Как найти квадрат суммы двух чисел

Алгебра

7 класс

Урок № 26

Квадрат суммы

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Многочлен.
• Формула квадрата суммы.
• Разложение многочлена на множители.

Тезаурус:

Формула квадрата суммы:

(а + b)² = а² + 2аb + b²

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Формула квадрата суммы:

(а + b)² = а² + 2аb + b².

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа, т. к. а и b можно считать произвольными числами.

Исходя из определения степени, левая часть формулы квадрата суммы – это произведение двух одинаковых многочленов. Применим правило умножения многочлена на многочлен и получим выражение, которое будет совпадать с правой частью формулы квадрата суммы.

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Будем применять формулу квадрата суммы, при выполнении различных заданий.

Например, преобразуем выражение в многочлен стандартного вида.

(2а + 3с)² = (2а)² + 2·2а·3с + (3с)² = 4а² + 12ас + 9с².

Эту формулу можно применить для упрощения вычислений.

Например, вычислим 42² = (40 + 2)² = 40²+2·40·2 + 2² = 1600 +160 + 4 = 1764.

Ответ:1764.

Стоит отметить, что если формулу квадрата суммы читать справа налево, то говорят, что представленный многочлен можно разложить на множители, притом на два одинаковых.

а² + 2аb + b² = (а + b)² – разложение на множители.

Представим многочлен в виде квадрата суммы:

25а² + 10ас + с².

Решение:

25а² + 10ас + с² = (5а)² + 2 · 5ас + (с)² = (5а + с) ².

Докажем, что при любом значении с, многочлен 9с² +30с + 25 принимает положительные значения.

Доказательство.

Для доказательства воспользуемся формулой квадрата суммы. Представим многочлен 9с² + 30с + 25 в виде квадрата суммы.

9с² + 30с + 25 = (3с + 5)²

Квадрат любого числа всегда принимает положительное значение, поэтому при любом значении с, многочлен 9с² +30с + 25 принимает положительные значения.

Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена:

6ас + а² + 9с².

Решение.

Для начала, переставим первое и второе слагаемое местами. Далее обратим внимание на первое и последнее слагаемое многочлена. Первое слагаемое это квадрат а, третье слагаемое ‑ квадрат выражения 3с. Так как второе слагаемое равно удвоенному произведению выражения 3с и а, то этот трёхчлен можно представить в виде квадрата суммы 3с и а.

6ас + а² + 9с² = а² + 6ас + 9с² = а² + 2 · 3ас + (3с)² = (а + 3с)²

Ответ: (а + 3с)².

2. Представьте выражение в виде многочлена:

с(с + 8х)².

Решение.

Воспользуемся формулой квадрата суммы и правилом умножения одночлена на многочлен.

с(с + 8х)² = с(с² + 2 · 8хс + (8х)²) = с(с² + 16хс + 64х)² = с³ + 16с²х + 6 4х².

Ответ: с³ + 16с²х + 64х².

Квадрат суммы и разности

• Квадрат суммы
• Квадрат разности
• Разность квадратов

Квадрат суммы

Выражение  (a + b)²  — это квадрат суммы чисел  a  и  b.  По определению степени выражение  (a + b)²  представляет собой произведение двух многочленов  (a + b)(a + b).  Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Многочлен  a² + 2ab + b²  называется разложением квадрата суммы.

Так как  a  и  b  обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Квадрат разности

Выражение  (a – b)²  — это квадрат разности чисел  a  и  b.  Выражение  (a – b)²  представляет собой произведение двух многочленов  (a – b)(a – b).  Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a – b)² = (a – b)(a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a – b)² = a² – 2ab + b².

Многочлен  a² – 2ab + b²  называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Разность квадратов

Выражение  a² – b²  — это разность квадратов чисел  a  и  b.  Выражение  a² – b² представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b².

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a² – b² = (a + b)(a – b).

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо, и справа налево, в зависимости от ситуации.

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, квадрат суммы. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

• Формула квадрата суммы

• Доказательство формулы
  • Арифметическое

  • Геометрическое

• Примеры задач

Формула квадрата суммы

Квадрат суммы слагаемых a и b равняется квадрату a плюс удвоенное произведение a и b плюс квадрат b.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Выражение может быть представлено и в обратном порядке:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Доказательство формулы

Арифметическое

Представим формулу в виде произведения двух одинаковых скобок (другими словами, умножим выражение на само себя):
(a+b)(a+b).

Теперь раскроем скобки согласно арифметическим правилам и получаем:
(a+b)(a+b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b².

Геометрическое

Для того, чтобы доказать формулу геометрически, изобразим квадрат, который поделен с помощью двух отрезков на четыре части таким образом, что получились:

• два квадрата с разной длиной стороны (a или b);
• 2 прямоугольника с одинаковой длиной (a) и шириной (b).

Площадь большого квадрата равна (a + b)² и, одновременно, сумме площадей фигур, из которых состоит:

S_кв. = (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Примеры задач

Задание
Чему равен квадрат суммы (2x + 4y³)²?

Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(2x + 4y³)² = (2x)² + 2 ⋅ 2x ⋅ 4y³ + (4y³)² = 4x² + 16xy³ + 16y⁶

Примечание:
Формулу можно использовать для быстрых расчетов в уме, например:

• 63² = (60 + 3)² = 60² + 2 ⋅ 60 ⋅ 3 + 3² = 3600 + 360 + 9 = 3969.
• 94² = (90 + 4)² = 90² + 2 ⋅ 90 ⋅ 4 + 4² = 8100 + 720 + 16 = 8836.

Квадрат суммы

Определение.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Вывод формулы квадрата суммы

Для доказательства справедливости формулы квадрата суммы достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Применение формулы квадрата суммы

Формулу квадрата суммы удобно использовать:

• для раскрытия скобок
• для упрощения выражений
• для вычисления квадратов больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик

Геометрическая интерпретация

Формулу квадрата суммы двух положительных чисел a и b можно изобразить геометрически

Рассмотрим квадрат со стороной (a + b), его площадь равна (a + b)².

В противоположных углах рассматриваемого квадрата построим квадраты со сторонами a и b.

Тогда большой начальный квадрат, будет разделен на четыре части: два квадрата с площадями a² и b², а также два прямоугольника с площадями равными ab. Тогда получаем, что

(a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + b² + ab+ ab = a² + 2ab + b²

Примеры задач на применение формулы квадрата суммы

Пример 1.

Раскрыть скобки (x + 3)².

Решение:

(x + 3)² = x² + 2·3·x + 3² = x² + 6x + 9

Пример 2.

Раскрыть скобки (2x + 3y²)².

Решение:

(2x + 3y²)² = (2x)² + 2·(2x)·(3y²) + (3y²)² = 4x² + 12xy² + 9y⁴

Пример 3.

Упростить выражение

9x² + 6x + 1(3x + 1)

.

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе – это разложенный квадрат суммы

9x² + 6x + 1(3x + 1) = (3x + 1)²(3x + 1) = 3x + 1

Заметим, что с помощью формулы квадрата суммы легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.

Пример 4.

Вычислить 71².

Решение:

71² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041