- Формула квадрата суммы
- Формула квадрата разности
- Примеры
Формула квадрата суммы
Возведем в квадрат сумму (a+b):
$$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата суммы двух выражений:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Формула помогает нам избавиться от лишней работы: не перемножать скобки каждый раз и не приводить постоянно подобные, получая из четырёх слагаемых три.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Поэтому в правиле и говорится о «выражениях», а не просто о «переменных». Например:
$$ (5x^2+7y)^2 = (5x^2 )^2+2cdot5x^2cdot7y+(7y)^2 = 25x^2+70x^2 y+49y^2 $$
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной (a+b). Он состоит из двух квадратов и двух прямоугольников. Для площади можем записать: $$ S = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
Откуда $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
И формула квадрата суммы замечательно подтверждается геометрическими соображениями.
Формула квадрата разности
Теперь возведём в квадрат разность:
$$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата разности двух выражений:
$$ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше со стороной $b lt a$.
Для его площади можем записать: $$a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b$$ Откуда $$(a-b)^2 = a^2-b^2-2(a-b)b = $$ $$a^2-b^2-2ab+2b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
И формула квадрата разности также подтверждается геометрией.
Внимание!
Не забывайте о втором слагаемом в формулах квадрата двучленов!
Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!
Неправильно: $(a+b)^2$ ≠ $a^2+b^2 или (a-b)^2 $≠$ a^2-b^2$
Правильно: $(a+b)^2 = a^2+$ 2ab $+b^2 и (a-b)^2 = a^2$ -2ab+$ b^2$
Примеры
Пример 1. Найдите квадрат суммы:
а) $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$
б) $(3+t)^2 = 3^2+2cdot3t+t^2 = 9+6t+t^2$
в) $(3a+4b)^2 = (3a)^2+2cdot3acdot4b+(4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2$
г) $(4k^2 m+5n)^2 = (4k^2 m)^2+2cdot4k^2 mcdot5n+(5n)^2 = 16k^4 m^2+40k^2 mn+25n^2$
Пример 2. Найдите квадрат разности:
а) $(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$
б) $(x-5)^2 = x^2-2xcdot5+5^2 = x^2-10x+25$
в) $(7y-9z)^2 = (7y)^2-2cdot7ycdot9z+(9z)^2 = 49y^2-126yz+81z^2$
г) $(3km^2-8n^2 )^2 = (3km^2 )^2-2cdot3km^2cdot8n^2+(8n^2 )^2 = 9k^2 m^4-48km^2 n^2+64n^4$
Пример 3. Выполните действия:
а) $(10m-1)^2+20m = (10m)^2-2cdot10mcdot1+1+20m =$
$= 100m^2-20m+1+20m = 100m^2+1 $
б) $36k^2-(1-6k)^2 = 36k^2-(1-2cdot6k+(6k)^2 ) = 36k^2-1+12k-36k^2 = 12k-1 $
в) $4(x-1)-(2x+1)^2 = 4x-4-((2x)^2+2cdot2x+1) = 4x-4-4x^2-4x-1 = -4x^2-5$
г) $ frac{1}{3} (3y+4)^2-8y = frac{1}{3} ((3y)^2+2cdot3ycdot4+4^2 )-8y = frac{1}{3} (9y^2+24y+16)-8y =$
$=3y^2+8y+frac{16}{3}-8y=3y^2+5 frac{1}{3}$
Пример 4. Решите уравнение:
а) $(7-x)^2-(x+8)^2 = 45$
$49-14x+x^2-(x^2+16x+64) = 45 $
49-14x-16x-64 = 45
-30x = 45-49+64
-30x = 60
x = -2
б) $(2x-15)^2-x(4x+3) = 153$
$(2x)^2-2cdot2xcdot15+15^2-4x^2-12x = 153 $
-60x+225-12x = 153
-72x = 153-225
-72x = -72
x = 1
Квадрат суммы и разности
- Квадрат суммы
- Квадрат разности
- Разность квадратов
Квадрат суммы
Выражение (a + b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.
Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.
Пример. Возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy.
Решение: Чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:
(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2.
Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:
(3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2.
Квадрат разности
Выражение (a – b)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a – b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a – b)(a – b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что
(a – b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Многочлен a2 – 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.
Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.
Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:
(2a2 – 5ab2)2.
Решение: Используя формулу квадрата разности, находим:
(2a2 – 5ab2)2 = (2a2)2 – 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2.
Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:
(2a2)2 – 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 – 20a3b2 + 25a2b4.
Разность квадратов
Выражение a2 – b2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 – b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:
(a + b)(a – b) = a2 + ab – ab – b2 = a2 – b2.
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:
a2 – b2 = (a + b)(a – b).
Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.
Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:
(5a2 + 3)(5a2 – 3).
Решение:
(5a2 + 3)(5a2 – 3) = (5a2)2 – 32 = 25a4 – 9.
В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть, нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:
(a + b)(a – b) = a2 – b2.
На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Алгебра
- Формулы сокращенного умножения
- Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений
Квадрат суммы двух выражений
Рассмотрим выражение 
. Преобразуем это выражение в многочлен. Согласно определению степени с натуральным показателем можем записать:
.
Согласно правилу умножения многочлена на многочлен, получим:
Итак, мы получили тождество 
, которое называют формулой квадрата суммы двух выражений.
Правило:
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.
Пример. Представьте в виде многочлена выражение:
Решение:
По формуле квадрата суммы двух выражений получаем:
Квадрат разности двух выражений
Рассмотрим выражение 
. Преобразуем это выражение в многочлен. Согласно определению степени с натуральным показателем можем записать:
Согласно правилу умножения многочлена на многочлен, получим:
Итак, мы получили тождество 
, которое называют формулой квадрата разности двух выражений.
Правило:
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.
Пример. Представьте в виде многочлена выражение:
Решение:
По формуле квадрата разности двух выражений получаем:
Полученные формулы относят к формулам сокращенного умножения, т.к. с помощью этих формул можно, не используя правило умножения многочлена на многочлен, проще возводить в квадрат сумму либо разность любых двух выражений.
Советуем посмотреть:
Произведение разности и суммы двух выражений. Разность квадратов двух выражений.
Сумма и разность кубов двух выражений
Введение в алгебру
Линейное уравнение с одной переменной
Решение задач с помощью уравнений
Тождественно равные выражения. Тождества
Степень с натуральным показателем
Свойства степени с натуральным показателем
Одночлены
Многочлены
Сложение и вычитание многочленов
Умножение одночлена на многочлен
Умножение многочлена на многочлен
Разложение многочленов на множители
Формулы сокращенного умножения
Функции
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Алгебра
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Номер 591,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 627,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 650,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 655,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 662,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 664,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1068,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1179,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1185,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 77,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 113,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 152,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 161,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 165,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 191,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 193,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 352,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 487,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются
формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо
«a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие
алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Запомните!
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Примеры:
- 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
Квадрат суммы
Запомните!
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе
плюс квадрат второго числа.
(a + b)2 =
a2 + 2ab + b2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:
Найти 1122.
- Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1 - Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
1122 = (100 + 12)2 - Воспользуемся формулой квадрата суммы:
1122 = (100 + 12)2 = 1002 +
2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
Предостережение!
(a + b)2 не
равно (a2 + b2)
Квадрат разности
Запомните!
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе
плюс квадрат второго числа.
(a − b)2 =
a2 − 2ab + b2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a − b)2 = (b − a)2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b)2 =
a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2
Куб суммы
Запомните!
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа
на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b)3 =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт «a3».
- Два многочлена посередине имеют коэффициенты
3. - Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
(a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле
идёт понижение
степени «a» и увеличение степени
«b». В этом можно убедиться:
(a + b)3 =
a3b0 +
3a2b1 + 3a1b2 +
b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Предостережение!
(a + b)3
не равно a3 + b3
Куб разности
Запомните!
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное
произведение квадрата первого числа на второе
плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b)3 =
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и
«−».
Перед первым членом «a3 »
стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем).
Значит, перед следующим членом будет
стоять «−», затем опять «+» и т.д.
(a − b)3 =
+ a3 −
3a2b
+ 3ab2 −
b3
=
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Запомните!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a3 + b3 =
(a + b)(a2 − ab + b2)
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
- Первая скобка — сумма двух чисел.
- Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a2− ab + b2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Запомните!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a3 − b3 =
(a − b)(a2 + ab + b2)
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.
Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Примеры:
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
15 ноября 2015 в 10:23
Кристина Костенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Кристина Костенко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
(x+y+z)3=
0
Спасибо
Ответить
12 июня 2016 в 1:59
Ответ для Кристина Костенко
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Перемножить тупо лень?
0
Спасибо
Ответить
6 сентября 2015 в 19:02
Артур Хорішко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Артур Хорішко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
(3ч-4)в квадрате=0,25
0
Спасибо
Ответить
2 сентября 2016 в 15:41
Ответ для Артур Хорішко
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
полагаю, что имеется ввиду пример:
(3 · x ?4)2=0,25
Применим формулу «разность квадратов» и решим квадратное уравнение, найдя корни.
9 · x2 ? 2 · 3 · 4 · x + 16 = 0,25
9x2-24x+15,75=0
D=9
x1=1,5
x2=1
Произведем проверку подставив в исходное выражение каждый из получившихся корней:
1) (3 · 1,5 ?4)2=0,25
0,52=0,25
2) (3 ·
?4)2=0,25
-0,52=0,25
0
Спасибо
Ответить
Содержание:
- Определение
Определение
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого,
минус удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго.
1
$(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$
Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Так как любое математическое равенство “читается” как справа налево,
так и слева направо, то верно и обратное равенство. Проверим равенство (1), для этого умножим двучлен
$a-b$ на
себя: $(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-a b-b a+b^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$.
При использовании формулы квадрата разности надо учитывать, что $(b-a)^{2}=(-(a-b))^{2}=(a-b)^{2}$.
Пример
Задание. Раскрыть скобки $(5 x-6 y)^{2}$
Решение. Решение проведем в два этапа, первый – возведем в квадрат по определению,
то есть умножим выражение $5 x-6 y$ на себя;
второй – используем формулу сокращенного умножения “квадрат разности”.
1. По определению:
$(5 x-6 y)^{2}=(5 x-6 y)(5 x-6 y)=5 x cdot 5 x-5 x cdot 6 y-6 y cdot 5 x+6 y cdot 6 y=$
$=25 x^{2}-30 x y-30 x y+36 y^{2}=25 x^{2}-60 x y+36 y^{2}$
2. Используя формулу сокращенного умножения:
$(5 x-6 y)^{2}=(5 x)^{2}-2 cdot 5 x cdot 6 y+(6 y)^{2}=25 x^{2}-60 x y+36 y^{2}$
Как видно, использование формулы сокращенного умножения привело к более быстрому решению.
Использование такой формулы уменьшит вероятность ошибки.
С помощью формулы квадрат разности можно сравнительно легко и быстро возводить в квадрат большие числа:
$89^{2}=(90-1)^{2}=90^{2}-2 cdot 90 cdot 1+1^{2}=8100-180+1=7921$
$88^{2}=(90-2)^{2}=90^{2}-2 cdot 90 cdot 2+2^{2}=8100-360+4=7744$
Читать следующую тему: формула “разность квадратов”.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
