Как найти криволинейный интеграл первого рода – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Определенные интегралы в случаях когда интегрирование проводится не вдоль отрезка, а некоторой кривой (на плоскости или в пространстве) называются криволинейными. Различают криволинейные интегралы І и ІІ рода.

Формулы криволинейного интегралу первого рода

Пусть в пространстве (на плоскости) задано параметрическое уравнение гладкой кривой f (x, y, z)
x=x(t), y=y(t), z=z(t).
tє[a, b].
Каждая из функций непрерывна на промежутке интегрирования.
Функция f(x, y, z)=0 описывает кривую в пространстве.
В таком случае криволинейный интеграл первого рода равен интегралу за параметром от функции умноженной на корень квадратный из суммы квадратов производных координат за параметром
криволинейный интеграл, пространственная кривая
Для случая кривой на плоскости формула неопределенного интегралу I роду упрощается
криволинейный интеграл, плоская кривая
Когда кривая интегрирования задана явно y=y(x), формула перехода к определенному интегралу имеет вид
криволинейный интеграл 1 рода
Пусть функция задана полярными координатами rho=rho(phi), phi₁<phi<phi₂. Тогда криволинейный интеграл первого рода вдоль кривой вычисляется по формуле
криволинейный интеграл, полярная кривая
На этом все формулы, что Вам нужны для вычисления интегралов, однако без готовых ответов трудно представить их приложение, поєтому перейдем к практической части.

Примеры подобрано из учебной программы для студентов ЛНУ им. И. Франко. Они охватывают широкий класс заданий, которые непременно встретите на контрольной работе и экзаменах. Поэтому внимательно разберите ответы к примерам и выучите приведенные наверху формулы вічисления криволинейных интегралов.

Пример 1.7 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L – отрезок прямой z=x/2-2, что соединяет точки A(0;- 2) и B(4;0) в плоскости xOz.
Решение: Построим графически прямую и нанесем на нее точки ограничивающие дугу
прямая интегрирования
За видом видим, что необходимо вычислить криволинейный интеграл I рода.
z=x/2-2, z’=1/2.
Подынтегральная функция примет значение
1/(x-z)=1/(x -(x/2-2))=1/(0,5x+2).
Найдем дифференциал дуги заданной кривой по формуле

Подставляем и находим криволинейный интеграл
криволинейный интеграл И роду
Неопределенный интеграл сводится к логарифму, который не имеет особенностей (гладкая функция) на промежутке интегрирования.

Пример 1.10 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L – дуга кривой x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Параметрическая кривая x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi] описывает часть винтовой линии.
Ее график на цилиндрической поверхности имеет вид.

Часть винтовой линии, которая отвечает промежутку [0;2pi] изображена красным цветом.
Подынтегральная функция равна x²+y²+z².
Нужно вычислить криволинейный интеграл I рода.
Находим производные координат по параметру
x’_t=a*sin(t), y’_t=a*sin(t), z’_t=b.
Дальше вычисляем дифференциал дуги параметрически заданной кривой согласно формуле:
дифференциал дуги кривой, формула

Формулы дифференциалу дуги в декартовой, полярной и пространственной системах координат приведены в теоретическом материале и поэтому здесь на них задерживаться не будем.
Интегрированием вычисляем криволинейный интеграл
криволинейный интеграл, формула
Интеграл не сложен в плане расчетов.

Пример 1.12 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L, где L – дуга кривой x=cos(t), y=sin(t), z=t [0;2pi].
Решение: Имеем идентичное уравнение x=cos(t), y=sin(t), z=t – винтовой линии.
кривая интегрирования

Для вычисления криволинейного интеграла I рода находим производные координат
x’_t=-sin(t), y’_t=cos(t), z’_t=1.
Подставляем их в дифференциал дуги винтовой линии:

Превращаем подінтегральную функцию и находим криволинейный интеграл
нахождения криволинейного интегралу

Пример 1.14 Вычислить криволинейный интеграл int(x+y, dS)
вдоль дуги L – дуга кривой x=t, , z=t^₃, [0;1].
Решение: Прежде чем вычислить криволинейный интеграл I рода находим производные за параметром.

Подставляем их в формулу дифференциала дуги:

Определенный интеграл вычисляем в указанных пределах
интеграл по дуге
Под интегралом раскрыли скобки и применили простые формулы интегрирования.

Пример 1.18 Вычислить криволинейный интеграл int (1/x²+y²+z²,ds)
вдоль дуги кривой L:
x=a*cos(t), y=a*sin(t), z=b*t, t[0;2pi].
Решение: Интегрировать опять придется вдоль винтовой линии.

Производные за параметром имеют вид
x’_t=-a*sin(t), y’_t=a*sin(t), z’_t=b.
Вычисляем дифференциал дуги кривой:

Дальше превращаем криволинейный интеграл к определенному и находим его значение
интегрирования по дуге
При интегрировании будем иметь арктангенс.
В результате вычислений получили компактную формулу через параметры формы цилиндра.

Пример 1.20 Вычислить криволинейный интеграл int(x^4/3+y^4/3,ds) вдоль дуги L:
дуга астроиды x^2/3+y^2/3=a^2/3.
Решение: Запишем параметрическое уравнение астроиды:
x=a*cos³(t), y=a*sin³(t), где t[0;2pi].
График астроиды в декартовой системе координат имеет вид
астроида
Для вычисления криволинейного интеграла I рода вычисляем производные за параметром
x’_t=-3a*cos²(t)*sin(t), y’_t=3a*cos(t)*sin²(t).
и подставляем в дифференциал дуги астроиды: дифференциал астроиды

Криволинейный интеграл 1 рода находим методом замены переменной
вычисления криволинейного интегралу
Это позволяет перейти к простому понятному виду подынтегральной функции.

Пример 1.21 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги лемнискаты (x²+y²)²=a²(x²-y²).
Решение: Для лемнискаты раньше рассматривали интегралы на нахождение площади.
интегрирования лемнискаты

Запишем уравнение лемнискаты в полярной системе координат, используя превращение координат:

Тогда из уравнения дуги
уравнения дуги в полярной СК
выражаем радиус-вектор и вычисляем производную за углом

Найдем дифференциал дуги по формуле:

Запишем подынтегральную функцию:

Вычисляем криволинейный интеграл первого роду как 4 интеграла по 1 четверти
криволинейный интеграл по дуге
Синус в первой четверти положителен, поэтому модуль опускаем.

Пример 1.25 Вычислить криволинейный интеграл вдоль дуги L:
, где L – четверть круга x²+y²+z²=R², y=x что лежит в первом октанте.
Решение: Имеем сферу x²+y²+z²=R² и плоскость y=x, которая ее пересекает.
График дуги в пространстве имеет вид как на рисунку
кривая интегрирования
В сечении получим круг, который проектируется на плоскость y=x уравнением X²+z²=R², где
Такие манипуляции необходимы, чтобы параметризовать круг
Параметрическое уравнение круга:
x=R*cos(t), z=R*sin(t) и t[0;Pi/2] (I октант).
Тогда переменные выражаются зависимостью

Вычисляем производные

затем находим дифференциал дуги:

Подставляем все в интеграл и выполняем вычисление
криволинейный интеграл по дуге
Как Вы могли убедиться, ничего сложного в нахождении криволинейных интегралов первого рода нет. В теории известны формулы как переходить от криволинейных к определенным интегралам, ими и воспользовались. Сами же интегралы не сложны, да и кривые на практике подбираются таким образом, чтобы Вы с ними долго не возились на практических занятиях.
Все сводится к умению интегрировать, что в свою очередь требует знания таблицы основных интегралов.

Источник

Определение: Пусть в каждой точки гладкой кривой L = AB в плоскости Oxy задана непрерывная функция двух переменных f(x,y). Произвольно разобьем кривую L на n частей точками A = М₀, М₁, М₂, … М_n = B. Затем на каждой из полученных частей $bar{{M}_{i}}left( bar{{x}_{i}},bar{{y}_{i}}right)$ выберем любую точку $bar{{M}_{i}}left( bar{{x}_{i}},bar{{y}_{i}}right)$ и составим сумму

$[{S}_{n}=sum_{i=1}^{n}fleft(bar{{x}_{i}},bar{{y}_{i}}right)Delta {l}_{i}]$

где $bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}$ — дуга дуги $bar{{M}_{i-1}{M}_{i}}$ . Полученная сумма называется интегральной суммой первого рода для функции f(x,y), заданой на кривой L.

Обозначим через d наибольшую из длин дуг $max_{i}Delta{l}_{i}$ (таким образом, d = $max_{i}Delta{l}_{i}$ ). Если при d ? 0 существует предел интегральных сумм S_n (не зависящих от способа разбиения кривой L на части и выбора точек $bar{{M}_{i}}$ ), то этот предел называется криволинейным интегралом первого порядка от функции f(x,y) по кривой L и обозначается

$[int_{L}f(x,y)dl]$

Можно доказать, что если функция f(x,y)непрерывна, то криволинейный интеграл $int_{L}f(x,y)dl$ существует.

Криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами, аналогичными соответствующим свойства определеннного интеграла:

аддитивность,
линейность,
оценка модуля,
теорема о среднем.

Однако есть отличие:

$[int_{AB}f(x,y)dl=int_{BA}f(x,y)dl]$

т.е. криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. А именно:

Если кривая L задана непрерывно дифференцируемой функцией y=y(x), x [a,b], то
$[{intlimits_L {fleft( {x,y} right)dl} } = {intlimits_a^b {fleft( {x,yleft( x right)} right)sqrt {1 + {{left( {y'left( x right)} right)}^2}} dx} ;}]$

при этом выражение $dl=sqrt{{1 + {{left( {y'left( x right)} right)}^2}}} dx$ называется дифференциалом длины дуги.
Если крива L задана параметрически, т.е. в виде x=x(t), y=y(t), где x(t), y(t) — непрерывно дифференцируемые функции на некотором отрезке , то
$[{intlimits_L {fleft( {x,y} right)dl} } = {intlimits_alpha ^beta {fleft ( {xleft( t right),yleft( t right)} right )sqrt {{{left( {x'left( t right)} right)}^2} + {{left( {y'left( t right)} right)}^2}} dt}}]$

Это равенство распространяется на случай пространственной кривой L, заданной параметрически: x=x(t), y=y(t), z=z(t), . В этом случае, если f(x,y,z) — непрерывная функция вдоль кривой L, то

$[{intlimits_L {fleft( {x,y,z} right)dl} } = {intlimits_alpha ^beta {fleft [ {xleft( t right),yleft( t right),zleft( t right)} right ]sqrt {{{left( {x'left( t right)} right)}^2} + {{left( {y'left( t right)} right)}^2} + {{left( {z'left( t right)} right)}^2}} dt}}]$
Если плоская кривая L задана полярным уравнением r=r( ), , то
$[{intlimits_L {fleft( {x,y} right)dl} } = {intlimits_alpha ^beta {fleft( {rcos varphi ,rsin varphi } right)sqrt {{r^2} + {{{r}'}^2}} dvarphi}}]$

Криволинейные интегралы 1 рода — примеры

Пример 1

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

$[int_{L}frac{x}{y}dl]$

где L дуга параболы y²=2x, заключенная между точками (2,2) и (8,4).

Решение: Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем:

${y}'=frac{1}{sqrt{2x}}$

$[dl=sqrt{1+left ( {y}' right )^{2}} dx= sqrt{1+left ( frac{1}{sqrt{2x}} right )^{2}} dx = sqrt{1+ frac{1}{2x}} dx]$

Следовательно данный интеграл равен:

$[int_{L}frac{x}{y}dl=int_{2}^{8}frac{x}{sqrt{2x}}sqrt{1+frac{1}{2x}}dx= int_{2}^{8}frac{xsqrt{1+2x}}{2x}dx=]$

$[frac{1}{2}int_{2}^{8}sqrt{1+2x}dx = frac{1}{2}.frac{1}{3}left ( 1+2x right )^{frac{3}{2}}|_{2}^{8}= frac{1}{6}(17sqrt{17}-5sqrt{5})]$

Пример 2

Вычислить криволинейный интеграл первого рода $int_{L}sqrt{x^2+y^2}dl$ , где L — окружность x²+y²=ax (a>0).

Решение: Введем полярные координаты: , . Тогда поскольку x²+y²=r², уравнение окружности имеет вид: , то есть , а дифференциал дуги

$[dl = sqrt{r^2+{2}'^2}dvarphi =]$

$[=sqrt{a^2cos^2varphi=a^2sin^2varphi }dvarphi=advarphi]$

При этом $varphiin left [- frac{pi }{2} ,frac{pi }{2} right ]$ . Следовательно,

$[int_{L}sqrt{x^2+y^2}dl=aint_{-frac{pi }{2}}^{frac{pi }{2}}acosvarphi dvarphi =2a^2]$

Источник

Содержание:

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть К — некоторая гладкая (или кусочно-гладкая) плоская кривая

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

где t — параметр, а

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

— ее дифференциал дуги. Здесь если Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , то dt > 0 и ; если же , то dt < 0 и . Если — функция, непрерывная на кривой К, то под ее криволинейным интегралом первого рода, взятым по кривой понимается интеграл

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Если кривая Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения задана уравнением

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

то, рассматривая х как параметр, получим

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Допустим, что кривая К — материальная, т. е. имеет массу. Пусть Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения — некоторая дуга кривой К, содержащая точку М, а — масса этой дуги. Тогда отношение носит название средней плотности дуги Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , а

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

т. е предел средней плотности дуги при условии, что дуга Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения стягивается в точку М, называется линейной плотностью дуги в точке М.

Если Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения рассматривать как линейную плотность дуги в текущей ее точке М (х, у), то

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

есть масса бесконечно малой дуги ds (элементарная масса) и интеграл

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

представляет собой массу линии (физический смысл криволинейного интеграла первого рода).

Криволинейный интеграл первого рода обладает следующими очевидными свойствами.

1) При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл первого рода не изменяет своего значения (рис. 238), т. е.

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

где К+ — кривая К, пробегаемая в заданном направлении (например, при возрастании параметра t), а К-— кривая К, пробегаемая в противоположном направлении (соответственно при убывании t).

2) Если кривая интегрирования К с помощью некоторой точки разбита на части: Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения (рис. 238), то

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти массу полуокружности Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения (рис. 239), если линейная плотность ее в текущей точке М (х, у) пропорциональна ординате у.

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Беря в качестве параметра t полярный угол (рис. 239), получаем параметрические уравнения полуокружности

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Элементарная масса

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

где k — коэффициент пропорциональности. Так как

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

то из (4) имеем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда масса линии Г будет равна

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично определяется криволинейный интеграл первого рода от функции f(x, у, z), взятый по кусочно-гладкой пространственной кривой К:

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

где

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

— дифференциал дуги пространственной кривой -К.

Криволинейный интеграл второго рода

Пусть

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

— гладкая (или кусочно-гладкая) кривая К с выбранным направлением (такую линию, для краткости, будем называть путем) и Х(х, у), Y (х, у) — пара функций, непрерывных на кривой К. Учитывая, что дифференциалы текущих координат х и у кривой К имеют вид

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

под криволинейным интегралом второго рода от пары функций X и Y, взятым по кривой К, понимается интеграл

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

(по традиции для выражения, стоящего слева, скобки не пишутся и предполагается, что интеграл Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения относится ко всей сумме).

Если путь К задается уравнением Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , то формула (2) принимает вид

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, если K, задается уравнением Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , то

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Криволинейный интеграл второго рода обладает следующими свойствами.

1) При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет свой знак на обратный, т. е

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, изменение направления пути интегрирования равносильно перестановке пределов интегрирования Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения в определенном интеграле (2); а это влечет изменение знака определенного интеграла.

2) Если путь интегрирования К состоит из двух частей К = Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , то

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найти значения интеграла Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения вдоль указанных путей: 1) OA — прямая; 2) — парабола с вершиной О и осью Оу; 3) ОВА — ломаная, 4) ОСА — ломаная (рис. 240).

Решение:

1) Уравнение прямой OA есть у = 2х Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения . Отсюда dy = 2 dx и, следовательно,

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

2) Уравнение параболы Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения имеет вид у = kx². Так как парабола проходит через точку , то 2 = k – 1² и, значит, k = 2, т. е. у = 2х². Отсюда dу = 4х dx и

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

3) На основании свойства 2 имеем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Так как уравнение ОВ есть у = 0 Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , то = 0. Далее, уравнение ВА записывается так: х = 1 ; поэтому х'(у) = 0. Из формулы (7) получаем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

4) Аналогично,

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Заметим, что здесь интеграл I при фиксированных концах пути интегрирования К зависит от вида этого пути.

Пример:

Найти

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

вдоль линий К, указанных в примере 1.

Воспользовавшись приведенными выше уравнениями линии К, последовательно имеем:

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, здесь интеграл I имеет одно и то же значение для различных путей, соединяющих точки О и А. Принципиальное различие примеров 1 и 2 будет разъяснено. Если

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

есть кусочно-гладкая пространственная кривая Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения — тройка функций, непрерывных на кривой К, то под соответствующим криволинейным интегралом второго рода понимается интеграл

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода

Пусть Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения — непрерывно меняющаяся переменная сила и

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

— путь К, пробегаемый точкой ее приложения (рис. 241); обозначим через Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения бесконечно малый вектор перемещения из текущей точки М (х, у) кривой К в бесконечно близкую точку Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения (мы здесь пренебрегаем бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с ds). Имеем ds = {dx, dy}. Так как на бесконечно малом пути ds непрерывную силу F можно считать постоянной, то элементарная работа силы равна

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Интегрируя выражение (1) вдоль кривой К, получим работу силы

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Выражение (2), очевидно, есть соответствующий криволинейный интеграл второго рода.

Итак, криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу переменной силы вдоль пути интегрирования, проекциями которой на координатные оси являются соответствующие коэффициенты при дифференциалах переменных.

Пример:

Найти работу А переменной силы Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , точка приложения которой описывает параболу ОВ (рис. 242)

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Согласно формуле (2) имеем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Из уравнения (3) получаем dy = 2х dx, поэтому

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично, работа пространственной силы

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

вдоль пути К: Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения выражается криволинейным интегралом второго рода

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Заказать решение задач по высшей математике

Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Пусть Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения — непрерывные функции в области G (рис. 243). Рассмотрим две произвольные точки области и всевозможные пути Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения соединяющие эти точки (М₁ — начало пути, М₂ — конец пути) и не выходящие за пределы области G. Может случиться, что

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

В таком случае говорят, что криволинейный интеграл второго рода

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

не зависит от вида пути интегрирования в данной области G.

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Если выполняются условия (1), то для интеграла (2) нет необходимости указывать путь интегрирования, а достаточно отметить лишь его начальную точку Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения и его конечную точку М₂ пути. Поэтому здесь употребляется обозначение

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Справедлива следующая теорема:

Теорема: Если в области G подынтегральное выражение X dx + Y dy является полным дифференциалом некоторой функции U = U (х, у), т. е.

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

то криволинейный интеграл (2) не зависит от пути интегрирования в области G.

Доказательство: Пусть

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

— произвольный путь К в области G, соединяющий точки Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , причем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Из формулы (4) имеем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда получаем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Далее, используя соотношения (6), будем иметь

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, значение интеграла I одно и то же при любом выборе функций Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , и, следовательно, интеграл I не зависит от вида пути, соединяющего точки

Следствие 1. Если выполнено соотношение (4), то в силу (9) имеем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

(обобщенная формула Ньютона — Лейбница).

Следствие 2. Если подынтегральное выражение X dx + Y dy есть полный дифференциал и путь интегрирования К замкнутый, то

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

(кружок при интеграле обозначает интегрирование вдоль замкнутого пути).

Пример:

Найти

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как у dx + х dy = d (ху), то, независимо от вида пути, соединяющего точки Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , имеем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Работа потенциальной силы

Теорема предыдущего параграфа имеет физическое содержание. Пусть в области G определено силовое поле

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Примером силового поля может служить поле силы тяжести у поверхности Земли, где на любую материальную точку массы т действует сила mg (g — ускорение свободного падения). Более общим примером силового поля является гравитационное поле, создаваемое массой М. Здесь на материальную точку массы Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения находящуюся на расстоянии г от притягивающего центра, согласно закону Ньютона действует сила Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения (k — гравитационная постоянная), направленная к притягивающему центру. Другим примером силового поля служит электрическое поле Кулона.

Если существует функция Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения такая, что

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

то говорят, что поле потенциальное (иначе, F — потенциальная сила), а функцию U называют потенциалом поля. В этом случае, очевидно,

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда для работы А потенциальной силы F вдоль пути, соединяющего точки Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , имеем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

т. е. работа потенциальной силы не зависит от вида пути и равна разности потенциалов силы для конечной и начальной точек пути.

В частности, если путь замкнут, то работа А = 0.

Пример:

Найти работу А силы тяжести при перемещении в вертикальной плоскости Оху (вблизи поверхности Земли) точки массы т из положения Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения в положение (рис. 244).

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Если ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна, то проекции силы тяжести, действующей на материальную точку массы т, равны X = 0, У = -mg. Имеем

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому за потенциал поля силы тяжести можно принять

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Отсюда работа силы тяжести, независимо от пути Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения , равна

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Замечание. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла, взятого по пространственной кривой. В частности, если

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

то

Криволинейные интегралы - определение и вычисление с примерами решения

Двойные и тройные интегралы
Делимость чисел в математике
Обыкновенные дроби
Отношения и пропорции
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Общее уравнение плоскости
Угол между плоскостями
Понятие о производной вектор-функции

Источник

Краткая теория

Пусть
функция

непрерывна в каждой точке

гладкой кривой

. Разобьем кривую

произвольным образом на

частей длиной

. Обозначим

. В каждой части возьмем
произвольную точку

, тогда предел
последовательности интегральных сумм

при

называется криволинейным интегралом I рода:

Основные свойства криволинейных интегралов I рода

1.
Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования:

2. Если
кривая

разбита на части

, то

3. Если

– непрерывные функции на

– постоянные числа, то

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода зависит от того, каким
образом задана кривая интегрирования.

1. Если
пространственная кривая

задана параметрическими уравнениями

то

2. В
частности для плоской кривой

Получаем:

3. Если
плоская кривая

определена уравнением

, то

4. Если
кривая

задана полярным уравнением

, то

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить
криволинейный интеграл 1-го рода

По замкнутому
контуру

, образованному сторонами
треугольника

с вершинами

Решение

Искомый криволинейный интеграл будет
равен:

Для отрезка

Для отрезка ВС:

Найдем уравнение прямой BC:

Для отрезка СА:

Найдем уравнение прямой СА:

Искомый интеграл:

Ответ:

Задача 2

Вычислить
криволинейный интеграл по указанной кривой.

– дуга кривой

от

до

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Криволинейный
интеграл 1-го рода можно вычислить по формуле:

Производная:

Получаем:

Ответ:

Задача 3

В задаче
вычислить криволинейные интегралы по кривой

Решение

Криволинейный
интеграл 1-го рода можно вычислить по формуле:

Ответ:

Источник

3.1.1. Как вычислить криволинейный интеграл первого рода?

Пусть точки являются концами

линии , а сама она задана

функцией одной переменной (в плоскости ). Тогда криволинейный

интеграл первого рода можно свести к определённому интегралу по следующей

формуле:

Формулу можно расписать подробно, без модуля при «дэ икс»:
, если (стандартный случай) или
, если .
В частности, при получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой . …Вот так-то оно бывает – оказывается, криволинейные интегралы мы уже

решали! И теперь вам совсем не нужно решимости:)

Пример 53

Вычислить интеграл от точки до точки , если кривая задана уравнением

Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка , то речь идёт о её верхней ветке: . И вы можете даже не знать, как выглядит

эта кривая. Здесь важно, что интегрирование проводится от точки до точки , а посему . Таким образом, у нас наиболее распространённый случай , следовательно, нужно использовать формулу:
.
Сначала удобно найти производную: и сразу же упростить корень: .

Так как и , то – грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков».

Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой:

здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак

дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования:

Ответ:

Если вычислить тот же самый интеграл в противоположном направлении – от точки до точки , то результат не изменится. В этом случае пределы интегрирования

поменяются местами , и коль скоро

, то мы пользуемся второй

формулой: , в нашем случае:

По существу, тут работает свойство определённого интеграла.

Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования: .

В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл вдоль дуги параболы , расположенной между точками . Иными словами, совершенно не важно, какая из точек является началом,

а какая – концом кривой.

Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже

«икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант

):
, где – обратная функция, выражающая линию .

С параболой никаких проблем ,
и производной – тем более:

При переходе от к мы должны избавиться от всех «иксов»,

однако функция от них не

зависит, а значит, делать ничего не нужно.

И, учитывая, что для «игрековых» координат точек справедливо неравенство , доводим решение до того же самого результата:

В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости между точками и находится кусок параболы , через который проходит «одноимённый» параболический

цилиндр параллельно оси

.

Этот цилиндр «высекает» из плоскости пространственную «ниточку» (выше плоскости ).
Криволинейный интеграл численно равен площади фрагмента параболического цилиндра, который расположен между