Как найти куб суммы куб разности

Алгебра

7 класс

Урок № 31

Куб суммы. Куб разности

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формулы сокращённого умножения.
• Куб суммы. Куб разности.
• Разложение многочлена на множители.
• Тождественные преобразования.
• Вычисление значения числовых выражений.

Тезаурус:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a + b)(a – b) = a² – b²

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Применение:

• упрощение умножения многочленов;
• разложение многочлена на множители;
• вычисление значения числового выражения;
• тождественные преобразования.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Куб суммы.

Рассмотрим произведение:

(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b).

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

a³ + 2a²b + b²a + a²b + 2ab² + b ³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Итак, доказано равенство, которое называют «куб суммы»: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Читается так: «куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, плюс куб второго числа».

Куб разности.

Аналогично докажем формулу «куб разности».

Рассмотрим произведение:

(a – b)³ = (a – b)²(a – b) =(a² – 2ab + b²)(a – b)

Применив правило умножения многочленов, получим:

a³ – 2a²b + b²a – a²b + 2ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Доказано равенство, которое называют «куб разности»:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Читается так: «куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа и квадрата второго, минус куб второго числа».

Формулы суммы и разности кубов часто используют для упрощения выражений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Найдите куб двучлена:

(a + 3)³ = a³ + 3a² · 3 + 3a · 3² + 3³ = a³ + 9a² + 27a + 27.

(10 – a)³ =10³ – 3 · 10² a + 3 · 10 · a² – a³ = 1000 – 300a + 30a² – a³.

Задача 2.

Упростите: x³ + 3x(x + 4) – (x + 2)³

x³ + 3x² + 12x – (x³ + 6x² + 12x + 8) =

x³ + 3x² + 12x – x³ – 6x² – 12x – 8 =

= -3x² – 8.

Ответ: -3x² – 8.

Задача 3.

Решите уравнение:

x³ + 9x² – (x + 3)³ = 0

x³ + 9x² – (x³ + 9x² + 27x + 27) = 0

x³ + 9x² – x³ – 9x² – 27x – 27 = 0

-27x = 27

Ответ: х = -1.

Формула куба суммы

Возведем в куб сумму (a+b):

$$ (a+b)^3 = (a+b) (a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2 ) = $$

$$ = a(a^2+2ab+b^2 )+b(a^2+2ab+b^2 ) = a^3+2a^2 b+ab^2+a^2 b+2ab^2+b^3 = $$

$$ = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 $$

Мы получили формулу куба суммы двух выражений:

$$(a+b)^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3$$

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(2x+3y)^3 = (2x)^3+3cdot(2x)^2cdot3y+3cdot2xcdot(3y)^2+(3y)^3 =$$

$$ = 8x^3+36x^2 y+54xy^2+27y^3 $$

Формула куба разности

Возведем в куб разность (a-b):

$$ (a-b)^3 = (a-b) (a-b)^2 = (a-b)(a^2-2ab+b^2 ) = $$

$$ = a(a^2-2ab+b^2 )-b(a^2-2ab+b^2 ) = a^3-2a^2 b+ab^2-a^2 b+2ab^2-b^3 = $$

$$= a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3$$

Мы получили формулу куба разности двух выражений:

$$ (a-b)^3 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 $$

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

$$(5k-11p)^3 = (5k)^3-3cdot(5k)^2cdot11p+3cdot5kcdot(11p)^2-(11p)^3 =$$

$$= 125k^3-825k^2 p+1815kp^2-1331p^3$$

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена

а) $ (x+5)^3 = x^3+3cdot x^2cdot5+3cdot xcdot5^2+5^3 = x^3+15x^2+75x+125$

б) $ (9-z)^3 = 9^3-3cdot9^2cdot z+3cdot9cdot z^2-z^3 = 729-243+27z^2-z^3 $

в) $(5b-3c)^3 = (5b)^3-3cdot(5b)^2cdot3c+3cdot5bcdot(3c)^2-(3c)^3 =$

$= 125b^3-225b^2 c+135bc^2-27c^3$

г) $(2mk+1)^3 = (2mk)^3+3cdot(2mk)^2cdot1+3cdot2mkcdot1^2+1^3 =$

$ = 8m^3 k^3+12m^2 k^2+6mk+1 $

Пример 2. Упростите выражение:

а) $(a+2)^3-(a-2)^3 = a^3+3a^2cdot2+3acdot2^2+2^3-(a^3-3a^2cdot2+3acdot2^2-2^3 )= $

$= 2cdot6a^2-2cdot8 = 12a^2-16 $

б) $(x-3y)^3+9xy(x-3y) = x^3-3x^2cdot3y+3xcdot(3y)^2-27y^3+9x^2 y-27xy^2 =$

$ = x^3-27y^3$

в) $(x+y)^3-x(x-y)^2 = x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x(x^2-2xy+y^2 ) =$

$= x^3-3x^2 y+3xy^2+y^3-x^3+2x^2 y-xy^2 = -x^2 y+2xy^2+y^3$

г) $3m(k+3m)^2-(k+3m)^3 = 3m(k^2+6km+9m^2 )-$

$-(k^3+3k^2cdot3m+3kcdot(3m)^2+(3m)^3 ) = 3k^2 m+18km^2+27m^3- $

$-k^3-9k^2 m-27km^2-27m^3 = -6k^2 m-9km^2-k^3 $

Пример 3. Найдите значение выражения:

a) $a^3-b^3-3ab(a-b)$ при a = -7 и b = -17

$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$

$ = (a-b)^3 $

Подставляем: $(-7-(-17) )^3 = 10^3 = 1000$

б) $3ab(a+b)+a^3+b^3$ при a = -3 и b = 13

$ 3ab(a+b)+a^3+b^3 = 3a^2 b+3ab^2+a^3+b^3 = a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 = $

$ = (a+b)^3$

Подставляем: $(-3+13)^3 = 10^3 = 1000$

Пример 4. Решите уравнение:

а) $(3x+1)^3 = 27x^2 (x+1)$

$(3x)^3+3cdot(3x)^2+3cdot3x+1 = 27x^3+27x^2$

$27x^3+27x^2+9x+1 = 27x^3+27x^2$

9x+1 = 0

9x = -1

x=- $frac{1}{9}$

б) $(1-4x)^3+48x^2 (1 frac{1}{3} x-1) = 0$

$1-3cdot4x+3cdot(4x)^2-(4x)^3+48cdot frac{4}{3} x^3-48x^2 = 0 $

$1-12x+48x^2-64x^3+64x^3-48x^2 = 0$

1-12x = 0

12x = 1

$x = frac{1}{12}$

Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов[править | править код]

• – квадрат суммы (разности) двух чисел (многочленов)
• (квадрат суммы трех чисел (многочленов))

Разность квадратов[править | править код]

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле^[1]:

Доказательство[править | править код]

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

и остаётся

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

.

Чтобы это было равно , мы должны иметь

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Формулы для кубов[править | править код]

• – куб суммы (разности) двух чисел
• – сумма (разность) кубов
• – куб суммы

Формулы для четвёртой степени[править | править код]

• 
• (выводится из )
• 

Формулы для n-й степени[править | править код]

• 
• , где
• 
• , где

В комплексных числах[править | править код]

• 
• 
• 
• 

Для произвольной чётной степени:

• , где пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

• , где пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул[править | править код]

• , где
• , где

См. также[править | править код]

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.

Разность квадратов

Примеры:

• 15² − 2² = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
• 9a² − 4b²с² = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Найти 112².

• Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
  
  
  112 = 100 + 1
• Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
  
  112² = (100 + 12)²
• Воспользуемся формулой квадрата суммы:
  
  112² = (100 + 12)² = 100² +
  2 · 100 · 12 + 12² = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

• (8a + с)² = 64a² + 16ac + c²

Предостережение!

(a + b)² не
равно (a² + b²)

Квадрат разности

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

(a − b)² = (b − a)²

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b)² =
a² −2ab + b² = b² − 2ab + a² = (b − a)²

Куб суммы

Как запомнить куб суммы

Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.

• Выучите, что в начале идёт «a³».
• Два многочлена посередине имеют коэффициенты
  3.
• Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
  (a⁰ = 1, b⁰ = 1). Легко заметить, что в формуле
  идёт понижение
  степени «a» и увеличение степени
  «b». В этом можно убедиться:
  
  (a + b)³ =
  a³b⁰ +
  3a²b¹ + 3a¹b² +
  b³a⁰ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Предостережение!

(a + b)³
не равно a³ + b³

Куб разности

Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a³ »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.

(a − b)³ =
+ a³ −
3a²b
+ 3ab² −
b³
=
a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

• Первая скобка — сумма двух чисел.
• Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
  (a²− ab + b²)
  
  Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

Примеры:

• a² + 2a + 1 = (a + 1)²
• (aс − 4b)(ac + 4b) = a²c² − 16b²

Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

В математике есть формулы, которые просто необходимо держать всегда в памяти, так как большинство заданий ЕГЭ не могут обойтись без их применения. Это формулы сокращенного умножения. Изучать ФСУ начинают в 7-м классе. Тема считается непростой, но знание их поможет избежать утомительных вычислений и снизить вероятность ошибки.

Что такое формула сокращенного умножения

Из названия следует, что эти формулы позволяют проводить умножение, возведение в степень чисел и многочленов сокращенно, то есть быстрее при более компактной записи решения. Эти тождества служат для разложения многочленов на множители, упрощения выражений и приведения многочленов к стандартному виду.

Таблица формул сокращенного умножения

Для удобства мы собрали все формулы сокращенного умножения в одну таблицу. Ее можно использовать при выполнении домашних заданий по алгебре. При решении задач вы можете заменить буквы a и b числами, переменными или даже целыми выражениями.

Квадрат суммы	(a + b)²= a² + 2ab + b²
Квадрат разности	(a – b)²= a² – 2ab + b²
Разность квадратов	a² – b²=(a – b)·(a + b)
Сумма кубов	a³ + b³=(a + b)·(a² – ab + b²)
Разность кубов	a³ – b³=(a – b)·(a² + ab + b²)
Куб суммы	(a + b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб разности	(a – b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Формулы сокращенного умножения следует выучить. Без первой тройки формул о «тройке» и мечтать нельзя, без остальных — о «четверке» и «пятерке».

Как запомнить все эти, на первый взгляд, сложные формулы? Можно использовать метод аналогии. Присмотритесь к ФСУ внимательнее и вы увидите, что формула квадрата суммы очень похожа на формулу квадрата разности: здесь нужно запомнить только одно отличие — «плюс» меняется на «минус».

Также легко запомнить куб суммы и куб разности: их формулы практически одинаковы, снова поменялись только знаки. Сумма кубов и разность кубов тоже похожи, к тому же они напоминают первые две формулы.

И еще: научитесь правильно проговаривать формулы сокращенного умножения. Очень частая ошибка учеников — говорить «формула суммы квадратов». Такой формулы не существует!

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7-го класса по алгебре и добавим еще несколько формул.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых:

(a₁+a₂+…+a_n)²=a₁²+a₂²+…+a_n−1²+a_n²+2·a₁·a₂+2·a₁·a₃+2·a₁·a₄+…+2·a₁·a_n−1+2·a₁·a_n+ +2·a₂·a₃+2·a₂·a₄+…+2·a₂·a_n−1+2·a₂·a_n+…+2·a_n−1·a_n.

Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых. Для примера возведем в квадрат с использованием этой формулы сумму трех слагаемых x, y и z. Имеем: (x+y+z)²=x²+y²+z²+2·x·y+2·x·z+2·y·z. В частном случае при n=2 эта формула становится уже известной нам формулой квадрата суммы двух слагаемых.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и большего количества слагаемых:

aⁿ−bⁿ=(a−b)·(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²·b+aⁿ⁻³·b²+…+a²·bⁿ⁻³+a·bⁿ⁻²+bⁿ⁻¹)

Частными случаями этой формулы являются: разность квадратов (при n=2), разность кубов (при n=3) и сумма кубов (при n=3 и если b заменить на −b).

Примеры использования формул сокращенного умножения

Лучше всего формулы запоминаются на практике. Решайте как можно больше примеров, и все формулы запомнятся сами собой, а вы избавитесь от скучной и малоэффективной зубрежки. Итак, рассмотрим примеры и их решения с помощью формул сокращенного умножения.

Пример №1

Упростим выражение:

Применим формулу разности квадратов и получим:

Пример №2

Найдем значение выражения:

Применим формулы квадрата разности и квадрата суммы, раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, сократим дробь и получим:

Популярные вопросы и ответы