, все-таки всеобщее представление о нормальности еще доминировало. Никто не собирался думать, что распределение выборочных оценок может быть не нормальным. Поэтому статья У. Госсета осталась практически не замеченной и забытой. И только Рональд Фишер по достоинству оценил открытие Госсета. Фишер использовал новое распределение в своих работах и дал ему название t-распределение Стьюдента. Критерий для проверки гипотез, соответственно, стал t-критерием Стьюдента. Так произошла «революция» в статистике, которая шагнула в эру анализа выборочных данных. Это был краткий экскурс в историю.

Посмотрим, что же мог увидеть У. Госсет. Сгенерируем 20 тысяч нормальных выборок из 6-ти наблюдений со средней (X̅) 50 и среднеквадратичным отклонением (σ) 10. Затем нормируем выборочные средние, используя генеральную дисперсию:

Нормирование средней с использование генеральной дисперсии

Получившиеся 20 тысяч средних сгруппируем в интервалы длинной 0,1 и подсчитаем частоты. Изобразим на диаграмме фактическое (Norm) и теоретическое (ENorm) распределение частот выборочных средних.

Распределение средней арифметической

Точки (наблюдаемые частоты) практически совпадают с линией (теоретическими частотами). Оно и понятно, ведь данные взяты из одной и то же генеральной совокупности, а отличия – это лишь ошибки выборки.

Проведем новый эксперимент. Нормируем средние, используя выборочную дисперсию.

Нормирование средней с использование выборочной дисперсии

Снова подсчитаем частоты и нанесем их на диаграмму в виде точек, оставив для сравнения линию стандартного нормального распределения. Обозначим эмпирическое частоты средних, скажем, через букву t.

Отличие распределения средних от нормального закона

Видно, что распределения на этот раз не очень-то и совпадают. Близки, да, но не одинаковы. Хвосты стали более «тяжелыми».

У Госсета-Стьюдента не было последней версии MS Excel, но именно этот эффект он и заметил. Почему так получается? Объяснение заключается в том, что случайная величина

Нормированное отклонение выборочной средней относительно оценки стандартной ошибки

зависит не только от ошибки выборки (числителя), но и от стандартной ошибки средней (знаменателя), которая также является случайной величиной.

Давайте немного разберемся, какое распределение должно быть у такой случайной величины. Вначале придется кое-что вспомнить (или узнать) из математической статистики. Есть такая теорема Фишера, которая гласит, что в выборке из нормального распределения:

1. средняя X̅ и выборочная дисперсия s2 являются независимыми величинами;

2. соотношение выборочной и генеральной дисперсии, умноженное на количество степеней свободы, имеет распределение χ2(хи-квадрат) с таким же количеством степеней свободы, т.е.

Теорема Фишера

где k – количество степеней свободы (на английском degrees of freedom (d.f.))

Вернемся к распределению средней. Разделим числитель и знаменатель выражения

Нормированное отклонение выборочной средней относительно оценки стандартной ошибки

на σX̅. Получим

Вывод t-критерия

Числитель – это стандартная нормальная случайная величина (обозначим ξ (кси)). Знаменатель выразим из теоремы Фишера.

Вывод t-критерия 2

Тогда исходное выражение примет вид

t-критерий Стьюдента

Это и есть t-критерий Стьюдента в общем виде (стьюдентово отношение). Вывести функцию его распределения можно уже непосредственно, т.к. распределения обеих случайных величин в данном выражении известны. Оставим это удовольствие математикам.

Функция t-распределения Стьюдента имеет довольно сложную для понимания формулу, поэтому не имеет смысла ее разбирать. Вероятности и квантили t-критерия приведены в специальных таблицах распределения Стьюдента и забиты в функции разных ПО вроде Excel.

Итак, вооружившись новыми знаниями, вы сможете понять официальное определение распределения Стьюдента.
Случайной величиной, подчиняющейся распределению Стьюдента с k степенями свободы, называется отношение независимых случайных величин

t-критерий Стьюдента

где ξ распределена по стандартному нормальному закону, а χ2k подчиняется распределению χ2 c k степенями свободы.

Таким образом, формула критерия Стьюдента для средней арифметической

Нормированное отклонение выборочной средней относительно оценки стандартной ошибки

есть частный случай стьюдентова отношения

t-критерий Стьюдента

Из формулы и определения следует, что распределение т-критерия Стьюдента зависит лишь от количества степеней свободы.

Зависимость t-распределения Стьюдента от количества степеней свободы

При k > 30 t-критерий практически не отличается от стандартного нормального распределения.

В отличие от хи-квадрат, t-критерий может быть одно- и двусторонним. Обычно пользуются двусторонним, предполагая, что отклонение может происходить в обе стороны от средней. Но если условие задачи допускает отклонение только в одну сторону, то разумно применять односторонний критерий. От этого немного увеличивается мощность критерия.

Несмотря на то, что открытие Стьюдента в свое время совершило переворот в статистике, t-критерий все же довольно сильно ограничен в возможностях применения, т.к. сам по себе происходит из предположения о нормальном распределении исходных данных. Если данные не являются нормальными (что обычно и бывает), то и t-критерий уже не будет иметь распределения Стьюдента. Однако в силу действия центральной предельной теоремы средняя даже у ненормальных данных быстро приобретает колоколообразную форму распределения.

Рассмотрим, для примера, данные, имеющие выраженный скос вправо, как у распределения хи-квадрат с 5-ю степенями свободы.

Распределение хи-квадрат

Теперь создадим 20 тысяч выборок и будет наблюдать, как меняется распределение средних в зависимости от их объема.

Относительная устойчивость t-распределения к ненормальности исходных данных

Отличие довольно заметно в малых выборках до 15-20-ти наблюдений. Но дальше оно стремительно исчезает. Таким образом, ненормальность распределения – это, конечно, нехорошо, но некритично.

Больше всего t-критерий «боится» выбросов, т.е. аномальных отклонений. Возьмем 20 тыс. нормальных выборок по 15 наблюдений и в часть из них добавим по одному случайном выбросу.

Влияние аномальных выбросов на распределение средней

Картина получается нерадостная. Фактические частоты средних сильно отличаются от теоретических. Использование t-распределения в такой ситуации становится весьма рискованной затеей.

Итак, в не очень малых выборках (от 15-ти наблюдений) t-критерий относительно устойчив к ненормальному распределению исходных данных. А вот выбросы в данных сильно искажают распределение t-критерия, что, в свою очередь, может привести к ошибкам статистического вывода, поэтому от аномальных наблюдений следует избавиться. Часто из выборки удаляют все значения, выходящие за пределы ±2 стандартных отклонения от средней.

Пример проверки гипотезы о математическом ожидании с помощью t- критерия Стьюдента в MS Excel

В Excel есть несколько функций, связанных с t-распределением. Рассмотрим их.

СТЬЮДЕНТ.РАСП – «классическое» левостороннее t-распределение Стьюдента. На вход подается значение t-критерия, количество степеней свободы и опция (0 или 1), определяющая, что нужно рассчитать: плотность или значение функции. На выходе получаем, соответственно, плотность или вероятность того, что случайная величина окажется меньше указанного в аргументе t-критерия, т.е. левосторонний p-value.

СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х – двухсторонне распределение. В качестве аргумента подается абсолютное значение (по модулю) t-критерия и количество степеней свободы. На выходе получаем вероятность получить такое или еще больше значение t-критерия (по модулю), т.е. фактический уровень значимости (p-value).

СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ – правостороннее t-распределение. Так, 1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(2;5;1) = СТЬЮДЕНТ.РАСП.ПХ(2;5) = 0,05097. Если t-критерий положительный, то полученная вероятность – это p-value.

СТЬЮДЕНТ.ОБР – используется для расчета левостороннего обратного значения t-распределения. В качестве аргумента подается вероятность и количество степеней свободы. На выходе получаем соответствующее этой вероятности значение t-критерия. Отсчет вероятности идет слева. Поэтому для левого хвоста нужен сам уровень значимости α, а для правого 1 — α.

СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х – обратное значение для двухстороннего распределения Стьюдента, т.е. значение t-критерия (по модулю). Также на вход подается уровень значимости α. Только на этот раз отсчет ведется с двух сторон одновременно, поэтому вероятность распределяется на два хвоста. Так, СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-0,025;5) = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;5) = 2,57058

СТЬЮДЕНТ.ТЕСТ – функция для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий в двух выборках. Заменяет кучу расчетов, т.к. достаточно указать лишь два диапазона с данными и еще пару параметров. На выходе получим p-value.

ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ – расчет доверительного интервала средней с учетом t-распределения.

Рассмотрим такой учебный пример. На предприятии фасуют цемент в мешки по 50кг. В силу случайности в отдельно взятом мешке допускается некоторое отклонение от ожидаемой массы, но генеральная средняя должна оставаться 50кг. В отделе контроля качества случайным образом взвесили 9 мешков и получили следующие результаты: средняя масса (X̅) составила 50,3кг, среднеквадратичное отклонение (s) – 0,5кг.

Согласуется ли полученный результат с нулевой гипотезой о том, что генеральная средняя равна 50кг? Другими словами, можно ли получить такой результат по чистой случайности, если оборудование работает исправно и выдает среднее наполнение 50 кг? Если гипотеза не будет отклонена, то полученное различие вписывается в диапазон случайных колебаний, если же гипотеза будет отклонена, то, скорее всего, в настройках аппарата, заполняющего мешки, произошел сбой. Требуется его проверка и настройка.

Краткое условие в обще принятых обозначениях выглядит так.

H0: μ = 50 кг

Ha: μ ≠ 50 кг

Есть основания предположить, что распределение заполняемости мешков подчиняются нормальному распределению (или не сильно от него отличается). Значит, для проверки гипотезы о математическом ожидании можно использовать t-критерий Стьюдента. Случайные отклонения могут происходить в любую сторону, значит нужен двусторонний t-критерий.

Вначале применим допотопные средства: ручной расчет t-критерия и сравнение его с критическим табличным значением. Расчетный t-критерий:

Фактический t-критерий при 9-ти наблюдениях

Теперь определим, выходит ли полученное число за критический уровень при уровне значимости α = 0,05. Воспользуемся таблицей для критерия Стьюдента (есть в любом учебнике по статистике).

Таблица t-распределения Стьюдента

По столбцам идет вероятность правой части распределения, по строкам – число степеней свободы. Нас интересует двусторонний t-критерий с уровнем значимости 0,05, что равносильно t-значению для половины уровня значимости справа: 1 — 0,05/2 = 0,975. Количество степеней свободы – это объем выборки минус 1, т.е. 9 — 1 = 8. На пересечении находим табличное значение t-критерия – 2,306. Если бы мы использовали стандартное нормальное распределение, то критической точкой было бы значение 1,96, а тут она больше, т.к. t-распределение на небольших выборках имеет более приплюснутый вид.

Сравниваем фактическое (1,8) и табличное значение (2.306). Расчетный критерий оказался меньше табличного. Следовательно, имеющиеся данные не противоречат гипотезе H0 о том, что генеральная средняя равна 50 кг (но и не доказывают ее). Это все, что мы можем узнать, используя таблицы. Можно, конечно, еще p-value попробовать найти, но он будет приближенным. А, как правило, именно p-value используется для проверки гипотез. Поэтому далее переходим в Excel.

Готовой функции для расчета t-критерия в Excel нет. Но это и не страшно, ведь формула t-критерия Стьюдента довольно проста и ее можно легко соорудить прямо в ячейке Excel.

Расчет t-критерия Стьюдента в Excel

Получили те же 1,8. Найдем вначале критическое значение. Альфа берем 0,05, критерий двусторонний. Нужна функция обратного значения t-распределения для двухсторонней гипотезы СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х.

Сравнение расчетного и табличного значения t-критерия Стьюдента

Полученное значение отсекает критическую область. Наблюдаемый t-критерий в нее не попадает, поэтому гипотеза не отклоняется.

Однако это тот же способ проверки гипотезы с помощью табличного значения. Более информативно будет рассчитать p-value, т.е. вероятность получить наблюдаемое или еще большее отклонение от средней 50кг, если эта гипотеза верна. Потребуется функция распределения Стьюдента для двухсторонней гипотезы СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х.

Расчет p-value для t-критерия

P-value равен 0,1096, что больше допустимого уровня значимости 0,05 – гипотезу не отклоняем. Но теперь можно судить о степени доказательства. P-value оказался довольно близок к тому уровню, когда гипотеза отклоняется, а это наводит на разные мысли. Например, что выборка оказалась слишком мала для обнаружения значимого отклонения.

Пусть через некоторое время отдел контроля снова решил проверить, как выдерживается стандарт заполняемости мешков. На этот раз для большей надежности было отобрано не 9, а 25 мешков. Интуитивно понятно, что разброс средней уменьшится, а, значит, и шансов найти сбой в системе становится больше.

Допустим, были получены те же значения средней и стандартного отклонения по выборке, что и в первый раз (50,3 и 0,5 соответственно). Рассчитаем t-критерий.

Расчет t-критерия для выборки из 25 наблюдений
Критическое значение для 24-х степеней свободы и α = 0,05 составляет 2,064. На картинке ниже видно, что t-критерий попадает в область отклонения гипотезы.

Отклонения гипотезы

Можно сделать вывод о том, что с доверительной вероятностью более 95% генеральная средняя отличается от 50кг. Для большей убедительности посмотрим на p-value (последняя строка в таблице). Вероятность получить среднюю с таким или еще большим отклонением от 50, если гипотеза верна, составляет 0,0062, или 0,62%, что при однократном измерении практически невозможно. В общем, гипотезу отклоняем, как маловероятную.

Расчет доверительного интервала для математического ожидания с помощью t-распределения Стьюдента в Excel

С проверкой гипотез тесно связан еще один статистический метод – расчет доверительных интервалов. Если в полученный интервал попадает значение, соответствующее нулевой гипотезе, то это равносильно тому, что нулевая гипотеза не отклоняется. В противном случае, гипотеза отклоняется с соответствующей доверительной вероятностью. В некоторых случаях аналитики вообще не проверяют гипотез в классическом виде, а рассчитывают только доверительные интервалы. Такой подход позволяет извлечь еще больше полезной информации.

Рассчитаем доверительные интервалы для средней при 9 и 25 наблюдениях. Для этого воспользуемся функцией Excel ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ. Здесь, как ни странно, все довольно просто. В аргументах функции нужно указать только уровень значимости α, стандартное отклонение по выборке и размер выборки. На выходе получим полуширину доверительного интервала, то есть значение которое нужно отложить по обе стороны от средней. Проведя расчеты и нарисовав наглядную диаграмму, получим следующее.

Проверка гипотезы через доверительные интервалы

Как видно, при выборке в 9 наблюдений значение 50 попадает в доверительный интервал (гипотеза не отклоняется), а при 25-ти наблюдениях не попадает (гипотеза отклоняется). При этом в эксперименте с 25-ю мешками можно утверждать, что с вероятностью 97,5% генеральная средняя превышает 50,1 кг (нижняя граница доверительного интервала равна 50,094кг). А это довольно ценная информация.

Таким образом, мы решили одну и ту же задачу тремя способами:

1. Древним подходом, сравнивая расчетное и табличное значение t-критерия
2. Более современным, рассчитав p-value, добавив степень уверенности при отклонении гипотезы.
3. Еще более информативным, рассчитав доверительный интервал и получив минимальное значение генеральной средней.

Важно помнить, что t-критерий относится к параметрическим методам, т.к. основан на нормальном распределении (у него два параметра: среднее и дисперсия). Поэтому для его успешного применения важна хотя бы приблизительная нормальность исходных данных и отсутствие выбросов.

Напоследок предлагаю видеоролик о том, как рассчитать критерий Стьюдента и проверить гипотезу о генеральной средней в Excel.

Иногда просят объяснить, как делаются такие наглядные диаграммы с распределением. Ниже можно скачать файл, где проводились расчеты для этой статьи.

Скачать файл с примером.

Всего доброго, будьте здоровы.

Поделиться в социальных сетях:

Источник

Добавить комментарий