Как найти критические точки в алгебре

Содержание:

  1. Критические точки и экстремумы функции
  2. Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)
  3. Достаточное условие существования экстремума
  4. Задача пример №117
  5. Задача пример №118
  6. Задача пример №119
  7. Задача пример №120
  8. Задача пример №121

Критические точки и экстремумы функции

В некоторых точках из области определения производная функции может быть равна нулю или вообще может не существовать. Такие точки из области определения называются критическими точками функции. Покажем критические точки на графике заданной функции.

1. Для значений Критические точки и экстремумы функции равных Критические точки и экстремумы функцииКритические точки и экстремумы функции угловой коэффициент касательной к графику равен 0. Т.e. Критические точки и экстремумы функции. Эти точки являются критическими точками функции.

2. В точках Критические точки и экстремумы функции функция не имеет производной. Эти тоже критические точки функции.

Критические точки и экстремумы функции

3. Для рассматриваемой нами функции критические точки Критические точки и экстремумы функцииКритические точки и экстремумы функции делят ее область определения на чередующиеся интервалы возрастания и убывания. Точки Критические точки и экстремумы функции– критические точки, которые не изменяют возрастание и убывание (или наоборот).

По графику видно, что в точках внутреннего экстремума Критические точки и экстремумы функции производная функции равна нулю, а в точке Критические точки и экстремумы функции производная не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю, также называются стационарными точками.

Критические точки и экстремумы функции

Теорема Ферма (Необходимое условие существовании экстремумов)

Во внутренних точках экстремума производная либо равна нулю, либо не существует.

Примечание. Точка, в которой производная равна нулю, может и не быть точкой экстремума. Например, в точке Критические точки и экстремумы функции производная функции Критические точки и экстремумы функции равна нулю, но эта точка не является ни точкой максимума, ни точкой минимума.

На отрезке непрерывности функция может иметь несколько критических точек, точек максимума и минимума. Существование экстремума в точке зависит от значения функции в данной точке и в точках, близких к данной, т.е. имеет смысл локального (местного) значения. Поэтому иногда используют термин локальный максимум и локальный минимум.

Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

Достаточное условие существования экстремума

Пусть функция Критические точки и экстремумы функции непрерывна на промежутке Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции. Если Критические точки и экстремумы функции является критической точкой, в окрестности которой функция дифференцируема, то, если в этой окрестности:

1 ) Критические точки и экстремумы функции слева от точки Критические точки и экстремумы функции положительна, а справа – отрицательна, то точка Критические точки и экстремумы функции является точкой максимума.

2) Критические точки и экстремумы функции слева от Критические точки и экстремумы функции отрицательна, а справа – положительна, то точка Критические точки и экстремумы функции является точкой минимума

3) Критические точки и экстремумы функции с каждой стороны от точки Критические точки и экстремумы функции имеет одинаковые знаки, то точка Критические точки и экстремумы функции не является точкой экстремума.

Чтобы найти наибольшее (абсолютный максимум) или наименьшее (абсолютный минимум) значение функции, имеющей конечное число критических точек на отрезке, надо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее.

Соответствующие наибольшее и наименьшее значения функции Критические точки и экстремумы функции на отрезке Критические точки и экстремумы функции записываются как Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции.

Ниже представлены примеры определения максимума и минимума в соответствии со знаком производной первого порядка.

Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №117

Для функции Критические точки и экстремумы функции определите максимумы и минимумы и схематично изобразите график.

Решение:

Для решения задания сначала надо найти критические точки. Для данной функции этими точками являются точки (стационарные), в которых производная равна нулю.

1. Производная функции: Критические точки и экстремумы функции

2. Критические точки функции: Критические точки и экстремумы функции

3. Точки Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции разбивают область определения функции на три промежутка.

Проверим знак Критические точки и экстремумы функции на интервалах, выбрав пробные точки:

Критические точки и экстремумы функции для интервала Критические точки и экстремумы функции

Критические точки и экстремумы функции для интервала Критические точки и экстремумы функции

Критические точки и экстремумы функции для интервала Критические точки и экстремумы функции

Интервал Критические точки и экстремумы функции Пробные точки Критические точки и экстремумы функции

Знак Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции Возрастание и убывание Критические точки и экстремумы функции

При Критические точки и экстремумы функции имеем Критические точки и экстремумы функции. (-1;3) – максимум

При Критические точки и экстремумы функции имеем Критические точки и экстремумы функции (1;-1) – минимум

4. Используя полученные для функции Критические точки и экстремумы функции данные и найдя координаты нескольких дополнительных точек, построим график функции.

Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №118

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции Критические точки и экстремумы функции на отрезке [-1;2].

Решение:

Сначала найдем критические точки. Так как Критические точки и экстремумы функции, то критические точки можно найти из уравнения Критические точки и экстремумы функции. Критическая точка Критические точки и экстремумы функции не принадлежит данному отрезку [-1; 2], и поэтому мы ее не рассматриваем. Вычислим значение заданной функции в точке Критические точки и экстремумы функции и на концах отрезка.

Критические точки и экстремумы функции

Из этих значений наименьшее – 4, наибольшее 12. Таким образом: Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №119

Найдите экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции.

Решение:

1. Производная функции: Критические точки и экстремумы функции

2. Критические точки: Критические точки и экстремумы функции, Критические точки и экстремумы функции

3. Интервалы, на которые критические точки делят область определения функции: Критические точки и экстремумы функции

Проверим знак Критические точки и экстремумы функции на интервалах, выбрав пробные точки.

Для промежутка Критические точки и экстремумы функции возьмем Критические точки и экстремумы функции

Для промежутка (0; 1,5) возьмем Критические точки и экстремумы функции

Для промежутка Критические точки и экстремумы функции возьмем Критические точки и экстремумы функции

Интервал Критические точки и экстремумы функции

Пробные точки Критические точки и экстремумы функции

Знак Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции Возрастание-убывание Критические точки и экстремумы функции

Используя полученную для функции Критические точки и экстремумы функции информацию и найдя значение функции еще в нескольких точках, можно построить график функции. При этом следует учитывать, что в точках с абсциссами Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции касательная к графику горизонтальна. Построение графика можно проверить при помощи графкалькулятора.

Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

• Функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке Критические точки и экстремумы функции возрастает.

• Точка Критические точки и экстремумы функции критическая точка функции Критические точки и экстремумы функции, но не является экстремумом.

• Функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке [0; 1,5] возрастает.

• Функция Критические точки и экстремумы функциина промежутке Критические точки и экстремумы функции убывает.

Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №120

Найдите экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

Решение:

1. Производная Критические точки и экстремумы функции

2. Критические точки: для этого надо решить уравнение Критические точки и экстремумы функции или найти точки, в которых производная не существует. В точке Критические точки и экстремумы функции функция не имеет конечной производной. Однако точка Критические точки и экстремумы функции принадлежит области определения. Значит, точка Критические точки и экстремумы функции является критической точкой функции.

3. Промежутки, на которые критическая точка делит область определения функции: Критические точки и экстремумы функции и Критические точки и экстремумы функции

Определим знак Критические точки и экстремумы функции, выбрав пробные точки для каждого промежутка:

Для Критические точки и экстремумы функции возьмем Критические точки и экстремумы функции Для Критические точки и экстремумы функции возьмем Критические точки и экстремумы функции

Интервал Критические точки и экстремумы функции Пробные точки Критические точки и экстремумы функции

Знак Критические точки и экстремумы функции Критические точки и экстремумы функции

Возрастание-убывание Критические точки и экстремумы функции

• Функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке Критические точки и экстремумы функции убывает.

• Функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке Критические точки и экстремумы функции возрастает.

Критические точки и экстремумы функции

Задача пример №121

По графику функции производной Критические точки и экстремумы функции схематично изобразите график самой функции.

Критические точки и экстремумы функции

Решение:

Производная Критические точки и экстремумы функции в точке Критические точки и экстремумы функции равна нулю, а при Критические точки и экстремумы функции отрицательна, значит, на интервале Критические точки и экстремумы функции функция убывающая. При Критические точки и экстремумы функции производная положительна, а это говорит о том, что функция Критические точки и экстремумы функции на промежутке Критические точки и экстремумы функции возрастает. Точкой перехода от возрастания к убыванию функции является точка Критические точки и экстремумы функции. Соответствующий график представлен на рисунке.

Критические точки и экстремумы функции

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

  • Объемы подобных фигур
  • Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
  • Построение графиков функции с помощью производной
  • Задачи на экстремумы. Оптимизации

Лекции:

  • Экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению
  • Доказательство неравенств
  • Системы уравнений
  • Максимальные и минимальные значения функции
  • Действия с корнями
  • Отрицательное биномиальное распределение
  • Длина дуги кривой
  • Вычислить несобственный интеграл
  • Градиент функции: пример решения
  • Интеграл натурального логарифма

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f’ (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

  • Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
  • Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

  1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
  2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
  3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х2 -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t2 − 48t + 15, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc

Ответ: V=12 мc

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3

найти экстремумы функции 

f(x)=x2x−1

.

Производная этой функции —

f′(x)=xx−2(x−1)2

, значит, критические точки функции — это (x=0) и (x=2). Точка (x=1) не принадлежит области определения функции.

Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала:

−∞;0∪0;1∪1;2∪2;+∞

. Знак первого интервала положительный  (например,

f′

((-1)=0.75)). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.

−∞;0

0;1

1;2

2;+∞

(+)

(-)

(-)

(+)

ekstremi.bmp

Значит, производная меняет знак только в точках (x=0) и (x=2).

В точке (x=0) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции (f(0)=0).

В точке (x=2) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции (f(2)=4).

Скачать материал

без ожидания

Критические точки и 
точки экстремума 
функции10 классАлгебра и начала анализ...

Скачать материал

без ожидания

  • Сейчас обучается 22 человека из 17 регионов

  • Сейчас обучается 146 человек из 49 регионов

  • Сейчас обучается 48 человек из 26 регионов

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • Критические точки и 
точки экстремума 
функции10 классАлгебра и начала анализ...

    1 слайд

    Критические точки и
    точки экстремума
    функции
    10 класс
    Алгебра и начала анализа
    Специализированная гимназия № 8 с обучением на трех языках имени М.Х. Дулати
    Шымкент-2020
    учитель математики
    Харченко Татьяна Викторовна

  • - знать определения критических точек и точек экстремума функции, условие сущ...

    2 слайд

    – знать определения критических точек и точек экстремума функции, условие существования экстремума функции.
    Цель урока:
    10.4.1.28
    Критерии оценивания
    – Использует определение находит критические (стационарные) точки, используя определение;
    – применяет необходимое и достаточное условие для определение точек экстремума функции.
    Учащийся:

  • Рассмотрим график функции в окрестностях выделенных точек

    3 слайд

    Рассмотрим график функции в окрестностях выделенных точек

  • Рассмотрим график функции в окрестностях точек

    5 слайд

    Рассмотрим график функции в окрестностях точек

  • Рассмотрим график функции в окрестностях точек

    6 слайд

    Рассмотрим график функции в окрестностях точек

  • Точки экстремумаэкстремумы

    7 слайд

    Точки экстремума
    экстремумы

  • Критические точкиВнутренние точки области определения функции, в которых  про...

    8 слайд

    Критические точки
    Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
    стационарные точки –
    внутренние точки области
    определения, в которых f `(х0)=0.
    критические точки- внутренние точки области
    определения, в которых производная не существует.

  • xyO11479121519Найти по графику функции точки, с определениями которых вы толь...

    9 слайд

    x
    y
    O
    1
    1
    4
    7
    9
    12
    15
    19
    Найти по графику функции точки, с определениями которых вы только, что познакомились.
    Х=4 ..
    Х=7…
    Х=10….
    Х=12…
    Х=17…

  • Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует...

    10 слайд

    Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она либо равна нулю, либо не существует:
    f `(x) = 0 или f `(x) .
    Теорема Ферма
    Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум
    А верна ли обратная теорема?
    Необходимое условие экстремума.

  • Достаточные условия существования экстремума в точкеПризнак минимума функции....

    11 слайд

    Достаточные условия существования экстремума в точке
    Признак минимума функции.
    Если функция у=f((х) непрерывна в точке х0, f `(x) < 0 на интервале (а; х0) и f `(x) > 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой минимума функции f

    Признак максимума функции.
    Если функция у= f(х) непрерывна в точке х0, а f `(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f.

  • Вопросы для закрепленияКакие точки называются критическими?
Какую точку назыв...

    14 слайд

    Вопросы для закрепления
    Какие точки называются критическими?
    Какую точку называют точкой минимума (максимума)?
    Что необходимо для того того, чтобы точка была точкой экстремума?
    Какие условия описывают данные рисунки?

  • Выводы:

  • Необходимое  и достаточное условие экстремума. Для того , чтобы точка х0 была...

    16 слайд

    Необходимое и достаточное условие экстремума.
    Для того , чтобы точка х0 была точкой экстремума функции f(х):
    необходимо , чтобы х0 была критической точкой функции;
    достаточно, чтобы при переходе через критическую точку х0 производная меняла свой знак на противоположный.

  • Задания для самостоятельного решения	1А. (5б) Найдите критические точки функц...

    19 слайд

    Задания для самостоятельного решения
    1А. (5б) Найдите критические точки функции. Выясните, какие из этих точек являются:
    а) точками минимума; б) точками максимума.

  • Задания для самостоятельного решения2Б. (6б) Найдите экстремумы функции:

    20 слайд

    Задания для самостоятельного решения
    2Б. (6б) Найдите экстремумы функции:

  • Задания для самостоятельного решения3С.(7б)Найдите промежутки возрастания и у...

    21 слайд

    Задания для самостоятельного решения
    3С.(7б)Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции:

  • https://videouroki.net/video/45-primienieniie-proizvodnoi-dlia-otyskaniia-toc...

    22 слайд

    https://videouroki.net/video/45-primienieniie-proizvodnoi-dlia-otyskaniia-tochiek ekstriemuma.html
    https://infourok.ru/videouroki/1215
    Дополнительные цифровые ресурсы

  • https://bilimland.kz/ru/subject/algebra/10-klass/kriticheskie-tochki-dostatoc...

    23 слайд

    https://bilimland.kz/ru/subject/algebra/10-klass/kriticheskie-tochki-dostatochnoe-uslovie-sushestvovaniya-ehkstremuma?mid=%info%
    https://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/proizvodnaia-9147/primenenie-proizvodnoi-dlia-issledovaniia-funktcii-na-monotonnost-i-ekstr_-11226
    bilimland.kz
    www.yaklass.ru
    Ссылки на дополнительные ресурсы для самообразования

  • Рефлексия содержания учебного материала Продолжи фразу:Теперь я могу…Было тру...

    24 слайд

    Рефлексия содержания учебного материала
    Продолжи фразу:
    Теперь я могу…
    Было трудно…
    Сегодня я узнал…

  • Дорогие дети!Вы получили самое основное содержание по новой теме, другие мат...

    25 слайд

    Дорогие дети!
    Вы получили самое основное содержание по новой теме, другие материалы вы получите от своего учителя!
    Если у вас есть вопросы, вы их можете задать учителю!
    Удачи в освоении нового материала, наши юные друзья!

Краткое описание документа:

Презентация содержит понятийный аппарат по теме ” Критические точки. Точки экстремума функции”, алгоритм нахождения точек экстремума с образцами решения для рациональной функции, дробно-рациональной и иррациональной, а также задания для самостоятельной работы, которые можно оценить по предложенным дескрипторам

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 257 486 материалов в базе

  • Выберите категорию:

  • Выберите учебник и тему

  • Выберите класс:

  • Тип материала:

    • Все материалы

    • Статьи

    • Научные работы

    • Видеоуроки

    • Презентации

    • Конспекты

    • Тесты

    • Рабочие программы

    • Другие методич. материалы

Найти материалы

Материал подходит для УМК

  • «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

    «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

    Тема

    § 50. Экстремумы функции

    Больше материалов по этой теме

Другие материалы

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Презентация по алгебре Экстремумы функции

  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: § 50. Экстремумы функции
  • 20.10.2019
  • 2308
  • 243

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Презентация на тему: “экстремумы функций”

  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: § 50. Экстремумы функции
  • 08.08.2019
  • 448
  • 27

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Лекция по теме “Применение производной”

  • Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
  • Тема: § 50. Экстремумы функции
  • 15.02.2019
  • 469
  • 8

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

  • Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

  • Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Методика написания учебной и научно-исследовательской работы в школе (доклад, реферат, эссе, статья) в процессе реализации метапредметных задач ФГОС ОО»

  • Курс повышения квалификации «Организация научно-исследовательской работы студентов в соответствии с требованиями ФГОС»

  • Курс повышения квалификации «Экономика предприятия: оценка эффективности деятельности»

  • Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

  • Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»

  • Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

  • Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности помощника-референта руководителя со знанием иностранных языков»

  • Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»

  • Курс профессиональной переподготовки «Метрология, стандартизация и сертификация»

  • Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности по водоотведению и очистке сточных вод»

  • Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление процессом по предоставлению услуг по кредитному брокериджу»

Что такое экстремум функции и каково необходимое условие экстремума?

Экстремумом функции называется максимум и минимум функции.

Необходимое условие максимума и минимума (экстремума) функции следующее: если функция f(x) имеет экстремум в точке х = а, то в этой точке производная либо равна нулю, либо бесконечна, либо не существует.

Это условие необходимое, но не достаточное. Производная в точке х = а может обращаться в нуль, в бесконечность или не существовать без того, чтобы функция имела экстремум в этой точке.

Каково достаточное условие экстремума функции (максимума или минимума)?

Первое условие:

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) положительна слева от а и отрицательна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет максимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Если в достаточной близости от точки х = а производная f?(x) отрицательна слева от а и положительна справа от а, то в самой точке х = а функция f(x) имеет минимум при условии, что функция f(x) здесь непрерывна.

Вместо этого можно воспользоваться вторым достаточным условием экстремума функции:

Пусть в точке х = а первая производная f?(x) обращается в нуль; если при этом вторая производная f??(а) отрицательна, то функция f(x) имеет в точке x = a максимум, если положительна – то минимум.

О случае f??(а) = 0 можно прочитать в Справочнике по высшей математике М.Я. Выгодского.

Что такое критическая точка функции и как её найти?

Это значение аргумента функции, при котором функция имеет экстремум (т.е. максимум или минимум). Чтобы его найти, нужно найти производную функции f?(x) и, приравняв её к нулю, решить уравнение f?(x) = 0. Корни этого уравнения, а также те точки, в которых не существует производная данной функции, являются критическими точками, т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум. Их можно легко определить, взглянув на график производной: нас интересуют те значения аргумента, при которых график функции пересекает ось абсцисс (ось Ох) и те, при которых график терпит разрывы.

Для примера найдём экстремум параболы.

Функция                                 y(x) = 3x2 + 2x – 50.

Производная функции:        y?(x) = 6x + 2

Решаем уравнение:              y?(x) = 0

6х + 2 = 0,      6х = -2,           х=-2/6 = -1/3

В данном случае критическая точка – это х0=-1/3. Именно при этом значении аргумента функция имеет экстремум. Чтобы его найти, подставляем в выражение для функции вместо «х» найдённое число:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) – 50 = 3*1/9 – 2/3 – 50 = 1/3 – 2/3 – 50 = -1/3 – 50 = -50,333.

Как определить максимум и минимум функции, т.е. её наибольшее и наименьшее значения?

Если знак производной при переходе через критическую точку х0 меняется с «плюса» на «минус», то х0 есть точка максимума; если же знак производной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума; если знак не меняется, то в точке х0 ни максимума, ни минимума нет.

Для рассмотренного примера:

Берём произвольное значение аргумента слева от критической точки: х = -1

При х = -1 значение производной будет у?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знак – «минус»).

Теперь берём произвольное значение аргумента справа от критической точки: х = 1

При х = 1 значение производной будет у(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знак – «плюс»).

Как видим, производная при переходе через критическую точку поменяла знак с минуса на плюс. Значит, при критическом значении х0 мы имеем точку минимума.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале (на отрезке) находят по такой же процедуре, только с учетом того, что, возможно, не все критические точки будут лежать внутри указанного интервала. Те критические точки, которые находятся за пределом интервала, нужно исключить из рассмотрения. Если внутри интервала находится только одна критическая точка – в ней будет либо максимум, либо минимум. В этом случае для определения наибольшего и наименьшего значений функции учитываем также значения функции на концах интервала.

Например, найдём наибольшее и наименьшее значения функции

y(x) = 3sin(x) — 0,5х

на интервалах:

а) [-9; 9]

б) [-6; -3]

Итак, производная функции —

y?(x) = 3cos(x) — 0,5

Решаем уравнение 3cos(x) — 0,5 = 0

3cos(x) = 0,5

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

х = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Находим критические точки на интервале [-9; 9]:

х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)

х = –arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687

х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88

х = –arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

х = –arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

х = –arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)

Находим значения функции при критических значениях аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885

Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:

x = -4,88,        у = 5,398,

а наименьшее – при х = 4,88:

x = 4,88,          у = -5,398.

На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.

Находим значение функции на концах интервала:

y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077

На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции

у = 5,398 при x = -4,88

наименьшее значение —

у = 1,077 при x = -3

Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?

Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.

Корни уравнения f  ?  (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна – то книзу.

Как найти экстремумы функции двух переменных?

Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:

1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений

fх? (x,y) = 0,     fу? (x,y) = 0

2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f(x,y) – f(a,b)

для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный – то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.

Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.

Источники:

  • Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике
  • Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В 3-х томах. Том 1.

Добавить комментарий