Определение непрерывности функции в точке и передела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции способствует непосредственному вычислению пределов.
Значение предела в точке непрерывности определено значением функции в этой точке.
При опоре на свойства основные элементарные функции имеют предел в любой точке из области определения, вычисляется как значение соответствующей функции в этих точках.
Произвести вычисление предела функции limx→5arctg35·x
Решение
Функция арктангенса отличается непрерывностью на всей своей области определения. Отсюда получим, что в точке x0=5 функция является непрерывной. Из определения имеем, что для нахождения предела является значением этой же функции. Тогда необходимо произвести подстановку. Получим, что
limx→5arctg35·x=arctg35·5=arctg3=π3
Ответ: π3.
Для вычисления односторонних пределов необходимо использовать значения точек границ предела. У акрксинуса и акрккосинуса имеются такие значения x0=-1 или x0=1.
При x→+∞ или x→-∞ вычисляются пределы функции, заданные на бесконечностях.
Для упрощения выражений применяют свойства пределов:
- limx→x0(k·f(x))=k·limx→x0f(x), k является коэффициентом.
- limx→x0(f(x)·g(x))=limx→x0f(x)·limx→x0g(x), применяемое при получении неопределенности предела.
- limx→x0(f(g(x)))=flimx→x0gx,используемое для непрерывных функций, где знак функции и предельного перехода можно менять местами.
Для того, чтобы научиться вычислять переделы, необходимо знать и разбираться в основных элементарных функциях. Ниже приведена таблица, в которой имеются переделы этих функций с приведенными разъяснениями и подробным решением. Для вычисления необходимо основываться на определении предела функции в точке и на бесконечности.
Таблица пределов функции
Для упрощения и решения пределов используется данная таблица основных пределов.
|
Функция корень n-ой степени y=xn, где n=2, 4, 6 … limx→∞xn=+∞n=+∞ Для любых x0 из опрелеления limx→x0xn=x0n |
Функция корень n-ой степени y=xn, где n=3, 5, 7 … limx→∞xn=+∞n=+∞limx→∞xn=-∞n=-∞ limx→x0xn=x0n |
|
Степенная функция y=xa , a>0
|
Степенная функция y=xa, a<0
|
|
Показательная функия y=ax, 0<a<1 limx→∞ax=a-∞=+∞limx→∞ax=a+∞=+0 Для любых x0 из области опреления limx→x0ax=ax0 |
Показательная функия y=ax, a>1limx→∞ax=a-∞=+0limx→x0ax=a+∞=+∞ Для любых знвчений x0 из област опредения limx→x0ax=ax0 |
|
Логарифмическая функция y=loga(x), 0<a<1 limx→0+0logax=loga(0+0)=+∞limx→∞logax=loga(+∞)=-∞ Для любых x0 из области опрелеленияlimx→x0logax=logax0 |
Логарифмическая функция y=loga(x), a>1 limx→0+0logax=loga(0+0)=-∞limx→∞logax=loga(+∞)=+∞ Для любых x0 из области опрелеления limx→x0logax=logax0 |
|
Тригонометрические функции
limx→∞tg x не существует Для любых x0 из области опрелеления limx→x0tg x=tg x0 |
Тригонометрические функции
limx→∞ctg x не существует Для любых x0 из области опрелеления |
|
Обратные тригонометрические функции
Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arcsin x=arcsin x0
Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arccis x=arccos x0 |
Обратные тригонометрические функции
Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arctg x=arctg x0
Для любых x0 из области опрелеления limx→x0arcctg x=arcctg x0 |
Произвести вычисление предела limx→1×3+3x-1×5+3.
Решение
Для решения необходимо подставить значение х=1. Получаем, что
limx→1×3+3x-1×5+3=13+3·1-115+3=34=32
Ответ: limx→1×3+3x-1×5+3=32
Произвести вычисление предела функции limx→0(x2+2,5)1×2
Решение
Для того, чтобы раскрыть предел, необходимо подставить значение х, к которому стремится предел функции. В данном случае нужно произвести подстановку х=0. Подставляем числовое значение и получаем:
x2+2.5x=0=02+2.5=2.5
Предел записывается в виде limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2. Далее необходимо заняться значением показателя. Он является степенной функцией 1×2=x-2. В таблице пределов, предоставленной выше, имеем, что limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞ и limx→0+01×2=limx→0+0x-2=+∞, значит, имеем право записать как limx→01×2=limx→0x-2=+∞
Теперь вычислим предел. Получит вид limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×2=2.5+∞
По таблице пределов с показательными функциями, имеющими основание больше 1 получаем, что
limx→0(x2+2.5)1×2=limx→02.51×22.5+∞=+∞
Ответ: limx→0(x2+2.5)1×2=+∞
Когда задан более сложный предел, то при помощи таблицы не всегда получится получать целое или конкретное значение. Чаще получаются разные виды неопределенностей, для разрешения которых необходимо применять правила.
Рассмотрим графическое разъяснение приведенной выше таблицы пределов основных элементарных функций.
Предел константы
Из рисунка видно, что функция у=С имеет предел на бесконечности. Такой же предел при аргументе, который стремится к х0. Он равняется числу C.
Предел функции корень n-ой степени
Четные показатели корня применимы для limx→+∞xn=+∞n=+∞, а нечетные, равные больше, чем значение 1, – для limx→+∞xn=+∞n=+∞, limx→-∞xn=-∞n=-∞. Область определения может принимать абсолютно любое значение х предела заданной функции корня n-ой степени, равного значению функции в заданной точке.
Предел степенной функции
Необходимо разделить все степенные функции по группам, где имеются одинаковые значения пределов, исходя из показателя степени.
- Когда a является положительным числом, тогда limx→+∞xa=+∞a=+∞ и limx→-∞xa=-∞a=-∞. Когда x принимает любое значение, тогда предел степенной функции равняется значению функции в точке. Иначе это записывается как limx→∞xa=(∞)a=∞.
- Когда a является положительным четным числом, тогда получаем limx→+∞xa=(+∞)a=+∞ и limx→-∞xa=(-∞)a=+∞, причем x из данной области определения является пределом степенной функции и равняется значением функции в этой точке. Предел имеет вид limx→∞xa=∞a=+∞.
- Когда a имеет другие значения, тогда limx→+∞xa=(+∞)a=+∞, а область определения x способствует определению предела функции в заданной точке.
- Когда a имеет значение отрицательных чисел, тогда получаем limx→+∞xa=+∞a=+0, limx→-∞xa=(-∞)a=-0, limx→0-0xa=(0-0)a=-∞,limx→0+0xa=0+0a=+∞, а значения x может быть любым из заданной области определения и равняется функции в заданной точке. Получаем, что limx→∞xa=∞a=0 иlimx→0xa=0a=∞.
- Когда a является отрицательным четным числом, тогда получаем limx→+∞xa=(+∞)a=+0, limx→-∞xa=-∞a=+0, limx→0-0(0-0)a=+∞, limx→0+0xa=(0+0)a=+∞, а любое значение x на области определения дает результат предела степенной функции равным значению функции в точке. Запишем как limx→∞xa=(∞)a=+0 и limx→0xa=(0)a=+∞.
- Когда значение a имеет другие действительные отрицательные числа, тогда получим limx→+∞xa=+∞a=+0 и limx→0+0xa=0+0a=+∞, когда x принимает любое значение из своей области определения, тогда предел степенной функции равняется значению функции в этой точке.
Предел показательной функции
Когда 0<a<1, имеем, что limx→-∞ax=a-∞=+∞, limx→+∞ax=(a)+∞=+∞, любое значение x из области определения дает пределу показательной функции значению функции в точке.
Когда a>1, тогда limx→-∞ax=(a)-∞=+0, limx→+∞ax=(a)+∞=+∞, а любое значение x из области определения дает предел функции равный значению этой функции в точке.
Предел логарифмической функции
Когда имеем 0<a<1, тогда limx→0+0logax=loga(0+0)=+∞, limx→+∞logax=loga(+∞)=-∞ , для всех остальных значений x из заданной области определения предел показательной функции равняется значению заданной функции в точках.
Когда a>1, получаем limx→0+0logax=loga(0+0)=-∞, limx→+∞logax=loga(+∞)=+∞,остальные значения x в заданной области определения дают решение предела показательной функции равному ее значению в точках.
Предел тригонометрических функций
Предел бесконечности не существует для таких функций как y=sin x, y=cos x. Любое значение x, входящее в область определения, равняется значению функции в точке.
Функция тангенса имеет предел вида limx→π2-0+π·ktg(x)=+∞, limx→π2+π·ktg(x)=∞ или limx→π2+π·ktg(x)=∞, тогда остальные значения x, принадлежащие области определения тангенса, равняется значению функции в этих точках.
Для функции y=ctg x получаем limx→-0+π·kctg(x)=-∞, limx→+0+π·kctg(x)=+∞ или limx→π·kctg (x)=∞, тогда остальные значения x, принадлежащие области определения, дают предел котангенса, равный значению функции в этих точках.
Предел обратных тригонометрических функций
Функция арксинус имеет предел вида limx→-1+0arcsin(x)=-π2 и limx→1-0arcsin (x)=π2, остальные значения x из области определения равняются значению функции в заданной точке.
Функция арккосинус имеет предел вида limx→-1+0arccos(x)=π и limx→1-0arccos(x)=0, когда остальные значения x, принадлежащие области определения, имеют предел арккосинуса, равного значению функции в этой точке.
Функция арктангенс имеет предел вида limx→-∞arctg(x)=-π2 и limx→+∞arctg(x)=π2, причем другие значения x, входящие в область определения, равняется значению функции в имеющихся точках.
Функция котангенса имеет предел вида limx→-∞arcctg(x)=π и limx→+∞arctg(x)=0, где x принимает любое значение из своей заданной области определения, где получаем предел арккотангенса, равного значению функции в имеющихся точках.
Все имеющееся значения пределов применяются в решении для нахождения предела любой из элементарных функций.
Чтобы найти предел арктангенса, (в частности, арктангенс на бесконечности, arctg 0) нужны свойства арктангенса и график функции y=arctg x.
Функция y=arctg x- обратная к функции y=tg x. Область определения функции y=arctg x — вся числовая прямая, область значений — проме
жуток (-п/2;п/2):
График функции y=arctg x наглядно иллюстрирует, как ведет себя арктангенс на бесконечности: если x стремится к бесконечности (точнее, к плюс бесконечности), арктангенс стремится к п/2, если икс стремиться к минус бесконечности, арктангенс стремится к -п/2. Отсюда предел арктангенса на бесконечности:
![[mathop {lim }limits_{x to + infty } arctgx = frac{pi }{2};mathop {lim }limits_{x to - infty } arctgx = - frac{pi }{2}.]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-341b53b0575621beb70404046c8eded2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Поскольку на всей числовой прямой функция y=arctg x — непрерывна, предел арктангенса в любой точке равен значению арктангенса в этой точке: arctg 0 = 0 и т.д.
![[mathop {lim }limits_{x to 0} arctgx = 0;mathop {lim }limits_{x to a} arctgx = arctga.]](https://www.matematika.uznateshe.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ff5549ea87e9edca799ea759470e1e0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Описание видеоурока:
Найдите предел тригонометрической функции lim(arctgx/x)
Понятие пределов введено французским математиком Огюстеном Луи Коши в XIX веке.
Огюстен Луи Коши – французский математик XIX века, который вошел в историю благодаря открытиям в области дифференциальных уравнений,алгебры, геометрии и математического анализа. Многие открытия ученого названы в его честь и применяются поныне.
Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!
Выбор видеоурока
Подготовка к ЕГЭ
Подготовка к ОГЭ
© 2007 – 2023 Сообщество учителей-предметников “Учительский портал”
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.
Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.
Фотографии предоставлены 
Определение левого и правого пределов функции в точке. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой правой полуокрестности точки x0 , т.е. на некотором интервале (x0; x0 +δ) , где δ > 0.
Первое определение односторонних пределов функции (по Коши, или «на языке ε −δ ») выглядит так.
Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или
правосторонним пределом), если для любого сколь угодно малого
|
положительного числа ε |
найдется такое число δ > 0, что для всех x |
таких, |
||||
|
что 0 < x − x0 <δ , выполнено неравенство |
f (x) − A |
<ε . |
||||
|
Обозначается это так: |
lim f (x) = A или f (x0 + 0) = A. |
|||||
|
x→x0 +0 |
||||||
|
Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 |
(или |
левосторонним пределом), если для любого сколь угодно малого
|
положительного числа ε |
найдется такое число δ > 0, что для всех x , таких, |
||||
|
что 0 < x0 − x <δ , выполнено неравенство |
f (x) − A |
<ε . |
|||
|
Обозначается это так: |
lim f (x) = A или f (x0 −0) = A . |
||||
|
x→x0 −0 |
Первое определение односторонних пределов функции равносильно второму определению (по Гейне, или «на языке последовательностей»):
Число A называется пределом справа функции f (x) в точке x0 (или
правосторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn > x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A.
Число A называется пределом слева функции f (x) в точке x0 (или левосторонним пределом), если для всякой последовательности xn значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn < x0 для любого n , соответствующая последовательность значений функции f (xn ) сходится к A.
|
Очевидно, что |
lim f (x) существует в том и только в том случае, когда |
|||
|
x→x0 |
||||
|
существуют односторонние пределы |
lim f (x) , |
lim f (x) и при этом имеют |
||
|
x→x0 |
+0 |
x→x0 −0 |
||
|
место равенства lim |
f (x) = lim f (x) = |
lim f (x) . |
||
|
x→x0 |
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
173
Пример 5.16. Найти односторонние пределы функций:
|
2 |
при x ≤1 |
||||||||||||||||
|
1) |
f (x) = |
x |
при |
x →1; |
|||||||||||||
|
при x |
>1 |
||||||||||||||||
|
−x |
|||||||||||||||||
|
2) f (x) = |
x2 − 4x + 4 |
при x → 2; |
|||||||||||||||
|
x |
− 2 |
||||||||||||||||
|
3) |
f (x) = |
(x +3) |
1−cos2 x |
при x → 0 ; |
|||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||
|
4) |
f (x) = 5 + |
1 |
при x →1. |
||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||
|
1+ 4 |
x−1 |
||||||||||||||||
|
Решение: 1) рассматриваемая функция |
|||||||||||||||||
|
определена на всей числовой оси. Пусть |
x ≤1. |
||||||||||||||||
|
Тогда |
f (x) = x2 . |
Следовательно, |
|||||||||||||||
|
f (1−0) |
= |
lim |
f (x) |
= lim |
x2 |
=1 |
– |
предел |
|||||||||
|
x→1−0 |
x→1−0 |
||||||||||||||||
|
функции f (x) в точке x =1 слева. |
|||||||||||||||||
|
Если |
же |
x >1, |
то |
f (x) = −x |
и |
||||||||||||
|
f (1+ 0) |
= |
lim |
f (x) |
= lim (−x) = −1 – предел справа (рис5.1); |
|||||||||||||
|
x→1+0 |
x→1+0 |
2) данная функция определена на всем множестве действительных чисел, кроме точки x = 2. Преобразуем выражение для f (x) , заметив, что в числителе дроби находится полный квадрат:
|
f (x) = |
x2 |
− 4x + 4 |
= |
(x − 2)2 |
= x − 2 при x ≠ 2 . |
Следовательно, |
||||||||||||||||
|
x − 2 |
x |
− 2 |
||||||||||||||||||||
|
f (2 −0) = |
lim f (x) = |
lim (x − 2) = 0 , |
f (1+ 0) |
= lim (x − 2) = 0, т.е. |
||||||||||||||||||
|
x→2−0 |
x→2−0 |
x→2+0 |
||||||||||||||||||||
|
односторонние пределы функции в исследуемой точке равны между собой; |
||||||||||||||||||||||
|
= |
(x +3) |
sin x |
. |
|||||||||||||||||||
|
3) имеем f (x) = (x +3) |
1−cos2 x |
= (x +3) |
sin2 x |
|||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
|||||||||||||||||||||
|
sin x при 0 < x < π |
||||||||||||||||||||||
|
Учитывая, что |
sin x |
2 |
, |
получаем равенства |
||||||||||||||||||
|
= |
π |
|||||||||||||||||||||
|
− |
< x < 0 |
|||||||||||||||||||||
|
−sin x при |
2 |
|||||||||||||||||||||
174
|
f (−0) = |
lim |
f (x) = |
lim −(x +3) sin x |
= −(0 +3) 1= −3 — пределслевавточкеноль; |
|
|
x→−0 |
x→−0 |
x |
|||
|
f (+0) = lim |
f (x) = lim (x +3) sin x |
= (0 +3) 1 = 3 — пределсправавточкеноль; |
|||
|
x→+0 |
x→+0 |
x |
4)найдем левосторонний предел данной функции в точке x =1. Если x →1−0, т.е. x стремится к единице, оставаясь меньше единицы, то выражение x −1 стремится к нулю, оставаясь при этом меньше нуля, поэтому
|
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
дробь |
стремится к −∞, а значит, справедливы равенства lim 4 |
x−1 |
= 0 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1−0 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
f (1−0) = lim |
f (x) = lim 5 + |
1 |
= 5 + |
1 |
= 6. |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1−0 |
x→1−0 |
1+ |
0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ 4x−1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Если же x →1+ 0, то дробь |
1 |
стремится к |
+∞, а значит, |
|||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
lim 4 |
x−1 |
= +∞, lim |
= 0 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1−0 |
x→1−0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1+ 4 |
x−1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
f (1+ 0) = lim f (x) = lim 5 + |
1 |
= 5 + 0 = 5. |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1+0 |
x→1+0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1+ |
4x−1 |
|||||||||||||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения
Найти левый и правый пределы функции при x → x0 :
|
1 |
1 |
||||||||||||||||
|
5.153. f (x) = e |
x−a |
, x |
= a . |
5.154. f (x) = |
, |
x |
= 3. |
||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||
|
0 |
0 |
||||||||||||||||
|
x + 2 |
|||||||||||||||||
|
x−3 |
|||||||||||||||||
|
−2 |
при x ≤1, |
||||||||||||||||
|
5.155. f (x) = |
а) x0 =1, б) x0 =10. |
||||||||||||||||
|
x |
при x >1. |
||||||||||||||||
|
10 |
|||||||||||||||||
|
x2 −1 |
|||||||||||||||||
|
5.156. f (x) = |
, |
x =1. |
5.157. f (x) = |
1−cos x |
, |
x = 0 . |
|||||||||||
|
x −1 |
0 |
x |
0 |
||||||||||||||
175
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.158. f (x) = |
4 +3 7 |
1−x |
, |
x =1. |
5.159. f (x) |
= |
5 |
, |
x |
= 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
0 |
(x − 2)2 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ 71−x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.160. f (x) = |
1 |
, x = 0 . |
5.161. f (x) = arctg 1 , x |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
x |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 − 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.162. |
f (x) = tg x , x |
= π . |
5.163. f (x) = |
sin x |
, x |
= 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
2 |
x |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.164. |
f (x) =[x] – целая часть x , x0 = 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.165. f (x) = |
1 |
, {x}= x −[x] – дробная часть x , x |
=1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
{x} |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.166. f (x) = cos π , |
x |
= 0 . |
5.167. f (x) |
= 3tg 2x , x |
= π . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
0 |
0 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.168. f (x) = |
2 |
, |
x |
= π . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ 2tg x |
0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найти пределы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
arcsin(x + 2) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.169. lim |
1−cos2x |
. |
5.170. |
lim |
5.171. |
lim |
1+ cos2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→−0 |
x→−2 |
x2 + 2x |
x→π |
+0 |
π − 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.172. |
lim |
. |
5.172. |
lim |
tg2 α +secα |
− tgα |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→π+0 |
π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
α→2 −0 |
5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
Непрерывность функции в точке. Функция y = f (x) называется
непрерывной в точке x0 , если:
1) эта функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;
2) существует предел lim f (x) ;
x→x0
3) этот предел равен значению функции в точке x0 , т.е.
lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
176
|
Последнее условие равносильно условию |
lim ∆y = 0 , где ∆x = x − x0 – |
||
|
∆x→0 |
|||
|
приращение аргумента, |
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) |
– приращение |
функции, |
|
соответствующее приращению аргумента ∆x , т.е. |
функция f (x) непрерывна в |
||
|
точке x0 тогда и только |
тогда, когда в этой |
точке бесконечно |
малому |
приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
|
Односторонняя |
непрерывность. |
Функция |
y = f (x) |
называется |
|||||
|
непрерывной |
слева в |
точке x0 , если |
она |
определена на |
некотором |
||||
|
полуинтервале (a; x0 ] и |
lim |
f (x) = f (x0 ). |
|||||||
|
x→x0 −0 |
|||||||||
|
Функция y = f (x) |
называется непрерывной справа в точке x0 , |
если она |
|||||||
|
определена на некотором полуинтервале [x0;a) |
и lim |
f (x) = f (x0 ) . |
|||||||
|
x→x0 +0 |
|||||||||
|
Функция y = f (x) |
непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, |
когда она |
|||||||
|
непрерывна слева и справа в этой точке. При этом |
|||||||||
|
lim |
f (x) = |
lim f (x) = lim |
f (x) = f (x0 ) . |
||||||
|
x→x0 +0 |
x→x0 −0 |
x→x0 |
|||||||
|
Непрерывность функции на множестве. |
Функция y = f (x) |
называется |
|||||||
|
непрерывной на множестве |
X , если она является непрерывной в каждой |
||||||||
|
точке |
x этого множества. |
При этом если функция |
определена |
в конце |
некоторого промежутка числовой оси, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева.
В частности, функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке
[a;b], если она
1)непрерывна в каждой точке интервала (a;b);
2)непрерывна справа в точке a ;
3)непрерывна слева в точке b.
Точки разрыва функции. Точка x0 , принадлежащая области определения функции y = f (x), или являющаяся граничной точкой этой области, называется точкой разрыва данной функции, если f (x) не является непрерывной в этой точке.
177
Точки разрыва делятся на точки разрыва первого и второго рода:
|
1) |
если |
существуют |
конечные |
пределы |
lim f (x) = f (x0 −0) |
и |
||||||||||||
|
x→x0 −0 |
||||||||||||||||||
|
lim |
f |
(x) = f (x0 + 0) , |
причем не |
все |
три числа f (x0 −0) , |
f (x0 + 0) , |
f (x0 ) |
|||||||||||
|
x→x0 +0 |
||||||||||||||||||
|
равны между собой, то x0 называется |
. |
|||||||||||||||||
|
точкой разрываI рода |
||||||||||||||||||
|
В частности, если левый и правый пределы функции в точке x0 |
равны |
|||||||||||||||||
|
между |
собой, |
но |
не |
равны |
значению |
функции |
в |
этой |
точке: |
|||||||||
|
f (x0 −0) = f (x0 + 0) = A ≠ f (x0 ) , |
то |
x0 |
||||||||||||||||
|
называется |
точкой |
устранимого |
||||||||||||||||
|
В этом случае, положив |
f (x0 ) = A, можно видоизменить функцию в |
|||||||||||||||||
|
разрыва. |
||||||||||||||||||
|
точке x0 так, чтобы |
она стала |
непрерывной |
(доопределить |
функцию |
по |
|||||||||||||
|
непрерывности). |
||||||||||||||||||
|
Разность |
f (x0 + 0) − f (x0 −0) |
называется скачком функции в точке |
x0 . |
Скачок функции в точке устранимого разрыва равен нулю;
2) точки разрыва, не являющиеся точками разрыва первого рода, называются точками разрыва II рода. В точках разрыва II рода не существует или бесконечен хотя бы один из односторонних пределов f (x0 −0) и
f (x0 + 0) .
Свойства функций,непрерывных в точке.
|
1. Если функции |
f (x) |
и g(x) непрерывны в |
точке x0 , |
то функции |
|
f (x) ± g(x), f (x)g(x) и |
f (x) |
(где g(x) ≠ 0 ) также непрерывны в точке x . |
||
|
g(x) |
0 |
|||
|
2. Если функция u(x) непрерывна в точке x0 , а функция f (u) |
непрерывна |
|||
|
в точке u0 = u(x0 ) , то сложная функция f (u(x)) непрерывна в точке x0 . |
||||
|
3. Все основные элементарные функции (c , xa , |
ax , loga x , |
sin x , cos x , |
||
|
tg x , ctg x, sec x , cosec x , arcsin x , arccos x , arctg x , |
arcctg x ) непрерывны в |
каждой точке своих областей определения.
Из свойств 1–3 следует, что все элементарные функции (функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции) также непрерывны в каждой точке своих областей определения.
178
|
Свойства функций,непрерывных на отрезке. |
|||
|
1. Пусть функция |
f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда |
||
|
для любого числа |
C , заключенного между числами f (a) |
и |
f (b) , |
|
( f (a) < C < f (b) ) найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что |
f (x0 ) = C |
||
|
(теорема о промежуточных значениях). |
|||
|
2. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке |
[a;b] и |
принимает на его концах значения различных знаков. Тогда найдется хотя бы одна точка x0 [a;b], такая, что f (x0 ) = 0 (теорема Больцано – Коши).
3.Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке(1-я теорема Вейерштрасса).
4.Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда эта функция достигает на отрезке [a;b] своего наибольшего и наименьшего
значений,т.е.существуюттакиеточки x1, x2 [a;b],чтодлялюбойточки x [a;b] справедливынеравенства f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) (2-ятеоремаВейерштрасса).
Пример 5.17. Пользуясь определением непрерывности, доказать, что функция y = 3x2 + 2x −5 непрерывна в произвольной точке x0 числовой оси.
|
Решение. I способ. Пусть x0 – |
произвольная точка числовой оси. |
|||||
|
Вычислим сначала предел функции f (x) |
при x → x0 , применяя теоремы о |
|||||
|
пределе суммы и произведения функций: |
||||||
|
lim f (x) = lim (3x2 + 2x −5) = 3( lim x)2 + 2 lim x −5 = 3x |
2 |
+ 2x −5. |
||||
|
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
x→x0 |
0 |
0 |
|
|
Затем вычисляем значение функции в точке x : |
f (x ) = 3x |
2 |
+ 2x −5 . |
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
Сравнивая |
полученные |
результаты, видим, |
что |
lim |
f (x) = f (x0 ) . |
|
|
x→x0 |
Согласно определению это и означает непрерывность рассматриваемой
|
функции в точке x0 . |
|||||
|
I I способ. |
Пусть ∆x – приращение аргумента в точке x0 . Найдем |
||||
|
соответствующее приращение функции: |
|||||
|
∆y = f (x + ∆x) − f (x ) = 3(x + ∆x)2 |
+ 2(x + ∆x) −5 −(3x 2 |
+ 2x −5)= |
|||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
= 6x ∆x + (∆x)2 + 2∆x = (6x + 2)∆x + (∆x)2 . |
|||||
|
0 |
0 |
179
Вычислим теперь предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю:
|
lim ∆y = lim (6x |
+ 2)∆x |
+ (∆x)2 = (6x |
+ 2) lim ∆x + ( lim ∆x)2 = 0 . |
|||
|
∆x→0 |
∆x→0 |
0 |
0 |
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|
Таким |
образом, |
lim ∆y = 0 , что |
и означает по определению |
|||
|
∆x→0 |
непрерывность функции для любого x0 R .
Пример 5.18. Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В случае устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности:
|
2 |
при |
x < 3 |
2 |
|||||||||||||
|
x + 4x +3 |
||||||||||||||||
|
1) |
f (x) = |
1− x |
; |
2) |
f (x) = |
; |
||||||||||
|
5x при x ≥ 3 |
x +1 |
|||||||||||||||
|
3) |
f (x) = |
5 |
; |
4) |
f (x) = arctg |
1 |
. |
|||||||||
|
x4 (x − 2) |
(x −5) |
|||||||||||||||
|
Решение: |
1) |
областью |
определения данной |
функции является вся |
числовая ось (−∞;+∞). На интервалах (−∞;3), (3;+∞) функция непрерывна.
Разрыв возможен лишь в точке x = 3 , в которой изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы функции в указанной точке:?
|
f (3 −0) = lim (1− x2 ) =1 |
−9 =8 ; |
f (3 + 0) = |
lim |
5x =15. |
||
|
x→3−0 |
x→3+0 |
|||||
|
Мы видим, что левый и правый пределы конечны, |
поэтому x = 3 – точка |
|||||
|
разрыва I рода |
функции |
f (x) . Скачок |
функции |
в |
точке |
разрыва |
|
f (3 + 0) − f (3 −0) =15 −8 = 7 . |
||||||
|
Заметим, что |
f (3) = 5 3 =15 = f (3 + 0) , |
поэтому в точке x = 3 |
функция |
f(x) непрерывна справа;
2)функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки x = −1, в которой она не определена. Преобразуем выражение для f (x) , разложив числитель дроби
|
намножители: f (x) = |
x2 |
+ 4x +3 |
= |
(x +1)(x +3) |
= x +3 при x ≠ −1. |
|
x +1 |
x +1 |
||||
|
Найдем односторонние пределы функции в точке x = −1: |
|||||
|
lim |
f (x) = lim |
f (x) = lim (x +3) = 2. |
|||
|
x→−1−0 |
x→−1+0 |
x→−1 |
Мы выяснили, что левый и правый пределы функции в исследуемой точке существуют, конечны и равны между собой, поэтому x = −1 – точка
180
|
устранимого |
разрыва |
функции |
f (x) = |
x2 |
+ 4x +3 |
. График |
функции |
|
x +1 |
|||||||
|
представляет собой прямую y = x +3 |
с «выколотой» точкой M (−1;2) . Чтобы |
||||||
|
функция |
стала |
непрерывной, |
следует |
положить |
f (−1) = f (−1−0) = f (−1+ 0) = 2 .
Таким образом, доопределив f (x) по непрерывности в точке x = −1, мы получили функцию f *(x) = x +3 с областью определения (−∞;+∞);
3)данная функция определена и непрерывна для всех x , кроме точек x = 0, x = 2, в которых знаменатель дроби обращается в ноль.
Рассмотрим точку x = 0.
Поскольку в достаточно малой окрестности нуля функция принимает
|
только отрицательные значения, то f (−0) = lim |
5 |
= −∞ = f (+0) , т.е. |
|
|
(x − 2) |
|||
|
x→−0 x4 |
точка x = 0 является точкой разрыва II рода функции f (x) .
Рассмотрим теперь точку x = 2.
Функция принимает отрицательные значения вблизи слева от
|
рассматриваемой |
точки |
и |
положительные – |
справа, |
поэтому |
||||||||||||||||||
|
f (2 −0) = lim |
5 |
= −∞, |
f (2 + 0) = lim |
5 |
= +∞. Как и в |
||||||||||||||||||
|
x→2−0 x4 (x − 2) |
x→2+0 x4 (x − 2) |
||||||||||||||||||||||
|
предыдущем случае, в точке |
x = 2 функция не имеет ни левого, |
ни правого |
|||||||||||||||||||||
|
конечного пределов, т.е. терпит в этой точке разрыв II рода; |
|||||||||||||||||||||||
|
4) данная |
функция |
терпит |
у |
||||||||||||||||||||
|
разрыв в точке |
x = 5 . При этом |
||||||||||||||||||||||
|
π |
|||||||||||||||||||||||
|
f (5 −0) = |
lim arctg |
1 |
= − |
π |
, |
• |
|||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
(x −5) |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
x→5−0 |
|||||||||||||||||||||||
|
f (5 + 0) = |
lim arctg |
1 |
= |
π |
, |
0 |
• |
1 |
• |
х |
|||||||||||||
|
5 |
|||||||||||||||||||||||
|
(x −5) |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
x→5+0 |
π |
||||||||||||||||||||||
|
т.е x = 5 – точка разрыва I рода. |
− |
• |
|||||||||||||||||||||
|
Скачок функции в данной точке |
2 |
Рис.5.2 |
|||||||||||||||||||||
|
равен |
|||||||||||||||||||||||
|
f (5 + 0) − f (5 −0) = |
π |
−(− |
π ) =π (рис. 5.2). |
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
181
Задачи для самостоятельного решения
5.174. Пользуясь лишь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке x0 R :
|
а) |
f (x) = c = const ; |
б) |
f (x) = x ; |
в) f (x) = x3 ; |
|||
|
г) |
f (x) = 5x2 − 4x +1; |
д) |
f (x) = sin x . |
||||
|
2 |
+1 при x |
≥ 0, |
|||||
|
x |
является непрерывной на |
||||||
|
5.175. Доказать, что функция f (x) = |
1 при x < 0 |
||||||
всей числовой оси. Построить график этой функции.
|
2 |
+1 при |
x ≥ 0, |
|||||||||||||||||||
|
5.176. Доказать, что функция f |
x |
не является непрерывной |
|||||||||||||||||||
|
(x) = |
0 при x |
< 0 |
|||||||||||||||||||
|
в точке x = 0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график |
|||||||||||||||||||||
|
функции f (x) . |
|||||||||||||||||||||
|
−x |
2 |
+ x +1 при x |
≤ |
1 |
, |
||||||||||||||||
|
5.177. Доказать, что функция f |
2 |
||||||||||||||||||||
|
не является |
|||||||||||||||||||||
|
(x) = |
1 |
||||||||||||||||||||
|
2x + 2 при x > |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
непрерывной в точке x = |
1 , но непрерывна слева в этой точке. Построить |
||||||||||||||||||||
|
график функции f (x) . |
2 |
||||||||||||||||||||
|
5.178. Построить графики функций: |
а) |
y = |
x +1 |
; |
б) y = x + |
x +1 |
. |
||||||||||||||
|
x +1 |
x +1 |
||||||||||||||||||||
|
Какие из условий непрерывности в точках разрыва этих функций |
|||||||||||||||||||||
|
выполнены и какие не выполнены? |
|||||||||||||||||||||
|
sin x |
, при x ≠ 0 |
||||||||||||||||||||
|
5.179. Указать точку разрыва функции y |
x |
. |
|||||||||||||||||||
|
= |
|||||||||||||||||||||
|
2, |
при x = 0 |
||||||||||||||||||||
Какие из условий непрерывности в этой точке выполнены и какие не выполнены?
1
5.180. Указать точку разрыва функции y = 2x и определить ее род. Найти
lim y и построить эскиз графика функции. Какие условия
x→±∞
непрерывности в точке разрыва не выполнены?
182
Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. Построить график данной функции:
5.181. f (x) = − 6x . 5.183. f (x) = 4 −4x2 .
5.185. f (x) = arctg x −a a , a > 0.
=tg x .
=1 1 .
1+ 2x
=x3 − x2 .
2 x −1
Найти точки разрыва функции f (x) и определить их род. В случае разрыва первого рода найти скачок функции в точках разрыва. В случае устранимого разрыва доопределить функцию « по непрерывности»:
|
5.187. f (x) = |
1 |
. |
|||||||||||||
|
x3 − x2 |
|||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||
|
5.189. f (x) = |
3 |
x−2 |
−1 |
. |
|||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||
|
3 |
x−2 |
+1 |
|||||||||||||
|
2x +5 при x < −1, |
|||||||||||||||
|
5.191. f (x) = |
1 |
||||||||||||||
|
при |
x > −1. |
||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||
|
π |
≤ x ≤ |
π |
, |
||||||||||||
|
cos x при − |
2 |
4 |
|||||||||||||
|
5.193. f (x) = |
|||||||||||||||
|
π2 |
π |
||||||||||||||
|
2 |
− |
при |
< x ≤π. |
||||||||||||
|
x |
16 |
4 |
|||||||||||||
|
5.195. f (x) = |
1 |
. |
|||||||||||||
|
1−x |
|||||||||||||||
|
1−e |
5.197. f (x) = x3 xx2+1 x .
+ 6 +11 + 6
|
5.188. f (x) = |
1 |
. |
|||||
|
1 |
|||||||
|
2 |
1−x |
+1 |
|||||
|
5.190. f (x) = |
x + 2 |
. |
|||||
|
arctg(x + 2) |
|||||||
5.192. f (x) =1− xsin 1x .
|
5.194. f (x) = |
(1+ x)n −1 |
, n N . |
||||
|
x |
||||||
|
tg xarctg |
1 |
|||||
|
5.196. f (x) = |
x −3 |
. |
||||
|
x(x − |
||||||
|
5) |
5.198. f (x) = x4 − 261x2 + 25 .
183
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Арктангенс, арккотангенс – свойства, графики, формулы
График функции y = arctg x .
График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.
Арккотангенс, arcctg
Определение и обозначения
Арккотангенс обозначается так:
.
График функции арккотангенс
График функции y = arcctg x .
График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.
Четность
Функция арктангенс является нечетной:
arctg(– x ) = arctg(–tg arctg x ) = arctg(tg(–arctg x )) = – arctg x
Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(– x ) = arcctg(–ctg arcctg x ) = arcctg(ctg(π–arcctg x )) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x .
Свойства – экстремумы, возрастание, убывание
Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x . (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.
| y = arctg x | y = arcctg x | |
| Область определения и непрерывность | – ∞ < x < + ∞ | – ∞ < x < + ∞ |
| Множество значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы, минимумы | нет | нет |
| Нули, y = 0 | x = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
| – | π | |
| 0 |
Таблица арктангенсов и арккотангенсов
В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
Пределы с тригонометрическими функциями
Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:
- и его следствие с тангенсом $$limlimits_ frac= 1, qquad limlimits_ frac= 1$$
- Тригонометрические преобразования и формулы
Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.
Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(frac)$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.
$$ tg 2x = fraccdot 2x $$ $$ sin 3x = frac cdot 3x $$
Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.
Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).
Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 — b^2$ упростим числитель.
В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-cos x = 2sin^2 frac$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.
Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.
Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.
Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.
Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(frac)$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.
Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.
Подставляем полученное выражение под знак предела и применяем свойство предела для показательной функции.
Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.
Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.
Первый замечательный предел
Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:
Так как при $alphato$ имеем $sinalphato$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $frac$. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной $alpha$ под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, – лишь бы выполнялись два условия:
- Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $frac$. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.
Часто используются также следствия из первого замечательного предела:
На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти тут.
Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $frac $ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, – например, см. пример №11.
Формула доказана. Более строгое доказательство (с обоснованием равенства $lim_>cosalpha=1$) можно посмотреть в решебнике Демидовича (№474.1).
б) Сделаем замену $alpha=sin$. Поскольку $sin=0$, то из условия $alphato$ имеем $yto$. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $arcsinalpha=arcsin(sin)=y$, поэтому:
в) Сделаем замену $alpha=tg$. Поскольку $tg=0$, то условия $alphato$ и $yto$ эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $arctgalpha=arctgtg)=y$, поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:
Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.
Так как $lim_>frac=frac=0$ и $lim_>sinleft(fracright)=sin=0$, т.е. и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac$, т.е. первое условие выполнено. Кроме того, видно, что выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают (т.е. выполнено и второе условие):
Итак, оба условия, перечисленные в начале страницы, выполнены. Из этого следует, что применима формула (1), т.е. $lim_> fracright)>>=1$.
Так как $lim_>sin=0$ и $lim_>x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $frac$, т.е. первое условие выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, – тогда второе условие станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, – просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:
Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $lim_>frac>$ выполнены. Следовательно, $lim_>frac>=1$. А это значит, что:
Так как $lim_>sin=0$ и $lim_>tg=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $sin$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, – и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем, домножив и разделив $tg$ на $8x$:
Сокращая на $x$ и вынося константу $frac$ за знак предела, получим:
Обратите внимание, что $lim_>frac>$ полностью удовлетворяет требованиям для первого замечательного предела. Для отыскания $lim_>frac>$ применима формула (2):
Так как $lim_>(cos-cos^3)=1-1=0$ (напомню, что $cos=1$) и $lim_>x^2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $frac$. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (дабы потом применить формулу (1)) или тангенсам (чтобы потом применить формулу (2)). Сделать это можно таким преобразованием:
Вернемся к пределу:
Дробь $frac>$ уже близка к той форме, что требуется для первого замечательного предела. Немного поработаем с дробью $frac>$, подгоняя её под первый замечательный предел (учтите, что выражения в числителе и под синусом должны совпасть):
Вернемся к рассматриваемому пределу:
Так как $lim_>(1-cos)=0$ и $lim_>(1-cos)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $frac$. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела. Для этого перейдем от косинусов к синусам. Так как $1-cos=2sin^2$, то:
Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:
Вычислить предел $lim_>frac)-cos(beta)>$ при условии $alphaneqbeta$.
Подробные пояснения были даны ранее, здесь же просто отметим, что вновь наличествует неопределенность $frac$. Перейдем от косинусов к синусам, используя формулу
Используя указанную формулу, получим:
Так как $lim_>(tg-sin)=0$ (напомню, что $sin=tg=0$) и $lim_>x^3=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $frac$. Раскроем её следующим образом:
Аналогичную задачу можно посмотреть в решебнике Демидовича (№475)
Так как $lim_>(1-cos(x-3))=0$ и $lim_>(x-3)tgfrac=0$, то наличествует неопределенность вида $frac$. Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $alpha to 0$). Проще всего ввести переменную $t=x-3$. Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: $t=frac$. Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как $xto$, то $tto$.
Вновь мы имеем дело с неопределенностью $frac$. Перед тем, как переходить к ее раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах (1)-(4) переменная $alphato$). Проще всего ввести переменную $t=frac-x$. Так как $xtofrac$, то $tto$:
В данном случае нам не придётся использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в примерах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций под знаком предела вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.
Так как $lim_>(1-sin)=0$ (напомню, что $sinfrac=1$) и $lim_>cos^2x=0$ (напомню, что $cosfrac=0$), то мы имеем дело с неопределенностью вида $frac$. Однако это вовсе не означает, что нам потребуется использовать первый замечательный предел. Для раскрытия неопределенности достаточно учесть, что $cos^2x=1-sin^2x$:
Аналогичный способ решения есть и в решебнике Демидовича (№475). Что же касается второго предела, то как и в предыдущих примерах этого раздела, мы имеем неопределённость вида $frac$. Отчего она возникает? Она возникает потому, что $tgfrac=-sqrt$ и $2cosfrac=-1$. Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см., например, примеры №9 или №10 на этой странице). Однако в данном примере в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной $t=x-frac$ несложно осуществить.
Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.
Каким будет решение с использованием первого замечательного предела? показатьскрыть
