Как найти критические точки функции ответ

Содержание:

  1. Критические точки и экстремумы функции
  2. Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
  3. Достаточное условие существования экстремума
  4. Задача пример №117
  5. Задача пример №118
  6. Задача пример №119
  7. Задача пример №120
  8. Задача пример №121

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений Критические точки и экстремумы функции равных Критические точки и экстремумы функцииКритические точки и экстремумы функции угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. Критические точки и экстремумы функции. Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках Критические точки и экстремумы функции функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

Критические точки и экстремумы функции

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки Критические точки и экстремумы функцииКритические точки и экстремумы функции делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки Критические точки и экстремумы функции– критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума Критические точки и экстремумы функции производная функции равна нулю, а в точке Критические точки и экстремумы функции производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Критические точки и экстремумы функции

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке Критические точки и экстремумы функции производная функции Критические точки и экстремумы функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция Критические точки и экстремумы функции непрерывна на промежутке Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции. Если Критические точки и экстремумы функции является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1 ) Критические точки и экстремумы функции слева от точки Критические точки и экстремумы функции положительна, а справа – отрицательна, то точка Критические точки и экстремумы функции является точкой максимума.

2) Критические точки и экстремумы функции слева от Критические точки и экстремумы функции отрицательна, а справа – положительна, то точка Критические точки и экстремумы функции является точкой минимума

3) Критические точки и экстремумы функции с каждой стороны от точки Критические точки и экстремумы функции имеет одинаковые знаки, то точка Критические точки и экстремумы функции не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции Критические точки и экстремумы функции на отрезке Критические точки и экстремумы функции записываются как Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции.

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №117

Для функции Критические точки и экстремумы функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение:

Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции: Критические точки и экстремумы функции

2. Критические точки функции: Критические точки и экстремумы функции

3. Точки Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак Критические точки и экстремумы функции на интервалах, выбрав пробные точки:

Критические точки и экстремумы функции для интервала Критические точки и экстремумы функции

Критические точки и экстремумы функции для интервала Критические точки и экстремумы функции

Критические точки и экстремумы функции для интервала Критические точки и экстремумы функции

Интервал Критические точки и экстремумы функции Пробные точки Критические точки и экстремумы функции

Знак Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции Возрастание и убывание Критические точки и экстремумы функции

При Критические точки и экстремумы функции имеем Критические точки и экстремумы функции. (-1;3) – максимум

При Критические точки и экстремумы функции имеем Критические точки и экстремумы функции (1;-1) – минимум

4. Используя полученные для функции Критические точки и экстремумы функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №118

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции Критические точки и экстремумы функции на отрезке [-1;2].

Решение:

Сначала найдем критические точки. Так как Критические точки и экстремумы функции, то критические точки можно найти из уравнения Критические точки и экстремумы функции. Критическая точка Критические точки и экстремумы функции не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке Критические точки и экстремумы функции и на концах отрезка.

Критические точки и экстремумы функции

Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом: Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №119

Найдите экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции.

Решение:

1. Производная функции: Критические точки и экстремумы функции

2. Критические точки: Критические точки и экстремумы функции, Критические точки и экстремумы функции

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции: Критические точки и экстремумы функции

Проверим знак Критические точки и экстремумы функции на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка Критические точки и экстремумы функции возьмем Критические точки и экстремумы функции

Для промежутка (0; 1,5) возьмем Критические точки и экстремумы функции

Для промежутка Критические точки и экстремумы функции возьмем Критические точки и экстремумы функции

Интервал Критические точки и экстремумы функции

Пробные точки Критические точки и экстремумы функции

Знак Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции Возрастание-убывание Критические точки и экстремумы функции

Используя полученную для функции Критические точки и экстремумы функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

• Функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке Критические точки и экстремумы функции возрастает.

• Точка Критические точки и экстремумы функции критическая точка функции Критические точки и экстремумы функции, но не является экстремумом.

• Функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке [0; 1,5] возрастает.

• Функция Критические точки и экстремумы функциина промежутке Критические точки и экстремумы функции убывает.

Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №120

Найдите экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

Решение:

1. Производная Критические точки и экстремумы функции

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение Критические точки и экстремумы функции или найти точки, в которых производная не существует. В точке Критические точки и экстремумы функции функция не имеет конечной производной. Однако точка Критические точки и экстремумы функции принадлежит области определения. Значит, точка Критические точки и экстремумы функции является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции

Определим знак Критические точки и экстремумы функции, выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для Критические точки и экстремумы функции возьмем Критические точки и экстремумы функции Для Критические точки и экстремумы функции возьмем Критические точки и экстремумы функции

Интервал Критические точки и экстремумы функции Пробные точки Критические точки и экстремумы функции

Знак Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

Возрастание-убывание Критические точки и экстремумы функции

• Функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке Критические точки и экстремумы функции убывает.

• Функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке Критические точки и экстремумы функции возрастает.

Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №121

По графику функции производной Критические точки и экстремумы функции схематично изобразите график самой функции.

Критические точки и экстремумы функции

Решение:

Производная Критические точки и экстремумы функции в точке Критические точки и экстремумы функции равна нулю, а при Критические точки и экстремумы функции отрицательна, значит, на интервале Критические точки и экстремумы функции функция убывающая. При Критические точки и экстремумы функции производная положительна, а это говорит о том, что функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке Критические точки и экстремумы функции возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Критические точки и экстремумы функции. Соответствующий график представлен на рисунке.

Критические точки и экстремумы функции

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

  • Объемы подобных фигур
  • Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
  • Построение графиков функции с помощью производной
  • Задачи на экстремумы. Оптимизации

Лекции:

  • Экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению
  • Доказательство неравенств
  • Системы уравнений
  • Максимальные и минимальные значения функции
  • Действия с корнями
  • Отрицательное биномиальное распределение
  • Длина дуги кривой
  • Вычислить несобственный интеграл
  • Градиент функции: пример решения
  • Интеграл натурального логарифма

Исследовать функцию — это значит установить её свойства: указать её область определения и область значений; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция приобретает положительные значения, на которых — отрицательные; выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т. д.

Содержание:

Что такое исследование функции

Одна из важных задач исследования функции — определение промежутков её возрастания и убывания. Как отмечалось, в тех точках, в которых функция возрастает, её производная (угловой коэффициент касательной) положительная, а в точках убывания функции её производная отрицательная {рис. 70).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Правильными будут следующие утверждения.

  • Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.
  • Если производная в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.
  • Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Строгое доказательство этого утверждения достаточно громоздкое, поэтому мы его не приводим. Заметим только, что в нём выражается достаточный признак возрастания или убывания функции, но не необходимый. Поэтому функция может возрастать и на промежутке, в некоторых точках которого она не имеет производной. Например, функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из сказанного следует, что два соседних промежутка, на одном из которых функция возрастает, а на другом — убывает, могут разделяться только такой точкой, в которой производная функции равна нулю или не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Следовательно, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения нужно решить неравенства Применение производной к исследованию функции с примерами решения или найти все критические точки функции,разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких — убывает.    

Пример:

Найдите промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Уравнение Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет корни Применение производной к исследованию функции с примерами решения Это — критические точки. Область определения данной функции — множество Применение производной к исследованию функции с примерами решения — они разбивают на три промежутка: Применение производной к исследованию функции с примерами решения (рис. 72). Производная функции на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Следовательно, данная функция на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает, а на Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Замечание: Если функция непрерывна в каком-нибудь конце промежутка возрастания или убывания, то эту точку можно присоединить к рассматриваемому промежутку. Поскольку функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках 0 и 2 непрерывна, то можно утверждать, что она возрастает на промежутках  Применение производной к исследованию функции с примерами решения на Применение производной к исследованию функции с примерами решения — убывает.

Пример:

Найдите промежутки убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Они всю область определения функции разбивают на интервалы: Применение производной к исследованию функции с примерами решения (рис. 73). Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения на этих промежутках имеет соответственно такие знаки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Следовательно, функция убывает на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения Поскольку в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения данная функция непрерывна, то ответ можно записать и так: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример:

Найдите критические точки функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения 

Решение:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдем произвольную функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения
Найдём точки, в которых производная равна нулю или не существует: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения — не существует, если знаменатель равен нулю, отсюда Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не входит в область определения функции. Следовательно, функция имеет две критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ответ. 0 и 4.

Пример:

Докажите, что функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

 Применение производной к исследованию функции с примерами решения При любом значении Применение производной к исследованию функции с примерами решения выражение Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет положительное значение. Следовательно, данная функция возрастает на всей области определения, т.е. на множестве Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример:

Установите, на каком промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает, а на каком убывает.

Решение:

Способ 1. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдём производную функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдём критические точки функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Эта точка разбивает область определения функции на два промежутка (рис. 74). Определим знак производной на каждом из них. 

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения а убывает на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Способ 2. Решим неравенство Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ответ. Возрастает, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение второй производной к исследованию функций и построению их графиков

При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной. Вспомним, что такое вторая производная.

Пусть функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения является дифференцируемой, Применение производной к исследованию функции с примерами решения её производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения — функция, которая также дифференцируема. Тогда можно найти производную Применение производной к исследованию функции с примерами решения Это производная второго порядка, или вторая производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Например, найти производную 2-го порядка функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решенияозначает найти производную этой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения и полученную функцию продифференцировать: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решения называется выпуклой на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 1).

Кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решения называется вогнутой на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 86 — 2).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая Применение производной к исследованию функции с примерами решениявыпуклая на данном интервале; если вторая производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решенияположительная Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая вогнутая на Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из теоремы следует, что точками перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения могут быть только точки, в которых вторая производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.

Установим до статочное условие существования точки перегиба.

Теорема. Пусть Применение производной к исследованию функции с примерами решения — критическая точка второго рода функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения Если при переходе через точку Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения меняет знак, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решенияявляется точкой перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

  1. найти область определения функции;
  2. найти критические точки второго рода;
  3. определить знак второй производной на образованных интервалах. Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая выпуклая; если Применение производной к исследованию функции с примерами решения — кривая вогнутая;
  4. если производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения меняет знак при переходе через точку Применение производной к исследованию функции с примерами решения то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №1

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

1) Область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Найдём вторую производную: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решенияКритические точки второго рода: Применение производной к исследованию функции с примерами решения Других критических точек нет.

3)    Разбиваем область определения на интервалы Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения и определяем знак второй производной на каждом из них.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому кривая вогнутая.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому кривая выпуклая.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения — кривая вогнутая.

Следовательно, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения — точки перегиба кривой. Рассмотрим ещё один компонент в исследовании функций, благодаря которому упрощается построение некоторых графиков. Это асимптоты. В предыдущих параграфах рассматривались горизонтальные и вертикальные асимптоты. Повторим, расширим и обобщим это понятие. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные (рис. 87).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Напомним, что прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения будет вертикальной асимптотой кривой Применение производной к исследованию функции с примерами решения если при Применение производной к исследованию функции с примерами решения (справа или слева) значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Уравнение наклонной асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Если записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота; если хотя бы один из них не существует или равен Применение производной к исследованию функции с примерами решения то кривая наклонной асимптоты не имеет.

Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения поэтому Применение производной к исследованию функции с примерами решенияуравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Рассмотренные пределы могут быть односторонними, а под символом Применение производной к исследованию функции с примерами решения следует понимать и Применение производной к исследованию функции с примерами решения При этом указанные пределы могут быть разными при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №2

Найдите асимптоты кривых:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

а) Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдём вертикальные асимптоты. Поскольку функция не определена в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения то прямые Применение производной к исследованию функции с примерами решения — вертикальные асимптоты.

Найдём наклонную асимптоту: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения Кривая имеет горизонтальную асимптоту, её уравнение: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, заданная кривая имеет три асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдем вертикальные асимптоты.

Поскольку функция не определена в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения то прямые Применение производной к исследованию функции с примерами решения — вергикальные асимптоты.

Для наклонной асимптоты Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет.

Итак, асимптоты кривой: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Будем искать наклонные асимптоты:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) если Применение производной к исследованию функции с примерами решения (проверьте самостоятельно), отсюда Применение производной к исследованию функции с примерами решения — наклонная асимптота, если Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Следовательно, заданная кривая имеет две асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

Определение точек перегиба, интервалов выпуклости и асимптот существенно помогает в построении графиков различных функций.

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Интервалы возрастания и убывания функции

возрастающая функция

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если для любых Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения из некоторого промежутка области определения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения выполняется условие Применение производной к исследованию функции с примерами решения то на этом промежутке функция возрастающая.

убывающая

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если для любых Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения из некоторого промежутка области определения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения выполняется условие Применение производной к исследованию функции с примерами решения на этом промежутке функция убывающая.

Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Промежутки возрастания и убывания функции

Пусть на определенном промежутке производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения положительна, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Так как Применение производной к исследованию функции с примерами решения то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график “поднимается “, т. е. функция возрастает. Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график “спускается”, т. е. функция убывает.

Теорема. Если функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:

Примечание: если функция Применение производной к исследованию функции с примерами решениянепрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.

По графику функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

На интервалах Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция Применение производной к исследованию функции с примерами решениявозрастает.

На интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Пример №3

При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Алгебраический метод.

Найдем производную функции

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения на промежутке удовлетворяющем неравенству Применение производной к исследованию функции с примерами решения т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает.

Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения разбивают область определения функции на три интервала: Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из таблицы и непрерывности функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения видно, что данная функция возрастает на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения и убывает на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения Из графика так же видно, что задания решение верно.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить но графику производной. На рисунке изображен график производной

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

График производной Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения расположен выше оси Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения график производной расположен ниже оси Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит Применение производной к исследованию функции с примерами решения Так как функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения непрерывна, то на промежутках Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения она возрастает, а на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения убывает.

Пример №4

Изобразите схематично график непрерывной функции согласно еле дующим условиям:

a) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

b) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения или Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

а) при Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной положительный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит,

функция возрастает. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной отрицательный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция убывает, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения значение функции равно 5.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

b) При Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной положительный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция возрастает. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения знак производной отрицательный: Применение производной к исследованию функции с примерами решения значит, функция убывает, при Применение производной к исследованию функции с примерами решения значение функции равно 0.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1. Для значений Применение производной к исследованию функции с примерами решения равных Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решения угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т. e.Применение производной к исследованию функции с примерами решенияЭти точки являются критическими точками функции.

2. В точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения – критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума(Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения) производная функции равна нулю, а в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т. е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения непрерывна на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Если Применение производной к исследованию функции с примерами решения является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

  1. Применение производной к исследованию функции с примерами решения слева от точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения положительна, а справа – отрицательна, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой максимума.
  2. Применение производной к исследованию функции с примерами решения слева от Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна, а справа – положительна, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является точкой минимума
  3. Применение производной к исследованию функции с примерами решения с каждой стороны от точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет одинаковые знаки, то точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на отрезке Применение производной к исследованию функции с примерами решения записываются как Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №5

Для функцииПрименение производной к исследованию функции с примерами решения определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение: Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3. Точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервалах, выбрав пробные точки:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения для интервала Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решениямаксимум

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения Применение производной к исследованию функции с примерами решения минимум

4. Используя полученные для функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №6

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на отрезке Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: Сначала найдем критические точки.

Так как Применение производной к исследованию функции с примерами решения то критические точки можно найти из уравнения Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения Критическая точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения не принадлежит данному отрезку Применение производной к исследованию функции с примерами решения и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения и на концах отрезка.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №7

Найдите экстремумы функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Производная функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Проверим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для промежутка Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Используя полученную для функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №8

Найдите экстремумы функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение: 1. Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение Применение производной к исследованию функции с примерами решения или найти точки, в которых производная не существует. В точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не имеет конечной производной. Однако точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения принадлежит области определения. Значит, точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Определим знак Применение производной к исследованию функции с примерами решения выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для Применение производной к исследованию функции с примерами решения возьмем Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример №9

По графику функции производной Применение производной к исследованию функции с примерами решения схематично изобразите график самой функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

Производная Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения равна нулю, а при Применение производной к исследованию функции с примерами решения отрицательна, значит, на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция убывающая. При Применение производной к исследованию функции с примерами решения производная положительна, а это говорит о том, что функция/на промежутке Применение производной к исследованию функции с примерами решения возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Применение производной к исследованию функции с примерами решения Соответствующий график представлен на рисунке.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Построение графиков функции с помощью производной

Функция – многочлен определена и непрерывна на всей числовой оси.

Чтобы построить график функции- многочлен надо выполнить следующие шаги.

  • Определите точки пересечения с осями координат.
  • Найдите критические точки.
  • Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
  • Найдите максимумы и минимумы.
  • Постройте график.

Пример:

Постройте график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1) Точки пересечения с осями координат :

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Критические точки ( точки, в которых производная равна нулю): Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

значит, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения расположены на графике.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

3) Промежутки возрастания и убывания. Экстремумы.

Критические точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения деляг область определения функции на четыре промежутка. Проверим знаки производной Применение производной к исследованию функции с примерами решенияПрименение производной к исследованию функции с примерами решения

4) Используя полученную информацию, построим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Чтобы построить график рациональной функции надо выполнить следующие шаги.

  • Найдите область определения.
  • Найдите асимптоты (если они есть).
  • Определите точки пересечения с осями координат.
  • Найдите критические точки.
  • Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремумы.
  • Постройте график.

Пример:

Постройте график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

1) Область определения функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Асимптоты: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения вертикальная асимптота функции.

Так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе, рациональная функция не имеет горизонтальной асимптоты. Однако, записав следующее: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

условии Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения т. е. график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения бесконечно приближается к прямой Применение производной к исследованию функции с примерами решения В этом случае прямая Применение производной к исследованию функции с примерами решения является наклонной асимптотой функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения Вообще, если степень многочлена Применение производной к исследованию функции с примерами решения на 1 единицу больше степени многочлена Применение производной к исследованию функции с примерами решениято рациональная функция Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеет наклонную асимптоту.

3) Точки пересечения с осями координат: Применение производной к исследованию функции с примерами решения

4) Критические точки:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

5) Промежутки возрастания и убывания: в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция не определена, точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения являются критическими точками функции. Определим знаки производной в каждом полученном интервале.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

6) Построим график. Отметим на координатной плоскости точки Применение производной к исследованию функции с примерами решения относящиеся к графику. Проведем вертикальную асимптоту Применение производной к исследованию функции с примерами решения и наклонную асимптоту Применение производной к исследованию функции с примерами решения Используя полученные результаты, изобразим график функции.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Обратите внимание! В области, близкой к точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения график функции ведет себя как парабола Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Задачи на экстремумы. Оптимизации

В реальной жизненной ситуации возникает необходимость выбора оптимального варианта и нахождения экстремумов определенной функции. Ежедневно, при решении проблем в различных областях, мы сталкиваемся с терминами наибольшая прибыль, наименьшие затраты, наибольшее напряжение, наибольший объем, наибольшая площадь и т.д. Большое экономическое значение в промышленности, при определении дизайна упаковки, имеет вопрос, как подобрать размеры упаковки с наименьшими затратами. Такого рода задания связаны с нахождением максимального или минимального значения величины. Задачи на нахождение максимального и минимального значения величины называются задачами на оптимизацию. Для решения данных задач применяется производная.

Замечание 1: На интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения должны учитываться предельные значения функции на концах.

Замечание 2: В рассматриваемом интервале может быть одна стационарная точка: или точка максимума, или точка минимума. В этом случае, в точке максимума функция принимает наибольшее значение, а в точке минимума – наименьшее значение.

Пример 1. Максимальный объем. Фирма планирует выпуск коробки без крышки, с квадратным основанием и площадью поверхности Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдите размеры коробки, при которых она будет иметь наибольший объем?

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Решение:

Так как основанием коробки является квадрат, то ее объем можно вычислить по формуле Применение производной к исследованию функции с примерами решения Используя другие данные задачи, выразим объем только через одну переменную Применение производной к исследованию функции с примерами решенияВычислим площадь поверхности коробки. Она равна Применение производной к исследованию функции с примерами решения и состоит из 4 площадей боковых граней + площадь основания.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Тогда выразим Применение производной к исследованию функции с примерами решения подставим в формулу Применение производной к исследованию функции с примерами решения Зависимость объема коробки от переменной Применение производной к исследованию функции с примерами решения можно выразить следующим образом:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Теперь найдем область определения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения согласно условию задачи.

Понятно, что длина не может быть отрицательной, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Площадь квадрата в основании коробки должна быть меньше 192, т. е. Применение производной к исследованию функции с примерами решения

или Применение производной к исследованию функции с примерами решенияЗначит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдем максимальное значение функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения на интервале Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для этого используем производную первого порядка:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем, что Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Однако. Применение производной к исследованию функции с примерами решения Значит, в рассматриваемом интервале критической точкой является Применение производной к исследованию функции с примерами решения

При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция

Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точке Применение производной к исследованию функции с примерами решения принимает максимальное значение.

Если длина основания коробки будет 8 см, то высота будет равна

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, максимальный объем будет иметь коробка с размерами Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Построив при помощи графкалькулятора график функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения также можно увидеть, что при Применение производной к исследованию функции с примерами решения объем имеет максимальное значение. Постройте график функции при помощи производной и убедитесь в правильности решения.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Пример 2. Минимальное потребление. Два столба высотой 4 м и 12 м находятся на расстоянии 12 м друг от друга. Самые высокие точки столбов соединены с металлической проволокой, каждая из которых, в свою очередь крепится на земле в одной точке. Выберите такую точку на земле, чтобы для крепления использовалось наименьшее количество проволоки.

Решение: 1) Изобразим рисунок, соответствующий условию задачи, и обозначим соответствующие данные на рисунке.

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

2) Аналитически выразим зависимость между переменными.

По теореме Пифагора:

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

зависимость функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения от переменной Применение производной к исследованию функции с примерами решения будет

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Производная функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Найдем критические точки функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Сравнивая значения функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения в точках Применение производной к исследованию функции с примерами решения (это проверьте самостоятельно), получим, что наименьшее количество проволоки используется при Применение производной к исследованию функции с примерами решения (метр)

При решении задач на экстремумы обратите внимание на следующее!

1. Внимательно читайте условие. Сделайте соответствующий рисунок.

2. Задайте список соответствующих переменных и констант, которые менялись и оставались неизменными и какие единицы использовались. Если на рисунке есть размеры, обозначьте их.

3. Выберите соответствующий параметр Применение производной к исследованию функции с примерами решения и выразите искомую величину функцией Применение производной к исследованию функции с примерами решения Найдите экстремумы данной функции.

4. Полученные значения объясните экспериментально.

Пример: Минимальное потребление материала. Для мясных консервов планируется использовать банку в форме цилиндра объемом 250 Применение производной к исследованию функции с примерами решения

a) Каких размеров должна быть банка, чтобы для ее изготовления использовалось как можно меньше материала?

b) Для круглого основания используется материал, цена 1 Применение производной к исследованию функции с примерами решения которого равна 0,05 гяпик, а для боковой поверхности используется материал цена 1 Применение производной к исследованию функции с примерами решения которого равна 0,12 гяпик. Какие размеры должна иметь банка, чтобы затраты на ее изготовление были минимальными?

Решение: а) По условию задачи объем равен 250 Применение производной к исследованию функции с примерами решения Эти данные дают нам возможность найти зависимость между Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Для функции, выражающей площадь поверхности, область определения представляет собой незамкнутый интервал, и мы должны найти, при каком значении Применение производной к исследованию функции с примерами решения где Применение производной к исследованию функции с примерами решения функция имеет наименьшее значение. Найдем производную функции Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения Критическая точка функции: Применение производной к исследованию функции с примерами решения При Применение производной к исследованию функции с примерами решения имеем Применение производной к исследованию функции с примерами решения при Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Значит, Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Подставим значение Применение производной к исследованию функции с примерами решения в формулу для высоты Применение производной к исследованию функции с примерами решения получим Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Итак, минимальные затраты на материал будет иметь банка цилиндрической формы с размерами Применение производной к исследованию функции с примерами решения и Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

Размеры, при которых затраты на материал будут минимальными

Применение производной к исследованию функции с примерами решения

  • Приложения производной
  • Производные высших порядков
  • Дифференциал функции
  • Дифференцируемые функции
  • Касательная к графику функции и производная
  • Предел и непрерывность функции
  • Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке
  • Предел функции на бесконечности

Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум. На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох.

критические точки

Такие точки называют стационарными. Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.

Пример 1. Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5 .
Решение. Алгоритм нахождения критических точек следующий:

Итак функция имеет две критические точки.

Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+», то функция принимает локальный минимум. Если с «+» на «-» должны локальный максимум.

Второй тип критических точек это нули знаменателя дробных и иррациональных функций
критические точки

Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точках
критические точки
критические точки
Третий тип критических точек имеют кусочно-непрерывные функции и модули.
Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.

Например модуль y = | x -5 | в точке x = 5 имеет минимум (критическую точку).
Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1 и -1 соответственно.

Попробуйте определить критические точки функций

1) функция
2) функция
3) функция
4) функция
5)

Если в ответе у Вы получите значение
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Вы уже знаете как найти критические точки и сможете справиться с простой контрольной или тестами.

Экстремумы функции

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].
Решение.

Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /2, f(3)=3 8 /81
Ответ: fmin= 5 /2 при x=2; fmax=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x= π /3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=- π /3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x – первое слагаемое. Тогда (49-x) – второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x – x 2

Как найти критические точки функции по уравнению

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

  • х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

  • стационарные и критические точки;
  • точки экстремума;
  • нули функции;
  • точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти область допустимых значений функции.
  3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
  4. Проверить не является ли функция периодической.
  5. Найти нули функции.
  6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
  7. Найти асимптоты графика функции.
  8. Найти производную функции.
  9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
  10. На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x – 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x – a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x – a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

[spoiler title=”источники:”]

http://yukhym.com/ru/issledovanie-funktsii/kriticheskie-tochki-na-grafike-funktsii.html

http://skysmart.ru/articles/mathematic/postroenie-grafikov-funkcij

[/spoiler]

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна – то минимум.

О случае f??(а) = 0 можно прочитать в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной: нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы.

Функция                                 y(x) = 3x2 + 2x – 50.

Производная функции:        y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение:              y?(x) = 0

6х + 2 = 0,      6х = -2,           х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка – это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум. Чтобы его найти, подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) – 50 = 3*1/9 – 2/3 – 50 = 1/3 – 2/3 – 50 = -1/3 – 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак – «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак – «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка – в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

а) [-9; 9]

б) [-6; -3]

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = –arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = –arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = –arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = –arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88,        у = 5,398,

а наименьшее – при х = 4,88:

x = 4,88,          у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f  ?  (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна – то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0,     fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f(x,y) – f(a,b)

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный – то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Источники:

  • Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике
  • Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х томах. Том 1.

Добавить комментарий