Как найти квадрат числа без калькулятора

#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ (ПРИЁМЫ) ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНОГО КОРНЯ

ЧАСТЬ II (часть I по ссылке)

Здравствуйте, уважаемые читатели канала Хакнем Школа!

Прежде чем перейти к рассмотрению универсальных способов (приёмов) извлечения квадратного корня из любого неотрицательного рационального числа, к слову сказать, весьма трудоёмких, необходимо разобраться со следующей теоремой, утверждение которой будет нами широко использоваться.

ТЕОРЕМА. Если a > b >0 , то √ a >√ b .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из (1) и (2) следует (√ a – √ b )×(√ a + √ b ) > 0 . (3)

Из неравенств a >0 и b >0 по определению квадратного корня имеем √ a >0 и √ b >0 , но тогда √ a + √ b > 0 . (4)

Произведение двух множителей положительно тогда и только тогда, когда либо оба множителя больше 0, либо оба множителя меньше 0.

Из (1) и (4) следует, что √ a – √ b > 0 ó √ a > √ b , что и требовалось доказать.

Приступим к рассмотрению приёмов непосредственного извлечения квадратного корня из натуральных чисел. Прежде всего обратимся к хорошо нам известному приёму разложения натурального числа на множители, который основан на признаках делимости, которые можно при необходимости повторить по статье «Признаки делимости чисел: где мы их применяем в жизни», автор #ирина_чудневцева .

СПОСОБ I

ЗАДАЧА 1. Вычислить √91728.

РЕШЕНИЕ. Под знаком радикала стоит пятизначное число, которого нет в четырёхзначных таблицах квадратов, и нельзя использовать калькулятор. В этом случае нам поможет разложение этого числа на простые множители. Получим:

Поскольку квадратный корень произведения равен произведению квадратных корней сомножителей, то

Если под знаком корня стоит десятичная дробь, то её следует представить в виде произведения целого числа, убрав запятую, и десятичной дроби с числителем, равным единице, и числом знаков после запятой, равным числу знаков после запятой в заданной дроби, при этом число этих знаков должно быть чётным, например:

√917,28=√(91728×0,01)=√91728 × √0,01=84√13 × 0,1=8,4√13.

Прежде чем перейти к следующему способу непосредственного вычисления квадратного корня необходимо рассмотреть следующую лемму:

ЛЕММА (об опорных квадратах).

Пусть нам известен квадрат одного из двух последовательных натуральных чисел m и n , таких, что n = m +1 или, что то же, m = n – 1 .

В этом случае становятся верными два тождества:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Отдельный интерес представляет случай использования этих тождеств, когда n и т дроби, отличающиеся друг от друга на единицу самого младшего разряда, например:

Следующий способ, опирающийся на метод подбора каждой цифры результата путём последовательных приближений с использованием средних арифметических значений, позволяет извлекать квадратный корень с наперёд заданной точностью.

СПОСОБ II

При решении предыдущей задачи осталась одна неясность: чему же равен √13 ? Попытаемся ответить на этот вопрос. Восьмиклассники уже знают, что значения квадратных корней из чисел, не являющихся точными квадратами, относятся к так называемым иррациональным числам , которые могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей . Поэтому в различного рода расчётах их представляют округлёнными до конкретного разряда числами.

ЗАДАЧА 2. Найти значение √13 с точностью до сотых.

РЕШЕНИЕ. Рассмотренная в начале статьи теорема позволяет опереться на следующее неравенство:

Среднее арифметическое чисел 0 и 1, между которыми может находится значение цифры, стоящей в разряде десятых искомого значения корня квадратного, равно числу 5 , и это число является первым кандидатом на то, чтобы соответствующая ему цифра была проверена соответствующей подстановкой. Однако можно заметить, что число 13 находится дальше от числа 9 нежели от числа 16 . Поэтому проверку можно начать с цифры 6, и заодно покажем интересный способ вычисления квадратов таких чисел с помощью так называемых опорных квадратов.

Подбор цифры в разряд сотых начнём с квадрата числа 3,61:

С целью получения наименьшей погрешности необходимо найти цифру для разряда тысячных для последующего округления…

Выберем цифру 5 из середины интервала (0, 9) :

Для разряда тысячных необходимо ещё проверить цифру 6 :

СПОСОБ III

Этот способ, значительно облегчающий подбор цифр-кандидатов, является удачной формализацией второго способа.

ЗАДАЧА III. Найти значение √13 с точностью до сотых.

РЕШЕНИЕ. Поскольку квадрат однозначного числа равен однозначному или двузначному числу, то натуральное число надо разбить на грани по две цифры в каждой, начиная с разряда единиц а десятичную дробь — от запятой, причём последнюю грань при необходимости следует дополнить цифрой 0 .

Предварительный результат будет содержать три цифры после запятой — значит, десятичная часть числа, из которого будем извлекать квадратный корень будет содержать три грани:

13,00 | 00 | 00.

Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит числа 13, стоящего в первой грани. Этим числом будет 3. Записываем его в ответ — это будет первая цифра результата. Поскольку следующая грань находится после запятой, то ставим запятую в ответ.

Возводим число 3 в квадрат и результат вычитаем из первой грани.

К найденной разности приписываем справа вторую грань и получаем число 400 . Слева от этого числа ставим вертикальную чёрточку на две строчки и слева от неё записываем удвоенную цифру полученного результата (цифру 6 ), оставляя между этой цифрой и вертикальной чертой место для ещё одной цифры, обозначенной литерой а .

Эту цифру подбираем таким образом, чтобы произведение двузначного числа 6а на это число 6а× a было наибольшим, но не больше числа 400 справа от вертикальной черты. Таким числом будет число 6 .

Вычтем (столбиком) произведение 66×6=396 из числа 400 и запишем разность под горизонтальной чертой, проставив слева от неё вертикальную черту на две строчки. Слева от этой черты запишем сумму 66+6=72, оставив место для ещё одной цифры между полученной суммой и вертикальной чертой.

Повторяем действия описанные в предыдущих двух абзацах пока не получим цифры в разряде тысячных результата. В итоге мы получим следующую запись:

Осталось провести округление: √13 = 3,603…≈3,61.

Попробуйте самостоятельно найти √2374,6129 и сверить свои действия с приведённым образцом.

Помните, что дорогу осилит идущий! Желаю успехов и не только в учёбе!

Продолжение следует…

Не забудьте подписаться на канал Хакнем Школа и хэштег #хакнем_математика

Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.

Читайте наш канал в телеграм – по этой ссылке

Другие статьи автора:

Была ли эта статья полезной?

Элла 21, без помощи калькулятора способу извлечения корня квадратного учили в советские времена в школе в 8-м классе. Для этого надо разбить многозначное число справа налево на грани по 2 цифры : 31’78’92 Первая цифра корня ― это целый корень из левой грани, в данном случае, 5. Вычитаем 5 в квадрате из 31, 31-25=6 и к шестерке приписываем следующую грань, имеем 678. Следующая цифра х подбирается к удвоенной пятерке так, чтобы 10х*х было максимально большим, но меньшим чем 678. х=6, поскольку 106*6 = 636, теперь вычисляем 678 – 636 = 42 и добавляем следующую грань 92, имеем 4292. Снова ищем максимальный х, такой что 112х*х < 4292. х = 3 Ответ: корень равен 563 Так можно продолжать сколько требуется. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Васил­ий Котен­очкин [24.9K] 7 лет назад  Столбиком надёжней, а когда нужно больше пятнадцати знаков, то компьютеры и телефоны с калькуляторами чаще всего отдыхают. Осталось проверить, займёт ли описание методики 4-5 тыс. знаков. Берём любое число, от запятой отсчитываем пары цифр вправо и влево Например, 12’34’56’78’90,09’87’65’43’21’00 Пара цифр – это как бы двузначное число. Корень из двузначного – однозначное. Подбираем однозначное, квадрат которого меньше первой пары цифр. В нашем случае это 3. Как при делении столбиком, под первой парой выписываем этот квадрат и из первой пары вычитаем. Результат сносим под подчерк. 12 – 9 = 3. Добавляем к этой разнице вторую пару цифр (будет 334). Слева от числа берём удвоенное значение той части результата, которую уже нашли о дополняем цифрой (у нас 2*6=6), такой, чтобы при умножении на неё полученное число не превосходило число со второй парой цифр. Получаем, что найденная цифра – пятёрка. Снова находим разность (9), сносим следующую пару цифр получая 956, снова выписываем удвоенную часть результата (70), снова её дополняем нужной цифрой и так далее до упора. Или до нужной точности вычислений. bezde­lnik [34.1K] 7 лет назад  С помощью таблиц можно не вычислить, а найти, корни квадратные толь из чисел которые есть в таблицах. Проще всего вычислять корни не только квадратные, но и других степеней, методом последовательных приближений. Например вычислим корень квадратный из 10739, заменяем три последние цифры нулями и извлечем корень из 10000 получим 100 с недостатком, поэтому берем число 102 возводим его в квадрат, получаем 10404, что тоже меньше заданного, берем 103*103=10609 опять с недостатком, берем 103,5*103,5=10712,25, берем ещё больше 103,6*103,6=10732, берем 103,7*103,7=10753,69, что уже с избытком. Можно принять корень из 10739 примерно равны 103,6. Более точно √10739=103,629… . . Аналогично вычисляем корень кубический сначала из 10000 получаем примерно 25*25*25=15625, что с избытком, берем 22*22*22=10,648, берем чуть больше 22,06*22,06*22,06=10735, что очень близко к заданному. morel­juba [62.5K] 6 лет назад  Зачастую в школе требуется находить квадратные корни разных чисел. Но если вот мы привыкли пользоваться постоянно для этого калькулятором, то на экзаменах такой возможности не будет, поэтому нужно учиться искать корень без помощи калькулятора. А сделать-то это в принципе возможно. Алгоритм таков: -Смотрите сначала на последнюю цифру вашего числа: -Далее надо разбить данное вам число на группы, а именно по две цифры при этом справа налево. Помните, что начать нужно будет с самой последней. Например, -Теперь требуется определить примерно значение для корня из самой левой группы -В случае когда число имеет больше двух групп, то находить корень надо так: -А вот следующая циферка должна быть именно наибольшей, подобрать её надо так: -Теперь надо образовать новое число А посредством добавления к остатку, который был получен выше, следующую группу. В наших примерах: Помощ­ни к [56.9K] 6 лет назад  Есть хороший способ как найти корень из числа без помощи калькуляторов. Для этого вам понадобится линейка и циркуль. Суть в том, что вы находите на линейке значение, которое у вас под корнем. Например, ставите отметку возле 9. Ваша задача – поделить это число на равное количество отрезков, то есть на два линии по 4,5 см, а на ровный отрезок. Несложно догадаться, что в итоге получится 3 отрезка по 3 сантиметра. Способ нелегкий и для больших чисел не подойдет, но зато считается без калькулятора. Vasil Stryz­hak [11.5K] 7 лет назад  Предлагаю «изобретенный» мною вариант извлечения квадратного корня в столбик. Он отличается от общеизвестного, исключением подбора чисел. Но как выяснил позже, данный метод уже существовал за много лет до моего рождения. Описал его в своей книге “Всеобщая арифметика или книга об арифметических синтезе и анализе” великий Исаак Ньютон. Так что здесь излагаю свое видение и обоснование алгоритма метода по Ньютону. Запоминать алгоритм не стоит. Можно просто при необходимости пользоваться схемой на рисунке в качестве наглядного пособия. Nelli­4ka [114K] 6 лет назад  Вычисление (или извлечение) квадратного корня можно производить несколькими способами, но все они не сказать что уж очень просты. Проще, конечно, прибегнуть к помощи калькулятора. Но если такой возможности нет (или вы хотите понять суть квадратного корня), могу посоветовать пойти следующим путем, его алгоритм таков: Если на такие длительные вычисления у вас нет сил, желания или терпения, можно прибегнуть к помощи грубого подбора, его плюс в том, что он невероятно быстрый и при должной смекалке точный. Пример: Птичк­а2014 [25.4K] 6 лет назад  Во-первых для того что бы вычислить квадратный корень надо хорошо знать таблицу умножения. Самые простые примеры – это 25 ( 5 на 5 = 25) и так далее. Если же брать числа посложнее, то можно использовать данную таблицу, где по горизонтали единицы, а по вертикале десятки. В некоторых случаях можно попытаться разложить подкоренное число на два или несколько квадратных множителей. Также полезно запомнить таблицу (или хотя бы какую-то ее часть) – квадраты натуральных чисел от 10 до 99. Zolot­ynka [551K] 5 лет назад  Хочу поделиться быстрым способом высчитать корень квадратный, причем правильность ответа – два знака после запятой. Итак, нам нужно воспользоваться следующей формулой: √X = √S + (X-S) / 2√S Где: X – это число, квадратный корень которого вы хотите получить, а S корень ближайшего числа к Х, которое вы знаете. Например, давайте попробуем найти квадратный корень из числа 75. X = 75 и, следовательно, ближайшее к нему число, квадратный корень которого мы знаем – 81, следовательно S = 81. Это означает, что √S = 9. Используя нашу формулу, получаем: √75 = 9 + (75-81) / 2 * 9 √75 = 9 + -6/18 = 9 – 0,333 = 8,667

При решении различных задач из курса математики и физики ученики и студенты часто сталкиваются с необходимостью извлечения корней второй, третьей или n-ой степени. Конечно, в век информационных технологий не составит труда решить такую задачу при помощи калькулятора. Однако возникают ситуации, когда воспользоваться электронным помощником невозможно.

К примеру, на многие экзамены запрещено приносить электронику. Кроме того, калькулятора может не оказаться под рукой. В таких случаях полезно знать хотя бы некоторые методы вычисления радикалов вручную.

Извлечение квадратного корня при помощи таблицы квадратов

Один из простейших способов вычисления корней заключается в использовании специальной таблицы. Что же она собой представляет и как ей правильно воспользоваться?

При помощи таблицы можно найти квадрат любого числа от 10 до 99. При этом в строках таблицы находятся значения десятков, в столбах — значения единиц. Ячейка на пересечении строки и столбца содержит в себе квадрат двузначного числа. Для того чтобы вычислить квадрат 63, нужно найти строку со значением 6 и столбец со значением 3. На пересечении обнаружим ячейку с числом 3969.

Поскольку извлечение корня — это операция, обратная возведению в квадрат, для выполнения этого действия необходимо поступить наоборот: вначале найти ячейку с числом, радикал которого нужно посчитать, затем по значениям столбика и строки определить ответ. В качестве примера рассмотрим вычисление квадратного корня 169.

Находим ячейку с этим числом в таблице, по горизонтали определяем десятки — 1, по вертикали находим единицы — 3. Ответ: √169 = 13.

Аналогично можно вычислять корни кубической и n-ой степени, используя соответствующие таблицы.

Преимуществом способа является его простота и отсутствие дополнительных вычислений. Недостатки же очевидны: метод можно использовать только для ограниченного диапазона чисел (число, для которого находится корень, должно быть в промежутке от 100 до 9801). Кроме того, он не подойдёт, если заданного числа нет в таблице.

Разложение на простые множители

Если таблица квадратов отсутствует под рукой или с её помощью оказалось невозможно найти корень, можно попробовать разложить число, находящееся под корнем, на простые множители. Простые множители — это такие, которые могут нацело (без остатка) делиться только на себя или на единицу. Примерами могут быть 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д.

Рассмотрим вычисление корня на примере √576. Разложим его на простые множители. Получим следующий результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². При помощи основного свойства корней √a² = a избавимся от корней и квадратов, после чего подсчитаем ответ: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Что же делать, если у какого-либо из множителей нет своей пары? Для примера рассмотрим вычисление √54. После разложения на множители получаем результат в следующем виде: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Неизвлекаемую часть можно оставить под корнем. Для большинства задач по геометрии и алгебре такой ответ будет засчитан в качестве окончательного. Но если есть необходимость вычислить приближённые значения, можно использовать методы, которые будут рассмотрены далее.

Метод Герона

Как поступить, когда необходимо хотя бы приблизительно знать, чему равен извлечённый корень (если невозможно получить целое значение)? Быстрый и довольно точный результат даёт применение метода Герона. Его суть заключается в использовании приближённой формулы:

√R = √a + (R — a) / 2√a,

где R — число, корень которого нужно вычислить, a — ближайшее число, значение корня которого известно.

Рассмотрим, как работает метод на практике, и оценим, насколько он точен. Рассчитаем, чему равен √111. Ближайшее к 111 число, корень которого известен — 121. Таким образом, R = 111, a = 121. Подставим значения в формулу:

√111 = √121 + (111 — 121) / 2 ∙ √121 = 11 — 10 / 22 ≈ 10,55.

Теперь проверим точность метода:

10,55² = 111,3025.

Погрешность метода составила приблизительно 0,3. Если точность метода нужно повысить, можно повторить описанные ранее действия:

√111 = √111,3025 + (111 — 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 — 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Проверим точность расчёта:

10,536² = 111,0073.

После повторного применения формулы погрешность стала совсем незначительной.

Вычисление корня делением в столбик

Этот способ нахождения значения квадратного корня является чуть более сложным, чем предыдущие. Однако он является наиболее точным среди остальных методов вычисления без калькулятора.

Допустим, что необходимо найти квадратный корень с точностью до 4 знаков после запятой. Разберём алгоритм вычислений на примере произвольного числа 1308,1912.

1. Разделим лист бумаги на 2 части вертикальной чертой, а затем проведём от неё ещё одну черту справа, немного ниже верхнего края. Запишем число в левой части, разделив его на группы по 2 цифры, двигаясь в правую и левую сторону от запятой. Самая первая цифра слева может быть без пары. Если же знака не хватает в правой части числа, то следует дописать 0. В нашем случае получится 13 08,19 12.
2. Подберём самое большое число, квадрат которого будет меньше или равен первой группе цифр. В нашем случае это 3. Запишем его справа сверху; 3 — первая цифра результата. Справа снизу укажем 3×3 = 9; это понадобится для последующих расчётов. Из 13 в столбик вычтем 9, получим остаток 4.
3. Припишем следующую пару чисел к остатку 4; получим 408.
4. Число, находящееся сверху справа, умножим на 2 и запишем справа снизу, добавив к нему _ x _ =. Получим 6_ x _ =.
5. Вместо прочерков нужно подставить одно и то же число, меньшее или равное 408. Получим 66×6 = 396. Напишем 6 справа сверху, т. к. это вторая цифра результата. Отнимем 396 от 408, получим 12.
6. Повторим шаги 3—6. Поскольку снесённые вниз цифры находятся в дробной части числа, необходимо поставить десятичную запятую справа сверху после 6. Запишем удвоенный результат с прочерками: 72_ x _ =. Подходящей цифрой будет 1: 721×1 = 721. Запишем её в ответ. Выполним вычитание 1219 — 721 = 498.
7. Выполним приведённую в предыдущем пункте последовательность действий ещё три раза, чтобы получить необходимое количество знаков после запятой. Если не хватает знаков для дальнейших вычислений, у текущего слева числа нужно дописать два нуля.

В результате мы получим ответ: √1308,1912 ≈ 36,1689. Если проверить действие при помощи калькулятора, можно убедиться, что все знаки были определены верно.

Поразрядное вычисление значения квадратного корня

Метод обладает высокой точностью. Кроме того, он достаточно понятен и для него не требуется запоминать формулы или сложный алгоритм действий, поскольку суть способа заключается в подборе верного результата.

Извлечём корень из числа 781. Рассмотрим подробно последовательность действий.

1. Выясним, какой разряд значения квадратного корня будет являться старшим. Для этого возведём в квадрат 0, 10, 100, 1000 и т. д. и выясним, между какими из них находится подкоренное число. Мы получим, что 10² < 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Подберём значение десятков. Для этого будем по очереди возводить в степень 10, 20, …, 90, пока не получим число, превышающее 781. Для нашего случая получим 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Значение результата n будет находиться в пределах 20 < n <30.
3. Аналогично предыдущему шагу подбирается значение разряда единиц. Поочерёдно возведём в квадрат 21,22, …, 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Получаем, что 27 < n < 28.
4. Каждый последующий разряд (десятые, сотые и т. д. ) вычисляется так же, как было показано выше. Расчёты проводятся до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность.

Видео

Из видео вы узнаете, как извлекать квадратные корни без использования калькулятора.

Did this article help you?