Как найти куда направлена сила ампера - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Определение

Сила Ампера — сила, которая действует на проводник с током, помещенный в магнитное поле.

Модуль силы Ампера обозначается как F_A. Единица измерения — Ньютон (Н).

Математически модуль силы Ампера определяется как произведение модуля вектора магнитной индукции B, силы тока I, длины проводника l и синуса угла α между условным направлением тока и вектором магнитной индукции:

FA=BIlsinα

Максимальное значение сила Ампера принимает, когда ток в проводнике направлен перпендикулярно вектору магнитной индукции, так как sin90°=1. И сила Ампера отсутствует совсем, если ток в проводнике направлен относительно вектора магнитной индукции вдоль одной линии. В этом случае угол между ними равен 0, а sin0°=1.

Пример №1. Максимальная сила, действующая в однородном магнитном поле на проводник с током длиной 10 см, равна 0,02 Н. Сила тока в проводнике равна 8 А. Найдите модуль вектора магнитной индукции этого поля.

10 см = 0,1 м

Так как речь идет о максимальной силе, действующей на проводник с током, тоsinα при этом равен 1 (проводник с током расположен перпендикулярно вектору магнитной индукции).

Определение направления силы Ампера

Направление вектора силы Ампера определяется правилом левой руки.

Правило левой руки

Если левую руку расположить так, чтобы перпендикулярная проводнику составляющая вектора магнитной индукции →B входила в ладонь, то отогнутый на 90 градусов большой палец покажет направление силы, действующий на отрезок проводника (направление силы Ампера).

Пример №2. В однородном магнитном поле находится рамка, по которой начинает течь ток (см. рисунок). Какое направление (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, наблюдателю) имеет сила, действующая на нижнюю сторону рамки?

Так как в нижней стороне рамки ток направлен вправо, то четыре пальца левой руки нужно направить вправо. Саму левую руку при этом нужно расположить перпендикулярно плоскости рисунка ладонью вверх, чтобы в нее входили линии вектора магнитной индукции. Если отогнуть большой палец на прямой угол, то он покажет направление силы Ампера, действующей на нижнюю часть рамки. В данном случае она направлена в сторону от наблюдателя.

Работа силы Ампера

Проводники, на которые действует сила Ампера, могут перемещаться под действием этой силы. В этом случае говорят, что сила Ампера совершает работу. Из курса механики вспомним, что работа равна:

A=Fscosα

F — сила, совершающая работу, s — перемещение, совершенное телом под действием этой силы, α — угол между вектором силы и вектором перемещения.

Отсюда работа, совершаемая силой Ампера, равна:

A=FAscosα=BIlsinβscosα

α — угол между вектором силы и вектором перемещения, β — угол между условным направлением тока и вектором магнитной индукции.

Пример №3. Проводник длиной l = 0,15 м перпендикулярен вектору магнитной индукции однородного магнитного поля, модуль которого B = 0,4 Тл. Сила тока в проводнике I = 8 А. Найдите работу, которая была совершена при перемещении проводника на 0,025 м по направлению действия силы Ампера.

Так как проводник расположен перпендикулярно вектору магнитной индукции, и поле однородно, то синус угла между ними равен «1». Так как направление перемещение проводника совпадает с направлением действия силы Ампера, то косинус угла между ними тоже равен «1». Поэтому формула для вычисления работы силы Ампера принимает вид:

A=BIls

Подставим известные данные:

A=0,4·8·0,15·0,025=0,012 (Дж)=12 (мДж)

Задание EF17704

Как направлена сила Ампера, действующая на проводник № 3 со стороны двух других (см. рисунок), если все проводники тонкие, лежат в одной плоскости и параллельны друг другу? По проводникам идёт одинаковый ток силой I.

а) вверх

б) вниз

в) к нам

г) от нас

Алгоритм решения

1.Определить направление вектора результирующей магнитной индукции первого и второго проводников в любой точке третьего проводника.

2.Используя правило левой руки, определить направление силы Ампера, действующей на третий проводник со стороны первых двух проводников.

Решение

На третьем проводнике выберем произвольную точку и определим, в какую сторону в ней направлен результирующий вектор →B, равный геометрической сумме векторов магнитной индукции первого и второго проводников (→B1и →B2). Применим правило буравчика. Мысленно сопоставим острие буравчика с направлением тока в первом проводнике. Тогда направление вращения его ручки покажем, что силовые линии вокруг проводника 1 направляются относительно плоскости рисунка против хода часовой стрелки. Ток во втором проводнике направлен противоположно току в первом. Следовательно, его силовые линии направлены относительно плоскости рисунка по часовой стрелке.

В точке А вектор →B1 направлен в сторону от наблюдателя, а вектор →B2— к наблюдателю. Так как второй проводник расположен ближе к третьему, создаваемое им магнитное поле в точке А более сильное (силы тока во всех проводниках равны по условию задачи). Следовательно, результирующий вектор →B направлен к наблюдателю.

Теперь применим правило левой руки. Расположим ее так, чтобы четыре пальца были направлены в сторону течения тока в третьем проводнике. Ладонь расположим так, чтобы результирующий вектор →B входил в ладонь. Теперь отставим большой палец на 90 градусов. Относительно рисунка он покажет «вверх». Следовательно, сила Ампера →FА, действующая на третий проводник, направлена вверх.

Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18417

Чему равна сила Ампера, действующая на стальной прямой проводник с током длиной 10 см и площадью поперечного сечения 2⋅10–2 мм² , если напряжение на нём 2,4 В, а модуль вектора магнитной индукции 1 Тл? Вектор магнитной индукции перпендикулярен проводнику. Удельное сопротивление стали 0,12 Ом⋅мм²/м.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести единицы измерения величин в СИ.

2.Записать формулу для определения силы Ампера.

3.Выполнить решение в общем виде.

4.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

• Длина проводника: l = 10 см.

• Площадь поперечного сечения проводника: S = 2⋅10^–2 мм².

• Напряжение в проводнике: U = 2,4 В.

• Модуль вектора магнитной индукции: B = 1 Тл.

• Удельное сопротивление стали: r = 0,12 Ом⋅мм²/м.

• Угол между проводником с током и вектором магнитной индукции: α = 90^о.

10 см = 0,1 м

Сила Ампера определяется формулой:

FA=BIlsinα

Так как α = 90^о, синус равен 1. Тогда сила Ампера равна:

FA=BIl

Силу тока можно выразить из закона Ома:

I=UR

Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

R=rlS

Тогда сила тока равна:

I=USrl

Конечная формула для силы Ампера принимает вид:

FA=BlUSrl=BUSr=1·2,4·2·10−20,12=0,4 (Н)

Ответ: 0,4

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF17725

На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит жёсткая рамка массой m из однородной тонкой проволоки, согнутая в виде квадрата AСDЕ со стороной a(см. рисунок). Рамка находится в однородном горизонтальном магнитном поле, вектор индукции B которого перпендикулярен сторонам AE и CD и равен по модулю В. По рамке течёт ток в направлении, указанном стрелками (см. рисунок). При какой минимальной силе тока рамка начнет поворачиваться вокруг стороны CD?

Алгоритм решения

1.Сделать список известных данных.

2.Определить, при каком условии рамка с током будет вращаться вокруг стороны CD.

3.Выполнить решение в общем виде.

Решение

По условию задачи известными данными являются:

• Сторона квадратной рамки с током: a.

• Вектор магнитной индукции однородного горизонтального магнитного поля, в котором лежит рамка: B.

Пусть по рамке течёт ток I. На стороны АЕ и CD будут действовать силы Ампера:

FA1=FA2=IaB

Для того чтобы рамка начала поворачиваться вокруг оси CD, вращательный момент сил, действующих на рамку и направленных вверх, должен быть не меньше суммарного момента сил, направленных вниз. Момент силы Ампера относительно оси, проходящей через сторону CD:

MA=Ia2B

Момент силы тяжести относительно оси CD:

Mmg=−12mga

Чтобы рамка с током оторвалась от горизонтальной поверхности, нужно чтобы суммарный момент сил был больше нуля:

MA+Mmg>0

Так как момент силы тяжести относительно оси CD отрицательный, это неравенство можно записать в виде:

Ia2B>12mga

Отсюда выразим силу тока:

I>mga2a2B

I>mg2aB

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 10.7k

Источник

Для школьников (в помощь желающим лучше понять физику).

Сила Ампера

Сила Ампера – это сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током.

Опытным путём найдено, что на прямой провод с током со стороны магнитного поля действует сила:

Из формулы видно, что сила Ампера пропорциональна индукции магнитного поля, току в проводнике, длине проводника и зависит от расположения проводника в магнитном поле:

Или действие магнитного поля на проводник определяется лишь перпендикулярной составляющей индукции магнитного поля.

Когда проводник расположен вдоль поля, сила Ампера равна нулю.

Для нахождения направления силы Ампера удобно пользоваться правилом л е в о й р у к и: левую руку располагаем так, чтобы силовые линии магнитного поля входили в ладонь, четыре вытянутых пальца направляем по току, тогда отставленный большой палец покажет направление силы Ампера.

На рисунке ниже показан проводник с током, помещённый в однородное магнитное поле, направленное к нам. Тогда, согласно правилу левой руки, сила Ампера, действующая на проводник с током, направлена вправо.

Сила Лоренца

Сила Лоренца – это сила, с которой магнитное поле действует на движущийся заряд.

Выражение для силы Лоренца (как и для силы Ампера) получено опытным путём:

Опять представим ток в прямом проводе. Воспользуемся тем же рисунком, на котором показана сила Ампера.

Ток в проводнике есть направленное движение свободных электронов.

На рисунке ток по проводнику течёт вверх, а свободные электроны, под действием сил электрического поля внутри проводника, двигаются вниз.

На каждый электрон действует сила Лоренца.

Направление силы Лоренца тоже находится по правилу л е в о й р у к и: левую руку располагаем так, чтобы силовые линии магнитного поля входили в ладонь, четыре вытянутых пальца направляем против скорости движения электрона или по направления тока в проводе (так как за направление тока условились принимать направленное движение положительных зарядов), тогда большой отогнутый палец покажет направление силы Лоренца, действующей на каждый свободный электрон в проводе. Её направление совпадает с направлением сила Ампера.

Сложение сил Лоренца, действующих на каждый электрон в отдельности, даёт силу Ампера (видим, как выражения для этих сил похожи друг на друга).

Чтобы представить свободные электроны и их движение в металлическом проводнике, надо вспомнить строение металла.

А именно, металлический проводник имеет кристаллическое строение. В узлах кристаллической решётки металла находятся ионы (атомы, от которых оторвались валентные электроны).

Если по металлу проходит ток, то свободные электроны двигаются между ионами упорядоченно, взаимодействуя с ними.

Магнитное поле, в котором находится проводник с током или движущийся заряд, создаётся или постоянным магнитом, или электромагнитом, или током.

Т а к и м о б р а з о м, силы взаимодействия между током в проводе и магнитным полем сводятся к силам Лоренца.

Возникающие силы Лоренца действуют на весь проводник, так как движущиеся в проводнике электроны взаимодействуют с атомами проводника (возникает своего рода “трение” между ними).

Наличие этого взаимодействия (“трения”) между упорядоченно движущимися электронами и атомами твёрдого металла, демонстрируется следующим опытом.

Между полюсами подковообразного магнита 2 может вращаться медный диск 1, кромка которого погружена в жёлоб с ртутью 3, служащий для подведения тока от батареи к кромке диска. Второй полюс батареи соединён с осью диска.

При замыкании ключа, благодаря “трению”, диск начинает вращаться. При изменении направления тока или направления магнитного поля направление вращения диска изменится на обратное. Как это происходит?

При прохождении тока электроны двигаются вдоль радиуса диска между центром диска и точкой соприкосновения диска с ртутью.

Сила Лоренца стремится отклонить электроны в перпендикулярном направлении. Вследствие “трения” между электронами и атомами металла весь диск приходит во вращение.

Направление вращения можно установить, пользуясь правилом левой руки.

Задачи

Задача 1.

По проводнику течёт ток, сила которого равна 10 А. Площадь поперечного сечения проводника 5 квадратных сантиметров, а число свободных электронов в одном кубическом сантиметре проводника составляет 10 в двадцать третьей степени. Определить направленную скорость электронов, считая её одинаковой для всех электронов.

Решение

За 1 с через поперечное сечение А проводника пройдут все те электроны, которые содержатся в показанном на рисунке объёме, равном произведению площади поперечного сечения проводника на длину части проводника, равную произведению скорости на 1 с.

Следовательно, сила тока равна произведению указанного объёма на концентрацию электронов и на заряд одного электрона

Ответ: найдена скорость направленного движения электронов в проводнике.

Можно было бы продолжить решение этой задачи, представив, что рассмотренный в задаче проводник с током силой

находится в магнитном поле.

Зная магнитную индукцию этого поля, могли бы найти силу Ампера, действующую на участок проводника с током, изображённом на рисунке выше.

Затем, разделив силу Ампера на число электронов участка провода

смогли бы найти силу, действующую на один движущийся электрон, то есть смогли бы найти силу Лоренца.

Задача 2.

Электрический ток в металлических проводниках представляет собой движение свободных электронов, сталкивающихся с ионами, из которых построена кристаллическая решётка металла, и отдающих при этом ионам ту энергию, которую они приобрели до соударения. Почему же металлический проводник, по которому идёт ток, не испытывает никаких механических сил в направлении движения электронов?

Ответ.

Электрическое поле в металле, вызывающее движение электронов, действует с одинаковой силой и на электроны и на ионы решётки, но силы эти направлены в противоположные стороны. Сила, действующая на электроны, вызывает их ускоренное движение. Под действием поля электроны приобретают энергию, которую они при столкновении отдают ионам. При этом средняя сила, с которой электроны действуют на проводник, сталкиваясь с ионами решётки, равна той силе, с которой электрическое поле действует непосредственно на ионы решётки, но противоположна ей по направлению. Поэтому металлический проводник, по которому идёт ток, не испытывает никаких механических сил в направлении движения электронов.

Таким образом, рассмотрев теорию и задачи к ней, мы убедились, что взаимодействие тока в проводнике с магнитным полем сводится к силам Лоренца.

Действие силы Лоренца на свободно движущуюся заряженную частицу, влетающую в магнитное поле, подробно рассмотрено с решением ряда задач в Занятии 67 и в статье “Поведение электрона в электрическом и магнитном полях”

К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Спасибо.

Для школьников предлагаются подборки материала по темам:

!. Механика. Кинематика. Равномерное прямолинейное движение.

2. Равнопеременное прямолинейное движение.

Предыдущая запись: Действие магнитного поля на контур с током.

Следующая запись: Зарядка конденсатора. Зарядный и разрядный ток проводимости.

Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .

Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.

Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70 .

Источник

На основе магнитных явлениях построено действие электротехнических устройств. Все современные электромоторы, генераторы и множество других электромеханических приборов работают по принципу взаимодействия электрического тока с окружающими его магнитными полями. Эти взаимодействия описывает знаменитый закон Ампера, названный так в честь своего первооткрывателя.

Влияние электричества на поведение магнитной стрелки впервые обнаружил Х. К. Эрстед. Он заметил, что вопреки ожиданию, магнитное поле не параллельно вектору тока, а перпендикулярно ему. Развивая выводы Эрстеда, и продолжая исследования в этом направлении, Мари Ампер установил [1], что электричество взаимодействует не только с магнитами, но и между собой. Заслуга Ампера в том, что он теоретически обосновал взаимное влияние токов и предоставил формулу, позволяющую вычислять силы этого взаимодействия.

Определение и формула

Экспериментальным путём Ампер установил, что между двумя параллельными проводниками, подключенными к постоянному току, действует притяжение (однонаправленные токи) либо отталкивание (если направления противоположные). Эти силы взаимодействия определяются параметрами токов (прямо пропорциональная зависимость), и расстоянием между проводниками (обратно пропорциональная зависимость).

Расчёт амперовой силы на единицу длины проводника осуществляется по формуле:

где F – сила, I₁, I₂ – величина тока в проводниках, а μ – магнитная проницаемость среды, окружающей проводники (см. рис. 1).

Природой взаимодействия является магнитное поле, образованное перемещаемыми по проводникам электрическими зарядами. Под влиянием магнитного поля на электрические заряды возникает сила магнитной индукции, которую обозначают символом B.

Линии, в каждой точке которых касательные к ним совпадают с направлением соответствующих векторов магнитной индукции, получили название линий электромагнитной индукции. Применяя мнемоническое правило буравчика, можно определить ориентацию в пространстве линий магнитной индукции. То есть, при ввинчивании буравчика в сторону, куда направлен вектор электрического тока, движение концов его рукоятки укажет направление векторов индукции.

Из сказанного выше следует, что в проводниках, с одинаково ориентированными токами, направления векторов магнитной индукции совпадают, а значит, векторы сил направлены навстречу друг к другу, что и вызывает притяжение.

Рис. 1. Взаимодействие параллельных проводников

Подобным образом проводники взаимодействуют не только между собой, но и с магнитными полями любой природы. Если такой проводник окажется в магнитном поле, то на элемент, расположенный в зоне действия магнита, будет действовать сила, которую именуют Амперовой:

Для вычисления модуля этой силы пользуются формулой: dF = IBlsinα , где α — угол, образованный векторами индукции и ориентацией тока.

Рассмотренную нами зависимость описывает закон Ампера, формулировка которого понятна из рисунка 2.

Рис. 2. Формулировка закона Ампера

Не трудно сообразить, что когда α = 90⁰, то sinα = 1. В этом случае величина F приобретает максимальное значение: F = B*L*I, где L– длина проводника, оказавшегося под действием магнитного поля.

Таким образом, из закона Ампера вытекает:

проводник с током реагирует на магнитные поля.
действующая сила находится в прямо пропорциональной зависимости от параметров тока, величины магнитной индукции и размеров проводника.

Обратите внимание, что на данном рисунке 3 проводник расположен под углом 90º к линиям магнитной индукции, что вызывает максимальное действие магнитных сил.

Рис. 3. Проводник в магнитном поле

Направление силы Ампера

Принимая к сведению то, что сила – векторная величина, определим её направление. Рассмотрим случай, когда проводник с током расположен между двумя полюсами магнитов под прямым углом к линиям магнитной индукции.

Выше мы установили, что согласно закону Ампера, действующая на данный проводник сила, равна: F = B*L*I. Направление вектора рассматриваемой силы определяется по результатам векторного произведения:

Если полюса магнита статичны (неподвижны), то векторное произведение будет зависеть только от параметров электричества, в частности, от того, в какую сторону оно течёт.

Направление силы Ампера определяют по известному правилу левой руки: ладонь располагают навстречу магнитным линиям, а пальцы размещают вдоль проводника, в сторону устремления тока. На ориентацию силы Ампера указывает большой палец, образующий прямой угол с ладонью (см. рис. 4).

Рис. 4. Интерпретация правила

Измените мысленно направление электрического тока, и вы увидите, что направление вектора Амперовой силы изменится на противоположное. Модуль вектора имеет прямо пропорциональную зависимость от всех сомножителей, но на практике эту величину удобно регулировать путём изменения параметров в электрической цепи (например, для регулировки мощности электродвигателя).

Применение

Закон Ампера, а точнее следствия, вытекающие из него, используются в каждом электромеханическом устройстве, где необходимо вызвать движение рабочих элементов. Самым распространённым механизмом, работа которого базируется на законе Ампера, является электродвигатель.

Применение электромоторов настолько широкое, что его можно увидеть практически во всех сферах человеческой деятельности:

на производстве, в качестве приводов станков и различного оборудования;
в бытовой сфере (бытовая электротехника);
в электроинструментах;
на транспорте;
в устройствах автоматики, в офисной технике и во многих других сферах.

Из закона Ампера вытекает возможность получения электротока путём перемещения проводников, находящихся в магнитном поле. На данном принципе построены все генераторы электрического тока. Благодаря этой уникальной возможности, у нас появился доступ к использованию электроэнергии для различных потребностей.

Мы буквально окружены проявлением закона Ампера. Например, просмотр телепередачи сопровождается звуком, который транслируется через динамики. Но диффузор динамика приводит в движение сила Ампера. Мы разговариваем по телефону – там тоже есть динамик и микрофон. Принцип действия современных микрофонов также основан на законе Ампера.

Вход в помещение через автоматическую раздвижную дверь, поднятие на лифте, поездка в троллейбусе, трамвае, запуск двигателя автомобиля – всё это было бы невозможным, если бы не существовало взаимодействия электрического тока с силами магнитной индукции.

Ампер открыл перед человечеством такие возможности, без которых развитие научно-технического прогресса было бы невозможным. Влияние этого закона в электротехнике сравнимо с законами Ньютона, которые в своё время совершили революцию в механике. В этом огромная заслуга учёного-физика Мари Ампера, труды которого увенчались открытием в 1820 г. знаменитого закона.

Источник

Классическая электродинамика

Электричество · Магнетизм
Электростатика Закон Кулона Теорема Гаусса Электрический дипольный момент Электрический заряд Электрическая индукция Электрическое поле Электростатический потенциал
Магнитостатика Закон Био — Савара — Лапласа Закон Ампера Магнитный момент Магнитное поле Магнитный поток Магнитная индукция
Электродинамика Векторный потенциал Диполь Потенциалы Лиенара — Вихерта Сила Лоренца Ток смещения Униполярная индукция Уравнения Максвелла Электрический ток Электродвижущая сила Электромагнитная индукция Электромагнитное излучение Электромагнитное поле
Электрическая цепь Закон Ома Законы Кирхгофа Индуктивность Радиоволновод Резонатор Электрическая ёмкость Электрическая проводимость Электрическое сопротивление Электрический импеданс
Ковариантная формулировка Тензор электромагнитного поля Тензор энергии-импульса 4-потенциал 4-ток
См. также: Портал:Физика

Зако́н Ампе́ра — закон взаимодействия электрических токов. Впервые был установлен Андре Мари Ампером в 1820 году для постоянного тока. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током. Сила оказывается линейно зависимой как от тока, так и от магнитной индукции .
Выражение для силы , с которой магнитное поле действует на элемент объёма проводника с током плотности vec j , находящегося в магнитном поле с индукцией , в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

{displaystyle d{vec {F}}={vec {j}}times {vec {B}}dV.}

Если ток течёт по тонкому проводнику, то , где — «элемент длины» проводника — вектор, по модулю равный и совпадающий по направлению с током. Тогда выражение для силы переписывается как .

Физическое содержание закона Ампера[править | править код]

Под законом Ампера понимается совокупность утверждений и формул, характеризующих силовое воздействие на токонесущий проводник со стороны магнитного поля — возможно, созданного другим токонесущим проводником. Закон определяет:

${displaystyle d^{2}{vec {F}}_{12}={frac {mu _{0}I_{1}I_{2}}{4pi }}cdot {frac {d{vec {l}}_{2}times [d{vec {l}}_{1}times ({vec {r}}_{2}-{vec {r}}_{1})]}{|{vec {r}}_{1}-{vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{vec {l}}_{2}times d{vec {B}}_{1}({vec {r}}_{2})}$

где ${displaystyle {vec {r}}_{1}}$

и ${displaystyle {vec {r}}_{2}}$

— радиус-векторы элементов длины проводников ${displaystyle d{vec {l}}_{1}}$

и ${displaystyle d{vec {l}}_{2}}$

, а ${displaystyle d^{2}{vec {F}}_{12}}$

— сила действия элемента ${displaystyle d{vec {l}}_{1}}$

(создающего поле ${displaystyle d{vec {B}}_{1}({vec {r}}_{2})}$

в точке ${displaystyle {vec {r}}_{2}}$

) на элемент ${displaystyle d{vec {l}}_{2}}$

; $mu _{0}$

— магнитная постоянная;

${displaystyle mathbf {F} _{12}={mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }oint limits _{mathbb {C} _{2}}oint limits _{mathbb {C} _{1}}{frac {[mathrm {d} mathbf {r} _{2},[mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}]]}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{3}}}}$

где ${mathbf {r}}_{1}$

и ${mathbf {r}}_{2}$

— радиус-векторы, пробегающие все точки контуров $C_{1}$

, $C_{2}$

, а ${mathbf {F}}_{{12}}$

— сила, с которой контур-1 действует на контур-2. По сути, это интегрирование выражения из предыдущего пункта;

{displaystyle d{vec {F}}=Id{vec {l}}times {vec {B}},qquad d{vec {F}}={vec {i}}dStimes {vec {B}},qquad d{vec {F}}={vec {j}}dVtimes {vec {B}}}

Направление силы

определяется по правилу вычисления векторного произведения. Её модуль в случае провода находится как

, где

— угол между

и направлением тока. Сила максимальна, когда проводник перпендикулярен линиям магнитной индукции ( ${displaystyle alpha =90^{circ }}$

). Интегрирование позволит получить силу воздействия поля на объект в целом.

Случай двух параллельных проводников[править | править код]

Два бесконечных параллельных проводника с токами в вакууме

Наиболее известным примером, иллюстрирующим силу Ампера, является следующая задача. В вакууме на расстоянии друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи I_1 и $I_{2}$ . Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.

В соответствии с законом Био — Савара — Лапласа бесконечный проводник с током I_1 в точке на расстоянии создаёт магнитное поле с индукцией

${displaystyle {vec {B}}_{1}(r)={frac {mu _{0}}{4pi }}{frac {2I_{1}}{r}},{vec {e}}_{varphi }}$

где mu_0 — магнитная постоянная, ${displaystyle {vec {e}}_{varphi }}$ — единичный вектор вдоль окружности, осью симметрии которой является провод с током I_1 .

По закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на малый участок второго:

${displaystyle d{vec {F}}_{12}=I_{2}d{vec {l}}times {vec {B}}_{1}(r).}$

По правилу левой руки, ${displaystyle d{vec {F}}_{12}}$ направлена в сторону первого проводника (аналогично, действующая на первый проводник сила ${displaystyle d{vec {F}}_{21}}$ направлена в сторону второго проводника). Следовательно, проводники притягиваются.

Модуль данной силы ( — расстояние между проводниками):

${displaystyle dF_{12}={frac {mu _{0}}{4pi }}{frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.}$

Интегрируем по участку проводника длины (пределы интегрирования по от 0 до ):

${displaystyle F_{12}={frac {mu _{0}}{4pi }}{frac {2I_{1}I_{2}}{r}}cdot L.}$

Если — единичная длина, то это выражение задаёт искомую силу взаимодействия.

Полученная формула используется в СИ для установления численного значения магнитной постоянной mu_0 . Действительно, ампер, являющийся одной из основных единиц СИ, определяется в ней как «сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 метр один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 метр силу взаимодействия, равную 2⋅10⁻⁷ ньютона»^[1].

Таким образом, из полученной формулы и определения ампера следует, что магнитная постоянная mu_0 равна $4pi times 10^{{-7}}$ Н/А² или, что то же самое, $4pi times 10^{{-7}}$ Гн/ м точно.

Проявления закона Ампера[править | править код]

Электродинамическая деформация шин (токопроводов) трёхфазного переменного тока на подстанциях при воздействии токов короткого замыкания.
Раздвигание токопроводов рельсотронов при выстреле.

Применение[править | править код]

Любые узлы в электротехнике, где под действием электромагнитного поля происходит движение каких-либо элементов, используют закон Ампера.
Принцип работы электромеханических машин (движение части обмотки ротора относительно части обмотки статора) основан на использовании закона Ампера, и самый широко распространённый и используемый чуть ли не во всех технических конструкциях агрегат — это электродвигатель, либо, что конструктивно почти то же самое — генератор. Именно под действием силы Ампера происходит вращение ротора, поскольку на его обмотку влияет магнитное поле статора, приводя в движение.
Любые транспортные средства на электротяге для приведения во вращение валов, на которых находятся колёса, используют силу Ампера (трамваи, электрокары, электропоезда и др).

Также магнитное поле приводит в движение механизмы электрозапоров (электродвери, раздвигающиеся ворота, двери лифта). Другими словами, любые устройства, которые работают на электричестве и имеют движущиеся узлы, основаны на эксплуатации закона Ампера.

Также, он находит применение во многих других видах электротехники, например, в динамической головке (динамике): в динамике (громкоговорителе) для возбуждения мембраны, которая формирует звуковые колебания, используется постоянный магнит, на него под действием электромагнитного поля, создаваемого расположенным рядом проводником с током, действует сила Ампера, которая изменяется в соответствии с нужной звуковой частотой.

Также:

Электродинамическое сжатие плазмы; например, в токамаках, установках Z-пинч.
Электродинамический метод прессования.
Электромагнитный насос

Сила Ампера и третий закон Ньютона[править | править код]

Пусть есть два тонких проводника с токами I_1 и $I_{2}$ , имеющие форму кривых $C_{1}$ и $C_{2}$ , которые заданы радиус-векторами ${mathbf {r}}_{1}$ и ${mathbf {r}}_{2}$ .

Для сил взаимодействия бесконечно малых участков этих проводников третий закон Ньютона не выполняется. А именно, сила Ампера для воздействия элемента первого проводника на элемент второго ${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}}$ не равна взятой с обратным знаком силе, действующей со стороны элемента второго проводника на элемент первого ${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{21}}$ :

${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}=I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}times mathrm {d} mathbf {B} _{1}(mathbf {r} _{2})neq -mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{21}=-I_{1}mathrm {d} mathbf {r} _{1}times mathrm {d} mathbf {B} _{2}(mathbf {r} _{1})}$

Здесь ${displaystyle mathrm {d} mathbf {B} _{1}}$ и ${displaystyle mathrm {d} mathbf {B} _{2}}$ — поле, создаваемое участком первого и участком второго провода, соответственно. Данный факт ни в коем случае не компрометирует динамику Ньютона, так как постоянный ток может протекать только по замкнутому контуру — и, следовательно, третий закон Ньютона обязан действовать только для сил, с которыми взаимодействуют два замкнутых проводника с током. В отличие от отдельных элементов, для замкнутых контуров закон Ньютона выполняется:

${displaystyle mathbf {F} _{12}=oint limits _{mathbb {C} _{2}}(I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}times mathbf {B} _{1}(mathbf {r} _{2}))=-mathbf {F} _{21}=-oint limits _{mathbb {C} _{1}}(I_{1}mathrm {d} mathbf {r} _{1}times mathbf {B} _{2}(mathbf {r} _{1}))}$

где ${displaystyle mathbf {B} _{1}}$ и ${displaystyle mathbf {B} _{2}}$ — поле, создаваемое целиком первым и целиком вторым проводом (а не их отдельными участками). Поле в каждом случае находится с использованием формулы Био — Савара — Лапласа.

более подробное изложение

Пусть есть два тонких проводника с токами I_1 и $I_{2}$ , имеющие форму кривых $C_{1}$ и $C_{2}$ , которые заданы радиус-векторами ${mathbf {r}}_{1}$ и ${mathbf {r}}_{2}$ . Сила, действующая на токовый элемент одного провода со стороны токового элемента другого провода, находится по закону Био — Савара — Лапласа: токовый элемент ${displaystyle I_{1}mathrm {d} mathbf {r} _{1}}$ , находящийся в точке ${mathbf {r}}_{1}$ , создаёт в точке ${mathbf {r}}_{2}$ элементарное магнитное поле

${displaystyle mathrm {d} mathbf {B} _{1}(mathbf {r} _{2})={mu _{0} over 4pi }{frac {I_{1}[mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}}$

По закону Ампера сила, действующая со стороны поля ${displaystyle mathrm {d} mathbf {B} _{1}(mathbf {r} _{2})}$ на токовый элемент ${displaystyle I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}}$ , находящийся в точке ${mathbf {r}}_{2}$ , равна

${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}=I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}times mathrm {d} mathbf {B} _{1}(mathbf {r} _{2})={mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }{frac {[mathrm {d} mathbf {r} _{2},[mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}]]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}$

Токовый элемент ${displaystyle I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}}$ , находящийся в точке ${mathbf {r}}_{2}$ , создает в точке ${mathbf {r}}_{1}$ элементарное магнитное поле

${displaystyle mathrm {d} mathbf {B} _{2}(mathbf {r} _{1})={mu _{0} over 4pi }{frac {I_{2}[mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}}$

Сила Ампера, действующая со стороны поля ${displaystyle mathrm {d} mathbf {B} _{2}(mathbf {r} _{1})}$ на токовый элемент ${displaystyle I_{1}mathrm {d} mathbf {r} _{1}}$ , находящийся в точке ${mathbf {r}}_{1}$ , равна

${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{21}=I_{1}mathrm {d} mathbf {r} _{1}times mathrm {d} mathbf {B} _{2}(mathbf {r} _{1})={mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }{frac {[mathrm {d} mathbf {r} _{1},[mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}]]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}$

В общем случае для произвольных ${mathbf {r}}_{1}$ и ${mathbf {r}}_{2}$ силы ${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}}$ и ${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{21}}$ даже не коллинеарны, а значит, не подчиняются третьему закону Ньютона: ${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}+mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{21}neq 0}$ .

Этот результат, однако, не указывает на несостоятельность динамики Ньютона в данном случае. Вообще говоря, постоянный ток может течь только по замкнутому контуру. Поэтому третий закон Ньютона должен действовать только для сил, с которыми взаимодействуют два замкнутых проводника с током. Можно убедиться, что для двух таких проводников третий закон Ньютона выполняется.

Пусть кривые $C_{1}$ и $C_{2}$ являются замкнутыми. Тогда ток I_1 создает в точке ${mathbf {r}}_{2}$ магнитное поле

${displaystyle mathbf {B} _{1}(mathbf {r} _{2})={mu _{0}I_{1} over 4pi }oint limits _{mathbb {C} _{1}}{frac {[mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}},}$

где интегрирование по $C_{1}$ производится в направлении течения тока I_1 . Сила Ампера, действующая со стороны поля ${displaystyle mathbf {B} _{1}(mathbf {r} _{2})}$ на контур $C_{2}$ с током $I_{2}$ , равна

${displaystyle mathbf {F} _{12}=oint limits _{mathbb {C} _{2}}(I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}times mathbf {B} _{1}(mathbf {r} _{2}))=oint limits _{mathbb {C} _{2}}(I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}times {mu _{0}I_{1} over 4pi }oint limits _{mathbb {C} _{1}}{frac {[mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}})={mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }oint limits _{mathbb {C} _{2}}oint limits _{mathbb {C} _{1}}{frac {[mathrm {d} mathbf {r} _{2},[mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}]]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}},}$

где интегрирование по $C_{2}$ производится в направлении течения тока $I_{2}$ . Порядок интегрирования значения не имеет.

Аналогично сила Ампера, действующая со стороны поля ${displaystyle mathbf {B} _{2}(mathbf {r} _{1})}$ , создаваемого током $I_{2}$ , на контур $C_{1}$ с током I_1 , равна

${displaystyle mathbf {F} _{21}=oint limits _{mathbb {C} _{1}}(I_{1}mathrm {d} mathbf {r} _{1}times mathbf {B} _{2}(mathbf {r} _{1}))={mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {[mathrm {d} mathbf {r} _{1},[mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}]]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}=oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{21}.}$

Равенство ${displaystyle mathbf {F} _{12}+mathbf {F} _{21}=0}$ эквивалентно равенству

Чтобы доказать это последнее равенство, заметим, что выражение для силы Ампера очень похоже на выражение для циркуляции магнитного поля по замкнутому контуру, в котором внешнее скалярное произведение заменили векторным произведением.

Пользуясь тождеством Лагранжа, двойное векторное произведение в левой части доказываемого равенства можно записать так:

${displaystyle [mathrm {d} mathbf {r} _{2},[mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}]]=mathrm {d} mathbf {r} _{1}(mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})-(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})(mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{1}).}$

Тогда левая часть доказываемого равенства примет вид:

${displaystyle oint limits _{mathbb {C} _{2}}oint limits _{mathbb {C} _{1}}{frac {[mathrm {d} mathbf {r} _{2},[mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}]]}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}=oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {mathrm {d} mathbf {r} _{1}(mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}-oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})(mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}$

Рассмотрим отдельно интеграл ${displaystyle oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {mathrm {d} mathbf {r} _{1}(mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}}$ , который можно переписать в следующем виде:

${displaystyle oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {mathrm {d} mathbf {r} _{1}(mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}=oint limits _{mathbb {C} _{1}}mathrm {d} mathbf {r} _{1}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1},mathrm {d} (mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}))}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}$

Сделав замену переменной во внутреннем интеграле на ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}}$ , где вектор изменяется по замкнутому контуру ${displaystyle C_{2}'}$ , обнаружим, что внутренний интеграл является циркуляцией градиентного поля по замкнутому контуру. А значит, он равен нулю:

${displaystyle oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1},mathrm {d} (mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}))}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}=oint limits _{mathbb {C} _{2}'}{frac {(mathbf {r} ,mathrm {d} mathbf {r} )}{|mathbf {r} |^{3}}}=-oint limits _{mathbb {C} _{2}'}(mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}),mathrm {d} mathbf {r} )=0.}$

Значит, и весь двойной криволинейный интеграл равен нулю. В таком случае для силы ${mathbf {F}}_{{12}}$ можно записать:

${displaystyle mathbf {F} _{12}={mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2})(mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}$

Выражение для силы ${mathbf {F}}_{{21}}$ можно получить из выражения для силы ${mathbf {F}}_{{12}}$ , просто исходя из соображений симметрии. Для этого произведем замену индексов: 2 меняем на 1, а 1 — на 2. В таком случае для силы ${mathbf {F}}_{{21}}$ можно записать:

Теперь совершенно очевидно, что ${displaystyle mathbf {F} _{12}=-mathbf {F} _{21}}$ . Значит, сила Ампера удовлетворяет третьему закону Ньютона в случае замкнутых проводников.

Некоторые исторические аспекты[править | править код]

Обнаружение эффекта[править | править код]

В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед открыл, что провод, по которому идёт ток, создает магнитное поле и заставляет отклоняться стрелку компаса. Он заметил, что магнитное поле перпендикулярно току, а не параллельно ему, как можно было бы ожидать. Ампер, вдохновлённый демонстрацией опыта Эрстеда, обнаружил, что два параллельных проводника, по которым течёт ток, притягиваются или отталкиваются в зависимости от того, в одну ли или разные стороны по ним идёт ток. Таким образом ток не только производит магнитное поле, но магнитное поле действует на ток. Уже через неделю после объявления Эрстедом о своём опыте, Ампер предложил объяснение: проводник действует на магнит, потому что в магните течёт ток по множеству маленьких замкнутых траекторий^[2]^[3].

Подбор формулы для силы[править | править код]

Закон взаимодействия двух элементарных электрических токов, известный как закон Ампера, на самом деле был позднее предложен Грассманом (то есть его было бы правильнее называть законом Грассмана).

Оригинальный же закон Ампера имел несколько иную форму: сила, действующая со стороны токового элемента ${displaystyle I_{1}mathrm {d} mathbf {r} _{1}}$ , находящегося в точке ${mathbf {r}}_{1}$ , на токовый элемент ${displaystyle I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}}$ , находящийся в точке ${mathbf {r}}_{2}$ , равна

${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}={mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }{frac {(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{3}}}left(2(mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} _{2})-3{frac {(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{1})(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{2})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{2}}}right)}$

Сила, действующая со стороны токового элемента ${displaystyle I_{2}mathrm {d} mathbf {r} _{2}}$ , находящегося в точке ${mathbf {r}}_{2}$ , на токовый элемент ${displaystyle I_{1}mathrm {d} mathbf {r} _{1}}$ , находящийся в точке ${mathbf {r}}_{1}$ , может быть получена из формулы силы ${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}}$ просто из соображений симметрии, путём замены индексов: 2 на 1, а 1 на 2.

При этом ${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{21}=-mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}}$ , то есть оригинальный закон Ампера удовлетворяет третьему закону Ньютона уже для дифференциальной формы. Ампер, перепробовав ряд выражений, остановился именно на таком.

Если при рассмотрении какой-либо задачи расчёта силы взаимодействия (реально, непостоянных) незамкнутых токов с нарушением третьего закона Ньютона мириться нельзя, есть вариант использовать оригинальный закон Ампера. В случае закона Грассмана при этом приходится включать в рассмотрение дополнительную физическую сущность — магнитное поле, чтобы компенсировать несоблюдение третьего закона.

Можно доказать, что в интегральной форме оригинального закона Ампера силы, с которыми взаимодействуют два замкнутых проводника с постоянными токами, получаются теми же самыми, что и в законе Грассмана.

доказательство

Чтобы доказать это, запишем силу ${mathbf {F}}_{{21}}$ в следующем виде:

${displaystyle mathbf {F} _{21}={mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})(mathrm {d} mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}+{mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}|^{3}}}((mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} _{2})-3{frac {(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} _{1})(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} _{2})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{2}}}).}$

Очевидно, чтобы сила получилась той же, что и в законе Грассмана, достаточно доказать, что второе слагаемое равно нулю. Далее второе слагаемое будем рассматривать без всяких коэффициентов перед знаками интегралов, поскольку эти коэффициенты в общем случае нулю не равны, и поэтому нулю должен быть равен сам двойной криволинейный интеграл.

Итак, обозначим ${displaystyle mathbf {P} =oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{3}}}((mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} _{2})-3{frac {(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} _{1})(mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} _{2})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{2}}})}$ . А доказать нужно, что

Допустим, что в интегрирование производится сначала по контуру $C_{2}$ . В этом случае возможно сделать замену переменной: ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} _{2}-mathbf {r} _{1}}$ , где вектор изменяется по замкнутому контуру ${displaystyle C_{2}'}$ . Тогда можно записать

${displaystyle mathbf {P} =oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}'}{frac {mathbf {r} }{|mathbf {r} |^{3}}}((mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} )-3{frac {(mathbf {r} ,mathrm {d} mathbf {r} _{1})(mathbf {r} ,mathrm {d} mathbf {r} )}{|mathbf {r} |^{2}}}).}$

Теперь при интегрировании по контуру ${displaystyle C_{2}'}$ получится некоторая векторная функция от ${mathbf {r}}_{1}$ , которая затем будет проинтегрирована по контуру $C_{1}$ .

Можно доказать, что можно представить в виде ${displaystyle mathbf {P} =-oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}'}mathbf {r} (mathrm {grad} (mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}),mathrm {d} mathbf {r} ),mathrm {d} mathbf {r} _{1})}$ , где оба градиента берутся по переменной . Доказательство тривиально, достаточно провести процедуру взятия градиентов.

Далее по тождеству Лагранжа можно записать:

${displaystyle {begin{aligned}&mathrm {grad} (mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}),mathrm {d} mathbf {r} )=nabla (mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}),mathrm {d} mathbf {r} )=[mathrm {d} mathbf {r} ,[nabla ,mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})]]+(mathrm {d} mathbf {r} ,nabla )mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})=\&=0+{partial mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}) over partial x}mathrm {d} x+{partial mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}) over partial y}mathrm {d} y+{partial mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}) over partial z}mathrm {d} z=mathrm {d} (mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}))\end{aligned}}.}$

Здесь ноль получился как ротор градиентного поля. В итоге получился полный дифференциал векторной функции

${displaystyle mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})}$ . Значит, теперь можно представить в виде ${displaystyle mathbf {P} =-oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}'}mathbf {r} (mathrm {d} (mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})),mathrm {d} mathbf {r} _{1})}$ . Этот интеграл можно взять, проинтегрировав по отдельности каждую проекцию. Для примера проинтегрируем проекцию x.

${displaystyle P_{x}=-oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}'}x(mathrm {d} (mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})),mathrm {d} mathbf {r} _{1})=-oint limits _{mathbb {C} _{1}}(mathrm {d} mathbf {r} _{1},oint limits _{mathbb {C} _{2}'}mathrm {d} (xmathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}))-mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})mathrm {d} x).}$

Интеграл от полного дифференциала по любому замкнутому контуру равен нулю: ${displaystyle oint limits _{mathbb {C} _{2}'}mathrm {d} (xmathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}))=0}$ , поэтому ${displaystyle P_{x}}$ примет вид:

${displaystyle P_{x}=oint limits _{mathbb {C} _{1}}(mathrm {d} mathbf {r} _{1},oint limits _{mathbb {C} _{2}'}mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})mathrm {d} x)=oint limits _{mathbb {C} _{1}}(mathrm {d} mathbf {r} _{1},oint limits _{mathbb {C} _{2}}{frac {mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{3}}}mathrm {d} x_{2}).}$

На этот раз нужно интегрировать сначала по контуру $C_{1}$ . Сделаем замену переменной: ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}}$ , где вектор изменяется по замкнутому контуру ${displaystyle C_{1}'}$ . Тогда можно записать

${displaystyle P_{x}=oint limits _{mathbb {C} _{2}}mathrm {d} x_{2}oint limits _{mathbb {C} _{1}'}(mathrm {d} mathbf {r} ,{frac {mathbf {r} }{|mathbf {r} |^{3}}})=-oint limits _{mathbb {C} _{2}}mathrm {d} x_{2}oint limits _{mathbb {C} _{1}'}(mathrm {d} mathbf {r} ,mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}))=0,}$

где градиент опять берется по переменной .

Поскольку в выражении опять появилась циркуляция градиентного поля по замкнутому контуру, то ${displaystyle P_{x}=0}$ .

Аналогично можно записать для оставшихся двух проекций:

${displaystyle P_{y}=-oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}'}y(mathrm {d} (mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})),mathrm {d} mathbf {r} _{1})=-oint limits _{mathbb {C} _{1}}(mathrm {d} mathbf {r} _{1},oint limits _{mathbb {C} _{2}'}mathrm {d} (ymathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}))-mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})mathrm {d} y)=0,}$

${displaystyle P_{z}=-oint limits _{mathbb {C} _{1}}oint limits _{mathbb {C} _{2}'}z(mathrm {d} (mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})),mathrm {d} mathbf {r} _{1})=-oint limits _{mathbb {C} _{1}}(mathrm {d} mathbf {r} _{1},oint limits _{mathbb {C} _{2}'}mathrm {d} (zmathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}}))-mathrm {grad} ({frac {1}{|mathbf {r} |}})mathrm {d} z)=0.}$

Значит, .

Максвелл предложил наиболее общую форму закона взаимодействия двух элементарных проводников с током, в которой присутствует коэффициент k (он не может быть определен без некоторых предположений, базирующихся на экспериментах, в которых активный ток образует замкнутый контур)^[4]:

${displaystyle mathrm {d} ^{2}mathbf {F} _{12}={frac {1}{2}}{mu _{0}I_{1}I_{2} over 4pi }left({begin{aligned}&(3-k){frac {(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2})(mathrm {d} mathbf {r} _{1},mathrm {d} mathbf {r} _{2})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{3}}}-3(1-k){frac {(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2})(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{1})(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{2})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{5}}}-\&-(1+k){frac {mathrm {d} mathbf {r} _{1}(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{2})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{3}}}-(1+k){frac {mathrm {d} mathbf {r} _{2}(mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2},mathrm {d} mathbf {r} _{1})}{|mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|^{3}}}\end{aligned}}right).}$

В своей теории Ампер взял k=-1 , Гаусс положил , как Грассман и Клаузиус. В неэфирных электронных теориях Вебер принял k=-1 , а Риман принял . Ритц оставил неопределенным в своей теории.

Для силы взаимодействия двух замкнутых контуров $C_{1}$ и $C_{2}$ с получается стандартное выражение.

Хотя сила всегда одна и та же при различных , момент сил может различаться. Например, при взаимодействии двух бесконечных проводов, скрещенных под прямым углом, сила взаимодействия будет равна нулю. Если рассчитать момент сил, действующий на каждый из проводов, по формуле Грассмана, ни один из них не будет равен нулю (хотя в сумме они будут равны нулю). Если же рассчитать момент сил по оригинальному закону Ампера, каждый из них будет равен нулю.

Закон Ампера как релятивистский эффект[править | править код]

Электрический ток в проводнике это движение зарядов относительно других зарядов. Данное движение приводит в СТО к эффектам, которые в классической физике объясняются отдельной физической сущностью — магнетизмом. В СТО данные эффекты не требуют введения магнитизма, и, в первом приближении, достаточно рассмотрения кулоновских взаимодействий. Для описания закона Ампера в рамках СТО металлический проводник описывают прямой с некоторой линейной плотностью положительных зарядов и прямой с подвижными зарядами. Заряд инвариантен, поэтому эффект Лоренцева сокращения длины создаёт разницу между плотностью положительных и отрицательных зарядов в изначально нейтральном металлическом проводе. Отсюда и возникновение силы притяжения или отталкивания между двумя проводниками с током.^[5]^[6]

Примечания[править | править код]

↑ ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. Дата обращения: 7 ноября 2012. Архивировано из оригинала 10 ноября 2012 года.
↑ Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey. The Quest for Unity: The Adventure of Physics. — New York: Oxford University Press, 1999. — С. 43-44. — ISBN 0-19-512085-X.
↑ Roger G Newton. From Clockwork to Crapshoot: A History of Physics. — The Belknap Press of Harward University Press, 2007. — С. 137. — ISBN 978-0-674-03487-7.
↑ Maxwell, James Clerk. Treatise on Electricity and Magnetism. — Oxford, 1904. — С. 173.
↑ Лекция 1. Магнитостатика. Релятивистский характер магнитного поля. // Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (СПбПУ). Дата обращения: 27 декабря 2018. Архивировано 28 декабря 2018 года.
↑ Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие. В 3-х т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. — 3-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 496 с. С.120

См. также[править | править код]

Сила Лоренца
Закон Ампера о циркуляции

Источник

Содержание:

Сила и закон Ампера:

Действие магнитного поля на проводник с током в 1820 г. исследовал экспериментально Андре Мари Ампер. Меняя форму проводников и их расположение в магнитном поле, Ампер сумел определить силу, действующую на отдельный участок проводника с током (элемент тока). В его честь ее назвали силой Ампера.

Исследуем с помощью динамометра модуль силы Ампера, действующей на участок прямолинейного проводника длиной I с током силой l со стороны магнитного поля индукцией В (рис. 150).

Согласно экспериментальным данным и результатам вычислений модуль силы:

пропорционален длине проводника, находящегося в магнитном поле (F ~ l)
пропорционален модулю индукции магнитного поля (F ~ В); пропорционален силе тока в проводнике (F ~ l);
зависит от ориентации проводника в магнитном поле, т. е. от угла

Обобщая полученные результаты, запишем выражение для силы Ампера
в виде

где В — индукция магнитного поля, l — длина участка проводника, находящегося в магнитном поле, I — сила тока в проводнике, — угол, образованный направлением тока и

Закон Ампера

Это выражение называют законом Ампера:

модуль силы, с которой магнитное поле действует на находящийся в нем прямолинейный проводник с током, равен произведению индукции В этого поля, силы тока I, длины участка проводника l и синуса угла между направлениями тока и индукции магнитного поля.

Сила Ампера всегда перпендикулярна направлению тока в проводнике и вектору индукции магнитного поля. Для определения направления силы

Правило левой руки

Ампера используют правило левой руки (рис. 151):

если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендикулярная к проводнику составляющая вектора индукции магнитного поля входила в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока, то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы Ампера.

Магнитное взаимодействие проводников с током используется для определения в СИ одной из основных единиц — единицы силы тока — ампера.

Один ампер есть сила постоянного тока, поддерживаемого в каждом из двух прямолинейных параллельных проводниках бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенных на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, который вызывает между этими проводниками силу взаимодействия, равную Н на каждый метр длины проводников.

Магнитное поле

Обобщение учеными результатов теоретических и экспериментальных исследований различных взаимодействий в природе привело к выводу, что материя может существовать не только в форме вещества, по и в форме поля. Изучая физику в предыдущих классах, вы узнали о существовании электрического и магнитного полей, благодаря которым взаимодействуют наэлектризованные тела. Работы Дж. Максвелла, М. Фарадея и других ученых показали, что эти поля взаимосвязаны и фактически являются проявлениями более универсального электромагнитного поля. И только выбор системы отсчета определяет, что мы наблюдаем – электрическое или магнитное поле. Изучить все свойства электромагнитного поля довольно сложно. Поэтому в физике изучают постепенно отдельные проявления этого ноля. Одним из этапов изучения электромагнитного поля является изучение магнитного поля, которое проявляется в случае, когда заряженные частицы или тела в определенной системе отсчета движутся равномерно. В этом разделе рассматриваются не только условия, при которых магнитное поле наблюдается, но и физические величины, которые описывают его свойства, законы, по которым взаимодействуют магнитные поля и вещественные объекты. Знание этих законов позволяет производить важные для практики расчеты результатов взаимодействия магнитного поля с различными физическими телами.

Явления, которые мы называем магнитными, известны человечеству очень давно. Необычные свойства магнетита (разновидности железной руды) использовались в Древнем Китае, а потом и в других странах для изготовления компасов. Магнитам приписывали магические свойства, их действием объясняли непонятные явления природы, пробовали лечить болезни.
Систематизированные исследования магнитов провел английский физик У. Гильберт в XVI в. Он не только исследовал взаимодействие постоянных .магнитов, но и установил, что Земля является большим магнитом.

Учение о магнитах развивалось длительное время обособленно, как отдельная отрасль науки, пока ряд открытий и теоретических исследований в XIX в. не доказали его органическую связь с электричеством.

Одним из фундаментальных доказательств единства электрических и магнитных явлений является опыт Г.Х. Эрстеда, датского физика, который в 1820 г. заметил, что магнитная стрелка изменяет ориентацию вблизи проводника с током (рис. 2.1).

Pиc. 2.1. Опыт Эрстеде

Было вполне очевидно, что причиной изменения ориентации стрелки является электрический ток -направленное движение заряженных частиц в проводнике. C подробным описанием этого опыта вы встречались в 9-м классе.

Магнитное действие движущихся заряженных тел исследовал также американский физик Г. Роуланд в 1878 г. Основная часть его установки представляла собой эбонитовый диск 1, покрытый тонким слоем золота (рис. 2.2). Диск был насажен на вал и мог свободно вместе с ним вращаться между двумя стеклянными пластинами 2. Над эбонитовым диском были укреплены на тонкой нити две намагниченные стальные иголки 3, чувствительные к магнитному полю. Когда диску сообщили некоторый заряд и начали вращать, иголки повернулись на некоторый угол, что свидетельствовало о наличии магнитного поля. При увеличении скорости вращения иголки поворачивались на больший угол.

Рис. 22. Главная часть установки Роуланда по выявлению магнитного поля движущегося электрически заряженного диска

Опытами Г. Роуланда было подтверждено открытие Эрстеда о связи магнитного поля с движущимися электрически заряженными частицами или телами.

Сила и закон Ампера - формулы и определение с примерами

Генри Роуланд (184β-1901) – американский физик; научные работы в области
электродинамики, оптики, спектроскопии и теплоты. Он доказал, что заряженные
тела, если они движутся, вызывают магнитное взаимодействие.

Магнитные явления хотя и связаны с электрическими, но не идентичны им. Это подтверждают опыты.

Если взять два длинных параллельных проводника и присоединить к источнику тока, то заметим, что они взаимодействуют между собой (рис. 2.3) в зависимости от направления тока в них. При токах противоположных направлений проводники отталкиваются (рис. 2.3-а). Если токи одного направления, то проводники притягиваются друг к другу (рис. 2.3-б).

Pиc. 23. Магнитное взаимодействие проводников с током

Действие проводника с током на магнитную стрелку или другой проводник с током происходит при отсутствии непосредственного контакта между ними, благодаря наличию вокруг проводника магнитного поля.

Магнитное поле имеет свои особенности, которые выделяют его среди других полей:

магнитное поле наблюдается всегда, когда есть движущиеся заряженные частицы или тела;
магнитное поле действует только на движущиеся заряженные тела или частицы.

Другие свойства будут описаны далее.

Магнитная индукция

Наблюдения за магнитными взаимодействиями в лаборатории или в природе показывают, что действия магнитного поля па физические тела или проводники с током при равных условиях могут быть различными.

Интенсивность магнитного взаимодействия может быть различной.

Если для выявления магнитного поля Земли магнитную стрелку компаса приходится устанавливать на специальных опорах, которые существенно уменьшают силы трения, то действие электромагнита, в обмотках которого проходит электрический ток, будет заметным даже тогда, когда стрелка будет просто лежать на столе.

Различным будет и взаимодействие параллельных проводников с током. Сила взаимодействия этих проводников будет изменяться, если будет изменяться сила тока в них или расстояние между ними, – она будет увеличиваться при увеличении силы тока или при уменьшении расстояния.

Для всех таких случаев говорят о «сильном» или «слабом» поле. Аналогичные случаи рассматривались при изучении свойств электрического поля, при рассмотрении действия электрического поля на заряженные тела. Для количественной характеристики электрического поля введена напряженность электрического поля. Для магнитного же поля используется также силовая характеристика и соответствующая ей физическая величина магнитная индукция. Магнитная индукция является векторной величиной и обозначается буквой В. Поскольку для исследования магнитного поля длительное время пользовались магнитной стрелкой на острие, то магнитная индукция как характеристика магнитного поля была связана с действием магнитного поля па магнитную стрелку. Так, направление полюсов стрелки послужило базой для установления направления вектора магнитной индукции изучаемого поля. Условились, что за направление магнитной индукции принимается направление северного полюса стрелки.

Магнитная индукция – векторная величина, имеющая направление.

Исследуем с помощью магнитной стрелки магнитное поле проволочного витка с током.

Замкнув цепь, в которую включен виток, начнем обносить магнитную стрелку на острие вокруг витка. Заметим, что ориентация стрелки при этом будет меняться. В разных точках она будет иметь различную ориентацию. Наиболее ощутимым будет действие поля на стрелку в центре витка (рис. 2.4).

Puc. 2.4. Продольная ось магнитной стрелки, находящаяся в центре витка с током, перпендикулярна его плоскости

Таким образом, мы установили, что магнитная индукция витка или прямоугольной рамки будет иметь максимальное значение в центре.

Продольная ось магнитной стрелки плоскости витка. Аналогичное явление будет наблюдаться и тогда, когда возьмем прямоугольную рамку или моток провода произвольной формы.

В отличие от напряженности электрического поля магнитная индукция как векторная величина не совпадает по направлению с направлением силы, которая действует на проводник с током. Выясним, как направление вектора магнитной индукции зависит от направления тока в витке.

Магнитная индукция – это силовая характеристика поля. Она определяет силу, которая действует на проводник с током или на движущуюся частицу.

Отметив направление магнитной стрелки при определенном направлении тока в витке, изменим направление последнего на противоположное. Магнитная стрелка развернется на 180⁰, показывая, что направление магнитной индукции также изменилось. Таким образом, направление магнитной индукции витка с током зависит от направления тока и нем.

Чтобы каждый раз, когда нужно знать направление магнитной индукции, не проводить опыты со стрелкой, пользуются правилом правого винта (буравчика).

Это правило позволяет запомнить связь направления тока в витке с направлением магнитной индукции его поля. Для этого необходимо представить, как будет двигаться правый винт, приставленный перпендикулярно к плоскости витка, при вращении его по направлению тока в витке.

Если направление вращения правого винта, расположенного в центре витка с током, совпадает с направлением тока, то его поступательное движение показывает направление магнитной индукции (рис. 2.5).

Магнитное поле существует и вокруг прямого проводника с током. Для подтверждения этого магнитную стрелку будем обносить вокруг проводника, не изменяя расстояния (рис. 2.6).

Pиc. 2.5. Определение
направления магнитной
индукции витка с током

Pиc. 2.6. Исследование магнитного
поля прямого проводника с током
при помощи магнитной стрелки

В разных точках ее ориентация будет различной, но ось стрелки всегда будет направлена по касательной к траектории движения.

Соответственно и магнитная индукция проводника с током будет иметь такое ясе направление.
При изменении направления тока в проводнике на противоположное стрелка развернется на 180° и покажет направление магнитной индукции, которое также будет противоположным к прежнему.

Таким образом, направление магнитной индукции прямого проводника зависит от направления тока в нем. Для облегчения его определения, как и в предыдущем случае, на основании анализа результатов эксперимента, сформулировано правило правого винта (рис. 2.7): если направление поступательного движения правого винта совпадает с направлением тока в проводнике, то направление его вращения показывает направление магнитной индукции.

Pиc. 2.7. Определение направления магнитной индукции поля прямого проводника с током при помощи правою винта (буравчика)

Для измерения магнитной индукции применяется специальная единица тесла (Тл). Эта единица названа в честь сербского ученого и изобретателя Николы Теслы.

Никола Тесла (1856-1943) – родился в Сербии, изобретатель и физик.
Известен благодаря своим изобретениям в области электротехники
и электроники; работал инженером на предприятиях Венгрии, Франции, США.

В практике используются долевые величины:

1 миллитесла = 1 мТл = 10^-3Тл,
1 микротесла 1 мкТл 10^-6Тл.

Значения магнитной индукции измеряют специальными приборами, которые называются магнитометрами или индикаторами магнитной индукции (рис. 2.8).

Pиc. 2.8. Лабораторный магнитометр для школьных опытов

Часто вместо прямых измерений пользуются формулами, которые позволяют рассчитать магнитную индукцию на основании параметров проводника. Таким примером может быть расчет модуля магнитной индукции прямого проводника с током. Экспериментально подтверждено, что магнитная индукция поля прямого проводника с током прямо пропорциональна силе тока в проводнике и обратно пропорциональна расстоянию от его оси:

Магнитная индукция прямого проводника с током пропорциональна силе тока в нем и обратно пропорциональна расстоянию от проводника до точки наблюдения.

Коэффициент пропорциональности в этой формуле зависит от выбора системы единиц измерений. В Международной системе единиц (СИ) он имеет значение

где μ₀ – магнитная постоянная, ее числовое значение 1,256 × × 10^-6 Н/А².

Тогда окончательно для рассчетов модуля магнитной индукции поля прямого проводника с током имеем формулу:

где μ₀ – магнитная постоянная; I – сила тока в проводнике: r – расстояние от проводника до данной точки поля.

Пример №1

Каково значение модуля магнитной индукции в точке поля, удаленной на 3 см от бесконечно длинного проводника, по которому проходит ток 6 А?

Дано: r = 3 см, I = 6 А.	Решение Магнитная индукция прямого проводника с током рассчитывается по формуле:
В – ?

Подставив значения физических величин, получим

Ответ: магнитная индукция поля прямого проводника с током равна 4 • 10^-5 Тл.

Действие магнитного поля на проводник с током и сила Ампера

Поскольку вокруг проводников с током возникает магнитное поле, естественно предположить, что в магнитном поле на них действует сила.

На проводник с током в магнитном поле действует сила.

Проведем исследование с целью определения, от чего зависит модуль и направление этой силы. Для этого используем установку, в которой прямой проводник подвешен в магнитном поле постоянного магнита так, что его можно включать в электрическую цепь, силу тока в которой можно изменять при помощи реостата. Амперметр будет измерять силу тока в цепи.

Замкнув электрическую цепь, заметим, что проводник отклонится от положения равновесия, а динамометр покажет некоторое значение силы. Увеличим силу тока в проводнике в 2 раза и увидим, что сила, действующая на проводник, также увеличится в 2 раза. Любые другие изменения силы тока будут вызывать соответствующие изменения силы. Сопоставление результатов всех измерений позволяет сделать вывод, что сила F, которая действует на проводник с током, пропорциональна силе тока к нем:
F~I.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера.

Сила Ампера пропорциональна силе тока в проводнике.

Pиc. 2.9. Установка для изучения действия магнитного поля на проводник с током

Расположим еще один магнит рядом с первым. Длина проводника, находящегося в магнитном поле, увеличится приблизительно в 2 раза. Значение силы, действующей на проводник, в этом случае также увеличится в 2 раза. Таким образом, сила F_Δ, действующая на проводник с током в магнитном поле, пропорциональна длине проводника Δl, который расположен в магнитном поле:

F~ΔI.

Сила Ампера пропорциональна длине активной части проводника.

Сила увеличится также тогда, когда применим другой, более мощный магнит с большей магнитной индукцией поля.

Это позволит сделать вывод, что сила Ампера F_Азависит от магнитной индукции поля:

F~B.

Опыт позволяет убедиться и в том, что наибольшее значение силы Ампера будет тогда, когда угол между проводником и вектором магнитной индукции будет равен 90°. Если этот угол будет равен нулю, т. е. вектор магнитной индукции будет параллельным проводнику, то сила Ампера также будет равна нулю. Отсюда легко сделать вывод, что сила Ампера зависит от угла между вектором магнитной индукции и проводником.

Окончательно для расчетов имеем формулу

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки (рис. 2.10): если левую руку разместить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре от. ставленных пальца показывали направление тока в проводнике, то отставленный под углом 90″ большой палец покажет направление силы, действующей на проводник с током в магнитном поле.

Pиc. 2.10. При помощи левой pуκu можно определить направление силы Ампера

Если левую руку разместить так. чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре отставленных пальца показывали направление тока в проводнике, то отставленный под углом 90° большой палец покажет направление силы, действующей на проводник с током в магнитном поле.

Взаимодействие проводников с током

Взаимодействие проводников с током объясняется действием силы Ампера (рис. 2.11).

Каждый из проводников имеет свое магнитное поле, которое действует на соседний проводник с током и способствует появлению силы Ампера. Так, проводник AA‘ по которому проходит ток I₁_, имеет магнитное поле, модуль индукции B₁ которого, как указывалось ранее, равен

где r – расстояние от проводника до точки наблюдения.

Если проводник CC’ длиной Δl находитсяy на расстоянии r от проводника AA’ и в нем проходит ток I₂, то на него действует сила Ампера F_А, поскольку он находится в магнитном поле проводника AA’ . Значение этой силы равно

Поскольку проводники параллельны и угол между проводником CC’ и вектором магнитной индукции B₁ равен 90°, то sinα = 1.

Подставим в последнюю формулу значение магнитной индукции поля проводника AA’:

Силу взаимодействия двух параллельных проводников с током можно определить, зная только расстояние между ними и силу тока в них.

Как и при любом взаимодействии, такая сила, согласно третьему закону Ньютона, действует на каждый из проводников. Только направления их противоположны.

Таким образом, два параллельных проводника нзнимодей-ствуют между собой благодаря магнитным полям, которые образуются вокруг проводников, по которым проходит электрический ток.

Пример №2

Определить модуль силы Ампера, которая действует на проводник с током длиной 25 см в магнитном поле с индукцией 0,04 Тл, если между вектором магнитной индукции и направлением тока угол 30° сила тока в проводнике 0,25 А.

Дано:
∆l = 25 см.
В = 0,04 Тл,
= 30%
I = 0,25 А.

Решение
На проводник с током в магнитном поле действует сила

Подставим значения всех величин:

F_A– ?

Ответ: модуль силы равен 1,25 • 10^-3 Н.

Использование действия силы Ампера

Силу Ампера применяют для преобразования энергии электрического тока в механическую энергию проводника. Такое превращение происходит во многих электротехнических устройствах. Рассмотрим некоторые из них.

Eлектроиэмеритальные приборы магнитоэлектрической системы

Электроизмерительный прибор магнитоэлектрической системы состоит из постоянного магнита и проволочной рамки, расположенной между его полюсами (рис. 2.12). Полюса магнита имеют специальные насадки, создающие однородное магнитное поле, в котором вращение рамки не приводит к изменению угла между магнитной индукцией и проводниками рамки. Этот угол всегда равен 90°.

Pиc. 2.12. Устройство электроизмерительного прибора магнитоэлектрической системы

C рамкой соединены две спиральные пружины, которые подводят к рамке электрический ток. Во время прохождения электрического тока по витком рамки возникает сила Ампера, пропорциональная силе тока в рамке. Чем больше сила действует на витки рамки, тем больше закручиваются спиральные пружины, которых возникает сила упругости. Когда сила Ампера и сила упругости станут равными, вращение рамки прекратится.

Стрелка, прикрепленная к рамке, показывает угол поворота рамки. Этот угол пропорционален силе тока в рамке.

Электрический двигатель постоянного тока

Электрический двигатель применяют для преобразования энергии электрического тока в механическую энергию вращения вала двигателя. Принцип его действия подобен принципу действия электроизмерительного прибора магнитоэлектрической системы, описанного выше. Только в его конструкции отсутствует пружина, поэтому рамка может поворачиваться на любой угол. Электрический ток к рамке, размещенной на валу и имеющей стальной сердечник, подается через специальные скользящие контакты-щетки (рис. 2.13).

Рис. 213. Устройство двигателя постоянного тока

При замыкании цепи питания двигателя ток проходит по рамке и она взаимодействует с магнитным полем постоянного магнита или электромагнита и поворачивается до тех пор, пока ее плоскость не станет параллельной вектору магнит ной индукции. Чтобы она могла нужно сменить направление силы тока в ней, вследствие чего поменяет направлению сила Ампера, действующая на рамку с током в магнитном поле. В двигателе этот процесс осуществляется с помощью двух неподвижных графитометаллических щеток и двух полуколец на валу, к которым подведены концы рамки.

На рисунке 2.14-а показан момент, когда ток в якоре такого направления, что его полюса отталкиваются от одноименных полюсов статора. После поворачивания на некоторый угол якорь окажется в положении, когда разноименные полюса притягиваются (рис 2.14-6). Вследствие инерции якорь проходит это положение равновесия, а благодаря кольцам, которых касаются токоподводящие щетки (рис. 2.14-в), направление тока в якоре изменяется па противоположное и вращение якоря продолжается (см. рис. 2.14-а).

Pиc. 2.14 Схемы, которые объясняют действие коллекторного электродвигателя постоянного тока

В промышленных образцах электродвигателей постоянного тока ротор имеет несколько рамок-обмоток. Поэтому и количество пар скользящих контактов в них больше: оно согласуется с количеством обмоток. В целом такое устройство называют коллектором. В новейших моделях двигателей постоянного тока роль коллектора выполняет специальное устройство с электронными приборами.

Таким образом, действие силы Ампера нашло применение в различных технических устройствах: электроизмерительных приборах, электрических двигателях и т. п.

Сила ампера

Вы узнали, что магнитное поле действует на проводник с током с некоторой силой. А из курса физики 8 класса помните, что сила — это векторная физическая величина, поэтому, чтобы полностью определить силу, нужно уметь рассчитывать ее значение и определять направление. От чего зависит значение силы, с которой магнитное поле действует на проводник с током, как направлена эта сила и почему ее называют силой Ампера, вы узнаете из данного параграфа.

Характеристика силы действующей на проводник с током

Между полюсами подковообразного постоянного магнита подвесим на тонких и гибких проводах прямой алюминиевый проводник (рис. 4.1, а). Если через проводник пропустить ток, проводник отклонится от положения равновесия (рис. 4.1, б). Причина такого отклонения — сила, действующая на проводник с током со стороны магнитного поля. Доказал наличие этой силы и выяснил, от чего зависят ее значение и направление, А. Ампер. Именно потому эту силу называют силой Ампера.

Рис. 4.1. Опыт, демонстрирующий действие магнитного поля на алюминиевый проводник: при отсутствии тока магнитное поле на проводник не действует (а); если в проводнике течет ток, на проводник действует магнитное поле и проводник отклоняется (б)

Сила Ампера — это сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током.

Сила Ампера прямо пропорциональна силе тока в проводнике и длине активной части проводника (то есть части, расположенной в магнитном поле). Сила Ампера увеличивается с увеличением индукции магнитного поля и зависит от того, под каким углом к линиям магнитной индукции расположен проводник.

Значение силы Ампера вычисляют по формуле:

где — магнитная индукция магнитного поля; — сила тока в проводнике; — длина активной части проводника; — угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике (рис. 4.2).

Обратите внимание! Магнитное поле не будет действовать на проводник с током если проводник расположен параллельно магнитным линиям поля

Рис. 4.2. Угол — это угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике

Чтобы определить направление силы Ампера, используют правило левой руки:

Если левую руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы Ампера (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Определение направления силы Ампера по правилу левой руки

Формула для определения модуля магнитной индукции

Если проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции поле действует на проводник с максимальной силой:

Отсюда получаем формулу для определения модуля магнитной индукции:

Обратите внимание! Значение магнитной индукции не зависит ни от силы тока в проводнике, ни от длины проводника, а зависит только от свойств магнитного поля.

Например, если уменьшить силу тока в проводнике, то уменьшится и сила Ампера, с которой магнитное поле действует на проводник, а вот значение магнитной индукции останется неизменным.

В СИ единица магнитной индукции — тесла (Тл), единица силы — ньютон (Н), силы тока — ампер (А), длины — метр (м), поэтому:

1 Тл — это индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с максимальной силой 1 Н на проводник длиной 1 м, в котором течет ток силой 1 А.

Заказать решение задач по физике

Пример №3

Докажите, что два параллельных проводника, в которых текут токи одного направления, притягиваются.

Анализ физической проблемы. Около любого проводника с током существует магнитное поле, следовательно, каждый из двух проводников находится в магнитном поле другого. На первый проводник действует сила Ампера со стороны магнитного поля, созданного током во втором проводнике, и наоборот. Определив по правилу левой руки направления этих сил, выясним, как будут вести себя проводники.

Решение

Решая задачу, выполним пояснительные рисунки: изобразим проводники А и В, покажем направления тока в них и т. д.

Выясним направление силы Ампера, которая действует на проводник А, находящийся в магнитном поле проводника В.

С помощью правила буравчика найдем направление линий магнитной индукции магнитного поля, созданного проводником В (рис. 1, а). Выясняется, что вблизи проводника А магнитные линии направлены к нам (обозначено «•»).
Воспользовавшись правилом левой руки, определим направление силы Ампера, действующей на проводник А со стороны магнитного поля проводника В (рис. 1, б).

Рис. 1

3. Приходим к выводу: проводник А притягивается к проводнику В.

Теперь выясним направление силы Ампера, которая действует на проводник В, находящийся в магнитном поле проводника А.

1) Определим направление линий магнитной индукции магнитного поля, созданного проводником А (рис. 2, а). Выясняется, что вблизи проводника В магнитные линии направлены от нас (обозначено

2) Определим направление силы Ампера, действующей на проводник В (рис. 2, б).

Рис. 2

3) Приходим к выводу: проводник В притягивается к проводнику А.

Ответ: два параллельных проводника, в которых текут токи одного направления, притягиваются.

Пример №4

Прямой проводник (стержень) длиной 0,1 м и массой 40 г находится в горизонтальном однородном магнитном поле индукцией 0,5 Тл. Стержень расположен перпендикулярно магнитным линиям поля (рис. 3).

Рис. 3

Ток какой силы и в каком направлении следует пропустить по стержню, чтобы стержень не давил на опору (завис в магнитном поле)?

Анализ физической проблемы. Стержень не будет давить на опору, если сила Ампера уравновесит силу тяжести. Это произойдет при условиях: 1) сила Ампера будет направлена противоположно силе тяжести (то есть вертикально вверх); 2) значение силы Ампера будет равно значению силы тяжести:

Дано:

Найти:

Поиск математической модели, решение

1. Определим направление тока. Для этого расположим левую руку так, чтобы линии магнитного поля входили в ладонь, а отогнутый на 90° большой палец был направлен вертикально вверх. Четыре вытянутых пальца укажут направление от нас. Следовательно, ток в проводнике нужно направить от нас.

2. Учитываем, что

где

Следовательно,

Из последнего выражения найдем силу тока:

Проверим единицу, найдем значение искомой величины.

Вспомним:

Ответ: от нас.

Подводим итоги:

Силу, с которой магнитное поле действует на проводник с током, называют силой Ампера. Значение силы Ампера находят по формуле: где В — индукция магнитного поля; I — сила тока в проводнике; — длина активной части проводника; — угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике.

Направление силы Ампера определяют по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали направление тока в проводнике, то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы Ампера.

Магнитные свойства веществ и гипотеза Ампера

Наверное, каждый из вас видел магниты и даже исследовал их свойства. Если поднести магнит к кучке мелких предметов, некоторые из них (гвоздики, кнопки, скрепки) притянутся к магниту, а некоторые (кусочки мела, медные и алюминиевые монетки, комочки земли) никак не отреагируют. Почему так? Действительно ли магнитное поле не оказывает никакого влияния на некоторые вещества? Именно об этом пойдет речь в параграфе.

Действия электрического и магнитного полей на вещество

Изучая в 8 классе электрические явления, вы узнали, что под влиянием внешнего электрического поля происходит перераспределение электрических зарядов внутри незаряженного тела (рис. 5.1). В результате в теле образуется собственное электрическое поле, направленное противоположно внешнему, и именно поэтому электрическое поле в веществе всегда ослабляется.

Рис. 5.1. В результате действия электрического поля отрицательно заряженной палочки ближняя к ней часть проводящей сферы приобретает положительный заряд

Вещество изменяет и магнитное поле. Есть вещества, которые (как в случае с электрическим полем) ослабляют магнитное поле внутри себя. Такие вещества называют диамагнетиками. Многие вещества, наоборот, усиливают магнитное поле — это парамагнетики и ферромагнетики.

Дело в том, что любое вещество, помещенное в магнитное поле, намагничивается, то есть создает собственное магнитное поле, магнитная индукция которого разная для разных веществ.

Слабомагнитные вещества

Вещества, которые намагничиваются, создавая слабое магнитное поле, магнитная индукция которого намного меньше магнитной индукции внешнего магнитного поля (то есть поля, вызвавшего намагничивание), называют слабомагнитными веществами. К таким веществам относятся диамагнетики и парамагнетики.

Диамагнетики (от греч. dia — расхождение) намагничиваются, создавая слабое магнитное поле, направленное противоположно внешнему магнитному полю (рис. 5.2, а). Именно поэтому диамагнетики незначительно ослабляют внешнее магнитное поле: магнитная индукция магнитного поля внутри диамагнетика немного меньше магнитной индукции внешнего магнитного поля

Рис. 5.2. Образцы из диамагнетика (а) и парамагнетика (б) во внешнем магнитном поле: красные линии — линии магнитного поля, созданного образцом; синие — магнитные линии внешнего магнитного поля; зеленые — линии результирующего магнитного поля

Если диамагнетик поместить в магнитное поле, он будет выталкиваться из него (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Пламя свечи выталкивается из магнитного поля, так как продукты сгорания — диамагнитные частицы

К диамагнетикам относятся инертные газы (гелий, неон и др.), многие металлы (золото, медь, ртуть, серебро и др.), молекулярный азот, вода и т. д. Тело человека — диамагнетик, так как оно в среднем на 78 % состоит из воды.

Парамагнетики (от греч. para — рядом) намагничиваются, создавая слабое магнитное поле, направленное в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле (рис. 5.2, б). Парамагнетики незначительно усиливают внешнее поле: магнитная индукция магнитного поля внутри парамагнетика немного больше магнитной индукции внешнего магнитного поля

К парамагнетикам относятся кислород, платина, алюминий, щелочные и щелочноземельные металлы и другие вещества. Если парамагнитное вещество поместить в магнитное поле, то оно будет втягиваться в это поле.

Ферромагнетики

Если слабомагнитные вещества извлечь из магнитного поля, их намагниченность сразу исчезнет. Иначе происходит с сильномагнитными веществами — ферромагнетиками.

Ферромагнетики (от лат. ferrum — железо) — вещества или материалы, которые остаются намагниченными и при отсутствии внешнего магнитного поля.

Ферромагнетики намагничиваются, создавая сильное магнитное поле, направленное в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле (рис. 5.4, 5.5, а). Если изготовленное из ферромагнетика тело поместить в магнитное поле, оно будет втягиваться в него (рис. 5.5, б).

Рис. 5.4. Железный гвоздь намагничивается в магнитном поле так, что конец гвоздя, расположенный вблизи северного полюса магнита, становится южным полюсом, поэтому гвоздь притягивается к магниту

Рис. 5.5. Ферромагнетики создают сильное магнитное поле, направленное в ту же сторону, что и внешнее магнитное поле (а); линии магнитной индукции как будто втягиваются в ферромагнитный образец (б)

К ферромагнетикам относится небольшая группа веществ: железо, никель, кобальт, редкоземельные вещества и ряд сплавов. Ферромагнетики значительно усиливают внешнее магнитное поле: магнитная индукция магнитного поля внутри ферромагнетиков в сотни и тысячи раз больше магнитной индукции внешнего магнитного поля

Так, кобальт усиливает магнитное поле в 175 раз, никель — в 1120 раз, а трансформаторная сталь (на 96-98 % состоит из железа) — в 8000 раз.

Ферромагнитные материалы условно делят на два типа. Материалы, которые после прекращения действия внешнего магнитного поля остаются намагниченными длительное время, называют магнитожесткими ферромагнетиками. Их применяют для изготовления постоянных магнитов. Ферромагнитные материалы, которые легко намагничиваются и быстро размагничиваются, называют магнитомягкими ферромагнетиками. Их применяют для изготовления сердечников электромагнитов, двигателей, трансформаторов, то есть устройств, которые во время работы постоянно перемагничиваются (о строении и принципе действия таких устройств вы узнаете позже).

Обратите внимание! При достижении температуры Кюри (см. таблицу) ферромагнитные свойства магнитомягких и магнитожестких материалов исчезают — материалы становятся парамагнетиками.

Температура Кюри для некоторых ферромагнетиков

Вещество (или материал)	Температура,°С
Гадолиний	+19
Железо	+770
Кобальт	+1127
Неодимовый магнит NdFeB	+320
Никель	+354

Гипотеза Ампера

Наблюдая действие проводника с током на магнитную стрелку (см. рис. 1.1) и выяснив, что катушки с током ведут себя как постоянные магниты (см. рис. 1.3), А. Ампер выдвинул гипотезу о магнитных свойствах веществ. Ампер предположил, что внутри веществ существует огромное количество незатухающих малых круговых токов и каждый из них, как маленькая катушка, является магнитиком. Постоянный магнит состоит из множества таких элементарных магнитиков, ориентированных в определенном направлении.

Механизм намагничивания веществ Ампер объяснял так. Если тело не намагничено, круговые токи ориентированы беспорядочно (рис. 5.7, а). Внешнее магнитное поле пытается сориентировать эти токи так, чтобы направление магнитного поля каждого тока совпадало с направлением внешнего

Рис. 5.7. Механизм намагничивания тел согласно гипотезе Ампера: а — круговые токи ориентированы беспорядочно, тело не намагничено; б — круговые токи ориентированы в определенном направлении, тело намагничено

магнитного поля (рис. 5.7, б). У некоторых веществ такая ориентация токов (намагничивание) остается и после прекращения действия внешнего магнитного поля. Таким образом, все магнитные явления Ампер объяснял взаимодействием движущихся заряженных частиц.

Гипотеза Ампера послужила толчком к созданию теории магнетизма. На основе этой гипотезы были объяснены известные свойства ферромагнетиков, однако она не могла объяснить природу диа- и парамагнетизма, а также то, почему только небольшое количество веществ имеет ферромагнитные свойства. Современная теория магнетизма основана на законах квантовой механики и теории относительности А. Эйнштейна.

Подводим итоги:

Любое вещество, помещенное в магнитное поле, намагничивается, то есть создает собственное магнитное поле.

Диамагнетики	Парамагнетики	Ферромагнетики
Намагничиваются, создавая слабое магнитное поле, направленное противоположно внешнему магнитному полю	Намагничиваются, создавая слабое магнитное поле, направленное в сторону внешнего магнитного поля	Намагничиваются, создавая сильное магнитное поле, направленное в сторону внешнего магнитного поля; остаются намагниченными после прекращения действия внешнего магнитного поля
Незначительно ослабляют внешнее магнитное поле, выталкиваются из него	Незначительно усиливают внешнее магнитное поле, втягиваются в него	Усиливают внешнее магнитное поле в сотни и тысячи раз, втягиваются в него
Инертные газы, медь, золото, ртуть, серебро, азот, вода и др. Кислород, платина, алюминий, щелочные металлы и др.	Кислород, платина, алюминий, щелочные металлы и др.	Железо, никель, кобальт, редкоземельные вещества (например, неодим), ряд сплавов

Закон взаимодействия прямолинейных параллельных проводников с током
Сила Лоренца
Правило Буравчика в физике
Шунт и добавочное сопротивление
Работа по перемещению заряда в электростатическом поле
Закон Ома для однородного участка электрической цепи
Закон Ома для полной цепи
Закон Ома для цепи переменного тока с последовательным соединением сопротивлений

Источник

Определение направления силы Ампера

Работа силы Ампера

Сила Ампера

Сила Лоренца

Задачи

Для школьников предлагаются подборки материала по темам:

Определение и формула

Направление силы Ампера

Применение

Физическое содержание закона Ампера[править | править код]

Случай двух параллельных проводников[править | править код]

Проявления закона Ампера[править | править код]

Применение[править | править код]

Сила Ампера и третий закон Ньютона[править | править код]

Некоторые исторические аспекты[править | править код]

Обнаружение эффекта[править | править код]

Подбор формулы для силы[править | править код]

Закон Ампера как релятивистский эффект[править | править код]

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

Сила и закон Ампера:

Закон Ампера

Правило левой руки

Магнитное поле

Магнитная индукция

Действие магнитного поля на проводник с током и сила Ампера

Взаимодействие проводников с током

Использование действия силы Ампера

Электрический двигатель постоянного тока

Сила ампера

Характеристика силы действующей на проводник с током

Формула для определения модуля магнитной индукции

Магнитные свойства веществ и гипотеза Ампера

Действия электрического и магнитного полей на вещество

Слабомагнитные вещества

Ферромагнетики

Гипотеза Ампера

Вам также может понравиться

Как исправить ошибки в книге покупок за прошлый период

Как найти 6 значный код для инстаграм

Как найти шестую часть числа шесть

Добавить комментарий Отменить ответ