Как найти критические точки математика - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Критические точки и экстремумы функции
Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
Достаточное условие существования экстремума
Задача пример №117
Задача пример №118
Задача пример №119
Задача пример №120
Задача пример №121

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений равных угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. . Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки – критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума производная функции равна нулю, а в точке производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке производная функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция непрерывна на промежутке и . Если является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1 ) слева от точки положительна, а справа – отрицательна, то точка является точкой максимума.

2) слева от отрицательна, а справа – положительна, то точка является точкой минимума

3) с каждой стороны от точки имеет одинаковые знаки, то точка не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке записываются как и .

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Задача пример №117

Для функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение:

Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции:

2. Критические точки функции:

3. Точки и разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки:

для интервала

Интервал Пробные точки

Знак Возрастание и убывание

При имеем . (-1;3) – максимум

При имеем (1;-1) – минимум

4. Используя полученные для функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Задача пример №118

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;2].

Решение:

Сначала найдем критические точки. Так как , то критические точки можно найти из уравнения . Критическая точка не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке и на концах отрезка.

Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом:

Задача пример №119

Найдите экстремумы функции .

Решение:

1. Производная функции:

2. Критические точки: ,

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции:

Проверим знак на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка возьмем

Для промежутка (0; 1,5) возьмем

Для промежутка возьмем

Интервал

Пробные точки

Знак Возрастание-убывание

Используя полученную для функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами и касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

• Функция на промежутке возрастает.

• Точка критическая точка функции , но не является экстремумом.

• Функция на промежутке [0; 1,5] возрастает.

• Функция на промежутке убывает.

•

Задача пример №120

Найдите экстремумы функции

Решение:

1. Производная

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение или найти точки, в которых производная не существует. В точке функция не имеет конечной производной. Однако точка принадлежит области определения. Значит, точка является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: и

Определим знак , выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для возьмем Для возьмем

Интервал Пробные точки

Знак

Возрастание-убывание

• Функция на промежутке убывает.

• Функция на промежутке возрастает.

•

Задача пример №121

По графику функции производной схематично изобразите график самой функции.

Решение:

Производная в точке равна нулю, а при отрицательна, значит, на интервале функция убывающая. При производная положительна, а это говорит о том, что функция на промежутке возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка . Соответствующий график представлен на рисунке.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Объемы подобных фигур

Нахождение промежутков возрастания и убывания функции

Построение графиков функции с помощью производной

Задачи на экстремумы. Оптимизации

Лекции:

Экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению
Доказательство неравенств
Системы уравнений
Максимальные и минимальные значения функции
Действия с корнями
Отрицательное биномиальное распределение
Длина дуги кривой
Вычислить несобственный интеграл
Градиент функции: пример решения
Интеграл натурального логарифма

Источник

Критической точкой дифференцируемой функции ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} }$ называется точка, в которой её дифференциал обращается в нуль. Это условие эквивалентно тому, что в данной точке все частные производные первого порядка обращаются в нуль, геометрически оно означает, что касательная гиперплоскость к графику функции горизонтальна.
В простейшем случае n=1 это значит, что производная в данной точке равна нулю. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции^[1].

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений $f:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R} ^{m}$ , и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий $f:N^{n}to M^{m}$ . В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения в ней меньше максимально возможного значения, равного .

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория устойчивости, а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф. Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов, определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления. Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями.

Формальное определение[править | править код]

Критической (или особой или стационарной) точкой непрерывно дифференцируемого отображения $f:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R} ^{m}$ называется такая точка $x_{0}in mathbb{R} ^{n}$ , в которой дифференциал этого отображения $f_{*}={frac {partial f}{partial x}}$ является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств ${displaystyle T_{x_{0}}mathbb {R} ^{n}}$ и ${displaystyle T_{f(x_{0})}mathbb {R} ^{m}}$ , то есть размерность образа преобразования ${displaystyle f_{*}(x_{0})}$ меньше ^[2]. В координатной записи при n=m это означает что якобиан — определитель матрицы Якоби отображения , составленной из всех частных производных ${displaystyle {frac {partial f_{j}}{partial x_{i}}}}$ — обращается в точке $x_{0}$ в нуль^[2]. Пространства $mathbb {R} ^{n}$ и $mathbb{R} ^{m}$ в этом определении могут быть заменены на многообразия $N^{n}$ и $M^{m}$ таких же размерностей.

Теорема Сарда[править | править код]

Значение отображения в критической точке называется его критическим значением. Согласно теореме Сарда^[3], множество критических значений любого достаточно гладкого отображения $f:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R} ^{m}$ имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для тождественно постоянного отображения любая точка является критической).

Отображения постоянного ранга[править | править код]

Если в окрестности точки $x_{0}in mathbb{R} ^{n}$ ранг непрерывно дифференцируемого отображения ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}$ равен одному и тому же числу , то в окрестности этой точки $x_{0}$ существуют локальные координаты $(x_{1},ldots ,x_{n})$ с центром в $x_{0}$ , а в окрестности её образа — точки ${displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ — существуют локальные координаты $(y_{1},ldots ,y_{m})$ с центром в y_0 , такие, что в них отображение задается соотношениями^[4]^[5]:

$y_{1}=x_{1}, ldots , y_{r}=x_{r}, y_{{r+1}}=0, ldots , y_{m}=0.$

В частности, если , то существуют локальные координаты $(x_{1},ldots ,x_{n})$ с центром в $x_{0}$ и локальные координаты ${displaystyle (y_{1},ldots ,y_{n})}$ с центром в y_0 , такие, что в них отображение является тождественным.

Случай m = 1[править | править код]

В случае m=1 данное определение означает, что градиент $nabla f=(f'_{{x_{1}}},ldots ,f'_{{x_{n}}})$ в данной точке обращается в нуль.

Предположим, что функция $f:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R}$ имеет класс гладкости не ниже $C^{3}$ . Критическая точка функции f называется невырожденной, если в ней гессиан ${Bigl |}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}{Bigr |}$ отличен от нуля. В окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция f имеет квадратичную нормальную форму (лемма Морса)^[6].

Естественным обобщение леммы Морса для вырожденных критических точек является теорема Тужрона: в окрестности вырожденной критической точки функции f, дифференцируемой бесконечное число раз ( ${displaystyle C^{infty }}$ ) конечной кратности существует система координат, в которой гладкая функция f(x) имеет вид многочлена $P_{{mu +1}}(x)$ степени mu +1 (в качестве $P_{{mu +1}}(x)$ можно взять многочлен Тейлора функции f(x) в точке в исходных координатах)^[7]^[8].

При m=1 имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция , определенная во всем пространстве $mathbb {R} ^{n}$ или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица ${Bigl (}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}{Bigr )}={Bigl (}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial x_{j}}}{Bigr )},$ в ней должна быть отрицательно (положительно) определённой. Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума)^[1].

Случай n = m = 2[править | править код]

В случае n=m=2 мы имеем отображение f плоскости на плоскость (или двумерного многообразия на другое двумерное многообразие). Предположим, что отображение f дифференцируемо бесконечное число раз ( ${displaystyle C^{infty }}$ ). В этом случае типичные критические точки отображения f суть те, в которых определитель матрицы Якоби равен нулю, но её ранг равен 1, и следовательно, дифференциал отображения f в таких точках имеет одномерное ядро ${displaystyle ker ,f_{*}}$ . Вторым условием типичности является то, что в окрестности рассматриваемой точки на плоскости-прообразе множество критических точек образует регулярную кривую S, и почти во всех точках кривой S ядро ${displaystyle ker ,f_{*}}$ не касается S, а точки, где это не так, изолированы и в них касание имеет первый порядок. Критические точки первого типа называются точками складки, а второго типа — точками сборки. Складки и сборки являются единственными типами особенностей отображений плоскости на плоскость, устойчивыми относительно малых возмущений: при малом возмущении точки складки и сборки лишь немного перемещаются вместе с деформацией кривой S, но не исчезают, не вырождаются и не рассыпаются на другие особенности.

Складка и сборка реализуются как особенности проецирования гладкой поверхности на плоскость.

Теорема Уитни. Если $x_{0}$ — точка складки или точка сборки, то её окрестности существуют локальные координаты $(x_{1},x_{2})$ с центром в $x_{0}$ , а в окрестности её образа y_0 — локальные координаты ${displaystyle (y_{1},y_{2})}$ с центром в y_0 , такие, что в них отображение задается соотношениями

${displaystyle y_{1}=x_{1}^{2}, y_{2}=x_{2} }$ (складка),

${displaystyle y_{1}=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}, y_{2}=x_{2} }$ (сборка).

Эта теорема была доказана Хасслером Уитни в 1955 г.^[9] и стала одним из первых результатов теории катастроф^[10]. Современный вариант доказательства этой теоремы, основанный на применении более поздних результатах теории особенностей дифференцируемых отображений, приведен, например, в ^[11].

Теорема Уитни показывает, что складка и сборка реализуются как особенности проектирования гладкой поверхности, заданной в пространстве ${displaystyle (x_{1},x_{2},y_{1})=0}$ уравнением ${displaystyle F(x_{1},x_{2},y_{1})=0}$ , на плоскость ${displaystyle (x_{2},y_{1})}$ (горизонтальная плоскость на рисунке) вдоль оси $x_{1}$ (вертикальная ось на рисунке). В нормальных координатах из теоремы Уитни, функция ${displaystyle F=x_{1}^{2}-y_{1}}$ для складки и ${displaystyle F=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}-y_{1}}$ для сборки. Множество критических точек (кривая S на поверхности F=0) изображена красной линией, а её образ на плоскости-образе изображён пурпурным цветом. В случае сборки образ кривой S имеет особенность, называемую каспом (или точкой возврата).

См. также[править | править код]

Лемма Ферма
Индекс критической точки
Кратность критической точки
Формула произведения корангов

Литература[править | править код]

Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
Н. Г. Павлова, А. О. Ремизов. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни. Матем. обр., 2016, № 3(79), 49–65.
Н. Г. Павлова, А. О. Ремизов. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни (окончание). Матем. обр., 2017, № 3(83), 13–27.

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII.
↑ ¹ ² Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 4.
↑ Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
↑ Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 6 (теорема о ранге).
↑ Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
↑ Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 6.
↑ Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
↑ Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.
↑ Whitney H. On Singularities of Mappings of Euclidean Spaces. I. Mappings of the Plane into the Plane. Annals of Mathematics, Second Series, 62:3 (1955), 374–410.
↑ Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 1.
↑ Н. Г. Павлова, А. О. Ремизов. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни (окончание). Математическое образование, 2017, № 3(83), 13–27.

Источник

Критические точки – это точки в которых производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна 0 то функция в этой точке принимает локальный минимум или максимум. На графике в таких точках функция имеет горизонтальную асимптоту, то есть касательная параллельна оси Ох.

Такие точки называют стационарными. Если видите на графике непрерывной функции «горб» или «яму» помните, что максимум или минимум достигается в критической точке. Рассмотрим для примера следующее задание.

Пример 1. Найти критические точки функции y=2x^3-3x^2+5 .
Решение. Алгоритм нахождения критических точек следующий:

Итак функция имеет две критические точки.

Далее, если нужно провести исследование функции то определяем знак производной слева и справа от критической точки. Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «-» на «+», то функция принимает локальный минимум. Если с «+» на «-» должны локальный максимум.

Второй тип критических точек это нули знаменателя дробных и иррациональных функций

Функции с логарифмами и тригонометрические, которые не определены в этих точках

Третий тип критических точек имеют кусочно-непрерывные функции и модули.
Например любая модуль-функция имеет минимум или максимум в точке излома.

Например модуль y = | x -5 | в точке x = 5 имеет минимум (критическую точку).
Производная в ней не существует, а справа и слева принимает значение 1 и -1 соответственно.

Попробуйте определить критические точки функций

1)
2)
3)
4)
5)

Если в ответе у Вы получите значение
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
то Вы уже знаете как найти критические точки и сможете справиться с простой контрольной или тестами.

Источник

Как определить критические точки

Критические точки являются одним из важнейших аспектов исследования функции с помощью производной и имеют широкую область применения. Они используются в дифференциальном и вариационном исчислениях, играют большую роль в физике и механике.

Инструкция

Понятие критической точки функции тесно связано с понятием ее производной в этой точке. А именно, точка называется критической, если производная функции в ней не существует или равна нулю. Критические точки являются внутренними точками области определения функцию.

Чтобы определить критические точки данной функции, необходимо выполнить несколько действий: найти область определения функции, вычислить ее производную, найти область определения производной функции, найти точки обращения производной в ноль, доказать принадлежность найденных точек области определения исходной функции.

Пример 1Определите критические точки функции y = (x – 3)²·(x-2).

РешениеНайдите область определения функции, в данном случае ограничений нет: x ∈ (-∞; +∞);Вычислите производную y’. По правилам дифференцирования произведения двух функций имеется: y’ = ((x – 3)²)’·(x – 2) + (x – 3)²·(x – 2)’ = 2·(x – 3)·(x – 2) + (x – 3)²·1. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: y’ = 3·x² – 16·x + 21.

Найдите область определения производной функции: x ∈ (-∞; +∞).Решите уравнение 3·x² – 16·x + 21 = 0 для того, чтобы найти, при каких x производная обращается в ноль: 3·x² – 16·x + 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4×1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 – 2)/6 = 7/3.Итак, производная обращается в ноль при значениях x, равных 3 и 7/3.

Определите, принадлежат ли найденные точки области определения исходной функции. Поскольку x (-∞; +∞), то обе эти точки являются критическими.

Пример 2Определите критические точки функции y = x² – 2/x.

РешениеОбласть определения функции: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), поскольку x стоит в знаменателе.Вычислите производную y’ = 2·x + 2/x².

Область определения производной функции та же, что у исходной: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).Решите уравнение 2·x + 2/x² = 0:2·x = -2/x² → x = -1.

Итак, производная обращается в ноль при x = -1. Выполнено необходимое, но недостаточное условие критичности. Поскольку x=-1 попадает в интервал (-∞; 0) ∪ (0; +∞), то эта точка являются критической.

Источники:

Критический объем реализации , штПорог

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна – то минимум.

О случае f??(а) = 0 можно прочитать в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной: нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы.

Функция y(x) = 3x² + 2x – 50.

Производная функции: y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение: y?(x) = 0

6х + 2 = 0, 6х = -2, х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка – это х₀=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум. Чтобы его найти, подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y₀ = 3*(-1/3)² + 2*(-1/3) – 50 = 3*1/9 – 2/3 – 50 = 1/3 – 2/3 – 50 = -1/3 – 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х₀ меняется с «плюса» на «минус», то х₀ есть точка максимума; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума; если знак не меняется, то в точке х₀ ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак – «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак – «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х₀ мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка – в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

а) [-9; 9]

б) [-6; -3]

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = –arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = –arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = –arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = –arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88, у = 5,398,

а наименьшее – при х = 4,88:

x = 4,88, у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна – то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

f_х? (x,y) = 0, f_у? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р₀(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f(x,y) – f(a,b)

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р₀. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р₀ имеем минимум, если отрицательный – то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р₀ экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Источники:

Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике
Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х томах. Том 1.

Источник

Критические точки и экстремумы функции

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Достаточное условие существования экстремума

Задача пример №117

Задача пример №118

Задача пример №119

Задача пример №120

Задача пример №121

Формальное определение[править | править код]

Теорема Сарда[править | править код]

Отображения постоянного ранга[править | править код]

Случай m = 1[править | править код]

Случай n = m = 2[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

Как определить критические точки

Вам также может понравиться

Как найти в майнкрафте далекие земли

Как на телефоне найти запись телефонного разговора

Как составить план обучения на неделю

Добавить комментарий Отменить ответ