где xвых – выходная величина; xвх.i – i-я входная величина; a, b, c, … – коэффициенты, не зависящие от xвых и xвх.i, t – время.
Переменные x, описывающие систему, представляют собой функции времени и делятся на входные и выходные так, чтобы входные являлись причиной изменения выходных. Коэффициенты a, b, c, … описывают свойства системы.
Система называется стационарной, если коэффициенты a, b, c, … не зависят от времени, и нестационарной, если хотя бы один из них от времени зависит.
Система является нелинейной, если хотя бы один из коэффициентов a, b, c, … зависит от xвых или xвх..
Если система имеет одну выходную переменную, т.е. описывается одним уравнением вида (4.1), то она называется одномерной. Многомерные системы имеют более одной выходной величины и описываются системой уравнений вида (4.1).
Порядком рассматриваемой системы называется наивысший порядок производной в ее дифференциальном уравнении (или системе дифференциальных уравнений).
Левая часть уравнения (4.1) описывает собственное движение системы – изменение ее состояния в отсутствие внешних воздействий. Правая часть описывает влияние внешних воздействий на состояние системы.
Уравнение (4.1) относится только к системам без запаздывания. Для систем с запаздыванием хотя бы одна из величин xвых или xвх. должна быть представлена как функция с запаздывающим аргументом:
xвых(t – τ) или xвх(t – τ),
где τ – время запаздывания, характеризующее «отставание» той или иной функции.
Например, для объекта регулирования первого порядка без запаздывания с одной регулируемой величиной x уравнение (4.1) запишется как
объекта
регулирования.
Определение
переходных характеристик объекта при
различных возмущающих воздействиях,
занимает особое место при изучении
объекта и математического описания
всех звеньев, входящих в систему.
Для
определения кривых разгона в условиях
работы котла необходимо установить
стационарный режим (при неизменных
расходах воды, пара, воздуха, топлива),
выдержать этот режим в течение 10-15
минут, подготовить устройства регистрации
уровня в барабане.
Для
достоверного определения параметров
кривой разгона необходимо снять не
менее 6-8 кривых разгона при возмущении
одного знака. Отбираются средние значения
характеристик, т.е. отбрасываются кривые
разгона с самыми неблагоприятными
характеристиками.
8. Определение передаточной функции объекта регулирования по экспериментальным данным.
8.1. Аппроксимация кривой разгона по воде при 10% возмущения со стороны ро.
Э
кспериментальная
переходная характеристика, характеризующая
изменение расхода воды при возмущении
регулирующим органом, показана на
рис.15.
Коэффициент
усиления объекта
т/г.
Структуру
передаточной функции объекта и её
динамические характеристики определяем
по методу В.Я. Ротача. Для этого определим
координаты точки перегиба
с.,
т/час и относительно ординату точки
перегиба по формуле:
.
По
известной причине
,
с помощью номограммы 323 (15) определяем
значения
;
;
.
При
этом передаточная функция будет
аппроксимироваться апериодическим
звеном 2-го порядка (т.к.
не превышает
):
;
;
.
Т.к.
с., то,
,
,
.
Расчетная
величина
практически совпадает с
,
взятым из графика, и вводить запаздывание
не следует.
Аппроксимирующая
передаточная функция может быть
следующей:
.
8.2. Аппроксимация кривой разгона по уровню при 10% возмущении расходом воды
Э
кспериментальная
кривая разгона объекта по уровню при
возмущении расходом питательной воды
показана на рис.16.
Т.
к. объект астатический, то его динамические
свойства эквивалентны параллельному
соединению интегрирующего звена и
апериодического звена 1-го порядка (см.
п. 3).
Проводим
асимптоту к кривой разгона и определяем
тангенс угла её наклона:
.
Строим
прямую
.
Вычитая
из прямой
экспериментальную кривую разгона,
получим график функции
.
Кривая
разгона
–
как у статического объекта,
мм. вд. ст.
Передаточная
функция объекта с кривой разгона
:
.
Аппроксимируем
кривую разгона
,
представляющую собой интегрирующее
звено:
;
.
Коэффициент
усиления объекта находим по формуле
.
где
– возмущение по расходу воды.
Передаточная
функция
по уровню при 10% возмущении расходом
воды
.
8.3. Аппроксимация кривой разгона по уровню при 10% возмущении расходом пара
Экспериментальная
кривая разгона показана на рис.17.
Раскладываем её на интегрирующее звено
и апериодическое звена 1-го порядка:
–
кривая разгона интегрирующего звена;
–
кривая разгона апериодического звена
1-го порядка;
;
.
Кривая
разгона
– статический объект;
мм.вд.ст.
Коэффициент
усиления объекта
находим по формуле
,
где
– возмещение расходом пара.
Передаточная
функция объекта с кривой разгона
.
Передаточная
функция объекта с кривой разгона
.
Передаточная
функция по уровню при 10% возмущении
расходом пара
.
9. Определение оптимальных параметров настройки регулятора питания.
9.1. Определение динамических параметров настройки приведенного п-регулятора.
Для
приближенной оценки динамических
свойств реального объекта аппроксимируем
его двумя последовательно соединенными
звеньями: апериодическим звеном первого
порядка и звеном запаздывания. По кривой
разгона (16) определяем:
время
запаздывания:
с.
постоянная
времени:
с.
По
номограмме 5.14 (1) (16) определяем оптимальные
по критерию минимума среднеквадратичной
ошибки параметры настройки П-регулятора
для астатического объекта, при
апериодическом регулировании.
При
находим оптимальный коэффициент передачи
П-регулятора:
.
Соседние файлы в папке LSAU
- #
- #
- #
- #
Лекция: Кривые разгона объекта управления
Цель работы
1. Изучить методику экспериментального определения кривых разгона объекта управления и определить кривые разгона по каналам регулирования и возмущения для напорного бака.
2. Оценить по кривым разгона важнейшие динамические характеристики объекта управления: чистое транспортное запаздывание, самовыравнивание, емкость, инерционность.
3. Провести математическое описание динамики объекта управления по двум каналам (по каналу возмущения и каналу регулирования поочерёдно) линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Определить коэффициенты дифференциального уравнения первого порядка и соответствующей ему передаточной функции первого порядка, вывести уравнение для построения расчётной кривой разгона.
4. Провести математическое описание динамики объекта управления по каналам возмущения и регулирования дифференциальным уравнением второго порядка. Определить коэффициенты дифференциального уравнения второго порядка и соответствующей ему передаточной функции второго порядка, вывести уравнение для построения расчётной кривой разгона.
Изучение кривой разгона первого порядка по каналу регулирования
Изучаемый объект: Напорный бак с подогревом.
Раздел: Практика Хвоз=20%, Хрег=57%
Задаем ступенчатое изменение Хрег=67% (+10%), ждем, когда объект стабилизируется (Хвых(t)=const).
От момента задания возмущения до момента стабилизации по выходному каналу мы наблюдаем кривую разгона.
Останавливаем процесс нажатием клавиши “S”, далее “F7”. Задаем оси новой системы координат.
Далее на экране отображается выделенный участок, на котором необходимо выявить точку перегиба, обозначить ее и установить касательную.
В результате видим на экране расчётную модель кривой разгона первого порядка.
Снимаем показания. Соглашаемся с результатом расчетной модели, возвращаемся к окну процесса. Получаем величину k=1,9.
Кривая разгона с обозначениями параметров кривой
/>
Описание объекта управления в динамике можно сделать с помощью дифференциального уравнения второго порядка с запаздыванием следующего вида:
/>, при/>(1)
Где k — коэффициент усиления (передачи) рассматриваемого канала объекта
/>— время чистого транспортного запаздывания, определение которого также уже было рассмотрено. Коэффициент усиления можно выразить:
/>(2)
Рассмотрим точку перегиба. Как известно из математики, в точке перегиба вторая производная равна 0, т.е.
/>(3)
/>(4) –
это следует из того что тангенс угла найдётся из треугольника, как отношение противолежащего катета хвых уст=Вк прилежащему, равномуТ
Так же справедливо равенство уравнения разгона:
/>(5)
или />(6)
Причём />. Тогда из этого уравнения нетрудно получить формулу для коэффициента a1:
/>(7)
Перейдём к определению коэффициента а2. Для этого предварительно проинтегрируем исходное дифференциальное уравнение второго порядка (1), отбросив в нём на время уже определённое время чистого транспортного запаздывания. Получим:
/>(8)
Перепишем это уравнения для точки перегиба с координатами (tп, xвых(tп)):
/>. (9)
В уравнении (9):
/>(10)
а интеграл выражает площадь под кривой разгона до точки перегиба, поэтому обозначим его так:
/>. (11)
С учётом выражений (10) и (11) уравнение (9) примет вид:
/>(12)
Из этого уравнения и выведем формулу для определения последнего неизвестного коэффициента а2, получим:
/>. (13)
После определения всех коэффициентов дифференциального уравнения (1), перейдём к соответствующей ему передаточной функции, для чего уравнение (1) предварительно преобразуем по Лапласу, а затем найдём отношение изображения выходной величины объекта к входной (при нулевых начальных условиях), получим:
/>. (14)
Помня, что />, а изображение входного ступенчатого сигнала />имеет вид />нетрудно получит изображение выходной величины:
–PAGE_BREAK–
/>. (15)
Далее, пользуясь известными из математики методами (например, разлагая правую часть выражения (15) на простые дроби при временном отбрасывании запаздывания, а затем учёте его в полученном выражении путём формальной замены />), получим уравнение расчётной кривой разгона апериодического объекта второго порядка с запаздыванием:
/>, при/>. (16)
По уравнению (16) и проводится проверка точности совпадения расчётной кривой разгона с экспериментальной, т.е. проверка адекватности математической модели объекта. В уравнении (16) p1 и p2 – корни характеристического уравнения объекта по рассматриваемому каналу, получаемого приравниванием знаменателя передаточной функции (14) к нулю, т.е. корни уравнения вида:
/>. (17)
Кривая разгона по регулированию
/>= 18с, T=83,61с, />=1,9, />=0,53.
Имея данные, полученные выше, можем изобразить передаточную функцию:
/>
Подставив полученные данные в формулу />при />, получаем расчётное значение xвых(t).
t
Хвых(t)Практ
Хвых(t)Расчет
12
24
1,5
1,18
36
3,5
3,74
48
5,5
5,94
60
7,5
7,85
72
9
9,50
84
10,5
10,93
96
12
12,16
108
13
13,22
120
14
14,14
132
14,5
14,94
144
15,5
15,63
156
16
16,22
168
16,5
16,73
*Значение при t=0 рассчитать не удается т.к. не выполняется условие />
Графическое отображение зависимости выходных характристик от времени
/>
Кривая разгона по возмущению
Задаем ступенчатое возмущение Хаозм=25% (-5%), ждем, когда объект стабилизируется (Хвых(t)=const).
/>= 26,26с, Т=95,92 с, />=4,4, />=0,23.
Имея данные, полученные выше, можем изобразить передаточную функцию:
/>
Подставив полученные данные в формулу />при />, получаем расчётное значение xвых(t).
t
Хвых(t)Практ
Хвых(t)Расчет
30
2
1,49
60
6,5
6,81
90
11
10,76
120
14
13,68
150
16
15,84
180
17,5
17,44
210
19
18,62
240
продолжение
–PAGE_BREAK–
20
19,50
270
20,5
20,15
300
21
20,63
330
21,5
20,98
360
21,5
21,25
390
22
21,44
420
22
21,59
*Значение при t=0 рассчитать не удается т.к. не выполняется условие />
Графическое отображение зависимости выходных характристик от времени:
/>
Кривая разгона по регулированию второго порядка
Задаем ступенчатое регулирование Хрег=67% (+10%), ждем, когда объект стабилизируется (Хвых(t)=const).
Чистое запаздывание τ=21,15с, постоянная времени объекта Т=100,94с,
/>=1,9, />=0,53.
Имея данные полученные выше можем изобразить передаточную функцию:
/>/>
Подставим полученные данные в формулу
/>
при условии что t≥τ. Где p1и p2корни уравнения />
t
Хвых(t)Практ
Хвых(t)Расчет
0*
12
0*
24
1,5
1,32
36
3,5
3,94
48
5,5
6,11
60
7,5
7,97
72
9
9,59
84
10,5
10,98
96
12
12,19
108
13
13,24
120
14
14,15
132
14,5
14,93
144
15,5
15,61
156
16
16,20
168
16,5
16,71
*Значение при t=0 рассчитать не удается т.к. не выполняется условие />
Графическое отображение выходных характеристик:
/>
Кривая разгона по возмущению второго порядка
Задаем ступенчатое возмущение Хаозм=25% (-5%), ждем, когда объект стабилизируется (Хвых(t)=const).
Чистое запаздывание τ=26,68с, постоянная времени объекта Т=115,23с,
/>=4,4, />=0,23.
Имея данные полученные выше можем изобразить передаточную функцию:
/>
Подставим полученные данные в формулу
/>
продолжение
–PAGE_BREAK–
при условии что t≥τ. Где p1 и p2 корни уравнения />
t
Хвых(t)Практ
Хвых(t)Расчет
30
2
2,08
60
6,5
7,29
90
11
11,11
120
14
13,93
150
16
16,02
180
17,5
17,57
210
19
18,72
240
20
19,57
270
20,5
20,20
300
21
20,67
330
21,5
21,01
360
21,5
21,27
390
22
21,46
420
22
21,60
*Значение при t=0 рассчитать не удается т.к. не выполняется условие />
Графическое отображение выходных характеристик:
/>
Вывод
В результате проделанной работы мы приобрели навыки определения и анализа (точка перегиба, касательная, площадь под кривой до точки перегиба) кривой разгона при задании ступенчатого сигнала по каналам возмущения и регулирования. Были изображены расчетные кривые разгона первого и второго порядков, выведены передаточные функции из дифференциальных уравнений первого и второго порядка, определены необходимые коэффициенты.
