Как найти квадрат подстановки

Как найти квадрат подстановки

Как возвести подстановку в степень

Определение 1. Подстановкой (перестановкой) множества M= n > состоящего из n первых натуральных чисел, называется взаимно-однозначное отображение множества M на себя. Число n в этом случае называется степенью подстановки (не путать с порядком подстановки!).

Подстановки будем записывать в виде таблицы, состоящей из двух строк и n столбцов следующим образом:

Пример. Примерами подстановок 5-го порядка будут подстановки:

Заметим,что порядок чисел в верхней строчке является несущественным, например,рассмотрим подстановку четвертой степени:

Поэтому эти подстановки тождественные.
Каждую подстановку можно записывать так, чтобы все числа в первой строке располагались в порядке возрастания. При такой записи подстановок любые две подстановки одной степени будут отличаться только перестановками во второй строке.

Отсюда следует довольно простой и важный вывод:

существует n! различных подстановок n – ой степени.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе “Помогите решить/разобраться (М)”.

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Возвести подстановку в степень.

Последний раз редактировалось qwertz 04.05.2013, 21:57, всего редактировалось 3 раз(а).

$<begin<pmatrix>1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 4 & 5 & 2 & 1 & 3 end<pmatrix>>$^<100>» /></p> <p>Как это сделать?</p> <p><img decoding=что означает? Что будет, если применить его 2 раза? Три раза? Во что перейдут 1 и 4?

Последний раз редактировалось qwertz 05.05.2013, 10:09, всего редактировалось 2 раз(а).

Цикл $(1 4)$означает, что элемент '$отображается в $4$. Пробовал возводить цикл $(1 4)$во вторую степень (применить два раза), получилось, что '$перейдет в '$, а $4$в $4$, т.е тождественная подстановка. Если в третью (применить три раза), то $(1 4)^3 = (1 4)$, т.е получился сам же цикл. Стало быть, если цикл длины $n$возвести в степень $n$, то получится тождественная подстановка.
$((1 4) (2 5 3))^<100>= (1 4)^ <100>(2 5 3)^ <100>= ((1 4)^2)^ <50>((2 5 3)^3)^ <33>(2 5 3) = (1)(4)(2)(5)(3) cod (2 5 3)$» /> <br />Получилось, что тождественная подстановка <img decoding=умножается на цикл $(2 5 3)$, т.е:
$begin<pmatrix>1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 end <pmatrix>begin <pmatrix>2 & 5 & 3 \ 5 & 3 & 2 end<pmatrix>$» /><br />Никогда не умножал подстановки разных размеров, но полагаю, что получится: <br /> <img decoding=

Источник

В утверждении про остаток я говорил про один цикл, а вы применяете его к двум.

Если https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_1 и https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_2 две подстановки, то https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(c_1c_2)^{50}=(c_1c_2)dots(c_1c_2) (50 раз). В общем случае это упростить нельзя, но непересекающиеся циклы коммутативны, поэтому если https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_1 и https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?c_2 непересекающиеся циклы, то https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(c_1c_2)^{50}=c_1^{50}c_2^{50}. Для получения остатка делить степень надо на длину цикла. Чтобы понять, почему, возьмите какой-нибудь цикл и возведите его в степень 1, 2, 3 и т.д., чтобы понять закономерность.



1



Источник

Тема: Как возвести подстановку в степень?  (Прочитано 6515 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

1 2 3 4 5 6 7 8
1 7 8 5 6 2 3 4    возвести в 19-ую степень

(1)^19 (2738456)^19

« Последнее редактирование: 25 Октября 2011, 00:38:32 от Asix »

19 раз умножить саму на себя

1 2 3 4 5 6 7 8
1 7 8 5 6 2 3 4    возвести в 19-ую степень
(1)^19 (2738456)^19

А попонятней можно задачу объяснить?

За жизнью надо тщательно следить, все время избегая с ней разлуки.

А попонятней можно задачу объяснить?

Т.е.?

(1) так и остается
а вот (2738456)^19 вроде находится так:

я делю степень на длину цикла
197 и беру остаток,т.е 5
(2738456)^19=(2738456)^5

и как возвести этот цикл в 5ую степень?

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте

его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе “Помогите решить/разобраться (М)”.

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву

, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения

и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему

Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена

или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 

 Возвести подстановку в степень.

Сообщение04.05.2013, 21:55 


08/04/13
43

${begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 4 & 5 & 2 & 1 & 3 end{pmatrix}}$^{100}

Как это сделать?

Профиль  

AV_77 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение04.05.2013, 21:57 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва

В виде произведения независимых циклов представьте. Или просто начните перемножать, заметите закономерность.

Профиль  

qwertz 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение04.05.2013, 22:07 


08/04/13
43

$(1 4)(2 5 3) = (1 4)^{100} (2 5 3)^{100}$ а дальше?

Профиль  

devgen 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение04.05.2013, 22:22 


26/03/11
235
ЭФ МГУ

qwertz

1 это 4, 4 это 1, 1 это 4, 4 это 1..

Профиль  

_Ivana 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение04.05.2013, 22:40 


05/09/12
2587

Профиль  

devgen 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение04.05.2013, 22:54 


26/03/11
235
ЭФ МГУ

Профиль  

arseniiv 

 Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 00:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

Профиль  

provincialka 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12042
Казань

$(1 4)(2 5 3) = (1 4)^{100} (2 5 3)^{100}$ а дальше?

Почему равно? Вы имели в виду, что левую часть надо тоже в сотую степень возвести?

Сегодняшнее пасхальное настроение привело меня к такому совету: будьте как дети! То есть попробуйте решить задачу без теории, экспериментально. Ну вот, цикл $(14)$ что означает? Что будет, если применить его 2 раза? Три раза? Во что перейдут 1 и 4?

Профиль  

qwertz 

 Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 10:05 


08/04/13
43

Цикл $(1 4)$ означает, что элемент $1$ отображается в $4$. Пробовал возводить цикл $(1 4)$ во вторую степень (применить два раза), получилось, что $1$ перейдет в $1$, а $4$ в $4$, т.е тождественная подстановка. Если в третью (применить три раза), то $(1 4)^3 = (1 4)$, т.е получился сам же цикл. Стало быть, если цикл длины $n$ возвести в степень $n$, то получится тождественная подстановка.
$((1 4) (2 5 3))^{100} = (1 4)^{100} (2 5 3)^{100} = ((1 4)^2)^{50} ((2 5 3)^3)^{33} (2 5 3) = (1)(4)(2)(5)(3) cod (2 5 3)$
Получилось, что тождественная подстановка $(1)(4)(2)(5)(3)$ умножается на цикл $(2 5 3)$, т.е:
$begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 end{pmatrix} begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \ 5 & 3 & 2 end{pmatrix}$
Никогда не умножал подстановки разных размеров, но полагаю, что получится:
$begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \ 1 & 5 & 2 & 4 & 3 end{pmatrix}$

Профиль  

provincialka 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12042
Казань

Профиль  

bot 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5844
Новосибирск

Никогда не умножал подстановки разных размеров

А почему разложению не удивлялись? Циклы-то ведь были “разных размеров” :-)

Профиль  

arseniiv 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 16:03 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

Получилось, что тождественная подстановка $(1)(4)(2)(5)(3)$ умножается на цикл $(2 5 3)$

Обычно такие $(1)(4)(2)(5)(3)$ записывают как $()$ — ничего же не меняется. При умножении на другие циклы и вовсе не пишут.

Профиль  

provincialka 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12042
Казань

Получилось, что тождественная подстановка $(1)(4)(2)(5)(3)$ умножается на цикл $(2 5 3)$

Обычно такие $(1)(4)(2)(5)(3)$ записывают как $()$ — ничего же не меняется. При умножении на другие циклы и вовсе не пишут.

Именно это я и имела в виду, сказав, что ответ

верный. Впрочем, это мелочи – как человеку понятнее, так пусть и записывает.

Профиль  

qwertz 

Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 18:54 


08/04/13
43

А почему разложению не удивлялись? Циклы-то ведь были “разных размеров”

Совсем недавно начал изучать подстановки. Опыта мало, многие вещи становятся понятными не сразу. Но с вами процесс понимания идет быстрее, чем с литературой. Всем большое спасибо!
Кстати, насчет литературы. Скачал уже не одну книгу, в каждой чуть теории по этим подстановкам. А в книжках по теории чисел (Бухштаб, Виноградов) вообще ничего. Скорее, в книгах по Алгебре много информации по ним. Может, посоветуете?

Профиль  

arseniiv 

 Re: Возвести подстановку в степень.

Сообщение05.05.2013, 21:52 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Обычно такие $(1)(4)(2)(5)(3)$ записывают как $()$ — ничего же не меняется. При умножении на другие циклы и вовсе не пишут.

Именно это я и имела в виду, сказав, что ответ

верный. Впрочем, это мелочи – как человеку понятнее, так пусть и записывает.

Я этого и не оспаривал. Знание, что не обязательно писать $(81)(82)(83)$, не будет лишним. :-)

Профиль  

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

10:24

Степень подстановки что это

Определение 1. Подстановкой (перестановкой) множества  M={1,2,3,…n} состоящего из  n первых натуральных чисел, называется взаимно-однозначное отображение множества  M на себя. Число  n  в этом случае называется степенью подстановки (не путать с порядком подстановки!).

Подстановки будем записывать в виде таблицы, состоящей из двух строк и  n столбцов следующим образом:

Пример. Примерами подстановок 5-го порядка будут подстановки:

Заметим,что порядок чисел в верхней строчке является несущественным, например,рассмотрим подстановку четвертой степени:

Поэтому эти подстановки тождественные.
Каждую подстановку можно записывать так, чтобы все числа в первой строке располагались в порядке возрастания. При такой записи подстановок любые две подстановки одной степени будут отличаться только перестановками во второй строке.

Отсюда следует довольно простой и важный вывод:

существует n! различных подстановок n – ой степени.

P.S. Перестановку записанную в две строки обычно называют подстановкой.
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Категория: Комбинаторика | Просмотров: 4385 | | Теги: перестановки | Рейтинг: 3.0/2

Источник

Добавить комментарий