Как найти квадрат дифференциала этой функции

       
Дифференциалом второго порядка функции  y(x)  называется дифференциал первого дифференциала:

Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого и последующих порядков:





Если  , где  x  – независимая переменная, то









Квадрат     дифференциала независимой переменной  x  обозначают символом   , который читается как “дэ икс дважды”; тогда  . Аналогично,



Пусть теперь выражение    описывает сложную функцию, где  u  – некоторая функция переменной  x. Тогда









     
Отметим, что первый дифференциал  dy  сложной функции    сохраняет свою форму, то есть  dy  равен произведению производной на дифференциал аргумента. Такое свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Дифференциалы более высоких порядков свойством инвариантности не обладают.


Содержание:

Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. На рис. 12.1 Дифференциал функции с примерами решения — касательная в точке Дифференциал функции с примерами решения к графику функции Дифференциал функции с примерами решения длина отрезкаДифференциал функции с примерами решенияУчитывая, что согласно геометрическому смыслу производной Дифференциал функции с примерами решения из прямоугольного треугольника Дифференциал функции с примерами решения получаем Дифференциал функции с примерами решения то есть Дифференциал функции с примерами решения Поэтому длина отрезка Дифференциал функции с примерами решенияравна величине дифференциала функции Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Исходя из того, что Дифференциал функции с примерами решения можно сформулировать геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции с примерами решения

С геометрической точки зрения, Дифференциал функции с примерами решенияявляется приращением ординаты касательной, проведенной к графику функции Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения которому соответствует приращение аргумента Дифференциал функции с примерами решения

При нахождении дифференциала функции Дифференциал функции с примерами решения в любой точке Дифференциал функции с примерами решения на основании формулы (1) получим Дифференциал функции с примерами решения

Это равенство справедливо для любой функции. В частности, для функцииДифференциал функции с примерами решенияравенство (2) обращается в равенство Дифференциал функции с примерами решения Отсюда получаем, что дифференциал аргумента Дифференциал функции с примерами решения равен приращению аргумента Дифференциал функции с примерами решения

Подставляя Дифференциал функции с примерами решения вместо Дифференциал функции с примерами решения в формулу (2), получаем Дифференциал функции с примерами решения

Найденное равенство является основанием для нахождения дифференциала функции.

Пример:

Найдите Дифференциал функции с примерами решения для функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Поскольку Дифференциал функции с примерами решения Равенство (3) также показывает, что между понятием производной и понятием дифференциала существует тесная связь, поэтому правила нахождения дифференциалов аналогичны правилам дифференцирования функций, а именно:

Дифференциал функции с примерами решения

Обоснуем, например, правило 2: Дифференциал функции с примерами решения Другие правила обосновываются аналогично (обоснуйте их самостоятельно). Вспомним, что согласно определению производной Дифференциал функции с примерами решения Используя понятие бесконечно малой функции, это равенство можно записать так: Дифференциал функции с примерами решенияТогда приращение Дифференциал функции с примерами решениядифференцируемой в точке Дифференциал функции с примерами решения функции Дифференциал функции с примерами решения где Дифференциал функции с примерами решения

В этом равенстве первое слагаемое правой части является дифференциалом функции, следовательно, Дифференциал функции с примерами решения

Учитывая, что Дифференциал функции с примерами решения получаем, что второе слагаемое при Дифференциал функции с примерами решения стремится к нулю быстрее, чем Дифференциал функции с примерами решения В этом случае говорят, что Дифференциал функции с примерами решенияявляется величиной более высокого порядка малости, чем Дифференциал функции с примерами решения то есть второе слагаемое значительно меньше первого. Это позволяет сделать следующий вывод:

  • Дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения является главной частью приращения функции.

С геометрической точки зрения (см. рис. 12.1), при Дифференциал функции с примерами решения расстояние Дифференциал функции с примерами решениястановится значительно меньше, чем расстояние Дифференциал функции с примерами решения поэтомуДифференциал функции с примерами решения — главная (т. е. большая) часть отрезка Дифференциал функции с примерами решения Если в равенстве (4) принебречь вторым слагаемым (которое при малых значениях Дифференциал функции с примерами решения значительно меньше первого), то получим приближенное равенствоДифференциал функции с примерами решения то естьДифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения

Последнее равенство используется для разных приближенных вычислений функций в тех случаях, когда Дифференциал функции с примерами решения нетрудно вычислить.

Пример:

Пользуясь формулой (5), найдите приближенное значение Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Если рассмотреть функцию Дифференциал функции с примерами решения Возьмем Дифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения и /Дифференциал функции с примерами решения По Формуле (5) имеем: Дифференциал функции с примерами решения При Дифференциал функции с примерами решения получаем Дифференциал функции с примерами решения

Комментарий:

При вычислении значения Дифференциал функции с примерами решения по формуле (5) Дифференциал функции с примерами решения естественно рассмотреть функцию Дифференциал функции с примерами решения и взять за Дифференциал функции с примерами решениячисло 9, поскольку 9,06 близко к 9. Тогда Дифференциал функции с примерами решения и значения /Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения легко находятся при Дифференциал функции с примерами решения Значение Дифференциал функции с примерами решения вычисленное с помощью калькулятора, равно 3,00998… .

Понятие о дифференциале функции

Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию

Дифференциал функции с примерами решения

Приращение Дифференциал функции с примерами решения функции у служит важной характеристикой изменения этой функции на заданном конечном отрезке Дифференциал функции с примерами решения. Однако непосредственное определение приращения функции иногда затруднительно. Тогда обычно поступают следующим образом: разбивают отрезок Дифференциал функции с примерами решения на конечное число достаточно малых отрезков Дифференциал функции с примерами решения и приближенно считают, что на каждом из них прирост функции происходит по закону прямой пропорциональности (например, малый элемент кривой линии рассматривают как прямолинейный; неравномерное движение точки в течение малого промежутка времени трактуют как равномерное ит. п., где «малость» понимается в известном смысле). Иными словами, предполагается, что на достаточно малом отрезке Дифференциал функции с примерами решения имеет место приближенное равенство

Дифференциал функции с примерами решения

где коэффициент пропорциональности k не зависит от Дифференциал функции с примерами решения, но, вообще говоря, зависит от х. Если при этом окажется, что при надлежащем подборе коэффициента пропорциональности погрешность Дифференциал функции с примерами решения будет бесконечно малой величиной высшего порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения:, т. е. отношение

Дифференциал функции с примерами решения

будет бесконечно малым при Дифференциал функции с примерами решения, то величина

Дифференциал функции с примерами решения

называется дифференциалом функции у в точке х (здесь буква d — знак дифференциала). В этом случае, как следует из соотношения (1), справедливо равенство

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения.

Иначе говоря,

Дифференциал функции с примерами решения

Определение: Дифференциалом функции называется величина, пропорциональная приращению независимой переменной и отличающаяся от приращения функции на бесконечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной.

Слагаемое k Дифференциал функции с примерами решения в формуле (2) часто называют главной линейной частью приращения функции (или главным линейным членом приращения). Поэтому можно сказать: дифференциал функции представляет собой главную линейную часть бесконечно малого приращения этой функции.

Пример:

Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения есть площадь квадрата, сторона которого равна х (рис. 126). Если стороне х дать приращение Дифференциал функции с примерами решения, то новое ее значение станет х + Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно, площадь у квадрата получит приращение

Дифференциал функции с примерами решения

Первое слагаемое суммы, стоящей в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции при Дифференциал функции с примерами решения Поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

На рис. 126 приращение Дифференциал функции с примерами решения функции у изображается площадью всей заштрихованной части, тогда как дифференциал dy функции изображается площадью заштрихованной части без площади маленького квадрата, находящегося в правом верхнем углу большого квадрата.

Дифференциал функции с примерами решения

Сформулируем теорему единственности дифференциала:

Теорема: Данная функция может иметь только один дифференциал.

Доказательство: В самом деле, пусть функция у = f(x) имеет два дифференциала: Дифференциал функции с примерами решения. В силу определения дифференциала имеем

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малые при Дифференциал функции с примерами решения. Отсюда

Дифференциал функции с примерами решения

и, следовательно, при Дифференциал функции с примерами решения имеем Дифференциал функции с примерами решения

Переходя к пределу при Дифференциал функции с примерами решения в последнем равенстве, получаем

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. Дифференциал функции с примерами решения. Таким образом, дифференциалы dy и dxy совпадают. Теорема доказана.

Из определения дифференциала непосредственно следует: дифференциал функции отличается от приращения этой функции на величину высшего порядка малости по сравнению с приращением независимой переменной. Этим обстоятельством часто пользуются при приближенных вычислениях.

Пример:

Пусть Дифференциал функции с примерами решения. Найти Дифференциал функции с примерами решения и dy при значении х = 1 и сравнить их между собой в трех случаях: Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Имеем Дифференциал функции с примерами решения Производя алгебраические выкладки, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Первое слагаемое, стоящее в правой части последнего равенства, очевидно, является главной линейной частью приращения функции. Следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

Полагая х = 1, получим следующую таблицу:

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда ясно видно, что доля дифференциала dy в приращении Дифференциал функции с примерами решения стремится к 100%, если Дифференциал функции с примерами решения.

Подробное объяснение понятия дифференциала функции:

Пусть функция у = f(x) дифференцируема на отрезке Дифференциал функции с примерами решения Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством
Дифференциал функции с примерами решения
Отношение Дифференциал функции с примерами решения не равно, а лишь стремится к Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно, отличается от производной на величину бесконечно малую

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, приращение функции Дифференциал функции с примерами решения состоит из двух слагаемых.

Так как в общем случае Дифференциал функции с примерами решения то при постоянном х и переменном Дифференциал функции с примерами решенияпроизведение Дифференциал функции с примерами решения есть бесконечно малая величина 1-го порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения

Второе слагаемое – величина бесконечно малая высшего порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения так как Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решенияглавная часть приращения, называют дифференциалом функции и обозначают dy или df(x).

Итак, если функция у = f(x) имеет производную Дифференциал функции с примерами решения в точке х, то произведение производной на приращение аргумента называется дифференциалом функции

Дифференциал функции с примерами решения

Найдём дифференциал функции у = х.

Дифференциал функции с примерами решения

Следовательно, производную Дифференциал функции с примерами решения можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Дифференциал функции с примерами решения

Очевидно, что задача нахождения дифференциала равносильна задаче нахождения производной, поэтому большинство теорем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для дифференциалов.

Свойства дифференциала:

  1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций Дифференциал функции с примерами решенияравен сумме дифференциалов этих функций: Дифференциал функции с примерами решения
  2. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения определяется формулой: Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения

3. Дифференциал сложной функции. Пусть Дифференциал функции с примерами решения тогда Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал сложной функции имеет тот же вид, какой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это важнейшее свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения

но Дифференциал функции с примерами решения

Дополнительный разбор дифференциала функции:

Пусть функцияДифференциал функции с примерами решения определена на промежутке Дифференциал функции с примерами решения и дифференцируема в некоторой окрестности точки Дифференциал функции с примерами решения Тогда существует конечная производная

Дифференциал функции с примерами решения

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малая величина при Дифференциал функции с примерами решения откуда

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, приращение функции Дифференциал функции с примерами решения состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно Дифференциал функции с примерами решения 2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем Дифференциал функции с примерами решения, ибо

(см. замечание в § 6.3) Дифференциал функции с примерами решения

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Найти приращение и дифференциал функции

Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Приращение функции

Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения При Дифференциал функции с примерами решения имеем Дифференциал функции с примерами решения Различие между Дифференциал функции с примерами решения составляет всего 0,02, или 0,5%. ►

Пример:

Найти дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Дифференциал функции с примерами решения откуда

Дифференциал функции с примерами решения

т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. ►

Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде

Дифференциал функции с примерами решения

откуда Дифференциал функции с примерами решения Теперь мы видим, что Дифференциал функции с примерами решения не просто символическое обозначение производной, а обычная дробь с числителем Дифференциал функции с примерами решения и знаменателем Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Определение дифференцируемости функции, её дифференциала. Геометрический и физический смысл дифференциала

Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а, b) и Дифференциал функции с примерами решения– любая точка из интервала (а; b); приращение Дх настолько малое, что точка Дифференциал функции с примерами решения – прирашение функции в точкеДифференциал функции с примерами решения, соответствующее приращению аргумента Дифференциал функции с примерами решения.

Определение 12.1.1. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки Дифференциал функции с примерами решения– Функция f называется дифференцируемой в точке Дифференциал функции с примерами решения, если приращение этой функции может быть представлено в виде:

Дифференциал функции с примерами решения

где А – постоянная величина, не зависящая от х, а Дифференциал функции с примерами решения – бесконечно малая функция при Дифференциал функции с примерами решения.

Линейная функция Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциалом функции f в точке Дифференциал функции с примерами решения и обозначается Дифференциал функции с примерами решения или dу. Второе слагаемое в правой части (12.1.1) Дифференциал функции с примерами решения – это произведение двух бесконечно малых функций в точке Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно, является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем Дифференциал функции с примерами решения, поэтому Дифференциал функции с примерами решения. Тогда представление (12.1.1) можно переписать в виде:

Дифференциал функции с примерами решения или Дифференциал функции с примерами решения, гдеДифференциал функции с примерами решения. (12.1.2)

ЕслиДифференциал функции с примерами решенияи, следовательно, дифференцируемость функции в точке Дифференциал функции с примерами решенияозначает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента Дифференциал функции с примерами решения, приращение функции является линейной функцией отДифференциал функции с примерами решения . Т.е. функция f в окрестности точки Дифференциал функции с примерами решения ведет себя «почти как линейная функцияДифференциал функции с примерами решения:

Если f дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения, T.e.f заведомо непрерывна в этой точке. А вот из непрерывности функции f дифференцируемость не всегда следует, что показывает пример Дифференциал функции с примерами решения. Действительно, приращение этой функции

Дифференциал функции с примерами решенияпри х=0 равно:

Дифференциал функции с примерами решения

что противоречит определению, т.к. мы должны получить Дифференциал функции с примерами решения, для любою Дифференциал функции с примерами решения, где А – постоянная одна и та же величина.

Для тождественной функции у = х: Дифференциал функции с примерами решения, поэтому дифференциалом независимой переменной х считают Дифференциал функции с примерами решения и обозначают dx, тогда: Дифференциал функции с примерами решения.

Связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в этой точке устанавливается следующей теоремой.

Теорема 12.1.1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения, необходимо и достаточно, чтобы она имела в той точке конечную производную, причем в этом случае

Дифференциал функции с примерами решения (12.1.3)

Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения, тогда её приращениеДифференциал функции с примерами решения можно представить в

виде

Дифференциал функции с примерами решения. (12.1.4)

Считая Дифференциал функции с примерами решения и разделив обе части (12.1.4) на Дифференциал функции с примерами решения, получим:

Дифференциал функции с примерами решения

Правая (и потому и левая) часть этого равенства имеет предел равный А при Дифференциал функции с примерами решения. Предел левой части при Дифференциал функции с примерами решения (в случае, ссли он существует) по определению равен производнойДифференциал функции с примерами решения:

Дифференциал функции с примерами решения

так как Дифференциал функции с примерами решения – бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем Дифференциал функции с примерами решения. Тогда, подставив в формулу Дифференциал функции с примерами решения вместо А производную Дифференциал функции с примерами решения, получим Дифференциал функции с примерами решения.

Итак, мы доказали, что если для функции f справедливо представление (12.1.4), то эта функция имеет в точкеДифференциал функции с примерами решенияпроизводнуюДифференциал функции с примерами решения, причемДифференциал функции с примерами решения .

Достаточность. Пусть существует конечная производнаяДифференциал функции с примерами решения, то есть существует конечный предел

Дифференциал функции с примерами решения

Всякую функцию, имеющую предел в точке можно представить в виде суммы предела и бесконечно малой функции (п. 10.5):

Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения

Умножив это равенство на Дифференциал функции с примерами решения, придем к представлению, совпадающему с представлением Дифференциал функции с примерами решения, при Дифференциал функции с примерами решения. что и означает дифференцируемость функции f в точке Дифференциал функции с примерами решения

Из доказательства теоремы следует, что дифференцируемость определяется однозначно. Кроме того, производную Дифференциал функции с примерами решения можно обозначать Дифференциал функции с примерами решения. Из теоремы следует также, что понятие дифференцируемости функции в данной точке можно отождествлять с вычислением производной функции в этой точке.

Рассмотрим функциюДифференциал функции с примерами решения. Она непрерывна при Дифференциал функции с примерами решения. Как показано ранее, эта функция не имеет производной в точке Дифференциал функции с примерами решения. Тогда, учитывая формулу Дифференциал функции с примерами решения, можно утверждать, что эта функция не дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения ив точке Дифференциал функции с примерами решения не существует и дифференциал этой функции.

Формула (12.1.3) дает возможность вычислять дифференциалы, зная производные функций. Для этого достаточно производные функций умножить на dx.

Дифференциал, с геометрической точки зрения представляет собой приращение, которое мы получим, если в окрестности рассматриваемой точки Дифференциал функции с примерами решения заменим график функции Дифференциал функции с примерами решения отрезком касательной к графику при Дифференциал функции с примерами решения (рис. 12.1).

Дифференциал функции с примерами решения

Как видно из рисунка Дифференциал функции с примерами решения (рис. 12.1, а) или Дифференциал функции с примерами решения фис 12.1,6), или Дифференциал функции с примерами решения, если у=с.

Мы знаем, что производная пути это величина мгновенной скорости, т.е. Дифференциал функции с примерами решения. По определению дифференциала Дифференциал функции с примерами решения; следовательно, дифференциал пути равен расстоянию, которое прошла бы точка за промежуток времени от момента t до момента времениДифференциал функции с примерами решения, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной величине мгновенной скорости точки в момент t.

Пример №1

Дана функция Дифференциал функции с примерами решения. Найти: 1) выражение для дифференциала, соответствующее аргументу х и приращение Дифференциал функции с примерами решения; 2) dy и Дифференциал функции с примерами решения при переходе от точки Дифференциал функции с примерами решения к точке Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

1). Для того чтобы найги дифференциал Дифференциал функции с примерами решения, находим производную Дифференциал функции с примерами решения. Подставив значение производной, получим выражение для дифференциала Дифференциал функции с примерами решения.

2). Поскольку Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения и dx = 0,2. Подставив эти значения, найдем дифференциал функции: Дифференциал функции с примерами решения. Приращение заданной функции будет равно:Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения Так как выполняется неравенство 1,0 > 0,52, то дифференциал больше приращения функции: Дифференциал функции с примерами решения.

Дифференциал сложной функции

Когда аргумент х дифференцируемой функции у = f(x) представляет собой независимую переменную, для дифференциала dy этой функции справедливо равенство Дифференциал функции с примерами решения. Покажем, что это представление дифференциала является универсальным и оно справедливо также и в случае, когда аргумент x сам является дифференцируемой функцией.

Рассмотрим сложную функцию Дифференциал функции с примерами решения. где Дифференциал функции с примерами решения.

Определим dz, предполагая, что z зависит от х. По определению дифференциала будем иметь Дифференциал функции с примерами решения. С другой стороны, так как

Дифференциал функции с примерами решения.

Следовательно,Дифференциал функции с примерами решения Сопоставляя это равенство с равенством Дифференциал функции с примерами решения, замечаем, что, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной – независимо от того, является эта переменная в свою очередь функцией или независимой переменной. Это свойство инвариантности формы первого дифференциала относительно выбора переменных

Пример №2

Дана сложная функцияДифференциал функции с примерами решения. Вычислить её дифференциал.

Решение:

Поскольку выражение дифференциала является универсальным. то Дифференциал функции с примерами решения .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Из изложенного выше следует, что Дифференциал функции с примерами решения т.е. приращение функции Дифференциал функции с примерами решения отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чемДифференциал функции с примерами решения Поэтому при достаточно малых значениях Дифференциал функции с примерами решенияили Дифференциал функции с примерами решения откуда

Дифференциал функции с примерами решения

Чем меньше значение Дифференциал функции с примерами решения, тем точнее формула (9.5). Формула (9.5) может оказаться полезной в приближенных вычислениях.

Пример №3

Вычислить приближенно: Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

а) Получим вначале приближенную формулу для вычисления корней любой Дифференциал функции с примерами решения-й степени. Полагая Дифференциал функции с примерами решения , найдем Дифференциал функции с примерами решения в соответствии с (9.5) Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения или Дифференциал функции с примерами решения.

В данном примере Дифференциал функции с примерами решения

В качестве Дифференциал функции с примерами решения возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но чтобы был известен Дифференциал функции с примерами решения, при этом Дифференциал функции с примерами решения должно быть достаточно малым. Очевидно, следует взять Дифференциал функции с примерами решения (но, например, неДифференциал функции с примерами решения). Итак,

Дифференциал функции с примерами решения

б) Полагая Дифференциал функции с примерами решения найдем Дифференциал функции с примерами решения и в соответствии

Дифференциал функции с примерами решения Учитывая, что Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения,

возьмемДифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Используя дифференциал, по формуле (9.5) легко получить формулы, часто используемые на практике при Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

С помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента.

Пусть необходимо вычислить значение данной функции Дифференциал функции с примерами решения при некотором значении аргумента Дифференциал функции с примерами решения, истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение Дифференциал функции с примерами решения с абсолютной погрешностью |Дифференциал функции с примерами решения. Если вместо истинного значения Дифференциал функции с примерами решения возьмем величинуДифференциал функции с примерами решения, то мы допустим ошибку, равную Дифференциал функции с примерами решения

При этом относительная погрешность функции Дифференциал функции с примерами решения

может быть вычислена (при достаточно малых Дифференциал функции с примерами решения) по формуле:Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения– эластичность функции (см. § 7.6) (по абсолютной величине); Дифференциал функции с примерами решения— относительная погрешность нахождения (измерения) аргумента Дифференциал функции с примерами решения.

Пример №4

Расход бензина Дифференциал функции с примерами решения автомобиля на 100 км пути в зависимости от скорости Дифференциал функции с примерами решения (км/ч) описывается функцией Дифференциал функции с примерами решения. Оценить относительную погрешность вычисления расхода бензина при скорости Дифференциал функции с примерами решения, определенной с точностью до 5%.

Решение:

Найдем эластичность функции (по абсолютной величине).

Дифференциал функции с примерами решения

и по формуле (9.6) относительная погрешность Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения

Пример №5

С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до 2%?

Решение. Объем шара радиуса Дифференциал функции с примерами решения равен Дифференциал функции с примерами решения Найдем Дифференциал функции с примерами решения и по формуле (9.6)

Дифференциал функции с примерами решения

Существенным недостатком применения дифференциала в приближенных вычислениях является невозможность вычисления значений функций с наперед заданной точностью. Этого недостатка лишено использование рядов в приближенных вычислениях (см. § 14.3).

Применение дифференциала в приближенных вычислениях и в экономических исследованиях:

Производные и дифференциалы принадлежат к числу основных научных понятий математического анализа и применяются очень часто в практических приложениях.

Применение дифференциала первого порядка основано на том, что разность между приращением функции и ее дифференциалом является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем дифференциал (см. п. 12.1).

Действительно, из рис. 12.1.1 видно, что дифференциал dy сколь угодно мало отличается от приращения функции Дифференциал функции с примерами решения, если Дифференциал функции с примерами решения достаточно мало. И если в достаточно малой окрестности некоторой точки Дифференциал функции с примерами решения вместо кривой рассмотреть касательную к ней в этой точке, то возникающая при этом погрешность сколь угодно мала, т.е.Дифференциал функции с примерами решения в сравнении с величинамиДифференциал функции с примерами решения и dv.

Указанное обстоятельство позволяет с большой степенью точности заменять приращение функции ее дифференциалом, т.е. Дифференциал функции с примерами решения

ОтношениеДифференциал функции с примерами решения естественно назвать относительном погрешностью, а разностьДифференциал функции с примерами решения– абсолютной погрешностью формулы (12.3.1).

Формула (12.3.1) позволяет вычислить приближенное значение функции, соответствующее приращенному значению аргумента, если известно её значение в некоторой точке и значение производной в этой точке, когда приращение аргумента является достаточно малым.

Так, например, для конкретных функций Дифференциал функции с примерами решения и

Дифференциал функции с примерами решения формула (12.3.1) принимает вид:

Дифференциал функции с примерами решения

Пример №6

Найти приближенное значениеДифференциал функции с примерами решения. Решение: Рассмотрим функцию y = cosx и воспользуемся формулой (12.3.1.). Положим Дифференциал функции с примерами решения, тогда Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения

Вычислим производную функции Дифференциал функции с примерами решения

Её значение и значение функции в точке Дифференциал функции с примерами решения равны:Дифференциал функции с примерами решения

Подставив в формулу (12.3.1) значение функции, её производной и приращения аргумента, вычислим значение cos31°:

Дифференциал функции с примерами решения

Подробное объяснение применение дифференциала в приближенных вычислениях:

Из рисунка 5.1 видно, что дифференциал функции f(х), равен приращению ординаты касательной к кривой у = f(х) в данной точке х.

Также видно, что величина дифференциала функции f(х) при Дифференциал функции с примерами решенияприближается к величине приращения Дифференциал функции с примерами решения Данное свойство в виде приближенного равенства Дифференциал функции с примерами решения часто используется в приближенных вычислениях.

Дифференциал функции с примерами решения

т.е. Дифференциал функции с примерами решения-формула для приближённых вычислений.

Дифференциал функции с примерами решения
Рисунок 5.1 – Геометрический смысл дифференциала
 

Пример №7

Вычислить арифметическое значение Дифференциал функции с примерами решенияОбозначив Дифференциал функции с примерами решенияи заменив Дифференциал функции с примерами решения получаем Дифференциал функции с примерами решения Запишем приближенное соотношение Дифференциал функции с примерами решеният.е. Дифференциал функции с примерами решения Подставив известные значения Дифференциал функции с примерами решения получаем Дифференциал функции с примерами решения В наших обозначениях и при таких исходных данных имеем Дифференциал функции с примерами решения (берется только арифметическое значение квадратного корня) и окончательно Дифференциал функции с примерами решения

Точное (с точностью до 6 знаков после запятой) значение Дифференциал функции с примерами решения

Дополнительное объяснение применения дифференциала в приближенных вычислениях:

Рассмотрим формулу (6.2):

Дифференциал функции с примерами решения

Откуда

Дифференциал функции с примерами решения

Если пренебречь Дифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения или

Дифференциал функции с примерами решения    (6.3)

а это означает, что в достаточно малой окрестности точки Дифференциал функции с примерами решения график функции Дифференциал функции с примерами решения можно «заменить» графиком касательной

Дифференциал функции с примерами решения

проведенной к графику функции в этой точке.

Если Дифференциал функции с примерами решения то формула (6.3) принимает вид Дифференциал функции с примерами решения и тогда очевидными становятся ряд эквивалентностей бесконечно малых функций.

Пример:

Дифференциал функции с примерами решенияОсновной принцип применения дифференциала к приближенным вычислениям значений функции сводится к следующему: если необходимо вычислить значение функции Дифференциал функции с примерами решения для Дифференциал функции с примерами решения но сделать это весьма затруднительно, то «вблизи» точки Дифференциал функции с примерами решениявыбирается точка Дифференциал функции с примерами решения такая, чтобы значения Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения находились легко, и на основании (6.3) приближенно вычисляется значение Дифференциал функции с примерами решения

Пример №8

Вычислить приближенно Дифференциал функции с примерами решения 

Решение.

Рассмотрим функцию Дифференциал функции с примерами решения Пусть Дифференциал функции с примерами решения тогда Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения и на основании формулы (6.3) получим Дифференциал функции с примерами решения

ОтветДифференциал функции с примерами решения

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором интервале (а; b). Ее дифференциалДифференциал функции с примерами решения является функцией двух переменных: точки х и переменной dx. Но дифференциал независимой переменной dx не зависит от х и рассматривается как постоянная величина. Значение дифференциала от первого дифференциала называется вторым дифференциалом функции f в точкеДифференциал функции с примерами решения и обозначается Дифференциал функции с примерами решения, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Для дифференциала n-ого порядка справедлива формула: Дифференциал функции с примерами решения

Докажем это. Для n=1 и n=2 эта формула доказана. Пусть эта формула справедлива для дифференциалов порядка n-1, т.е.Дифференциал функции с примерами решения

Тогда вычисляя дифференциал от дифференциала Дифференциал функции с примерами решения получим:

Дифференциал функции с примерами решения

поскольку Дифференциал функции с примерами решенияне зависит от х и рассматривается как постоянная.

Заметим, что формула (12.4.1) справедлива, когда аргумент х является независимой переменной, тогда второй дифференциал независимой переменной равен нулю: Дифференциал функции с примерами решения. Эта формула позволяет представить производную n-ого порядка в виде частногоДифференциал функции с примерами решения

Пример №9

Найти Дифференциал функции с примерами решения, если у = cos х.

Решение:

Воспользуемся формулой (12.4.1) дляДифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения. Для этого вычислим производную второго порядка функцииДифференциал функции с примерами решения . Подставив, получим: Дифференциал функции с примерами решения.

Дифференциалы высших порядков по зависимым переменным не удовлетворяют формуле (12.4.1).Так. для сложной функцииДифференциал функции с примерами решения, дифференциал второго порядка вычисляется по формуле:

Видно, что полученная формула существенно отличается от формулы (12.4.1), т.к. Дифференциал функции с примерами решения, вообще говоря. Другими словами, дифференциалы высших порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Пример №10

Вычислить дифференциал второго порядка сложной функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Чтобы воспользоваться формулой (12.4.2) для дифференциала второго порядка сложной функции, перепишем её в виде

Дифференциал функции с примерами решенияи вычислим производные и дифференциалы функций Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Подставив значения производных и дифференциалов, получим: Дифференциал функции с примерами решения где производная функцииДифференциал функции с примерами решения преобразована к виду:Дифференциал функции с примерами решения

Как определить дифференциал высшего порядка:

Пусть x — независимая переменная, у = f(x) — дифференцируемая функция. Согласно формуле (4)  имеем

Дифференциал функции с примерами решения

таким образом, дифференциал функции f(x) есть функция от двух аргументов: х и dx.

В дальнейшем мы будем предполагать, что dx — дифференциал независимой переменной х — имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от независимой переменной х и одно и то же для всех рассматриваемых функций.

Если dx фиксировано, то df(x) есть некоторая функция от х, пропорциональная производной f'(x), с коэффициентом пропорциональности, равным dx. Может случиться, что эта функция также имеет дифференциал в таком случае последний называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции f(x); а дифференциал, определяемый формулой (1), носит более точное название дифференциала первого порядка (или первого дифференциала).

Определение: Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) d2f(x) функции f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т. е.

Дифференциал функции с примерами решения

Аналогично, дифференциалом третьего порядка (или третьим дифференциалом) d3f(x) функции f(x) называется дифференциал от дифференциала второго порядка этой функции, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Так последовательно определяются дифференциалы высших порядков.

Выведем теперь формулу для дифференциала второго порядка функции f(x) от независимой переменной х, предполагая, что эта функция дважды дифференцируема, т. е. имеет произврдную второго порядка. Так как

Дифференциал функции с примерами решения

то вследствие формулы (2) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Если х — независимая переменная, то dx, равный Ах, очевидно, не зависит от х, т. е. dx по отношению к переменной х играет роль постоянной. Поэтому в формуле (3) множитель dx можно вынести за знак дифференциала и мы получим

Дифференциал функции с примерами решения

Так как f'(x) снова есть некоторая функция от х, то из формулы (1) следует

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда окончательно находим

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, получаем теорему:

Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению производной второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной.

Замечание. Формула (4), вообще говоря, неверна, если х не является независимой переменной, так как здесь dx нельзя рассматривать как множитель, не зависящий от х.

Если положить f(x) = y, то формулу (4) можно переписать так: Дифференциал функции с примерами решения; отсюда имеем

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. производная второго порядка от данной функции равна отношению дифференциала второго порядка этой функции к квадрату дифференциала независимой переменной.

Если х есть независимая переменная, то аналогично формуле (4) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

И т. д.

Положим теперь в формулах (4) и (5)

Дифференциал функции с примерами решения

Тогда Дифференциал функции с примерами решения . Следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

Получаем теорему:

Дифференциалы высших порядков от независимой переменной равны нулю.

Подробнее о дифференциалах высших порядков:

Если рассмотреть дифференциал первого порядка Дифференциал функции с примерами решения и определить дифференциал второго порядка как дифференциал от дифференциала первого порядка, то в результате получим

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. Дифференциал функции с примерами решения

Выполнив аналогичные действия можно получить дифференциал третьего порядка Дифференциал функции с примерами решения и т. д. Тогда дифференциал

Дифференциал функции с примерами решенияго порядка Дифференциал функции с примерами решения

Следует заметить, что уже дифференциал второго порядка сложной функции не обладает свойством инвариантности формы.

Понятие о дифференциалах высших порядков:

Для дифференцируемой функции у = f(х) согласно (5.1) Дифференциал функции с примерами решения где дифференциал функции есть функция от двух аргументов: х и dx.

Полагаем, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от х. В этом случае dy есть функция х, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка Дифференциал функции с примерами решения функции у = f(x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Аналогично дифференциалом n-го порядка Дифференциал функции с примерами решения функции у = f(х) называется дифференциал от дифференциала n-1 порядка этой функции, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциалы второго и более порядков не обладают свойством инвариантности формы в отличие от дифференциала первого порядка.

Геометрический смысл дифференциала

Возьмем на графике функции Дифференциал функции с примерами решения произвольную точку Дифференциал функции с примерами решения. Дадим аргументу Дифференциал функции с примерами решения приращение Дифференциал функции с примерами решения. Тогда функция Дифференциал функции с примерами решения получит приращение Дифференциал функции с примерами решения (см. рис. 9.1)

Проведем касательную к кривой Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения, которая образует угол Дифференциал функции с примерами решения с положительным направлением оси Дифференциал функции с примерами решения т.е. Дифференциал функции с примерами решения Из прямоугольного треугольника Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

т.е. в соответствии с (9.2) Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции Дифференциал функции с примерами решения в данной точке, когда Дифференциал функции с примерами решения получает приращение Дифференциал функции с примерами решения.

Не следует думать, что всегда Дифференциал функции с примерами решения Так, на рис. 9.2 показан случай, когда Дифференциал функции с примерами решения

Подробнее о геометрическом смысле дифференциала:

Выясним геометрический смысл дифференциала функции. Рассмотрим график функции у = f(x).

Пусть Дифференциал функции с примерами решения — две точки данной кривой (рис. 127). В точке М проведем касательную МТ к графику функции (здесь Т — точка пересечения касательной с M’N || Оу) и рассмотрим Д MTN с катетами MДифференциал функции с примерами решения. Если через Дифференциал функции с примерами решения обозначить угол, образованный касательной МТ с положительным направлением оси Ох, то будем иметь

Дифференциал функции с примерами решения

Но из геометрического смысла производной следует Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения. Поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, имеем теорему:

Дифференциал функции у = f(x) в данной точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение Дифференциал функции с примерами решения

Замечание. Приращение функции Дифференциал функции с примерами решения (рис. 127), вообще говоря, не равно дифференциалу dy = NT этой функции. В частности:

1)если график функции вогнут вверх, то

Дифференциал функции с примерами решения

2)если же график функции вогнут вниз, то

Дифференциал функции с примерами решения

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной. Приведем их без доказательства:

Дифференциал функции с примерами решения

Остановимся теперь на важном свойстве, которым обладает дифференциал функции, но не обладает ее производная.

Рассмотрим теперь некоторые свойства дифференциала, аналогичные свойствам производной.

В дальнейших формулировках мы будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что все рассматриваемые функции имеют производные, т. е. являются дифференцируемыми.

Дифференциал постоянной

Дифференциал постоянной равен нулю.

Полагая в формуле (4) из  у = с и Дифференциал функции с примерами решения = 0, получаем

dc = 0.

Дифференциал суммы

Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме дифференциалов этих функций.

В самом деле, если и, v и w — дифференцируемые функции от независимой переменной х, то, например, имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Умножая обе части на dx, получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда согласно формуле (4) из  выводим

Дифференциал функции с примерами решения

Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между собой.

Имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Полагая здесь с постоянной и, следовательно, dc = 0, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Постоянный множитель может быть вынесен за знак дифференциала.

В самом деле, если с постоянно, то

Дифференциал функции с примерами решения

Умножив обе части этого равенства на dx, получим

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал произведения

Дифференциал произведения двух сомножителей равен произведению первого сомножителя на дифференциал второго плюс произведение второго сомножителя на дифференциал первого.

В самом деле, если и и v — дифференцируемые функции от х, то имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Умножая обе части на dx, получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал частного

Дифференциал дроби (частного) равен также дроби, числитель которой есть произведение знаменателя дроби на дифференциал числителя минус произведение числителя на дифференциал знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя дроби.

Мы имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Умножив обе части на dx, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал сложной функции

Дифференциал сложной функции (функции от функции) равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента (обе функции дифференцируемы).

Пусть Дифференциал функции с примерами решения. Положим ф(х) = и и, следовательно, у = f(u). Если f(u) и ф(х) — дифференцируемые функции, то согласно теореме о производной функции от функции можно написать

Дифференциал функции с примерами решения

Умножив обе части этого равенства на дифференциал dx независимой переменной х, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Но Дифференциал функции с примерами решения; следовательно, равенство (1) можно переписать так:

Дифференциал функции с примерами решения

Замечание. Формула (2) по внешнему виду совпадает с формулой (4) из, но между ними есть принципиальное различие: в формуле (4) х естьлезависимая переменная и, следовательно, dx = Дифференциал функции с примерами решения, тогда как в формуле (2) и есть функция от независимой переменной х и поэтому, вообще говоря, Дифференциал функции с примерами решения.

Из формулы (2) следует такая теорема.

Независимость вида дифференциала от выбора независимой переменной

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента, при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией от другой независимой переменной.

На основании формул для производных получаем соответствующую таблицу для дифференциалов, где и — произвольная дифференцируемая функция.

Инвариантность формы дифференциала

Рассматривая  Дифференциал функции с примерами решения как функцию независимой переменной Дифференциал функции с примерами решения, мы получили, что Дифференциал функции с примерами решения Рассмотрим функцию Дифференциал функции с примерами решения, где аргумент Дифференциал функции с примерами решения сам является функцией от Дифференциал функции с примерами решения, т.е. рассмотрим сложную функцию Дифференциал функции с примерами решения. Если Дифференциал функции с примерами решения–дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции в соответствии с теоремой, приведенной в § 7.4, равна Дифференциал функции с примерами решения

Тогда дифференциал функции

Дифференциал функции с примерами решения

ибо по формуле (9.2) Дифференциал функции с примерами решения Итак,

Дифференциал функции с примерами решения

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной Дифференциал функции с примерами решения рассматривать функцию от зависимой переменной Дифференциал функции с примерами решения. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в содержании формул (9.3) и (9.4) все же есть различие: в формуле (9.3) дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. Дифференциал функции с примерами решения, а в формуле (9.4) дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения есть лишь линейная часть приращения этой функции Дифференциал функции с примерами решения и только при малых Дифференциал функции с примерами решения

Понятие о дифференциалах высших порядков

Для дифференцируемой функции Дифференциал функции с примерами решения согласно (9.3) Дифференциал функции с примерами решения т.е. дифференциал функции есть функция от двух аргументов: Дифференциал функции с примерами решения

Будем полагать, что дифференциал независимой переменной имеет произвольное, но фиксированное значение, не зависящее от Дифференциал функции с примерами решения. В этом случае Дифференциал функции с примерами решения есть некоторая функция Дифференциал функции с примерами решения, которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) Дифференциал функции с примерами решенияфункции Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Аналогично дифференциалом Дифференциал функции с примерами решения-го порядка (или Дифференциал функции с примерами решениядифференциалом) Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциал от дифференциала Дифференциал функции с примерами решения-го порядка этой функции, т.е. Дифференциал функции с примерами решения.

Найдем выражение для Дифференциал функции с примерами решения. По определению Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения. Так как Дифференциал функции с примерами решения не зависит от Дифференциал функции с примерами решения, т.е. по отношению к переменной Дифференциал функции с примерами решения является постоянной величиной, то множитель Дифференциал функции с примерами решения можно вынести за знак дифференциала, т.е.

Дифференциал функции с примерами решения

Итак,

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения, а в общем случае

Дифференциал функции с примерами решения

т.е. дифференциал второго (и вообще Дифференциал функции с примерами решения-го) порядка равен произведению производной второго (Дифференциал функции с примерами решения-го) порядка на квадрат (Дифференциал функции с примерами решения-ю степень) дифференциала независимой переменной. Из формул (9.8) и (9.9) следует, что

Дифференциал функции с примерами решения

и вообще

Дифференциал функции с примерами решения

В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы (или формулы) в отличие от дифференциала первого порядка.

Бесконечно малые величины

1.В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через Дифференциал функции с примерами решения.

О пределение. Бесконечно малой величиной вблизи Дифференциал функции с примерами решения называется функция, зависящая от Дифференциал функции с примерами решения и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к Дифференциал функции с примерами решения.

Например, Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малой величиной при условии, что Дифференциал функции с примерами решения стремится к 3; Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения являются бесконечно малыми при условии, что Дифференциал функции с примерами решения стремится к нулю.

Бесконечно малые величины при условии, что независимое переменное стремится к нулю, будем называть «бесконечно малыми», не указывая, а только подразумевая условие Дифференциал функции с примерами решения. Таким образом, будем говорить, что Дифференциал функции с примерами решения, Дифференциал функции с примерами решения, Дифференциал функции с примерами решения являются «бесконечно малыми», а не бесконечно малыми при условии Дифференциал функции с примерами решения.

Приведем примеры геометрического и физического содержания.

Пример:

Площадь Дифференциал функции с примерами решения прямоугольника со сторонами Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малой при любых Дифференциал функции с примерами решения, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Объема Дифференциал функции с примерами решения прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 3, 2 и Дифференциал функции с примерами решения, является бесконечно малым, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Объем Дифференциал функции с примерами решения прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малым, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

По закону Ома Дифференциал функции с примерами решения, где Дифференциал функции с примерами решения — напряжение, Дифференциал функции с примерами решения— сопротивление и Дифференциал функции с примерами решения— ток. Отсюда следует, что при постоянном сопротивлении напряжение является бесконечно малым относительно тока, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пусть дана бесконечно малая величина Дифференциал функции с примерами решения, т. е. Дифференциал функции с примерами решения. Рассмотрим предел отношения Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения:

Дифференциал функции с примерами решения

Если этот предел существует и равен нулю,то бесконечно малая величина Дифференциал функции с примерами решения называется бесконечно малой более высокого порядка, чем Дифференциал функции с примерами решения.

Если предел равен конечному числу Дифференциал функции с примерами решения*, то бесконечно малые Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения называются величинами одного порядка; если Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения называются эквивалентными бесконечно малыми.

* – этот предел может зависеть от других переменных, отличных от Дифференциал функции с примерами решения.

Пример:

Пусть Дифференциал функции с примерами решения. Это бесконечно малая величина порядка более высокого, чем Дифференциал функции с примерами решения, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Пусть Дифференциал функции с примерами решения; Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малая того же порядка, что и Дифференциал функции с примерами решения, поскольку

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения—бесконечно малая, эквивалентная Дифференциал функции с примерами решения, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Пример:

Дифференциал функции с примерами решения. Так как Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Дифференциал функции с примерами решения.

В заключение параграфа рассмотрим функцию Дифференциал функции с примерами решения. Пусть приращение независимого переменного равно Дифференциал функции с примерами решения, тогда приращение функции равно Дифференциал функции с примерами решения. Так как приращение Дифференциал функции с примерами решения независимого переменного Дифференциал функции с примерами решения не зависит от величины Дифференциал функции с примерами решения, то для вычисления Дифференциал функции с примерами решения нужно задать величину Дифференциал функции с примерами решения и величину Дифференциал функции с примерами решения, т. е. приращение функции одного переменного является функцией двух независимых переменных Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Пример:

Пусть дана функция Дифференциал функции с примерами решения. Ее приращение равно Дифференциал функции с примерами решения. Если Дифференциал функции с примерами решения, а Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения. Если же Дифференциал функции с примерами решения и по-прежнему Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения. Здесь Дифференциал функции с примерами решения сохраняет значение 1, но, поскольку Дифференциал функции с примерами решения меняется, изменяется и Дифференциал функции с примерами решения.

Если Дифференциал функции с примерами решения, а Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения. Если же Дифференциал функции с примерами решения, а Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения. Здесь Дифференциал функции с примерами решения сохраняет значение 2, но Дифференциал функции с примерами решения меняется, поэтому меняется и Дифференциал функции с примерами решения.

Если Дифференциал функции с примерами решения—функция непрерывная, то, по определению, ее приращение Дифференциал функции с примерами решения стремится к нулю при условии, что приращение Дифференциал функции с примерами решения независимого переменного Дифференциал функции с примерами решения стремится к нулю. Поэтому, используя введенное понятие бесконечно малой величины, можно сказать, что приращение непрерывной функции есть величина бесконечно малая относительно приращения независимого переменного.

Что такое дифференциал

Пусть дана непрерывная функция Дифференциал функции с примерами решения, имеющая производную. Тогда, по определению производной,

Дифференциал функции с примерами решения

Поэтому, если в правой части откинем знак предела, то получим ошибку, величина которой зависит и от Дифференциал функции с примерами решения и от Дифференциал функции с примерами решения. Обозначим эту ошибку через Дифференциал функции с примерами решения. Тогда вместо равенства (1) можно написать

Дифференциал функции с примерами решения

Про ошибку Дифференциал функции с примерами решения мы знаем, что

Дифференциал функции с примерами решения

Это следует из равенства (1). Значит, ошибка Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малой относительно приращения Дифференциал функции с примерами решения независимого переменного. Если умножим обе части равенства (2) на Дифференциал функции с примерами решения, то получим

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения

В левой части равенства (4) стоит приращение функции Дифференциал функции с примерами решения, а в правой части—два члена: Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения. Оценим порядок малости этих членов:

Дифференциал функции с примерами решения

Очевидно, что первый член Дифференциал функции с примерами решения (если Дифференциал функции с примерами решения) одного порядка с Дифференциал функции с примерами решения, т. е. является линейным относительно Дифференциал функции с примерами решения, а второй член Дифференциал функции с примерами решения является бесконечно малой величиной более высокого порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения. Из равенства (4) получаем, что приращение функции с точностью до бесконечно малой высшего порядка равноДифференциал функции с примерами решения; это выражение называется дифференциалом функции.

Определение дифференциала

Определение: Дифференциал есть та часть приращения функции Дифференциал функции с примерами решения, которая линейна относительно h. Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение независимого переменного. Дифференциал функции обозначают или Дифференциал функции с примерами решения, или Дифференциал функции с примерами решения, так что

Дифференциал функции с примерами решения

Для симметрии записей вводится определение дифференциала независимого переменного.

Определение: Дифференциалом независимого переменного называется его приращение.

Дифференциал независимого переменного обозначается Дифференциал функции с примерами решения, так что имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.

Пример №11

Найдем дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

Так как Дифференциал функции с примерами решения, тоДифференциал функции с примерами решения.

Пример №12

Вычислим значение дифференциала функции Дифференциал функции с примерами решения, если Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

Так как Дифференциал функции с примерами решения, то Дифференциал функции с примерами решения. Подставляя сюда вместо Дифференциал функции с примерами решения его значение 2, а вместо Дифференциал функции с примерами решения его значение 0,1, получим Дифференциал функции с примерами решения

Из определения дифференциала функции следует, что дифференциал функции одного переменного является функцией двух переменных. Из формул (5) и (6) следует, что Дифференциал функции с примерами решения. Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

С этого момента для обозначения производной будем пользоваться и знаком ( )’ и отношением дифференциалов.

Таблица дифференциалов

Дифференциал функции с примерами решения

Таблица дифференциалов функции:

Дифференциал функции с примерами решения

Применение к приближенным вычислениям

Перепишем формулу в следующем виде:

Дифференциал функции с примерами решения

и для начала посмотрим на примере, как будут выглядеть отдельные ее члены при некоторых числовых значениях Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Пример №13

Пусть Дифференциал функции с примерами решения. Положим Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения. Применяя формулу куба суммы, получаем

Дифференциал функции с примерами решения

С другой стороны, применяя формулу (1) и зная, что Дифференциал функции с примерами решения, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Сравнивая формулы Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения, видим, что в левых частях стоит одно и то же, в правых же частях совпадают первые два члена, следовательно, третий член в формуле Дифференциал функции с примерами решения равен двум последним членам в формуле Дифференциал функции с примерами решения, т. е. Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения. Вычислим все члены, встречающиеся в этом примере, при указанных числовых значениях Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения:

Дифференциал функции с примерами решения

Если бы мы захотели вычислить Дифференциал функции с примерами решения не точно, а приближенно с точностью до 0,01, то член Дифференциал функции с примерами решения никакого значения бы не имел, т. е. его можно было бы просто откинуть.

Аналогично в общем случае формулу (1) заменяют приближенной формулой, откидывая бесконечно малую высшего порядка, т. е. член Дифференциал функции с примерами решения. Тогда получается приближенная формула

Дифференциал функции с примерами решения

(знак ≈: обозначает приближенное равенство). Эту формулу имеет смысл употреблять только при малых значениях величины Дифференциал функции с примерами решения, так как в противном случае ошибка может оказаться очень большой.

Приведем примеры применения формулы (2).

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления кубического корня. Возьмем Дифференциал функции с примерами решения, тогда Дифференциал функции с примерами решения. Применяя формулу (2), получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Если положить Дифференциал функции с примерами решения, то полученному результату можно придать следующий вид:

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда видно, что если нам известен кубический корень из числа, то для близких чисел можно с удобством воспользоваться выведенной формулой.

Например, зная, что Дифференциал функции с примерами решения, вычисляем Дифференциал функции с примерами решения. Здесь Дифференциал функции с примерами решения, поэтому получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Сделаем проверку, возведя 10,01 в куб. Видим, что вместо 1003 получили число 1003,003001, т. е. ошибка меньше 0,005.

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления тангенсов малых углов. Так как Дифференциал функции с примерами решения применяя формулу (2), получаем

Дифференциал функции с примерами решения

Зная, что Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения, и полагая в предыдущей формуле Дифференциал функции с примерами решения, найдем

Дифференциал функции с примерами решения

Напоминаем, что здесь Дифференциал функции с примерами решения есть радианная мера угла. Например, вычислим Дифференциал функции с примерами решения. Переведем сначала градусную меру угла в радианную: Дифференциал функции с примерами решения , тогда

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал площади криволинейной трапеции

Определение: Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная с трех сторон прямыми, а с четвертой стороны кривой. При этом две прямые параллельны между собой и перпендикулярны третьей, а кривая пересекается с любой прямой, параллельной боковым сторонам, в одной точке.

Дифференциал функции с примерами решения

Не исключается случай, когда одна или обе боковые стороны обращаются в точку. На рис. 69, 70, 71 изображены криволинейные трапеции. Все плоские фигуры, с которыми нам придется встречаться, могут быть представлены как совокупность криволинейных трапеций. Например, на рис. 72 фигура разбита на четыре криволинейные трапеции.

Дифференциал функции с примерами решения

Конечная наша цель — определить площадь криволинейной трапеции, но пока эту задачу мы еще не можем решить. Однако мы сумеем найти дифференциал площади криволинейной трапеции. Решим эту задачу, предполагая, что трапеция расположена определенным образом.

Пусть дана криволинейная трапеция Дифференциал функции с примерами решения, ограниченная осью Дифференциал функции с примерами решения, двумя прямыми, перпендикулярными этой оси, и кривой, заданной уравнением Дифференциал функции с примерами решения (рис. 73).

Будем считать, что прямая Дифференциал функции с примерами решения неподвижна в процессе всех рассуждений, т. е. абсцисса точки Дифференциал функции с примерами решения есть постоянная величина. Прямую же Дифференциал функции с примерами решения будем двигать, т. е. абсцисса точки Дифференциал функции с примерами решения будет переменной. Обозначим ее через Дифференциал функции с примерами решения.

Ясно, что площадь криволинейной трапеции Дифференциал функции с примерами решения будет изменяться в зависимости от величины Дифференциал функции с примерами решения; значит, площадь есть функция Дифференциал функции с примерами решения. Обозначим ее Дифференциал функции с примерами решения. Этой функции мы не знаем, но несмотря на это найдем ее дифференциал. Дадим Дифференциал функции с примерами решения приращение Дифференциал функции с примерами решения, тогда площадь Дифференциал функции с примерами решения получит приращение Дифференциал функции с примерами решения (это приращение на рис. 73 заштриховано).

При изменении независимого переменного от величины Дифференциал функции с примерами решения до Дифференциал функции с примерами решения (от точки Дифференциал функции с примерами решения до точки Дифференциал функции с примерами решения) функция Дифференциал функции с примерами решения, т. е. ордината точки, лежащей на кривой, также изменяется и при этом достигает наибольшего значения Дифференциал функции с примерами решения и наименьшего значения Дифференциал функции с примерами решения. На рис. 73 Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Рассмотрим прямоугольник с основанием Дифференциал функции с примерами решения и высотой Дифференциал функции с примерами решения, его площадь равна Дифференциал функции с примерами решения. Прямоугольнике тем же основаниемДифференциал функции с примерами решения и высотой Дифференциал функции с примерами решения имеет площадь, равную Дифференциал функции с примерами решения.

Очевидно, что площадь второго прямоугольника Дифференциал функции с примерами решения меньше площади Дифференциал функции с примерами решения первого на величину Дифференциал функции с примерами решения. Также очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше приращения Дифференциал функции с примерами решения, а площадь первого больше этого приращения, так что

Дифференциал функции с примерами решения

Следовательно, приращение Дифференциал функции с примерами решения отличается и от площади первого, и от площади второго прямоугольника на величину, меньшую чем Дифференциал функции с примерами решения. Обозначим разность между приращением Дифференциал функции с примерами решения и площадью Дифференциал функции с примерами решения через Дифференциал функции с примерами решения, тогда

Дифференциал функции с примерами решения

Величина Дифференциал функции с примерами решения меняется вместе с Дифференциал функции с примерами решения и всегда меньше Дифференциал функции с примерами решения. Обозначим через Дифференциал функции с примерами решения разность между площадью Дифференциал функции с примерами решения и приращением Дифференциал функции с примерами решения, получим: Дифференциал функции с примерами решения. Остановимся на формуле (1) и проследим, как меняются ее члены при стремлении Дифференциал функции с примерами решения к нулю.

Предварительно заметим, что, во-первых, всегда, т. е. при любых значениях Дифференциал функции с примерами решения,

Дифференциал функции с примерами решения

и, во-вторых, если Дифференциал функции с примерами решения, то точка Дифференциал функции с примерами решения приближается к точке Дифференциал функции с примерами решения. Точка Дифференциал функции с примерами решения, абсциссу которой обозначим через Дифференциал функции с примерами решения, заключена между Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения поэтому при Дифференциал функции с примерами решения точка Дифференциал функции с примерами решения также приближается к точке Дифференциал функции с примерами решения, следовательно, Дифференциал функции с примерами решения. Функция Дифференциал функции с примерами решения предполагается непрерывной. В силу свойств непрерывной функции (см. гл. VI, § 6) находим

Дифференциал функции с примерами решения

а это значит, что можно записать (см. начало § 2 этой главы)

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения—бесконечно малая относительно Дифференциал функции с примерами решения. Также можно заключить, что

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения—бесконечно малая относительно Дифференциал функции с примерами решения. Исследуем порядок малости членов, стоящих в правой части равенства (1). Для этого найдем следующие пределы:

Дифференциал функции с примерами решения

Первый предел находим непосредственно [применяя (3)]:

Дифференциал функции с примерами решения

Чтобы найти второй предел, найдем сначала [используя (4) и (5)]

Дифференциал функции с примерами решения

Так как Дифференциал функции с примерами решения удовлетворяет неравенству (2), то Дифференциал функции с примерами решения, а в силу равенства (7)

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, установлено, что и Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения являются бесконечно малыми. Кроме того, член Дифференциал функции с примерами решения есть бесконечно малая высшего порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения.

Учитывая все эти рассуждения и применяя равенство (4), можно переписать равенство (1) в виде

Дифференциал функции с примерами решения

В правой части равенства (8) стоят три члена. Каждый из них является бесконечно малым относительно Дифференциал функции с примерами решения: первый из них линеен относительно Дифференциал функции с примерами решения, а два других имеют высший порядок малости.

Применяя результаты, заключаем, что приращение площади криволинейной трапеции равно Дифференциал функции с примерами решения плюс величина высшего порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения, а поэтому дифференциал площади криволинейной трапеции равен Дифференциал функции с примерами решения, т. е.

Дифференциал функции с примерами решения

Этим результатом мы воспользуемся в следующих главах.

Пример:

Найдем дифференциал площади Дифференциал функции с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной осьюДифференциал функции с примерами решения, кривой, заданной уравнением Дифференциал функции с примерами решения прямой Дифференциал функции с примерами решения и подвижной прямой, параллельной оси Дифференциал функции с примерами решения.

Применяя только что полученный результат, будем иметь

Дифференциал функции с примерами решения

Пример №14

Найти производную от площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Дифференциал функции с примерами решения, кривой, заданной уравнением Дифференциал функции с примерами решения, прямой Дифференциал функции с примерами решения и подвижной прямой, параллельной оси Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

Находим дифференциал этой площади: Дифференциал функции с примерами решения, а следовательно и производную:

Дифференциал функции с примерами решения

Применение дифференциала к различным задачам

Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения не зависит от Дифференциал функции с примерами решения, и

Дифференциал функции с примерами решения

Тогда

Дифференциал функции с примерами решения

откуда

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. Дифференциал функции с примерами решения—производная заданной функции.

Пример №15

Найти производную от функции Дифференциал функции с примерами решения, определенной геометрически как объем, ограниченный:

  1. поверхностью Дифференциал функции с примерами решения, полученной от вращения вокруг оси Дифференциал функции с примерами решения дуги Дифференциал функции с примерами решения, принадлежащей параболе Дифференциал функции с примерами решения;
  2. плоскостью Дифференциал функции с примерами решения перпендикулярной оси Дифференциал функции с примерами решения и отстоящей от начала координат на расстояние Дифференциал функции с примерами решения (рис. 74).

Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Ясно, что объем зависит от величины Дифференциал функции с примерами решения, т. е. является функцией Дифференциал функции с примерами решения. Возьмем произвольное число Дифференциал функции с примерами решения. Соответствующее значение функцииДифференциал функции с примерами решения будет определяться объемом, ограниченным поверхностью Дифференциал функции с примерами решения и плоскостью Дифференциал функции с примерами решения Дадим Дифференциал функции с примерами решения приращение Дифференциал функции с примерами решения. Объем, т. е. функция Дифференциал функции с примерами решения, в связи с этим получит приращение Дифференциал функции с примерами решения. Это приращение показано на рис. 75 и отдельно а рис. 76: оно ограничено поверхностью Дифференциал функции с примерами решения и плоскостями Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения. Плоскости Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения пересекаются с поверхностью Дифференциал функции с примерами решения по окружностям (так как Дифференциал функции с примерами решения—поверхность вращения). Обозначим эти окружности Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения.

Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения

Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием Дифференциал функции с примерами решения образующую, параллельную оси Дифференциал функции с примерами решения, и высоту Дифференциал функции с примерами решения; второй имеет основанием Дифференциал функции с примерами решения и образующую, также параллельную оси Дифференциал функции с примерами решения (рис. 77). Объем первого цилиндра обозначим

Дифференциал функции с примерами решения

через Дифференциал функции с примерами решения, а второго — через Дифференциал функции с примерами решения. Из чертежей ясно, что приращение функции Дифференциал функции с примерами решения больше объема Дифференциал функции с примерами решения, и меньше объема Дифференциал функции с примерами решения, т. е. Дифференциал функции с примерами решения. Но объемы Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения легко подсчитать:

Дифференциал функции с примерами решения

Разность объемов Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения (т. е. объем цилиндрического кольца) равна

Дифференциал функции с примерами решения

Приращение Дифференциал функции с примерами решения отличается от Дифференциал функции с примерами решения, на некоторую часть разности Дифференциал функции с примерами решения поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения — некоторое положительное число, меньшее единицы. Так как

Дифференциал функции с примерами решения

то член Дифференциал функции с примерами решения, стоящий в правой части равенства Дифференциал функции с примерами решения, является бесконечно малой высшего порядка малости относительно Дифференциал функции с примерами решения. Поэтому равенство Дифференциал функции с примерами решения является частным случаем равенства Дифференциал функции с примерами решения. Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство Дифференциал функции с примерами решения, т. е. производная от функции Дифференциал функции с примерами решения равна Дифференциал функции с примерами решения.

В этом примере следует обратить внимание на то, что функция Дифференциал функции с примерами решения была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.

Пример №16

Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности Дифференциал функции с примерами решения, радиус внутренней поверхности Дифференциал функции с примерами решения, высота Дифференциал функции с примерами решения. Найдем объем Дифференциал функции с примерами решения материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).

Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен Дифференциал функции с примерами решения, а объем внутреннего равен Дифференциал функции с примерами решения, то объем цилиндрического слоя равен

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения

Если стенка трубы тонкая, то Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через Дифференциал функции с примерами решения. Тогда формула Дифференциал функции с примерами решения примет вид

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения

Второй член, стоящий в правой части равенства Дифференциал функции с примерами решения, второго порядка относительно Дифференциал функции с примерами решения. Поэтому при Дифференциал функции с примерами решения член Дифференциал функции с примерами решения становится бесконечно малой высшего порядка. Отбрасывая его, мы получим приближенную формулу для подсчета объема тонкого цилиндрического слоя:

Дифференциал функции с примерами решения

Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).

Дифференциал функции с примерами решения

Если разрезать трубку вдоль ее образующей и развернуть на плоскость, то получим «почти» прямоугольный параллелепипед с измерениями Дифференциал функции с примерами решения и . Его объем равен Дифференциал функции с примерами решения, т. е. как раз тому, что дает формула Дифференциал функции с примерами решения.

Дифференциал функции и его свойства и геометрический смысл

Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения дифференцируема в некоторой Дифференциал функции с примерами решения-окрестности точки х, т.е. существует конечный предел Дифференциал функции с примерами решения Так как предел конечен, то можно записать приращение функции в виде Дифференциал функции с примерами решения где Дифференциал функции с примерами решения – бесконечно малая функция в изучаемой окрестности данной точки. Сравним первое и второе слагаемые с бесконечно малой функцией Дифференциал функции с примерами решения Для первого слагаемого имеем Дифференциал функции с примерами решения т.е. оно является бесконечно малой функцией того же порядка малости, что и величина Дифференциал функции с примерами решения Для второго слагаемого получаем, что Дифференциал функции с примерами решения те оно является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем величина Дифференциал функции с примерами решения Это означает, что первое слагаемое является главной частью указанной суммы.

Определение: Главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциалом функции: Дифференциал функции с примерами решения

Пример №17

Найти дифференциал функции, Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Используя определение, находим Дифференциал функции с примерами решения

Если Дифференциал функции с примерами решения то ее дифференциал Дифференциал функции с примерами решения Следовательно, дифференциал аргумента равен его приращению: Дифференциал функции с примерами решения Отсюда получаем, что дифференциал функции можно записать в виде Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, для производной можно ввести новую формулу Дифференциал функции с примерами решения Такая форма записи производной очень удобна для вывода различных формул.

Пример №18

Получить формулу производной от сложной функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Используя формулу для производной от функции, записанную в дифференциалах, найдем Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции обладает следующими свойствами:

  • 1. Дифференциал функции с примерами решения ;
  • 2. Дифференциал функции с примерами решения;
  • 3.Дифференциал функции с примерами решения;
  • 4. Дифференциал от сложной функции равен Дифференциал функции с примерами решения.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции (Рис. 73):

Дифференциал функции с примерами решения

Рис. 73. Геометрический смысл дифференциала.

Из рисунка видно, что дифференциал функции с геометрической точки зрения описывает приращение касательной при приращении аргумента Дифференциал функции с примерами решения

Применение дифференциала функции

Пусть дана функция у = f(x), тогда при приращении аргумента Дифференциал функции с примерами решения функция получает приращение Дифференциал функции с примерами решения Это приближенное равенство позволяет по виду функции и известному значению функции в заданной точке вычислить значение функции в приращенной точке:Дифференциал функции с примерами решения

Замечание: Полученное приближенное равенство тем точнее дает значение функции в приращенной точке, чем меньше приращение аргумента.

Пример №19

Вычислить Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

В данном примере задана функция Дифференциал функции с примерами решения В качестве точки х выбираем значение х = 4, из которого легко извлекается квадратный корень: Дифференциал функции с примерами решенияПриращенной точкой является точка Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, приращение аргумента равно Дифференциал функции с примерами решения Производная от заданной функции согласно таблице производных Дифференциал функции с примерами решения Следовательно, Дифференциал функции с примерами решения

Пример №20

Вычислить Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

В этом примере Дифференциал функции с примерами решения Следовательно, Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциалы и производные высших порядков

Пусть дана функция Дифференциал функции с примерами решения тогда согласно определению ее дифференциал равен Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал аргумента dx равен его приращению и не зависит от переменной х. Однако производная функции Дифференциал функции с примерами решения в общем случае является функцией аргумента х. В связи с этим дифференциал функции является функцией аргумента х. Следовательно, можно поставить вопрос о дифференцируемости дифференциала функции.

Определение: Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом функции: Дифференциал функции с примерами решения

Определение: Производная от первой производной функции называется второй производной функции, т.е. Дифференциал функции с примерами решения

Пример №21

Вывести формулу второй производной от параметрически заданной функции.

Решение:

Воспользуемся формулой:

Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, вторая производная от параметрически заданной функции задается системой Дифференциал функции с примерами решения Аналогично вводятся дифференциалы и производные высших порядков: Дифференциал функции с примерами решения и так далее.

Замечание: Отметим, что обозначение производной, начиная с четвертой, берется в скобки.

Замечание: Производные высших порядков могут быть записаны в виде Дифференциал функции с примерами решения и т. д.

Пример №22

Найти второй дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Используя формулу для второго дифференциала, найдем вторую производную от заданной функцииДифференциал функции с примерами решения Следовательно, второй дифференциал равен Дифференциал функции с примерами решения

Пример №23

Найти n-ую производную от функции Дифференциал функции с примерами решения

Вычислим последовательно первую Дифференциал функции с примерами решения вторую Дифференциал функции с примерами решения и третью производные Дифференциал функции с примерами решения Используя последовательное дифференцирование, найдем n-ую производную от функции Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Определение: Произведение чисел от 1 до n, равное n!, называется факториалом.

Пример №24

Найти n-ую производную от функции Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Вычислим последовательно первую Дифференциал функции с примерами решения вторую Дифференциал функции с примерами решения и третью производные Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, n-ая производная от функции Дифференциал функции с примерами решения равна самой функции.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма

Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции.

Теорема 12.5.1. (теорема Ферма). Пусть функция f(x) определена на некотором интервале (а. b) ив точке Дифференциал функции с примерами решения принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале. Тогда, если в точке Дифференциал функции с примерами решения существует производная Дифференциал функции с примерами решениято она равна нулю.

Доказательство: Пусть для определенности функция f принимает в точке Дифференциал функции с примерами решениянаибольшее значение, т.е.Дифференциал функции с примерами решения для всех Дифференциал функции с примерами решения. Тогда для разностного отношения справедливы неравенства:

Дифференциал функции с примерами решения

Предположим, что в точкеДифференциал функции с примерами решениясуществует производная функции f т.е. существует предел

Дифференциал функции с примерами решения

Тогда из неравенства (12.5.1) следует, что производная справа Дифференциал функции с примерами решения а. из неравенства (12.5.2)- что производная слеваДифференциал функции с примерами решения. Поскольку производная существует, то производная справа должна бьггь равна производной слева. Равенство производных может бьггь в том случае, если производная функцииДифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения равна нулю: Дифференциал функции с примерами решения

Геометрически, теорема Ферма означает, что если в точкеДифференциал функции с примерами решения функция f принимает наибольшее или наименьшее значения, то касательная в точке Дифференциал функции с примерами решения к графику функции параллельна оси Ох (рис. 12.2).

Дифференциал функции с примерами решения

Заметим, что если функция f определена на отрезкеДифференциал функции с примерами решения, то в случае, когда она принимает наибольшее или наименьшее значение на одном из концов а или b, и когда в этой точке существует производная, то она, вообще говоря, не равна нулю.

Дифференциал функции с примерами решения

Например, функция у=х на отрезке [0, 1] достигает наибольшего и наименьшего значений в точке х=1 и х=0 (рис. 12.3) и в этих двух точках производная не обращается в нуль, хотя производная в этих I очках существует.

Теорема Ролля

Теорема: Пусть дана функция f(х), которая

  • непрерывна на сегменте [a; b];
  • дифференцируема на открытом интервале (a; b);
  • на концах сегмента принимает равные значения Дифференциал функции с примерами решения

Тогда существует хотя бы одна точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство: Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что внутри сегмента Дифференциал функции с примерами решения есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна оси абсцисс (Ох), так как в этой точке производная Дифференциал функции с примерами решения (Рис. 74). Дифференциал функции с примерами решения

Рис. 74. Геометрический смысл теоремы Ролля.

В силу того, что функция f(х) непрерывна на сегменте Дифференциал функции с примерами решения, то по теореме о непрерывных функциях она достигает своего наименьшего m и наибольшего M значений на этом интервале. Рассмотрим два возможных случая:

Вычисляя пределы от полученных неравенств при Дифференциал функции с примерами решения получим Дифференциал функции с примерами решения

Так как производная функции в точке с не может быть одновременно и положительной, и отрицательной, то в этой точке она равна нулю, т.е. Дифференциал функции с примерами решенияАналогично теорема доказывается, если в точке с функция достигает наименьшего значения.

Замечание: Для выполнения теоремы Ролля важны все три вышеперечисленных условия. Приведем примеры нарушения одного из условий теоремы Ролля Дифференциал функции с примерами решения

Рис. 75. Примеры нарушения одного из условий теоремы Ролля. В случае а) значения функции на концах не равны между собой; в случае б) функция терпит разрыв первого рода в точке с; в случае в) функция не дифференцируема в точке с.

Определение: Точки, в которых первая производная функции равна нулю, называются критическими (стационарными или подозрительными на экстремум).

Теорема: (теорема Ферма). Необходимым условием существования экстремума в точке л- функции f(х), которая непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b), является обращение в нуль в этой точке первой производной функции, Дифференциал функции с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Дополнительное объяснение теоремы Ролля:

Теорема 12.6.1. (теорема Ролля) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеДифференциал функции с примерами решения, дифференцируема на интервале (а,b) и f(а)

=f(b). Тогда внутри отрезка найдется точка , такая, что значение производной в этой точке равно нулю:Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство. Согласно теореме 10.9.2 непрерывная на отрезке Дифференциал функции с примерами решения функция достигает на этом отрезке своего наибольшего М и наименьшего т значений. Если оба значения достигаются на концах отрезкгц/го они равны ио условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на Дифференциал функции с примерами решения. Производная такой функции в любой точке интервала (а,b) равна нулю и, следовательно, в качестве точки Дифференциал функции с примерами решенияможно брать любую точку.

В случае, когда М >m и Дифференциал функции с примерами решения. то хотя бы одно из двух значений М или m достигается в некоторой внутренней точке Дифференциал функции с примерами решения отрезкаДифференциал функции с примерами решения. Тогда, по теореме Ферма, производная функции будет равна нулю в этой точке, так как в этой точке она имеет производную. Дифференциал функции с примерами решения

Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис. 12.4): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка интервала (а,b), в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, поскольку в этой точке производная равна нулю.Дифференциал функции с примерами решения

Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа

Теорема Лагранжа

ТЗ. Пусть функция f(х) непрерывна на сегменте [a; b] и дифференцируема на открытом интервале (a; b). Тогда существует хотя бы одна точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство: Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что внутри сегмента [a; b] есть, по крайней мере, одна такая точка с, в которой касательная к графику функции f(х) параллельна секущей, соединяющей крайние точки графика функции (Рис. 76): Дифференциал функции с примерами решения

Рис. 76. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Составим уравнение секущей AВ, угловой коэффициент которой равен Дифференциал функции с примерами решенияТак как эта прямая проходит через точку Дифференциал функции с примерами решения то ее уравнение имеет вид Дифференциал функции с примерами решения Составим вспомогательную функцию Дифференциал функции с примерами решения В силу того, что эта функция составлена из непрерывных на сегменте Дифференциал функции с примерами решения и дифференцируемых на открытом интервале Дифференциал функции с примерами решения функций, следовательно, функция Дифференциал функции с примерами решения непрерывна на сегменте Дифференциал функции с примерами решения и дифференцируема на открытом интервале Дифференциал функции с примерами решения. Кроме того, легко видеть, что на концах сегмента Дифференциал функции с примерами решения она принимает равные значения, т.е. имеем Дифференциал функции с примерами решения Отсюда находим, что функция Дифференциал функции с примерами решения удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, существует, по крайней мере, одна точка Дифференциал функции с примерами решения в которой Дифференциал функции с примерами решения Откуда следует утверждение теоремы Лагранжа Дифференциал функции с примерами решения

Дополнительное объяснение теоремы Лагранжа:

Теорема 12.7.1. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеДифференциал функции с примерами решенияи дифференцируема на интервале (а;b). Тогда внутри отрезка Дифференциал функции с примерами решения существует точкаДифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство. Введем на отрезке Дифференциал функции с примерами решения новую функцию Дифференциал функции с примерами решения

где число X выберем таким образом, чтобыДифференциал функции с примерами решения, т.е. чтобы

Дифференциал функции с примерами решения. Для этого достаточно взять Дифференциал функции с примерами решения

тогда функция F(x) примет вид;

Дифференциал функции с примерами решения

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке Дифференциал функции с примерами решения, дифференцируема на интервале (а,b) и F(a) = F(b) = 0. Следовательно, существует точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения,T.e.

Дифференциал функции с примерами решения

Откуда следует, чтоДифференциал функции с примерами решения. Теорема доказана.

Формулу (12.7.1) называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис. 12.5.

Заметим, что отношение Дифференциал функции с примерами решения является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки Дифференциал функции с примерами решения кривой Дифференциал функции с примерами решения это угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку Дифференциал функции с примерами решения. Из теоремы Лагранжа следует, что на кривойДифференциал функции с примерами решения между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ.

Дифференциал функции с примерами решения

Следствие 12.7.1. Если функция f определена на некотором отрезке, имеет производную, равную нулю во всех внутренних точках и непрерывна на концах отрезка, то она постоянна на рассматриваемом отрезке.

Действительно, каковы бы ни были точки Дифференциал функции с примерами решениярассматриваемого промежутка, функция f удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке Дифференциал функции с примерами решения и> значит,Дифференциал функции с примерами решения

Но Дифференциал функции с примерами решения и следовательно,Дифференциал функции с примерами решения для любых двух точек Дифференциал функции с примерами решения из области определения функции f, что и означает, что f постоянна.

Следствие 12.7.2. Если две функции f и g дифференцируемы во всех внутренних точках некоторого отрезка и Дифференциал функции с примерами решения в этих точках, а на концах отрезка функции f и g непрерывны, то они отличаются лишь на постоянную величину: Дифференциал функции с примерами решения

Действительно, функция Дифференциал функции с примерами решения удовлетворяет следствию 12.7.1, т.е. Дифференциал функции с примерами решения во всех внутренних точках отрезка, поэтому Дифференциал функции с примерами решения.

Теорема Коши

Теорема 12.8.1. (Теорема Коши) Пусть функции f и g определены, непрерывны на отрезке Дифференциал функции с примерами решения и дифференцируемы на интервале (а;b), причем Дифференциал функции с примерами решения на интервале (а;b). Тогда внутри отрезка [а;b] существует точкаДифференциал функции с примерами решения такая, что выполняется равенство:

Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство’. Заметим, что так как функция g удовлетворяет теореме Лагранжа, то на интервале Дифференциал функции с примерами решения существует точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что выполняется равенство Дифференциал функции с примерами решения,

ПосколькуДифференциал функции с примерами решения, на интервале (a,b), то и Дифференциал функции с примерами решения следовательно,Дифференциал функции с примерами решения.

Введем на отрезке [а,Ь] вспомогательную функцию F(x):

Эта функция непрерывна на отрезке [а;b] как разность непрерывных функций, дифференцируема на интервале (а,b) и на концах отрезка принимает значения Дифференциал функции с примерами решения. По теореме Ролля существует точка Дифференциал функции с примерами решения, такая, что: Дифференциал функции с примерами решения. ПосколькуДифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения

Учитывая, что Дифференциал функции с примерами решения, отсюда получаем формулу Коши:

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа для случая когда х = g(x).

Правило Лопиталя

Теорема: Если функции f(х) и g(x) непрерывны на сегменте Дифференциал функции с примерами решения, дифференцируемы на открытом интервале Дифференциал функции с примерами решения и при Дифференциал функции с примерами решения одновременно стремятся к нулю или бесконечности (Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения), то для раскрытия неопределенности Дифференциал функции с примерами решения применяется формула Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство: Докажем случай, когда при Дифференциал функции с примерами решения функции Дифференциал функции с примерами решения то есть в точке Дифференциал функции с примерами решения функции имеют значение Дифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения(по теореме Лагранжа)Дифференциал функции с примерами решения (в силу произвольности точки с)= Дифференциал функции с примерами решения

Замечание: Теорема Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей вида Дифференциал функции с примерами решения или Дифференциал функции с примерами решения. Для раскрытия других типов неопределенностей, они должны путем тождественных преобразований вначале приведены к одной из двух указанных неопределенностей, после чего можно применять правило Лопиталя.

Замечание: При применении правила Лопиталя производная дерется отдельно от числителя и отдельно от знаменателя дроби.

Пример №25

Вычислить Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

Так как Дифференциал функции с примерами решения(применим правило Лопиталя)Дифференциал функции с примерами решения

Пример №26

ВычислитьДифференциал функции с примерами решения

Решение:

Дифференциал функции с примерами решения

Замечание: При необходимости правило Лопиталя применяется повторно.

Пример №27

Вычислить Дифференциал функции с примерами решения

Решение:

В данном примере имеем дело с неопределенностью Дифференциал функции с примерами решения Предположим, что данный предел существует и равен А, т.е. Дифференциал функции с примерами решения Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства Дифференциал функции с примерами решения(применим правило Лопиталя)= Дифференциал функции с примерами решения Отсюда находим предельное значение заданной функции Дифференциал функции с примерами решения

Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной

Теорема: Если функция имеет дифференциал, то эта функция имеет также и производную.

Доказательство: В самом деле, пусть дана некоторая функция у = f(x) и пусть

Дифференциал функции с примерами решения

есть дифференциал этой функции. Согласно формуле (2), приращение Дифференциал функции с примерами решения может быть записано в следующем виде;

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малая при Дифференциал функции с примерами решения. Отсюда Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. производная у’ существует и равна величине k.

Следствие. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на приращение независимой переменной, т. е.

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема: Если функция имеет производную, то эта функция имеет также и дифференциал.

Доказательство: Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения имеет производную

Дифференциал функции с примерами решения

Отсюда Дифференциал функции с примерами решения, где Дифференциал функции с примерами решения — бесконечно малая при Ах 0 и, Ах

следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

В сумме (2) первое слагаемое Дифференциал функции с примерами решения, очевидно, представляет собой главную линейную часть приращения Дифференциал функции с примерами решения, т. е. является дифференциалом функции у. Таким образом, функция имеет дифференциал

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема доказана.

Замечание. Теперь понятно, почему функция от одной независимой переменной, имеющая производную, называется дифференцируемой.

До сих пор мы пользовались понятием дифференциала функции. Введем понятие дифференциала независимой переменной.

Определение: Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т. е. функции у = х. Так как

Дифференциал функции с примерами решения

то согласно формуле (1) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой независимой переменной.

Пользуясь этим последним свойством, формулу (1) можно переписать в следующем симметричном виде:

Дифференциал функции с примерами решения

Итак, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Разделив обе части последней формулы на dx, получим

Дифференциал функции с примерами решения

Иными словами, производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу независимой переменной.

До сих пор обозначение Дифференциал функции с примерами решения имело символический характер;

сейчас это выражение мы можем рассматривать как обычную дробь с числителем dy и знаменателем dx.

Физическое значение дифференциала

Пусть известен закон движения точки М по оси Ох:

Дифференциал функции с примерами решения

где х — расстояние точки М от начала отсчета О, t — время, причем будем предполагать, что точка М движется в одном и том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени dt точка М переместится в точку М’, пройдя при этом путь

Дифференциал функции с примерами решения

Это есть истинное приращение пути.

Дифференциал пути dx согласно формуле (4) из равен

Дифференциал функции с примерами решения

Но Дифференциал функции с примерами решения, представляющая собой производную пути по времени, есть скорость движения v в момент времени t; поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, дифференциал пути равен тому фиктивному приращению пути, которое получится, если предположить, что начиная с данного момента времени точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Например, если спидометр автомобиля показывает 60 км/ч, то шофер, рассчитывая, что за 1 мин пробег машины составит 1 км, фактически вычисляет не приращение пути за 1 мин (которое вследствие неравномерности движения может быть не равно 1 км!), а дифференциал пути.

Приближенное вычисление малых приращений функции

Если Дифференциал функции с примерами решения мало по абсолютной величине, то для дифференцируемой функции fix) ее приращение

Дифференциал функции с примерами решения

отличается от дифференциала

Дифференциал функции с примерами решения

на величину, бесконечно малую относительно Ах. Отсюда имеем приближенное равенство

Дифференциал функции с примерами решения

Эти равенства весьма полезны при приближенных расчетах. Заметим, что формула (1′) представляет собой линейный член формулы Тейлора.

Пример №28

Найти Дифференциал функции с примерами решения.

Решение:

Полагая в формуле Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решениябудем иметь Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения

По таблицам же находим Дифференциал функции с примерами решения = 1,032.

Рассмотрим еще одну задачу, важную для приближенных вычислений.-

Пример №29

Для данной функции

Дифференциал функции с примерами решения

предельная абсолютная погрешность ее аргумента х равна Дифференциал функции с примерами решения, т. е.

Дифференциал функции с примерами решения

Каковы предельные абсолютная Дифференциал функции с примерами решения и относительная Дифференциал функции с примерами решения погрешности функции у?

Решение:

Из формулы (1) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

следовательно, при Дифференциал функции с примерами решения можно принять

Дифференциал функции с примерами решения

Пример №30

Угол х = 60° определен с точностью до 1°. Как отразится это обстоятельство на синусе угла?

Решение:

Здесь Дифференциал функции с примерами решения. Поэтому ошибка для у = sin х на основании формулы (2), где у’ = cos х, может достигать величины Дифференциал функции с примерами решения. ‘

Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции

Введем понятие эквивалентных или асимптотически равных бесконечно малых функций.

Определение: Две бесконечно малые функции Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения называются эквивалентными или равносильными при Дифференциал функции с примерами решения, если предел их отношения равен единице, т. е. тогда, когда

Дифференциал функции с примерами решения

Для обозначения равносильности бесконечно малых Дифференциал функции с примерами решения употребляется знак эквивалентности а именно, пишут Дифференциал функции с примерами решения.

Так, например,

Дифференциал функции с примерами решения

при Дифференциал функции с примерами решения, так как

Дифференциал функции с примерами решения

Заметим, что если бесконечно малые Дифференциал функции с примерами решения эквивалентны, то разность между ними есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них.

В самом деле, если Дифференциал функции с примерами решения, то имеем

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. Дифференциал функции с примерами решения имеет порядок выше, чем Дифференциал функции с примерами решения. Аналогичное рассуждение можно провести также и для а.

Обратно, если разность двух бесконечно малых а и (3 есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с одной из них, то эти бесконечно малые эквивалентны.

Действительно, предполагая, например, что

Дифференциал функции с примерами решения

получаем Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

В частности, отбрасывая {или прибавляя) от бесконечно малой бесконечно малую высшего порядка, получаем величину, равносильную исходной.

Например, при Дифференциал функции с примерами решения имеем Дифференциал функции с примерами решения.

Отметим важное свойство эквивалентных бесконечно малых.

Теорема: При нахождении предела отношения двух бесконечно малых данные бесконечно малые можно заменять эквивалентными им (предполагая, что предел отношения последних, конечный или бесконечный, существует).

Доказательство: Действительно, пусть Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения. Имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Переходя к пределу в тождестве (1), получим

Дифференциал функции с примерами решения

Пример №31

Так как при Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения (поскольку Дифференциал функции с примерами решения), то

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема: Бесконечно малое приращение функции эквивалентно дифференциалу этой функции при всех значениях независимой переменной у для которых производная функции конечна и отлична от нуля.

Доказательство: В самом деле, если функция у = f(x) дифференцируема, то из формулы (2) имеем

Дифференциал функции с примерами решения

где а — бесконечно мало при Дифференциал функции с примерами решения.

Так как согласно условию теоремы при Дифференциал функции с примерами решения имеем Дифференциал функции с примерами решения, то

Дифференциал функции с примерами решения

Следовательно,

Дифференциал функции с примерами решения

т. е. бесконечно малые Дифференциал функции с примерами решения и dy эквивалентны при Дифференциал функции с примерами решения Пример. Пусть f(x) = Дифференциал функции с примерами решения. Имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Поэтому

Дифференциал функции с примерами решения

Замечание. Вообще, если функция f(x) дифференцируема в точке х = 0, то при Дифференциал функции с примерами решения имеем

Дифференциал функции с примерами решения

Из формулы (3), в частности, при Дифференциал функции с примерами решения, получаем:

а)sin х ~ х;

б)ах – 1 ~ х In а (а > 0);

в)1n(1 + х) ~ х.

Что такое дифференцируемость функции

Определение 6.1. Функция Дифференциал функции с примерами решения называется дифференцируемой в точке Дифференциал функции с примерами решения если ее приращение в этой точке Дифференциал функции с примерами решения может быть представлено в виде

Дифференциал функции с примерами решения   (6.1)

где Дифференциал функции с примерами решения – некоторое действительное число, а Дифференциал функции с примерами решения – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения

Теорема 6.1. Для того чтобы функция Дифференциал функции с примерами решения была дифференцируемой в точке Дифференциал функции с примерами решения необходимо и достаточно, чтобы в точке Дифференциал функции с примерами решения существовала конечная производная Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство.

Необходимость. Если функция Дифференциал функции с примерами решения дифференцируема в точке Дифференциал функции с примерами решения то из определений 6.1 и 5.1

Дифференциал функции с примерами решения

Достаточность. Если Дифференциал функции с примерами решения то по теореме 5.1 в окрестности точки  Дифференциал функции с примерами решениясправедливо равенство

Дифференциал функции с примерами решения где Дифференциал функции с примерами решения – БМФ при Дифференциал функции с примерами решения 

Умножив обе части равенства на Дифференциал функции с примерами решения получим (6.1). 

С учетом теоремы 6.1 и равенства Дифференциал функции с примерами решения формулу (6.1) можно переписать в виде

Дифференциал функции с примерами решения (6.2)

откуда при Дифференциал функции с примерами решения получим

Дифференциал функции с примерами решения

Следовательно, при Дифференциал функции с примерами решения будем иметь 

Дифференциал функции с примерами решения

где Дифференциал функции с примерами решения называется главной линейной относительно приращения переменной Дифференциал функции с примерами решения частью приращения функции Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения

Определение 6.2. Главная линейная часть приращения функции Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения называется дифференциалом Дифференциал функции с примерами решения функции в этой точке, т. е. Дифференциал функции с примерами решения или Дифференциал функции с примерами решения Если Дифференциал функции с примерами решения т.е. Дифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения

Заметим, что если рассмотреть функцию Дифференциал функции с примерами решения то в этом случае Дифференциал функции с примерами решения и, следовательно, Дифференциал функции с примерами решения т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны между собой: Дифференциал функции с примерами решения Поэтому дифференциал функции Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения можно представить в виде

Дифференциал функции с примерами решения

Геометрический смысл дифференциала следует из формулы (6.2), рис. 6.1. Согласно принятым обозначениям:

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции равен приращению Дифференциал функции с примерами решения ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой Дифференциал функции с примерами решения при приращении аргумента Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной:

Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения откуда следует Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения откуда следует Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

Пусть для функции Дифференциал функции с примерами решения переменная Дифференциал функции с примерами решения Если рассматривать Дифференциал функции с примерами решения как независимую переменную, то Дифференциал функции с примерами решения где Дифференциал функции с примерами решения Если рассматривать как независимую переменную Дифференциал функции с примерами решения то

Дифференциал функции с примерами решения

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Основные теоремы дифференциального исчисления

Определение 7.1. Функция Дифференциал функции с примерами решения имеет в точке Дифференциал функции с примерами решения локальный максимум {локальный минимум), если Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Если функция Дифференциал функции с примерами решения определена на отрезке Дифференциал функции с примерами решения и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка, такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом.

Определение 7.2. Точка Дифференциал функции с примерами решения из области определения функции Дифференциал функции с примерами решения называется критической (стационарной) точкой, если производная функции в этой точке обращается в нуль Дифференциал функции с примерами решения или не существует.

Теорема 7.1 (Ферма). Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения определена на Дифференциал функции с примерами решения и в некоторой точке Дифференциал функции с примерами решения имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке Дифференциал функции с примерами решения существует конечная производная Дифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство.

Пусть в точке Дифференциал функции с примерами решения функция Дифференциал функции с примерами решения имеет локальный минимум, т. е. Дифференциал функции с примерами решения для Дифференциал функции с примерами решения Тогда в силу дифференцируемости функции Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

откуда Дифференциал функции с примерами решения

при Дифференциал функции с примерами решения

Дифференциал функции с примерами решения

откуда Дифференциал функции с примерами решения

Существование производной возможно лишь при Дифференциал функции с примерами решения откуда Дифференциал функции с примерами решения

Замечание 7.1. В доказательстве теоремы существенно, что Дифференциал функции с примерами решения так как односторонние производные на концах отрезка могут быть отличны от нуля.

Геометрический смысл теоремы Ферма. Если Дифференциал функции с примерами решения -точка локального экстремума функции Дифференциал функции с примерами решения и существует конечная производная Дифференциал функции с примерами решения то касательная, проведенная к графику функции в точке Дифференциал функции с примерами решения параллельна оси Дифференциал функции с примерами решения

Теорема 7.2 (Ролля). Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения

1) определена и непрерывна на отрезке Дифференциал функции с примерами решения

2) дифференцируема для Дифференциал функции с примерами решения

3) Дифференциал функции с примерами решения

Тогда найдется точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Если функция Дифференциал функции с примерами решения на отрезке Дифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения для Дифференциал функции с примерами решения

2. Пусть Дифференциал функции с примерами решения По условию Дифференциал функции с примерами решения непрерывна на отрезке Дифференциал функции с примерами решения и, согласно теореме Вейерштрасса, достигает наибольшего Дифференциал функции с примерами решения и наименьшего Дифференциал функции с примерами решения значений.

Так как Дифференциал функции с примерами решения то значения Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения не достигаются одновременно на концах отрезка, т. е. хотя бы одно из значений достигается в точке Дифференциал функции с примерами решения Согласно теореме Ферма Дифференциал функции с примерами решения  

Замечание 7.2. Все условия теоремы Ролля существенны.

Геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы внутри отрезка Дифференциал функции с примерами решения обязательно найдется хотя бы одна точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что касательная к графику функции Дифференциал функции с примерами решения в точке Дифференциал функции с примерами решения параллельна оси Дифференциал функции с примерами решения

Теорема 7.3 (Коши). Пусть заданы функции Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения и пусть:

1) они определены и непрерывны на отрезке Дифференциал функции с примерами решения

2) дифференцируемы для Дифференциал функции с примерами решения

3) Дифференциал функции с примерами решения

Тогда найдется точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что

Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство.

Очевидно, что Дифференциал функции с примерами решения так как в противном случае функция Дифференциал функции с примерами решенияудовлетворяла бы теореме Ролля и нашлась бы точка Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения а это противоречит условию Дифференциал функции с примерами решения на интервале Дифференциал функции с примерами решения

Введем вспомогательную функцию

Дифференциал функции с примерами решения

Функция Дифференциал функции с примерами решения

1) определена и непрерывна на Дифференциал функции с примерами решения

2) Дифференциал функции с примерами решения т. е. существует на интервале Дифференциал функции с примерами решения

3) Дифференциал функции с примерами решения

Следовательно, по теореме Ролля, для функции Дифференциал функции с примерами решения найдется точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что Дифференциал функции с примерами решения Тогда

Дифференциал функции с примерами решения

откуда

Дифференциал функции с примерами решения

Теорема 7.4 (Лагранжа о среднем). Пусть функция Дифференциал функции с примерами решениянепрерывна на отрезке Дифференциал функции с примерами решения дифференцируема на интервале Дифференциал функции с примерами решения Тогда найдется точка Дифференциал функции с примерами решения такая, что

Дифференциал функции с примерами решения

или

Дифференциал функции с примерами решения    (7.1)

Доказательство.

Рассмотрим наряду с функцией Дифференциал функции с примерами решения функцию Дифференциал функции с примерами решения Обе функции удовлетворяют условиям теоремы Коши. Тогда

Дифференциал функции с примерами решения

Из последнего равенства легко получается формула (7.1).

Замечание 7.3. Формула Лагранжа (7.1) часто записывается в виде

Дифференциал функции с примерами решения (7.2)

гдеДифференциал функции с примерами решения– некоторое число, при котором Дифференциал функции с примерами решения

Если в (7.2) принять Дифференциал функции с примерами решения то

Дифференциал функции с примерами решения

Геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

При выполнении условий теоремы на интервале Дифференциал функции с примерами решения найдется точка с такая, что касательная к графику функции Дифференциал функции с примерами решенияв точке Дифференциал функции с примерами решения будет параллельна секущей, проходящей через точки Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения

Следствие 7.1. Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения непрерывна на отрезке Дифференциал функции с примерами решениядифференцируема на интервале Дифференциал функции с примерами решения Если Дифференциал функции с примерами решения Дифференциал функции с примерами решения то функция Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство.

Пусть Дифференциал функции с примерами решения – любая фиксированная точка из интервала Дифференциал функции с примерами решения -любая точка из Дифференциал функции с примерами решения К отрезку Дифференциал функции с примерами решения применим теорему Лагранжа для функции Дифференциал функции с примерами решения Так как Дифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения для Дифференциал функции с примерами решения СледовательноДифференциал функции с примерами решения на Дифференциал функции с примерами решения

Следствие 7.2. Пусть функции Дифференциал функции с примерами решения и Дифференциал функции с примерами решения непрерывны на Дифференциал функции с примерами решениядифференцируемы на Дифференциал функции с примерами решения Тогда

Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство.

Так как функция Дифференциал функции с примерами решения непрерывна и дифференцируема на Дифференциал функции с примерами решениясогласно условию, то

Дифференциал функции с примерами решения

Согласно следствию 7.1, Дифференциал функции с примерами решения

Следствие 7.3. Пусть функция Дифференциал функции с примерами решения непрерывна на отрезке Дифференциал функции с примерами решениядифференцируема на интервале Дифференциал функции с примерами решения Тогда если Дифференциал функции с примерами решения то функция Дифференциал функции с примерами решения строго монотонно возрастает на Дифференциал функции с примерами решения если Дифференциал функции с примерами решения – строго монотонно убывает на Дифференциал функции с примерами решения

Доказательство.

Пусть Дифференциал функции с примерами решения Рассмотрим Дифференциал функции с примерами решения такие, что Дифференциал функции с примерами решения

По теореме Лагранжа Дифференциал функции с примерами решения где Дифференциал функции с примерами решения Так как Дифференциал функции с примерами решения то Дифференциал функции с примерами решения Тогда Дифференциал функции с примерами решения откуда Дифференциал функции с примерами решения при Дифференциал функции с примерами решения Таким образом, при Дифференциал функции с примерами решения функция строго монотонно возрастает на Дифференциал функции с примерами решения

Случай Дифференциал функции с примерами решения доказывается аналогично. 

Правила и формулы дифференцирования

Дифференциал функции с примерами решения
Если Дифференциал функции с примерами решения

Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке возрастает.

Если производная функции в каждой точке промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает.

Если производная в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

Внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Критическая точка Дифференциал функции с примерами решения при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами.

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции Дифференциал функции с примерами решенияотрицательная Дифференциал функции с примерами решения на интервале Дифференциал функции с примерами решения то кривая Дифференциал функции с примерами решения выпуклая на данном интервале, если вторая производная положительная Дифференциал функции с примерами решения то кривая вогнутая на Дифференциал функции с примерами решения

Если при переходе через точку Дифференциал функции с примерами решения производная Дифференциал функции с примерами решения меняет знак, то точка Дифференциал функции с примерами решения является точкой перегиба кривой Дифференциал функции с примерами решения

Прямая Дифференциал функции с примерами решения называется асимптотой кривой Дифференциал функции с примерами решения если расстояние Дифференциал функции с примерами решения от точки Дифференциал функции с примерами решения кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки Дифференциал функции с примерами решения в бесконечность.

Прямая Дифференциал функции с примерами решениявертикальная асимптота кривой Дифференциал функции с примерами решения если Дифференциал функции с примерами решения либо не существует предела в точке Дифференциал функции с примерами решения Если существует конечный предел  Дифференциал функции с примерами решения то прямая Дифференциал функции с примерами решениягоризонтальная асимптота кривой Дифференциал функции с примерами решения

Уравнение наклонной асимптоты: Дифференциал функции с примерами решенияДифференциал функции с примерами решения Если оба записанные пределы существуют, то существует наклонная асимптота.

  • Дифференцируемые функции
  • Техника дифференцирования
  • Дифференциальная геометрия
  • Логарифмическая функция, её свойства и график
  • Предел функции на бесконечности
  • Применение производной к исследованию функции
  • Приложения производной
  • Производные высших порядков

Понятие дифференциала функции:

Известно, что если функция Дифференциал, дифференцируема в некоторой точке Дифференциал, то ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

Дифференциал

где функция Дифференциал такова, что

Дифференциал

Слагаемое Дифференциал является линейной функцией от Дифференциал, а слагаемое Дифференциал есть бесконечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая Дифференциал. Поэтому говорят, что величина Дифференциал: составляет главную часть приращения функции Дифференциал в точке Дифференциал.

Определение:

Дифференциалом функции Дифференциал в точке Дифференциалназывается линейная относительно Дифференциал функция Дифференциалсоставляющая главную часть приращения функции Дифференциал в точке Дифференциал.

Дифференциал функции обозначается Дифференциал («де эф от икс нулевое) или Дифференциал («де игрек»)»

Таким образом,

Дифференциал

или

Дифференциал

Пример:

Найти дифференциал функции Дифференциал.

Решение:

По формуле (3) имеем:

Дифференциал

Итак, дифференциал Дифференциал независимого переменного Дифференциалсовпадает с его приращением Дифференциал. Поэтому равенство (3) можно записать в виде

Дифференциал

Пример:

Найти дифференциал сложной функции Дифференциал.

Решение:

По формуле (4) находим:

Дифференциал

Но — Дифференциал поэтому,

Дифференциал

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент данной функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример:

Найти дифференциал функции

Дифференциал

Решение:

По формуле (4) находим:

Дифференциал

Геометрический смысл дифференциала

Пусть Дифференциал — дифференцируемая в точке Дифференциал функция, график которой изображен на рис. 74, Дифференциал — касательная к графику функции Дифференциал в точке Дифференциал с абсциссой Дифференциал. Рассмотрим ординату этой касательной, соответствующую абсциссе Дифференциал.

Из прямоугольного треугольника Дифференциал находим Дифференциал . По этому

Дифференциал

Таким образом, дифференциал функции Дифференциал в точке Дифференциал равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке Дифференциал, соответствующему приращению ее абсциссы Дифференциал.

Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости.

Дифференциал

Дифференциал может быть как меньше приращения функции (см. рис. 74), так и больше (рис. 75). Однако при достаточно малых приращениях Дифференциал можно

Дифференциал

принять Дифференциал. Этот вывод следует и из равенств (1) и (2) предыдущего параграфа.

Вычисление дифференциала

Мы установили, что дифференциал функции Дифференциал имеет форму

Дифференциал

т. е. дифференциал функции Дифференциал равен произвелдению производной этой функции на дифференциал ее аргумента.

По формуле (1) можно вычислить дифференциал любой дифференцируемой функции. Так, например;

Дифференциал

Аналогично, каждой из основных формул дифференцирования можно сопоставить соответствующую формулу для вычисления дифференциала.

Пример:

Найти дифференциал функции

Дифференциал

Решение:

По формуле (1) находим: Дифференциал

Пример:

Найти дифференциал функции

Дифференциал

Решение:

Находим: Дифференциал

Дифференциалы высших порядков

Из формулы Дифференциалследует, что дифференциал функции Дифференциал зависит от двух переменных, Дифференциал, причем Дифференциал не зависит.

Рассмотрим дифференциал Дифференциал только как функцию от Дифференциал, т. е. будем считать Дифференциал постоянным. В этом случае можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции Дифференциал называется дифференциалом второго порядка, или вторым дифференциалом этой функции и обозначается Дифференциал («де два игрек») или Дифференциал («де два эф от икс»).

Таким образом, Дифференциал
Принято скобки при степенях Дифференциал не писать, поэтому

Дифференциал

Аналогично определяются дифференциалы третьего порядка:

Дифференциал

Вообще, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала Дифференциал порядка:

Дифференциал

Таким образом, для нахождения дифференциала пго порядка функции Дифференциал нужно найти производную п-го порядка от этой функции и полученный результат умножить на Дифференциал.

Пример:

Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функции

Дифференциал

Решение:

Находим соответствующие производные
от данной функции:

Дифференциал

Следовательно,

Дифференциал

Приложение дифференциала приближенным вычислениям

Рассмотрим функцию Дифференциал, приращение которой

Дифференциал

и дифференциал

Дифференциал

Выше (§ 2) было установлено, что при достаточно малых Дифференциал — имеем

Дифференциал

Так как вычислять Дифференциал значительно проще, чем Дифференциал, то на практике формулу (3) применяют к различным приближенным вычислениям.

Вычисление приближенного значения приращения функции

Пример:

Найти приближенное значение приращения функции Дифференциал.

Решение:

Применив формулу (3), получим:

Дифференциал

Посмотрим, какую погрешность мы допустили, вычислив дифференциал данной функции вместо ее приращения. Для этого найдем истинное значение приращения:

Дифференциал

Далее, находим абсолютную погрешность приближения:

Дифференциал

а затем и относительную погрешность:

Дифференциал

Погрешность приближения оказалась довольно малой, что еще раз подтверждает целесообразность применения формулы (3).

Вычисление приближенного числового значения функции

Из формулы (1) имеем

Дифференциал

или

Дифференциал

Пример:

Найти приближенное значение функции Дифференциал

Решение:

Представим Дифференциал в виде суммы Дифференциал Приняв Дифференциал найдем Дифференциал

Дифференциал

Следовательно,

Дифференциал

Приближенное вычисление степеней

Рассмотрим функцию Дифференциал Применив формулу (4), получим

Дифференциал

или

Дифференциал

По этой формуле наводят приближенное значение степеней.

Пример:

Найти приближенное значение степени Дифференциал.

Решение:

Представим данную степень в виде Дифференциал. Приняв Дифференциал по формуле
(5) найдем: Дифференциал Дифференциал

Приближенное извлечение корней

При Дифференциал и Дифференциалформула (5) примет вид

Дифференциал

или

Дифференциал

Формула (6), известная и по школьному курсу, дает возможность найти приближенные значения различных корней.

Пример:

Найти приближенное значение корня Дифференциал

Решение:

Представим данный корень в виде ДифференциалПриняв Дифференциал по формуле (6) найдем:

Дифференциал

Дополнение к дифференциалу

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Дифференциал

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Понятие о дифференциале в высшей математике

Сравнение бесконечно малых величин между собой

I. Мы рассмотрели действия над бесконечно малыми величинами и показали, что в результате сложения, вычитания и умножения их получаются также бесконечно малые величины. Однако частное от деления двух бесконечно малых друг на друга может быть не только бесконечно малой величиной, но и бесконечно большой и конечной.

В самом деле, пусть, например, а — бесконечно малая, тогда Дифференциал в математике примеры с решением и 2а будут также бесконечно малыми. При делении их друг на друга возможны следующие случаи:

1) отношениеДифференциал в математике примеры с решением — бесконечно малая величина,

2) отношение Дифференциал в математике примеры с решением — бесконечно большая величина,

3) отношение Дифференциал в математике примеры с решением — конечная величина.

Первое отношение показывает, что бесконечно малая Дифференциал в математике примеры с решением составляет ничтожно малую часть от а и, следовательно, стремится к нулю значительно быстрее, чем а.

Второе отношение указывает на то, что а, неограниченно уменьшаясь, остается значительно больше, чем Дифференциал в математике примеры с решением, т. е. стремится к нулю медленнее величины Дифференциал в математике примеры с решением.

Сказанное можно иллюстрировать следующей таблицей:

Дифференциал в математике примеры с решением

Принято бесконечно малую Дифференциал в математике примеры с решением по отношению к а называть бесконечно малой высшего порядка, а а по отношению к Дифференциал в математике примеры с решением — бесконечно малой низшего порядка.

Что касается третьего отношения, то из него следует, что бесконечно малые 2а и а стремятся к нулю с одинаковой скоростью, так как при их изменении отношение Дифференциал в математике примеры с решениемостается постоянным. Такие бесконечно малые имеют, как говорят, одинаковый порядок малости.

Таким образом, частное от деления двух бесконечно малых величин позволяет сравнивать их между собой. Это сравнение особенно полезно в приближенных вычислениях, где отбрасывание бесконечно малых высшего порядка приводит к значительному упрощению вычислений.

II. Возьмем функцию Дифференциал в математике примеры с решением; ее приращение

Дифференциал в математике примеры с решением

Множитель при Дифференциал в математике примеры с решением есть производная данной функции, а потому последнее равенство можно переписать так:

Дифференциал в математике примеры с решением

Сравним изменение величины обоих слагаемых правой части равенства (I) с уменьшением Дифференциал в математике примеры с решением. Положив, например,

х = 2 и, следовательно, у’ = 4, составим следующую таблицу значений этих слагаемых:

Дифференциал в математике примеры с решением

Как видно из таблицы, слагаемые у’Дифференциал в математике примеры с решением и Дифференциал в математике примеры с решением уменьшаются с уменьшением Дифференциал в математике примеры с решением, причем первое пропорционально Дифференциал в математике примеры с решением, второе же значительно быстрее.

Покажем, что то же самое справедливо для любой дифференцируемой функции f(x).

Пусть дана функция у = f(х). Ее производная

Дифференциал в математике примеры с решением

Согласно определению предела переменной имеем:

где а—бесконечно малая величина при Дифференциал в математике примеры с решением. Отсюда

Дифференциал в математике примеры с решением

И здесь при уменьшении Дифференциал в математике примеры с решением первое слагаемое у’Дифференциал в математике примеры с решением уменьшается пропорциональноДифференциал в математике примеры с решением второе же слагаемое аДифференциал в математике примеры с решением уменьшается быстрее, так как отношение Дифференциал в математике примеры с решением —бесконечно

малая величина при Дифференциал в математике примеры с решением, т. е. по отношению к у’ Дифференциал в математике примеры с решениемвеличина аДифференциал в математике примеры с решением — бесконечно малая высшего порядка. Поэтому выражение у’Дифференциал в математике примеры с решением называют главной частью приращения функции у = f(х).

Определение:

Главная часть у’Дифференциал в математике примеры с решением приращения функции у = f(х) называется дифференциалом функции.

Дифференциал функции у = f(х) принято обозначать символом . Таким образом

Дифференциал в математике примеры с решением

Дифференциал аргумента принимают равным приращению аргумента Дифференциал в математике примеры с решением т. е.

Дифференциал в математике примеры с решением

Поэтому равенство (3) можно переписать в следующем виде:

Дифференциал в математике примеры с решением

т. е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента. Из формулы (4) следует:

Дифференциал в математике примеры с решением

Равенство (5) показывает, что производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. На этом основании производную функции часто выражают в виде Дифференциал в математике примеры с решением и читают: «дэ игрек по дэ икс».

III. Заменив в равенстве (2)Дифференциал в математике примеры с решением символом , напишем:

Дифференциал в математике примеры с решением

Как было показано выше, Дифференциал в математике примеры с решением — бесконечно малая высшего порядка по отношению к Дифференциал в математике примеры с решением а потому, отбросив в равенстве (6) слагаемое Дифференциал в математике примеры с решением, получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

В практических вопросах часто используют формулу (7), т. е. берут дифференциал функции вместо ее приращения, делая при этом незначительную ошибку и тем меньшую, чем меньше Дифференциал в математике примеры с решением.

Примечание:

В случае линейной функции Дифференциал в математике примеры с решением. В самом деле, для функции Дифференциал в математике примеры с решением приращение будет:

Дифференциал в математике примеры с решением

Множитель Дифференциал в математике примеры с решением есть производная линейной функции; поэтому правая часть последнего равенства выражает дифференциал данной функции, т. е.

Дифференциал в математике примеры с решением

Итак, в случае линейной функции

Дифференциал в математике примеры с решением

Геометрическое изображение дифференциала

Возьмем функцию у = f(x), график которой изображен на рис. 104.

Дифференциал в математике примеры с решением

Пусть абсцисса точки М

Дифференциал в математике примеры с решением

тогда ордината ее

Дифференциал в математике примеры с решением

Дадим аргументу х приращение Дифференциал в математике примеры с решениеми восставим в точке Р1 перпендикуляр Р1М1 к оси Ох, а из точки М проведем Дифференциал в математике примеры с решением. Тогда, как известно,

Дифференциал в математике примеры с решением

Проведем в точке М касательную к кривой; полученный при этом отрезок QN, равный приращению ординаты точки М, движущейся по касательной, называется приращением ординаты касательной. Из прямоугольного треугольника МQN имеем:

Дифференциал в математике примеры с решением

Но

Дифференциал в математике примеры с решением

а, согласно геометрическому смыслу производной,

Дифференциал в математике примеры с решением

Поэтому

Дифференциал в математике примеры с решением

Но

Дифференциал в математике примеры с решением

Следовательно,

Дифференциал в математике примеры с решением

Таким образом, если в точке М кривой у = f(х) провести касательную, то дифференциал функции у = f(х) в этой

Дифференциал в математике примеры с решением

точке изобразится приращением ординаты касательной, соответствующим приращению ее абсциссы на dx.

Дифференциал функции в данной точке может быть как меньше приращения ее (рис. 104), так и больше (рис. 105).

Дифференциал второго порядка

Дифференциал dy функции у = f(x), называемый первым дифференциалом или дифференциалом первого порядка, представляет собой также функцию x, а потому и от него можно найти дифференциал, который называют вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка. В этом случае пишут d(dy) или короче Дифференциал в математике примеры с решениеми читают: «дэ два игрек».

Найдем выражение дифференциала второго порядка от функции через ее производную. Для этого продифференцируем по х равенство.

Дифференциал в математике примеры с решением

считая dx постоянным множителем (так как dx не зависит от х):

Дифференциал в математике примеры с решением

Но согласно формуле (4)

Дифференциал в математике примеры с решением

Поэтому

Дифференциал в математике примеры с решением

т. е. дифференциал второго порядка равен произведению второй производной функции на квадрат дифференциала аргумента.

Из равенства (1) следует

Дифференциал в математике примеры с решением

Это дает основание для выражения второй производной

функции в виде отношения Дифференциал в математике примеры с решением которое читают так: «дэ дна игрек по дэ икс квадрат».

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Рассмотрим несколько примеров использования дифференциала в приближенных вычислениях.

а) Определение приращения функции.

Пример:

Найти приближенно приращение функции

Дифференциал в математике примеры с решением

при х = 2 и Дифференциал в математике примеры с решением = 0,001.

Решение:

Так как приращение аргумента — величина малая, то согласно формуле (7) можем приращение функции заменить ее дифференциалом.

Дифференциал же данной функции

Дифференциал в математике примеры с решением

Заменив в равенстве (1) х и их значениями, получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

Следовательно,

Дифференциал в математике примеры с решением

Посмотрим, какую ошибку мы делаем, беря дифференциал вместо приращения. Для этого найдем точное значение приращения функции:

Дифференциал в математике примеры с решением

Сравнивая полученное точное значение Дифференциал в математике примеры с решением с приближенным, видим, что допущенная ошибка равна 0,000002. Выражая ее в процентах, найдем:

Дифференциал в математике примеры с решением

Ошибка оказалась очень малой.

Пример:

Шар радиуса R = 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. Насколько увеличился при этом объем шара?

Решение:

Объем шара определяется по формуле

Каждому значению R по закону, заданному этой формулой, отвечает одно определенное значение v, т. е. v есть функция от R. Следовательно, наша задача сводится к определению приращения функции v при заданном приращении аргумента R. Так как приращение аргумента мало

Дифференциал в математике примеры с решением

то мы можем приращение функции заменить ее дифференциалом.

Находим дифференциал функции v.

Дифференциал в математике примеры с решением

Но

Дифференциал в математике примеры с решением

Поэтому

Дифференциал в математике примеры с решением

б) Нахождение числового значения функции. Пусть требуется найти приближенное значение функции

Дифференциал в математике примеры с решением

при x1 = 2,001, т. е. найти величину f(2,001). Представим х1 в виде суммы

Дифференциал в математике примеры с решением

где 0,001 будем рассматривать как приращение аргумента. Из формулы для приращения функций

Дифференциал в математике примеры с решением

найдем:

Дифференциал в математике примеры с решением

Полагая Дифференциал в математике примеры с решением малой величиной, можем Дифференциал в математике примеры с решением заменить величиной ; тогда последнее равенство перепишется в виде

Дифференциал в математике примеры с решением

Применив равенство (2) к данному примеру, можем написать:

Дифференциал в математике примеры с решением

По

Дифференциал в математике примеры с решением

Поэтому

Дифференциал в математике примеры с решением

Равенство (2) может служить формулой для приближенного вычисления значения функции.

в) Вычисление по приближенным формулам. Пользуясь формулой (2), выведем приближенные формулы для вычисления некоторых выражений. 1) Возьмем функцию

Дифференциал в математике примеры с решением

и положим, что угол х, равный нулю, получает весьма малое приращение а. Применим формулу (2), полагая в ней х = 0 и dx = а. Получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

Но

Дифференциал в математике примеры с решением

и

Дифференциал в математике примеры с решением

Поэтому

Дифференциал в математике примеры с решением

или

Дифференциал в математике примеры с решением

Отсюда следует, что синус очень малого угла приближенно равен самому углу; при этом нужно помнить, что угол должен быть выражен в радианной мере. Так, например, sin 0,003 Дифференциал в математике примеры с решением0,003. В самом деле, выразив данный угол в градусной мере, найдем:

Дифференциал в математике примеры с решением

а

Дифференциал в математике примеры с решением

2) Возьмем функцию Дифференциал в математике примеры с решением и положим, что х, равный 1, получает весьма малое по сравнению с единицей приращение Дифференциал в математике примеры с решением . Тогда согласно формуле (2) имеем:

Дифференциал в математике примеры с решением

Но

Дифференциал в математике примеры с решением

и

Дифференциал в математике примеры с решением

Поэтому

Дифференциал в математике примеры с решением

или

Дифференциал в математике примеры с решением

Точно так же можно вывести равенство

Дифференциал в математике примеры с решением

По формулам (3) и (4) можно быстро найти приближенную степень числа, близкого к единице; например:

Дифференциал в математике примеры с решением

3) Выведем формулу для приближенного вычисления выражения Дифференциал в математике примеры с решением где а имеет малое значение по сравнению с единицей. Для этого представимДифференциал в математике примеры с решением в виде степени

Дифференциал в математике примеры с решением

Но по формуле (3)

Дифференциал в математике примеры с решением

или

Дифференциал в математике примеры с решением

Аналогично выводится формула

Дифференциал в математике примеры с решением

По формулам (5) и (6) можно легко найти приближенное значение корня из числа, близкого к единице; например:

Дифференциал в математике примеры с решением

Кривизна кривой

Пусть дана кривая, определяемая уравнением у = f(х) (рис. 106).

Дифференциал в математике примеры с решением

Возьмем на ней две точки А и В и проведем в них касательные к кривой. При переходе от точки А к точке В касательная меняет угол наклона к положительному направлению оси абсцисс на некоторую величину. Если обозначим угол наклона касательной в точке А к оси Ох через а, то угол наклона касательной в точке В к той же оси, получив приращение Дифференциал в математике примеры с решением, будет равен а + Дифференциал в математике примеры с решением, а угол между самими касательными, как видно из рисежа, будет Дифференциал в математике примеры с решением. Величину Дифференциал в математике примеры с решением можно рассматривать как угол отклонения касательной от первоначального ее положения.

Разделив Дифференциал в математике примеры с решением на длину дуги АВ = Дифференциал в математике примеры с решением, получим среднюю величину угла отклонения, приходящегося на единицу длины дуги. Отношение Дифференциал в математике примеры с решениемназывается средней кривизной кривой на ее участке АВ.

Средняя кривизна кривой на разных ее участках может быть различной.

Допустим теперь, что точка В, двигаясь по кривой, неограниченно приближается к точке А и Дифференциал в математике примеры с решением уменьшается, стремясь к нулю; тогда предел отношения Дифференциал в математике примеры с решением будет определять кривизну кривой в точке А. Обозначив кривизну кривой в точке буквой К, будем иметь:

Дифференциал в математике примеры с решением

Определение:

Кривизной кривой в данной ее точке А называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги АВ при неограниченном приближении точки В к А.

Согласно определению производной

Дифференциал в математике примеры с решением

поэтому

Дифференциал в математике примеры с решением

Преобразуем правую часть этого равенства, выразив . и ds через производные данной функции у =f(x).

Согласно геометрическому смыслу производной имеем

Дифференциал в математике примеры с решением

где а — угол наклона касательной к кривой у =f(х) в точке А к положительному направлению оси абсцисс (рис. 106); отсюда

Дифференциал в математике примеры с решением

В этом равенстве аrctg у’ — функция от функции, так как аrctg у’ зависит от у’, a у’ зависит от х. Продифференцируем последнее равенство по аргументу х; получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

отсюда

Дифференциал в математике примеры с решением

Найдем выражение ds через производную функции у =f(x). Для этого возьмем снова тот же участок АВ кривой (рис. 107).

Дифференциал в математике примеры с решением

Будем рассматривать длину АВ как приращение дуги Дифференциал в математике примеры с решением, соответствующее приращениям PQ = Дифференциал в математике примеры с решением и RB = Дифференциал в математике примеры с решением. Если Дифференциал в математике примеры с решением достаточно мало, то отрезок дуги АВ можно считать прямолинейным; в этом случае, применяя теорему Пифагора, получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

или

Дифференциал в математике примеры с решением

Разделив обе части равенства наДифференциал в математике примеры с решением, найдем:

Дифференциал в математике примеры с решением

отсюда

Дифференциал в математике примеры с решением

Положим, что Дифференциал в математике примеры с решением тогда

Дифференциал в математике примеры с решением

Применяя теоремы о пределе корня, суммы и степени , получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

Но

Дифференциал в математике примеры с решением

поэтому равенство (3) примет вид

Дифференциал в математике примеры с решением

откуда

Дифференциал в математике примеры с решением

Подставив значение da и ds в выражение (1), получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

Формула (5) позволяет найти кривизну кривой, определяемой уравнением у = f(x), в любой ее точке.

Кривизна окружности

Кривизну окружности можно определить по формуле (5) , но гораздо проще ее найти из следующих рассуждений.

Проведем касательные в двух точках А и В окружности (рис. 108).

Дифференциал в математике примеры с решением

Обозначив дугу АВ через Дифференциал в математике примеры с решением, найдем среднюю кривизну

на этом участке; она выразится дробью Дифференциал в математике примеры с решением . Проведя радиусы в точки касания, получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

так как углы АО1В и Дифференциал в математике примеры с решением образованы взаимно перпендикулярными прямыми. Но, как известно, угол в радиаyной мере измеряется отношением длины дуги к радиусу; следовательно,

Дифференциал в математике примеры с решением

откуда

Дифференциал в математике примеры с решением

Ясно, что такой же вывод мы получим, взяв другой какой-либо участок окружности. Следовательно,

Дифференциал в математике примеры с решением

для любой точки окружности, т. е. кривизна окружности постоянна во всех ее точках и равна обратной величине ее радиуса.

Радиус кривизны кривой

При изучении кривизны кривой подбирают такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в той или иной ее точке. Центр этой окружнoсти называется центром кривизны кривой в соответствующей точке, радиус—радиусом кривизны кривой в этой точке, а сама окружность— окружностью кривизны (рис. 109).

Дифференциал в математике примеры с решением

Определение:

Окружностью кривизны в точке М кривой называется окружность, проходящая через точку М и имеющая с кривой одинаковую кривизну и общую касательную.

Заметим, что центр окружности кривизны всегда располагается со стороны вогнутости кривой.

Кривизна окружности, как мы знаем,

Дифференциал в математике примеры с решением

отсюда

Дифференциал в математике примеры с решением

Следовательно, и радиус кривизны кривой в точке ее определяется тем же равенством.

Заменив К его значением, взятым из равенства (5) , получим формулу для определения радиуса кривизны кривой в любой ее точке:

Дифференциал в математике примеры с решением

Применяя эту формулу к прямой линии, заданной, например уравнением Дифференциал в математике примеры с решением получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

так как Дифференциал в математике примеры с решением

Это значит, что прямую линию можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса.

Пример:

Найти радиус кривизны кривой Дифференциал в математике примеры с решением в точке, абсцисса которой равна Дифференциал в математике примеры с решением

Решение:

Найдем сначала первую и вторую производные функции Дифференциал в математике примеры с решением для точки с абсциссой Дифференциал в математике примеры с решением

Дифференциал в математике примеры с решением

Подставив значения у’ и у» в формулу (1), получим:

Дифференциал в математике примеры с решением

Как найти дифференциал — подробная инструкция

Бесконечно малые величины

Бесконечно малые величины Дифференциал В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через h.

Определение:

Бесконечно малой величиной вблизи h = a называется функция, зависящая от h и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к а.

Например, Дифференциалявляется бесконечно малой величиной при условии, что h стремится к 3; sinh и tgh являются бесконечно малыми при условии, что h стремится к нулю.

Бесконечно малые величины при условии, что независимое переменное стремится к нулю, будем называть «бесконечно малыми», не указывая, а только подразумевая условие Дифференциал. Таким образом, будем говорить, что sinh , tgh , Дифференциал являются «бесконечно малыми», а не бесконечно малыми при условии Дифференциал.

Приведем примеры геометрического и физического содержания.

Пример:

Площадь S прямоугольника со сторонами х и h является бесконечно малой при любых х, так как

Дифференциал

Пример:

Объема прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 3, 2 и 2h, является бесконечно малым, так как

Дифференциал

Пример:

Объем v прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны h, 2h и 5h, является бесконечно малым, так как

Дифференциал

Пример:

По закону Ома v = Ri, где v — напряжение, R — сопротивление и i — ток. Отсюда следует, что при постоянном сопротивлении напряжение является бесконечно малым относительно тока, так как

Дифференциал

Пусть дана бесконечно малая величина а (h), т. е.

Дифференциал

Рассмотрим предел отношения

Дифференциал

Дифференциал

Если этот предел существует и равен нулю, то бесконечно малая величина a (h) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем h.

Если предел равен конечному числу Дифференциал то бесконечно малые a (h) и h называются величинами одного порядка; если l =1, то a(h) и h называются эквивалентными бесконечно малыми.

Дифференциал Этот предел может зависеть от других переменных, отличных от h.

Пример:

Пусть Дифференциал Это бесконечно малая величина порядка более высокого, чем h, так как

Дифференциал

Пример:

Пусть а(h) = sin 2h; а(h) — бесконечно малая того же порядка, что и h , поскольку

Дифференциал

Пример:

а (h) = sin h —бесконечно малая, эквивалентная h , так как

Дифференциал

Пример:

a( h ) = l — cos h . Так как

Дифференциал

то 1—cos h есть бесконечно малая более высокого порядка, чем h .

В заключение параграфа рассмотрим функцию y = f(x). Пусть приращение независимого переменного равно А, тогда приращение функции равно

Дифференциал

Так как приращение h независимого переменного х не зависит от величины х, то для вычисления Дифференциалнужно задать величину х и величину h , т. е. приращение функции одного переменного является функцией двух независимых переменных х и h .

Пример:

Пусть дана функция Дифференциал Ее приращение равно

Дифференциал

Если x = 3, а h =1, то

Дифференциал

Если же x = 0 и по-прежнему h =1, то

Дифференциал

Здесь h сохраняет значение 1, но, поскольку х меняется, изменяется и Дифференциал.

Если x = 2, а h = 1, то

Дифференциал

Если же x = 2, а h = 0,5, то

Дифференциал

Здесь х сохраняет значение 2, но h меняется, поэтому меняется и Дифференциал.

Если f(х)—функция непрерывная, то, по определению, ее приращение Дифференциалстремится к нулю при условии, что приращение h независимого переменного х стремится к нулю. Поэтому, используя введенное понятие бесконечно малой величины, можно сказать, что приращение непрерывной функции есть величина бесконечно малая относительно приращения независимого переменного.

Дифференциал

Пусть дана непрерывная функция у = f(х), имеющая производную. Тогда, по определению производной,

Дифференциал

Поэтому, если в правой части откинем знак предела, то получим ошибку, величина которой зависит и от x и от h. Обозначим эту ошибку через а( x , h ). Тогда вместо равенства (1) можно написать

Дифференциал

Про ошибку а( x , h ) мы знаем, что

Дифференциал

Это следует из равенства (1). Значит, ошибка а( x , h ) является бесконечно малой относительно приращения h независимого переменного.

Если умножим обе части равенства (2) на h , то получим

Дифференциал

или

Дифференциал

В левой части равенства (4) стоит приращение функции Дифференциал, а в правой части—два члена: Дифференциал(x)h и а(x , h)h . Оценим порядок малости этих членов:

Дифференциал

Очевидно, что первый член

Дифференциал

одного порядка с h , т. е. является линейным относительно h , а второй член а(x , h)h является бесконечно малой величиной более высокого порядка относительно h .

Из равенства (4) получаем, что приращение функции с точностью до бесконечно малой высшего порядка равно f'(х)h ; это выражение называется дифференциалом функции.

Определение. Дифференциал есть та часть при-ращения функции Дифференциал, которая линейна относительно h . Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение независимого переменного.

Дифференциал функции обозначают или dy, или df(x), так что

Дифференциал

Для симметрии записей вводится определение дифференциала независимого переменного.

Определение:

Дифференциалом независимого переменного называется его приращение.

Дифференциал независимого переменного обозначается dx, так что имеем

Дифференциал

Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.

Пример:

Найдем дифференциал функции у = sin х. Так как (sin х)’ = cos х, то dy = dsin х = cos хh = cos xdx.

Пример:

Вычислим значение дифференциала функции Дифференциал,если x = 2 и dx = h = 0,1 .

Так как

Дифференциал

Подставляя сюда вместо х его значение 2, а вместо dx его значение 0,1, получим

Дифференциал

Из определения дифференциала функции следует, что дифференциал функции одного переменного является функцией двух переменных. Из формул (5) и (6) следует, что

Дифференциал

Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

С этого момента для обозначения производной будем пользоваться и знаком ( )’ и отношением дифференциалов.

Таблица дифференциал

Дифференциал

Применение к приближенным вычислениям

Перепишем формулу (4) § 2 в следующем виде:

Дифференциал

и для начала посмотрим на примере, как будут выглядеть отдельные ее члены при некоторых числовых значениях х и h.

Пример:

Пусть ДифференциалПоложим x = 2 и h = 0,01. Применяя формулу куба суммы, получаем

Дифференциал

С другой стороны, применяя формулу (1) и зная, чтоДифференциалполучим

Дифференциал

Сравнивая формулы (*) и (**), видим, что в левых частях стоит одно и то же, в правых же частях совпадают первые два члена, следовательно, третий член в формуле (**) равен двум последним членам в формуле (*), т. е.

Дифференциал

Вычислим все члены, встречающиеся в этом примере, при указанных числовых значениях х и h:

Дифференциал

Если бы мы захотели вычислить Дифференциалне точно, а приближенно с точностью до 0,01, то член а (x, h)h = 0,000601 никакого значения бы не имел, т. е. его можно было бы просто откинуть.

Аналогично в общем случае формулу (1) заменяют приближенной формулой, откидывая бесконечно малую высшего порядка, т. е. член а (x, h)h . Тогда получается приближенная формула

Дифференциал

(знак Дифференциалобозначает приближенное равенство). Эту формулу имеет смысл употреблять только при малых значениях величины h, так как в противном случае ошибка может оказаться очень большой.

Приведем примеры применения формулы (2).

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления кубического корня. Возьмем Дифференциалтогда ДифференциалПрименяя формулу (2), получаем

Дифференциал

Если положить Дифференциал, то полученному результату можно придать следующий вид:

Дифференциал

Отсюда видно, что если нам известен кубический корень из числа, то для близких чисел можно с удобством воспользоваться выведенной формулой. Например, зная, что Дифференциалвычисляем ДифференциалЗдесь z = 10, h = 3, поэтому получаем

Дифференциал

Сделаем проверку, возведя 10,01 в куб. Видим, что вместо 1003 получили число 1003,003001, т. е. ошибка меньше 0,005.

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления тангенсов малых углов. Так какДифференциал то применяя формулу (2), получаем

Дифференциал

Зная, что tg 0 = 0 и cos 0=1, и полагая в предыдущей формуле x = 0, найдем

Дифференциал

Напоминаем, что здесь h есть радианная мера угла. Например, вычислим tg3°. Переведем сначала градусную меру угла в радианную:

Дифференциал

тогда

Дифференциал

Дифференциал площади криволинейной трапеции

Определение:

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная с трех сторон прямыми, а с четвертой стороны кривой. При этом две прямые параллельны между собой и перпендикулярны третьей, а кривая пересекается с любой прямой, параллельной боковым сторонам, в одной точке.

Дифференциал

Не исключается случай, когда одна или обе боковые стороны обращаются в точку. На рис. 69, 70, 71 изображены криволинейные трапеции.

Все плоские фигуры, с которыми нам придется встречаться, могут быть представлены как совокупность криволинейных трапеций. Например, на рис. 72 фигура разбита на четыре криволинейные трапеции.

Дифференциал

Конечная наша цель — определить площадь криволинейной трапеции, но пока эту задачу мы еще не можем решить. Однако мы сумеем найти дифференциал площади криволинейной трапеции. Решим эту задачу, предполагая, что трапеция расположена определенным образом.

Пусть дана криволинейная трапеция АВСD, ограниченная осью Ох, двумя прямыми, перпендикулярными этой оси, и кривой, заданной уравнением у=f(х) (рис. 73).

Будем считать, что прямая АВ неподвижна в процессе всех рассуждений, т. е. абсцисса точки А есть постоянная величина. «Прямую же СD будем двигать, т. е. абсцисса точки D будет переменной. Обозначим ее через х.

Ясно, что площадь криволинейной трапеции АВСD будет изменяться в зависимости от величины х, значит, площадь есть функция х. Обозначим ее F(х). Этой функции мы не знаем, но несмотря на это найдем ее дифференциал.

Дадим х приращение h = , тогда площадь F(x) получит приращениеДифференциал ( х ) (это приращение на рис. 73 заштриховано).

При изменении независимого переменного от величины х до х + h (от точки D) до точки К) функция f(х), т. е. ордината точки, лежащей на кривой, также изменяется и при этом достигает наибольшего значения М и наименьшего значения т. На рис. 73 QR = М и NР= т.

Рассмотрим прямоугольник с основанием и высотой QR = М , его площадь равна Т1= Мh. Прямоугольнике тем же основанием DK = h и высотой NР = т имеет площадь, равную T2 = тh.

Очевидно, что площадь второго прямоугольника Т2 меньше площади T1 первого на величину (Мт)h . Также очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше приращения Дифференциал(x), а площадь первого больше этого приращения, так что

Дифференциал

Следовательно, приращение Дифференциал отличается и от площади первого, и от площади второго прямоугольника на величину, меньшую чем (Мт)h .

Обозначим разность между приращением Дифференциал и площадью Т2 через со, тогда

Дифференциал

Величина Дифференциалменяется вместе с h и всегда меньше (Мт)h . Обозначим через Дифференциал) разность между площадью Т1 и приращением Дифференциал, получим:

Дифференциал

Остановимся на формуле (1) и проследим, как меняются ее члены при стремлении h к нулю.

Предварительно заметим, что, во-первых, всегда, т. е. при любых значениях x,

Дифференциал

и, во-вторых, если Дифференциал, то точка К приближается к точке D. Точка N, абсциссу которой обозначим через Дифференциал, заключена между D и К, поэтому при Дифференциалточка N также приближается к точке D, следовательно,

Дифференциал

Функция f(х) предполагается непрерывной. В силу свойств непрерывной функции (см. гл. VI, § 6) находим

Дифференциал

а это значит, что можно записать (см. начало § 2 этой главы)

Дифференциал

где а—бесконечно малая относительно h. Также можно заключить, что

Дифференциал

где Дифференциал—бесконечно малая относительно h.

Исследуем порядок малости членов, стоящих в правой части равенства (1). Для этого найдем следующие пределы:

Дифференциал

Первый предел находим непосредственно [применяя (3)]:

Дифференциал

Чтобы найти второй предел, найдем сначала [используя (4) и (5)]

Дифференциал

Так как Дифференциал удовлетворяет неравенству (2), то

Дифференциал

а в силу равенства (7)

Дифференциал

Таким образом, установлено, что и mh и Дифференциал являются бесконечно малыми. Кроме того, член со есть бесконечно малая высшего порядка относительно h.

Учитывая все эти рассуждения и применяя равенство (4), можно переписать равенство (1) в виде

Дифференциал

В правой части равенства (8) стоят три члена. Каждый из них является бесконечно малым относительно h первый из них линеен относительно h, а два других имеют высший порядок малости.

Применяя результаты § 2, заключаем, что приращение площади криволинейной трапеции равно f(x)h плюс величина высшего порядка относительно h , а поэтому дифференциал площади криволинейной трапеции равен f(x)h , т. е.

Дифференциал

Этим результатом мы воспользуемся в следующих главах.

Пример:

Найдем дифференциал площади F криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой, заданной уравнением Дифференциал, прямой x =1 и подвижной прямой, параллельной оси Оу.

Применяя только что полученный результат, будем иметь

Дифференциал

Пример:

Найти производную от площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой, заданной уравнением у = sin x, прямой х = 2 и подвижной прямой, параллельной оси Оу.

Находим дифференциал этой площади: dF = sin x dx, а следовательно и производную:

Дифференциал

Применение дифференциала к различным задачам

Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде

Дифференциал

где Дифференциал(x) не зависит от h, и

Дифференциал

Тогда

Дифференциал

откуда

Дифференциал

т. е. Дифференциал(x)—производная заданной функции.

Пример:

Найти производную от функции f(x), определенной геометрически как объем, ограниченный:

1) поверхностью Р, полученной от вращения вокруг оси Ох дуги ОА, принадлежащей параболе Дифференциал;

2) плоскостью П1, перпендикулярной оси Ох и отстоящей от начала координат на расстояние х (рис. 74).

Дифференциал

Ясно, что объем зависит от величины х, т. е. является функцией х .

Возьмем произвольное число х. Соответствующее значение функции f(х) будет определяться объемом, ограниченным поверхностью Р и плоскостью П1 . Дадим х приращение h. Объем, т. е. функция f(x), в связи с этим получит приращение Дифференциал. Это приращение показано на рис. 75 и отдельно на рис. 76: оно ограничено поверхностью Р и плоскостями П1 и П2. Плоскости П1 и П2 пересекаются с поверхностью Р по окружностям (так как Р—поверхность вращения). Обозначим эти окружности К1 и К2.

Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием К1, образующую, параллельную оси Ох, и высоту h, второй имеет основанием К2 и образующую, также параллельную оси Ох (рис. 77).

Дифференциал

Объем первого цилиндра обозначим через W1 второго — через W2 . Из чертежей ясно, что приращение функции Дифференциалбольше объема W1 и меньше объема W2 т. е.

Дифференциал

Но oбъемы W1 и W2 легко подсчитать:

Дифференциал

Разность объемов W1 и W2 (т. е. объем цилиндрического кольца) равна

Дифференциал

Приращение Дифференциал(х) отличается от W1 на некоторую часть разности W2W1 поэтому

Дифференциал

гдеДифференциал— некоторое положительное число, меньшее единицы. Так как

Дифференциал

то член Дифференциал —стоящий в правой части равенства (**), является бесконечно малой высшего порядка малости относительно h. Поэтому равенство (**) является частным случаем равенства (*). Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство (*), т. е. производная от функции f(х) равна Дифференциал.

В этом примере следует обратить внимание на то, что функция f(х) была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.

Пример:

Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности R, радиус внутренней поверхности r, высота H. Найдем объем V материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).

Дифференциал

Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен Дифференциал, а объем внутреннего равенДифференциал, то объем цилиндрического слоя равен

Дифференциал

или

Дифференциал

Если стенка трубы тонкая, то r и R мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через h (h = R — r). Тогда формула (*) примет вид

Дифференциал

или

Дифференциал

Второй член, стоящий в правой части равенства (*), второго порядка относительно h. Поэтому при Дифференциал член Дифференциалстановится бесконечно малой высшего порядка. Отбрасывая его, мы получим приближенную формулу для подсчета объема тонкого цилиндрического слоя:

Дифференциал

Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).

Дифференциал

Если разрезать трубку вдоль ее образующей и развернуть на плоскость, то получим «почти» прямоугольный параллелепипед с измерениями Дифференциал, h и H. Его объем равен Дифференциал Hh , т. е. как раз тому, что дает формула (***).

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференцирование в математике
  43. Формулы и правила дифференцирования
  44. Дифференциальное исчисление
  45. Дифференциальные уравнения
  46. Дифференциальные уравнения первого порядка
  47. Дифференциальные уравнения высших порядков
  48. Дифференциальные уравнения в частных производных
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Дифференциалы высших порядков

Пусть y=f(x)
дифференцируемая функция, а ее аргумент
х
– независимая переменная. Тогда ее
первый дифференциал

есть
также функция х,
можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал
от дифференциала функции называется
ее вторым дифференциалом (или
дифференциалом второго порядка) и
обозначается

:

.

Дифференциал
второго порядка от данной функции равен
произведению второго порядка этой
функции на квадрат дифференциала
независимой переменной:


.

Приложение дифференциального исчисления

Функция называется
возрастающей
(убывающей
)
на интервале
(a;
b),
если для любых двух точек
x1
и x2
из указанного интервала, удовлетворяющих
неравенству

,
выполняется неравенство

(
).

Необходимое
условие возрастания (убывания)
:
Если дифференцируемая функция на
интервале
(a,
b)
возрастает (убывает), то производная
этой функции неотрицательна
(неположительна) в этом интервале



(
)
.

Достаточное
условие возрастания (убывания):

Если
производная дифференцируемой функции
положительна (отрицательна) внутри
некоторого интервала, то функция
возрастает (убывает) на этом интервале.

Функция f(x)
в точке
х1
имеет
максимум,
если для любого
х
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство:
f(x1)>f(x),
при
xx1.

Функция f(x)
в точке
х1
имеет
минимум,
если для любого
х
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство:
f(x1)<f(x),
при
xx1.

Экстремум функции
называют локальным экстремумом, так
как понятие экстремума связано лишь с
достаточно малой окрестностью точки
х1.
Так что на одном промежутке функция
может иметь несколько экстремумов,
причем может случиться, что минимум в
одной точке больше максимума в другой.
Наличие максимума или минимума в
отдельной точке интервала не означает,
что в этой точке функция f(x)
принимает
наибольшее или наименьшее значение на
этом интервале.

Необходимое
условие экстремума:

В
точке экстремума дифференцируемой
функции ее производная равна нулю.

Достаточное
условие экстремума:

Если производная дифференцируемой
функция в некоторой точке

х
0


равна нулю и меняет свой знак при
переходе через это значение, то число
f(х0)
является
экстремумом функции, причем если
изменение знака происходит с плюса на
минус, то максимум, если с минуса на
плюс, то минимум.

Точки,
в которых производная непрерывной
функции равна нулю или не существует
называются
критическими.

Исследовать
функцию на экстремум означает найти
все ее экстремумы. Правило исследования
функции на экстремум:

  1. Найти
    критические точки функции у
    =
    f(x)
    и
    выбрать из них лишь те, которые являются
    внутренними точками области определения
    функции;

  2. Исследовать
    знак производной f‘(x)
    слева
    и справа от каждой из выбранных
    критических точек;

  3. На
    основании достаточного условия
    экстремума выписать точки экстремума
    (если они есть) и вычислить значения
    функции в них.

Для
того чтобы найти наибольшее
и наименьшее значение

функции на отрезке необходимо выполнить
несколько этапов:

  1. Найти критические
    токи функции, решив уравнение f’(x)=0.

  2. Если
    критические точки попали на отрезок,
    то необходимо найти значения в
    критических точках и на границах
    интервала. Если критические точки не
    попали на отрезок (или их не существует),
    то находят значения функции только
    на границах отрезка.

  3. Из
    полученных значений функции выбирают
    наибольшее и наименьшее и записывают
    ответ, например, в виде:

    ;

    .

Решение
задач

Пример
2.1. Найти дифференциал функции:
.

Решение.
На основании свойства 2 дифференциала
функции и определения дифференциала
имеем:


.

Пример
2.2. Найти дифференциал функции:

Решение. Функцию
можно записать в виде:

,

.
Тогда имеем:

Пример
2.3. Найти вторую производную функции:

Решение.
Преобразуем функцию


.

Найдем первую
производную:


;

найдем вторую
производную:


.

Пример
2.4. Найти дифференциал второго порядка
от функции

.

Решение.
Найдем дифференциал второго порядка
на основании выражения для вычисления

:


.
Найдем сначала первую производную:


;
найдем вторую производную:

.

Тогда

.

Пример
2.5. Найти
угловой коэффициент касательной к
кривой

,
проведенной в точке с абсциссой х=2.

Решение.
На основании геометрического смысла
производной имеем, что угловой коэффициент
равен производной функции в точке,
абсцисса которой равна х.
Найдем

.

Вычислим


угловой коэффициент касательной к
графику функции.

Пример
2.6. Популяция
бактерий в момент времени t
(t
измеряется
в часах) насчитывает

особей. Найти скорость роста бактерий.
Найти скорость роста бактерий в момент
времени t
= 5
часов.

Решение.
Скорость
роста популяции бактерий – это первая
производная

по времени t:

.

Если t
= 5
часов, то

.
Следовательно, скорость роста бактерий
составит 1000 особей в час.

Пример
2.7.
Реакция организма на введенное лекарство
может выражаться в повышении кровяного
давления, уменьшении температуры тела,
изменении пульса или других физиологических
показателей. Степень реакции зависит
от назначенной дозы лекарства. Если х
обозначает дозу назначенного лекарства,
а степень реакции у
описывается функцией

.
При каком значении х
реакция максимальна?

Решение.
Найдем производную

.

Найдем
критические точки:


.

Следовательно,
имеем две критические точки:

.
Значение

не удовлетворяет условию задачи.

Найдем
вторую производную

.
Вычислим значение второй производной
при

.

.
Значит,

– уровень дозы, который дает максимальную
реакцию.

Примеры для
самостоятельного решения

Найти дифференциал
функции:


  1. .


  2. .


  3. .

Найти вторые
производные следующих функций:


  1. .


  2. .


  3. .


  4. .

Найти производные
второго порядка и записать дифференциалы
второго порядка для следующих функции:


  1. .


  2. .

  3. Исследовать
    функцию на экстремум

    .

  4. Найти наибольшее
    и наименьшее значения функции

    на отрезке

    .

  5. Найти интервалы
    возрастания и убывания функции, точки
    максимума и минимума и точки пересечения
    с осями:

  6. Закон движения
    точки имеет вид

    .
    Определить закон скорость и ускорение
    этой точки.

  7. Уравнение движения
    точки имеет вид

    (м). Найти 1) положение точки в моменты
    времени

    с и

    с; 2) среднюю скорость за время, прошедшее
    между этими моментами времени; 3)
    мгновенные скорости в указанные моменты
    времени; 4) среднее ускорение за указанный
    промежуток времени; 5) мгновенные
    ускорения в указанные моменты времени.

Задание на дом.

Практика:

Найти дифференциал
функции:


  1. ;


  2. ;

Найти производные
второго порядка функции:


  1. .

Найти дифференциалы
второго порядка


  1. .

  1. Точка движется
    прямолинейно по закону

    .
    Вычислить скорость и ускорение в
    моменты времени

    и

    .

Найти интервалы
возрастания и убывания функций:


  1. .


  2. .

  3. При
    вливании глюкозы ее содержание в крови
    человека, выраженное в соответствующих
    единицах, спустя
    t
    часов составит

    .
    Найдите скорость изменения содержания
    глюкозы в крови при а) t
    =1

    ч; б) t
    =2

    ч.

Теория.

  1. Лекция по теме
    «Производные и дифференциалы функции
    нескольких аргументов. Приложение
    дифференциала функции нескольких
    аргументов».

  2. Занятие 3 данного
    методического пособия.

  3. Павлушков И.В. и
    другие стр. 101-113, 118-121.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an alternative browser.
  • Forums

  • Mathematics

  • Calculus

Differential squared


  • Thread starter
    learner928

  • Start date
    Jul 26, 2012

  • Jul 26, 2012
  • #1
Quick question on high order term such as (dx)^2

in taylor expansion, higher order terms such as (dx)^2 is ignored because it’s too small compared to the first order term…

if there is no first order term, can second order term still be ignored?

eg. if y=(dx)^2, do we always assume y=0 because (dx)^2 is too small?

Answers and Replies

  • Jul 26, 2012
  • #2
In a Taylor Expansion, we expand [itex]f[/itex] about a point [itex]x_0[/itex]. Then we take successive derivatives at [itex]x_0[/itex]. So when you say “y=(dx)^2″ do you mean that the first term in the Taylor expansion is [itex]f”(x_0)[/itex]?

Also, the higher order terms are not ignored because the derivatives are getting smaller. The higher order terms are ignored because the terms all have a [itex]1/n![/itex] which is getting very small, very fast as [itex]n to infty[/itex].

Now, to know when to cut the terms off, you need to 1)know how precise you need to be and 2)use a remainder term to get a bound on the truncation error (here is a wikipedia article: http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor’s_theorem)

  • Jul 26, 2012
  • #3
sorry, maybe I should ask my question this way:

if we have y=1+dx+(dx)^2 in the limit of x->0, we ignore the term (dx)^2 and approximate y=1+dx, is this because the term (dx)^2 is too small relative to dx or is it because the term is just absolutely too small?

ie. if we have y=1+(dx)^2 in the limit of x->0, do we still ignore (dx)^2 in this case or we can’t since there is no dx term.

  • Jul 26, 2012
  • #4
You mean as [itex]dx to 0 [/itex] right? Usually the arguments you are making are more intuitive type arguments rather than rigorous arguments. But, we ignore the dx^2 because it is much smaller than dx. In your question, the dx^2 can’t be ignored.

Suggested for: Differential squared

  • Mar 17, 2023
  • Jan 28, 2023
  • Oct 12, 2021
  • Dec 9, 2021
  • Oct 20, 2021
  • May 22, 2020
  • Dec 19, 2021
  • May 6, 2022
  • Apr 8, 2019
  • Jul 10, 2021
  • Forums

  • Mathematics

  • Calculus

Добавить комментарий