Как найти квадрат суммы трех чисел

Как найти квадрат суммы трех чисел

Квадрат суммы трех слагаемых




Квадрат суммы трех слагаемых можно находить каждый раз последовательным преобразованием. Проще один раз вывести формулу и в дальнейшем её использовать, тем более, что эта формула не столь сложна для запоминания.

Квадрат суммы трех слагаемых равен сумме квадратов каждого из них плюс их попарные удвоенные произведения.

Доказательство:

    [{(a + b + c)^2} = {((a + b) + c)^2} = ]

Рассмотрим сумму трёх слагаемых как сумму суммы первых двух слагаемых и третьего и дважды применим формулу квадрата суммы двучлена: 

    [ = {(a + b)^2} + 2 cdot (a + b) cdot c + {c^2} = ]

    [ = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2} = ]

    [ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc.]

Таким образом, формула квадрата суммы трех слагаемых

    [{(a + b + c)^2} = ]

    [ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc]

Например,

    [{(2x + 5y + 10z)^2} = ]

    [ = {(2x)^2} + {(5y)^2} + {(10z)^2} + ]

    [ + 2 cdot 2x cdot 5y + 2 cdot 2x cdot 10z + 2 cdot 5y cdot 10z = ]

    [ = 4{x^2} + 25{y^2} + 100{z^2} + ]

    [ + 20xy + 40xz + 100yz.]

Формулу квадрата суммы трёх слагаемых можно применить и для отрицательных слагаемых.

Например,

    [{(3m - 2n - 7k)^2} = ]

    [ = {((3m) + ( - 2n) + ( - 7k))^2} = ]

    [ = {(3m)^2} + {( - 2n)^2} + {( - 7k)^2} + ]

    [ + 2 cdot 3m cdot ( - 2n) + 2 cdot 3m cdot ( - 7k) + ]

    [ + 2 cdot ( - 2n) cdot ( - 7k) = ]

    [ = 9{m^2} + 4{n^2} + 49{k^2} - ]

    [ - 12mn - 42mk + 28nk.]

Источник
  1. Формула квадрата суммы трёх выражений
  2. Формула квадрата суммы четырёх выражений
  3. Формула квадрата суммы нескольких выражений
  4. Формула квадрата разности нескольких выражений
  5. Примеры

Формула квадрата суммы трёх выражений

Возьмём сумму a+b+c и возведём её в квадрат:

$$ (a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a(a+b+c)+b(a+b+c)+ $$

$$ +c(a+b+c) = a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2 = $$

$$= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $$

Мы получили формулу квадрата суммы трёх выражений:

$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$

Квадрат суммы трёх выражений равен сумме квадратов каждого из выражений плюс все двойные произведения, взятые по два.

$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$

Геометрическое объяснение

Формула квадрата суммы трёх выражений

Рассмотрим квадрат со стороной a+b+c. Для его площади можем записать:

$(a+b+c)^2 =$

$= a^2+b^2+c^2+2ab+2(a+b)c =$

$= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

Формула квадрата суммы четырёх выражений

Возьмём сумму a+b+c+d и возведём её в квадрат:

$$(a+b+c+d)^2 = (a+b+c+d)(a+b+c+d) = a(a+b+c+d)+$$

$$ b(a+b+c+d)+c(a+b+c+d)+d(a+b+c+d) = $$

$$ = a^2+ab+ac+ad+ab+b^2+bc+bd+ac+bc+c^2+cd+ $$

$$ +ad+bd+cd+d^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd $$

Мы получили формулу квадрата суммы четырёх выражений:

$$ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$$

Квадрат суммы четырёх выражений равен сумме квадратов каждого из выражений плюс все двойные произведения, взятые по два.

$$ (a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$$

Формула квадрата суммы нескольких выражений

После того, как мы получили формулу для $(a+b+c)^2$ и $(a+b+c+d)^2$, мы можем дать общую формулировку для любого количества выражений:

Квадрат суммы нескольких выражений равен сумме квадратов каждого из выражений плюс все двойные произведения, взятые по два.

Запишем это правило:

$$ (a_1+a_2+a_3+⋯+a_n )^2 = a_1^2+a_2^2+a_3^2…+a_n^2+ $$

$$ +2a_1 (a_2+a_3+⋯+a_n )+2a_2 (a_3+⋯+a_n )+⋯+2a_{n-1} a_n $$

Эта формула справедлива для всех натуральных $nge2$.

Формула квадрата разности нескольких выражений

Формулы квадратов сумм можно использовать и для разностей.

Например:

$$ (x-2y+z)^2 = (x+(-2y)+z)^2 = x^2+(-2y)^2+z^2+ $$

$$ +2xcdot(-2y)+2xz+2cdot(-2y)z = x^2+4y^2+z^2-4xy+2xz-4yz $$

Или:

$$(x-2y-z)^2 = (x+(-2y)+(-z) )^2 = x^2+(-2y)^2+(-z)^2+$$

$$ +2xcdot(-2y)+2x(-z)+2cdot(-2y)(-z) = x^2+4y^2+z^2-4xy-2xz+4yz$$

И т.д.

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена:

а) $ (2x+3y+4z)^2 = (2x)^2+(3y)^2+(4z)^2+2cdot2xcdot3y+2cdot2xcdot4z+2cdot3ycdot4z =$

$= 4x^2+9y^2+16z^2+12xy+16xz+24yz $

б) $(a-4b+5)^2 = a^2+(-4b)^2+5^2+2acdot(-4b)+2acdot5+2cdot(-4b)cdot5 =$

$= a^2+16b^2+25-8ab+10a-40b $

в) $(2p+ frac{1}{2}q+1)^2 = 4p^2+ frac{q^2}{4}+1+2cdot2pcdot frac{1}{2} q+2cdot2pcdot1+2cdot frac{1}{2} qcdot1 =$

$= 4p^2+frac{q^2}{4}+1+2pq+4p+q$

г) $(3m-frac{1}{3} k+n)^2 = 9m^2+frac{k^2}{9}+n^2+2cdot3mcdot(-frac{k}{3})+2cdot3mn+2cdot(-frac{k}{3})cdot n =$

$= 9m^2+frac{k^2}{9}+n^2-2km+6mn- frac{2}{3} kn $

Пример 2. Представьте в виде многочлена:

а) $(m+2n+3p+5)^2 = m^2+4n^2+9p^2+25+2mcdot2n+2mcdot3p+2mcdot5+ $

$+4ncdot3p+4ncdot5+6pcdot5 = m^2+4n^2+9p^2+25+4mn+6mp+10m+ $

$+12pn+20n+30p$

б) $(frac{1}{2} k-5+2c+d^2 )^2 = frac{1}{4} k^2+25+4c^2+d^4+kcdot(-5)+kcdot2c+kcdot d^2-$

$-10cdot2c-10cdot d^2+4ccdot d^2 = $

$= frac{1}{4} k^2+25+4c^2+d^4-5k+2ck+kd^2-20c-10d^2+4cd^2$

Пример 3. Упростите выражение:

а) $(2a+b-8)^2-(2a-b+8)^2 =$

$((2a+b-8)-(2a-b+8) )((2a+b-8)+(2a-b+8) ) = $

$= (2b-16)cdot4a = 8ab-64a$

б) $(2a+b-8)^2+(2a-b+8)^2 = 4a^2+b^2+64+4ab-32a-16b+$

$+4a^2+b^2+64-4ab+32a-16b = 8a^2+2b^2+128-32b $

Источник
Автор статьи

Евгений Николаевич Беляев

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

Вспомним формулу квадрата суммы двух чисел:

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов двух выражений плюс удвоенное произведение первого на второе.

Математическая запись будет выглядеть так ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

Алгоритм нахождения квадрата суммы двух выражений

  1. Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

    Если одно из слагаемых является одночленом, то необходимо воспользоваться формулой возведения в степень произведения $степень$

    Если выражение является одночленом, степень которого больше первой так же необходимо воспользоваться и правилом возведения степени в степень: при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степени перемножаются

  2. Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

  3. Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.

Пример 1

${({3а}^2+5)}^2$

Решение: воспользуемся алгоритмом нахождения квадрата суммы двух выражений

1.Возвести первый и второй одночлен или числа в квадрат.

[{(3а^2)}^2=3^2cdot {(a^2)}^2=9a^4][5^2=25]

2.Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

[2cdot 3acdot 5=30a]

3.Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.

[{({3а}^2+5)}^2=9a^4+30a+25]

Переход к квадрату суммы трех чисел

Пример 2

Преобразовать $ {({2а}^2+3a+5)}^2$

Решение: Сгруппируем второе и третье слагаемое многочлена, тогда получим выражение:$ {({2а}^2+(3a+5))}^2$

Теперь для преобразования нам уже надо возвести в квадрат суммы двух выражений, а не трех, как было в исходном задании. Воспользуемся алгоритмом

1.Возвести первое и второе слагаемое в квадрат.

[{{(2а}^2)}^2=2^2cdot ({a^2)}^2=4a^4][{(3a+5)}^2=9a^2+30a+25]

2.Найти удвоенное произведение первого и второго слагаемого выражения.

$2cdot {2а}^2cdot left(3a+5right)=4а^2cdot left(3a+5right)=4а^2cdot 3a+4а^2cdot 5=12а^3+20а^2$

В данных преобразованиях был применен прием умножения одночлена на число и умножение одночлена на многочлен.

3.Составить сумму выражений, найденных в п. 1,2.

[{({2а}^2+(3a+5))}^2=4a^4+ 12а^3+20а^2+9a^2+30a+25]

Тогда в итоге получим:

[{({2а}^2+3a+5)}^2=4a^4+9a^2+25+12а^3+20а^2+30a]

Проанализируем полученный результат сопоставив каждый член полученного многочлена с исходными.

[4a^4={{(2а}^2)}^2 9a^2={(3a)}^2 25=5^2 12а^3=2* {2а}^2*3a] [20а^2=2cdot {2а}^2cdot 5 30a=2cdot 3acdot 5]

Значит полученный результат мы можем записать в виде:

[{left({2а}^2+3a+5right)}^2={{(2а}^2)}^2+{left(3aright)}^2+5^2+2cdot {2а}^2cdot 3a+2cdot {2а}^2cdot 5+2cdot 3acdot 5]

Отсюда выведем формулу для возведения в квадрат суммы трех слагаемых. Математическая запись будет выглядеть так:

${left(a+b+cright)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2textit{ac}+2 textit{bc}$

Т.е квадрат суммы трех слагаемых равен сумме квадратов данных выражений плюс удвоенные попарные произведения этих слагаемых

Сформулируем алгоритм возведения в квадрат суммы трех слагаемых:

1.Возвести в квадрат каждое слагаемое, входящее в состав исходного многочлена

2.Найти попарные произведения всех слагаемых

3.Составить сумму выражений, входящих найденных в п.1,2

«Квадрат суммы нескольких слагаемых» 👇

Пример 3

Преобразовать $ {({8x}^2+7y+5z)}^2$

Решение: Воспользуемся алгоритмом возведения в квадрат суммы трех слагаемых

Возведем в квадрат каждый одночлен, входящий в состав исходного многочлена

[{{(8x}^2)}^2={64x}^4][({7y)}^2=49y^4] [{(5z)}^2={25z}^2]

Обратите внимание, что для того чтобы возвести в квадрат мы воспользовались свойствами степеней:

1) возведением произведения в степень $при$

возведения в степень произведения $и$

переменную возводили в квадрат

2) возведение степени в степень ${{(a}^n)}^m=a^{ncdot m}$- т.е. при возведении степени в степень основание остается, а показатели перемножаются. Поэтому =$x^4$

Найдем попарные произведения всех слагаемых

Первого и второго: $2cdot {8x}^2cdot 7y=112x^2y$

Первого и третьего: $2cdot {8x}^2cdot 5z={80x}^2z$

Второго и третьего: $2cdot 7ycdot 5z= 70yz$

Составить сумму выражений, входящих найденных в п.1,2

${({8x}^2+7y+5z)}^2={{(8x}^2)}^2+({7y)}^2+{left(5zright)}^2+2cdot {8x}^2cdot 7y+2cdot {8x}^2cdot 5z+2cdot 7ycdot 5z={64x}^4+49y^4+{25z}^2+112x^2y +{80x}^2z+70yz$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Лучший ответ

Гомер Симпсон

Мастер

(1298)


13 лет назад

Я знаю, сейчас напишу

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

(a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc

из этих формул:
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc

Остальные ответы

ВреДинка

Профи

(586)


13 лет назад

(А+Б+С) ^2 = (А+Б+С) *(А+Б+С) = АА+АБ+АС+БА+ ББ +БС + СА +СБ+ СС = АА+ББ+СС+2АБ + 2АС + 2БС
АА это А в квадрате
ББ это Б в квадрате
СС это С в квадрате

Лелик

Знаток

(269)


13 лет назад

(a +b +c) и всё это во второй степени =a в квадрате+b в квадрате+с в квадрате+2ab+2ac+2bc

Источник

Открытый
урок по алгебре в 7
классе                                                                                                       
на
тему:                                                                                          
                                                        «Квадрат суммы трёх
чисел»

учитель
математики: Келехсаева А.С.

Введение.

Педагогическая
идея: “Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я понимаю”

В условиях массового внедрения
вычислительной техники в среднюю школу применение компьютерных технологий в
преподавании основных учебных дисциплин является необходимым для обучения,
воспитания и развития учащихся.

Опыт работы с учащимися V-VII
классов показал, что использование компьютерного практикума для поддержки
основного школьного курса способствует более заинтересованному отношению
школьников к изучаемому предмету, формирует и закрепляет навыки работы с
компьютером и является необходимым для наиболее полного усвоения пройденного
материала.

Данный урок позволяет:

  • эффективно использовать
    сочетание ИКТ с групповой работой;
  • применять дифференцированный
    подход при изучении нового материала;
  • формировать коммуникативные и
    учебно-познавательные компетентности учащихся;
  • развивать вычислительные
    навыки учащихся, рациональную вычислительную культуру;
  • формировать навыки само- и
    взаимоконтроля;
  • реализовывать межпредметные
    связи;

Цели урока:

  1. Повторить формулы квадрата
    суммы и квадрата разности двух чисел и на их основе вывести формулу квадрата
    суммы 3-х чисел.
  2. Развивать навыки устных
    вычислений, формировать умения применять формулы сокращённого умножения (ФСУ)
    при решении упражнений и практических задач.
  3. Воспитывать вычислительную
    культуру учащихся, развивать коммуникативные навыки учащихся.

Оборудование:

  • ПК,
  • Power Point,
  • мультимедийный проектор,
  • раздаточный материал для
    работы в парах.
  • (Презентация
    к уроку)

План урока (45
мин.):

1. Организационный
момент (2 мин.).

2. Актуализация
ЗУН (10 мин.).

а) Вступление учителя:
эмоциональный настрой, мотивация учащихся.
б) Устный счет.
в) Повторение ранее изученных формул сокращенного умножения..

3. Изучение нового
материала (15 мин.).

а) Постановка проблемы.
б) Выдвижение гипотезы.
в) Практическая работа по проверке гипотезы.
г) Анализ и выявление закономерностей.
д) Вывод.

4. Закрепление и
применение ЗУН (15 мин.).

а) Отработка формулы.
б) Обучающая самостоятельная работа (в группах по 4 человека) с взаимопроверкой.
в) Применение формулы к решению практических задач.
г) Обучающая самостоятельная работа

5. Подведение
итогов и задание на дом (3 мин.)

Ход урока

1. Организационный
момент:

Порядок в классе, готовность к
уроку.

(слайд №1)

2. Актуализация
ЗУН (слайд №2):

а) Казалось бы, алгебра сухая
наука. Но как любая наука она дает нам новые знания, умения, новые возможности
для их применения на других уроках, в практической жизни. Чтобы знания можно
было эффективно применить, нужно, чтобы они были прочно усвоены. Древняя
китайская мудрость гласит: “Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю
– я понимаю”. Поэтому сегодня на уроке мы не только повторим изученные на предыдущих
уроках формулы сокращенного умножения, но и выведем новую формулу, научимся ее
применять при решении упражнений и практических. задач. Для того, чтобы наш
урок был плодотворным, давайте последуем совету китайских мудрецов и будем
работать по принципу: я слышу – я вижу – я делаю..

б) Устный счет – фронтально (слайд №3).

в) Вопросы учителя классу:

– Что означают понятия “квадрат
выражения”, “удвоенное произведение двух выражений”? Где вы встречаетесь с
этими понятиями? (В ФСУ).

– Какие ФСУ вам известны?

– Закончите формулу (слайд №4). (На
слайдах представлены только левая или правая часть формулы, которую учащиеся
должны устно закончить и свериться с формулой на слайде).

– Для чего нужно знать эти формулы?

3. Изучение нового
материала.

а) Постановка проблемы.

Учитель:

– Самостоятельная работа, которую
вы написали на прошлом уроке, показала, что, в основном, все учащиеся научились
применять эти формулы, поэтому вам не составит труда выполнить следующее
задание (слайд №5). (Выполняют
и проверяют себя по решению на слайде).

– Быстро и легко вы справились с
нахождением квадрата выражений

(2а+в)2 и (0,5к-4с)2.

– Какие затруднения возникли у вас
при выполнении третьего задания (в+5+с)2?

– Как нам поступить со следующим
выражением? Как это можно его квадрат?

б-в) Выдвижение гипотезы и ее
проверка.

Учащиеся высказывают предположения,
обосновывают их, приходят к необходимости умножения многочлена на многочлен,
повторяют правило умножения и выполняют это задание. Полученные ответы сверяются
с ответом на слайде.

Учитель:

– А удобно ли каждый раз выполнять
умножение многочленов?

– Конечно, всегда удобнее
пользоваться готовой формулой. Давайте проанализируем результаты умножения
многочлена на многочлен, установим закономерности и попробуем вывести формулу
квадрата суммы трех чисел.

Учитель вместе с учениками ставит
цель урока (слайд №6).

г) Анализ и выявление
закономерностей.

Учитель дает задание по рядам:

– Выполните умножение,
проанализируйте результат и определите общие закономерности.

Учащиеся выполняют задание и
проверяют решение по слайду (слайд №7).

Учитель и учащиеся обсуждают полученные
решения для каждого ряда, сравнивают, выявляют сходства, обобщают, делают
первоначальные выводы.

д) Выводы.

После умножения многочлена на
многочлен в результате получается сумма квадратов каждого из чисел и попарных
удвоенных произведений этих чисел. Значит, можно сразу записывать эти
слагаемые, не умножая многочлен на многочлен.

Предлагается запись формулы на
слайде и словесная формулировка свойства (а+в+с)2=а2+в2+с2+2ав+2ас+2вс,
“Квадрат суммы трех чисел равен сумме квадратов каждого слагаемого плюс
всевозможные удвоенные произведения” (слайд №8).

4. Применение ЗУН

а) Фронтальное обсуждение,
комментирование и выполнение вместе с учителем задания по новой формуле:
(2х+3у+1)2 . Совместная проверка ответов по слайду (слайд №9).
Анализ ошибок и затруднений.

б) Работа 2-х учащихся у доски
(решение и комментирование решения) и работа класса в тетрадях по вариантам (слайд №10).

1. (3с+5+а)2=

2. (2х2+а2в3+3)2=

Анализ ошибок и затруднений.

б) Самостоятельная работа по
карточкам в группах с обсуждением и взаимопроверкой по слайду (слайд №11)..

На каждую группу дается общая
карточка. Учащиеся выполняют решение заданий, обсуждая их в группе, контролируя
друг друга. Ответы проверяют по слайду.

Образец карточки:

Карточка

1.Заполнить
пропуски по формуле:

(7а+2+в)2= ____а2+_____+_____2+_____+14____+4____.

2.Представить в
виде квадрата трехчлена:

4 + 25 х 2 + 36 у 2
+ 20х + 24у + 60ху =___________________________.

3.Возвести в
квадрат:

(3х+4у+5z)2=________________________________________________

___________________________________________________________.

Анализ основных ошибок
и затруднений.

в) Учитель:

– Ребята, вы знаете, что знания
только тогда ценны, когда они находят свое практическое применение. Где в
практической жизни, по-вашему можно применить эту формулу? (Учащиеся строят
свои предположения).

Учитель предлагает решить задачу:

– Необходимо вычислить площадь
садового участка квадратной формы со стороной 121 м. Как это можно сделать?
(учащиеся предлагают различные способы).

– А я могу это сделать устно и,
притом, очень быстро: 121=(100+20+1)2=1002+202+12+2.100.20+2.100.1+2.20.1=10000+400+1+4000+200+40=14641
(слайд №12).

А вы могли бы так?

г) Обучающая самостоятельная работа
по вариантам в форме игры “Кто быстрее посчитает?” (слайд №13)

Задание:

Используя формулу квадрата суммы
3-х чисел вычислить:

1 вариант – 2412

2 вариант – 1452

Подводятся итоги, анализируются
ошибки и затруднения.

5. Подведение
итогов:

  1. Чем сегодня занимались на
    уроке?
  2. Достигнута ли цель урока?
  3. Все ли поняли новый материал?
    Какие затруднения еще остаются?
  4. Интересно ли было на уроке?
  5. Как оценивают учащиеся свою
    работу на уроке?
  6. Оценивание учителем.

Учитель:

– Вернемся к высказыванию китайских
мудрецов, справедливо ли оно? (слайд №14).
(Учащиеся обосновывают свое мнение).

Выставление оценок за урок.

– Домашнее задание (слайд №15):

Проблема: попробуйте вывести новые
формулы, используя знания и умения, полученные на уроке. (а-в+с)2;
(а-в-с)2; (а+в-с)2.

Желаю удачи!

Источник

Добавить комментарий