Как найти кривую намагничивания

2.3.1 Кривые намагничивания

В
ферромагнетике под действием магнитного
поля Н
создается такая намагниченность J,
которая
в десятки и сотни раз превышает
намагничивающее поле Н.
Эта способность сохраняется у
ферромагнетиков до определенной
температуры, называемой температурой
Кюри
(Θ). У разных ферромагнетиков Θ различна,
например, кобальт имеет Θ = 1120 °С,
железо – 768 °С, никель – 358 °С, гадолиний
– 17 °С.

С
увеличением намагничивающего поля
намагниченность возрастает все медленнее.
Если в малых полях J >>
Н,
то в больших величина Н
становится сравнима с М,
во
всяком случае при исследовании процессов
в ферромагнетике величиной J
нельзя пренебрегать, поэтому в рассмотрение
вводят сумму Н
+
J,
которую называют индукцией:

В
=
μ0(H
+
J).

Намагниченность
J,
стало
быть, и индукция В
зависят
от Н
нелинейно.
Кривые типа J
=
f(Н)
и
В
=

f(Н)
называют
кривыми намагничивания. Их вид может
быть различен в зависимости от способа
получения (измерения) и исходного
состояния ферромагнетика. В качестве
исходного состояния ферромагнетика
следует принять размагниченное.

Рассмотрим
некоторые виды кривых намагничивания
(рис. 2.8).

B


H

3


1

Рис.
2.8 Начальная (1),

основная
(2) и идеальная (3)

кривые
намагничивания

1. Начальную
(первоначальную) кривую получают
измерением В
при постепенном медленном увеличении
Н
из состояния В
=
0,
Н
=
0.
Однако часто невозможно размагнитить
образец так, чтобы в нем было действительно
хаотическое расположение векторов
магнитных моментов доменов (кроме случая
нагревания выше температуры Кюри, когда
это допустимо). В связи с этим получить
нужную кривую сложно, поэтому кривая
первоначального намагничивания не
является технической характеристикой
материала.

2. Основная
(коммутационная) кривая – это кривая,
представляющая собой геометрическое
место вершин симметричных петель
гистерезиса, которые получаются при
последовательно возрастающих максимальных
значениях напряженности магнитного
поля, т. е. каждая точка основной
кривой намагничивания создается после
многократного коммутирования
намагничивающего тока для получения
установившегося цикла.

Основная
(коммутационная) кривая намагничивания
является исходной для получения таких
характеристик ферромагнитных материалов,
как μа,
μd,
μmax
и др.

3. Безгистерезисная
(идеальная) кривая получается в результате
наложения на небольшие постоянные
намагничивающие поля переменного
магнитного поля с убывающей до нуля
амплитудой. Намагничивание по
безгистерезисной кривой может происходить
и в результате механического встряхивания
с помощью частых ударов ферромагнитного
образца, находящегося в слабом магнитном
поле. На практике это часто приводит к
тому, что отдельные объекты приобретают
значительную остаточную намагниченность,
что приводит к трудностям при их
эксплуатации. Известно, например, что
в поле Земли ферромагнитные объекты
намагничиваются, однако если при этом
на них воздействуют ударные нагрузки,
то остаточная намагниченность может
достигать большой величины, т. к.
намагничивание происходит по
безгистерезисной кривой. Приведём
некоторые примеры.

Первый
пример
.
Высокую остаточную намагниченность в
слабом поле Земли приобретают, например,
длинные стальные трубы для строительства
магистральных нефте- и газопроводов,
которые в процессе транспортировки
подвергаются ударным нагрузкам и тряске.
Вследствие этого при их сварке возникают
трудности, связанные с так называемым
«магнитным дутьем». «Магнитное дутье»
обусловлено взаимодействием сварочной
дуги с магнитным полем. Оно вызывает
неустойчивость горения, блуждание и
даже гашение сварочной дуги. Существуют
специальные приемы, повышающие
стабильность горения дуги. Однако
кардинальный путь – размагничивание
труб перед сваркой.

Второй
пример
.
Сильное намагничивание судов в поле
Земли. Под действием ударов морских
волн в слабом магнитном поле Земли
стальной корпус судна намагничивается
по безгистерезисной кривой.

По
характеру процессов намагничивания
кривую намагничивания условно можно
разбить на пять участков (рис. 2.9):

I
участок – область начального (обратимого)
намагничивания. Этот участок характеризуется
постоянной восприимчивостью
(проницаемостью), т. е.

χ
= J/Н
=
const(μн
= В0
Н = const).

Намагничивание
ферромагнетика на этом участке кривой
намагничивания осуществляется за счет
обратимого (упругого) смещения доменных
границ;


Н

Рис.
2.9 Основные области кривой намагничивания

II
участок – область Рэлея. Намагничивание
на этом участке осуществляется в основном
за счет смещения доменных границ. Для
этой области кривой намагничивания
справедлив закон Релея, который
выполняется практически для всех
ферромагнетиков, за исключением тех, у
которых эта область может отсутствовать.
Намагниченность в области Релея
определяется как

J
=
χнН
+
bН2,

где
b
– коэффициент
Релея;


;

III
участок – область наибольших значений
магнитной проницаемости. В этой области
намагниченность меняется большими
скачками Баркгаузена, вызванными
необратимым смещением доменных границ.
Для многоосных магнитотвердых материалов,
кроме процессов смещения, в этом диапазоне
полей, характерно скачкообразное
вращение векторов намагниченности;

IV
участок – область приближения к
насыщению. Восприимчивость постепенно
уменьшается. Процесс намагничивания
на этом участке осуществляется в основном
за счёт вращения векторов спонтанной
намагниченности по направлению внешнего
магнитного поля. Работа по повороту
векторов спонтанной намагниченности
на направление действующего поля
затрачивается на преодоление
кристаллографической анизотропии,
которая стремится удержать векторы
спонтанной намагниченности в направлении
лёгкого намагничивания. Процессы
вращения – преимущественно обратимые;

V
участок – область парапроцесса. Процессы
смещения и вращения закончены. На этом
участке в сильных магнитных полях
незначительное увеличение намагниченности
связано с дополнительной ориентацией
спиновых магнитных моментов в направлении
приложенного поля.

Соседние файлы в папке тузк

  • #
  • #

    13.08.202278.86 Кб1re.xmcd

  • #

    13.08.202230.72 Кб1SKH.xls

  • #
  • #

    13.08.202231.87 Кб2Ард с затуханием.xlsx

  • #
  • #
  • #

    13.08.20229.61 Кб2лаба.xlsx

  • #
  • #
  • #

    13.08.202213.02 Кб1Лист Microsoft Excel.xlsx

Главная

Примеры решения задач ТОЭ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах

2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ

2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах

Расчет магнитных цепей при постоянных токах

Основанием к расчету магнитных цепей служат: первый закон Кирхгофа для магнитных цепей и закон полного тока — второй закон Кирхгофа для магнитных цепей.
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей
гласит: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю.

Закон полного тока применяется к замкнутому контуру, образованному средними магнитными линиями магнитной цепи и имеет вид:

∫ H → ⋅ dl → = ∑ I⋅w ,

где

∫ H → ⋅ dl → = ∑ H⋅l   — падение магнитного напряжения UM = H·l в контуре;

F= ∑ I⋅w  — магнитодвижущая сила контура (м. д. с.).

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей сформулируем следующим образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений UM = H·l в замкнутом контуре магнитной цепи  ( ∑ U M = ∑ H⋅l )  равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил F = I·w в том же контуре  ( ∑ F = ∑ I⋅w ) :

∑ U M = ∑ F

или

∑ H⋅l = ∑ I⋅w .

Задачи на расчет магнитной цепи могут быть двух видов: прямая задача на расчет магнитной цепи — когда задан поток и требуется рассчитать магнитодвижущую силу (м. д. с.) и обратная задача на расчет магнитной цепи — когда по заданной м. д. с. требуется рассчитать магнитный поток.

В обоих случаях должны быть известны геометрические размеры магнитной цепи и заданы кривые намагничивания ее материалов.

Алгоритм прямой задачи расчета неразветвленной магнитной цепи

Дана конфигурация и геометрические размеры неразветвленной магнитной цепи, кривая (или кривые) намагничивания магнитного материала и магнитный поток или индукция магнитного поля в каком-либо сечении. Требуется найти магнитодвижущую силу, ток или число витков намагничивающей обмотки.

Расчет проводим в соответствии с алгоритмом:

1. Разбиваем магнитную цепь на однородные (из одного магнитного материала) участки постоянного сечения и определяем длины lk и площади поперечного сечения Sk участков. Длины участков (в метрах) берем по средней силовой линии.

2. Исходя из постоянства потока вдоль всей неразветвленной магнитной цепи, по заданному магнитному потоку Ф и сечениям Sk участков находим магнитные индукции на каждом участке:

B k = Ф S k .

Если задана магнитная индукция на каком-либо участке магнитной цепи, то магнитный поток вдоль всей неразветвленной цепи

Ф = Bk·Sk.

3. По найденным магнитным индукциям Bk участков цепи и кривой намагничивания материала k-го участка цепи (например, рис. 2.1, табл. 2.1) определяем напряженности поля Hk на каждом участке магнитной цепи.

Напряженность поля в воздушном зазоре находим по формуле

H возд = B возд μ 0 = B возд 4π⋅ 10 −7 .

4. Подсчитаем сумму падений магнитных напряжений UMk = Hk·lk вдоль всей магнитной цепи  ∑ U Mk = ∑ H k ⋅ l k  и на основании второго закона Кирхгофа для магнитной цепи приравниваем сумме магнитодвижущих сил Fk = Ik·wk вдоль всей магнитной цепи:

∑ H k ⋅ l k = ∑ I k ⋅ w k .

Основным допущением при расчете является то, что магнитный поток вдоль всей неразветвленной магнитной цепи полагаем неизменным. В действительности не большая часть потока всегда замыкается, минуя основной путь. Этот поток называют потоком рассеяния.


Единицы измерения магнитных величин

B — индукция магнитного поля, Тл (Тесла);

H — напряженность магнитного поля, А/м (Ампер/метр);

Ф — поток индукции магнитного поля, Вб (Вебер);

F = I·w — магнитодвижущая сила (м. д. с.), А (Ампер);

UM = H·l — магнитное напряжение, А (Ампер!).


Константы

μ 0 =4π⋅ 10 −7 Гн/м — магнитная постоянная.


Кривые намагничивания стали и чугуна

Рис. 2.1 Кривые намагничивания стали и чугуна

Таблица 2.1 — Данные основной кривой намагничивания листовой электротехнической стали Э11

B,

Вб/м2

H, А/м

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,4

140

143

146

149

152

155

158

161

164

167

0,5

171

175

179

183

187

191

195

199

203

207

0,6

211

216

221

226

231

236

241

246

251

256

0,7

261

266

271

276

281

287

293

299

306

312

0,8

318

324

330

337

344

352

360

369

378

387

0,9

397

407

417

427

437

447

458

469

480

491

1,0

502

514

527

541

555

570

585

600

615

631

1,1

647

664

682

701

720

739

759

779

800

821

1,2

843

866

891

918

946

976

1010

1040

1070

1100

1,3

1140

1180

1220

1260

1300

1340

1380

1430

1480

1530

1,4

1580

1640

1710

1780

1860

1950

2050

2150

2260

2380

1,5

2500

2640

2790

2950

3110

3280

3460

3660

3880

4120

1,6

4370

4630

4910

5220

5530

5880

6230

6600

6980

7370

1,7

7780

8200

8630

9070

9630

10100

10600

11100

11600

12200

1,8

12800

13400

14000

14600

15200

15900

16600

17300

18000

18800

1,9

19700

20600

21600

22 600

23600

24600

25600

26800

28200

29600

2,0

31000

32500

34300

36500

39000

42000

45500

49500

54500

59500

Примеры пользования таблицей:

1) При B = 0,80 Вб/м2: H = 318 А/м; при B = 0,85 Вб/м2: H = 352 А/м.

2) При B = 1,13 Вб/м2: H = 701 А/м.


Решение задач на расчет магнитных цепей при постоянных токах


Задача 2.1. На рис. 2.2 изображен разрез трех катушек, по которым проходят токи I1 = 8 А, I2=10 А и I3 = 5 А.

Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w1 имеет 8 витков, вторая (средняя) w2 — 10 витков и третья (правая) w3 — 6 витков.

Рис. 2.2

Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w1 имеет 8 витков, вторая (средняя) w2 — 10 витков и третья (правая) w3 — 6 витков. Определить полную магнитодвижущую силу (м. д. с.) по замкнутым контурам а, b, с, d, е, f, показанным на рис. 2.2. Контур е охватывает катушки w’2 с 4 витками и w’3 с 2 витками.

Изменится ли результат решения задачи, если при тех же данных катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала?

Решение

Воспользуемся законом полного тока. Линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов, проходящих сквозь поверхность, ограничиваемую контуром интегрирования,

∫ H → ⋅ dl → = ∑ I⋅w .

Пользуясь законом полного тока, найдем:

∫ a H → ⋅ dl → = w 1 ⋅ I 1 =8⋅8=64  А; ∫ b H → ⋅ dl → =− w 1 ⋅ I 1 =−8⋅8=−64  А; ∫ c H → ⋅ dl → = w 2 ⋅ I 2 − w 1 ⋅ I 1 =10⋅10−8⋅8=36  А; ∫ d H → ⋅ dl → = w 1 ⋅ I 1 − w 2 ⋅ I 2 + w 2 ⋅ I 2 + w 3 ⋅ I 3 =8⋅8+6⋅5=94  А; ∫ e H → ⋅ dl → = w ′ 2 ⋅ I 2 − w ′ 3 ⋅ I 3 =4⋅10+2⋅5=50  А; ∫ f H → ⋅ dl → =2 w 3 ⋅ I 3 =2⋅6⋅5=60  А.

В правой части последнего выражения коэффициент 2 учитывает то обстоятельство, что витки w3 охватываются контуром интегрирования (циркуляции) дважды.

Следует заметить, что при пользовании правилом винта необходимо всегда сопоставлять направление обхода по контуру циркуляции с направлениями токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром циркуляции.

Результаты решения задачи не изменятся, если катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала, так как м. д. с. определяется только величиной полного тока и не зависит от магнитных свойств вещества.


Задача 2.2. Определить магнитодвижущую силу (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), необходимую для получения магнитного потока в 5,9·10–4 Вб в кольцеобразном сердечнике, сечением S = 5 см2. Длина средней линии магнитной индукции l = 25 см.

Определить Н (напряженность магнитного поля в сердечнике) и  μ r   (относительная магнитная проницаемость материала сердечника). Материал сердечника — слаболегированная электротехническая листовая сталь Э11.

Решение

Найдем магнитную индукцию

B= Ф S = 5,9⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =1,18   Вб м 2 .

По кривой намагничивания для стали Э11 найдем, что индукции B = 1,18 Вб/м2 соответствует H = 800 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H·l = 800·0,25 = 200 А.

Определим абсолютную магнитную проницаемость:

μ a = B H = 1,18 800 =1475⋅ 10 −6    Гн м .

Магнитная проницаемость (относительная магнитная проницаемость)

μ r = μ a μ 0 = 1475⋅ 10 −6 4π⋅ 10 −7 =1175.


Задача 2.3. На рис. 2.3 изображен электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали.

Электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали.

Рис. 2.3

Какой ток должен быть пропущен через обмотку электромагнита (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), состоящую из w = 500 витков, для того, чтобы в якоре была создана магнитная индукция в 0,84 Вб/м2. Размеры на рис. 2.3 даны в миллиметрах. Длина воздушного зазора δ  = 1 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сечения сердечника (пренебрегаем потоком рассеяния). Чему равна статическая индуктивность электромагнита?

Решение

Это пример прямой задачи на расчет магнитной цепи. На рис. 2.3 пунктиром проведена средняя линия магнитной индукции (приближенно). Длина проходящей вдоль сердечника части средней линии магнитной индукции abсd = l1 = 0,28 м. Сечение сердечника S1 = 2·2 = 4 см2 = 4·10–4 м2.

Сечение якоря S2 = 2·2,5 = 5 см2 = 5·10–4 м2, длина проходящей через него части средней линии магнитной индукции efgh = l2 = 0,16 м. Магнитная индукция в якоре B2 = 0,84 Вб/м2 (по условию задачи).

Из условия равенства магнитных потоков в якоре и в сердечнике (одноконтурная магнитная цепь, потоком рассеяния пренебрегаем)

Ф1 = B1·S1 = B2·S2

найдем магнитную индукцию в сердечнике:

B 1 = B 2 ⋅ S 2 S 1 = 0,84⋅5⋅ 10 −4 4⋅ 10 −4 =1,05   Вб м 2 .

Сечение воздушного зазора, длина проходящей в нем части линии магнитной индукции и магнитная индукция равны:

S 3 =4⋅ 10 −4    м 2 ;   l 3 =2δ=2⋅ 10 −3   м;   B 3 =1,05   Вб м 2 ,

напряженность магнитного поля в воздухе:

H 3 = B 3 μ 0 = 1,05 4π⋅ 10 −7 =84⋅ 10 4    А м .

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H1·l1 + H2·l2 + H3·l3.

В целях большей наглядности расчеты удобно свести в таблицу, в которой данные для напряженности магнитного поля в отдельных элементах магнитопровода взяты по соответствующим кривым намагничивания. Так, для сердечника, изготовленного из стали Э11, находим, что индукции B1 = 1,05 Вб/м2 соответствует значение напряженности магнитного поля H1 = 570 А/м, а для якоря, изготовленного из литой стали, имеем, что величине B2 = 0,84 Вб/м2 соответствует значение H2 = 540 А/м.

Название участка

Материал

S,

м2

l,

м

B,

Вб/м2

H,

А/м

H·l,

А

Сердечник

Сталь Э11

4·10–4

0,28

1,05

570

160

Якорь

Литая сталь

5·10–4

0,16

0,84

540

85

Воздушный зазор

Воздух

4·10–4

0,002

1,05

84·104

1680

                                                                                                                                     F= ∑ H k ⋅ l k =160+85+1680=1925  А.

Искомый ток найдем, пользуясь формулой F = I·w:

I= F w = 1925 500 =3,85  А.

Статическая индуктивность электромагнита равна отношению потокосцепления (полного магнитного потока) к току:

L ст = Ψ I = w⋅Ф I = 500⋅4,2⋅ 10 −4 3,85 =0,053  Гн=053  мГн.


Задача 2.4. Найти магнитную индукцию в якоре электромагнита (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изображенном на рис. 2.3, если на электромагнит намотано w = 250 витков, по которым проходит ток I = 4,4 А. Сердечник изготовлен из листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали. Размеры сердечника и якоря те же, что и в предыдущей задаче. Длина воздушного зазора 0,5 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сердечника.

Решение

Это пример обратной задачи на расчет магнитной цепи. Для ее решения надо построить кривую зависимости магнитного потока Ф в функции магнитодвижущей силы F и на кривой найти рабочую точку.

Чтобы построить кривую Ф = f (F) будем задаваться различными величинами магнитных потоков Ф, по которым вычисляем соответствующие им значения магнитной индукции B в каждом из участков магнитной цепи. Затем по кривым намагничивания находим напряженность поля H, соответствующую каждому значению индукции B, и, наконец, вычисляем магнитодвижущую силу по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F= ∑ H k ⋅ l k .

Так, например, примем Ф = 3,2·10–4 Вб. Тогда

B серд = Ф S серд = 3,2⋅ 10 −4 4⋅ 10 −4 =0,8   Вб м 2 ; B як = Ф S як = 3,2⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =0,64   Вб м 2 ; B заз = B серд =0,8   Вб м 2 .

По кривым намагничивания находим напряженности магнитного поля:

H серд =318   А м ; H як =330   А м ; H заз = B заз μ 0 = 0,8 4π⋅ 10 −7 =64⋅ 10 4    А м .

Магнитодвижущая сила

F= H серд ⋅ l серд + H як ⋅ l як + H заз ⋅ l заз =       =318⋅0,28+330⋅0,16+64⋅ 10 4 ⋅ 10 −3 =780  А.

Эта магнитодвижущая сила меньше заданной, которая равна

I·w = 4,4·250 = 1100 А.

Аналогично проводим расчеты для больших значений Ф, которые сведены в следующую таблицу:

Ф,

Вб

Bсерд,

Вб/м2

Нсерд,

А/м

lсерд,

м

Bяк,

Вб/м2

Hяк,

А/м

lяк,

м

Bзаз,

Вб/м2

Hзаз,

А/м

lзаз,

м

F,

А

3,2·10–4

0,8

318

0,28

0,64

330

0,16

0,8

64·104

1·10–3

780

3,6·10–4

0,9

397

0,28

0,72

400

0,16

0,9

72·104

1·10–3

895

4,0·10–4

1,0

502

0,28

На http://www.online-invest.org проекты хайп.

0,80

490

0,16

1,0

80·104

1·10–3

1020

4,4·10–4

1,1

647

0,28

0,88

600

0,16

1,1

88·104

1·10–3

1160

Мы остановились на величине Ф = 4,4·10–4 Вб потому, что для этого значения магнитного потока суммарная магнитодвижущая сила равна 1160 А, что больше заданных 1100 А. По данным расчетов построена кривая Ф = f (F) и на ней определена рабочая точка, которая при F = 1100 А соответствует значению магнитного потока в 4,24·10–4 (рис. 2.4).

Определение рабочей точки

Рис. 2.4

Следовательно, искомая индукция в якоре электромагнита

B як = Ф S як = 4,24⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =0,848   Вб м 2 .

Обычно в технических расчетах значения магнитной индукции округляют до сотых долей Вб/м2 (целые сотни гауссов); поэтому считаем Bяк = 0,85 Вб/м2.

Укажем, что задача могла бы быть решена и другим путем — методом проб: суть его состоит в том, что так же, как и выше, задаются некоторым значением магнитного потока Ф, для которого подсчитывают магнитодвижущую силу F. Если она окажется меньше заданной, то берут большие значения Ф до тех пор, пока не получат F больше заданной величины. После этого значения Ф, соответствующие большим и меньшим против заданного значениям F сужают до тех пор, пока для одного из сечений магнитной цепи полученные значения магнитной индукции будут различаться друг от друга не более чем на 0,1 Вб/м2 (1000 Гс). Искомое значение Ф можно затем найти путем интерполирования.

Так, например, задаемся величиной Ф = 3,2·10–4 Вб, которой соответствует магнитодвижущая сила F = 780 А, что меньше заданного значения Fзад = 1100 А. Теперь зададимся Ф’ = 4,4·10–4 Вб, для которого найдем F’ = 1160 А; это больше заданной величины Fзад. Уменьшаем значение Ф, принимая его, например, равным 4·10–4 Вб; ему соответствует значение F” = 1020 А, что вновь меньше заданной величины магнитодвижущей силы. Итак, при Ф” = 4·10–4 Вб: B”як = 0,8 Вб/м2, а при Ф’ = 4,4·10–4 Вб: B’як = 0,88 Вб/м2.

Таким образом, значения магнитной индукции B в одном из сечений (в данном случае в якоре) отличаются одно от другого менее, чем на 0,1 Вб/м2 (0,88 — 0,8 = 0.08 Вб/м2).

Окончательное значение магнитного потока найдем линейным интерполированием.

Определение значения магнитного потока линейным интерполированием

Рис. 2.5

Из треугольника MNP (рис. 2.5) имеем:

ΔФ 4,4⋅ 10 −4 −4⋅ 10 −4 = 1100−1020 1160−1020 ,

отсюда

ΔФ=0,23⋅ 10 −4   Вб,  а  Ф=4⋅ 10 −4 +0,23⋅ 10 −4 =4,23⋅ 10 −4   Вб.

Искомая индукция в якоре

B як = Ф S як = 4,23⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 ≈0,85   Вб м 2 .


Задача 2.5. Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали (рис. 2.6), если на тороид намотано w = 400 витков, по которым проходит ток I = 4 А. Воздушный зазор = 2 мм. Размеры тороида на рисунке даны в мм.

Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали

Рис. 2.6

Решение

Задача может быть решена аналогично предыдущей. Мы здесь укажем, как быстрее всего найти первое приближенное значение магнитного потока. Для этого предполагаем, что вся заданная магнитодвижущая сила F = I·w расходуется на ту часть магнитопровода, которая предполагается имеющей наибольшее магнитное сопротивление. Получаемое при этом значение магнитного потока будет завышено по сравнению с фактическим, ибо в расчете не были учтены магнитные сопротивления других участков цепи.

Полагая в нашем случае, что вся магнитодвижущая сила падает на магнитном сопротивлении воздушного зазора, запишем по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока):

F=I⋅w= H возд ⋅δ= B μ 0 ⋅δ,

откуда

B= I⋅w⋅ μ 0 δ = 4⋅400⋅4π⋅ 10 −7 2⋅ 10 −3 =1,0   Вб м 2 .

Так как это значение индукции, как указано выше, явно завышено, проведем новый расчет для меньшего значения магнитной индукции, например, для 0,8 Вб/м2. По кривой намагничивания для литой стали этой индукции соответствует величина напряженности магнитного поля Hст = 490 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока) при этом будет равна

F= H ст ⋅ l ст + H возд ⋅δ=490⋅0,785+ 0,8 4π⋅ 10 −7 ⋅2⋅ 10 −3 =1650  А,

что превышает заданную величину 1600 А.

Теперь проведем расчет для еще меньшей индукции B = 0,7 Вб/м2. Для нее по кривой намагничивания напряженность Hст = 380 А/м. Общая магнитодвижущая сила в этом случае будет

F= H ст ⋅ l ст + H возд ⋅δ=490⋅0,785+ 0,7 4π⋅ 10 −7 ⋅2⋅ 10 −3 =1410  А,

что меньше заданной величины 1600 А.

Таким образом, истинная величина индукции находится в пределах от 0,7 до 0,8 Вб/м2. Ее мы найдем интерполированием (рис. 2.7).

Определение индукции в воздушном зазоре интерполированием

Рис. 2.7

Искомая индукция B=0,7+ΔB,  где  ΔB  находится из соотношения

ΔB 0,1 = 1600−1410 1650−1410 = 190 240 ,

откуда

ΔB= 190 240 ⋅0,1≈0,08   Вб м 2 .

Итак, искомая индукция равна 0,78 Вб/м2 (7800 Гс).


Задача 2.6. Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/м2. Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника — листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.

Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/   м² . Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника — листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.

Рис. 2.8

Решение

Покажем на рисунке средние линии магнитной индукции. По данным задачи найдем их длины:

lA = 60 см; lB = 25 см; lC = 70 см.

Задачи на сложную разветвленную несимметричную магнитную цепь решаются на основании первого и второго законов Кирхгофа для магнитной цепи:

для узла n

                                                ФB = ФA + ФC;                                       (1)

для контура npqn

                                             HB·lB + HC·lC = I·w;                               (2)

для контура npqmn

                                              HC·lC — HA·lA = 0.                                 (3)

В уравнениях (2) и (3) HA, HB и HC соответственно напряженности магнитного поля в стержнях A, B и C.

Для магнитной индукции в левом стержне BA = 0,95 Вб/м2 по кривой намагничивания для листовой стали найдем HA = 447 А/м.

Из уравнения (3) получим

H C = H A ⋅ l A l C = 447⋅60 70 =384   А м .

По кривой намагничивания находим, что H = 384 А/м соответствует индукция BC = 0,89 Вб/м2.

По уравнению (1) получим

Ф B = Ф A + Ф C = B A ⋅ S A + B C ⋅ S C =         =0,95⋅20⋅ 10 −4 +0,89⋅20⋅ 10 −4 =36,8⋅ 10 −4   Вб.

Следовательно,

B B = Ф B S B = 36,8⋅ 10 −4 40⋅ 10 −4 =0,92   Вб м 2 .

Этой индукции по кривой намагничивания соответствует HB = 417 А/м. По уравнению (2) найдем

I·w = HB·lB + HC·lC = 417·0,25 + 384·0,7 = 373 А.

Искомый ток

I= F w = 373 500 ≈0,75  А.


Задача 2.7. Магнитная цепь изготовлена из листовой электротехнической стали Э11. На средний стержень сердечника намотана катушка, содержащая w = 930 витков, по которым проходит ток I = 1 А (рис. 2.8). На всем участке A сечение магнитной цепи считать SA = 20 см2, на участке B — SB = 40 см2, на участке С — SC = 20 см2. Длины средних линий магнитной индукции каждого из участков считать равными: lA = 55 см, lB = 25 см, lC = 80 см.

Найти значения магнитной индукции во всех стержнях.

Решение

Выберем на рис. 2.8 пути средних линий магнитной индукции и запишем уравнения:

для узла n

                                                ФB = ФA + ФC;                                       (1)

для контура npqn

                                             HB·lB + HC·lC = I·w;                                (2)

для контура npqmn

                                              HC·lC — HA·lA = 0.                                     (3)

Построим кривые зависимостей

ФA = f1 (HA·lA) = f1 (UMnq);

ФB = f2 (I·w — HB·lB) = f2 (UMnq);

ФC = f3 (HC·lC) = f3 (UMnq).

Здесь UMnq — разность скалярных магнитных потенциалов точек n и q, или магнитодвижущая сила между теми же точками.

Для построения кривой f1 задаемся различными величинами магнитных потоков ФA, по которым находим соответствующие им значения магнитной индукции BA, для которых по кривой намагничивания определяем напряженность магнитного поля HA. Беря произведение HA·lA, находим для различных потоков значения магнитных напряжений на участке A. Результаты вычислений сводим в таблицу. Таким же путем производим расчет для построения кривой на участке C. Наконец, для построения кривой f2 (участок B) задаемся значениями ФB и по ним находим BB, HB, HB·lB и разность I·w — HB·lB. Указанные вычисления сведены в таблицу.

ФА,

10–4 Вб

BA,

Вб/м2

HA,

А/м

HAlA,

А

ФC,

10–4 Вб

BC,

Вб/м2

HC,

А/м

HClC,

А

ФB,

10–4 Вб

BB,

Вб/м2

HB,

А/м

HBlB,

А

IwHBlB,

Смотрите на сайте tłumacz Warszawa. Вкусы одноразок.

А

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

930

10

0,5

171

94

10

0,5

171

137

20

0,5

171

43

887

12

0,6

211

116

12

0,6

211

169

24

0,6

211

53

877

14

0,7

261

143

14

0,7

261

209

28

0,7

261

65

865

16

0,8

318

175

16

0,8

318

254

32

0,8

318

80

850

18

0,9

397

218

18

0,9

397

318

36

0,9

397

99

831

20

1,0

502

276

20

1,0

502

402

40

1,0

502

126

804

22

1,1

647

356

22

1,1

647

518

44

1,1

647

162

768

24

1,2

843

463

24

1,2

843

675

48

1,2

843

210

720

26

1,3

1140

626

26

1,3

1140

913

52

1,3

1140

285

645

28

1,4

1580

870

28

1,4

1580

1265

56

1,4

1580

395

535

30

1,5

2500

1375

30

1,5

2500

2000

60

1,5

2500

625

305

По этим данным построены кривые ФA, ФB, ФC (рис. 2.9).

Определение магнитных потоков разветвленной магнитной цепи построением ампервеберных зависимостей по законам Кирхгофа для магнитной цепи

Рис. 2.9

Так как величины магнитных потоков должны удовлетворять уравнению (1), то проводим еще одну вспомогательную кривую ФB = ФA + ФC; она строится путем суммирования ординат кривых ФA и ФC для одних и тех же значений абсцисс. Точка m ее пересечения с кривой ФB = f2 (I·w — HB·lB) определяет величину искомого потока

ФB = 50,4·10–4 Вб.

Перпендикуляр mm’, опущенный из m на ось абсцисс, пересечет кривую ФA в точке n, а кривую ФC — в точке p, отрезок nm’ выражает искомый магнитный поток в стержне A:

ФA = 26,4·10–4 Вб, а отрезок pm’ — поток ФC = 24·10–4 Вб.

По найденным потокам находим магнитные индукции в каждом из стержней:

B A = Ф A S A = 26,4⋅ 10 −4 20⋅ 10 −4 =1,32   Вб м 2 ; B B = Ф B S B = 50,4⋅ 10 −4 40⋅ 10 −4 =1,26   Вб м 2 ; B C = Ф C S C = 24,0⋅ 10 −4 20⋅ 10 −4 =1,20   Вб м 2 .

Проверка. Можно убедиться, что при найденных значениях магнитных индукций удовлетворяются уравнения (1) — (3). Для этого по кривой намагничивания надо найти для каждого значения B соответствующее значение H и подставить в указанные уравнения.


Задача 2.8. Сердечник собран из листов электротехнической стали марки Э11. Форма и размеры сердечника (в мм) указаны на рис. 2.10.

Сердечник собран из листов электротехнической стали марки Э11

Рис. 2.10

Обмотка имеет w = 400 витков, по которым проходит ток I = 3,5 А. Длина воздушного зазора составляет 1 мм. Определить магнитный поток в сердечнике. При расчете следует считать, что сечение воздушного зазора равно сечению сердечника.

Задачу решить следующими аналитическими методами: а) линейной аппроксимации, б) кусочно-линейной аппроксимации, в) дробно-линейной аппроксимации.

Результаты, полученные для каждого из случаев, сравнить с теми, какие получаются при решении задачи обычным способом.

Решение

Найдем длину средней линии магнитной индукции и сечение стального сердечника (рис. 2.10):

l1 = 2· (90 — 8) + 2· (46 — 8) = 240 мм = 0,24 м;

S1 = 8·5 = 40 мм2 = 0,4·10–4 м2.

Длина средней линии магнитной индукции в воздушном зазоре и его сечение равны:

l2 = 1 мм = 1·10–3 м;

S2 = 8·5 = 40 мм2 = 0,4·10–4 м2.

Решая задачу способом, указанным в решении задачи 2.4, найдем магнитную индукцию B = 1,35 Вб/м2 и соответствующий магнитный поток

Ф = B·S = 1,35·0,4·10–4 = 0,54·10–4 Вб.

а) Расчет магнитной цепи методом линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания прямой линией в некоторой области изменения магнитной индукции. Примем, например, что магнитная индукция изменяется в пределах от нуля до 1,5 Вб/м2. Заменим кривую намагничивания (рис. 2.11) прямой линией 0b.

К расчету магнитной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Рис. 2.11

Ее уравнение B = k1·H, здесь коэффициент k1 равен тангенсу угла наклона прямой 0b к оси абсцисс и выражает приближенное значение абсолютной магнитной проницаемости стали в рассматриваемом интервале

μ a1 = μ r1 ⋅ μ 0 = k 1 = B H = 1,5 2500 =6⋅ 10 −4    Гн м .

Искомый магнитный поток определяем по уравнению:

Ф= I⋅w R M1 + R M2 ,

где

R M1 = l 1 μ a1 ⋅ S 1 = l 1 μ r1 μ 0 ⋅ S 1 ;   R M2 = l 2 μ 0 ⋅ S 2 — магнитные сопротивления, соответственно стальной части и воздушного зазора.

Производим вычисления:

R M1 = l 1 μ a1 ⋅ S 1 = 0,24 6⋅ 10 −4 ⋅0,4⋅ 10 −4 =1,0⋅ 10 7    1 Гн ; R M2 = l 2 μ 0 ⋅ S 2 = 1⋅ 10 −3 4π⋅ 10 −7 ⋅0,4⋅ 10 −4 =1,98⋅ 10 7    1 Гн ; Ф= I⋅w R M1 + R M2 = 3,5⋅400 1,0⋅ 10 7 +1,98⋅ 10 7 =0,47⋅ 10 −7   Вб.

Ошибка в сравнении с результатами, полученными обычным способом, составляет

0,54⋅ 10 −4 −0,47⋅ 10 −4 0,54⋅ 10 −4 ⋅100%≈13%.

б) Расчет магнитной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания отрезками прямых линий, например, из двух прямых отрезков 0a и ab (рис. 2.11).

Предполагается, что рабочий режим лежит в области индукций между B1 и B2, соответствующих точкам a и b.

Уравнение прямой ab, выражающей зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля в стали, имеет вид:

B ст = B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 ),                (1)

где k2 — тангенс угла наклона прямой ab с осью абсцисс:

k 2 = B 2 − B 1 H 2 − H 1 .                    (2)

Напряженность магнитного поля в воздухе может быть выражена следующим образом:

H в = B в μ 0 = Ф μ 0 ⋅ S 2 = B ст ⋅ S 1 μ 0 ⋅ S 2 = B ст μ ′ 0 ,     (3)

где ради краткости обозначено

μ ′ 0 = μ 0 ⋅ S 2 S 1 .                (4)

Подставляя в уравнение (3) вместо Bст его значение из уравнения (1), получим:

H в =[ B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 ) ]⋅ 1 μ ′ 0 .     (5)

Для определения Hст воспользуемся уравнением второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (законом полного тока)

Hст·l1 + Hв·l2 = I·w.          (6)

Подставляя в уравнение (6) значение Нв из уравнения (5), будем иметь:

H ст ⋅ l 1 + B 1 ⋅ l 2 μ ′ 0 + k 2 ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ ( H ст − H 1 )=I⋅w.

Решая это алгебраическое уравнение относительно Hст, найдем:

H ст = I⋅w⋅ μ ′ 0 − B ′ ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 ,       (7)

где

B ′ = B 1 − k 2 ⋅ H 1 .           (8)

Величина магнитной индукции в стали находится путем подстановки найденного значения Hс в уравнение (1):

B ст = μ ′ 0 ⋅ I⋅w⋅ k 2 + B ′ ⋅ l 1 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 ,        (9)

Для нашей задачи выберем ломаную так, что:

в точке a

B1 = 1,2 Вб/м2, соответствующее H1 = 843 А/м,

в точке b

B2 = 1,5 Вб/м2, соответствующее H2 = 2500 А/м.

По формулам (2), (4), (8), (7) и (1) находим:

k 2 = B 2 − B 1 H 2 − H 1 = 1,5−1,2 2500−843 =18,15⋅ 10 −5    Гн м ; μ ′ 0 = μ 0 ⋅ S 2 S 1 = μ 0 ⋅ 0,4⋅ 10 −4 0,4⋅ 10 −4 = μ 0 =4π⋅ 10 −7    Гн м ; B ′ = B 1 − k 2 ⋅ H 1 =1,2−18,15⋅ 10 −5 ⋅843=1,05   Вб м 2 ; H ст = I⋅w⋅ μ ′ 0 − B ′ ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 = 3,5⋅400⋅4π⋅ 10 −7 −1,05⋅1⋅ 10 −3 4π⋅ 10 −7 ⋅0,24+18,15⋅ 10 −5 ⋅1⋅ 10 −3 =1470  А м ; B ст = B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 )=1,2+18,15⋅ 10 −5 ⋅ ( 1470−843 )=1,314   Вб м 2 .

И, наконец, искомый поток

Ф = Bст·S1 = 1,314·0,4·10–4 = 0,525·10–4 Вб.

Ошибка по сравнению с обычным способом расчета составляет

0,54⋅ 10 −4 −0,525⋅ 10 −4 0,54⋅ 10 −4 ⋅100%≈3%.

в) Расчет магнитной цепи методом дробно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Дробно-линейная аппроксимация делается посредством уравнения:

B ст = H ст α+β⋅ H ст .          (10)

Входящие сюда коэффициенты α  и  β  находятся из известных значений магнитной индукции и напряженности магнитного поля в двух выбранных точках кривой намагничивания, между которыми ожидается действительный режим работы стального участка магнитной цепи.

Для определения Нст поступим следующим образом: из уравнения (10) значение Вст подставим в уравнение (3), тогда получим:

H в = B ст μ ′ 0 = H ст μ ′ 0 ⋅ ( α+β⋅ H ст ) .

Это значение Нв подставим в уравнение (6) второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (закона полного тока):

H ст ⋅ l 1 + H ст ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ ( α+β⋅ H ст ) =I⋅w.

Решая относительно Нст это квадратное уравнение, найдем:

H ст = 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )+ 1 4 ( I⋅w l 1 − 1+p q ) 2 + I⋅w q⋅ l 1 .        (11)

Второй корень квадратного уравнения, как не имеющий физического смысла, ввиду того что Нст должна выражаться положительным числом, опущен.

В уравнении (11) введены ради краткости обозначения:

p= l 2 ⋅ S 1 l 1 ⋅ S 2 ⋅ μ 0 ⋅α ;   q= β α .         (12)

Проведем числовые расчеты для нашей задачи, принимая для B и H те числовые значения, какие они имеют на границах рассматриваемого интервала в указанных выше точках a и b. По уравнению (10) имеем:

1,2= 843 α+β⋅843 ;   1,5= 2500 α+β⋅2500 .

Решая эти два уравнения, найдем:

α=213   м Гн ;   β=0,581    м 2 Вб .

Далее по формулам (12), (13), (11) и (10) получим:

p= l 2 ⋅ S 1 l 1 ⋅ S 2 ⋅ μ 0 ⋅α = 1⋅ 10 −3 ⋅0,4⋅ 10 −4 0,24⋅0,4⋅ 10 −4 ⋅4π⋅ 10 −7 ⋅α 213=15,6;  q= β α = 0,581 213 =2,73⋅ 10 −3    м А ; I⋅w q⋅ l 1 = 3,5⋅400 2,73⋅ 10 −3 ⋅0,24 =2,14⋅ 10 6    А 2 м 2 ; 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )= 1 2 ( 3,5⋅400 0,24 − 16,6 2,73⋅ 10 −3 )=−125; H ст = 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )+ [ 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q ) ] 2 + I⋅w q⋅ l 1 =            =−125+ 125 2 +2,14⋅ 10 6 =−125+1515=1390    А м ; B ст = H ст α+β⋅ H ст = 1390 213+0,581⋅1390 =1,363   Вб м 2 .

Искомый магнитный поток равен:

Ф = Bст·S1 = 1,363·0,4·10–4 = 0,545·10–4 Вб.

Ошибка в сравнении с обычным методом расчета магнитных цепей составляет:

0,545⋅ 10 −4 −0,54⋅ 10 −4 0,545⋅ 10 −4 ⋅100%≈0,9%.

Отметим, что расчет при помощи дробно-линейной аппроксимации приводит к удовлетворительным результатам даже в тех случаях, когда велико расстояние между граничными точками.

закон полного тока,
магнитная цепь,
расчет магнитной цепи,
методы расчета магнитных цепей,
решение задач магнитные цепи

Содержание:

Расчет магнитных цепей:

Большинство электротехнических устройств (машины, трансформаторы, реле и др.) основано на использовании магнитного поля. Главной частью этих устройств является магнитная цепь, т. е. совокупность тел, большей частью ферромагнитных, в которых создается магнитный поток намагничивающей силой обмоток, обтекаемых током, или с помощью постоянных магнитов.

Расчет магнитной цепи заключается в установлении связи между магнитным потоком, током в обмотках, числом витков и геометрическими размерами цепи с учетом магнитных свойств материалов, из которых она выполнена. Если магнитная цепь состоит из участков с постоянными сечениями по их длине, применяется приближенный метод, основанный на допущении равномерного распределения потока по сечению магнитной цепи.
Самой простой магнитной цепью этого типа является тороид, средний диаметр которого значительно больше поперечных размеров магнитопровода (см. рис. 1.14). Поток тороида

Магнитные цепи и их расчёт

где F —wl — намагничивающая сила (н. с.), l — длина средней линии, а величина
Магнитные цепи и их расчёт

Подобно направлениямМагнитные цепи и их расчёт и I в электрических цепях нужно ввести положительные направления F и Ф в магнитных цепях. За положительное направление потока принимается то, которое связано с направлением намагничивающего тока правилом правого винта. Положительное направление и. с. в рассмотренной простой магнитной цепи совпадает с направлением потока Ф.

Магнитные цепи и их расчёт

Для разветвленной магнитной цепи, например цепи рис. 5.1, а, могут быть получены зависимости, аналогичные законам Кирхгофа, если заменить токи I на потоки Ф, э. д. с. Магнитные цепи и их расчёт на н. с. F, электрические сопротивления R на магнитные сопротивления Rm. Тогда для узлов магнитной цепи по аналогии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма

Магнитные цепи и их расчёт

выражает принцип непрерывности магнитного потока. Для контуров по аналогии со вторым законом Кирхгофа

Магнитные цепи и их расчёт

Здесь также должны быть учтены направления Fk и Фk.

Расчетная аналогия между электрическими и магнитными цепями не распространяется на физические процессы. В отличие от э. д. с., которая движет в проводниках элементарные заряды, н. с. движения не вызывает. В соответствии с законом Джоуля — Ленца в электрической цепи происходит непрерывная затрата электрической энергии; постоянное магнитное поле, раз созданное, не требует энергии для своего поддержания. В электрической цепи возможно существование э. д.с. без тока, когда цепь разомкнута, т.е. R =Магнитные цепи и их расчёт, в магнитной цепи при наличии н. с. всегда существует замкнутый магнитный поток, т. е. Rm в бесконечность не обращается.

Для магнитных цепей представляет интерес как прямая задача — нахождение потока по заданной н. с., так и обратная задача — определение потребных н. с. по заданному потоку в одном из участков.

Расчет линейных магнитных цепей

В ряде устройств их магнитные цепи работают на практически прямолинейном участке основных кривых намагничивания, т. е. могут рассматриваться как линейные.
В линейной магнитной цепи магнитная проницаемость участков постоянна и, следовательно, их магнитное сопротивление также является величиной постоянной. Решение как прямой, так и обратной задачи требует предварительного определения магнитного сопротивления участков цепи.

Расчет неразветвленной магнитной цепи постоянного сечения выполняется аналогично тороиду ; здесь l — также длина средней линии. Необходимо отметить, что наличие магнитного рассеяния приводит к неравномерному распределению потока вдоль магнитной цепи и расчет крайне затрудняется. В дальнейшем рассматривается только приближенный учет рассеяния.

Если разветвленная магнитная цепь (рис. 5.1, а и 5.2, а) представляет собой соединение призматических или цилиндрических участков, выполненных из материалов с различной ц, вычисление магнитных сопротивлений участков производится однозначно. Если материал всей цепи один и тот же, разделение ее на участки в известных пределах произвольно; средние линии показаны пунктиром.
После определения сопротивлений участков можно весьма наглядно
изобразить магнитную цепь наподобие электрической, как это сделано
на рис. 5.1, б для магнитной цепи рис. 5.1, а с двумя н. с. и на рис. 5.2, б для магнитной цепи рис. 5.2, а с одной н. с.

Магнитные цепи и их расчёт

В таких цепях должны быть указаны положительные направления н. с. и магнитных потоков. Если не все направления известны, ими следует задаться с тем, чтобы в результате расчета определить правильные направления.
Расчет линейной цепи как для прямой, так и для обратной задачи выполняется подобно расчету электрической цепи аналогичными методами — по зависимостям, аналогичным законам Кирхгофа, методами преобразования магнитных цепей, контурных потоков, наложения, взаимности и узловых магнитных напряжений. Так, для цепи рис. 5.2, пользуясь методом преобразования, можно написать:

Магнитные цепи и их расчёт

Расчет нелинейных магнитных цепей

 Неразватвленная нелинейная (ферромагнитная) цепь:

В электротехнике самое широкое применение нашли магнитные цепи из ферромагнитных материалов, так как они имеют относительно малое магнитное сопротивление. Это позволяет при заданном магнитном потоке соответственно уменьшить н. с. при тех же размерах магнитопровода или размеры магнитопровода при той же н. с. Ферромагнитные цепи нелинейны, так как их магнитная проницаемость Магнитные цепи и их расчёт является функцией напряженности поля. К таким цепям можно применять методы расчета, аналогичные тем, которые были изложены в гл. 4-для электрических нелинейных цепей.

Далее рассматривается наиболее простой, но весьма важный для практики графо-аналитический метод расчета обратной задачи, для неразветвленной магнитной цепи. Пусть задана та индукция Вв, которую надо получить в воздушном зазоре электромагнита с участками магнитопровода, выполненными из разных материалов (рис. 5.3). Требуется найти необходимую н. с.

Магнитные цепи и их расчёт

По заданным размерам магнитопронода проводится средняя линия пути потока во всех участках и определяется длина каждого из них. Длина d воздушного зазора должна быть задана.
Затем определяется полезный поток в воздушном зазоре

Магнитные цепи и их расчёт

где SB — его сечение, принимаемое равным сечению полюсов, т. е. участков l и 5.
Поток Фм в магнитопроводе за счет рассеяния у краев воздушного зазора несколько больше:

Фм = σФВ,

где σ — коэффициент рассеяния; величина его зависит от формы
магнитопровода и лежит в пределах от 1,1 до 1,4.
По индукции в каждом из k участков магнитопровода

Магнитные цепи и их расчёт

находят напряженность поля Нк для каждого из участков по основным кривым намагничивания В (Н) соответствующих материалов (рис. 5.4).

Магнитные цепи и их расчёт

Для воздушного зазора напряженность поля

Магнитные цепи и их расчёт

Затем для отдельных участков магнитопровода и для воздушного зазора находят н. с.

Магнитные цепи и их расчёт

и их суммированием — полную н. с. Магнитные цепи и их расчёт. Для магнитной цепи рис. 5.3, так как участки l и 5, а также 2 и 4 одинаковы, полная н. с.

По найденной н. с. и по заданному напряжению U, питающему обмотку, приближенно может быть найдено число витков w. Так как длина витков обмотки различна — внутренних меньше, наружных больше, то расчет начинается с определения длины среднего витка lср по известным размерам магнитопровода и выбранному расположению обмотки. Тогда из закона Ома

Магнитные цепи и их расчёт

(где р — удельное сопротивление материала обмотки) определяется сечение провода

Магнитные цепи и их расчёт

По сортаменту проводов выбирают ближайшее большее сечение Sc провода и определяют сечение провода с изоляцией Sиз. После этого можно найти число витков по отношению площади окна (за вычетом сечения каркаса катушки и пр.) к сечению провода с изоляцией S0

Магнитные цепи и их расчёт

где а — коэффициент заполнения, учитывающий воздушные промежутки, остающиеся между проводами при намотке катушки; его величина лежит в пределах от 0,7 до 0,85 и зависит от формы сечения провода (для круглого меньше, для прямоугольного больше). Затем из приведенного выражения определяется плотность тока в обмотке:

Магнитные цепи и их расчёт

Если полученная плотность тока превышает допустимую по нагреву, то это значит, что размеры магнитной цепи (площадь окна) не позволяют получить заданную индукцию.

Прямая задача расчета этой магнитной цепи — нахождение индукции в воздушном зазоре по заданной н. с. — решается графическим методом. В соответствии с указанной в  аналогией, вольтамперным характеристикам U (I) электрических цепей соответствуют ампервеберные характеристики F (Ф) магнитных цепей.

Построение характеристик Fkk) для отдельных участков магнитной цепи производят по кривым намагничивания Вкк) материала участка. Для этого ординаты Вк кривой намагничивания умножают на площадь сечения участка Sk и откладывают BkSk = Фk по оси абсцисс; абсциссы кривой намагничивания Нк умножают на длину участка Iк и откладывают Hklk = Fk по оси ординат.

Для воздушного зазора получается прямая линия, в уравнении которой учитывается, что рассеяние увеличивает реальное сечение потока по сравнению с сечением SB полюсов, примерно в σ раз, т. е. ординаты прямой Вв = Магнитные цепи и их расчёт умножают на SBσ и откладывают Магнитные цепи и их расчёт по оси абсцисс, а абсциссы Нв умножают на длину воздушного зазора d и откладывают HBd =FB по оси ординат.

Для магнитной цепи рис. 5.3 по ампервеберным характеристикам отдельных участков (одинаковые участки l и 5, а также 2 и 4 можно объединить), суммированием н. с. F (ординат) для разных значений потока (абсцисс) строится ампервеберная характеристика F (Ф) всей цепи (рис. 5.5).

Магнитные цепи и их расчёт

При этом целесообразно начать построение для предельного значения потока Фm, которое можно вычислить для заданной н. с. F’, если пренебречь магнитным сопротивлением магнитопровода по сравнению с магнитным сопротивлением RmB воздушного зазора:

Магнитные цепи и их расчёт

Затем по кривой F(Ф) для заданного значения н. с. F’ находится значение Ф’, а затем искомая индукция в воздушном зазоре

Магнитные цепи и их расчёт

а также индукция в любом участке цепи:

Магнитные цепи и их расчёт

Разветвленная нелинейная (ферромагнитная) цепь

Пренебрегая рассеянием, решается обратная и прямая задачи расчета разветвленной магнитной цепи, изображенной на рис. 5.2, а. Каждый из трех участков этой цепи имеет свое сечение Sk, среднюю длину 1к и выполнен из своего материала. Выбранные направления потоков показаны на рис. 5.2, а.
Пусть в обратной задаче необходимо найти н. с. F, обеспечивающую заданное значение индукции В3 в третьем участке намагничивания поля.

Сначала находят поток Ф3 = B3S3, а по кривой намагничивания В33) для материала третьего участка определяют напряженность поля Н3 и н. с. F3 = H3l3. Так как участки 2 и 3 соединены параллельно, то F3 = F2 = H2l2; отсюда вычисляют Магнитные цепи и их расчёт, а по кривой намагничивания В2 (H2) находят соответствующее значение магнитной индукции В2 и поток Ф2 = B2S2.

Затем по аналогу первого закона Кирхгофа определяют поток Ф1 = Ф2 + Ф3, индукцию Магнитные цепи и их расчёт и по кривой В1(H1) — напряженность поля Н1, а по ней — н. с. Магнитные цепи и их расчёт

На основании аналога второго закона Кирхгофа искомая н. с. F = F1 + F2.
Прямая задача нахождения В3 по заданной н. с. F’ решается построением ампервеберной характеристики всей цепи по характеристикам отдельных участков Fkк) (рис. 5.6), построенных аналогично указанному в п. 1 этого
параграфа. Сначала сложением потоков Ф2 и Ф3 (абсцисс) параллельно соединенных участков для одинаковых значений н. с. (ординат) строят кривую F (Ф).

Магнитные цепи и их расчёт

Затем для последовательно соединенных участков l и 2, 3 складывают н. с. (ординаты) F1 и F23, что дает амперментную характеристику F (Ф) всей цепи. По этой кривой для заданной н. с. F’ находят поток Ф ‘, которому на кривой F23(Ф) соответствует н. с. F23 = F3, а для нее по кривой F3(Ф) определяется поток Ф3, откуда искомая индукция

Магнитные цепи и их расчёт

Аналогия с электрическими цепями может быть использована и для расчета более сложных магнитных цепей, например цепей с последовательно параллельным соединением участков, имеющих несколько обмоток с токами (см. рис. 5.1). В этом случае должны быть применены построения, изложенные  для электрических цепей, содержащих источники напряжения.
Расчет потоков рассеяния можно выполнить для некоторых простых случаев методами теории электромагнитного поля (см. ч. IV).

Расчет цепи с постоянным магнитом

Постоянные магниты применяются в измерительных приборах, магнето, электрических машинах без возбуждения постоянным током, поляризованных реле, устройствах автоматики и телемеханики и т.д.
Широкому применению постоянных магнитов способствуют большие успехи, достигнутые мировой техникой в деле изготовления высоко качественных магнитнотвердых материалов, имеющих большую коэрцитивную силу Нс и остаточную индукцию Вr.

При изготовлении тороидального магнита после снятия с ферромагнитного тороида намагничивающей его обмотки, в нем создают зазор d, получая таким образом постоянный магнит длиной I и сечением 5 (рис. 5 7). Основной характеристикой магнита является часть петли гистерезиса, лежащая во втором квадранте, — кривая размагничивания (рис. 5.8) в координатах В (Н) или пропорциональных им величинах Ф (F), так как Ф = BS, a F= HI.

Магнитные цепи и их расчёт

При отсутствии зазора остаточный поток и индукция в тороиде равны соответственно Ф, и Вг, а напряженность поля Н = 0, так как при отсутствии обмотки с током по закону полного тока

Магнитные цепи и их расчёт

При наличии воздушного зазора также

Магнитные цепи и их расчёт

где FM — н. с. магнита, FB — н. с. воздушного зазора.
Предполагая сохранение однородности поля в магните и зазоре,

Тогда Магнитные цепи и их расчёт

Магнитное сопротивление при появлении зазора увеличивается.

Из-за этого магнитный поток и индукция должны уменьшиться по сравнению с Ф, и Вг, т. е. рабочая точка на кривой размагничивания должна несколько опуститься, где ей будут соответствовать отрицательные значения н. с. FM и напряженности поля НM в сердечнике магнита.

Из-за постоянства магнитного сопротивления зазора

Магнитные цепи и их расчёт

где SB — сечение зазора; зависимость потока ФB в нем от величины н. с.
FB = RMФв изображается прямой линией, проходящей через начало координат (см. рис. 5.8) и образующей угол а с осью ординат, определяемый соотношением
Магнитные цепи и их расчётгде коэффициент k равен отношению масштабов по осям абсцисс и ординат. Ее наклон к оси абсцисс тем больше, чем больше RM, т. е. чем
больше зазор d. При пренебрежении рассеянием потоки Фв и Фм равны между собой и рабочая точка п, определяющая искомый поток магнита, лежит на пересечении прямой Фв (— Fв) с кривой размагничивания Фм(—Фм).

Магнитные цепи и их расчёт

Таким образом, поток магнита тем меньше остаточного потока Фr, чем больше зазор d.

Энергия магнитного поля в зазоре, учитывая соотношение между Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

т. е. равна энергии внутри магнита.
Вопрос о наивыгоднейшем положении рабочей точки n на кривой размагничивания определяется энергетическими соображениями — магнит должен работать в таком режиме, чтобы энергия магнитного поля в зазоре была максимальной.

Эта энергия, пропорциональная в каждой точке кривой размагничивания произведению ее ординаты на ее абсциссу, графически представлена как функция индукции в первом квадранте рис. 5.9, где по оси абсцисс отложена энергия. Для всех магнитнотвердых материалов по данным опыта с достаточной степенью точности можно принять, что рабочая точка m, соответствующая максимуму энергии, лежит на пересечении кривой размагничивания с диагональю прямоугольника, построенного на Вr и Hc.

В технике применяются также магниты сложной формы с неоднородным полем и большим рассеянием, из-за чего их расчет значительно усложняется. В реальных условиях использования постоянного магнита в его зазор вводятся дополнительные детали из магнитномягкого материала.

Так, например, в зазоре постоянного магнита в измерительном приборе
магнитоэлектрической системы (см. рис. 2.12) расположены ферромагнитные полюсные наконечники и цилиндрический сердечник.

Введение этих деталей вызывает уменьшение зазора и его магнитного
сопротивления. Магнитным сопротивлением самих деталей можно пренебречь.
Если магниту без деталей соответствовала индукция В1 (рис. 5.10) при Магнитные цепи и их расчёт, то введение деталей, уменьшив магнитное сопротивление до величины Магнитные цепи и их расчёт из-за гистерезиса увеличит индукцию не до точки B2 лежащей на кривой размагничивания, а до В2, лежащей на той же прямой ОВ2 и но ниже точки В2. Переход к новому значению индукции будет происходить по кривой В2аВ1. Если эти детали удалить, обратный переход идет по кривой В21. Кривая Магнитные цепи и их расчёт называется частной петлей гистерезиса.
Так ка практически эта петля очень узка, то ее часто заменяют прямой возврата B1B2.

Такие переходы имеют место в электрических машинах с постоянными магнитами, в телефонных индукторах, магнето и т. п. Магнитное сопротивление воздушного зазора этих машин изменяется при вращении ротора, так как последний имеет сложную форму.

Магнитное поле и его параметры

Если магнитную стрелку поместить около проводника, по которому проходит ток, то на стрелку будут действовать силы, заставляющие стрелку установиться в определенном направлении. Если проводник с током вращать вокруг оси, перпендикулярной оси проводника, то и стрелка будет вращаться вместе с проводником.

Пространство, в котором обнаруживается действие сил на магнитную стрелку или ток, называется магнитным полем, магнитное поле создается электрическим током. Следовательно, магнитное поле и электрический ток неразрывно связаны. Магнитное поле не может существовать без электричекого тока.

За направление магнитного поля принимается направление, в котором устанавливается северный конец магнитной стрелки, расположенной в этом магнитном поле.

Для наглядности магнитное поле изображается магнитными линиями, которые в отличие от электрических линий всегда замкнуты. В качестве примера на рис. 7.1а приведены магнитные линии постоянного магнита прямоугольной формы.

Направление магнитных линий, т.е. направление магнитного (МП), и направление тока Магнитные цепи и их расчёт в проводниках различной конфигурации, создающего это поле, связаны правилом буравчика, прямого тока правило буравчика формулируется так: если поступательное движение буравчика совпадает с направлением прямого тока, то вращательное движение рукоятки буравчика при прямом указывает направление магнитного поля. Магнитное поле прямого тока, т. е. тока в прямолинейном проводнике, показано на рис. 7.1б.

Для кругового тока: если вращательное движение буравчика совпадает с направлением кругового тока, то поступательное движение буравчика при этом указывает направление магнитного поля. Поле кругового тока изображено на рис. 7.1 в.

Магнитные цепи и их расчёт

На рис. 7.1г изображено магнитное поле, созданное током Магнитные цепи и их расчёт в цилиндрической катушке. Магнитное поле цилиндрической катушки с током аналогично магнитному полю прямоугольного магнита (рис. 7.1а). По аналогии этих полей конец катушки, из которого выходят магнитные линии, будет считаться северным полюсом N катушки, а конец, в который входят магнитные линии, – южным полюсом S катушки. Следовательно, магнитное поле цилиндрической катушки полярно, т. е. имеет северный N и южный S полюса. Полярным также является магнитное поле кругового тока (рис. 7.1 в), т. е. там, где магнитные линии выходят из круга, – северный полюс N, а там, где входят в круг, — южный полюс S круга.

В проводнике с током и вокруг него магнитное поле обусловлено этим током. Внутри постоянного магнита или намагниченного тела магнитное поле обусловлено внутренним и внутримолекулярным направленным движением элементарных заряженных частиц.

В атоме любого вещества вокруг ядра направленно, по определенным орбитам вращаются электроны (круговой ток). Следовательно, атомы любого вещества являются элементарными магнитными, которые называются доменами. Домены имеют северный полюс. Полярность домена зависит от направления тока нейтронов вокруг ядра. Направление тока электронов вокруг атома противоположно направлению вращения электрона.

Под влиянием внешних факторов (внешнего магнитного поля) магнитики-домены могут ориентироваться, т. е. поворачиваться в определенном направлении. Ориентация в определенном направлении обуславливает намагничивание. Все материалы обладают различной способностью намагничивания (магнитная проницаемость). Таким образом, намагнитить данный материал — значит сориентировать элементарные магнитики этого материала в определенном направлении, ограниченный материал, как и постоянный магнит, создает внешнее магнитное поле. 
 

Магнитная индукция

Для характеристики интенсивности магнитного поля вводится понятие магнитной индукции. Магнитная индукция характеризуется силой, действующей на движущийся в магнитном поле электрический заряд (ток). Обозначается магнитная индукция кривой В.

Магнитные цепи и их расчёт

Элементарная магнитная индукция Магнитные цепи и их расчётсозданная в какой-либо А элементом длины проводника Магнитные цепи и их расчёт по которому проходит ток I, на расстоянии г от элемента длины Магнитные цепи и их расчёт(рис  7.2) определяется выражением:
Магнитные цепи и их расчёт
Где: Магнитные цепи и их расчёт — абсолютная магнитная проницаемость среды, в которой определяется индукция; Магнитные цепи и их расчёт – радиус-вектор (расстояние между элементом длины Магнитные цепи и их расчёти исследуемой точкой А);  Магнитные цепи и их расчёт – угол между направлением тока Магнитные цепи и их расчёт по элементу длины провод, ника и радиусом-вектором Магнитные цепи и их расчёт

Для определения магнитной индукции В, которая создается всем проводником длиной Магнитные цепи и их расчёт с током I, в точке А необходимо просуммировать (проинтегрировать) элементарные индукции Магнитные цепи и их расчёт по всей длине проводника

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитная индукция – величина векторная. Вектор магнитной индукции в каждой точке магнитного поля направлен по касательной к магнитной линии в этой точке.

В качестве примера определяется магнитная индукция в центре кольцевого проводника радиусом Магнитные цепи и их расчёт по которому проходит ток I (рис. 7.3).

Магнитные цепи и их расчёт

Величина магнитной индукции определяется по выражению (7.2), т.е.

Магнитные цепи и их расчёт (согласно (7.1)).

Так как радиус окружности Магнитные цепи и их расчёт всегда перпендикулярен касательной к окружности, т.е. Магнитные цепи и их расчёт то Магнитные цепи и их расчёт

Вынося постоянные величины за знак интеграла, получим

Магнитные цепи и их расчёт

ТогдаМагнитные цепи и их расчёт

Иначе Магнитные цепи и их расчёт

где Магнитные цепи и их расчёт — диаметр окружности.

Таким образом, магнитная индукция в магнитном поле пропорциональна величине токаМагнитные цепи и их расчёт создающего поле, и абсолютной магнитной проницаемости среды Магнитные цепи и их расчёт в которой она создается. Кроме того, магнитная индукция в каждой точке магнитного поля зависит от формы проводника, по которому проходит ток, создающий магнитное поле, от длины этого проводника и от расстояния между исследуемой точкой и этим проводником.

Магнитное поле, магнитная индукция в каждой точке которого нет одинаковое значение и магнитные линии параллельны друг другу, называется однородным.

Основной единицей измерения магнитной индукции является Магнитные цепи и их расчёт Однако в практических расчетах иногда рационально воспользоваться единицами, эквивалентными основной единице:

Магнитные цепи и их расчёт
Кроме того, иногда пользуются единицей магнитной индукции: Магнитные цепи и их расчёт

Магнитная проницаемость

Из выражений (7.1) и (7.3) следует, что магнитная индукция в магнитном поле зависит от абсолютной магнитной проницаемость Магнитные цепи и их расчёт характеризующей магнитные свойства среды, в которой дается поле.

Абсолютная магнитная проницаемость среды характеризует спорность среды намагничиваться. Единицей абсолютной магнитной проницаемости является (из (7.3))

Магнитные цепи и их расчёт

Абсолютная магнитная проницаемость вакуума Магнитные цепи и их расчёт – величина постоянная и называется магнитная постоянная. Ее значение равно

Магнитные цепи и их расчёт

Абсолютную магнитную проницаемость любой среды Магнитные цепи и их расчёт удобно выражать через магнитную постоянную Магнитные цепи и их расчёт и магнитную проницаемость Магнитные цепи и их расчёт которая показывает, во сколько раз абсолютная магнитная проницаемость среды больше или меньше магнитной постоянной:

Магнитные цепи и их расчёт
тогда Магнитные цепи и их расчёт

Иногда Магнитные цепи и их расчёт называют относительной магнитной проницаемостью.

В зависимости от магнитной проницаемости все вещества делятся на диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные.

1. Магнитная проницаемость диамагнитных (противомагнитных) веществ Магнитные цепи и их расчёт Так, например, для меди Магнитные цепи и их расчёт для серебра Магнитные цепи и их расчёт К диамагнитным веществам относятся кварц, водород, вода, медь, серебро и др.

2. Магнитная проницаемость парамагнитных веществ Магнитные цепи и их расчёт Так, например, для воздуха Магнитные цепи и их расчёт для платины Магнитные цепи и их расчёт К парамагнитным веществам относятся алюминии, кислород, воздух, платина и др.

Магнитная проницаемость диамагнитных и парамагнитных материалов – величина постоянная и в технических расчетах принимаются равной единице Магнитные цепи и их расчёт

3. Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов во много раз больше единицы Магнитные цепи и их расчёт Так, например, для чугуна Магнитные цепи и их расчёт для стали Магнитные цепи и их расчёт для пермаллоя Магнитные цепи и их расчёт К ферромагнитным материалам относятся сталь, никель, кобальт, их сплавы и др. Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от интенсивности магнитного поля и температуры, поэтому ее значения указаны приближенно.
 

Магнитный поток

Магнитный поток Ф сквозь площадку S, перпендикулярную вектору магнитной индукции Магнитные цепи и их расчёт в однородном магнитном поле, определяется выражением
Магнитные цепи и их расчёт
Магнитный поток измеряется в веберах (основная единица):
Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт
В практических расчетах встречается единица магнитного потока максвелл, которая в Магнитные цепи и их расчёт раз меньше вебера: т.е. Магнитные цепи и их расчёт

Если вектор магнитной индукции Магнитные цепи и их расчёт составляет угол Магнитные цепи и их расчёт с перпендикуляром к площадке S (рис. 7.4), то нормальная (перпендикулярная) составляющая вектора магнитной индукции Магнитные цепи и их расчёт определяется как BМагнитные цепи и их расчёт

В общем случае при определении магнитного потока через произвольную поверхность в неоднородном магнитном поле площадку S разбивают на бесконечно малые площадки Магнитные цепи и их расчёт для каждой из ко-поле можно считать однородным. Тогда элементарный магнитный поток Магнитные цепи и их расчёт через элементарную площадку Магнитные цепи и их расчёт определяется так:

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитный поток Ф через всю поверхность площадью S определется суммированием (интегрированием) элементарных магнитных потоков Магнитные цепи и их расчёт по всей площади S

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитный поток сквозь замкнутую поверхность равен нулю Магнитные цепи и их расчёт так как каждая магнитная линия, входящая в замкнутую поверхность, должна из нее выйти.

Магнитный поток, как один из параметров магнитного поля, необходимо знать или определять при анализе и расчете режима работы различных электротехнических приборов, устройств и установок (магнитных цепей, электрических машин, трансформаторов, электромагнитов различного назначения, электроизмерительных приборов и др.).
 

Напряженность магнитного поля

Напряженность в каждой точке магнитного поля — это расчетная величина, характеризующая интенсивность магнитного поля в точке, созданного током, без учета среды, в которой создается поле.

Обозначается напряженность магнитного поля буквой Н. Если в катушку, по которой проходит ток Магнитные цепи и их расчёт внести сердечник из терромагнитного материала (рис. 7.1 г), то величина магнитной продукции В в каждой точке магнитного поля увеличивается, а напряженность Н в этих точках остается неизменной.

Разница между напряженностью Н и индукцией В в какой-либо точке магнитного поля (хотя обе величины характеризуют интенсивность магнитного поля) заключается в том, что напряженность в точке магнитного поля характеризует интенсивность поля й точке, созданного током без учета магнитной проницаемость среды, в которой создается поле, а индукция в этой точке характеризует интенсивность магнитного поля, созданного током, которая намагничивается и изменяет его интенсивность; т.е напряженность является расчетной величиной, не имеющей физического смысла, так как физически невозможно представить обе, что интенсивность поля не зависит от среды.

Таким образом, соотношение между В и Н в какой-либо точке магнитного поля выглядит следующим образом:

Магнитные цепи и их расчёт

так как Магнитные цепи и их расчёт характеризует способность среды намагничиваться. Следовательно, напряженность в этой точкеМагнитные цепи и их расчёт

Из выражения (7.8) определяем единицу измерения напряженности в любой точке магнитного поля:
Магнитные цепи и их расчёт
В практических расчетах можно встретить единицу напряженности эрстед (Э).

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

Напряженность — величина векторная, причем направление вектора напряженности в каждой точке совпадает с направлением магнитного поля в этой точке (касательная к магнитной линии в этой точке).

Если магнитное поле создано несколькими токами, то напряженность в каждой точке этого поля определяется геометрической суммой напряженностей, созданных каждым током в этой точке (рис. 7.5):

Магнитные цепи и их расчёт

Очевидно, для каждой точки магнитного поля напряженность имеет определенную величину и направление.
 

Закон полного тока

Допустим, что в точке А вектор напряженности Н составляет угол Магнитные цепи и их расчёт с элементом длины Магнитные цепи и их расчёт замкнутого контура, ограничивающего поверхность, пронизываемую токами Магнитные цепи и их расчёт (рис. 7.6).

Проекцию вектора напряженности Яна элемент длины контура Магнитные цепи и их расчёт или на его продолжение Магнитные цепи и их расчёт, называют продольной составляющей вектора напряженности:

Магнитные цепи и их расчёт

Сумма (интеграл) произведений элементов длины Магнитные цепи и их расчёт замкнутого контура и продольных составляющих Магнитные цепи и их расчёт в каждой точке этого контура, взятая по всему контуру, называется магнитным напряжением Магнитные цепи и их расчёт или магнитодвижущей силой Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

Выражение Магнитные цепи и их расчётиногда называют циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру.

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитное напряжение Магнитные цепи и их расчёт магнитодвижущая сила F измеряются в амперах:

Магнитные цепи и их расчёт

Алгебраическая сумма токов, пронизывающих площадь, ограниченную замкнутым контуром(рис. 7.6), называется полным током сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Магнитные цепи и их расчёт

Это и есть математическое выражение полного тока для площади, ограниченной контуром (рис. 7.6).

Для определения знака каждого тока (7.10), пронизывающего площадь, ограниченную замкнутым контуром, задаются направлением обхода контура (по или против часовой стрелки). Тогда ток, совпадающий с поступательным движением буравчика, рукоятка которого вращается в заданном направлении обхода контура, в алгебраической сумме берется со знаком «плюс».

Установлено, что магнитное напряжение (магнитодвижущая сила) поля по замкнутому контуру равно полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром:

Магнитные цепи и их расчёт

Формула (7.11) и есть математическое выражение закона полностью тока. 

Если напряженность имеет одинаковую величину по всему контуру и направлена по магнитной линии Магнитные цепи и их расчёт то уравнение закона полного тока упрощается:

Магнитные цепи и их расчёт

Закон полного тока нашел широкое применение для расчета магнитных цепей, магнитных полей, прямого тока, тока катушки и др.

Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Напряженность в каждой точке магнитного поля, созданного током прямолинейного проводника, и индукцию в этой точке легко определить, воспользовавшись законом полного тока. То есть закон полного тока позволяет определить интенсивность магнитного поля (Н и В) в любой точке А магнитного поля, расположенной на расстоянии Магнитные цепи и их расчёт от центра прямолинейного проводника радиусом Магнитные цепи и их расчёт по которому проходит ток Магнитные цепи и их расчёт (рис. 7.7).

Можно определить Н и В, созданные током Магнитные цепи и их расчёт в точке А, расположенной:

1) вне проводника с током и

2) внутри проводника с током.
Магнитные цепи и их расчёт
1. Напряженность в точке А, расположенной вне проводника с током, т. е. Магнитные цепи и их расчёт (рис. 7.7а), определяется по закону полного тока. Для этого через точку А проводится условная окружность радиусом Магнитные цепи и их расчёт  Эта окружность и является контуром, который ограничивает площадь круга, пронизываемую током Магнитные цепи и их расчёт

Таким образом, полный ток Магнитные цепи и их расчёт

Тогда Магнитные цепи и их расчёт

При этом напряженность Магнитные цепи и их расчёт и по всей окружности радиусом Магнитные цепи и их расчёт имеет одинаковое значение, а Магнитные цепи и их расчёт — длина окружности радиусом Магнитные цепи и их расчёт

Таким образом, величина напряженности в точке А, расположенной вне проводника, будет равна

Магнитные цепи и их расчёт

Величина магнитной индукции в точке А согласно выражению (7.15)

Магнитные цепи и их расчёт

Если магнитное поле создается в воздухе, т.е. Магнитные цепи и их расчёт, тогда

Магнитные цепи и их расчёт

Интенсивность магнитного поля в любой точке А, расположенной проводника с током, обратно пропорциональна расстоянию Магнитные цепи и их расчёт от проводника до этой точки ((7.14), (7.15) и (7.16)).

Напряженность в точке А, расположенной внутри проводника с током, Магнитные цепи и их расчёт (рис. 7.7б), также определяется по закону полного тока. Окружность радиусом Магнитные цепи и их расчёт ограничивает площадь сечения Магнитные цепи и их расчёт Сечение проводника радиусом Магнитные цепи и их расчёт равно Магнитные цепи и их расчёт Плотность тока в проводнике определяется как Магнитные цепи и их расчёт Тогда величину напряженности магнитного поля в точке А внутри проводника можно рассчитать по формуле
Магнитные цепи и их расчёт
Величина магнитной индукции в той же точке А внутри проводка будет равна    ,

Магнитные цепи и их расчёт

Интенсивность магнитного поля в любой его точке, расположенной внутри проводника с током, пропорциональна расстоянию Магнитные цепи и их расчёт от центра проводника до этой точки ((7.17) и (7.18)).

Зависимость интенсивности магнитного поля внутри Магнитные цепи и их расчёти вне Магнитные цепи и их расчёт проводника с током от расстояния от центра Магнитные цепи и их расчёт проиллюстрирована на графике рис. 7.7в. Из графика видно, что с увеличением расстояния Магнитные цепи и их расчёт от центра внутри проводника интенсивность поля Магнитные цепи и их расчёт увеличивается пропорционально Магнитные цепи и их расчёт а за пределами проводника уменьшается обратно пропорционально Магнитные цепи и их расчёт Таким образом, наибольшей интенсивности магнитное поле достигает на поверхности проводника с током, при Магнитные цепи и их расчёт

Пример 7.1

По медному проводнику радиусом Магнитные цепи и их расчёт проходит ток Магнитные цепи и их расчёт Определить напряженность и индукцию магнитного поля, созданного этим током, на расстоянии Магнитные цепи и их расчётМагнитные цепи и их расчёт от центра проводника.

Решение

Вычисление значений Ни В производят по выражениям (7.14), (7.15), (7.17) и (7.18), учитывая, что Магнитные цепи и их расчёт Для среды вокруг и внутри медного провода. Итак:

Магнитные цепи и их расчёт

Таким образом, пример 7.1 подтверждает, что наибольшая интенсивность магнитного поля имеет место на поверхности проводника с током. Кроме того, напряженность магнитного поля на поверхности проводника можно определить по формулам (7.14) или (7.17) — результат получается одинаковым.
 

Магнитное поле кольцевой и цилиндрической катушек

Напряженность магнитного поля кольцевой катушки с числом токов W, по которым проходит ток I (рис. 7.8а), определяется е по закону полного тока.

Магнитные цепи и их расчёт

Точка А находится на окружности радиусом Магнитные цепи и их расчёт и длиной Магнитные цепи и их расчёт образующей замкнутый контур. Поверхность, ограниченную контуром, пронизывают все W витков, по которым проходит ток I. Следовательно, полный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную этим замкнутым контуром, будет равен Магнитные цепи и их расчёт

Напряженность поля Н во всех точках замкнутого контура одинакова и направлена по касательной в каждой точке окружности (рис. 7.8а).

Для определения напряженности Н в любой точке этой окружности можно воспользоваться выражением (7.12):

Магнитные цепи и их расчёт

Произведение тока Магнитные цепи и их расчёт и числа витков обмотки W, т. е. Магнитные цепи и их расчёт называют ампер-витками.

Таким образом, напряженность магнитного поля в любой точке кольцевой катушки определяется ампер-витками Магнитные цепи и их расчёт приходящимися на единицу длины Магнитные цепи и их расчёт этой катушки:

Магнитные цепи и их расчёт

На расстоянии Магнитные цепи и их расчёт меньше Магнитные цепи и их расчёт и больше Магнитные цепи и их расчёт магнитное поле отсутствует, так как полный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную окружностью радиусом Магнитные цепи и их расчёт (меньше Магнитные цепи и их расчёт и больше Магнитные цепи и их расчёт), равен нулю Магнитные цепи и их расчёт т. е. магнитное поле вне катушки отсутствует.

Напряженность в любой точке кольцевой катушки можно определить выражением (7.19), если воспользоваться частью кольцевой катушки длиной Магнитные цепи и их расчёт на которой расположена часть витков Магнитные цепи и их расчёт катушки (рис. 7.86):

Магнитные цепи и их расчёт

Цилиндрическую катушку (рис. 7.8в) можно рассматривать как часть кольцевой катушки (рис. 7.86) с бесконечно большим радиусом. Поэтому и для цилиндрической катушки справедливо выражение

Магнитные цепи и их расчёт
Используя это уравнение, можно определить напряженность в точке А, расположенной на осевой линии цилиндрической катушки длиной Магнитные цепи и их расчёт (рис. 7.8в). Однако выражение (7.19) является приближенным.

Ошибка в определении напряженности в цилиндрической катушке будет тем меньше, чем больше длина катушки, меньше ее сечение и исследуемая точка лежит ближе к центру цилиндра.

Более точным выражением для определения величины напряженности в точке А на осевой линии цилиндрической катушки является выражениеМагнитные цепи и их расчёт

Величина магнитной индукции в точке А цилиндрической катушкиМагнитные цепи и их расчёт

Пример 7.2

Определить напряженность в точке А на оси катушки (рис. 7.9), если ток в катушке Магнитные цепи и их расчёт число витков катушки Магнитные цепи и их расчёт Вычислить ошибку, полученную при определении напряженности в точке А по приближенному выражению (7.19). Габариты катушки даны в сантиметрах.

Магнитные цепи и их расчёт

Решение
Определяется напряженность магнитного поля в точке по приближенному выражению:

Магнитные цепи и их расчёт
Магнитные цепи и их расчёт

Для определения напряженности в точке А по более точному напряжению определяется Магнитные цепи и их расчёт Причем Магнитные цепи и их расчёт так равны углы Магнитные цепи и их расчёт
Магнитные цепи и их расчёт
Тогда

Магнитные цепи и их расчёт

Погрешность, полученная при определении напряженности по приближенному выражению:

Магнитные цепи и их расчёт

Электромагнитная сила

В однородное магнитное поле с индукцией В помещен проводник длиной Магнитные цепи и их расчёт по которому проходит ток Магнитные цепи и их расчёт направленный перпендикулярно магнитным линиям (рис. 7.10а).

Вокруг проводника с током создается магнитное поле Магнитные цепи и их расчёт которое накладывается на магнитное поле Магнитные цепи и их расчёт

Направление поля Магнитные цепи и их расчёт определяется по правилу буравчика. В результате наложения магнитных полей (рис. 7.10), справа от проводника магнитное поле усиливается, а слева ослабляется (рис. 7.10б). В результате такого наложения полей, как видно из рис. 7.10б, на проводник с током в магнитном поле действует сила Магнитные цепи и их расчёт под действием которой проводник будет вытесняться из магнитного поля в определенном направлении.

Эта сила Магнитные цепи и их расчёт т. е. сила взаимодействия тока с магнитным полем, называется электромагнитной силой.

Направление электромагнитной силы определяется по правилу левой руки:

Левую руку располагают так, чтобы магнитные линии входили в ладонь, вытянутые четыре пальца совпадали с направлением тока в проводнике, тогда отогнутый большой палец укажет направление электромагнитной силы.

Направление электромагнитной силы Магнитные цепи и их расчёт на рис. 7.106 подтверждает это правило.

Очевидно, на проводник длиной Магнитные цепи и их расчёт по которому проходит ток Магнитные цепи и их расчёт перпендикулярно магнитным линиям поля с индукцией В действует электромагнитная сила

Магнитные цепи и их расчёт

Электромагнитная сила, т. е. сила взаимодействия тока I, проходящего по проводнику длиной Магнитные цепи и их расчёт перпендикулярно магнитному полю с индукцией В, пропорциональна произведению этих величин.

Магнитные цепи и их расчёт

Если же проводник с током Магнитные цепи и их расчёт поместить в однородное магнитное поле под углом Магнитные цепи и их расчёт (рис. 7.11), то величина электромагнитной силы определяется по формуле (7.23).

В общем случае для однородного магнитного поля и прямолинейного проводника с током, расположенного в этом поле, величина электромагнитной силы определяется выражением
Магнитные цепи и их расчёт
где Магнитные цепи и их расчёт — активная длина проводника, т. е. часть проводника, которая находится в магнитном поле; Магнитные цепи и их расчёт – угол между током и магнитным полем.

Единица силы ньютон связана с единицей магнитной индукции тесла следующим соотношением:

Магнитные цепи и их расчёт

Если в неоднородное магнитное поле помешен криволинейный проводник с током Магнитные цепи и их расчёт то элементарную бесконечно малую электромагнитную силу Магнитные цепи и их расчёт действующую на бесконечно малый элемент длины проводника Магнитные цепи и их расчёт для которого поле считается однородным, определяют выражением

Магнитные цепи и их расчёт

Для вычисления электромагнитной силы, действующей на весь проводник, элементарные электромагнитные силы Магнитные цепи и их расчёт суммируются (интегрируются) по всей активной длине проводника Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

Взаимодействие тока с магнитным полем широко используется электрических машинах, электроизмерительных приборах, тяговых и подъемных электромагнитах, контакторах и др.

Электромагнитные силы приходится учитывать при расчете электрических аппаратов, распределительных устройств электростанций, линий электропередачи, сетей и в других случаях.
 

Взаимодействие проводников с токами

Параллельное расположение проводников стоками на практике встречается часто, например в линиях электропередачи, при установлении шин распределительных устройств электрических станций и подстанций, в кабелях и др. Для того чтобы правильно выдать провода, шины, изоляторы, на которых они закреплены, приходится определять электромагнитные силы взаимодействия проводников или шин.

Магнитные цепи и их расчёт

Сила взаимодействия проводников с токамиМагнитные цепи и их расчёт (рис. 7.12), расположенных на расстоянии Магнитные цепи и их расчёт друг от друга параллельно по длине и зависит от индукции в созданной током одного проводника в центре другого, и тока другого проводника.

Индукция Магнитные цепи и их расчёт созданная током Магнитные цепи и их расчёт в центре второго проводника (рис. 7.126), определяется выражением (7.15):

Магнитные цепи и их расчёт

Тогда электромагнитная сила Магнитные цепи и их расчёт взаимодействия второго тока Магнитные цепи и их расчёт, индукции Магнитные цепи и их расчёт согласно (7.22) равна
Магнитные цепи и их расчёт

где Магнитные цепи и их расчёт – сила, с которой первый проводник действует на второй проводник. С такой же силой второй проводник действует на первый. Следовательно, это и есть сила взаимодействия двух проводников с током, т. е.

Магнитные цепи и их расчёт

Выражение (7.25) позволяет определить силу взаимодействия двух проводников с током с большой степенью точности, если длина параллельно расположенных проводников Магнитные цепи и их расчёт значительно больше расстояния Магнитные цепи и их расчёт между ними.

Выражение (7.25) является математическим выражением закона Ампера для определения силы взаимодействия проводников с током.

На практике удобно рассчитывать силу взаимодействия проводников с токами Магнитные цепи и их расчёт приходящуюся на единицу длины проводников:Магнитные цепи и их расчёт

Направление силы взаимодействия двух проводников с током можно определить по правилу левой руки, определив предварительно направление магнитной индукции каждого проводника в центре другого проводника (рис. 7.13).

Магнитные цепи и их расчётМагнитные цепи и их расчёт

Определить направление силы взаимодействия двух проводников с токами можно иначе — определив направления магнитных полей каждого проводника по правилу буравчика (рис. 7.14). Как видно на рис. 7.14а, магнитное поле между проводниками ослаблено, а на рис. 7.14б -усилено. Электромагнитные силы направлены в сторону ослабленного поля. В любом из предложенных методов определения направления электромагнитных сил (рис. 7.13 и 7.14) легко увидеть, что при одинаковом направлении взаимодействующих токов проводники притягивается (рис. 7.13а и 7.14а), а при разных направлениях — отталкивается (рис. 7.13б и 7.14б).

Пример 7.3

Определить величину и направление сил, действующих на единицу длины проводов 1, 2, 3 и 4, расположенных на расстояниях, показанных в сантиметрах на рис. 7.15а, если по проводам проходят токи:Магнитные цепи и их расчёт
Магнитные цепи и их расчёт
Решение

Для решения примера 7.3 необходимо определить расстояние между проводами (1-4) и (2—3), т.е. расстояние Магнитные цепи и их расчёт (рис. 7.15а).

Магнитные цепи и их расчёт

Расстояние между проводами Магнитные цепи и их расчёт Расстояние между проводами Магнитные цепи и их расчётТогда Магнитные цепи и их расчёт так как r и g являются катетами прямоугольного треугольника, а расстояние b является гипотенузой этого треугольника.

Силы взаимодействия между проводами с указанными токами, приходящиеся на единицу длины этих проводов, определяются выражению (7.26):
Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

При расчете учтено, что Магнитные цепи и их расчёт так как провода находятся в воздухе.

Направления сил взаимодействия указаны на рис. 7.15б.

Магнитные цепи и их расчет

В состав многих электротехнических устройств входят магнитные цепи.

Магнитная цепь представляет собой сочетание тел преимущественно из ферромагнитных материалов, в которых замыкается магнитный поток.

Простейшей магнитной цепью является сердечник кольцевой катушки (рис. 7.8а), в котором замыкается магнитный поток, соединенный током этой катушки. Магнитные цепи трансформатор, электрических машин, измерительных приборов и других электрических аппаратов имеют более сложную форму.

Отдельные участки магнитных цепей могут изготавливаться из различных ферромагнитных материалов различной формы и размеров. Одним из участков магнитной цепи может быть воздушный зазор.

Магнитные цепи и их расчёт

Конструктивно различают неразветвленные и разветвленные магнитные цепи (рис. 8.1).

Характерной особенностью неразветвленной магнитной цепи (рис 8.1а) является то, что магнитный поток Ф, созданный токами моток для всех участков и сечений магнитной цепи, имеет одинаковое значение (как ток в неразветвленной электрической цепи). Для разветвленной магнитной цепи (рис. 8.1б) характерно то, что созданный током магнитный поток Ф разветвляется, при этом его величина определяется алгебраической суммой магнитных потоков в разветвлениях Магнитные цепи и их расчёт (как и ток в разветвленной электрической цепи – по первому закону Кирхгофа).

Разветвленная магнитная цепь может быть симметричной или несимметричной. Цепь считается симметричной, если правая и левая ее части имеют одинаковые размеры, выполнены из одинакового материала (включая воздушные зазоры) и действующие в каждой части магнитодвижущие силы Магнитные цепи и их расчёт одинаковы.

Магнитные цепи могут быть однородными и неоднородными. Однородная магнитная цепь представляет собой замкнутый сердечник (рис. 7.8а), который по всей длине Магнитные цепи и их расчёт имеет одинаковое сечение S и выполнен из определенного материала.

Неоднородная магнитная цепь (рис. 8.1а) состоит из нескольких однородных участков, каждый из которых по всей своей длине имеет одинаковое сечение и выполнен из определенного материала.

На рис. 8.1а изображена неразветвленная неоднородная магнитная цепь, состоящая из трех однородных участков длиной Магнитные цепи и их расчёти Магнитные цепи и их расчёт где Магнитные цепи и их расчёт – воздушный зазор.
 

Закон Ома для магнитной цепи

Если по кольцевой катушке с числом витков Магнитные цепи и их расчёт проходит ток Магнитные цепи и их расчёт (рис. 7.8а), то этот ток в сердечнике катушки дайной Магнитные цепи и их расчёт и сечением S создает напряженность (7.19)

Магнитные цепи и их расчёт

На рис. 7.8а изображена однородная неразветвленная магнитная цепь, сердечник которой по всей длине Магнитные цепи и их расчёт выполнен из одного материала с относительной магнитной проницаемостью Магнитные цепи и их расчёт Тогда магнитный поток Магнитные цепи и их расчёт в сердечнике кольцевой катушки можно определить по формуле

Магнитные цепи и их расчёт

где Магнитные цепи и их расчёт

Это же уравнение (8.1) можно записать иначе:

Магнитные цепи и их расчёт

где числитель Магнитные цепи и их расчёт — магнитодвижущая сила, или магнитное напряжение магнитной цепи Магнитные цепи и их расчёта знаменатель Магнитные цепи и их расчётполное сопротивление магнитной цепи (по аналогии с электрическим сопротивлением, зависящим от длины, удельной проводимости и сечения проводника — см. (2.8)), т. е.

Магнитные цепи и их расчёт

Тогда магнитный поток магнитной цепи

Магнитные цепи и их расчёт

Это и есть математическое выражение закона Ома для разветвленной однородной магнитной цепи, изображенной на рис. 7.8а, т. е. магнитный поток в рассматриваемой магнитной и пропорционален магнитному напряжению Магнитные цепи и их расчёт и обратно пропорционален магнитному сопротивлению Магнитные цепи и их расчёт (как и ток по закону Ома для участка электрической цепи).

Если неразветвленная цепь неоднородна и на сердечнике имеются две обмотки, т.е. две магнитодвижущие силы и три однородных участка (рис. 8.1а), то закон Ома для такой магнитной цепи:
Магнитные цепи и их расчёт
и иначе:
Магнитные цепи и их расчёт
Как и ток в неразветвленной электрической цепи с несколькими источниками и несколькими сопротивлениями).

В выражениях (8.5) и (8.6) знак «плюс» между магнитными напряжениями ставят тогда, когда обмотки Магнитные цепи и их расчёт (рис. 8.1а) подключены «согласно», т. е. создают магнитные потоки в сердечнике одного направления, а знак «минус» — когда обмотки включены «встречно», т. е. создают магнитные потоки в сердечнике, направленные друг против друга.

Из выражений (8.3) и (8.5) следует, что наибольшим сопротивлением в магнитной цепи обладает воздушный зазор Магнитные цепи и их расчёт так относительная магнитная проницаемость его Магнитные цепи и их расчёт притом, что магнитная проницаемость ферромагнитных участков исчисляется десятками тысяч.

Как видно, законы в магнитной цепи для определения магнитного потока во многих случаях аналогичны законам в электрических цепях для определения электрического тока, что в значительной степени помогает при расчетах магнитных цепей.

Однако пользоваться законом Ома с использованием выражений (8.4) и (8.5) для расчета магнитных цепей не представляется возможным, так как магнитная цепь нелинейная. Нелинейность магнитной цепи обусловлена тем, что магнитное сопротивление ферромагнитных участков магнитной цепи, определяющее магнитный поток, само зависит от магнитного потока.

Тем не менее законы Ома для однородной и неоднородной цепи решают качественную задачу расчета цепей, т. е. зависимость параметров магнитных цепей друг от друга.

Расчет магнитных цепей производится с использованием закона полного тока.

Намагничивание ферромагнитных материалов

Так как ферромагнитный материал является основой магнитных цепей, то для исследования и расчета магнитных цепей необходимо изучить свойства и характеристики ферромагнитных материалов.

Магнитные цепи и их расчёт

Если по катушке с числом витков W, расположенной на замкнутом магнитопроводе длиной Магнитные цепи и их расчёт проходит ток Магнитные цепи и их расчёт (рис. 8.2), то в катушке создается магнитное поле, напряженность которого

Магнитные цепи и их расчёт

Если магнитопровод выполнен из неферромагнитного материала, то индукция в магнитном поле магнитопровода Магнитные цепи и их расчёт

Если же магнитопровод катушки выполнен из ферромагнитного материала, то этот материал намагничивается, т. е. происходит ориентация доменов ферромагнитного материала в направлении внешнего магнитного поля, созданного магнитодвижущей силой катушки IW. Тем самым создается добавочная магнитная индукция Магнитные цепи и их расчёт обусловленная намагничиванием ферромагнитного материала магнитопровода: Магнитные цепи и их расчёт где М – величина, характеризующая намагниченность материала.

Таким образом, магнитная индукция В в магнитопроводе катушки складывается из двух компонентов — магнитной индукции внешнего поля, созданной МДС катушки Магнитные цепи и их расчёт и добавочной индукции Магнитные цепи и их расчёт созданной намагниченным магнитопроводом из ферромагнитного материала, т. е.

Магнитные цепи и их расчёт

Зависимость магнитных индукций Магнитные цепи и их расчёт от изменения напряженности Н представлена на рис. 8.3.

Зависимость Магнитные цепи и их расчёт — Кривая линия из начала координат (прямая 1).

Характер изменения добавляемой индукции Магнитные цепи и их расчёт можно объяснить следующим образом (кривая 2):

Участок Магнитные цепи и их расчёт – намагниченность сердечника М увеличивается пропорционально напряженности Н;

Участок Магнитные цепи и их расчёт – рост намагниченности сердечника М замедляется, как большинство доменов уже сориентировалось в направленного магнитного поля катушки;

Участок Магнитные цепи и их расчёт — рост намагниченности сердечника М прекращается т.е. наступает режим магнитного насыщения, так как все до-сориентировались в направлении внешнего магнитного (участок Магнитные цепи и их расчёт параллелен оси абсцисс).

Суммарная кривая Магнитные цепи и их расчёт строится путем сложения ординат Магнитные цепи и их расчёт

Суммарная кривая 3 зависимости индукции ферромагнитного материала от напряженности магнитного поля Магнитные цепи и их расчёт называется кривой намагничивания данного ферромагнитного материала. Кривые намагничивания различных ферромагнитных материалов приведены в Приложениях 5 и 6.

Ферромагнитные материалы относятся к нелинейным средам, поэтому магнитные цепи, в которых они используются, являются нелинейными.

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов – величина непостоянная и зависит от предварительного намагничивания, т. е. от напряженности поля, созданного в материале. Характер этой зависимости представлен кривой Магнитные цепи и их расчёт (рис. 8.4). Кривая построена по уравнению, полученному в соответствии следующими зависимостями:

Магнитные цепи и их расчёт

Из выражения (7.7)

Магнитные цепи и их расчёт

Тогда Магнитные цепи и их расчёт

Если левую и правую части этого уравнения разделить на Н то получается

Магнитные цепи и их расчёт

Из уравнения видно, что изменение Магнитные цепи и их расчёт зависит от отношения Магнитные цепи и их расчёт (остальные величины постоянные). С увеличением Н на участке Магнитные цепи и их расчёт (рис. 8.3 и 8.4) М растет быстрее, чем Н, следовательно, отношение Магнитные цепи и их расчёт увеличивается, и увеличивается Магнитные цепи и их расчёт (8.8).

Максимального значения абсолютная магнитная проницаемость Магнитные цепи и их расчёт достигает на участке ab зависимости Магнитные цепи и их расчёт (рис. 8.4). В режиме же насыщения (участок bс) намагниченность (М) остается неизменной, следовательно, отношение М/Н уменьшается, вызывая уменьшение Магнитные цепи и их расчёт (выражение (8.8) и рис. 8.4). При дальнейшем увеличении Магнитные цепи и их расчёт (8.8), т. е. ферромагнитный материал теряет свои ферромагнитные свойства.

Определить магнитную проницаемость ферромагнитного материала при определенной напряженности Н или индукции В можно, воспользовавшись кривой намагничивания данного ферромагнитного материала:

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

Циклическое перемагничивание

Изменение тока в катушке (рис. 8.2) и соответственно напряженности Н магнитного поля в ней не только по величине, но и по направлению приводит к изменению индукции в ферромагнитном сердечнике катушки по величине и направлению (рис. 8.5).

Зависимость магнитной индукции В в сердечнике от напряженности Н при изменении тока Магнитные цепи и их расчёт катушки по величине и направлению можно проследить по кривой рис. 8.5.

Если в катушке находится полностью размагниченный сердечник, то при токе Магнитные цепи и их расчёт (Рис. 8.5).

Увеличение тока приводит к увеличению напряженности Н, а следовательно, и индукции В в ферромагнитном материале до насыщения по кривой 0-1, т.е. по кривой намагничивания данного ферромагнитного материала (рис. 8.5). Если уменьшать ток до нуля, то и напряженность Я уменьшается до нуля, а индукция при этом уменьшается от величины Магнитные цепи и их расчёт (насыщение) до значения 0—2 по кривой 1—2. Значение индукции 0-2, оставшейся в сердечнике катушки (рис. 8.5) при повышении напряженности до Магнитные цепи и их расчёт, называется остаточной индукцией Магнитные цепи и их расчёт в данном ферромагнитном материале. Остаточная индукция в сердечнике Магнитные цепи и их расчёт имеет счет того, что не все электромагнитные магнитики материала ориентировались при размагничивании, т. е. часть доменов были сориентированными в направлении внешнего поля катушки.

Магнитные цепи и их расчёт

Если изменить направление тока в катушке, а следовательно, и направление напряженности в сердечнике и увеличивать эту напряженность (в обратном направлении), то можно добиться уменьшения индукции до нуля (кривая 2-3), т. е. сердечник полностью размагнитится. Напряженность 0—3, которая потребность для того, чтобы размагнитить ферромагнитный материал, полностью дезориентировать домены, называется задерживающей, или коэрцитивной, силой Магнитные цепи и их расчёт

Если продолжить увеличение напряженности, то индукция изменит свое направление и ее значение будет увеличиваться в новом направлении от нуля до насыщения по кривой 3-4.

Если уменьшать напряженность до нулевого значения, то ин-уменьшится по кривой 4-5, где отрезок 0-5 – остаточная индукция Магнитные цепи и их расчёт в обратном направлении. Чтобы размагнитить сердечник, т. е. уменьшить индукцию до нуля, необходимо снова изменить направление тока и напряженности (в первоначальном направлении) и увеличивать его. При этом индукция в сердечнике уменьшится до нуля по кривой 5-6, где отрезок 0-6 – задерживающая, или коэрцитивная, сила Магнитные цепи и их расчёт в первоначальном направлении которая снова размагничивает сердечник — уничтожает точную индукцию. Дальнейшее увеличение напряженности едет к увеличению индукции от нуля до насыщения в первоначальном направлении по кривой 6—1.

Циклическое перемагничивание имеет место в магнитопроводах (сердечниках) электрических машин, трансформаторов, электроизмерительных приборов, дросселей и др., по обмоткам которых проходит переменный ток.

Циклическое перемагничивание сопровождается затратой электрической энергии, которая преобразуется в тепловую и в большинстве случаев рассеивается в пространстве. Такие тепловые потери относят к магнитным потерям Магнитные цепи и их расчёт и называют потерями энергии (мощности) на циклическое перемагничивание, или потерями на гистерезис. Мощность потерь на циклическое перемагничивание данного ферромагнитного материала пропорциональна площади, ограниченной петлей гистерезиса этого материала. Для борьбы с подобными потерями в различных аппаратах и машинах применяют различные меры, основной из которых является выбор ферромагнитного материала для сердечников с узкой петлей гистерезиса.

Искусственно циклическое перемагничивание можно применить для размагничивания ферромагнитного материала, т. е. для уменьшения остаточной индукции до нулевого значения. Для этого по катушке, расположенной на магнитопроводе из ферромагнитного материала, пропускают изменяющийся по величине и направлению ток (переменный ток), величину которого постепенно уменьшают до нулевого значения.

Ферромагнитные материалы

Свойства большинства ферромагнитных материалов являются одинаковыми, однако проявляются они по-разному в зависимости от химического состава материала. В этой связи различают две основные группы ферромагнитных материалов: а) магнитно-мягкие и б) магнитно-твердые.

А. Магнитно-мягкие ферромагнитные материалы обладают высокой магнитной проницаемостью Магнитные цепи и их расчёт низкой задерживающей (коэрцитивной) силой Магнитные цепи и их расчёт и узкой петлей гистерезиса, т. е. малыми потерями на гистерезис.

Магнитно-мягкие ферромагнитные материалы легко намагничиваются и размагничиваются.

К магнитно-мягким материалам относятся металлы и сплавы: электролитическое железо, электротехническая сталь, пермаллой, ферриты, магнитодиэлектрики и др.

Железо и электротехническая сталь нашли широкое применение для магнитных цепей электрических машин, аппаратов, трансформаторов, электроизмерительных приборов, т.е. там, где необходимо создать сильное магнитное поле при относительно больших магнитодвижущих силах (IW).

Ферриты и магнитодиэлектрики применяются в качестве магнитопроводов в аппаратуре проводной и радиосвязи, в магнитных удлинителях, вычислительных машинах и других видах техники.

Дермаллой используется при изготовлении сердечников, предназченных для работы в высокочастотных устройствах до 10000 кГц. Магнитные свойства пермаллоев в значительной степени зависят от технологии их изготовления.

Магнитно-твердые ферромагнитные материалы обладают значительной магнитной проницаемостью Магнитные цепи и их расчёт – порядка нескольких сотен), относительно высокой остаточной индукцией (0,3Магнитные цепи и их расчёт125) Тл, большой задерживающей (коэрцитивной) силой (5000Магнитные цепи и их расчёт24000) А/м и имеют широкую петлю гистерезиса.

Из магнитно-твердых материалов изготавливаются постоянные магниты, применяемые в технике связи, электроизмерительной сфере и т. п.

Магнитно-твердым материалам, обладающим лучшими магнитными свойствами, относятся такие сплавы, как альни, альнипальнико и др.
 

Пример 8.1

Определить и изобразить изменение относительной магнитной проницаемости Магнитные цепи и их расчёт электротехнической стали при следующих значениях напряженности в ней:

Магнитные цепи и их расчёт

Решение

Результаты расчета заносятся в таблицу 8.1, воспользовавшись живой намагничивания электротехнической стали (Приложение 6) и следующими выражениями: Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт
 

Расчет неоднородной магнитной цепи

Прямая задача расчета неразветвленной неоднородной магнитной цепи (рис. 8.9) решается в следующей последовательности.

1. По заданному магнитному потоку Ф, который для всех участков неразветвленной цепи имеет одинаковое значение, определяют магнитную индукцию В каждого участка Магнитные цепи и их расчётгде S — площадь сечения участка.

Для прямоугольного сечения (рис. 8.7) Магнитные цепи и их расчёт для круглого сечения (рис. 8.8) Магнитные цепи и их расчёт

Если задана магнитная индукция какого-либо участка Магнитные цепи и их расчёт то находят магнитный поток этого участка Магнитные цепи и их расчёт который для всех участков неразветвленной цепи имеет одинаковое значение. Затем определяют магнитную индукцию остальных участков, как показано выше.

2. По кривым намагничивания материалов (Приложение 5 или 6) определяют напряженности ферромагнитных участков Магнитные цепи и их расчёт и Магнитные цепи и их расчёт Напряженность в воздушном зазоре вычисляется по отношению Магнитные цепи и их расчёт

3. Определив длину средней линии каждого участка, по закону полного тока (второй закон Кирхгофа для магнитной цепи) вычисляют намагничивающую силу рассчитываемой магнитной цепи Магнитные цепи и их расчёт или ток I, или витки W.

Пример 8.2

Определить число витков обмотки, расположенной на сердечнике из электротехнической листовой стали, размеры которого указаны на рис. 8.9. в см, если по обмотке проходит ток Магнитные цепи и их расчёт который создает в магнитной цепи магнитный поток Магнитные цепи и их расчёт

Решение

Магнитная цепь состоит из 3-х однородных участков сечением Магнитные цепи и их расчётМагнитные цепи и их расчёт (воздушный зазор).

1. По заданному потоку определяется магнитная индукция в каждом однородном участке:
Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт
По кривой намагничивания для листовой электротехнической стали (Приложение 5 или 6) определяются напряженности первого – Магнитные цепи и их расчёт и второго – Магнитные цепи и их расчёт участков. Напряженность в воздушном зазоре Магнитные цепи и их расчёт

Составляется уравнение по закону полного тока для магнитной цепи: Магнитные цепи и их расчёт из которого определяется искомое число витков обмотки

Магнитные цепи и их расчётМагнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

Предварительно вычисляется длина средней линии каждого участка:

  • 1. Магнитные цепи и их расчёт
  • 2. Магнитные цепи и их расчёт
  • 3. Магнитные цепи и их расчёт

Обратная задача расчета неоднородной неразветвленной магнитной цепи, т.е. определение магнитного потока по заданной магнитодвижущей силе (МДС), может быть решена методом последовательных приближений. Для этого задаются несколькими значениями магнитного потока и для каждого из них решают данную задачу расчета магнитной цепи. По результатам расчетов замагничивающих сил для разных магнитных потоков строят зависимость Магнитные цепи и их расчёт (рис. 8.10), по которой определяют искомый магнитный поток Магнитные цепи и их расчёт по заданной МДС Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

Пример 8.3

Определить магнитный поток в замкнутом сердечнике из листовой электротехнической стали, размеры которого указаны на рис. 8.11 в мм, если на сердечнике расположена обмотка (катушка) с числом витков W= 500, по которой проходит ток Магнитные цепи и их расчёт (обратная задача). Длина каждого воздушного зазора Магнитные цепи и их расчёт мм (рис. 8.11).

Решение

Сечение сердечника магнитной цепи при указанных размерах будет равно Магнитные цепи и их расчёт
Магнитные цепи и их расчёт

Длина четырех воздушных зазоров на стыках сердечника:

Магнитные цепи и их расчёт

Длина средней линии сердечника: Магнитные цепи и их расчёт так как длина каждой стороны квадрата сердечника

Магнитные цепи и их расчёт

Как видно, длина воздушного зазора Магнитные цепи и их расчёт очень мала по сравнению с длиной средней линии сердечника, поэтому ее влиянием на длину сердечника Магнитные цепи и их расчёт можно пренебречь.

Магнитная цепь в рассматриваемом примере состоит из двух однородных участков — сердечника из листовой электротехнической стали длиной Магнитные цепи и их расчёт сечением Магнитные цепи и их расчёт и воздушного зазора длиной Магнитные цепи и их расчёт сечением Магнитные цепи и их расчёт

Для выбора одного из магнитных потоков на графике зависимости Магнитные цепи и их расчёт например Магнитные цепи и их расчёт (рис. 8.10), предполагается, что магнитное сопротивление воздушного зазора Магнитные цепи и их расчёт равно магнитному сопротивлению всей магнитной цепи Магнитные цепи и их расчёт

Это предположение обусловлено тем, что сопротивление воздушного зазора Магнитные цепи и их расчёт значительно больше сопротивления ферромагнитных участков цепи, магнитная проницаемость которых Магнитные цепи и их расчёт в тысячи раз больше магнитной проницаемости воздуха Магнитные цепи и их расчёт Поэтому магнитным сопротивлением ферромагнитной части, в таком приближении, можно пренебречь.

Таким образом по закону Ома для магнитной цепи

Магнитные цепи и их расчёт

Тогда  Магнитные цепи и их расчёт

Магнитный поток Магнитные цепи и их расчёт

Магнитодвижущая сила (IW), необходимая для создания магнитного потока Магнитные цепи и их расчёт определяется в следующей последовательность.

Магнитная индукция в магнитопроводе и воздушном зазоре будет равна

Магнитные цепи и их расчёт

Напряженность магнитного поля в сердечнике из листовой электро-технической стали (Приложение 6)

Магнитные цепи и их расчёт

При этом магнитное напряжение

Магнитные цепи и их расчёт

А напряженность в воздушном зазоре

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитное напряжение при этомМагнитные цепи и их расчёт

Следовательно, магнитодвижущая сила для создания магнитного потока Магнитные цепи и их расчёт в магнитной цепи будет равна

Магнитные цепи и их расчёт

Так как заданные ампер-витки Магнитные цепи и их расчёт меньше, чем требуется для создания магнитного потока Магнитные цепи и их расчёт то для построения графика зависимости Магнитные цепи и их расчёт в необходимых пределах произвольно выбираемый магнитный поток необходимо уменьшать, то определяется МДС для создания магнитных потоков Магнитные цепи и их расчёт

Магнитодвижущая сила для каждого из выбираемых магнитных потоков Магнитные цепи и их расчёт определяется тем же методом и в той же последовательности, что и для магнитного потока Магнитные цепи и их расчёт.

Результаты расчетов заносят в таблицу 8.2 и график Магнитные цепи и их расчёт строится по этим результатам (рис. 8.12).

Магнитные цепи и их расчёт 

Примечание. Если по таблице 8.2 значение Магнитные цепи и их расчёт, то это означает, что Магнитные цепи и их расчёт

По этому графику определяется магнитный поток Ф, созданный заданными ампер-витками Магнитные цепи и их расчёт

Как видно (рис. 8.12), заданная Магнитные цепи и их расчёт создает в магнитной цепи магнитный поток

Магнитные цепи и их расчёт

Такой же результат можно получить при расчете той же магнитной цепи графо-аналитическим методом пересечений (рис. 8.13).

Как указывалось выше, магнитная цепь является нелинейной цепью, так как кривая намагничивания любого ферромагнитного материала, из которого состоит магнитная цепь, — кривая линия (см. рис. 8.3 и Приложение 6).

Таким образом, рассматриваемая в примере 8.3 (рис. 8.11) неответвленная магнитная цепь состоит из двух однородных участков. участок, выполненный из листовой электротехнической стали нелинейный участок и воздушный зазор — линейный участок Магнитные цепи и их расчёт

Следовательно, расчет нелинейной неразветвленной магнитной цепи можно осуществить графо-аналитическим методом пересечений аналогично методу расчета нелинейных неразветвленных электрических цепей постоянного тока (см. рис. 5.36, 5.6, 5.86). я нелинейного участка неразветвленной магнитной цепи строится кривая зависимости Ф =f(Uc) по результатам, полученным при расчете обратной задачи примера 8.3 (таблица 8.2). Кривая зависимости Ф =f(Uc) называется магнитной характеристикой магнитной цепи.

Для построения магнитной характеристики выписываются значения величины магнитного потока Ф и магнитного напряжения ферромагнитных участках Магнитные цепи и их расчёт в таблицу 8.3 из таблицы 8.2. По полученным данным строится магнитная характеристика нелинейного участка рассматриваемой цепи (рис. 8.13).

Магнитные цепи и их расчёт

Согласно второму закону Кирхгофа для магнитной цепи, изображенной на рис. 8.11, в соответствии с законом полного тока:

Магнитные цепи и их расчёт

откуда Магнитные цепи и их расчёт

где Магнитные цепи и их расчёт–  магнитное сопротивление воздушного зазора, Магнитные цепи и их расчёт, что следует из закона Ома для участка магнитной цепи (8.4).

Зависимость (8.10) Магнитные цепи и их расчёт линейная и графически изображается прямой линией, построение которой производится по двум точкам А и В (рис. 8.13).

Точка А откладывается на оси абсцисс Магнитные цепи и их расчёт при Ф = 0 (т. е. при Магнитные цепи и их расчёт), а точка В откладывается на оси ординат Ф при Магнитные цепи и их расчёт (т. е. Магнитные цепи и их расчёт). Точка пересечения прямой АВ с магнитной характеристикой нелинейного участка магнитной цепи (точка Q определяет искомый магнитный поток Ф (на оси ординат) и магнитное напряжение Магнитные цепи и их расчёт (на оси абсцисс), соответствующее этому магнитному потоку. Таким образом, магнитное напряжение Магнитные цепи и их расчёт (рис. 8.13) создает магнитный поток в магнитной цепи Магнитные цепи и их расчёт.

Как видно, результат получился таким же, как при расчете цепи (рис. 8.11) методом последовательных приближений.

Расчет разветвленных магнитных цепей

Расчет симметричной разветвленной магнитной цепи рассматривается на примере 8.4 (прямая задача).

Пример 8.4

На среднем стержне Ш-образного сердечника, выполненного из электротехнической стали Э21 (1311), расположена обмотка с числом витков W=515 (рис. 8.14). Якорь А этой разветвленной магнитной цепи выполнен из стали Э42 (1512). Между якорем А и сердечником находится воздушный зазор Магнитные цепи и их расчёт = 0,2 мм. Размеры магнитной цепи даны в мм.

Определить величину тока в обмотке, расположенной на среднем стержне, при котором в якоре А создается магнитная индукция ВА = 1,2 Тл.

Решение

Магнитная цепь по оси симметрии (00′) делится на две равные части. Каждая часть рассчитывается отдельно как неоднородная неразветвленная магнитная цепь. Магнитный поток Ф в каждой части определяется по заданной магнитной индукции в якоре

Магнитные цепи и их расчёт

где Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

В каждой части (половине) вычисленный магнитный поток зачтен через якорь, воздушные зазоры и участок Ш-образного сердечника.

По вычисленному потоку Ф определяется магнитная индукция в однородных участках.

На участке Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

На участке

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

В зазоре бокового стержня

Магнитные цепи и их расчёт

В зазоре среднего стержня

Магнитные цепи и их расчёт

В якоре – ВА= 1,2 Тл.

Напряженность магнитного поля для ферромагнитных участков (Приложение 5):

Магнитные цепи и их расчёт

Напряженность в воздушных зазорах:

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

3. Величина тока определяется из уравнения, составленного по закону полного тока:

Магнитные цепи и их расчёт

где длина средней линии каждого участка магнитной цепи соответственно равна:

Магнитные цепи и их расчёт

Таким образом, индукцию ВА=1,2 Тл в якоре разветвленной магнитной цепи (рис. 8.14) создает ток Магнитные цепи и их расчёт=2 А.

Расчет несимметричной разветвленной магнитной цепи рассматривается на примере 8.5 (прямая задача).

Пример 8.5

Для разветвленной несимметричной магнитной цепи (рис. 8.15) известны длины пяти участков, их поперечные сечения и магнитный поток Ф5 в воздушном зазоре длиной Магнитные цепи и их расчёт. Остальные участки выполнены из ферромагнитного материала, кривая намагничивания которого известна.

Определить магнитодвижущую силу Магнитные цепи и их расчёт(МДС), созданную двумя обмотками, необходимую для создания в зазоре магнитного потока Ф5.

Решение произвести в общем виде. Стрелками указано направление магнитного потока участков цепи.

Решение

Магнитные потоки участков 3, 4 и 5 одинаковы, т. е. Магнитные цепи и их расчётМагнитные цепи и их расчёт следовательно, можно определить магнитную индукцию в каждом участке Магнитные цепи и их расчёт, и если сечения этих участков одинаковы, то и магнитная индукция в них одинакова, т.е. Магнитные цепи и их расчёт

Магнитные цепи и их расчёт

Для участков 3 и 4, выполненных из ферромагнитного материала, по кривой намагничивания определяется напряженность поля, а напряженность в воздушном зазоре определяется по формуле

Магнитные цепи и их расчёт

Магнитное напряжение на участках 3, 4, 5, между точками А и В, определяется соотношением Магнитные цепи и их расчёт

Такое же магнитное напряжение будет на участке Магнитные цепи и их расчёт, так как расположен между точками А и В, т. е. Магнитные цепи и их расчёт, откуда вычисляется Магнитные цепи и их расчёт

По кривой намагничивания для материала участка определяется индукция Магнитные цепи и их расчёт и магнитный поток Магнитные цепи и их расчёт.

Магнитный поток согласно первому закону Кирхгофа для разветвленной магнитной цепи будет равен Магнитные цепи и их расчёт

Величина магнитной индукции вычисляется отношением

Магнитные цепи и их расчёт

По кривой намагничивания определяется Магнитные цепи и их расчёт Тогда искомая МДС будет равна Магнитные цепи и их расчёт Обратную задачу расчета разветвленной магнитной цепи решают с использованием схем замещения и графоаналитическим методом.

Расчеты всех магнитных цепей произведены с учетом отсутствия рассеяния магнитного потока.

  • Цепи переменного тока
  • Символический метод расчета цепей
  • Четырехполюсники
  • Линейные диаграммы
  • Индуктивность и ее расчет
  • Энергия в электрических цепях
  • Линейные электрические цепи
  • Нелинейные электрические цепи

Магнитной цепью или магнитопроводом называется путь, по которому замыкается магнитный поток. Этот путь может проходить целиком по воздуху.

Примеры магнитных цепей
Рисунок 1. Примеры магнитных цепей

На рисунке 1, а показан соленоид. Магнитная цепь здесь проходит через воздух. Магнитное сопротивление воздуха очень велико, поэтому даже при большой намагничивающей силе магнитный поток мал.

Для увеличения магнитного потока в состав магнитной цепи вводят ферромагнитные материалы (обычно литая или электротехническая сталь), имеющие меньшее магнитное сопротивление.

На рисунке 1, б представлен прямой электромагнит с разомкнутым сердечником. Магнитные линии только небольшую часть своего пути проходят по стальному сердечнику, большую же часть своего пути они проходят по воздуху. Полюсы электромагнита определяются при помощи “правила буравчика”.

Подковообразный электромагнит, изображенный на рисунке 1, в, представляет магнитную цепь с лучшими условиями для прохождения магнитного потока. При такой конструкции поток большую часть пути проходит по стали и меньшую часть от полюса N до полюса S по воздуху.

На рисунке 1, г представлена конструкция магнитной цепи, применяемая в электромашиностроении и приборостроении. Между полюсами электромагнита помещается стальной якорь. Большую часть своего пути магнитные линии проходят по стали и только очень малую часть (от нескольких долей миллиметра до 2–3 мм) проходят по двум воздушным промежуткам.

Трансформаторы имеют замкнутый стальной сердечник (рисунок 1, д). Сердечники трансформаторов собираются из нескольких частей, но во время сборки принимают меры к тому, чтобы воздушные зазоры между отдельными частями практически были равны нулю.

До сих пор мы не говорили о том, что магнитный поток, созданный намагничивающей силой, не весь замыкается по тому пути, который ему предназначен. Помимо рабочего магнитного потока, существует магнитный поток рассеяния, который замыкается вне того места, где используется рабочий поток. На рисунке 1, б, в, г, д показаны потоки рассеяния.

Таким образом, общий магнитный поток, который должна создать обмотка возбуждения электромагнита, равен сумме рабочего потока и потока рассеяния.

Расчет магнитной цепи, казалось бы, можно производить по формуле:

Но если вспомнить, что относительная магнитная проницаемость µ для ферромагнитных тел непостоянна и зависит от многих причин, то становится ясно, что этой формулой можно пользоваться лишь в том случае, когда в состав магнитной цепи входят только немагнитные тела (в том числе и воздух), для которых µ есть заранее заданная величина.

На практике для расчета магнитных цепей предпочитают пользоваться графическими методами решения.

Расчет магнитной цепи производят в следующем порядке. Задаются необходимой величиной магнитного потока. Разбивают магнитную цепь на участки, имеющие одинаковые поперечные сечения и однородный материал, и для каждого участка определяют величину магнитной индукции по формуле:

Затем по кривым намагничивания для данного материала находят для каждого значения магнитной индукции величину напряженности H. Если в магнитной цепи встречаются воздушные зазоры, то зависимость B0 и H0 определяется по формуле:

Здесь B0 выражено в Вб/м², µ0 – в Гн/м, H0 – в А/см .

Если индукция выражена в гауссах, а напряженность в А/см, то зависимость между B0 и H0 будет:

H0 = 0,8 × B0 .

Определив величину H для каждого участка, находим по закону полного тока величину намагничивающей силы по формуле:

Пример. Найти намагничивающую силу обмотки электромагнита, изображенного на рисунке 2. Размеры даны в миллиметрах. Материал сердечника – электротехническая сталь. В сердечнике необходимо создать магнитный поток 60 000 Мкс. Магнитным рассеянием пренебрегаем.

К примеру расчета магнитной цепи

Рисунок 2. К примеру расчета магнитной цепи

Проводим среднюю линию по все длине магнитной цепи. Разбиваем цепь на пять участков и определяем длину каждого участка.

Так как магнитный поток во всех участках одинаков и площадь поперечного сечения всех участков магнитной цепи (2 × 2 см), то магнитная индукция везде также будет одинакова.

По кривой намагничивания (рисунок 3) для электротехнической стали по индукции 15000 Гс находим напряженность магнитного поля H = 30 А/см. Для воздушного зазора имеем:

H0 = 0,8 × 15000 = 12000 А/см .

Кривые намагничивания

Рисунок 3. Кривые намагничивания электротехнической стали, литой стали и чугуна

Умножая величины напряженности на длины соответствующих участков, получаем произведения H × l для этих участков.

Результаты вычислений записываем в таблицу (таблица 1).

Таблица 1

Номера участков Материал B l H H × l
Гс см А/см А
I
II и VI
III и V
IV
Электротехническая сталь
То же
То же
Воздух
15000
15000
15000
15000
8
10 × 2
3,8 × 2
0,4
30
30
30
12000
240
600
228
4800

I × w = ∑ (H × l) = 5868 А .

Интересно отметить, что если на участках из электротехнической стали I, II, III, V и VI общей протяженностью 35,6 см (8 + 20 + 7,6 см) для проведения магнитного потока необходима намагничивающая сила 1068 А (240 + 600 + 228 А), то на воздушный зазор длиной всего 4 мм (в 89 раз меньше длины пути стали) нужна намагничивающая сила 4800 А. Отсюда становится понятной необходимость создания магнитных цепей с минимальными воздушными зазорами.

Источник: Кузнецов М. И., “Основы электротехники” – 9-е издание, исправленное – Москва: Высшая школа, 1964 – 560с.

Добавить комментарий