Для того, чтобы посчитать квадрат некоторого числа не используя калькулятора, нам потребуется запомнить два правила.
Первое: правило вычисления квадрата числа, оканчивающегося на 5
Для этого отбрасываем пятерку, а оставшееся число перемножаем с числом большим его на единицу и приписываем 25. Для примера возведём в квадрат число 125, для этого производим следующие действия:
12 х 13 = 156 ; приписываем 25, получается 15 625 или
125² = 12 х 13 х 100 + 25 = 156 х 100 + 25 = 15 625
Второе: зная квадрат определённого числа можно без труда вычислить квадрат близкого к этому числу, не прибегая к умножению. То есть:
Возведём в квадрат числа 124 и 126:
Находим квадрат 125² (см. пример выше), он равен 15 625.
124² = 15 625 – 125 -124 = 15 376 – из квадрата 125 вычитаем 125 и предыдущее число 124
126² = 15 625 + 125 + 126 = 15 876 – к квадрату 125 прибавляем 125 и следующее число 126
Этот способ так же удобен при вычислении квадратов чисел близким к n x 10 и n x 100.
Зная квадрат 8, без труда можно вычислить квадрат 80. Далее производим те же действия, что и в примере выше.
79² = 80² – 80 – 79 = 6 400 – 159 = 6 241
81² = 80² + 80 + 81 = 6 400 = 161 = 6 561
Понравилась статья? Ставь лайк и подписывайся на Математику. Впереди много интересного.
Rafail
[136K]
8 лет назад
Специальной формулы не существует. Иногда можно воспользоваться формулой квадрата суммы или квадрата разности. Например 206^2=(200+6)^2=200^2+2*200*6+6^2=40000+2400+36=42436,
197^2=(200-3)^2=200^2-2*200*3+3^2=40000-1200+9=38809.
Ну а в общем случае воспользуйтесь формулой квадрата суммы трех чисел:
(а+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2*(a*b+a*c+b*c).
Например 362^2=300^2+60^2+2^2+2*(300*60+300*2+60*2)=
=90000+3600+4+2*(18000+600+120)=93604+37440=131044
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
Умение считать в уме квадраты чисел может пригодиться в разных жизненных ситуациях, например, для быстрой оценки инвестиционных сделок, для подсчета площадей и объемов, а также во многих других случаях. Кроме того, умение считать квадраты в уме может служить демонстрацией ваших интеллектуальных способностей.
В этом уроке разобраны методики и алгоритмы, позволяющие научиться этому навыку.
Квадрат суммы и квадрат разности
Одним из самых простых способов возведения двузначных чисел в квадрат является методика, основанная на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности:
Для использования этого метода необходимо разложить двузначное число на сумму числа кратного 10 и числа меньше 10. Например:
- 372 = (30+7)2 = 302 + 2*30*7 + 72 = 900+420+49 = 1 369
- 942 = (90+4)2 = 902 + 2*90*4 + 42 = 8100+720+16 = 8 836
Практически все методики возведения в квадрат (которые описаны ниже) основываются на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Эти формулы позволили выделить ряд алгоритмов упрощающих возведение в квадрат в некоторых частных случаях.
Квадрат близкий к известному квадрату
Если число, возводимое в квадрат, находится близко к числу, квадрат которого мы знаем, можно использовать одну из четырех методик для упрощенного счета в уме:
На 1 больше:
Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше.
- 312 = 302 + 31 + 30 = 961
- 162 = 152 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256
На 1 меньше:
Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше.
- 192 = 202 – 19 – 20 = 400 – 39 = 361
- 242 = 252 – 24 – 25 = 625 – 25 – 24 = 576
На 2 больше
Методика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше.
- 222 = 202 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
- 272 = 252 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729
На 2 меньше
Методика: из квадрата числа на 2 больше вычитаем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 больше.
- 482 = 502 – 2*(50+48) = 2500 – 196 = 2 304
- 982 = 1002 – 2*(100+98) = 10 000 – 396 = 9 604
Все эти методики можно легко доказать, выведя алгоритмы из формул квадрата суммы и квадрата разности (о которых сказано выше).
Квадрат чисел, заканчивающихся на 5
Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25.
- 152 = (1*(1+1)) 25 = 225
- 252 = (2*(2+1)) 25 = 625
- 852 = (8*(8+1)) 25 = 7 225
Это верно и для более сложных примеров:
- 1552 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025
Квадрат чисел близких к 50
Посмотрите работу алгоритма на примерах:
- 442 = (25-6)*100 + 62 = 1900 + 36 = 1936
- 532 = (25+3)*100 + 32 = 2800 + 9 = 2809
Квадрат трехзначных чисел
Возведение в квадрат трехзначных чисел может быть осуществлено при помощи одной из формул сокращенного умножения:
Нельзя сказать, что этот способ является удобным для устного счета, но в особо сложных случаях его можно взять на вооружение:
4362 = (400+30+6)2= 4002 + 302 + 62 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096
Тренировка
Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.
Перед тем как начать игру, рекомендуем зарегистрироваться, чтобы результат был сохранен в вашей истории, и вы смогли бы видеть собственный прогресс.
Learn vedic maths technique to find the square of a number rapidly. Squaring three digit numbers between 100 and 200 is made easier with the World’s fastest mental math system.
Vedic Maths Squaring Numbers
Consider squaring 122
Step 1:
Choose the last two digits of ‘122’ and add it with the given number 122
=122 + 22
=144
Step 2:
Multiply 100 with the above result 144
= 144 x 100
= 14400
Step 3:
Now mulitply ’22’ with ’22’
= 22 x 22
= 484
Step 4:
Now, add the values obtained from step 2 and step 3.
= 14400 + 484
= 14884
Result:
122^2 = 14884
This Squaring concept is applicable only for three digit numbers from 100 to 200.
Learn vedic maths technique to find the square of a number rapidly. Squaring three digit numbers between 100 and 200 is made easier with the World’s fastest mental math system.
Code to add this calci to your website 
Three digits square calculation using Vedic math method is made easier here. This concept is applicable only for numbers between 100 and 200
Урок 12. Возведение трёхзначных чисел в квадрат | Ментальная арифметика онлайн
Возведение трёхзначных чисел в квадрат | Онлайн-тренажёр
Упражнение считается выполенным после 7 правильных ответов
Норма выполнения упражнения – 4 минуты
Для успешного выполнения упражнения ознакомьтесь с теорией и проработайте предыдущие уроки
Возведение трёхзначных чисел в квадрат | Теория
Возведение в уме трёхзначных чисел в квадрат производится аналогичным образом, как и в случае с двузначными числами:
- округлите трёхзначное число до сотен в ближайшую сторону;
- скорректируйте трёхзначное число на ту же величину, что и в пункте 1, но в другую сторону;
- перемножьте результаты пунктов 1 и 2;
- прибавьте к результату пункта 3 квадрат величины, на которую производилась корректировка.
Задача: 4272
Решение:
1) 427 – 27 = 400
2) 427 + 27 = 454
3) 454 x 400 = 181600
4) 181600 + 272 = 181600 + 729 = 182329
Задача: 2682
Решение:
1) 268 + 32 = 300
2) 268 – 32 = 236
Результат этого пункта также можно определить, принимая в учёт, что последние цифры результата равны последним двум цифрам удвоенного трёхзначного числа*.
268 х 2 = 536 или, ещё проще, 68 х 2 = 136
3) 236 x 300 = 70800
4) 70800 + 322 = 70800 + 1024 = 71824
Математическое обоснование упрощённого способа нахождения результата пункта 2:
Допустим, Х – число, возводимое в квадрат, а Y – число, которое нужно прибавить к числу X, чтобы округлить его в большую сторону до сотен, или отнять от числа Х, чтобы округлить его до сотен в меньшую сторону.
Найдём сумму числа X, уменьшенного на Y, и числа X, увеличенного на Y: (X + Y) + (X – Y) = X + Y + X – Y = 2X.
Если (X + Y) является округлённым до сотен числом (округление в большую сторону), то (X – Y) имеет то же количество десятков и единиц, что и 2X, так как (X + Y) и (X – Y) в сумме дают 2X.
Если (X – Y) является округлённым до сотен числом (округление в меньшую сторону), то (X + Y) имеет то же количество десятков и единиц, что и 2X, так как (X + Y) и (X – Y) в сумме дают 2X.
