- Формула квадрата суммы
- Формула квадрата разности
- Примеры
Формула квадрата суммы
Возведем в квадрат сумму (a+b):
$$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b) = a^2+ab+ab+b^2 = a^2+2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата суммы двух выражений:
$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Формула помогает нам избавиться от лишней работы: не перемножать скобки каждый раз и не приводить постоянно подобные, получая из четырёх слагаемых три.
Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Поэтому в правиле и говорится о «выражениях», а не просто о «переменных». Например:
$$ (5x^2+7y)^2 = (5x^2 )^2+2cdot5x^2cdot7y+(7y)^2 = 25x^2+70x^2 y+49y^2 $$
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной (a+b). Он состоит из двух квадратов и двух прямоугольников. Для площади можем записать: $$ S = (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab $$
Откуда $$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $$
И формула квадрата суммы замечательно подтверждается геометрическими соображениями.
Формула квадрата разности
Теперь возведём в квадрат разность:
$$ (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b)-b(a-b) = a^2-ab-ab+b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
Мы получили формулу квадрата разности двух выражений:
$$ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$$
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражения, плюс квадрат второго выражения.
Геометрическое объяснение
Рассмотрим квадрат со стороной a, в один из углов которого вписан квадрат поменьше со стороной $b lt a$.
Для его площади можем записать: $$a^2 = (a-b)^2+b^2+2(a-b)b$$ Откуда $$(a-b)^2 = a^2-b^2-2(a-b)b = $$ $$a^2-b^2-2ab+2b^2 = a^2-2ab+b^2 $$
И формула квадрата разности также подтверждается геометрией.
Внимание!
Не забывайте о втором слагаемом в формулах квадрата двучленов!
Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!
Неправильно: $(a+b)^2$ ≠ $a^2+b^2 или (a-b)^2 $≠$ a^2-b^2$
Правильно: $(a+b)^2 = a^2+$ 2ab $+b^2 и (a-b)^2 = a^2$ -2ab+$ b^2$
Примеры
Пример 1. Найдите квадрат суммы:
а) $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$
б) $(3+t)^2 = 3^2+2cdot3t+t^2 = 9+6t+t^2$
в) $(3a+4b)^2 = (3a)^2+2cdot3acdot4b+(4b)^2 = 9a^2+24ab+16b^2$
г) $(4k^2 m+5n)^2 = (4k^2 m)^2+2cdot4k^2 mcdot5n+(5n)^2 = 16k^4 m^2+40k^2 mn+25n^2$
Пример 2. Найдите квадрат разности:
а) $(m-n)^2 = m^2-2mn+n^2$
б) $(x-5)^2 = x^2-2xcdot5+5^2 = x^2-10x+25$
в) $(7y-9z)^2 = (7y)^2-2cdot7ycdot9z+(9z)^2 = 49y^2-126yz+81z^2$
г) $(3km^2-8n^2 )^2 = (3km^2 )^2-2cdot3km^2cdot8n^2+(8n^2 )^2 = 9k^2 m^4-48km^2 n^2+64n^4$
Пример 3. Выполните действия:
а) $(10m-1)^2+20m = (10m)^2-2cdot10mcdot1+1+20m =$
$= 100m^2-20m+1+20m = 100m^2+1 $
б) $36k^2-(1-6k)^2 = 36k^2-(1-2cdot6k+(6k)^2 ) = 36k^2-1+12k-36k^2 = 12k-1 $
в) $4(x-1)-(2x+1)^2 = 4x-4-((2x)^2+2cdot2x+1) = 4x-4-4x^2-4x-1 = -4x^2-5$
г) $ frac{1}{3} (3y+4)^2-8y = frac{1}{3} ((3y)^2+2cdot3ycdot4+4^2 )-8y = frac{1}{3} (9y^2+24y+16)-8y =$
$=3y^2+8y+frac{16}{3}-8y=3y^2+5 frac{1}{3}$
Пример 4. Решите уравнение:
а) $(7-x)^2-(x+8)^2 = 45$
$49-14x+x^2-(x^2+16x+64) = 45 $
49-14x-16x-64 = 45
-30x = 45-49+64
-30x = 60
x = -2
б) $(2x-15)^2-x(4x+3) = 153$
$(2x)^2-2cdot2xcdot15+15^2-4x^2-12x = 153 $
-60x+225-12x = 153
-72x = 153-225
-72x = -72
x = 1
Для успешного решения математических задач часто бывает необходимо уметь преобразовывать созданные выражения. Для этого применяют базовые знания, формулы сокращённого умножения, в том числе, квадрат суммы и квадрат разности.
Они помогают упрощать громоздкие записи, более рационально подходить к приведению дробей к одному знаменателю, решению уравнений и задач по геометрии, тригонометрии, математическому анализу, физике, химии, экономическим дисциплинам и многим другим наукам.
Поэтому среди многих разделов математики школьная алгебра занимает базовую приоритетную позицию, дающую основы вычислений для смежных предметов.
Формула квадрата разности
Для получения формулы применяют правило умножения многочлена на многочлен: нахождение суммы произведений каждого слагаемого одной скобки на каждое слагаемое второй скобки, учитывая, что квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:
Если запомнить правило, то необходимость постоянно прописывать эту цепочку равенств исчезает.
Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов каждого из выражений без их удвоенного произведения:
Примеры задач с решением
Задача №1
Требуется возвести в квадрат разность (8x – 3y).
Решение.
При использовании формулы получается:
Ответ: 64x2 – 48xy + 9y2.
Задача №2
Упростить выражение:
b2 + 49 – (b – 7)2
Решение.
Ответ: 14b.
Формула квадрата суммы и неполного квадрата суммы
Также легко, как и в предыдущем случае, выводится эта формула:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов каждого из них плюс их удвоенное произведение:
Многие школьники, начинающие знакомиться с этим материалом, часто теряют двойку во втором слагаемом правой части, получая
Однако, в этом случае, возникает неполный квадрат суммы (или разности), который на множестве действительных чисел не раскладывается на множители.
Обе формулы применяются не только для раскрытия скобок, но и для разложения на множители, что в свою очередь упрощает приведение к одному знаменателю, сокращение дробей, решение уравнений высоких степеней.
Примеры задач с решением
Задача №3
Преобразовать трёхчлен в квадрат двучлена:
28xy + 49x2 + 4y2
Решение.
Поскольку квадраты находятся на втором и третьем местах, поменяем слагаемые между собой и подготовим выражение для применения формулы:
Ответ: (7x + 2y)2.
Возведение во вторую степень суммы трёх и более слагаемых выполняется аналогично: необходимо возвести в квадрат каждый элемент, записать все возможные удвоенные произведения и сложить полученные результаты.
Правила возведения в степени более высоких порядков возникают, когда выполняется умножение одинаковых многочленов несколько раз.
Возможность выполнять возведение в квадрат больших чисел, не используя калькулятор, является одним из преимуществ сокращённого умножения.
Задача №4
Выполнить раскрытие скобок и упростить:
(x2 + 3x – 4y)2 – x4 – 9x2 – 16y2
Решение.
Ответ: 6x3 – 8x2 – 24xy.
Задача №5
Вычислить:
1032 + 1972
Решение.
Для каждого слагаемого применяется одно из правил возведения в квадрат, затем производится суммирование результатов:
Решая квадратные уравнения, вместо поиска дискриминанта выделяют полный (точный) квадрат среди слагаемых, расположенных в левой части. В правую сторону собираются оставшиеся элементы.
Задача №6
Решить уравнение:
x2 – 4x – 5 = 0
Решение.
Первые два слагаемых левой части полностью удовлетворяют формуле квадрата суммы. Соотнеся их с соответствующими элементами правила, определяют, прибавляют и вычитают третье, затем сворачивают в точный квадрат, остальные члены алгебраической суммы переносят в правую сторону:
Решениями исходного уравнения являются корни уравнений
Ответ: x = 5 или x = -1.
Разность квадратов
Ещё одной формулой сокращённого умножения является разность квадратов. Она получается при умножении суммы двух выражений на их разность.
Читается справа налево.
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму:
Применение последней записи справа налево есть раскрытие скобок более удобным способом, чем простое умножение многочленов.
Разложение на множители позволяет судить о наличии целых или натуральных корней квадратного уравнения.
Пример задачи с решением
Задача №7
Сократить дробь:
Решение.
В числителе записан квадрат разности, а в знаменателе – разность квадратов двух выражений. Применяя соответствующие формулы, получается искомый результат:
Ответ:
.
В большинстве случаев разницы, как сворачивать квадрат двучлена, не существует. Однако в данной ситуации, благодаря выражению в знаменателе, на первое место лучше поставить
, чтобы избежать игры с минусом при сокращении.
Онлайн калькуляторы помогают выполнять преобразования. Однако, поскольку формулы сокращённого умножения являются базовым материалом школьного курса, то лучше не просто получить результат, но и понять, каким образом к нему пришли.
Квадрат суммы
Определение.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Вывод формулы квадрата суммы
Для доказательства справедливости формулы квадрата суммы достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:
(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Применение формулы квадрата суммы
Формулу квадрата суммы удобно использовать:
- для раскрытия скобок
- для упрощения выражений
- для вычисления квадратов больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик
Геометрическая интерпретация
Формулу квадрата суммы двух положительных чисел a и b можно изобразить геометрически
Рассмотрим квадрат со стороной (a + b), его площадь равна (a + b)2.
В противоположных углах рассматриваемого квадрата построим квадраты со сторонами a и b.
Тогда большой начальный квадрат, будет разделен на четыре части: два квадрата с площадями a2 и b2, а также два прямоугольника с площадями равными ab. Тогда получаем, что
(a + b)2 = (a + b)·(a + b) = a2 + b2 + ab+ ab = a2 + 2ab + b2
Примеры задач на применение формулы квадрата суммы
Пример 1.
Раскрыть скобки (x + 3)2.
Решение:
(x + 3)2 = x2 + 2·3·x + 32 = x2 + 6x + 9
Пример 2.
Раскрыть скобки (2x + 3y2)2.
Решение:
(2x + 3y2)2 = (2x)2 + 2·(2x)·(3y2) + (3y2)2 = 4x2 + 12xy2 + 9y4
Пример 3.
Упростить выражение
9x2 + 6x + 1(3x + 1)
.
Решение:
Можно заметить, что выражение в числителе – это разложенный квадрат суммы
9x2 + 6x + 1(3x + 1) = (3x + 1)2(3x + 1) = 3x + 1
Заметим, что с помощью формулы квадрата суммы легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.
Пример 4.
Вычислить 712.
Решение:
712 = (70 + 1)2 = 702 + 2·70·1 + 12 = 4900 + 140 + 1 = 5041
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями), решении уравнений и неравенств, при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.
Квадрат суммы
Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: ((a+b)^2). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, ((a+b)^2=(a+b)(a+b)). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: ((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Пример. Раскрыть скобки: ((x+5)^2)
Решение:
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве (a) и (b) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.
Пример. Преобразуйте выражение ((1+5x)^2-12x-1 ) в многочлен стандартного вида.
Решение:
|
((1+5x)^2-12x-1= ) |
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы… |
|
|
(=1+10x+25x^2-12x-1=) |
…и приведем подобные слагаемые. |
|
|
(=25x^2-2x) |
Готово. |
Ответ: (25x^2-2x).
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения ((368)^2+2·368·132+(132)^2) без калькулятора.
Решение:
|
((368)^2+2·368·132+(132)^2=) |
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: (a^2+2ab+b^2=(a+b)^2) |
|
|
(=(368+132)^2=) |
Вот теперь вычислять гораздо приятнее! |
|
|
(=(500)^2=250 000.) |
Готово. |
Ответ: (250 000).
Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для ((a-b)^2):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: ((a-b)^2=a^2-2ab+b^2)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение ((2a-3)^2-4(a^2-a)) и найдите его значение при (a=frac{17}{8}).
Решение:
|
((2a-3)^2-4(a^2-a)=) |
Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки. |
|
|
(=4a^2-12a+9-4a^2+4a=) |
Теперь приведем подобные слагаемые. |
|
|
(=-8a+9=) |
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений. |
|
|
(=-8·frac{17}{8}+9=-17+9=8) |
Пишем ответ. |
Ответ: (8).
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Получили формулу:
Разность квадратов (a^2-b^2=(a+b)(a-b))
Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями.
Пример. Сократите дробь (frac{x^2-9}{x-3}).
Решение:
|
(frac{x^2-9}{x-3})(=) |
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! |
|
|
(=) (frac{x^2-3^2}{x-3})(=)(frac{(x+3)(x-3)}{x-3})(=) |
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки. |
|
|
(=x+3) |
Готов ответ. |
Ответ: (x+3).
Пример.Разложите на множители (25x^4-m^{10} t^6).
Решение:
|
(25x^4-m^{10} t^6) |
Воспользуемся формулами степеней: ((a^n )^m=a^{nm}) и (a^n b^n=(ab)^n). |
|
|
(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=) |
Ну, а теперь пользуемся формулой (a^2-b^2=(a+b)(a-b)), где (a=5x^2) и (b=m^5 t^3). |
|
|
(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )) |
Готов ответ. |
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь (frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}) .
Решение:
|
(frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3})(=) |
На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем). |
|
|
(frac{(x^2-4xy+4y^2)-9}{x-2y+3})(=) |
Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке: |
|
|
(frac{(x^2-4xy+(2y)^2)-9}{x-2y+3})(=) |
Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой (a=x), (b=2y). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как (3) в квадрате. |
|
|
(frac{(x-2y)^2-3^2}{x-2y+3})(=) |
Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой (a=(x-2y)), (b=3). Раскладываем по ней к произведению двух скобок. |
|
|
(frac{(x-2y-3)(x-2y+3)}{x-2y+3})(=) |
И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель. |
|
|
(x-2y-3) |
Готов ответ. |
В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, квадрат суммы. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.
- Формула квадрата суммы
-
Доказательство формулы
- Арифметическое
- Геометрическое
- Примеры задач
Формула квадрата суммы
Квадрат суммы слагаемых a и b равняется квадрату a плюс удвоенное произведение a и b плюс квадрат b.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Выражение может быть представлено и в обратном порядке:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Доказательство формулы
Арифметическое
Представим формулу в виде произведения двух одинаковых скобок (другими словами, умножим выражение на само себя):
(a+b)(a+b).
Теперь раскроем скобки согласно арифметическим правилам и получаем:
(a+b)(a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.
Геометрическое
Для того, чтобы доказать формулу геометрически, изобразим квадрат, который поделен с помощью двух отрезков на четыре части таким образом, что получились:
- два квадрата с разной длиной стороны (a или b);
- 2 прямоугольника с одинаковой длиной (a) и шириной (b).
Площадь большого квадрата равна (a + b)2 и, одновременно, сумме площадей фигур, из которых состоит:
Sкв. = (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
Примеры задач
Задание
Чему равен квадрат суммы (2x + 4y3)2?
Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(2x + 4y3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 4y3 + (4y3)2 = 4x2 + 16xy3 + 16y6
Примечание:
Формулу можно использовать для быстрых расчетов в уме, например:
- 632 = (60 + 3)2 = 602 + 2 ⋅ 60 ⋅ 3 + 32 = 3600 + 360 + 9 = 3969.
- 942 = (90 + 4)2 = 902 + 2 ⋅ 90 ⋅ 4 + 42 = 8100 + 720 + 16 = 8836.
