Как найти левые смежные классы

Если
А
—
подгруппа, g—произвольный
элемент группы G
то через gA
обозначается
множество всех элементов группы G,
получающихся при умножении элемента g
на
всевозможные элементы из подгруппы А
(т.е,
множество всех элементов вида ga,
где
а
А).
Это
множество называется левым
смежным классом группы G
no
подгруппе А, определяемым элементом g.
Аналогично
правым
смежным классом Ag
группы
G
по подгруппе А,
определяемым
элементом g,
называется
множество всех элементов вида ag,
где
а
А.
Если
групповая операция — сложение, то левые
и правые смежные классы обозначаются
соответственно через g+A
и
A+g.

Пример
2.1.12.
В группе всех подстановок третьей
степени возьмем подгруппу А,
состоящую
из подстановок е
=

и a=
,
и
возьмем элемент g=
.
Тогда левый смежный класс gA
будет
состоять из подстановок ge=g=

и ga=
,
а правый
смежный класс Ag—из
подстановок eg
= g=

и
ag=
.

Каждый
левый смежный класс определяется любым
из входящих в него элементов, т. е. если
g₁

gA,
то
g₁A=gA.

Два
любых левых смежных класса группы G
по подгруппе А
или
совпадают, или не имеют ни одного общего
элемента. Одним из левых смежных классов
группы G
по подгруппе А
является
сама подгруппа А(А=еА,
где
е
— единица
группы G);
все остальные левые смежные классы по
подгруппе А
подгруппами группы G
не являются.

Эти
же утверждения верны для правых смежных
классов.

Число
всех различных левых смежных классов
группы G
по подгруппе А
всегда
равно числу всех различных правых
смежных классов группы G
по этой же подгруппе (в бесконечном
случае это означает, что мощность
множества всех различных левых смежных
классов группы G
по подгруппе A
совпадает с мощностью множества правых
смежных классов). Это число (в бесконечном
случае—мощность) называется индексом
подгруппы
А
в
группе G.
Если группа G
конечна, то ее порядок равен произведению
порядка любой ее подгруппы А
на
индекс этой подгруппы в группе G
(теорема
Лагранжа). Отсюда
следует, что порядок всякой подгруппы
конечной группы является делителем
порядка группы. Также порядок любого
элемента конечной группы является
делителем порядка этой группы. Обратно,
если порядок конечной группы G
делится на простое число р,
то
G
обладает элементами порядка р
(теорема Коши).

Если
в произвольной группе G
выбрана какая-то подгруппа А,
то
все элементы группы G
можно разбить на непересекающиеся
классы, объединяя вместе те элементы,
которые лежат в одном и том же левом
смежном классе группы G
по подгруппе А.
Такое
разбиение называется левосторонним
разложением группы G
no
подгруппе А. Если
вместо левых смежных классов взять
правые смежные классы по подгруппе А,
то
получится правостороннее
разложение группы G
по подгруппе А.

Пример
2.1.13.
В симметрической группе 3-й степени S₃,
элементы которой

,

возьмем подгруппу А,
состоящую
из элементов е
и
а₆.
Тогда при левостороннем разложении
группы S₃
по подгруппе А
множество
ее элементов разобьется на классы: 1) е,
а₆
(смежный класс еА
=
А),
2)
а₂,
a₅,
(смежный
класс а₂А),
3)
a₃,
a₄
(смежный
класс а₃A),
а при правостороннем разложении получатся
классы: 1) е,
а₆
(смежный
класс Ае
=A),
2) а₂,
a₄
(смежный
класс Aа₂),
3) а₃,
a₅
(смежный класс Aa₃).
Индекс подгруппы А
в
группе S₃
равен 3.

1.6.
Нормальный делитель группы. Если
при левостороннем и при правостороннем
разложении группы G
по некоторой ее подгруппе Н
классы,
на которые распадаются элементы группы
G,
получаются одинаковыми, то подгруппа
Н
называется
нормальным
делителем группы
G
(или инвариантной
подгруппой.)

Пример
2.1.14.
В примере 1.13 подгруппа А
группы
S₃
не является нормальным делителем этой
группы.

Подгруппа
Н
тогда
и только тогда является нормальным
делителем группы G,
когда для любого элемента g
группы
G

gH=Hg.

Это
равенство означает, что для всякого
элемента h
из
Н
можно
найти в Н
такие
элементы h‘
и
h“,
что

gh
= h‘g,
hg
= gh“. (2.1.1)

Пример
2.1.15.
Если группа G
абелева, то всякая ее подгруппа Н
является
нормальным делителем.

1.7.
Фактор-группа. Если
в множестве всех смежных классов группы
G
по нормальному делителю Н
ввести
операцию по правилу (g₁H)(g₂H)
= (g₁g₂)H
(при
аддитивной записи (g₁+H)+(g₂+H)
=(g₁+g₂)+H,
то
это будет алгебраическая операция,
относительно которой множество всех
смежных классов группы G
по нормальному делителю Н
само
окажется группой. Эта группа называется
фактор-группой
группы G
по нормальному делителю Н и
обозначается через G/H.
Единицей
фактор-группы G/H
является
смежный класс Н.
Элементом,
обратным элементу фактор-группы gH,
является
смежный класс g^–1H.
Порядок
фактор-группы G/H
равен
индексу Н
в
G..

1.8.
Группы подстановок.
Группы
подстановок —
это подгруппы симметрических групп.
При их изучении обычно для удобства
пользуются за­писью подстановок в
виде произведений циклов. Циклом
или
циклической
подстановкой называется
такая подстановка чисел 1,2,…, п,
которая одно из этих чисел i₁
переводит
в число i₂,
i₂
переводит в i₃
и т.д., i_k–1
переводит
в i_k
(k
)
i_k
переводит
в i₁
а
все остальные числа оставляет на месте.
Эта подстановка обозначается через (i₁
i₂,…,
i_k).
Циклы (i₁
i₂,…,
i_k)
и, например, (i₂,…,i_k
,i₁)
равны между собой. Число k
называется
длиной
цикла.
Цикл длины 1 — это тождественная
подстановка. Чтобы представить
произвольную подстановку чисел 1, 2,…,
n
в
виде произведения циклов, нужно взять
любое из этих чисел (например, 1), затем
число, в которое оно переводится данной
подстановкой (пусть это число—j₂),
затем число, в которое j₂
переходит при этой подстановке, и т.д.
до числа j_l,
переводящегося
данной подстановкой в первое из взятых
чисел (в нашем случае в 1), и выписать
цикл (1, j₂,
…,j_l),
после
этого нужно взять какое-нибудь из чисел
1,2,…, п,
которое
пока еще не встречалось (если такое
число существует), и, начиная с него,
сделать то же самое и т.д., пока не будут
использованы все числа 1, 2,…, п.
Тогда
мы получим несколько циклов, не имеющих
общих действительно перемещаемых ими
чисел, произведению которых (в любом
порядке) и будет равна данная подстановка.
Циклы, не содержащие общих действительно
перемещаемых ими чисел, называются
независимыми.
Те
циклы, входящие в произведение, длина
которых равна 1, обычно не пишут. При
этом условии всякая подстановка
разлагается в произведение независимых
циклов единственным образом.

Пример
2.1.16.

2. Кольца

2.1.
Определения, примеры
Множество R
с
двумя
определенными в нем алгебраическими
операциями, сложением и умножением,
называется кольцом,
если
относительно операции сложения оно
является абелевой группой, а операция
умножения связана с операцией сложения
законами дистрибутивности,
т.
е. для любых трех элементов а,
b,
с

R

a
(b +
с)
=
ab
+
ас
и
(b+c)
a =bа+
ca. (2.2.1)

Умножение,
определенное в кольце, не обязано быть
ни ассоциативным, ни коммутативным.
Если умножение, определенное в кольце
R,
ассоциативно
(т. е. для любых трех элементов а,
b,
с
R
a(bc)=(ab)с
), то
кольцо R
называется
ассоциативным
кольцом. Если,
кроме того, умножение, определенное в
R,
коммутативно,
то R
называется
коммутативным
кольцом. В
коммутативном кольце второе из равенств
(2.2.1) является следствием первого.

Если
в кольце R
для
любого элемента а
выполнено
условие а²
= 0 и для любых трех элементов а,
b,
с

a
(bc)+b
(сa)+
с (ab)
= 0

(тождество
Якоби), то
R
называется
кольцом
Ли.

Пример
2.1.1.
Все целые числа относительно обычных
операций сложения и умножения чисел
образуют коммутативное кольцо.

Пример
2.2.2.
Все рациональные числа, все действительные
числа, все комплексные числа относительно
обычных операций сложения и умножения
образуют коммутативные кольца.

Пример
2.2.3.
Вес многочлены от одного переменного
с произвольными числовыми коэффициентами
относительно обычных операций сложения
и умножения многочленов образуют
коммутативное кольцо.

Пример
2.2.4.
Ассоциативное, но не коммутативное,
кольцо образуют все квадратные матрицы
n-го
порядка с произвольными числовыми
элементами.

Пример
2.2.5.
Множество всех векторов трехмерного
пространства, где векторы складываются
обычным образом, а произведением двух
векторов называется их векторное
произведение, является неассоциативным
кольцом. Это кольцо есть кольцо Ли.

Абелева
группа, которая получится, если в кольце
рассматривать только одну операцию
сложения, называется аддитивной
группой кольца.
Нулевой элемент этой группы называется
нулем
кольца. Произведение
любого элемента а
кольца
на нуль равно нулю кольца: а
• 0
= 0.

Если
для элементов а,
b
некоторого
кольца ab
= 0, но
а

0
и b
,
то а
и b
называются
делителями
нуля (а —
левый делитель нуля, b
—
правый). Если в кольце R
делителей
нуля нет, то R
называется
кольцом
без делителей нуля. Коммутативное
кольцо без делителей нуля называется
областью
целостности.

Пример
2.2.6.
Всякое кольцо, в котором элементы —
числа, а операции — обычное сложение и
умножение чисел, является областью
целостности.

Пример
2.2.7.
Все функции, определенные и непрерывные
на отрезке [—1,1], относительно обычных
операций сложения и умножения функций
образуют кольцо с делителями нуля
(например, произведение функций

ни одна из которых
не равна нулю кольца, является нулем).

Если
для элементов а,
b₁,
b₂
кольца
выполнено равенство ab₁=ab₂
(или
b₁a
= b₂a),
причем
а
0
не есть левый (соответственно — правый)
делитель нуля, то b₁
=
b₂,
т. е. на отличные от нуля элементы, не
являющиеся делителями нуля, равенства
можно сокращать. Производить сокращение
на элемент, являющийся делителем нуля,
нельзя.

Пример
2.2.8.
В кольце всех квадратных матриц 2-го
порядка (пример 2.2.4) для матриц

справедливо
равенство AB₁=AB₂,
хотя

.
Здесь
А—
левый
делитель нуля: например,

Элемент
е
кольца
R
называется
единицей
этого
кольца, если для любого элемента а

ае
= еа = а. Единицы
в кольце может и не быть. Если в кольце
R
единица
есть, то R
называется
кольцом
с единицей.

Пример
2.2.9.
Кольцо всех целых чисел есть кольцо с
единицей.

Пример
2.2.10.
Все четные числа образуют кольцо без
единицы.

В
кольце с единицей е
для
элемента а
0
может существовать обратный
ему
элемент а^-1
со свойством аа^–1
=
a^–1а
= е (но
может такого элемента и не быть). Элементы
кольца с единицей, для которых в этом
кольце обратный элемент существует,
называются делителями
единицы.

Пример
2.2.11.
В кольце всех квадратных матриц п-го
порядка
единицей является единичная матрица.
Обратный элемент существует для всякой
невырожденной матрицы; для вырожденных
матриц обратных им элементов не
существует.

2.2
Изоморфизм. Гомоморфизм. Кольца
R
и
Q
называются изоморфными,
если
между их элементами можно установить
такое взаимно однозначное соответствие,
что если элементам а₁
а₂

R,
соответствуют
элементы b₁
b₂

Q,
то элементу а₁+
а₂
соответствует
элемент b₁
+b₂
и
элементу a₁a₂—
элемент b₁b₂.

Пример
2.2.12.
Кольцо всех квадратных матриц n-го
порядка с действительными элементами
изоморфно кольцу всех линейных
преобразований, действующих в
действительном n-мерном
линейном векторном пространстве

Говорят,
что кольцо R
гомоморфно отображено в
кольцо Q,
если каждому элементу кольца R
поставлен
в соответствие однозначно определенный
элемент кольца Q,
причем если элементам a₁,
a₂
кольца
R
соответствуют
элементы b₁,b₂

Q,
то
элементу a₁+a₂
соответствует
b₁
+b₂,
элементу
а₁a₂
соответствует
b₁b₂.
Если при этом на каждый элемент кольца
Q
отображается по крайней мере один
элемент кольца R,
то говорят о гомоморфном отображении
кольца R
на
кольцо Q;
гомоморфизм в этом случае называется
эпиморфизмом.

2.3.
Подкольца. Идеалы.
Подгруппа А
аддитивной
группы кольца R
называется
подкольцом
этого
кольца, если она вместе с каждыми двумя
элементами a₁,
a₂
содержит
также их произведение а₁a₂.
Подкольцо
А
кольца
R
называется левым
(соответственно
правым)
идеалом этого
кольца, если оно вместе с каждым элементом
а
содержит
также все элементы вида rа
(вида
аr),
где
r
— произвольный элемент кольца R,.
В
коммутативных кольцах понятия левого
и правого идеала совпадают. Если подкольцо
А
произвольного
кольца одновременно является и левым,
и правым идеалом, то оно называется
двусторонним
идеалом этого
кольца.

Пример
2.2.13
В кольце всех целых чисел числа, кратные
некоторому фиксированному числу п,
составляют
двусторонний идеал.

Пример
2.2.14
В кольце всех квадратных матриц п-го
порядка
множество всех матриц, у которых последний
столбец состоит из нулей, является левым
идеалом, а множество всех матриц, у
которых последняя строка состоит из
нулей, является правым идеалом

В
любом кольце элемент 0 и само кольцо
являются двусторонними идеалами. Если
других двусторонних идеалов в кольце
нет, оно называется простым
кольцом.

Пример
2.2.15 Простым
кольцом служит кольцо всех квадратных
матриц n-го
порядка с любыми комплексными (или с
любыми действительными) элементами

Пример
2.2.16. Всякое
поле является простым кольцом.

Если
в кольце R
дано
некоторое множество элементов N,
то
наименьший (левый, правый или двусторонний)
идеал кольца R,
содержащий
все элементы из N,
называется
(соответственно левым, правым или
двусторонним) идеалом,
порожденным множеством N;
этот
идеал является пересечением всех
(соответственно левых, правых или
двусторонних) идеалов кольца R,
содержащих
множество N.
Идеал,
порожденный одним элементом а,
называется
главным
идеалом (обозначение: (a)_l,
(a)_r
или
(а),
в зависимости от того, идеал левый,
правый или двусторонний). Если R
—
коммутативное кольцо, то главный идеал
(а),
порожденный
элементом а
этого
кольца, состоит из всех элементов вида
rа+па,
где
r
R,
п —
целое число. Если R
—
коммутативное кольцо с единицей, то (а)
состоит просто из всех элементов вида
rа,
где
r

R.

3. Поля. Тела

3.1.
Поля.
Полем
называется
коммутативное кольцо, состоящее не
только из нуля, в котором для любого
элемента a

и любого элемента b
существует
ровно один такой элемент х,
что
ах
= b.
Элемент
х
называется
частным
от
деления элемента b
на
элемент а
(обозначение:
х=
).

Примерами
полей служат: кольцо всех рациональных
чисел, кольцо всех действительных чисел,
кольцо всех комплексных чисел. Все
комплексные числа, являющиеся корнями
многочленов с рациональными коэффициентами,
также образуют поле, называемое полем
алгебраических чисел. Кольцо
всех целых чисел полем не является

Всякое
поле обладает единицей. Для любого
отличного от нуля элемента поля существует
обратный ему элемент. Множество всех
отличных от нуля элементов поля образует
относительно умножения, определенного
в поле, абелеву группу (мультипликативную
группу поля). Никакое
поле не содержит делителей нуля.
Единственными идеалами поля являются
нулевой идеал и само поле.

Множество
с двумя алгебраическими операциями,
изоморфное полю, само является полем.
Всякое гомоморфное отображение одного
поля в другое является или изоморфизмом,
или отображением, переводящим все
элементы поля в нуль.

Если
некоторое целое положительное кратное
единичного элемента е
поля
Р
пе=е+e+…+е
(п слагаемых)
равно нулю, то наименьшее целое
положительное число р
со
свойством ре
= 0 называется
характеристикой
поля Р; р всегда
является простым числом. Если никакое
целое положительное кратное единичного
элемента поля Р
нулю
не равно, то Р
называется
полем характеристики
нуль. Пример
поля характеристики р
—
поле классов вычетов по модулю р,
пример
поля характеристики нуль — любое
числовое поле (например, поле всех
действительных чисел).

Множество
Р’
элементов
поля Р
называется
подполем
этого
поля, если оно само является полем по
отношению к тем операциям, которые
определены в Р;
Р’ тогда
и только тогда является подполем поля
Р, когда оно вместе с любыми двумя
элементами а,b
содержит
также a+b,
ab,
а—b
и

(если b
0).
Если Р’
—
подполе поля Р,
то
Р
называется
расширением
поля
Р’.
Поле,
не имеющее никаких подполей, кроме него
самого, называется простым
полем. Примеры
простых полей — поле классов вычетов
по модулю р,
поле
всех рациональных чисел.

Всякое
поле характеристики р
содержит
подполе, изоморфное полю классов вычетов
по модулю р,
а
всякое поле характеристики нуль содержит
подполе, изоморфное полю всех рациональных
чисел.

Если
в поле Р
даны
подполе Р’
и
множество элементов N,
то
наименьшее подполе Р”
поля
Р,
содержащее
Р’
и
N,
называется полем, полученным присоединением
к
полю Р’
множества
N
(обозначение:
Р”=Р’(N)).
Поле Р'(N)
состоит
из всех элементов, получающихся из
элементов поля Р’
и
множества N
путем сложения, вычитания, умножения и
деления, и является пересечением всех
подполей поля Р,
содержащих
Р’
и
N.
Если
множество N
состоит из одного элемента

,
то Р”
называется
простым
расширением поля
Р’.
Если
при этом

является корнем некоторого многочлена
f(х)
с
коэффициентами из поля Р’,
то Р”
= Р’(
)
называется простым
алгебраическим расширением поля
Р’,
а
элемент

называется алгебраическим
относительно Р’; если
же не существует многочлена f(х)
с
коэффициентами из Р’,
корнем
которого был бы элемент

,
то Р”
= Р’ (
)
называется
простым
трансцендентным расширением поля
Р’,
а
элемент

называется трансцендентным
относительно Р’

Пример
2.3.1.
Простое алгебраическое расширение поля
рациональных чисел, полученное
присоединением к нему числа

,
состоит из всех чисел вида

,
где а,
b,
с —
рациональные числа.

Пример
2.3.2
Поле всех комплексных чисел является
простым алгебраическим расширением
поля всех действительных чисел, полученным
из него присоединением корня i
многочлена
x²+1.

3.2.
Тела. Телом
называется
ассоциативное кольцо, состоящее не
только из нуля, в котором для любого
элемента а
0
и любого элемента b
существуют
такой элемент х
и
такой элемент у,
что
ax
= b,
уа = b.
Отличие
тела от поля состоит в том, что умножение
в теле не обязано быть коммутативным.

3.4.
Алгебры.
Кольцо
А
называется
алгеброй
над
полем Р,
если его аддитивная группа есть векторное
пространство над полем Р
и если умножение в А
связано
с умножением на элементы из Р
формулой

(ab)=(
a)b=a(
b)
(а,b
Р).

Если
векторное пространство, которое служит
аддитивной группой алгебры А,
является
n-мерным,
то число п
называется
рангом
алгебры
А.
Алгебры
конечного ранга называются также
гиперкомплексными
системами. Если
алгебра А
является
кольцом Ли, то она называется алгеброй
Ли.
Если какая-то алгебра является не только
кольцом, но даже телом, она называется
алгеброй
с делением.

Пример
2.3.3.
Множество всех векторов трехмерного
пространства, в котором векторы
складываются и умножаются на числа
обычным образом, а произведением двух
векторов является их векторное
произведение, есть алгебра Ли над полем
действительных чисел.

Пример
2.3.4.
Множество всех квадратных матриц n-го
порядка с комплексными элементами, в
котором обычным образом определены
операции сложения и умножения матриц
и операция умножения матрицы на
комплексное число, является алгеброй
ранга n²
над полем комплексных чисел.

Пример
2.3.5.
Все комплексные числа относительно
обычных операций сложения и умножения
комплексных чисел и обычной операции
умножения комплексных чисел на
действительные числа образуют алгебру
с делением ранга 2 над полем действительных
чисел.

Not to be confused with Cosette.

In mathematics, specifically group theory, a subgroup H of a group G may be used to decompose the underlying set of G into disjoint, equal-size subsets called cosets. There are left cosets and right cosets. Cosets (both left and right) have the same number of elements (cardinality) as does H. Furthermore, H itself is both a left coset and a right coset. The number of left cosets of H in G is equal to the number of right cosets of H in G. This common value is called the index of H in G and is usually denoted by [G : H].

Cosets are a basic tool in the study of groups; for example, they play a central role in Lagrange’s theorem that states that for any finite group G, the number of elements of every subgroup H of G divides the number of elements of G. Cosets of a particular type of subgroup (a normal subgroup) can be used as the elements of another group called a quotient group or factor group. Cosets also appear in other areas of mathematics such as vector spaces and error-correcting codes.

Definition[edit]

Let H be a subgroup of the group G whose operation is written multiplicatively (juxtaposition denotes the group operation). Given an element g of G, the left cosets of H in G are the sets obtained by multiplying each element of H by a fixed element g of G (where g is the left factor). In symbols these are,

gH = {gh : h an element of H} for g in G.

The right cosets are defined similarly, except that the element g is now a right factor, that is,

Hg = {hg : h an element of H} for g in G.

As g varies through the group, it would appear that many cosets (right or left) would be generated. Nevertheless, it turns out that any two left cosets (respectively right cosets) are either disjoint or are identical as sets.^[1]

If the group operation is written additively, as is often the case when the group is abelian, the notation used changes to g + H or H + g, respectively.

First example[edit]

Let G be the dihedral group of order six. Its elements may be represented by {I, a, a², b, ab, a²b}. In this group, a³ = b² = I and ba = a²b. This is enough information to fill in the entire Cayley table:

∗	I	a	a2	b	ab	a2b
I	I	a	a2	b	ab	a2b
a	a	a2	I	ab	a2b	b
a2	a2	I	a	a2b	b	ab
b	b	a2b	ab	I	a2	a
ab	ab	b	a2b	a	I	a2
a2b	a2b	ab	b	a2	a	I

Let T be the subgroup {I, b}. The (distinct) left cosets of T are:

• IT = T = {I, b},
• aT = {a, ab}, and
• a²T = {a², a²b}.

Since all the elements of G have now appeared in one of these cosets, generating any more can not give new cosets, since a new coset would have to have an element in common with one of these and therefore be identical to one of these cosets. For instance, abT = {ab, a} = aT.

The right cosets of T are:

• TI = T = {I, b},
• Ta = {a, ba} = {a, a²b} , and
• Ta² = {a², ba²} = {a², ab}.

In this example, except for T, no left coset is also a right coset.

Let H be the subgroup {I, a, a²}. The left cosets of H are IH = H and bH = {b, ba, ba²}. The right cosets of H are HI = H and Hb = {b, ab, a²b} = {b, ba², ba}. In this case, every left coset of H is also a right coset of H.^[2]

Let H be a subgroup of a group G and suppose that g₁, g₂ ∈ G. The following statements are equivalent:^[3]

• g₁H = g₂H
• Hg₁⁻¹ = Hg₂⁻¹
• g₁H ⊂ g₂H
• g₂ ∈ g₁H
• g₁⁻¹g₂ ∈ H

Properties[edit]

The disjointness of non-identical cosets is a result of the fact that if x belongs to gH then gH = xH. For if x ∈ gH then there must exist an a ∈ H such that ga = x. Thus xH = (ga)H = g(aH). Moreover, since H is a group, left multiplication by a is a bijection, and aH = H.

Thus every element of G belongs to exactly one left coset of the subgroup H,^[1] and H is itself a left coset (and the one that contains the identity).^[2]

Two elements being in the same left coset also provide a natural equivalence relation. Define two elements of G, x and y, to be equivalent with respect to the subgroup H if xH = yH (or equivalently if x⁻¹y belongs to H). The equivalence classes of this relation are the left cosets of H.^[4] As with any set of equivalence classes, they form a partition of the underlying set. A coset representative is a representative in the equivalence class sense. A set of representatives of all the cosets is called a transversal. There are other types of equivalence relations in a group, such as conjugacy, that form different classes which do not have the properties discussed here.

Similar statements apply to right cosets.

If G is an abelian group, then g + H = H + g for every subgroup H of G and every element g of G. For general groups, given an element g and a subgroup H of a group G, the right coset of H with respect to g is also the left coset of the conjugate subgroup g⁻¹Hg with respect to g, that is, Hg = g(g⁻¹Hg).

Normal subgroups[edit]

A subgroup N of a group G is a normal subgroup of G if and only if for all elements g of G the corresponding left and right cosets are equal, that is, gN = Ng. This is the case for the subgroup H in the first example above. Furthermore, the cosets of N in G form a group called the quotient group or factor group G/N.

If H is not normal in G, then its left cosets are different from its right cosets. That is, there is an a in G such that no element b satisfies aH = Hb. This means that the partition of G into the left cosets of H is a different partition than the partition of G into right cosets of H. This is illustrated by the subgroup T in the first example above. (Some cosets may coincide. For example, if a is in the center of G, then aH = Ha.)

On the other hand, if the subgroup N is normal the set of all cosets forms a group called the quotient group G / N with the operation ∗ defined by (aN) ∗ (bN) = abN. Since every right coset is a left coset, there is no need to distinguish “left cosets” from “right cosets”.

Index of a subgroup[edit]

Every left or right coset of H has the same number of elements (or cardinality in the case of an infinite H) as H itself. Furthermore, the number of left cosets is equal to the number of right cosets and is known as the index of H in G, written as [G : H]. Lagrange’s theorem allows us to compute the index in the case where G and H are finite:

This equation also holds in the case where the groups are infinite, although the meaning may be less clear.

More examples[edit]

Integers[edit]

Let G be the additive group of the integers, Z = ({…, −2, −1, 0, 1, 2, …}, +) and H the subgroup (3Z, +) = ({…, −6, −3, 0, 3, 6, …}, +). Then the cosets of H in G are the three sets 3Z, 3Z + 1, and 3Z + 2, where 3Z + a = {…, −6 + a, −3 + a, a, 3 + a, 6 + a, …}. These three sets partition the set Z, so there are no other right cosets of H. Due to the commutivity of addition H + 1 = 1 + H and H + 2 = 2 + H. That is, every left coset of H is also a right coset, so H is a normal subgroup.^[5] (The same argument shows that every subgroup of an Abelian group is normal.^[6])

This example may be generalized. Again let G be the additive group of the integers, Z = ({…, −2, −1, 0, 1, 2, …}, +), and now let H the subgroup (mZ, +) = ({…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, +), where m is a positive integer. Then the cosets of H in G are the m sets mZ, mZ + 1, …, mZ + (m − 1), where mZ + a = {…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. There are no more than m cosets, because mZ + m = m(Z + 1) = mZ. The coset (mZ + a, +) is the congruence class of a modulo m.^[7] The subgroup mZ is normal in Z, and so, can be used to form the quotient group Z/mZ the group of integers mod m.

Vectors[edit]

Another example of a coset comes from the theory of vector spaces. The elements (vectors) of a vector space form an abelian group under vector addition. The subspaces of the vector space are subgroups of this group. For a vector space V, a subspace W, and a fixed vector a in V, the sets

are called affine subspaces, and are cosets (both left and right, since the group is abelian). In terms of 3-dimensional geometric vectors, these affine subspaces are all the “lines” or “planes” parallel to the subspace, which is a line or plane going through the origin. For example, consider the plane R². If m is a line through the origin O, then m is a subgroup of the abelian group R². If P is in R², then the coset P + m is a line m′ parallel to m and passing through P.^[8]

Matrices[edit]

Let G be the multiplicative group of matrices,^[9]

and the subgroup H of G,

For a fixed element of G consider the left coset

That is, the left cosets consist of all the matrices in G having the same upper-left entry. This subgroup H is normal in G, but the subgroup

is not normal in G.

As orbits of a group action[edit]

A subgroup H of a group G can be used to define an action of H on G in two natural ways. A right action, G × H → G given by (g, h) → gh or a left action, H × G → G given by (h, g) → hg. The orbit of g under the right action is the left coset gH, while the orbit under the left action is the right coset Hg.^[10]

History[edit]

The concept of a coset dates back to Galois’s work of 1830–31. He introduced a notation but did not provide a name for the concept. The term “co-set” appears for the first time in 1910 in a paper by G. A. Miller in the Quarterly Journal of Mathematics (vol. 41, p. 382). Various other terms have been used including the German Nebengruppen (Weber) and conjugate group (Burnside).^[11]

Galois was concerned with deciding when a given polynomial equation was solvable by radicals. A tool that he developed was in noting that a subgroup H of a group of permutations G induced two decompositions of G (what we now call left and right cosets). If these decompositions coincided, that is, if the left cosets are the same as the right cosets, then there was a way to reduce the problem to one of working over H instead of G. Camille Jordan in his commentaries on Galois’s work in 1865 and 1869 elaborated on these ideas and defined normal subgroups as we have above, although he did not use this term.^[6]

Calling the coset gH the left coset of g with respect to H, while most common today,^[10] has not been universally true in the past. For instance, Hall (1959) would call gH a right coset, emphasizing the subgroup being on the right.

An application from coding theory[edit]

A binary linear code is an n-dimensional subspace C of an m-dimensional vector space V over the binary field GF(2). As V is an additive abelian group, C is a subgroup of this group. Codes can be used to correct errors that can occur in transmission. When a codeword (element of C) is transmitted some of its bits may be altered in the process and the task of the receiver is to determine the most likely codeword that the corrupted received word could have started out as. This procedure is called decoding and if only a few errors are made in transmission it can be done effectively with only a very few mistakes. One method used for decoding uses an arrangement of the elements of V (a received word could be any element of V) into a standard array. A standard array is a coset decomposition of V put into tabular form in a certain way. Namely, the top row of the array consists of the elements of C, written in any order, except that the zero vector should be written first. Then, an element of V with a minimal number of ones that does not already appear in the top row is selected and the coset of C containing this element is written as the second row (namely, the row is formed by taking the sum of this element with each element of C directly above it). This element is called a coset leader and there may be some choice in selecting it. Now the process is repeated, a new vector with a minimal number of ones that does not already appear is selected as a new coset leader and the coset of C containing it is the next row. The process ends when all the vectors of V have been sorted into the cosets.

An example of a standard array for the 2-dimensional code C = {00000, 01101, 10110, 11011} in the 5-dimensional space V (with 32 vectors) is as follows:

00000	01101	10110	11011
10000	11101	00110	01011
01000	00101	11110	10011
00100	01001	10010	11111
00010	01111	10100	11001
00001	01100	10111	11010
11000	10101	01110	00011
10001	11100	00111	01010

The decoding procedure is to find the received word in the table and then add to it the coset leader of the row it is in. Since in binary arithmetic adding is the same operation as subtracting, this always results in an element of C. In the event that the transmission errors occurred in precisely the non-zero positions of the coset leader the result will be the right codeword. In this example, if a single error occurs, the method will always correct it, since all possible coset leaders with a single one appear in the array.

Syndrome decoding can be used to improve the efficiency of this method. It is a method of computing the correct coset (row) that a received word will be in. For an n-dimensional code C in an m-dimensional binary vector space, a parity check matrix is an (m − n) × m matrix H having the property that xH^T = 0 if and only if x is in C.^[12] The vector xH^T is called the syndrome of x, and by linearity, every vector in the same coset will have the same syndrome. To decode, the search is now reduced to finding the coset leader that has the same syndrome as the received word.^[13]

Double cosets[edit]

Given two subgroups, H and K (which need not be distinct) of a group G, the double cosets of H and K in G are the sets of the form HgK = {hgk : h an element of H, k an element of K}. These are the left cosets of K and right cosets of H when H = 1 and K = 1 respectively.^[14]

Two double cosets HxK and HyK are either disjoint or identical.^[15] The set of all double cosets for fixed H and K form a partition of G.

A double coset HxK contains the complete right cosets of H (in G) of the form Hxk, with k an element of K and the complete left cosets of K (in G) of the form hxK, with h in H.^[15]

Notation[edit]

Let G be a group with subgroups H and K. Several authors working with these sets have developed a specialized notation for their work, where^[16][17]

• G/H denotes the set of left cosets {gH: g in G} of H in G.
• HG denotes the set of right cosets {Hg : g in G} of H in G.
• KG/H denotes the set of double cosets {KgH : g in G} of H and K in G, sometimes referred to as double coset space.
• G//H denotes the double coset space HG/H of the subgroup H in G.

More applications[edit]

• Cosets of Q in R are used in the construction of Vitali sets, a type of non-measurable set.
• Cosets are central in the definition of the transfer.
• Cosets are important in computational group theory. For example, Thistlethwaite’s algorithm for solving Rubik’s Cube relies heavily on cosets.
• In geometry, a Clifford–Klein form is a double coset space ΓG/H, where G is a reductive Lie group, H is a closed subgroup, and Γ is a discrete subgroup (of G) that acts properly discontinuously on the homogeneous space G/H.

See also[edit]

• Heap
• Coset enumeration

Notes[edit]

References[edit]

• Burton, David M. (1988), Abstract Algebra, Wm. C. Brown Publishers, ISBN 0-697-06761-0
• Dean, Richard A. (1990), Classical Abstract Algebra, Harper and Row, ISBN 0-06-041601-7
• Fraleigh, John B. (1994), A First Course in Abstract Algebra (5th ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2
• Hall, Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, The Macmillan Company
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra I (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Joshi, K. D. (1989), “§5.2 Cosets of Subgroups”, Foundations of Discrete Mathematics, New Age International, pp. 322 ff, ISBN 81-224-0120-1
• Miller, G. A. (2012) [1916], Theory and Applications of Finite Groups, Applewood Books, ISBN 9781458500700
• Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Scott, W.R. (1987), “§1.7 Cosets and index”, Group Theory, Courier Dover Publications, pp. 19 ff, ISBN 0-486-65377-3

Further reading[edit]

• Zassenhaus, Hans J. (1999), “§1.4 Subgroups”, The Theory of Groups, Courier Dover Publications, pp. 10 ff, ISBN 0-486-40922-8

External links[edit]

• Nicolas Bray. “Coset”. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. “Left Coset”. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. “Right Coset”. MathWorld.
• Ivanova, O.A. (2001) [1994], “Coset in a group”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Coset at PlanetMath.
• Illustrated examples
• “Coset”. groupprops. The Group Properties Wiki.

Смежные классы

Левым смежным классом группы по множеству назовем множество вида
Аналогично определяется и правый смежный класс . Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.

Теорема: Левые смежные классы по подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство: Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса и с общим элементом . Докажем, что . Пусть принадлежит . Известно: .
Тогда , поскольку . Значит, . Аналогично .

Теорема Лагранжа

Теорема (Лагранж):

В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы

Доказательство:

Пусть – конечная группа, а – ее подгруппа. Любой элемент входит в некоторый смежный класс по ( входит в ). Мощность каждого класса равна , т.к. отображение биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что делится на .

Следствие: . Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу : ее порядок равен порядку элемента , но .

Следствие:(теорема Ферма) Рассматривая в качестве группу , получаем при :

Нормальные подгруппы

Подгруппа группы называется нормальной подгруппой, если для любых выполнено . Т.е.:

Факторгруппа

Рассмотрим группу и ее нормальную подгруппу . Пусть – множество смежных классов по . Определим в групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть . Докажем, что . Достаточно показать, что .

Таким образом, фактормножество образует подгруппу, которая называется факторгруппой по . Нейтральным элементом является , обратным к – .