Загрузить PDF
Загрузить PDF
Если под рукой есть калькулятор, извлечь кубический корень из любого числа не составит никаких проблем. Но если калькулятора нет или вы просто хотите произвести впечатление на окружающих, извлеките кубический корень вручную. Большинству людей описываемый здесь процесс покажется довольно сложным, но с практикой извлекать кубические корни станет намного легче. Перед тем как приступить к чтению данной статьи, вспомните основные математические операции и вычисления с числами в кубе.
-
1
Запишите задачу. Извлечение кубического корня вручную похоже на деление в столбик, но с некоторыми нюансами. Сначала запишите задачу в определенной форме.[1]
- Запишите число, из которого нужно извлечь кубический корень. Число разбейте на группы по три цифры, причем отсчет начните с десятичной запятой. Например, нужно извлечь кубический корень из 10. Напишите это число так: 10, 000 000. Дополнительные нули призваны повысить точность результата.
- Возле и над числом нарисуйте знак корня. Представьте, что это горизонтальная и вертикальная линии, которые вы рисуете при делении в столбик. Единственное отличие – это форма двух знаков.
- Над горизонтальной линией поставьте десятичную запятую. Сделайте это непосредственно над десятичной запятой исходного числа.
-
2
-
3
Найдите первую цифру ответа. Выберите куб целого числа, который ближе всего, но меньше первой группы из трех цифр.[2]
-
4
Найдите следующую цифру ответа. К первому остатку припишите вторую группу из трех цифр, а слева от полученного числа проведите вертикальную черту. С помощью полученного числа вы найдете вторую цифру ответа. В нашем примере к первому остатку (2) нужно приписать вторую группу из трех цифр (000), чтобы получить число 2000.[3]
- Слева от вертикальной линии вы напишите три числа, сумма которых равна некоему первому множителю. Оставьте пустые пространства для этих чисел, а между ними поставьте знаки «плюс».
-
5
Найдите первое слагаемое (из трех). В первом пустом пространстве запишите результат умножения числа 300 на квадрат первой цифры ответа (она записана над знаком корня). В нашем примере первой цифрой ответа является 2, поэтому 300*(2^2) = 300*4 = 1200. Напишите 1200 в первом пустом пространстве. Первым слагаемым является число 1200 (плюс еще два числа, которые нужно найти).[4]
-
6
Найдите вторую цифру ответа. Выясните, на какое число нужно умножить 1200, чтобы результат был близок, но не превышал 2000. Таким числом может быть только 1, так как 2*1200 = 2400, что больше 2000. Напишите 1 (вторая цифра ответа) после 2 и десятичной запятой над знаком корня.[5]
-
7
Найдите второе и третье слагаемые (из трех). Множитель состоит из трех чисел (слагаемых), первое из которых вы уже нашли (1200). Теперь нужно найти оставшиеся два слагаемых.[6]
- Умножьте 3 на 10 и на каждую цифру ответа (они записаны над знаком корня). В нашем примере: 3*10*2*1 = 60. Прибавьте этот результат к 1200 и получите 1260.
- Наконец, возведите в квадрат последнюю цифру ответа. В нашем примере последней цифрой ответа является 1, поэтому 1^2 = 1. Таким образом, первый множитель равен сумме следующих чисел: 1200 + 60 + 1 = 1261. Запишите это число слева от вертикальной черты.
-
8
Умножьте и вычтите. Умножьте последнюю цифру ответа (в нашем примере это 1) на найденный множитель (1261): 1*1261 = 1261. Запишите это число под 2000 и вычтите его из 2000. Вы получите 739 (это второй остаток).
-
9
Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Делайте это каждый раз, после того как завершите очередное вычитание. После первого вычитания ответ был равен 2, что не является точным результатом. После второго вычитания ответ равен 2,1.[7]
- Чтобы проверить точность ответа, возведите его в куб: 2,1*2,1*2,1 = 9,261.
- Если вы считаете, что ответ достаточно точный, вычисления можно не продолжать; в противном случае проделайте еще одно вычитание.
-
10
Найдите второй множитель. Чтобы попрактиковаться в вычислениях и получить более точный результат, повторите действия, которые описаны выше.[8]
-
11
Умножьте последнюю цифру ответа на второй множитель. После того как вы нашли второй множитель и третью цифру ответа, действуйте следующим образом:
- Умножьте последнюю цифру ответа на найденный множитель: 135475*5 = 677375.
- Вычтите: 739000-677375 = 61625.
- Подумайте, является ли полученный ответ достаточно точным. Для этого возведите его в куб: .
-
12
Запишите ответ. Результат, записанный над знаком корня, является ответом с точностью до двух цифр после запятой. В нашем примере кубический корень из 10 равен 2,15. Проверьте ответ, возведя его в куб: 2,15^3 = 9,94, что приблизительно равно 10. Если вам нужна большая точность, продолжите вычисления (как описано выше).
Реклама
-
1
Используйте кубы чисел, чтобы определить верхний и нижний пределы. Если нужно извлечь кубический корень практически из любого числа, найдите кубы (некоторых чисел), которые близки к данному числу.
-
2
Оцените второе число. Первое число вы нашли благодаря знанию кубов целых чисел. Теперь целое число превратите в десятичную дробь, приписав к нему (после десятичной запятой) некоторую цифру от 0 до 9. Необходимо найти десятичную дробь, куб которой будет близок, но меньше исходного числа.
- В нашем примере число 600 находится между числами 512 и 729. Например, к первому найденному числу (8) припишите цифру 5. Получится число 8,5.
-
3
Оцените полученное число, возведя его в куб. Сделайте это, чтобы проверить, что куб близок, но не больше исходного числа.
- В нашем примере:
- В нашем примере:
-
4
Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Если же куб полученного числа намного меньше исходного числа, оценивайте большие числа до тех пор, пока куб одного из них не превысит исходное число.
-
5
Оцените следующее число, чтобы повысить точность ответа. К каждому числу, которое вы оценили последним, приписывайте цифру от 0 до 9 до тех пор, пока не получите точный ответ. В каждом оценочном раунде нужно найти верхний и нижний пределы, между которыми находится исходное число.
-
6
Если нужно, оцените другое число. Сравните куб полученного числа с исходным числом. Если куб полученного числа больше исходного числа, попробуйте оценить меньшее число. Короче говоря, нужно найти такие два числа, кубы которых чуть больше и чуть меньше исходного числа.
-
7
Выполняйте описанный процесс до тех пор, пока не получите ответ, точность которого вас устроит. Оцените следующее число, сравните его с исходным, затем, если нужно, оцените другое число и так далее. Обратите внимание, что каждая дополнительная цифра после десятичной запятой повышает точность ответа.
- В нашем примере куб числа 8,43 меньше исходного числа менее чем на 1. Если нужна большая точность, возведите в куб число 8,434 и получите, что , то есть результат меньше исходного числа менее чем на 0,1.
Реклама
- В нашем примере куб числа 8,43 меньше исходного числа менее чем на 1. Если нужна большая точность, возведите в куб число 8,434 и получите, что
-
1
-
2
-
3
Уясните алгоритм деления в столбик. Обратите внимание, что описанный здесь метод извлечения кубического корня очень напоминает деление в столбик. При делении в столбик нужно найти число (частное), при умножении которого на делитель получится делимое. В описанном методе в качестве частного выступает результат извлечения кубического корня (он записывается над знаком корня). То есть результат извлечения кубического корня можно представить как бином (10A + B). Точные значения А и В на данном этапе не важны: просто запомните, что результат можно записать в виде двучлена.[12]
-
4
Посмотрите на биноминальный ряд. Он представляет собой сумму четырех одночленов, благодаря которым можно понять принцип действия алгоритма извлечения кубического корня. Обратите внимание, что множитель каждого этапа извлечения корня равен сумме четырех слагаемых, которые нужно вычислить и сложить.[13]
- Множителем первого члена является число 1000. Чтобы вычислить первую цифру ответа, сначала вы находите куб целого числа, который ближе всего, но меньше некоторого числа (а именно первой группы из трех цифр). Это определяет член 1000A^3 биноминального ряда.
- Множителем второго члена биноминального ряда является число 300 ( = 300). Напомним, что на каждом этапе извлечения кубического корня соответствующая цифра(ы) ответа умножалась на 300.
- Второе слагаемое на каждом этапе извлечения корня определяется третьим членом биномиального ряда, который равен 30AB^2.
- Третье слагаемое на каждом этапе извлечения корня определяется четвертым членом биномиального ряда, который равен B^3.
-
5
Обратите внимание на увеличение точности ответа. Чем больше этапов извлечения корня вы пройдете, тем точнее будет ответ. Например, в этой статье нужно было извлечь кубический корень из 10. На первом этапе ответ равен 2, так как
= 8, что близко, но меньше 10. На втором этапе ответ равен 2,1, потому что , что гораздо ближе к 10. На третьем этапе ответ равен 2,15, так как . Можно продолжить вычисления, используя группы из трех цифр, чтобы повысить точность ответа.[14]
Реклама
Советы
- Практикуйтесь, чтобы освоить описанные методы. Чем больше практики, тем быстрее вы справитесь с вычислениями.
Реклама
Предупреждения
- В процессе вычисления довольно легко сделать ошибку. Поэтому обязательно проверьте ответ.
Реклама
Что вам понадобится
- Ручка или карандаш
- Лист бумаги
- Линейка
- Ластик
Об этой статье
Эту страницу просматривали 141 566 раз.
Была ли эта статья полезной?
Как-то раз британскому министру образования в телеинтервью 10-летняя девочка задала вопрос: “назовите кубический корень из 125”. Министр не ответила и сказала, что не будет отвечать ни на какие вопросы, связанные с математикой.
С одной стороны её можно понять. А с другой стороны, знай она простое правило, о котором я сегодня расскажу, она бы не попала в такую ситуацию. Впрочем, многие небезосновательно считают, что не знать кубический корень из 125 просто стыдно.
Итак, чтобы считать кубические корни, мы должны знать кубики (так я называю число в кубе) чисел от 1 до 10. Большинство их и так знает. И сразу обратим внимание на то, какой цифрой они заканчиваются.
Тут надо заметить интересную вещь. Куб чисел 1, 4, 5, 6, 9 и 0 или 10 заканчивается на само число. А числа 2 и 8 и 3 и 7 следует запоминать парами. То есть куб двойки заканчивается на 8, а куб восьмерки — на 2. И с 3 и 7 то же самое: куб тройки заканчивается на 7, а куб семерки — на 3.
Давайте извлечём кубический корень из числа 39 304
Шаг первый
Смотрим, на что оканчивается число 39304? На цифру 4. Это соответствует четверке (смотри табличку выше). Запоминаем эту цифру или где-то записываем (это будет последний цифрой в искомом числе).
Шаг второй
Теперь проигнорируем последние 3 цифры нашего числа и найдем ближайший к этому числу куб, не превосходящий его.
Игнорируем три последние цифры — 39304. Осталось 39. Это число располагается между 27=3³ и 64=4³. Но так как нам нужен куб, не превосходящий число, то нас устраивает только 27. Это куб трёх. Поэтому второй цифрой, которую мы запоминаем (или записываем) будет тройка. Пишем её левее четверки и получаем число 34.
На самом деле всё, потому что 34³=39304. Легко и просто!
Теперь извлечем кубический корень из числа 636 056
Шаг первый
Число заканчивается на 6. Это соответствует шестерке, так как 6³=256. Запоминаем шестерку.
Шаг второй
Зачеркиваем три последние цифры и смотрим на оставшиеся три. 636 056 -> 636. Ближайший к этому числу куб, не превосходящий его — 512. Следующий куб —729, он уже больше 636.
512=8³, поэтому второе число, которое мы должны запомнить — 8. Объединяем оба числа и получаем 86. И в самом деле 86³=636056.
Где это пригодится?
Например, чтобы провести математический фокус. Попросите друга загадать какое-то двухзначное число про себя и никому его не говорить. Теперь пусть он возведет его в куб и скажет вам результат. А вы спустя пару секунд назовете ему загаданное им число. Уверен, что у вас это получится сделать в уме гораздо быстрее, чем он будет дважды умножать число само на себя столбиком на листочке.
Ещё это может пригодиться, чтобы удивить учительницу. Ну или для того, чтобы сэкономить время на ЕГЭ. Хотя последнее очень сомнительно. В школе не учат извлекать кубические корни в уме, поэтому и заданий там таких нет.
Не забывайте подписываться на мои каналы в Ютубе, Инстаграме и ТикТоке. И, конечно, буду рад, если вы поставите лайк и напишете в комментариях, знали ли вы о таком способе или нет. А если поделитесь публикацией в своих соцсетях, то сильно поможете моему каналу стать популярнее.
Ещё интересно: Не игра в кальмара, конечно, но тоже сложная южнокорейская головоломка
На самом деле всё просто: как переводить из десятеричной системы в двоичную и наоборот
Американский метод решения уравнений. Никакой путаницы со знаками не будет
Кубический корень. Как извлечь квадратный корень из большого числа без калькулятора мы уже разобрали. В этой статье рассмотрим как извлечь кубический корень (корень третьей степени). Оговорюсь, что речь идёт о натуральных числах. Как вы думаете, сколько времени нужно, чтобы устно вычислить такие корни как:
Совсем немного, а если потренируетесь два-три раза минут по 20, то любой такой корень вы сможете извлечь за 5 секунд устно.
*Нужно отметить, что речь идёт о таких числах стоящих под корнем, которые являются результатом возведения в куб натуральных чисел от 0 до 100.
Мы знаем, что:
Так вот, число а, которое мы будем находить – это натуральное число от 0 до 100. Посмотрите на таблицу кубов этих чисел (результаты возведения в третью степень):
Вы без труда сможете извлечь кубический корень из любого числа в этой таблице. Что нужно знать?
1. Это кубы чисел кратных десяти:
Я бы даже сказал, что это «красивые» числа, запоминаются они легко. Выучить несложно.
2. Это свойство чисел при произведении.
Его суть заключается в том, что при возведении в третью степень какого-либо определённого числа, результат будет иметь особенность. Какую?
Например, возведём в куб 1, 11, 21, 31, 41 и т.д. Можно посмотреть по таблице.
13 = 1, 113 = 1331, 213 = 9261, 313 = 26791, 413 = 68921 …
То есть, при возведении в куб числа с единицей на конце в результате у нас всегда получится число с единицей в конце.
При возведении в куб числа с двойкой на конце в результате всегда получится число с восьмёркой в конце.
Покажем соответствие в табличке для всех чисел:
Знания представленных двух моментов вполне достаточно.
Рассмотрим примеры:
Извлечь кубический корень из 21952.
Данное число находится в пределах от 8000 до 27000. Это означает, что результат корня лежит в пределах от 20 до 30. Число 29952 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 28.
Извлечь кубический корень из 54852.
Данное число находится в пределах от 27000 до 64000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 30 до 40. Число 54852 заканчивается на 2. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с восьмёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 38.
Извлечь кубический корень из 571787.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 571787 заканчивается на 7. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с тройкой в конце. Таким образом, результат корня равен 83.
Извлечь кубический корень из 614125.
Данное число находится в пределах от 512000 до 729000. Это значит, что результат корня лежит в пределах от 80 до 90. Число 614125 заканчивается на 5. Такой вариант возможен только тогда, когда в куб возводится число с пятёркой в конце. Таким образом, результат корня равен 85.
Думаю, что вы теперь без труда сможете извлечь кубический корень из числа 681472.
Конечно, чтобы извлекать такие корни устно, нужна небольшая практика. Но восстановив две указанные таблички на бумаге, вы без труда в течение минуты, в любом случае, такой корень извлечь сможете.
После того, как нашли результат обязательно сделайте проверку (возведите его с третью степень). *Умножение столбиком никто не отменял 😉
На самом ЕГЭ задач с такими «страшненькими» корнями нет. Например, в Задаче 27125 требуется извлечь кубический корень из 1728. Думаю, что это теперь для вас не проблема.
Если вы знаете какие-то интересные приёмы вычислений без калькулятора, присылайте, со временем опубликую. На этом всё. Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Для начала извлечь его хотя бы “с точностью до 10”. То есть разделить число на 1000, если оно большое, и прикинуть, к кубу какого простенького числа (от 1 до 10) ближе всего результат. Ну или между кубами каких двух чисел. Уж кубы от 1 до 9 сосчитать в уме не штука (ваще-то можно и помнить).
Ну а дальше просто воспользоваться приближённой формулой (а+х)³ ≈ а³ + 3а²х. То есть надо сосчитать разность между кубом “простого числа” и исходным числом, поделить её на 3, на квадрат найденного “простого” основания и прибавить к найденному простому числу.
Ну пусть надо извлечь корень из 123456. Это меньше миллиона, так что кубический корень явно меньше 100. Делим на 1000, чтоб было проще, получаем круглым счётом 123. Ближайший куб – это 125 (5*5*5). От исходного числа (123,456) это отличается на 1,544. Делим -1,544 на 25 и на 3 – получаем примерно -0,021 (это не тире, это знаки “минус”). Это надо прибавить к выбранному основанию – получается 4,979. Значит, исходный корень равен 49,79.
А теперь проверяем: 49,79³ ≈ 123432. Вполне достаточная точность.
Download Article
Download Article
With the use of calculators, finding the cube root of any number may be just buttons away. But perhaps you don’t have a calculator, or you want to impress your friends with the ability to calculate a cube root by hand. There is a process that appears a bit laborious at first, but with practice it works fairly easily. It is helpful if you remember some basic math skills and some algebra about cube numbers.
-
1
Set up the problem. Solving the cube root of a number is going to look like solving a long division problem, with a few special differences. The first step is to set up the problem in the proper format.[1]
- Write down the number whose cube root you want to find. Write the digits in groups of three, using the decimal point as your starting place. For this example, you will find the cube root of 10. Write this as 10. 000 000. The extra 0s are to allow precision in the solution.
- Draw a cube root radical sign over the number. This serves the same purpose as the long division bar line. The only difference is the shape of the symbol.
- Place a decimal point above the bar line, directly above the decimal point in the original number.
-
2
Advertisement
-
3
Find the first digit of your solution. Select a number that, when cubed, gives the largest possible result less than the first set of three numbers.[2]
- In this example, the first set of three numbers is 10. Find the largest perfect cube that is less than 10. That number is 8, and its cube root is 2.
- Write the number 2 above the radical bar line, over the number 10. Write the value of , which is 8, underneath the number 10, draw a line and subtract, just as you would in long division. The result is a 2.
- After the subtraction, you have the first digit of your solution. You need to decide if this one digit is a precise enough result. In most cases, it will not be. You can check by cubing the single digit and decide if that is close enough to the result you wanted. Here, because is only 8, not very close to 10, you should continue.
-
4
Set up to find the next digit. Copy down the next group of three numbers into the remainder, and draw a small vertical line to the left of the resulting number. This will be the base number for finding the next digit in the solution of your cube root. In this example, this should be the number 2000, which is formed from the remainder 2 of the prior subtraction, with the group of three 0s that you pull down.[3]
- To the left of the vertical line, you will be solving the next divisor, as the sum of three separate numbers. Draw the spaces for these numbers by making three blank underlines, with plus symbols between them.
-
5
Find the beginning of the next divisor. For the first part of the divisor, write down three hundred times the square of whatever is on top of the radical sign. In this case, the number on top is 2, 2^2 is 4, and 4*300=1200. So write 1200 in the first space. The divisor for this step of the solution will be 1200, plus something that you will find next.[4]
-
6
Find the next number in your cube root solution. Find the next digit of your solution by selecting what you can multiply by the divisor, 1200-something, to then subtract from the remainder of 2000. This can only be 1, since 2 times 1200 would be 2400, which is greater than 2000. Write the number 1 in the next space above the radical sign.[5]
-
7
Determine the rest of the divisor. The divisor for this step of the solution is made up of three parts. The first part is the 1200 that you already have. You need to add two more terms to that to complete the divisor.[6]
- Now calculate 3 times 10 times each of the two digits that are in your solution above the radical sign. For this sample problem, that means 3*10*2*1, which is 60. Add this to the 1200 that you already have to make 1260.
- Finally, add the square of the last digit. For this example, that is a 1, and 1^2 is still 1. The total divisor is, therefore 1200+60+1, or 1261. Write this to the left of the vertical line.
-
8
Multiply and subtract. Complete this round of the solution by multiplying the last digit of your solution – in this case, the number 1 – times the divisor you just calculated, 1261. 1*1261 =1261. Write this under the 2000, and subtract, to give 739.
-
9
Decide whether to proceed for more accuracy. After you complete the subtraction portion of each step, you need to consider whether your answer is precise enough. For the cube root of 10, after the first subtraction, your cube root was just 2, which is not very precise. Now, after a second round, the solution is 2.1.[7]
- You can check the precision of this result by cubing 2.1*2.1*2.1. The result is 9.261.
- If you believe your result is precise enough, you can quit. If you want a more precise answer, then you need to proceed with another round.
-
10
Find the divisor for the next round. In this case, for more practice and a more precise answer, repeat the steps for another round, as follows:[8]
- Drop down the next group of three digits. In this case, these are three 0s, which will follow the 739 remainder to give 739,000.
- Begin the divisor with 300 times the square of the number currently above the radical line. This is , which is 132,300.
- Select the next digit of your solution so that you can multiply it by 132,300 and have less than the 739,000 of your remainder. A good choice would be 5, since 5*132,300=661,500. Write the digit 5 in the next space above the radical line.
- Find 3 times the prior number above the radical line, 21, times the last digit you just wrote, 5, times 10. This gives .
- Finally, square the last digit. This is
- Add the parts of your divisor to get 132,300+3,150+25=135,475.
-
11
Multiply the divisor by your solution number. After you have calculated the divisor for this next round and you have expanded your solution by one more digit, proceed as follows:
- Multiply the divisor by the last digit of your solution. 135475*5=677,375.
- Subtract. 739,000-677,375=61,625.
- Consider whether the solution of 2.15 is precise enough. Cube it to get .
-
12
Write down your final answer. The result above the radical is the cube root, accurate at this point to three significant figures. In this example, the cube root of 10 is 2.15. Verify that by calculating 2.15^3=9.94, which approximates 10. If you need greater accuracy, simply continue the process as long as you desire.
Advertisement
-
1
Use cube numbers to set upper and lower limits. If you are asked for a cube root of nearly any number, begin by selecting a perfect cube that is as near as possible, without exceeding your target number.
-
2
Estimate the next digit. The first digit came from your knowledge of certain cube numbers. For the next digit, estimate some number between 0 and 9 based on where your target number falls between the two boundary numbers.
- In the working example, the target of 600 falls about halfway between the boundary numbers of 512 and 729. So, select 5 for your next digit.
-
3
Test your estimate by cubing it. Try multiplying out the estimate that you are currently working with to see how close you get to the target number.
- In this example, multiply
- In this example, multiply
-
4
Adjust your estimate as needed. After cubing your last estimate, check where the result falls in comparison to your target number. If the result is over the target, you will need to drop your estimate by one or more. If the result is below the target, you may need to adjust upward until you exceed the target.
-
5
Estimate the next digit for more precision. You will continue this process of estimating digits from 0 to 9 until your answer is as precise as you want it to be. For each round of estimating, begin by noting how where your latest calculation falls between the boundary numbers.
-
6
Continue to test your estimate and adjust. As many times as necessary, cube your estimate and see how it compares to your target. You want to find the numbers that are just below and just above the target number.
-
7
Continue as long as desired for precision. Continue the steps of estimating, comparing and re-estimating as long as necessary, until your solution is as precise as you desire. Notice that with each decimal place, your target numbers will be getting closer and closer to the actual number.
- For the example of the cube root of 600, when you used two decimal places, 8.43, you were away from the target by less than 1. If you continue to a third decimal place, you would find that , less than 0.1 from the true answer.
- For the example of the cube root of 600, when you used two decimal places, 8.43, you were away from the target by less than 1. If you continue to a third decimal place, you would find that
Advertisement
-
1
-
2
-
3
Recognize the meaning of the long division algorithm. Notice that the method for calculating the cube root works like long division. In long division, you find two factors that multiply together to give the product of the number you begin with. In the calculation here, the number you are solving for (the number that winds up on top of the radical sign) is the cube root. That means that it represents the (10A+B) term. The actual A and B are irrelevant for now, as long as you just recognize the relationship to the answer.[12]
-
4
Review the expanded version. When you look at the expanded polynomial, you can see why the cube root algorithm works. Recognize that the divisor of each step of the algorithm is the sum of four terms that you need to calculate and add together. These terms come about as follows:[13]
- The first term contains a multiple of 1000. You first a number that could be cubed and stay within the range for the long division for the first digit. This provides the term 1000A^3 in the binomial expansion.
- The second term of the binomial expansion has the coefficient of 300. (This actually comes from .) Recall that in the cube root calculation, the first digit in each step is multiplied by 300.
- The second digit in each step of the cube root calculation comes from the third term of the binomial expansion. In the binomial expansion, you can see the term 30AB^2.
- The final digit of each step is the term B^3.
-
5
See the precision grow. As you perform the long division algorithm, each step that you complete provides more precision for your answer. For example, the sample problem worked in this article is to find the cube root of 10. In the first step, the solution is just 2, because
is close, but less than 10. In fact, . After a second round, you get the solution of 2.1. When you work this out, , which is much closer to the desired value of 10. After a third round, you have 2.15, which gives . You can keep working in groups of three digits to get as precise an answer as you need.[14]
Advertisement
Calculator, Practice Problems, and Answers
Add New Question
-
Question
What is the cube root of 27, raised to the sixth power?
The cube root of 27 is 3, and 3 raised to the sixth power is 729.
-
Question
How do I find the fourth root of a number?
The fourth root is the square root of the square root.
-
Question
What is the cube root of 24?
This question might be simplest to solve using the repeated estimation method described in the article. You should know that the cube root must be nearly 3, since 3 cubed is 27, and 24 is very close to 27. So you could first estimate that the cube root is 2.8. You’ll find that 2.8 cubed is 21.952, and 2.9 cubed is 24.389. Thus, the cube root of 24 is a bit more than 2.8 but less than 2.9. The target of 24 is very near to 24.389, so choose a number closer to 2.9 than 2.8. Estimate 2.88. You’ll find that 2.88 cubed is 23.888, but 2.89 cubed is 24.138. So the solution is between 2.88 and 2.89, almost exactly in the middle. So the next estimate would be 2.885. Then continue as long as you like for precision.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
As with everything else in mathematics, practice makes perfect. The more you practice, the better you will get at this calculation.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
-
It is easy to make a calculation error. Check your work carefully and review.
Advertisement
Things You’ll Need
- Pen or pencil
- Piece of paper
- Ruler
- Rubber
References
About This Article
Article SummaryX
To calculate cube root by hand, choose a perfect cube that is as close to the answer as possible, write it down, and subtract your estimate from the original number. For example, you could estimate that the square root of 30 was 3. However, 3 cubed is 27, so you would write down 3 as the first part of your answer with a remainder of 3. Then, estimate what cubed would fit into the remainder and subtract it, too. Repeat that process until you’ve reached your desired accuracy. Keep reading to learn how to find cube roots through long division.
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,236,192 times.
