Как найти квадрат радиуса окружности с центром

Найти центр и радиус окружности

Если окружность задана уравнением вида

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

Окружность

Привет, друг! Ниже собрана вся информация по окружности: что это такое, как найти ее величины, как круг связан с тригонометрией. Это поможет тебе еще лучше разобраться с этими темами, а также верно решать задачи! Время прочтения — 10 минут.

Что такое окружность?

Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки, а ее радиусом называют отрезок, который соединяет любую её точку с центром (все радиусы окружности равны). У окружности также есть диаметр — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр.

Выделяют также такое понятие как единичная окружность. Она представляет из себя такую окружность, центр которой располагается в начале координат, а ее радиус равен единице.

Есть еще один вид окружности — числовая. Это обычная единичная окружность, но с уже установленным соответствием между действительными числами и точками.

Как найти длину окружности

Зачастую в задачах просят найти длину окружности, как это сделать?

Так, для того чтобы найти длину окружности, нужно:

1. Диаметр этой окружности умножить на , число ≈ 3,1415926535…

1. Найти удвоенное произведение радиуса и числа

Формулы:

Где r — это радиус окружности, а d — ее диаметр, а число — это математическая константа (отношение длины окружности к длине ее диаметра)

Чему равен радиус окружности

Радиус окружности необходимо знать, чтобы решить многие задачи, поэтому давай вместе разберем, как его можно найти.

1. Через площадь окружности : R=s, где S — площадь круга, — это математическая константа, которая объяснена выше.
2. Через длину круга: R=P2, где P — длина круга.
3. Через диаметр окружности: R=d2, где d — диаметр.
4. Через диагональ вписанного треугольника: R=d2, где d=a2 b2.
5. Через сторону описанного квадрата: R= a2, где а — сторона описанного квадрата.
6. Через стороны и площадь вписанного треугольника: R=abc4S, где abc — стороны вписанного треугольника, а S — его площадь.
7. Через площадь и полупериметр описанного треугольника: R=sp, где S — площадь треугольника, а p — полупериметр.
8. Через площадь сектора и его центральный угол: R=360Spa, где S — площадь сектора круга, α — его центральный угол.
9. Через сторону вписанного правильного многоугольника: R=a2sin(180N), где a — сторона правильного многоугольника (все его стороны равны), N — количество сторон многоугольника.

Окружность в тригонометрии

Окружность используется и в тригонометрии:

Что значат на рисунке все обозначение?

1. Присутствует перевод градусов в радианы (и наоборот). В полном круге — 360 градусов ( радиан);

1. Значение косинуса угла — на оси Х, а значение синуса — на У;

1. Синус и косинус имеют значения от -1 до 1;

1. На тригонометрическом круге видно, что косинус как и синус — периодические (один период равен 2).

Что еще важно знать?

Полный круг — 360 градусов.

Точка с координатами (1;0) — угол 0 градусов соответствует углу ноль градусов, а точка с координатами (-1;0) соответствует углу 180 градусов, точка с координатами (0;1) — в 90 градусов.

Косинус угла — абсцисса точки на единичной окружности, которая соответствует приведенному углу.

Синус угла — ордината точки на единичной окружности, которая соответствует приведенному углу.

Потому как окружность единичная, то для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1. Так:

Из этого можно выделить основное тригонометрическое тождество:

cos^2 a + sin^2 a = 1

По рисунку видно, что

,

Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол 720 — это два полных оборота по часовой стрелке. Из этого можно сделать такой вывод:

Если же применять в этих формулах не градусы, а радианы, то:

Можно также по рисунку тригонометрической окружности определить тангенс угла и котангенс:

В результате, мы получаем таблицу:

Углы поворота

Угол поворота — это угол, образованный положительным направлением оси OX и лучом OA.

Их величина не имеет зависимости от радиуса приведенной окружности.

Угол в первом квадранте(четверти круга), имеет все положительные значения тригонометрических функций.

Во втором квадранте все функции (кроме sin и cos) — отрицательные.

В третьем квадранте значения всех функций (помимо tg и ctg) меньше 0.

В четвертом квадранте все функции (кроме cos и sec) с отрицательным значением.

Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение.
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x- a ) 2 + (y- b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x – 2 ) 2 + (y – ( -3 )) 2 = 4 2
или
(x – 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

Решение.
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение ( x – 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
( x – 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16
( 2 – 2) 2 + ( 3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

[spoiler title=”источники:”]

http://umschool.net/journal/uchebnik/okruzhnost/

http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/chapter0552/

[/spoiler]

Если окружность задана уравнением вида

   

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

   

   

   

   

   

Решение:

   

a=3, b=7, R²=4.

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

   

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

   

a=0, b=-3, R²=9.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

   

a=6, b=0, R²=5.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

   

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

   

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

   

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

   

Отсюда

   

   

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

   

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

Примеры.

Найти координаты центра и радиус окружности:

   

   

   

Решение:

   

Группируем слагаемые

   

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

   

Аналогично

   

Таким образом,

   

   

   

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

   

   

   

   

   

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

   

Разделим обе части уравнения на 3:

   

Далее — аналогично

   

   

   

   

   

Центр этой окружности лежит в точке

   

Найти центр и радиус окружности

Если окружность задана уравнением вида

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения

Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут — Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида на выражение вида . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Уравнение окружности

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Если точка С — центр окружности, R — ее радиус, а М — произвольная точка окружности, то по определению окружности

Равенство (1) есть уравнение окружности радиуса R с центром в точке С.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат (рис. 104) и точка С(а; b) — центр окружности радиуса R. Пусть М(х; у) — произвольная точка этой окружности.

Так как |СМ| = ( sqrt <(x — a)^2 + (у — b)^2>), то уравнение (1) можно записать так:

(x — a) 2 + (у — b) 2 = R 2 (2)

Уравнение (2) называют общим уравнением окружности или уравнением окружности радиуса R с центром в точке (а; b). Например, уравнение

есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; —3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (2) принимает вид

Уравнение (3) называют каноническим уравнением окружности.

Задача 1. Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3; —6).

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в формулу (2), получим

(х — 3) 2 + (у — (—6)) 2 = 81 или (х — 3) 2 + (у + 6) 2 = 81.

Задача 3. Найти центр и радиус окружности

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (2), видим, что а = —3, b = 5, R = 10. Следовательно, С(—3; 5), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.

Преобразуем левую часть данного уравнения:

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке (—2; 1); радиус окружности равен 3.

Задача 5. Написать уравнение окружности с центром в точке С(—1; —1), касающейся прямой АВ, если A (2; —1), B(— 1; 3).

Напишем уравнение прямой АВ:

или 4х + 3y —5 = 0.

Так как окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания радиуса необходимо найти расстояние от точки С(—1; —1) — центра окружности до прямой 4х + 3y —5 = 0:

Напишем уравнение искомой окружности

Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность x 2 + у 2 = R 2 . Рассмотрим ее произвольную точку М(х; у) (рис. 105).

Пусть радиус-вектор OM > точки М образует угол величины t с положительным направлением оси Ох, тогда абсцисса и ордината точки М изменяются в зависимости от t

(0 2 = 3 cos 2 t, у 2 = 3 sin 2 t. Складывая эти равенства почленно, получаем