Как найти лимит суммы

1. Предел суммы

Предел
суммы равен сумме пределов, если каждый
из них существует, т.е.

1. Предел разности

Предел
разности равен разности пределов, если
каждый из них существует, т.е.

1. Предел постоянной величины

Предел
постоянной величины равен самой
постоянной величине:

Односторо́нний преде́л в математическом
анализе — предел
числовой функции, подразумевающий
«приближение» к предельной точке с
одной стороны. Такие пределы называют
соответственно левосторо́нним
преде́лом (или преде́лом сле́ва)
и правосторо́нним преде́лом
(преде́лом спра́ва).

15 Непрерывная функция — функция
без «скачков», то есть такая, у которой
сколь угодно малые изменения аргумента
приводят к сколь угодно малым изменениям
значения функции. Функция,
непрерывная в каждой точке промежутка

,
называется непрерывной
на промежутке. Если
функция

определена на промежутке

,

,
то при исследовании поведения функции

в окрестности точки

имеет
смысл говорить о пределе функции  в
точке

справа,
а при исследовании в окрестности точки

–
о пределе функции в точке

слева.

Если
хотя бы одно из равенств

нарушается,
говорят о разрыве
в точке

.
Если 

и
односторонние пределы конечны, то разрыв
в точке

называется
устранимым.
Если

и
оба односторонние пределы конечны, то
говорят о скачке
функции в точке

.
Устранимый разрыв и скачок называются
разрывами первого
рода. Если один из
односторонних пределов бесконечен или
не существует, то разрыв называется
разрывом второго
рода. Так же, как
для предела и непрерывности, говорят о
разрыве слева и разрыве справа.

16 Первый замечательный предел:

Второй
замечательный предел:

17
Определение:
Пусть функция y=f(x)
определена в точке x
и в некоторой ее окрестности. Дадим
аргументу x
приращение x,
такое, чтобы не выйти из указанной
окрестности. Найдем соответствующее
приращение функции y
и составим отношение. Если существует
предел этого отношения при x0,
то указанный предел называют производной
функции y=f(x)
в точке x
и обозначают f
`(x).

18
Геометрический
смысл производной
Производная
функции y = f(х) при х = xо равна угловому
коэффициенту касательной к графику
данной функции в точке Мо(хо, f(xо)), т. е.

где
а — угол
наклона касательной
к оси Ох прямоугольной декартовой
системы координат

19
Производная
сложной функции
Пусть
 

–
функция, дифференцируемая
в точке 

, 

–
функция, дифференцируемая в точке 

,
причем 

.
Тогда 

–
сложная функция независимого переменного

,
дифференцируема в точке 

 
и ее производная
в этой точке вычисляется по формуле  

.

Обычно 

 
называют внешней функцией, а

–
внутренней. При вычислении производной
сложной функции сначала дифференцируют
внешнюю функцию, не обращая внимания
на внутреннюю (ведь она может быть
любой), затем умножают на производную
конкретной внутренней функции.

20 Дифференциал функции Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества e, если ее приращение Δf(x0), соответствующее приращению аргумента X, может быть представлено в виде

Δf(x₀)
= A(x₀)(x
– x₀)
+ ω(x
– x₀),     (1)

где
ω(x
– x₀)
= о(x
– x₀)
при x
→ x₀.

Отображение

,
называется дифференциалом
функции f
в точке x₀,
а величина A(x₀)h
– значением
дифференциала
в этой точке.

Для
значения дифференциала функции f
принято обозначение df
или df(x₀),
если требуется знать, в какой именно
точке он вычислен. Таким образом,

df(x₀)
= A(x₀)h.

24

Метод замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением где x = g (u) – подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du. Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Смотрите об этом подробнее на странице

Интегри́рование
по частя́м —
один из способов
нахождения интеграла.
Суть метода в следующем: если подынтегральная
функция
может быть представлена в виде произведения
двух непрерывных
и гладких
функций (каждая из которых может быть
как элементарной
функцией, так и композицией),
то справедливы следующие формулы

для
неопределённого
интеграла:

для
определённого:

25
Определённый интеграл —
аддитивный
монотонный
нормированный
функционал,
заданный на множестве пар, первая
компонента которых есть интегрируемая
функция
или функционал,
а вторая — область в множестве задания
этой функции (функционала).

Данное
выше определение интеграла при всей
его кажущейся общности в итоге приводит
к привычному пониманию определённого
интеграла, как площади подграфика
функции на отрезке.

Если

непрерывна
на отрезке

и

 —
ее любая первообразная на этом отрезке,
то имеет место равенство

26
Определение
Предположим,
что функция

задана
на бесконечном промежутке вида

и
интегрируема на любом конечном отрезке

,
где

.
Таким образом, можно рассмотреть функцию,
зависящую от верхнего предела, как от
переменной:

Если
эта функция имеет предел при

,
то число

называется
значением
несобственного интеграла первого рода:

а
сам определенный интеграл называется
сходящимся.
Если же предела не существует, то интеграл
называется расходящимся
и не имеет никакого числового значения.

28
Числовой ряд — это числовая
последовательность, рассматриваемая
вместе с другой последовательностью,
которая называется последовательностью
частичных сумм (ряда).

Признак
Даламбера

Пусть

−
ряд с положительными членами. Тогда
справедливы следующие свойства:

 Если

,
то ряд

сходится;

 Если

,
то ряд

расходится;

 Если

,
то ряд

может
как сходиться, так и расходиться. В этом
случае для установления сходимости
нужно использовать другие признаки.

Признаки
Лейбница.

сходимости
знакочередующегося ряда: если члены
знакочередующегося ряда

монотонно
убывают

и
стремятся к нулю

то
ряд сходится; при этом остаток ряда

имеет
знак своего первого члена и меньше его
по абсолютной величине. Признак установлен
Г. Лейбницем

29
Степенной
ряд с одной переменной —
это формальное алгебраическое выражение
вида:

в
котором коэффициенты

берутся
из некоторого кольца

.

Ряд
Те́йлора —
разложение функции
в бесконечную
сумму
степенных
функций.

Ряд
назван в честь английского математика
Брука
Тейлора,
хотя ряд Тейлора был известен задолго
до публикаций Тейлора — его использовали
ещё в XVII веке Грегори,
а также Ньютон.

Пусть
функция

бесконечно
дифференцируема в некоторой окрестности
точки

.
Формальный ряд

называется
рядом Тейлора функции

в
точке

.

30
Ко́мпле́ксные^[1]
чи́сла
(устар.
Мнимые
числа^[2]),
— расширение множества вещественных
чисел,
обычно обозначается

.
Любое комплексное число может быть
представлено как формальная сумма

,
где

и

—
вещественные числа,

—
мнимая
единица^[3].

Поле
комплексных чисел можно понимать как
расширение
поля
вещественных чисел, в котором многочлен

имеет
корень. Следующие две элементарные
модели
показывают, что непротиворечивое
построение такой системы чисел возможно.
Оба приведенных определения приводят
к изоморфным
расширениям поля вещественных чисел

,
как и любые другие конструкции поля
разложения
многочлена

.

(2)

      Запись
вида (2) называется показательной
формой комплексного
числа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  23.02.2016181.76 Кб5БУ.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

bold{mathrm{Basic}}	bold{alphabetagamma}	bold{mathrm{ABGamma}}	bold{sincos}	bold{gedivrightarrow}	bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}	bold{sumspaceintspaceproduct}	bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}	bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx} ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square} left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge (square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} – twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{”} frac{partial}{partial x} (2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5) (1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1) mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить} arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div arccos cos ln 4 5 6 times arctan tan log 1 2 3 – pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

• lim_{nto infty }(sum_{i=1}^{n}(frac{2i}{n})(frac{2}{n}))
  

• lim_{nto infty }(sum_{i=1}^{n}frac{2i-1}{n^{2}})
  

• lim_{nto infty }(sum_{i=1}^{n}frac{2}{n}sin(2(frac{2i}{n}+2)))
  

• lim_{nto infty }(sum_{i=1}^{n}frac{5}{n^{3}}(i-1)^{2})
  

• lim_{nto infty }(sum_{i=1}^{n}frac{2}{n}(6-frac{i}{n}))
  

• Показать больше

Описание

Пошаговый поиск предела суммы

limit-of-sum-calculator

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

My Notebook, the Symbolab way

Math notebooks have been around for hundreds of years. You write down problems, solutions and notes to go back…

Read More

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

В теме про основные понятия числовых рядов было указано определение суммы ряда. Вот оно:

Если существует конечный предел $S=lim_{ntoinfty}S_n$, то его называют суммой ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ и сам ряд именуют сходящимся. Если же $lim_{ntoinfty}S_n=infty$ или $lim_{ntoinfty}S_n$ не существует, то ряд называют расходящимся.

Если понятие “частичная сумма” вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на пример №4. В этом примере подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение $lim_{ntoinfty}S_n$, поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

1. Составить n-ю частичную сумму $S_n$;
2. Найти $lim_{ntoinfty}S_n$ (если он существует).

Если конечный $lim_{ntoinfty}S_n$ существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же $lim_{ntoinfty}S_n=infty$ или $lim_{ntoinfty}S_n$ не существует, то ряд будет расходиться. Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби $u_n=frac{P(n)}{Q(n)}$, вполне подходит такой алгоритм:

1. Разложить дробь $frac{P(n)}{Q(n)}$ на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
2. Записать выражение для частичной суммы $S_n$, используя результаты предыдущего пункта.
3. Перегруппировать слагаемые в выражении для $S_n$, приведя их к удобному для сокращения виду.
4. Используя результат предыдущего пункта, найти $lim_{ntoinfty}S_n$.

Для нахождения суммы ряда нередко удобно использовать и такое свойство:

Пусть общий член ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ можно представить в виде $u_n=b_{n+1}-b_n$. Если существует конечный предел $lim_{ntoinfty}b_n=b$, то ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится. При этом частичная сумма ряда равна $S_{n}=b_{n+1}-b_1$, а сумма ряда $S=b-b_1$.

Доказательство этого свойства может быть интересно не всем читателям, поэтому я скрою его под примечание.

Доказательство свойства: показатьскрыть

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Пример №1

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^{n+1}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=\=(-1)^2+(-1)^3+(-1)^4+(-1)^5+ldots+(-1)^{n+1}=1-1+1-1+ldots+(-1)^n.
$$

Вопрос в следующем: чему равна эта сумма? Если в частичных суммах мы станем брать чётное количество слагаемых, они попарно сократятся:

begin{aligned}
& S_2=1-1=0;\
& S_4=1-1+1-1=0;\
& S_6=1-1+1-1+1-1=0;\
& S_8=1-1+1-1+1-1+1-1=0.
end{aligned}

Итак, частичная сумма, содержащая чётное количество слагаемых, равна 0. Т.е. если $n$ – чётное число, то $S_n=0$. Фразу “n – чётное число” можно записать так: $n=2k$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1=2$, $n=2cdot 2=4$, $n=2cdot 3=6$, $n=2cdot 4=8$ и так далее. Итак, $S_{2k}=0$.

Если мы станем брать нечётное количество слагаемых (1, 3, 5 и т.д.), то сумма станет равна 1:

begin{aligned}
& S_1=1;\
& S_3=1-1+1=1;\
& S_5=1-1+1-1+1=1;\
& S_7=1-1+1-1+1-1+1=1.
end{aligned}

Таким образом, если $n$ – нечётное число, то $S_n=1$. Фразу “n – нечётное число” можно записать так: $n=2k-1$, $kin N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2cdot 1-1=1$, $n=2cdot 2-1=3$, $n=2cdot 3-1=5$, $n=2cdot 4-1=7$ и так далее. Итак, $S_{2k-1}=1$.

Формально равенство $S_{2k-1}=1$ можно доказать с помощью формулы $S_{2k}=S_{2k-1}+u_{2k}$. Так как $S_{2k}=0$, то $S_{2k-1}+u_{2k}=0$, т.е. $S_{2k-1}=-u_{2k}$. Так как $u_{2k}=(-1)^{2k+1}=left((-1)^2right)^kcdot (-1)^1=-1$, то $S_{2k-1}=-(-1)=1$.

Возникает вопрос: как быть с пределом $lim_{ntoinfty}S_n$? Ведь если $n$ – чётное число, т.е. $n=2k$, то:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ktoinfty}S_{2k}=lim_{ktoinfty}0=0.
$$

С другой стороны, если $n$ – нечётное число, то:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ktoinfty}S_{2k-1}=lim_{ktoinfty}1=1.
$$

Что мы получили? А получили мы следующее: последовательность частичных сумм ${S_n}$ имеет две подпоследовательности: ${S_{2k-1}}$ и ${S_{2k}}$, пределы которых различны. Следовательно, последовательность ${S_n}$ не имеет предела. Вывод: ряд не имеет суммы, т.е. расходится.

Здесь стоит обратить внимание вот на что: следует различать случаи, когда предел равен бесконечности (см. следующий пример №2), и когда предела попросту не существует. Хотя и в том и в другом случаях ряд будет расходиться.

Ответ: ряд расходится.

Пример №2

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}(3n+1)$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=3n+1$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=4+7+10+13+ldots+3n+1.
$$

Эту сумму можно записать в более коротком виде. Дело в том, что последовательность 4, 7, 10, 13 и т.д. есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 4, а разность равна 3. Сумма первых n членов этой прогрессии такова:

$$
4+7+10+13+ldots+3n+1=frac{4+3n+1}{2}cdot n=frac{3n+5}{2}cdot{n}.
$$

Итак, $S_n=frac{3n+5}{2}cdot n$. Найдем $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{3n+5}{2}cdot nright)=+infty.
$$

Так как $lim_{ntoinfty}S_n=+infty$, то ряд расходится.

Если немного выйти за рамки данной темы, то стоит отметить, что расходимость этого ряда легко доказывается с помощью необходимого признака сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Пример №3

Найти сумму ряда $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Почему я пишу именно $frac{2}{3cdot 5}$, а не $frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $lim_{ntoinfty}S_n$, но если мы просто запишем:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{2}{3cdot 5}+frac{2}{5cdot 7}+frac{2}{7cdot 9}+frac{2}{9cdot 11}+ldots+frac{2}{(2n+1)(2n+3)}right),
$$

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}=frac{Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}.
$$

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

$$
2=Acdot(2n+3)+Bcdot(2n+1).
$$

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем – будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

$$
2=2An+3A+2Bn+B;\
2=(2A+2B)n+3A+B.
$$

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

$$
left{begin{aligned}
& A+B=0;\
& 3A+B=2.
end{aligned}right.
$$

Можно решать эту систему методом Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы. Однако проще всего банально выразить из первого уравнения $A=-B$ и подставить во второе:

$$
3cdot (-B)+B=2;; -2B=2; ; B=-1.
$$

Так как $B=-1$, то $A=-B=1$. Подставляя найденные значения $A=1$ и $B=-1$ в формулу $frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{A}{2n+1}+frac{B}{2n+3}$, будем иметь:

$$
frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2n+1}+frac{-1}{2n+3}=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}.
$$

Итак, $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$. Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.

Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.

Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: $u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}$. Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по этой формуле:

begin{aligned}
& u_1=frac{2}{3cdot 5}=frac{1}{3}-frac{1}{5};\
& u_2=frac{2}{5cdot 7}=frac{1}{5}-frac{1}{7};\
& u_3=frac{2}{7cdot 9}=frac{1}{7}-frac{1}{9};\
& u_4=frac{2}{9cdot 11}=frac{1}{9}-frac{1}{11}.
end{aligned}

Давайте распишем частичную сумму, учитывая полученное разложение каждого элемента:

$$
S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+ldots+u_n=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}.
$$

Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Этот способ упрощения формулы для частичной суммы имеет простую суть: разложить общий член ряда на элементарные дроби, а потом сократить слагаемые.

Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством? Полагаю, что в общем случае нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны “увидеть” (как любят писать некоторые авторы – “легко увидеть”), что слагаемые сокращаются. А если мы “увидим” не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в случае рассматриваемой конкретной задачи всё тривиально и очевидно, но далеко не все частичные суммы рядов имеют такую простую структуру.

Формулу $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$ можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции. Так как доказательством заинтересуются не все читатели, то я его скрыл под примечание.

Доказательство формулы $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$: показатьскрыть

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются “вычёркиванием” сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Этот способ основан на свойстве, записанном в начале страницы. По сути, он схож с предыдущим, – разница лишь в применении уже готовой теоремы, доказанной нами ранее. Вернёмся к записи общего члена ряда:

$$
u_n=frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}
=frac{-1}{2n+3}-frac{-1}{2n+1}
$$

Обозначим $b_n=frac{-1}{2n+1}$, тогда $b_{n+1}=frac{-1}{2(n+1)+1}=frac{-1}{2n+3}$. Таким образом, $u_{n}=b_{n+1}-b_{n}$. При этом $lim_{ntoinfty}b_n=0$. Согласно упомянутому свойству, ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}u_n$ сходится. При этом его сумма равна $S=0-b_1=frac{1}{3}$. Если есть необходимость, можно записать и частичную сумму ряда:

$$
S_n
=b_{n+1}-b_1
=frac{-1}{2n+3}-left(-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Третий способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю большей частью именно этот способ 🙂 Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}.
$$

Мы получили ранее, что $u_k=frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}$, поэтому:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right).
$$

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

$$
S_n
=frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9}+frac{1}{9}-frac{1}{11}+ldots+frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3}=\
=frac{1}{3}+frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+1}-left(frac{1}{5}+frac{1}{7}+frac{1}{9}+ldots+frac{1}{2n+3}right).
$$

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство оформим более компактно:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}.
$$

Теперь преобразуем выражения $frac{1}{2k+1}$ и $frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Приведём, например, дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Выражение в знаменателе дроби $frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:

$$
frac{1}{2k+3}=frac{1}{2k+2+1}=frac{1}{2(k+1)+1}.
$$

И сумму $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2(k+1)+1}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Если равенство $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показатьскрыть

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}.
$$

Заметьте, что суммы $sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}$ и $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. Начнём с первой суммы.

Сделаем так, чтобы верхний предел суммирования стал равен $n+1$. Если $k=n+1$, то $frac{1}{2k+1}=frac{1}{2n+3}$. Прибавляя и вычитая из первой суммы $frac{1}{2n+3}$, получим:

$$
sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}+frac{1}{2n+3}-frac{1}{2n+3}
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}
$$

Для второй суммы $sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}$ сделаем так, чтобы нижний предел суммирования был равен 1. Если $k=1$, то $frac{1}{2k+1}=frac{1}{3}$. Прибавляя и вычитая $frac{1}{3}$, получим:

$$
sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}
=sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}+frac{1}{3}-frac{1}{3}
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}
$$

С учётом полученных результатов, выражение для $S_n$ примет такой вид:

$$
S_n
=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

$$
S_n=sumlimits_{k=1}^{n}u_k
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{2}{(2k+1)(2k+3)}
=sumlimits_{k=1}^{n}left(frac{1}{2k+1}-frac{1}{2k+3}right)=\

=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+3}
=sumlimits_{k=1}^{n}frac{1}{2k+1}-sumlimits_{k=2}^{n+1}frac{1}{2k+1}=\

=sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{2n+3}-left(sumlimits_{k=1}^{n+1}frac{1}{2k+1}-frac{1}{3}right)
=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}
$$

Напомню, что мы приводили дробь $frac{1}{2k+3}$ к виду $frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $frac{1}{2k+1}$ в виде $frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показатьскрыть

Итак, $S_n=frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}$. Находим предел $lim_{ntoinfty}S_n$:

$$
lim_{ntoinfty}S_n=lim_{ntoinfty}left(frac{1}{3}-frac{1}{2n+3}right)=frac{1}{3}-0=frac{1}{3}.
$$

Заданный ряд сходится и сумма его $S=frac{1}{3}$.

Ответ: $S=frac{1}{3}$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

В этой заметке речь пойдет о пределах. С ними сталкиваются в 10-11 классах на уроках физики, когда начинают выводить частоту колебаний математического или физического маятников. В математике с пределами сталкиваются, когда учащихся знакомят с производными и дифференцированием. Поэтому эта одно из самых базовых понятий математического анализа, в котором не должно быть пробелов.

Давайте начнем с простых (условно и относительно) пределов, которые вам могут попасться на первом курсе.

С некоторыми из них практически ничего не нужно делать, а только подставить значение…

А другие становятся легче, если разделить на общий одночлен, который представляет собой старшую степень переменной.

В пределах, имеющих радикалы частенько помогает домножение на “сопряженное” выражение. Также упростит понимание таких действий тот факт, если вы хорошо помните формулы сокращенного умножения, в частности разность квадратов.

Структурировать информацию лучше сразу

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей:

1) ноль делить на ноль
2) бесконечность делить на бесконечность
3) ноль умножить на бесконечность
4) бесконечность минус бесконечность
5) единица в степени бесконечность
6) ноль в степени ноль формула
7) бесконечность в степени ноль

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

● упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
● использование замечательных пределов;
● применение правила Лопиталя;
● использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только к первому и второму из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности. Если числитель и знаменатель являются бесконечно малыми или бесконечно большими одновременно, то можно посчитать отношениях производных этих функций. При дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Иногда приходится применять правило Лопиталя последовательно несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге.Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов 0^0, 1^∞, ∞^0 пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа ∞/∞ используется следующий алгоритм:
● Выявление старшей степени переменной;
● Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.Для раскрытия неопределённостей типа 0/0 существует следующий алгоритм:
● Разложение на множители числителя и знаменателя;
● Сокращение дроби.Для раскрытия неопределённостей типа ∞ – ∞ иногда удобно применить следующее преобразование:
● f(x) – g(x) = 1/ (1/f(x) ) – 1/(1/g(x)) = (1/g(x) – 1/f(x))/( (1/g(x)) * (1/f(x)) )

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Ещё немного примеров для закрепления материала

В пределах могут быть и суммы вместо функций. Подумайте какой подвох в следующем пределе ? Правильно ли получен ноль ?

Вы еще думаете, что пределы – это просто? А как насчет предела с параметром?

Интересная задачка по математике с параметрическим интегралом.
Чему равен предел lim[ I(a) ] при a → 0 если в качестве I(a) выступает интеграл: I(a) = Int( x⁵ ⋅ ( cos(a²x) + sin(5a²x) )^(x/a²) ) dx
в пределах от 2^a до 2^(a+1).

Так как предел считается от параметра, а параметр не зависит от переменной интегрирования, то вполне законно пронести предел внутрь выражения и применить его только к той части, которая представляет наибольшую сложность. Аппроксимация сводит выражение ко второму замечательному пределу. А дальше дело за аккуратными вычислениями интегралов по частям. Придумали другой способ? Напишите в комментариях.

Рассмотрим ещё один сложный предел, для которого вам не помогут табличные бесконечно малые функции в силу их небольшой точности

Интересный предел на базе второго замечательного предела.
Задача: вычислить предел lim(1/n + exp(-1/n))^(n²) при n → ∞

Пределы на базе второго замечательного могут быть очень запутанные. Приведу вам ещё один пример. Что может быть интереснее, чем посидеть зимним вечером за математическим анализом с чашечкой кофе? 🙂

Задание: найти предел

Естественно, интересно решить это аналитически. Потому что вбивать в математические пакеты сможет любой человек. Мы видим, что у нас одна зависящая от x функция возводится в степень другой зависимой от x функции. Уже это должно нам намекнуть “а не второй замечательный предел у нас тут спрятался?”

Конечно же он! Только нужно подойти к нему. Делаем искусственный прием, чтобы отсечь единичку от дроби, а оставшуюся часть заменить на некоторую переменную. Я назвал её t, но можно называть как угодно. Сразу же нужно посмотреть к чему будет стремиться данная переменная, при стремлении x —> 1. Видим, что стремление t происходит в бесконечность, а значит мы уже можем определиться с формой записи второго замечательного предела, под который будем подгонять наши преобразования.

Так как мы пытаемся перейти к t, в степени, в косинусе у нас находится голенькое x, то нам придется выразить его из предшествующей замены переменных. Получается квадратное уравнения, которое дает два корня. Эта неоднозначность не должна вас смущать, так как корень подходит только один, причем положительный для x, т.к. x —> 1 (значит x > 0)

Далее несколько преобразований приводят нас к тому, что у нас получается е в некоторой степени, лимит (предел) которой нам предстоит найти. Но степень оказывается тоже с неопределенностью в знаменателе 0 * infinity. Тогда мы искусственно перебрасываем лишнюю переменную в числитель. Применяем правило Лопиталя-Бернулли (предел отношений функций равен пределу отношения производных этих функций). И у нас получается что-то очень похожее на первый замечательный предел. Но на самом деле уже сюда достаточно подставить t = infinity и получить конечный ответ.

Решение полное будет выглядеть так:

Под вторым замечательным пределам также могут скрывать тригонометрические функции, которые также усложняют жизнь, потому что студенты часто пытаются разрешить их простейшими преобразованиями или разложением в ряд, что не всегда кончается успехом.

Например задание:

Интересный предел. Сложность в том, чтобы вспомнить универсальную тригонометрическую подстановку, затем не побояться её подставить и сделать правильную замену переменных, чтобы выделить второй замечательный предел.

Есть и задачи, где можно применить первый замечательный предел

Очередная интересная задача на нахождение предела. Не особо очевидное применение первого замечательного предела. Конечно же применение правила Бернулли — Лопиталя, возможно, упростило бы нахождение ответа, но разве ценителям математики интересны простые пути? 🙂

На сегодня закончим, ведь тут итак есть над чем задуматься. А с каким самым сложным пределом сталкивались вы на занятиях математикой? Расскажите об этом в комментариях!

Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:

Репетитор IT mentor в VK

Репетитор IT mentor в Instagram

Physics.Math.Code в контакте (VK)

Physics.Math.Code в telegram

Physics.Math.Code в YouTube