Содержание:
- Определение
Определение
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого,
минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
1
$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$
Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство “читается” как справа налево,
так и слева направо, то верно и обратное равенство. Проверим равенство (1), для этого умножим двучлен
$a-b$ на
себя: $(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-a b-b a+b^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$.
При использовании формулы квадрата разности надо учитывать, что $(b-a)^{2}=(-(a-b))^{2}=(a-b)^{2}$.
Пример
Задание. Раскрыть скобки $(5 x-6 y)^{2}$
Решение. Решение проведем в два этапа, первый – возведем в квадрат по определению,
то есть умножим выражение $5 x-6 y$ на себя;
второй – используем формулу сокращенного умножения “квадрат разности”.
1. По определению:
$(5 x-6 y)^{2}=(5 x-6 y)(5 x-6 y)=5 x cdot 5 x-5 x cdot 6 y-6 y cdot 5 x+6 y cdot 6 y=$
$=25 x^{2}-30 x y-30 x y+36 y^{2}=25 x^{2}-60 x y+36 y^{2}$
2. Используя формулу сокращенного умножения:
$(5 x-6 y)^{2}=(5 x)^{2}-2 cdot 5 x cdot 6 y+(6 y)^{2}=25 x^{2}-60 x y+36 y^{2}$
Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению.
Использование такой формулы уменьшит вероятность ошибки.
С помощью формулы квадрат разности можно сравнительно легко и быстро возводить в квадрат большие числа:
$89^{2}=(90-1)^{2}=90^{2}-2 cdot 90 cdot 1+1^{2}=8100-180+1=7921$
$88^{2}=(90-2)^{2}=90^{2}-2 cdot 90 cdot 2+2^{2}=8100-360+4=7744$
Читать следующую тему: формула “разность квадратов”.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Чтобы разность возвести в квадрат, можно от суммы квадратов первого и второго выражений вычесть удвоенное их произведение:
.
Так как:
a−b2=a−b⋅a−b=a⋅a+a⋅−b−b⋅a−b⋅−b==a2−ab−ba+b2=a2−2ab+b2.
Пример:
представить квадрат в виде многочлена:
6z−92
.
Применим формулу квадрата разности:
.
Можно раскрыть квадрат как произведение одинаковых многочленов, но вычисления будут более трудоёмкими:
6z−92=6z−9⋅6z−9=6z⋅6z+6z⋅−9−9⋅6z−9⋅−9==36z2−54z−54z+81=36z2−108z+81.
В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – квадрат разности. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
-
Формула квадрата разности
- Доказательство формулы
- Примеры задач
Формула квадрата разности
Квадрат разности a и b равняется квадрату уменьшаемого (a) минус удвоенное произведение уменьшаемого и вычитаемого (a и b) плюс квадрат вычитаемого (b).
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Данное выражение равносильно и в обратную сторону:
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Доказательство формулы
Так как возведение в квадрат – это умножение числа/выражения на само себя, давайте представим нашу формулу в виде перемножения двух одинаковых скобок:
(a-b)(a-b).
Остается согласно арифметическим правилам убрать скобки, тем самым, разложив произведение на множители:
(a-b)(a-b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2.
Примеры задач
Задание
Разложите на множители квадрат разности: (4x – 2y4)2.
Решение
Применив формулу сокращенного умножения получаем:
(4x – 2y4)2 = (4x)2 – 2 ⋅ 4x ⋅ 2y4 + (2y4)2 = 16x2 – 16xy4 + 4y8
Примечание:
Знание формулы, также, позволяет производить быстрые вычисления в уме:
- 772 = (80 – 3)2 = 802 – 2 ⋅ 80 ⋅ 3 + 32 = 6400 – 480 + 9 = 5929.
- 482 = (50 – 2)2 = 502 – 2 ⋅ 50 ⋅ 2 + 22 = 2500 – 200 + 4 = 2304.
- Формула квадрата суммы
- Формула квадрата разности
- Примеры
Формула квадрата суммы
Возведем в квадрат сумму (a+b):
$$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата суммы двух выражений:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Формула помогает нам избавиться от лишней работы: не перемножать скобки каждый раз и не приводить постоянно подобные, получая из четырёх слагаемых три.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Поэтому в правиле и говорится о «выражениях», а не просто о «переменных». Например:
$$ (5x^2+7y)^2 = (5x^2 )^2+2cdot5x^2cdot7y+(7y)^2 = 25x^2+70x^2 y+49y^2 $$
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной (a+b). Он состоит из двух квадратов и двух прямоугольников. Для площади можем записать: $$ S = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
Откуда $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
И формула квадрата суммы замечательно подтверждается геометрическими соображениями.
Формула квадрата разности
Теперь возведём в квадрат разность:
$$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата разности двух выражений:
$$ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше со стороной $b lt a$.
Для его площади можем записать: $$a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b$$ Откуда $$(a-b)^2 = a^2-b^2-2(a-b)b = $$ $$a^2-b^2-2ab+2b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
И формула квадрата разности также подтверждается геометрией.
Внимание!
Не забывайте о втором слагаемом в формулах квадрата двучленов!
Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!
Неправильно: $(a+b)^2$ ≠ $a^2+b^2 или (a-b)^2 $≠$ a^2-b^2$
Правильно: $(a+b)^2 = a^2+$ 2ab $+b^2 и (a-b)^2 = a^2$ -2ab+$ b^2$
Примеры
Пример 1. Найдите квадрат суммы:
а) $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$
б) $(3+t)^2 = 3^2+2cdot3t+t^2 = 9+6t+t^2$
в) $(3a+4b)^2 = (3a)^2+2cdot3acdot4b+(4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2$
г) $(4k^2 m+5n)^2 = (4k^2 m)^2+2cdot4k^2 mcdot5n+(5n)^2 = 16k^4 m^2+40k^2 mn+25n^2$
Пример 2. Найдите квадрат разности:
а) $(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$
б) $(x-5)^2 = x^2-2xcdot5+5^2 = x^2-10x+25$
в) $(7y-9z)^2 = (7y)^2-2cdot7ycdot9z+(9z)^2 = 49y^2-126yz+81z^2$
г) $(3km^2-8n^2 )^2 = (3km^2 )^2-2cdot3km^2cdot8n^2+(8n^2 )^2 = 9k^2 m^4-48km^2 n^2+64n^4$
Пример 3. Выполните действия:
а) $(10m-1)^2+20m = (10m)^2-2cdot10mcdot1+1+20m =$
$= 100m^2-20m+1+20m = 100m^2+1 $
б) $36k^2-(1-6k)^2 = 36k^2-(1-2cdot6k+(6k)^2 ) = 36k^2-1+12k-36k^2 = 12k-1 $
в) $4(x-1)-(2x+1)^2 = 4x-4-((2x)^2+2cdot2x+1) = 4x-4-4x^2-4x-1 = -4x^2-5$
г) $ frac{1}{3} (3y+4)^2-8y = frac{1}{3} ((3y)^2+2cdot3ycdot4+4^2 )-8y = frac{1}{3} (9y^2+24y+16)-8y =$
$=3y^2+8y+frac{16}{3}-8y=3y^2+5 frac{1}{3}$
Пример 4. Решите уравнение:
а) $(7-x)^2-(x+8)^2 = 45$
$49-14x+x^2-(x^2+16x+64) = 45 $
49-14x-16x-64 = 45
-30x = 45-49+64
-30x = 60
x = -2
б) $(2x-15)^2-x(4x+3) = 153$
$(2x)^2-2cdot2xcdot15+15^2-4x^2-12x = 153 $
-60x+225-12x = 153
-72x = 153-225
-72x = -72
x = 1
Квадрат суммы и разности
- Квадрат суммы
- Квадрат разности
- Разность квадратов
Квадрат суммы
Выражение (a + b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.
Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.
Пример. Возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy.
Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2.
Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:
(3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2.
Квадрат разности
Выражение (a – b)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a – b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a – b)(a – b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Многочлен a2 – 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.
Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.
Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:
(2a2 – 5ab2)2.
Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:
(2a2 – 5ab2)2 = (2a2)2 – 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2.
Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:
(2a2)2 – 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 – 20a3b2 + 25a2b4.
Разность квадратов
Выражение a2 – b2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 – b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:
(a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2.
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:
a2 – b2 = (a + b)(a – b).
Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.
Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:
(5a2 + 3)(5a2 – 3).
Решение:
(5a2 + 3)(5a2 – 3) = (5a2)2 – 32 = 25a4 – 9.
В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:
(a + b)(a – b) = a2 – b2.
На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.
