Как найти крутящий момент стержня

В этой статье начнем говорить о кручении. Это одна из базисных тем в сопромате, как и растяжение-сжатие. Знания этой темы помогут тебе при изучении более сложных тем курса «сопротивление материалов».

Кручение – это такой вид деформации, при котором в сечениях стержня возникают крутящие моменты (T).

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Детали, которые широко используются в машиностроении.

Что такое крутящий момент?

Крутящий момент – это внутренний силовой фактор, возникающий в сечениях стержней испытывающих деформацию кручения.

На практике же стержни не работают исключительно на кручение, они могут и растягиваться, и изгибаться. Но это уже более продвинутые темы – сложное сопротивление. В этом же разделе будем рассматривать чистое кручение.

В чем измеряется крутящий момент и как обозначается?

Крутящие моменты обозначаются буквой – T (сокращённое с английского: Torque – крутящий момент), однако, часто в другой литературе ты можешь встретить обозначение — М_кр. Ты можешь использовать любое обозначение, какое больше нравиться, либо которое использует твой преподаватель.

В задачах тебе будут даны крутящие моменты, скорее всего, в Н·м либо кН·м.

Построение эпюры крутящих моментов

В этой статье расскажу, как строить эпюры при кручении: крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания (углов поворотов).

На самом деле, многие рассматриваемые здесь принципы сильно похожи на те, что мы изучали ранее в уроке про построение эпюр при растяжении (сжатии). Здесь фактически будем делать всё то же самое, только оперировать другими обозначениями и названиями. После изучения того урока, с кручением у тебя точно не возникнет никаких трудностей.

В качестве примера, возьмём следующую расчётную схему:

Будем считать, что стержень изготовлен из стали (G = 8 · 10¹⁰ Па), а диаметры ступеней равны: d₁=150 мм, d₂=200 мм, d₃=300 мм.

Под действием внешних моментов (M), их еще часто называют вращающими или скручивающими моментами, в поперечных сечениях стержня возникают внутренние моменты – крутящие (T).

Правило знаков для крутящих моментов

Чтобы построить эпюру крутящих моментов, необходимо задаться каким-то правилом знаков для крутящих моментов. В этой статье я буду использовать следующее правило:

• Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПРОТИВ часовой стрелки, то крутящий момент (T) – положительный.

• Если внешний момент (M), в плоскости сечения, поворачивает ПО часовой стрелке, то крутящий момент (T) – отрицательный.

Можно учитывать знак крутящего момента ровно наоборот. Главное, придерживаться этого правила при расчёте всех участков и ориентироваться по полученным эпюрам: в какую сторону у тебя будут направлены внешние моменты, внутренние – крутящие моменты, куда будут поворачиваться сечения. Как видишь, знаки здесь нам нужны, чтобы задать определённые правила игры, а правило знаков – условное и не имеет физического смысла.

Расчёт крутящих моментов

Что же, давай, наконец, приступим к расчёту крутящих моментов. Пронумеруем расчётные участки:

Используя правило знаков, описанное выше, рассчитаем крутящие моменты на каждом участке:

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Построение эпюры касательных напряжений при кручении

Касательные напряжения по высоте круглого сечения, будут распределены следующим образом:

Как видишь, касательные напряжения будут максимальны на поверхности стержня, они нас и будут интересовать больше всего, т. к. по ним выполняются прочностные расчёты, для них и будем строить эпюру – максимальных касательных напряжений.

Расчёт максимальных касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения в поперечном сечении, можно определить по формуле:

где Wp — полярный момент сопротивлния, T — крутящий момент.

Полярный момент сопротивления для круглого сечения определяется по формуле:

Поэтому формулу для нахождения максимальных касательных напряжений для круглого поперечного сечения, можно записать в следующем виде:

По условию задачи диаметры участков известны. Осталось вычислить максимальные касательные напряжения на каждом участке:

По полученным значениям построим эпюру касательных напряжений:

Построение эпюры углов закручивания (поворотов)

Под действием внешних – скручивающих моментов, поперечные сечения стержня будут поворачиваться на определенный угол (φ). В этом разделе будем учиться определять эти углы закручивания (поворотов) поперечных сечений и строить эпюру.

Обозначим точки в характерных сечениях стержня:

Расчёт начинаем от жёсткой заделки и сразу можем записать, что в точке A, угол поворота равен нулю, т. к. здесь заделка ограничивает любые повороты сечения:

Чтобы рассчитать поворот сечения B, нужно учесть поворот предыдущего сечения:

А также, угол закручивания участка между расчётными сечениями:

Угол закручивания участка можно посчитать по формуле:

где l – длина участка; I_p – полярный момент инерции; G – модуль сдвига.

G – модуль сдвига (модуль упругости 2 рода) – определяется при испытании образцов на кручение, тем самым зависит от материала образца.

Модуль сдвига (G) известен, по условию задачи.

Формула для определения полярного момента инерции для круглого сечения следующая:

Зная диаметры, сразу вычислим полярные моменты инерции для каждого участка:

Определим угол закручивания сечения B, с учётом вышеуказанных формул:

Также можно перевести это значение в привычные градусы:

Для двух других сечений расчёт производится аналогичным образом.

Угол поворота сечения С

Угол поворота сечения D

По рассчитанным значениям, построим эпюру углов закручивания поперечных сечений:

Таким образом, свободный торец стержня, повернётся на 0.58 градуса, относительно неподвижного сечения A.

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчёты на прочность в целом похожи на расчёты при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений расчёт ведётся по касательным напряжениям.

На кручение, как правило, работают детали, которые называются валами. Их назначение – передача крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет либо круглое сечение, либо кольцевое.

Условие прочности

За допустимое касательное напряжение [τ], часто в задачах по сопромату, принимают напряжение в два раза меньше, чем допустимое нормальное напряжение [σ]:

Максимальные касательные напряжения (τ_max) в сечениях можно найти по формуле:

где T – крутящий момент в сечении;

W_p – полярный момент сопротивления сечения.

Полярные моменты сопротивления можно посчитать этим формулам.

Кручением
называется такой вид деформации стержня,
при котором в его поперечных сечениях
возникает только один внутренний силовой
фактор – крутящий
момент. Все
остальные внутренние усилия – нормальная
и поперечная силы, изгибающи й момент
при кручении отсутствуют. Кручение
испытывают многие детали машин и
сооружений: валы двигателей и станков,
оси моторных вагонов и двигателей,
элементы пространственных конструкций
и т.д. Как показали исследования, характер
деформации скручиваемого стержня
зависит от формы его поперечного сечения.
Особое место среди стержней, подвергаемых
кручению, принадлежит стержням с круглым
поперечным сечением. Такие стержни,
испытывающие кручение, называют валами.

К скручиваемому
стержню в разных его сечениях может
быть приложено несколько внешних
моментов. Рассмотрим случай, когда все
внешние моменты взаимно уравновешены
и действуют в плоскостях, прерпендикулярных
оси стержня (Рис.11.9,а):

(11.25)

Рис.11.9

Для
определения крутящего момента в
каком-либо сечении стержня воспользуемся
правилом, полученном при использовании
метода сечений, изложенном в теме №1.
На основании этого правила главный
вектор и главный момент всех внутренних
сил, действующих в рассматриваемом
сечении на оставшуюся часть тела,
равняются соответственно главному
вектору и главному моменту всех внешних
сил, приложенных к отброшенной части
тела.

Таким
образом, чтобы определить крутящий
момент
,
необходимо просуммировать все внешние
моменты, действующие по одну сторону
от рассматриваемого сечения. Слева от
сеченияIII,
в котором определяется крутящий момент,
действуют внешние моменты
и.
Следовательно, крутящий момент в сеченииIII
будет равен:

.

Здесь
и в дальнейшем при построении эпюр
крутящих моментов следует пользоваться
следующим правилом знаков: если смотреть
на отброшенную часть со стороны сечения,
в котором определяется крутящий момент,
то при вращении внешним моментом стержня
по часовой
стрелке его
следует брать со знаком “минус”,
и наоборот – при вращении внешним
моментом вала против
часовой стрелки
его следует брать со знаком “плюс”.

Рассмотрим пример
построения эпюры крутящих моментов.

Пример
11.1. Построить
эпюру крутящих моментов для стержня,
изображенного на рис.11.10а.

Рис.11.10

Решение:

1.
Разобьем вал на участки: I,
II, III, IV и
V.

2. Пользуясь
правилом для определения крутящих
моментов, изложенным выше, находим:

;

кНм;кНм;

кНм;

.

Крутящие
моменты на участках I,
II, III опредеделялись
слева, на участках IV,
V 
справа.

3. Откладываем
полученные моменты от базисной линии
и строим эпюру крутящих моментов
(Рис.11.10б).

11.9. Вывод формул для напряжений и деформаций при кручении валов

Рассмотрим
стержень круглого поперечного сечения,
на поверхности которого нанесена сетка,
образованная системой образующих и
окружностей, сотавляющих внешние контуры
сечений (Рис.11.11).

Рис.11.11

Наблюдения
показывают, что после закручивания
прямоугольники, образованные сеткой,
перекашиваются, ось стержня остается
прямолинейной, контуры поперечных
сечения, круглые и плоские до деформации,
не меняют своих очертаний и после
деформации. При кручении происходит
поворот одного сечения по отношению к
другому на угол, называемый углом
закручивания. Расстояние между поперечными
сечениями практически не меняется, а
это указывает на отсутствие продольных
деформаций. Если провести прямую линию
вдоль
радиуса поперечного сечения стержня в
торцовом сечении, то в процессе
закручивания эта прямая линия не
искривляется.

Приведенные
наблюдения отражают лишь те деформации,
которые происходят на поверхности
стержня, но не позволяют делать какие-либо
заключения о деформации внутренних
волокон. В связи с этим сформулируем
ряд гипотез, которые затем положим в
основу последующих выводов. Эти гипотезы
следующие:

1. Сечения плоские
до закручивания, остаются плоскими
после закручивания.

2. Радиусы, проведенные
мысленно в любом поперечном сечении, в
процессе кручения не искривляются.

3. Поперечные
сечения, не удаляясь друг от друга в
процессе деформации, лишь скользят одно
относительно другого, в связи с чем при
кручении наблюдается деформация чистого
сдвига.

Принятые гипотезы
позволяют предположить, что при кручении
круглого стержня в результате сдвига
возникают только касательные напряжения,
а нормальные равны нулю.

Для
вывода формулы для касательных напряжений
при кручении валов рассмотрим стержень
радиуса
,
заделанный одним концом (Рис.11.12), на
свободном конце которого приложим пару
сил с моментом.

Рис.11.12

На
боковой поверхности стежня проведем
образующую AD, которая после кручения
займет положение АD₁.
Под действием скручивающего момента
сечениеI
– I повернется
на угол
относительно жесткой заделки. СечениеII –
II повернется
на угол
.
Таким образом, взаимный угол поворота
сеченийI
– I и II
– II составит
.

Рассмотрим
отдельно элемент стержня длиной
.
Левое сечение элемента будем считать
неподвижным (Рис.11.13). Образующая ВС
наклонится на малый уголи займет положение ВС₁.
Угол сдвига волокна, принадлежащего
поверхности вала, найдем из равенства:

.

Для
произвольного волокна, отстоящего от
центра тяжести на расстоянии
угол сдвига будет равен:

.

Рис.11.13

Применяя
для двух точек С₁
и D₁
закон Гука
при сдвиге (11.6), запишем выражения для
касательных напряжений:

;
(11.26)

.
(11.27)

Сравнивая
формулы (11.26) и (11.27), приходим к выводу,
что касательные напряжеения при кручении
вала пропорциональны расстоянию от оси
вала. Наибольшие напряжения будут в
точках, наиболее удаленных от центра
тяжести сечения.

Формула (11.27)
представляет собой закон изменения
касательных напряжений в поперечном
сечении вала. На рис.11.14 представлен
график изменения касательных напряжений.

Рис.11.14

Выделим
вокруг точки на расстоянии
от центра тяжести площадкуи вычислим момент силы, действующей на
этой площадке,
относительно оси стержня:

.

Полный крутящий
момент будет равен:

.
(11.28)

Подставляя
в формулу (11.28) значение
из формулы (11.27), получим:

.
(11.29)

В
формуле (11.29) величина
для всех точек поперечного сечения
одинакова, поэтому ее можно вынести за
знак интеграла. Под знаком интеграла
останется величина,
представляющая собой полярный момент
инерции поперечного сечения.
Тогда выражение (11.29) преобразуется к
виду:

или

.
(11.30)

Подставляя
выражение для
в формулу (11.27), получим:

.
(11.31)

Выражение
(11.31) представляет собой закон распределения
касательных напряжений вдоль радиуса
сечения и позволяет определить касательное
напряжение в любой точке поперечного
сечения. При
,
т.е. в центре тяжести поперечного сечения,
касательные напряжения равны нулю.

Максимальные
напряжения в сечении возникают в наиболее
удаленных точках сечения при
:

.
(11.32)

Выражение
(11.31) так же, как и выражение (11.27)
устанавливают прямо пропорциональную
зависимость величины касательных
напряжений от расстояния точки до центра
тяжести сечения. Графически этот закон
представлен на рис.11.14.

Величина
называетсяполярным моментом
сопротивления круглого сечения при
кручении и характеризуетвлияние
размеров сечения на способность
скручиваемого элемента сопротивляться
внешним нагрузкам, не разрушаясь.

Угол
закручивания поперечного сечения
можно определить из формулы (11.30):

.

Интегрируя это
выражение по всей длине стержня, получим:

.
(11.33)

Если вал имеет
постоянный диаметр, а крутящий момент
по всей длине стержня не меняется, то
после интегрирования выражения (11.33),
угол закручивание будет иметь вид:

.
(11.34)

Величина
называется жесткостью поперечного
сечения вала при кручении и характеризует
влияние геометрических размеров
поперечного сечения и физических
характеристик материала на способность
вала сопротивляться закручиванию.

Для ступенчатых
стержней или же стержней, у которых
крутящий момент меняется по длине
скачкообразно, угол закручивания между
начальным и конечным сечениями вала
определяется как сумма углов закручивания
с постоянным отношением
:

,
(11.35)

где
число участков вала.

Полный угол
закручивания не всегда может характеризовать
жесткость вала при кручении. Если на
протяжении длины вала крутящие моменты
имеют разные знаки, то полный угол
закручивания может оказаться небольшим,
в то время как на отдельных участках
угол закручивания может быть значительным.
В связи с этим для оценки жесткости
скручиваемого стержня применяется
другая мера – относительный угол
закручивания

.
(11.36)

Размерность
относительного угла закручивания
или.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов m_i, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов m_i, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.

В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.

Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

1. поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
2. радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:

где I_ρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:

Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρ_max:

Здесь:

— полярный момент сопротивления.
Геометрические характеристики сечений:
а) для полого вала:


б) для вала сплошного сечения (c=0)

в) для тонкостенной трубы (t<0,9)

где

— радиус срединной поверхности трубы.

Деформации

Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.

Угол закручивания вала на длине Z определяется по формуле:

Если крутящий момент и величина GI_ρ, называемая жесткостью поперечного сечения при кручении, постоянны, для участка вала длиной l имеем:

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания:

Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:

1. условию прочности:
   
2. условию жесткости:
   

Для стальных валов принимается:

Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:

1. проверочный расчет, заключающийся в проверке выполнения условий прочности и жесткости при известных значениях крутящего момента, размеров и материала вала.
2. Проектировочный расчет, при котором вычисляются диаметры:
   
   при этом берется большее из найденных значений, а затем принимается стандартное значение по ГОСТ.
3. Определение грузоподъемности вала:

   Из двух найденных значений крутящего момента необходимо принять меньшее.

При кручении, наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях, в соответствии с законом парности, касательные напряжения возникают и в продольных сечениях. Таким образом, во всех точках вала имеет место чистый сдвиг.

Главные напряжения σ₁ = τ, σ₃ = -τ наклонены под углом α=±45^о к образующей.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле

или для участка вала при постоянном T и GI_ρ

Лекции по сопромату >
Примеры решения задач >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Лекция 7. КРУЧЕНИЕ

Крутящие моменты (внутренний силовой фактор) в поперечных сечениях
стержня. Кручение стержней круглого поперечного сечения: допущения,
деформации, напряжения, углы закручивания. Условия прочности, жёсткости.
Построение эпюр крутящих моментов.
 

Кручение имеет место в случае действия на вал момента (пары сил)
относительно его продольной оси, и в поперечных сечениях бруса возникает
только один силовой фактор – крутящий момент. Брус, работающей на
кручение называется валом. При кручении вала его поперечные сечения
поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса.

Напряжения и деформации при кручении бруса. Под действием внешнего
скручивающего момента, приложенного на правом конце бруса, левый конец
которого жестко закреплен, брус будет закручиваться. Выделим из бруса
элементарный цилиндр длиной dx (рис. 19). Будем считать, что левое
сечение бруса жестко закреплено. Под действием крутящего момента T
правое сечение повернется на некоторый угол dφ.Так как ds = γ•dx = ρ•dφ,
то получаем . Из данной зависимости видно, что угол сдвига γ изменяется по радиусу вала по линейному закону.  

 

Рис. 19. Расчетная схема при кручении

Деформация бруса при кручении характеризуется относительным углом закручивания .

При малых углах закручивания вала в теории кручения круглых стержней принимаются допущения:

1. Поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к его оси до
деформации, остаются плоскими (не коробятся) и перпендикулярными к оси
вала и после деформации (гипотеза Бернулли).

2. Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются и не изменяют своей длины.

3. Длина вала в результате закручивания не изменяется.

Поперечное сечение вала ведет себя при кручении, как жесткий диск,
и деформацию кручения можно рассматривать, как результатсдвига одного
поперечного сечения относительно другого. В этом случае в точках
поперечного сечения вала возникают только касательные напряжения.

Теория кручения, основанная на упомянутых допущениях, подтверждается экспериментальными данными.

Согласно закону Гука при сдвиге, имеем . Откуда получаем:

 

Из полученной зависимости следует, что касательные напряжения изменяются по радиусу по линейному закону.

При кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному
сечению, приводятся к одной составляющей – к крутящему моменту.
Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенные через точки
их действия (рис. 20). Крутящий момент T в сечении бруса определяется
по формуле

 

где ρ – плечо элементарной силы.

Подставляя значение касательного ускорения, получим

             (8)

Элементарный угол закручивания бруса: полный угол закручивания

 

Рис. 20. Эпюра 

Максимальное касательное напряжение в поперечном сечении бруса будет определяться по зависимости:

 

Прочность и жесткость при кручении. Условие прочности при кручении имеет вид

 

Условие жесткости:

(9)

Для бруса круглого сечения эти условия принимают вид:

 

Построение эпюр крутящих моментов. Крутящий момент, возникающий
в поперечном сечении стержня, определяется методом сечений. Крутящий
момент равен алгебраической сумме скручивающих моментов, приложенных
к любой из частей стержня. Эпюра крутящих моментов – это график,
показывающий изменения крутящего момента по длине вала. Правило знаков
для эпюры крутящих моментов

При построении эпюры крутящих моментов используется правило
знаков: скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня
против хода часовой стрелки при взгляде на поперечное сечение, вызывает
в этом сечении положительный крутящий момент.

Брус разбивается на участке, на каждом участке проводится сечение
и определяется крутящий момент. Затем строится эпюра крутящих моментов.

 

Рис. 21. Эпюра крутящих моментов