Как найти квадрат числа под корнем

Квадра́тный ко́рень из числа (корень 2-й степени) — число , дающее при возведении в квадрат^[1]: Равносильное определение: квадратный корень из числа  — решение уравнения Операция вычисления значения квадратного корня из числа называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

Наиболее часто под и подразумеваются вещественные числа, но существуют и обобщения ^[⇨] для комплексных чисел и других математических объектов, например, матриц и операторов.

У каждого положительного вещественного числа существуют два противоположных по знаку квадратных корня. Например, квадратными корнями из числа 9 являются и у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9. Это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при всегда неотрицательно (а на положительных — положительно); арифметический корень из числа обозначается с помощью знака корня (радикала)^[2][3]: .

Пример для вещественных чисел: потому что

Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус^[2]; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения :

История[править | править код]

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков. Среди таких задач^[4]:

• Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.
• Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.
• Решение квадратных уравнений.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 из вавилонской коллекции Йельского университета была создана между 1800 и 1600 годами до н. э. и демонстрирует √2 и √2/2 соответственно в шестидесятиричной системе счисления: 1;24,51,10 и 0;42,25,35 на квадрате, пересечённом двумя диагоналями^[5]. (1;24,51,10) по основанию 60 соответствует 1,41421296, что является правильным значением с точностью до 5 десятичных знаков: Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод^[6], изложенный ниже^[⇨]. Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах»^[7].

Древние греки сделали важное открытие: — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально^[8].

Средневековые европейские математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень^[9] символом R_x, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году^[10]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт («Геометрии», 1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел^[11]. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел^[12].

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру^[13]. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корней^[14].

Квадратные корни из чисел[править | править код]

Рациональные числа[править | править код]

При рациональных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном , разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда и числитель и знаменатель числа , представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

Непрерывная дробь для корня из рационального числа всегда является периодической (возможно, с предпериодом), что позволяет, с одной стороны, легко вычислять хорошие рациональные приближения к рациональным числам с помощью линейных рекурсий, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от ^[15][16]. Верно и то, что любая периодическая непрерывная дробь является квадратичной иррациональностью.

Примеры разложения корней из натуральных чисел от 2 до 10 в непрерывные дроби:

	= [1; 2, 2, …]
	= [1; 1, 2, 1, 2, …]
	= [2]
	= [2; 4, 4, …]
	= [2; 2, 4, 2, 4, …]
	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
	= [2; 1, 4, 1, 4, …]
	= [3]
	= [3; 6, 6, …]

Действительные (вещественные) числа[править | править код]

Для любого положительного числа существуют ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку^[17].

Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала^[3]: .

Основные свойства вещественного квадратного корня (все подкоренные выражения считаются неотрицательными):

К комплексным числам, учитывая двузначность корня, все эти свойства неприменимы (см. ниже пример ошибки).

Комплексные числа[править | править код]

Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа всегда ровно два, они противоположны по знаку. Для корней в комплексной области понятие арифметического корня не вводится, знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней. В последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях. Распространённая ошибка:

(что, конечно, неверно)

Ошибка возникла из-за того, что комплексный квадратный корень является двузначной функцией, и его нельзя использовать в арифметических действиях.

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

,

то (см. Формула Муавра)

,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом, в итоге получаются два различных результата.

Существует и чисто алгебраическое представление для корня из ; оба значения корня имеют вид где:

Здесь sgn — функция «знак». Формула легко проверяется возведением в квадрат^[18].

Пример: для квадратного корня из формулы дают два значения:

Квадратный корень как элементарная функция[править | править код]

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции с . Арифметический квадратный корень является гладким при в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем^[19].

Производная функции квадратного корня вычисляется по формуле:

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, два листа которой соединяются в нуле (см. подробнее Комплексный анализ).

В элементарной геометрии[править | править код]

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того^[20].

В информатике[править | править код]

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Применение[править | править код]

Квадратные корни используются повсеместно в математике и естественных науках, например:

Алгоритмы нахождения квадратного корня[править | править код]

Разложение в ряд Тейлора[править | править код]

при .

Грубая оценка[править | править код]

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня[править | править код]

Так как треугольники и подобны по признаку подобия треугольников по 2 равным углам, то откуда и

В частности, если , а , то ^[21].

Итерационный аналитический алгоритм[править | править код]

Данный способ был известен уже в Древнем Вавилоне. Он позволяет найти приближённое значение квадратного корня с любой точностью,

Последовательные приближения рассчитываются по формуле:

тогда

Этот метод сходится очень быстро. Например, если для взять начальное приближение то получим:

В заключительном значении верны все приведённые цифры, кроме последней.

Столбиком[править | править код]

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так, 31234,567 можно представить как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления, снос производится такими группами по 2 цифры.

1. Записать число N (в примере — 69696) на листке.
2. Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая, не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
3. Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число, равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N), умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
6. Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности, прекращаем процесс вычисления.
7. Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

Вариации и обобщения[править | править код]

Квадратный корень из определяется как решение уравнения и его в принципе можно определить не только для чисел, но и всюду, где такое уравнение имеет смысл. В общей алгебре применяется следующее формальное определение:

Чаще всего рассматривают такие обобщения в алгебраических кольцах.

Если кольцо есть область целостности, то квадратных корней из ненулевого элемента может быть либо два, либо ни одного. В самом деле, если имеются два корня то откуда: , то есть, в силу отсутствия делителей нуля, . В более общем случае, когда в кольце имеются делители нуля или оно некоммутативно, число корней может быть любым.

В теории чисел рассматривается конечное кольцо вычетов по модулю : если сравнение имеет решение, то целое число называется квадратичным вычетом (в противном случае — квадратичным невычетом). Решение указанного сравнения вполне аналогично извлечению квадратного корня в кольце вычетов^[22].

Корни для кватернионов имеют много общего с комплексными, но есть и существенные особенности. Квадратный кватернионный корень обычно имеет 2 значения, но если подкоренное выражение — отрицательное вещественное число, то значений бесконечно много. Например, квадратные корни из образуют трёхмерную сферу, определяемую формулой^[23]:

Для кольца квадратных матриц доказано, что если матрица положительно определена, то положительно определённый квадратный корень из матрицы существует и единственен^[24]. Для матриц других типов корней может быть сколько угодно (в том числе ни одного).

Квадратные корни вводятся также для функций^[25], операторов^[26] и других математических объектов.

См. также[править | править код]

• Быстрый инверсный квадратный корень
• Вложенные радикалы
• День квадратного корня
• Кубический корень

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Воеводин В. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. — Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2006.
• Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. — Москва: Просвещение, 1984.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970—1972.
• Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — Москва: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд.. — Москва: Наука, 1970. — 720 с.
• Курант Р., Роббинс Г. ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей // Что такое математика?. — Москва: МЦНМО, 2000.
• Понятов А. Откуда вырос арифметический корень? // Наука и жизнь. — 2022. — № 8. — С. 81—89.
• Фихтенгольц Г. М. Введение, § 4 // [Мат. анализ на EqWorld Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 1.
• Фихтенгольц Г. М. Глава 2, § 1 // [Мат. анализ на EqWorld Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 1.
• Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — Москва: Мир, 1970.
• Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. — Москва: Мир, 1983.
• Хинчин А. Я. §§ 4, 10 // Цепные дроби. — Москва: ГИФМЛ, 1960.
• Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses (англ.). — John Wiley and Sons, 2008. — P. 59. — ISBN 0-470-25952-3.

Ссылки[править | править код]

• Алгоритмы вычисления квадратного корня (англ.). Дата обращения: 12 октября 2006. Архивировано 19 ноября 2010 года.
• Соловьев Ю. Старый алгоритм. Дата обращения: 6 ноября 2006. Архивировано 3 марта 2016 года.

Благодаря прочтению этой статьи вы научитесь:

1. Извлекать корни из разных чисел;
2. Решать разнообразные задания по этой тематике;
3. Применять удобные таблицы на практике.

А также пополните свой мозг новыми знаниями, что всегда хорошо и полезно! Приятным бонусом для вас будут задания для отработки материала с ответами, которые вы сможете найти в конце этой статьи. Что значит понятие: «Извлечение корня из числа»?

Числа b и a равны, ведь при извлечении корня n-ной степени одного из чисел, мы, соответственно, находим и второе.

• n — натуральное число, являющиеся степенью корня.
• a — подкоренное значение.

Когда следует извлекать корень? Если вы видите, что a можно представить в виде n-ной степени какого-либо числа b, то корень a можно извлечь.

Пример извлечения корня:

√25=5×5 — из этого становится ясно, что квадратный корень числа равен 5.

В обратной ситуации, когда нельзя представить корень n-ной степени из числа a, в виде n-ной степени числа b, корень не извлекается или находится лишь приближенное значение этого корня.

Пример:

√6≈√2,44949

Для этого используют различные виды решений, начиная с калькулятора, заканчивая формулами. Калькулятор хоть и посчитает все вместо нас, но не всегда мы можем его применить. Поэтому важно знать другие варианты нахождения приближенного значения корня.

Способы извлечения корня

Для того, чтобы найти значение корня, существуют такие способы извлечения корня, как:

1. Применение различных таблиц.
2. Разложение чисел или выражений на простые множители.
3. Извлечение корней из дробных чисел.
4. Извлечение отрицательного корня.
5. Поразрядное нахождение значения корня.

Они основываются на свойствах корней. Далее рассмотрим таблицы, которые могут помочь в процессе извлечения корней.

Квадраты натуральных чисел

Основной является таблица квадратов натуральных чисел:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Она, пожалуй, самая распространенная среди школьников. Если в какой-то важный момент она вам необходима, но у вас отсутствует к ней доступ, можно воспользоваться несколькими хитростями:

1. Чтобы быстро возвести в квадрат число, на конце которого 0, можно добавить к нему парочку нулей: 80×80=6400; 30×30=900. Т.е., первые цифры умножаем и дописываем два 0 к этому числу.
2. Теперь возьмём какое-нибудь число так, чтобы вторая его цифра оканчивалась на 5. Так, например, число 75. Чтобы быстро возвести его в квадрат, прибавьте к первой цифре единицу, из чего получаются цифры 7 и 8.
3. Умножаем их и приписываем в конец число 25 и получаем конечный результат в виде числа 5625.

Квадратные корни

Вторая таблица — это таблица квадратных корней:

√x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	1,41421	1,73205	2	2,23607	2,44949	2,64575	2,82843	3
1	3,16228	3,31662	3,4641	3,60555	3,74166	3,87298	4	4,12311	4,24264	4,3589
2	4,47214	4,58258	4,69042	4,79583	4,89898	5	5,09902	5,19615	5,2915	5,38516
3	5,47723	5,56776	5,65685	5,74456	5,83095	5,91608	6	6,08276	6,16441	6,245
4	6,32456	6,40312	6,48074	6,55744	6,63325	6,7082	6,78233	6,85565	6,9282	7
5	7,07107	7,14143	7,2111	7,28011	7,34847	7,4162	7,48331	7,54983	7,61577	7,68115
6	7,74597	7,81025	7,87401	7,93725	8	8,06226	8,12404	8,18535	8,24621	8,30662
7	8,3666	8,42615	8,48528	8,544	8,60233	8,66025	8,7178	8,77496	8,83176	8,88819
8	8,94427	9	9,05539	9,11043	9,16515	9,21954	9,27362	9,32738	9,38083	9,43398
9	9,48683	9,53939	9,59166	9,64365	9,69536	9,74679	9,79796	9,84886	9,89949	9,94987

Числа в кубе

И, конечно же, третья — таблица кубов, при помощи которой осуществляется извлечение кубического корня.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
1	1000	1331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
2	8000	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
3	27000	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
4	64000	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
5	125000	132651	140608	148877	157464	166375	175716	185193	195112	205379
6	216000	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
7	343000	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
8	512000	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
9	729000	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

Такие таблицы достаточно просты в использовании. Слева — десятки, а справа —  единицы. С их помощью можно быстро и легко извлечь корень числа от 0 до 99. Это был один из методов извлечения корней, как мне кажется, самый простой после вычислительного средства — калькулятора, но, зачастую, мы не всегда можем им воспользоваться, как говорилось ранее. Так давайте же перейдем к другим интересным и сложным на первый взгляд вариантам решения.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Двигаясь от наиболее удобного и быстрого способа к более сложному, давайте разберемся во втором из них — разложение подкоренного числа на простые множители.

Этот метод состоит в том, чтобы представить какое-либо число в виде степени с нужным нам показателем, из чего мы можем получить значение этого корня.

Пример 1:

Возьмём число 196. Для извлечения его квадратного корня, разложим это число на простые множители: √196=2×2×7×7=2²×7²

Теперь делаем следующие действия: 2×7=14.

Ответ: √196=14.

Объяснение:

Множители находятся так: 196 делим на 2, а полученное число 98 мы тоже делим на 2. Делим до тех пор, пока деление станет невозможным. Так, число 49 нельзя поделить пополам, поэтому мы действуем методом подбора. Находим такое число, которое делится. В данном случае — это 7. Два числа, что у нас получились (2 и 7), мы умножаем друг на друга, но уже без степени и получаем число 14, что есть извлечённый корень из числа 196.

Пример 2:

Для того, чтобы лучше понять, как раскладывать на множители, приведем ещё одно число и перейдем к действиям. Деление 441 на 2 невозможно, поэтому подбираем число. Оно делится на 3 два раза. Опять выходит число 49, которое мы делим 2 раза на 7. Из этого следует: √441=3×3×7×7=3²×7²

3×7=21. Значит, ответ: √441=21.

Объяснение:

3 мы умножили на 7, так как это два числа, имеющих 2 степень. Будь у одного из них 4 степень, например: 3⁴×7² — нужно было бы сделать так: 3×3×7. Проще сказать, что мы сокращаем степени ⁴ и ².

Извлечение корней из дробных чисел

Перед тем, как начать вычисления, убедитесь, что дробное число представлено в виде обыкновенной дроби.

Перейдем к свойству корня из частного:

[sqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}]

Далее нужно воспользоваться правилом извлечения корня из дроби, которое гласит: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Пример 1:

Давайте возьмем любую десятичную дробь и на её примере посмотрим, как нужно извлекать корень.

Так, например, найдем кубический корень из 373,248.

Первый ход — это представление десятичной дроби в виде обыкновенной:

³√373248/³√1000. После этого найдем кубический корень в числе и знаменателе:

³√373248=2×2×2×2×2×2×2×2×2×3×3×3×3×3×3=2⁹×3⁶=72³

Эти действия происходят как с квадратными корнями, но здесь уже мы считаем числа 2 и 3 не по двойке, а тройке, т.е. 2⁹=2×2×2, а 3⁶=3×3. Или же сокращаем ⁹ и ⁶.

Проверим таким образом: из 9 вычитаем тройки до тех пор, пока не придем к 0: 9-3-3-3 – это значит, что двоек у нас будет именно 3. Так и с 3⁶. Если от 6 отнять 3 два раза, то будет 0. Выходит, что троек у нас именно две.

А 1000=10³.

Получается, ³√373248/³√1000=72/10=7,2.

Извлечение отрицательного корня

Существуют вещественные числа, из которых невозможно извлечь корень, т.е. решения нет. А вот из комплексных чисел можно извлекать корень. Для начала узнаем, что это за числа.

Комплексные числа — это выражение, в котором есть:

• вещественные числа a и b;
• i — мнимая единица.

Итак, чтобы извлечь корень из отрицательного числа, нужно помнить, что если знаменатель является нечётным, то число под знаком корня может оказаться отрицательным.

Далее, чтобы провести эту операцию с отрицательным числом, перейдем к следующим действиям:

1. Извлекаем корень из противоположного ему положительного числа.
2. Ставим перед полученным числом знак минус.

Пример 1:

1. Преобразуем выражение ⁵√-12 640/32 так, чтобы вместо отрицательного числа под корнем оказалось положительное:

⁵√-12 640/32 = -⁵√12 640/32

2. Избавимся от смешанного числа, заменив его обыкновенной дробью:

 -⁵√12 640/32= -⁵√1024/32

3. С помощью правила извлечения корней из обыкновенной дроби, начнем извлекать:

-⁵√1024/32 = — ⁵√1024/⁵√32.

4. Теперь нужно вычислить корни в числителе и знаменателе:

— ⁵√1024/⁵√32 = — ⁵√4⁵/⁵√2⁵ = — 4/2 = -2.

Поразрядное нахождение значения корня

Мы разобрали несколько методов, которые вы можете выбрать на своё усмотрение. Однако, есть еще один, который может понадобиться в таких ситуациях, когда нужно знать полное значение корня, а число, находящееся под корнем нельзя представить в виде n-ной степени определенного числа.

Для таких случаев существует алгоритм поразрядного нахождения значения корня, который нужно использовать, чтобы получить нужное количество значений определяемого числа.

Пример 1:

Итак, чтобы в этом разобраться, найдем значение квадратного корня из 7:

1. Находим значение разряда единиц, перебирая значения 0, 1, 2, …, 9, в это же время вычисляя их во 2 степени до нужного значения, которое больше подкоренного числа 7. Значение ряда единиц равняется 2 (потому как 2² < 7, а 2³ > 7).

2. Следующий на очереди — разряд десятых. Здесь мы будем возводить в квадрат числа: 2.0, 2.1, 2.2, …, 2.9, сравнивая результат с нужным нам числом 7. Так как 2.6² < 7, а 2.7² > 7, то значение десятых равняется 6.

3. Значение сотых. По аналогии находим приближенное значение к 7.

2.64² = 6,9696 подходит нам, так как 2.65²=7.0225, а это больше 7. Действуя таким же образом, можно и дальше находить значение √7 ≈ 2.64.

Теперь, когда мы разобрались с извлечением корней, перейдем к практике. Специально для вас составлены задания с ответами, чтобы вы попробовали воспользоваться приобретенными знаниями. Решайте без таблиц и калькулятора.

Задания для отработки материала

1 задание

а)√324

б)√900

в)√1369

2 задание

а)³√531,441

б)³√166,375

3 задание

а) ⁵√-14 2471/1024

б) ⁵√-5 1182/3125

4 задание

а)Найдите квадратный корень из 3.

б)Найдите квадратный корень из 5.

в)Найдите квадратный корень из 9.

Ответы с решением

1 задание

а)√324

1)2×2×3×3×3×3=2²×3⁴=√324, а чтобы извлечь, мы умножаем:

2)2×3×3=18. Получается, √324=18.

б)√900

1)2×2×3×3×5×5=2²×3²×5²=√900.

Извлекаем:

2)2×3×5=30. Мы получили √900=30.

в)√1369

1)37×37=37²=√1369.

А здесь мы оставляем 37, так как это единственное число в квадрате. Конечным ответом будет: √1369=37.

2 задание

а)³√531441.

1)3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3×3=3¹²=³√531441.

Разложили на простые множители, а теперь найдем квадратный корень.

2)3¹² это 3×3×3×3, т.к. 3 у нас в 12 степени. Это можно проверить, отняв из 12 столько троек, чтобы вышел 0: 12-3-3-3-3. Так что, 3⁴=81; ³√531441=81.

3)1000=10³.  

4)³√531441/³√1000=81/10=8,1.

б)³√166,375.

1) 5×5×5×11×11×11=5³×11³=³√166375.

2)5³×11³=55. Так как числа в кубе – они в степени 1.

3) 1000=10³.  

4)³√166375/³√1000=55/10=5,5.

3 задание

а)

1) ⁵√-14 2471/1024 = -⁵√14 2471/1024.

2) -⁵√14 2471/1024= -⁵√16801/1024.

3) -⁵√16801/1024 = — ⁵√16801/⁵√1024.

4) ⁵√16801/⁵√1024 = — ⁵√6⁵/⁵√4⁵ = — 6/4 = — 1,5.

б)

1) ⁵√-5 1182/3125 = -⁵√5 1182/3125.

2) -⁵√5 1182/3125= -⁵√16807/3125.

3) -⁵√16807/3125 = — ⁵√16807/⁵√3125.

4) ⁵√16807/⁵√3125 = — ⁵√7⁵/⁵√5⁵ = — 7/5 = — 1,4.

4 задание

а)√3≈1,73.

б√5≈2,23.

в)√8≈2,82.

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа (a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен (a). (  (sqrt{a}=x, {{x}^{2}}=a; x, age 0)).

А почему же число  ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt{-9})?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).

Может, ( left( -3 right))? 

Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

 Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа( a)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен( a)».

Но подождите!  В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом! 

 Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).

Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что

( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)

(не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( displaystyle x=2)? 

Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)

Вот и вся наука. А вот такой пример:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=?)

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)

А вот такой примерчик:

( displaystyle   sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)

Еще ты можешь встретить такое выражение:

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=?)

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, ( displaystyle a)!

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

( displaystyle   sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

• ( displaystyle   sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})
• ( displaystyle   sqrt{{{6}^{6}}})
• ( displaystyle   {{left( sqrt{8} right)}^{7}})

А вот и ответы:

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})

Вот и все, не так все и страшно, правда?

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)

Получилось ( displaystyle   90)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

( displaystyle   sqrt{4225}=?)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

В уроке «Степень числа»
мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя.
Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 3² = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат?
Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

У квадратного корня есть специальный знак.
Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9»,
это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

√9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический».
Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом.
Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

---

• 
  √−9
  = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
• 
  √64 = 8
  
• 
  √−1,44
  
  = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;

• 
  √256 = 16
  

Квадратный корень из нуля

Квадратный корень из единицы

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто.
Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от
1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

• √81 = 9
• √64 = 8
• √100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

√0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число
«4».

√16 = 4

√0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей.
Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой
дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на
«0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня
√0,16

нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой.

Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться
два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

√0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби
«0,4²» дает
«0,16».

Умножим в столбик «0,4» на

«0,4».

---

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

√1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число
«144». Какое число в квадрате даст «144»?
Ответ — число «12».

12² = 144

√144 = 12

√1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби,
которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

√1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,2²» дает в квадрате «1,44».

1,2² = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел

√2,
√3,
√5,
√6,

и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен

√2

или

√3

и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»?
Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя
непериодическую десятичную дробь
и входит в
множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7».
Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно
оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора,
то после вычисления квадратного корня на калькуляторе
округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до
«0,001».

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7 ≈ 2,646

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---