Как найти квадрат четырехзначного числа

В предисловии к своему первому изданию “В
царстве смекалки” (1908 год) Е. И. Игнатьев пишет:
“… умственную самодеятельность,
сообразительность и “смекалку” нельзя ни
“вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову.
Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в
область математических знаний совершается в
лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах
обыденной и повседневной обстановки,
подобранных с надлежащим остроумием и
занимательностью”.

В предисловии к изданию 1911 г “Роль памяти в
математике” Е.И. Игнатьев пишет “… в математике
следует помнить не формулы, а процесс мышления”.

Для извлечения квадратного корня существуют
таблицы квадратов для двухзначных чисел, можно
разложить число на простые множители и извлечь
квадратный корень из произведения. Таблицы
квадратов бывает недостаточно, извлечение корня
разложением на множители – трудоёмкая задача,
которая тоже не всегда приводит к желаемому
результату. Попробуйте извлечь квадратный
корень из числа 209764? Разложение на простые
множители дает произведение 2*2*52441. Методом проб и
ошибок, подбором – это, конечно, можно сделать,
если быть уверенным в том, что это целое число.
Способ, который я хочу предложить, позволяет
извлечь квадратный корень в любом случае.

Когда-то в институте (Пермский государственный
педагогический институт) нас познакомили с этим
способом, о котором сейчас хочу рассказать.
Никогда не задумывалась, есть ли у этого способа
доказательство, поэтому сейчас пришлось
некоторые доказательства выводить самой.

Основой этого способа, является состав числа =.

=&, т.е. &²=596334.

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево
(5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева
группы ( – число 2). Так мы
получаем первую цифру числа &.

3. Находим квадрат первой цифры (2²=4).

4. Находим разность первой группы и квадрата
первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру,
записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Теперь необходимо найти вторую цифру числа
&: удвоенная первая цифра, найденная нами,
становится цифрой десятков числа, при умножении
которого на число единиц, необходимо получить
число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 – вторая цифра
числа &.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на
число единиц, мы должны получить число меньшее 2033
(484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть
третья цифра числа &.

Далее процесс повторяется.

Доказательство приведено мной для случаев:

1. Извлечение квадратного корня из трехзначного
числа;

2. Извлечение квадратного корня из
четырехзначного числа.

Приближенные методы извлечения квадратного
корня (без использования калькулятора) [2].

1.Древние вавилоняне пользовались следующим
способом нахождения приближенного значения
квадратного корня их числа х. Число х они
представляли в виде суммы а²+b, где а²
ближайший к числу х точный квадрат
натурального числа а (а²?х), и пользовались
формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень
квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью МК
5,2915026.

Как видим способ вавилонян дает хорошее
приближение к точному значению корня.

2. Исаак Ньютон разработал метод извлечения
квадратного корня, который восходил еще к Герону
Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот
(известный как метод Ньютона) заключается в
следующем.

Пусть а₁ — первое приближение числа (в качестве а₁
можно брать значения квадратного корня из
натурального числа — точного квадрата, не
превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а₂ числа
найдется
по формуле .

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле .

Нахождение приближенного значения числа методом
Ньютона дает следующие результаты: а₁=5; а₂=
5,3; а₃=5,2915.

–
итерационная формула Ньютона для нахождения
квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, а_n – n-е
приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать
квадратный корень из большого числа с любой
точностью, правда с существенным недостатком:
громоздкость вычислений.

Литература:

1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
   Книга для учащихся 7-9 классов средней школы. – М.:
   Просвещение, 1990.
2. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для
   учащихся 8 класса общеобразовательных учебных
   заведений. – М.: Просвещение 1994.

Я могу найти корень любого четырехзначного числа, если оно является квадратом целого двузначного числа. Например 9801, 1089 и тд.

На это мне нужно несколько секунд и этот метод доступен любому.

Видео с демонстрацией метода, где я считаю корни без калькулятора в уме.

Внимательные могут заметить по ходу моих рассуждений в чем заключается лайфхак. Если вам интересно в чем заключается подход, посмотрите разбор метода нахождения корня в уме:

Видео с разбором метода вычисления корней четырехзначных чисел.

Как это работает?

Остались вопросы? Пишите в комментариях! Подписывайтесь на ютуб канал!

Полный квадрат, также точный квадрат или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.

Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.

Примеры[править | править код]

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)

Представления и свойства[править | править код]

Квадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечётных чисел:

1:

2:

…

7:

…

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:

Пример:

1:

2:

…

4:

…

Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле^[1]:

Ряд обратных квадратов сходится^[2]:

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.^[3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:

• Последняя цифра квадрата в десятичной записи может быть равной 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
• Квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нулей.
• Квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1. Квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
• Две последние цифры квадрата в десятичной записи могут принимать значения 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:

последняя цифра	предпоследняя цифра
0	0
5	2
1, 4, 9	чётная
6	нечётная

Геометрическое представление[править | править код]

1

4

9

16

25

См. также[править | править код]

• Многоугольное число
• Автоморфное число
• Квадратное пирамидальное число

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки[править | править код]

• Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
• Figurate Numbers Архивная копия от 10 июня 2019 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)