Как найти квадрат суммы кубов цифр числа

Как найти квадрат суммы кубов цифр числа

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор Сообщение

Заголовок сообщения: Сумма кубов равна квадрату суммы – как это доказать?

СообщениеДобавлено: 30 ноя 2010, 20:35 
Не в сети
Начинающий


Зарегистрирован:
30 ноя 2010, 20:15
Сообщений: 39
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации

Когда-то ещё в школе (в 50-е годы) я, развлекаясь, случайно убедился в том, что сумма кубов натуральных чисел от 1 до n (всего n слагаемых) равна квадрату суммы этих чисел, т.е.

[math]1^3+2^3+cdots+n^3=(1+2+cdots+n)^2[/math].

Проверил справедливость этого тождества до n=6 или 7. Чувствую, что оно справедливо для любого n, но как это доказать?

Последний раз редактировалось VolBorN 01 дек 2010, 13:12, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

VolBorN

Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?

СообщениеДобавлено: 01 дек 2010, 14:34 

Если приведенное равенство справедливо, то его можно интерпретировать геометрически. Для этого:
1.Строим квадрат с длиной стороны а=(1+2+…+n).
2.Сторону квадрата разбиваем на отрезки. Их длины: 1, 2, …, n.
3.Считаем, что каждый отрезок по п.2 – это ребро куба.
4.Строим для каждого ребра куба по п.3 – куб.
Получается, что площадь квадрата по п.1 численно равна сумме объёмов кубов по п.4.
Если одна из граней каждого куба принадлежит плоскости квадрата, то совокупность кубов представляет собой лестницу. Высота ступеньки лестницы (между соседними кубами) будет равна 1.

Последний раз редактировалось VolBorN 02 дек 2010, 16:32, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

VolBorN

Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?

СообщениеДобавлено: 02 дек 2010, 15:05 

Рассмотрим ряд:
k, 2k, …, nk. (1).
Сумма кубов членов этого ряда [math]V=k^3S[/math], где S – сумма кубов членов ряда:
1, 2, …, n, (2)
или, что тоже самое, S – квадрат суммы членов ряда (2).
Квадрат суммы членов ряда (1) равен [math]P=k^2S[/math].
Очевидно, что при k>1, V>P, при k<1, V<P, а при k=1, V=P=S.

Последний раз редактировалось VolBorN 02 дек 2010, 17:25, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

Alexdemath

Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?

СообщениеДобавлено: 02 дек 2010, 17:50 

Prokop писал(а):

Alexdemath писал(а):

Интереснее найти произвольные целые числа а, b, c, d, … (не обязательно все различные), сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.
:D1

Например [math]n[/math] натуральных чисел, каждое из которых равно [math]n[/math]. :)

Есть простой алгоритм нахождения некоторых таких чисел.

Возьмем, например, число 6, у него 4 делителя: 1; 2; 3; 6, у единицы 1 делитель, у двойки 2 делителя, у тройки 2 делителя, у шестерки 4 делителя – вот эти делители и будут числами, сумма кубов которых равна квадрату их суммы:

[math]1^3+2^3+2^3+4^3=(1+2+2+4)^2[/math]
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath “Спасибо” сказали:
Prokop

VolBorN

Заголовок сообщения: Re: Как это доказать?

СообщениеДобавлено: 02 дек 2010, 23:13 

“Возьмем, например, число 6, у него 4 делителя… “

Почему именно 6? Ведь, в конечном итоге, точно такой же набор чисел: 1, 2, 2, 4 (для суммы кубов и квадрата суммы), имел бы место, если бы в качестве исходного числа для поиска делителей было выбрано число 10 (с делителями 1, 2, 5, 10), или число 15 (с делителями 1, 3, 5, 15), или число 21 (с делителями 1, 3, 7, 21) и т.д.
Вернуться к началу

Профиль  

Cпасибо сказано 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Формула суммы трёх квадратов равна четвёртому квадрату

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Serdyukruslan

21

568

10 июл 2022, 18:16
Доказать неравенство суммы кубов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

mathhelp

4

915

28 май 2015, 01:25
Доказать, что сумма приращений равна разности первообразной

в форуме Интегральное исчисление

mathematic_x

1

180

02 июл 2020, 14:39
Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна четвертая степен

в форуме Теория чисел

Phenol

1

281

01 апр 2020, 14:23
Сумма двух чисел и сумма их квадратов равна кубу

в форуме Теория чисел

johnson

5

898

14 мар 2017, 22:00
Доказать кратность дискриминанта квадрату коэффициента

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Zeuszeus

5

1454

17 окт 2018, 16:00
Опять сумма кубов

в форуме Алгебра

alekscooper

6

448

19 янв 2018, 07:09
Сумма трех кубов

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

bimol

13

34654

31 мар 2019, 16:53
Сумма кубов двух чисел

в форуме Алгебра

Imanna

1

872

24 окт 2013, 05:40
Сумма кубов – для отвода глаз?

в форуме Алгебра

alekscooper

7

472

16 янв 2018, 18:08

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

0 / 0 / 0

Регистрация: 19.12.2009

Сообщений: 12

1

Равен ли квадрат заданного числа сумме кубов его цифр

19.12.2009, 11:59. Показов 3655. Ответов 16

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дано трехзначное целое число. Определить, равен ли квадрат этого числа сумме кубов его цифр



0

Programming

Эксперт

94731 / 64177 / 26122

Регистрация: 12.04.2006

Сообщений: 116,782

 19.12.2009, 11:59

16

Iworb

анимешник++

95 / 62 / 7

Регистрация: 03.11.2009

Сообщений: 427

19.12.2009, 13:12

2
C 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

#include<conio.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
 
void main()
{
    int x, i;
    int X[3];
    double xk;
    clrscr();
    vvod:
    printf("chislo:");
    scanf("%d", &x);
    if ((x<100)||(x>999))
    {
        printf("nnevernyi vvod!");
        goto vvod;
    }
    xk=x*x*x;
    for(i=0;i<3;i++)
    {
    X[i]=x % 10;
    x=x / 10;
    }
    if(xk>(X[0]*X[0]+X[1]*X[1]+X[2]*X[2]))
        printf("nKUB chisla bol`she");
    else
        printf("nSUMMA kvadratov chisel bol`she");
    getch();
}

Добавлено через 1 минуту
так точнее

C 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32

#include<conio.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
 
void main()
{
    int x, i;
    int X[3];
    double xk;
    clrscr();
    vvod:
    printf("chislo:");
    scanf("%d", &x);
    if ((x<100)||(x>999))
    {
        printf("nnevernyi vvod!");
        goto vvod;
    }
    xk=x*x*x;
    for(i=0;i<3;i++)
    {
    X[i]=x % 10;
    x=x / 10;
    }
    if(xk>(X[0]*X[0]+X[1]*X[1]+X[2]*X[2]))
        printf("nKUB chisla bol`she");
    if(xk<(X[0]*X[0]+X[1]*X[1]+X[2]*X[2]))
        printf("nSUMMA kvadratov chisel bol`she");
    if((xk=(X[0]*X[0]+X[1]*X[1]+X[2]*X[2])))
        printf("nRavny")
    getch();
}



0

Эксперт С++

4726 / 2547 / 757

Регистрация: 18.08.2009

Сообщений: 4,568

19.12.2009, 13:20

3

Iworb,

Цитата
Сообщение от Goalkipeer
Посмотреть сообщение

равен ли квадрат этого числа сумме кубов его цифр

Т.е. xk=x*x;
А вот эти все сравнения, тогда так: if(xk>(X[0]*X[0]*X[0]+X[1]*X[1]*X[1]+X[2]*X[2]*X[2]))
Кстати последнее сравнение нужно не так: if((xk=(X[0]… , а так: if((xk==(X[0]…



0

Iworb

анимешник++

95 / 62 / 7

Регистрация: 03.11.2009

Сообщений: 427

19.12.2009, 13:28

4

а, ну да))) я недочитал немного условие, да и там оплощал =)
а последнее думаю не так важно, ведь если первых два условия не выполняются, то они равны – следовательно можно и присвоить их =)) ну лана

C 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32

#include<conio.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
 
void main()
{
        int x, i;
        int X[3];
        double xk;
        clrscr();
        vvod:
        printf("chislo:");
        scanf("%d", &x);
        if ((x<100)||(x>999))
        {
                printf("nnevernyi vvod!");
                goto vvod;
        }
        xk=x*x;
        for(i=0;i<3;i++)
        {
        X[i]=x % 10;
        x=x / 10;
        }
        if(xk>(X[0]*X[0]*X[0]+X[1]*X[1]*X[1]+X[2]*X[2]*X[2]))
                printf("nKUB chisla bol`she");
        if(xk<(X[0]*X[0]*X[0]+X[1]*X[1]*X[1]+X[2]*X[2]*X[1]))
                printf("nSUMMA kvadratov chisel bol`she");
        if((xk==(X[0]*X[0]*X[0]+X[1]*X[1]*X[1]+X[2]*X[2]*X[2])))
                printf("nRavny")
        getch();
}



0

outoftime

║XLR8║

1212 / 909 / 270

Регистрация: 25.07.2009

Сообщений: 4,361

Записей в блоге: 5

19.12.2009, 13:28

5
C++ 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

#include <iostream>
 
using namespace std;
 
int main()
{
    int k, k2, k3 = 1;
    cin >> k;
    k2 = k*k;
    while (k)   {
        k3 += (k % 10)*(k % 10)*(k % 10);
        k /= 10;
    }
    cout << ((k2 == k3) ? ("raven") : ("neraven")) << endl;
    system("pause");
    return 0;
}



0

Эксперт С++

4726 / 2547 / 757

Регистрация: 18.08.2009

Сообщений: 4,568

19.12.2009, 13:32

6

outoftime,

Цитата
Сообщение от Goalkipeer
Посмотреть сообщение

равен ли квадрат этого числа сумме кубов его цифр

Сумме кубов, а не призведению его цифр!



0

║XLR8║

1212 / 909 / 270

Регистрация: 25.07.2009

Сообщений: 4,361

Записей в блоге: 5

19.12.2009, 13:52

7

я сам поправил, + у меня все ровно код приятней..



0

Эксперт по математике/физике

4216 / 3411 / 396

Регистрация: 15.06.2009

Сообщений: 5,818

19.12.2009, 14:13

8

Наибольшая цифра – 9, 9*9*9 = 729, тогда максимум суммы кубов цифр 3*729 = 2187
Наименьшее 3-хзначное число – 100, минимум квадрата числа 100*100 = 10000
Вывод: равенство невозможно



0

║XLR8║

1212 / 909 / 270

Регистрация: 25.07.2009

Сообщений: 4,361

Записей в блоге: 5

19.12.2009, 14:26

9



0

0 / 0 / 0

Регистрация: 19.12.2009

Сообщений: 12

19.12.2009, 16:08

 [ТС]

10

Мне нужен язык С



0

║XLR8║

1212 / 909 / 270

Регистрация: 25.07.2009

Сообщений: 4,361

Записей в блоге: 5

19.12.2009, 16:20

11

напиши что таких не сущетсвует на промежутке от 10 до 10000, проверено..



1

0 / 0 / 0

Регистрация: 19.12.2009

Сообщений: 12

19.12.2009, 16:33

 [ТС]

12

мне надо всю программку а не только ответ



0

CyBOSSeR

Эксперт С++

2346 / 1719 / 148

Регистрация: 06.03.2009

Сообщений: 3,675

19.12.2009, 16:46

13

Вот:

C 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

#include <stdio.h>
 
int Square(int n)
{
  return n * n;
}
 
int Cube(int n)
{
  return n * n * n;
}
 
int SumOfCubes(int n)
{
  int sum_of_cubes = 0;
 
  while(n){
    int figure = n % 10;
    n /= 10;
    sum_of_cubes += Cube(figure);
  }
 
  return sum_of_cubes;
}
 
int main()
{
  int n;
 
  printf("n = ");
  scanf("%i", &n);
 
  if(Square(n) == SumOfCubes(n))
    printf("Sum of cubes and square is equaln");
  else
    printf("Sum of cubes and square is not equaln");
 
  return 0;
}

Это C. Работает для любых чисел, хоть 20-ти значных.



1

0 / 0 / 0

Регистрация: 19.12.2009

Сообщений: 12

19.12.2009, 17:23

 [ТС]

14

это язык С или С++?



0

Эксперт С++

2346 / 1719 / 148

Регистрация: 06.03.2009

Сообщений: 3,675

19.12.2009, 17:35

15

Я же писал:

Цитата
Сообщение от CyBOSSeR
Посмотреть сообщение

Это C.



0

║XLR8║

1212 / 909 / 270

Регистрация: 25.07.2009

Сообщений: 4,361

Записей в блоге: 5

19.12.2009, 21:28

16

Цитата
Сообщение от CyBOSSeR
Посмотреть сообщение

Работает для любых чисел, хоть 20-ти значных.

вы видимо не учили ограничение типов, инт это 2*10^9, т.е. 9 цыфр (маленькая поправка) и если я не ошибаюсь, то на си это еще меньше, типа 3*10^5



0

Эксперт С++

2346 / 1719 / 148

Регистрация: 06.03.2009

Сообщений: 3,675

19.12.2009, 22:43

17

Цитата
Сообщение от outoftime
Посмотреть сообщение

вы видимо не учили ограничение типов, инт это 2*10^9, т.е. 9 цыфр (маленькая поправка) и если я не ошибаюсь, то на си это еще меньше, типа 3*10^5

Про 20-ти значное число это естественно преувеличение.



0
Источник

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – сумма кубов, с помощью которой выполняется раскладывание выражения на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

  • Формула суммы кубов

  • Доказательство формулы

  • Примеры задач

Формула суммы кубов

Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Полный квадрат разности выглядит так: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное, поэтому выражение называется неполным.

Формула справедлива и справа-налево:

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

Примечание: a3 + b3 ≠ (a + b)3

Доказательство формулы

Убедиться в правильности выражения можно, просто перемножив скобки, соблюдая правила арифметики при их раскрытии. Давайте так и сделаем:

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3.

Примеры задач

Задание 1
Разложите на множители выражение: 63 + (4x)3.

Решение
63 + (4x)3 = (6 + 4x)(62 – 6 ⋅ 4x + (4x)2) = (6 + 4x)(36 – 24x + 16x2)

Задание 2
Разложите выражение на произведение множителей: (7x)3 + (3y2)3.

Решение
(7x)3 + (3y2)3 = (7x + 3y2)((7x)2 – 7x ⋅ 3y2 + (3y)2) = (7x + 3y2)(49x2 – 21xy2 + 9y2)

Задание 3
Представьте выражение 64x3 + 125 в виде суммы кубов и разложите его на множители.

Решение
64x3 + 125 = (4x)3 + 53 = (4x + 5)((4x)2 – 4x ⋅ 5 + 52) = (4x + 5)(16x2 – 20x + 25)

Источник

Как записывается куб суммы?

3:4611:52Рекомендуемый клип · 56 сек.Куб суммы и куб разности двух выражений. 7 класс. — YouTubeYouTubeНачало рекомендуемого клипаКонец рекомендуемого клипа

Как считать сумму в кубе?

Куб суммы двух выражений равен кубу первого, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго.

Что такое квадрат суммы двух чисел?

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе и плюс квадрат второго выражения.

Как разложить на множители сумму кубов?

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.

Как разложить на множители квадрат суммы?

1:2811:20Рекомендуемый клип · 60 сек.Алгебра 7 класс. Разложить на множители. Квадрат суммы и …YouTube

Как вывести формулу суммы кубов?

(a + b)(a2 – ab + b2). Равенство называют формулой суммы кубов. Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Как раскрыть куб в скобках?

формулы сокращенного умножения Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Куб суммы двух величин равен сумме куба первой, утроенного произведения квадрата первой на вторую, утроенного произведения первой на квадрат второй и куба второй.

Чему равен квадрат 2 чисел?

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

Как решить квадрат суммы?

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

Как разложить сумму в кубе?

Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

Как можно разложить на множители?

Существует 5 основных способов разложения многочлена на множители:

  1. вынесение общего множителя за скобки;
  2. использование формул сокращенного умножения;
  3. метод группировки;
  4. метод выделения полного квадрата;
  5. разложение квадратного трехчлена на множители.

Как разложить на множители квадратный трехчлен?

Разложение на множители квадратного трёхчлена

  1. Каждый квадратный трехчлен ax 2 + bx+ c может быть разложен на множители первой степени следующим образом.
  2. ax 2 + bx+ c = 0 .
  3. Если x1 и x2 — корни этого уравнения, то
  4. Это можно доказать, используя либо формулы корней неприведенного квадратного уравнения, либо теорему Виета.

Как разложить на множители разность кубов?

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности квадратов этих выражений. Соответственно, получаем правило для разложения разности кубов на множители. Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Как раскрывается куб разности?

Куб разности двух выражений равен кубу первого, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго.

Что такое таблица кубов?

Куб числа — есть данное число, возведенное в третью степень. То есть, чтобы найти объем куба, необходимо возвести в третью степень длину ребра куба. … Точно также, чтобы найти куб числа нужно возвести его в третью степень.

Как вычислить квадрат суммы двух чисел?

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

Как возвести в квадрат сумму?

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Источник

Добавить комментарий