Как найти линейное уравнение связи

После
установления характера и тесноты
корреляционной связи необходимо получить
математическую модель исследуемой
зависимости в виде уравнения связи.
Если связь нелинейная, то необходимо
подобрать функцию, график которой будет
максимально приближен ко всем исходным
точкам, а если линейная – то получить
конкретное уравнение прямой.

В
данной работе, независимо от того какой
характер связи получится фактически,
будем рассчитывать уравнение прямой,
условно принимая, что связь между
исследуемыми признаками линейная. Для
этого необходимо преобразовать исходное
уравнение прямой:

Подставив
в приведенное выше уравнение все
известные значения (M_y,
r,
σ_y,
σ_x,
M_x)
неизвестными останутся только х и у:

В
результате преобразований:
у=3,1+0,1112x–2,798

получим конкретное
уравнение прямой:

у_x
= 0,1112х + 0,3

Далее
заполняется таблица (табл. 3.7) для
построения графика. При этом значения
y_x
рассчитываются по найденному выше
конкретному уравнению прямой.

Таблица 3.7

Х (Wx)	12	16	20	24	28	32	36
yср	1,625	1,94	2,48	3,05	3,44	3,76	4,28
yx	1,63	2,08	2,52	2,97	3,41	3,86	4,3
yср–yx	-0,005	-0,14	-0,04	0,08	0,03	-0,1	-0,02

На
графике изображаются исходные данные
(y_ср)
в виде отдельных точек и вероятные (y_x
– найденные по рассчитанному уравнению)
– в виде прямой (рис. 3.3).

Рис. 3.3 Графическое
изображение корреляционной связи.

4. Регрессионный анализ

4.1. Техника и способы регрессионного анализа

В
качестве примера для аналитического
выравнивания используются данные
взаимосвязи двух сопряженных признаков:
диаметров (Д), принимаемых за X, и высот
деревьев (H), принимаемых за Y.

Таблица
4.1

Взаимосвязь
диаметров и высот (невыравненные данные)

№ классов	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Д (X), см	12	16	20	24	28	32	36	40	44
H (Y) м	16,00	18,00	20,15	22,14	23,48	23,65	24,62	26,00	27,00

4.2 Выравнивание по уравнению прямой линии

Аналитическое
выравнивание имеет своей конечной целью
получение конкретного уравнения связи
между двумя сопряженными признаками.
В первую очередь исходные данные наносят
на систему координат и по характеру
расположения точек определяют функцию
для выравнивания. Её график должен
проходить максимально близко по отношению
ко всем исходным точкам. В данном примере
характер расположения точек линейный
следовательно выравнивание осуществляем
по уравнению прямой.

Как
известно, уравнение линейной зависимости
общего вида будет иметь вид: y
= а x+b.

Вычисление
конкретного уравнения сводится к
определению числовых значений
коэффициентов а, b,
для получения которых существует
несколько способов. Рассмотрим два,
наиболее широко применяемых способа,
характеризующихся различной точностью
и трудоемкостью:

а)
способ координат двух избранных точек,
обеспечивающий получение менее точных
результатов, но гораздо более простым
путем;

б)
способ наименьших квадратов, позволяющий
получить достаточно точные результаты
путем использования координат всех
выравниваемых точек (наблюдений).

Остановимся
на технике работ при вычислении
конкретного уравнения методом координат
избранных точек. В этом случае исходные
данные изображаются на графике, и
производится предварительное выравнивание.
Результирующая линия проводится между
точками с таким расчетом, чтобы разделить
их общее количество на две приблизительно
равные части. При этом необходимо
стремиться к такому положению, чтобы
расстояние между линией и исходными
точками было кратчайшим. Для облегчения
техники выравнивания и увеличения его
точности можно рекомендовать следующий
прием. Соединить все выравниваемые
точки и постараться провести плановую
выравнивающую линию по возможности
ближе к этим серединам. При этом желательно
провести прямую таким образом, чтобы
хотя бы две исходные точки попали на
неё. С полученной прямой линии снимаем
координаты двух любых точек исходных
данных (лежащих на проведенной прямой).
Если число наблюдений в классах известно,
то следует отдать предпочтение точкам,
обеспеченным наибольшим числом
наблюдений. В нашем примере в качестве
избранных использованы координаты
точек классов № 2 и № 6.

X₂=16; Y₂=18,00; X₆=32; Y₆=23,65.

Система двух
конкретных уравнений приобретет вид

После
подстановки координат избранных точек:

После
решения системы относительно а и b,
получим

а=0,35
b=12,4

Следовательно,
полученное конкретное уравнение связи
Y/Х
(Д/Н) будет иметь вид

у=0,35x+12,4

Для
краткости изложения в последующем
тексте полученным уравнениям присвоены
определенные номера: уравнение,
вычисленное методом координат точек,
получает номер I,
а уравнение, полученное методом наименьших
квадратов – номер II.

Пределы «работы»
полученного уравнения по диаметру от
10 см до 46 см.

Рассмотрим
технику вычислений при использовании
способа наименьших квадратов. Для
получения конкретного уравнения в этом
случае используются координаты всех
точек. Это учитывается при выведении
системы уравнений для этого метода.
Так, если записать уравнения прямой для
каждой точки, а потом просуммировать
левые и правые части всех уравнений, то
получим следующее:

y₁=
ax₁
+ b

y₂=
ax₂
+ b

y₃=
ax₃
+
b

……………

……………

∑y=a∑x+bn.

Так
как нам необходимо найти два неизвестных
значения (a
и b),
то в системе должно быть два уравнения.
Для получения второго уравнения системы
умножим обе части каждого уравнения на
соответствующий «х» и просуммируем
левые и правые части уравнений. Получим:

x₁y₁=
ax₁²
+ bх₁

x₂y₂=
ax₂²
+ bx₂

x₃y₃=
ax₃²
+
bx₃

….……………

….……………

∑хy=a∑x²+b∑х.

Таким
образом, мы вывели оба уравнения системы:

Для
удобства вычислений числовых значений
указанной системы составляется
вспомогательная таблица (табл.4.2).

Таблица 4.2

Вспомогательные
расчеты для вычисления конкретного
уравнения

прямой
линии

Исходные данные	ХY	Х2
Х	Y
12	16,00	192,00	144
16	18,00	288,00	256
20	20,15	403,00	400
24	22,14	531,36	576
28	23,48	657,64	784
32	23,65	756,80	1024
36	24,62	886,32	1296
40	26,00	1040,00	1600
44	27,00	1188,00	1936
252	201,04	5943,12	8016

Подставим
итоговые данные в систему уравнений и
вычислим коэффициенты а, b,
имея в виду, что значение «n»
соответствует числу классов по X:

Следовательно,
конкретное уравнение будет иметь вид

Y=0,33Х+13,1

С
целью последующего анализа результатов
применения полученных уравнений
вычисляются вероятные (теоретические)
значения зависимого признака по первому
уравнению (y_в1)
и второму уравнению (y_в2).
Последние (y_в2)
сравниваются с исходными (опытными)
данными (у). Указанные сравнения (a
= y–y_в2)
производятся по всем классам X, а их
результат для
прямой линии показан
в табл.
4.3.

Таблица 4.3

Сравнение
исходных и вероятных высот деревьев,
полученных по уравнению прямой линии

Исходные данные	Вероятные высоты	Отклонения, м
диаметр, см	высота, м	Ув1	Ув2	a = y–yв2
X	Y
12	16,00	16,60	17,06	-1,06
16	18,00	18,00	18,38	-0,38
20	20,15	19,40	19,70	+0,45
24	22,14	20,80	21,02	+1,12
28	23,48	22,20	22,34	+1,14
32	23,65	23,60	23,66	-0,01
36	24,62	25,00	24,98	-0,36
40	26,00	26,40	26,40	-0,40
44	27,00	27,80	27,62	-0,62
				∑-0,12

Приведенные
данные позволяют, прежде всего, проверить
правильность вычислений, выполненных
при получении конкретных уравнений, на
предмет обнаружения грубых арифметических
ошибок.

Правильность
вычисления уравнений связи проверяется
путем сравнения исходных значений Y
с вероятными (у_в),
полученными по уравнению I
(у_в1)
и уравнению II
(у_в2)
Критерием правильности вычислений
уравнения I
будет совпадение вероятных значений
у_в1
с
исходными значениями Y
для тех классов, в которых использованы
координаты точек в качестве исходных
для получения конкретного уравнения
I.
В нашем примере для уравнения прямой
линии значение у_в1
равно
18,0, соответствует исходным данным Y
во втором классе, то есть также 18,0.
Аналогичное положение и в следующем,
шестом классе: у_в1
=23,6
практически не отличается от Y
=23,65. Совпадение Y
и

в остальных классах не обязательно и
может наступить только случайно.

Некоторый
контроль правильности уравнения II
можно получить
путем
сопоставления Y
и у_в2
– во
всех классах. В этом
случае
должно наблюдаться такое сочетание
знаков (плюс и минус), которое отражает
«срединное» положение выравнивающей
прямой между выравниваемыми исходными
значениями Y.

О
явной неправильности полученного
уравнения будет свидетельствовать
наличие во всех классах только +, равно
как и знаков -, а также, если в нескольких
начальных классах будут наблюдаться
отклонения с одним и тем же знаком ( +
или -), а во всех последующих классах с
противоположным, а именно:

+++++++

– – – – – – –

++++- – –

– – – -+++

Заметим,
что описанные критерии правильности и
вычислений I
и II
уравнений распространяются и на
выравнивание по всем другим линиям
связи.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Глава 4. Нахождение линейной связи между величинами.
4.1 Графическая взаимосвязь двух признаков.
Важнейшая задача теории статистики – исследование объективно существующих
связей между явлениями. В самом простом случае исследуется взаимодействие двух
факторов. Например, объёма продукции предприятия и численности работников, или
прибыли и стоимости производственных фондов и т.д. (хотя, конечно, как правило, вторая
величина зависит не только от первой, но и от многих других факторов).
Если с изменением значения одной из переменной вторая изменяется строго
определённым образом, связь между ними является функциональной. По аналитическому
выражению выделяют связи прямолинейные (или линейные) и нелинейные. Картина
осложняется, если переменные являются случайными величинами. Для обнаружения
зависимости между величинами также необходимо провести большое число наблюдений,
следовательно, для их обработки требуется привлечение методов математической
статистики.
Статистическая связь между величинами, которая может быть приближённо выражена
уравнением прямой линии, называется линейной связью. Если же она выражается
уравнением какой-либо кривой линии, то такую связь называют нелинейной. Часто
важно выявить лишь наличие связи, её характер и направление. Для этого используются
таблицы, аналитическая группировка, метод корреляции и графическое представление
величин.
Таблицы могут состоять из двух строк:
X
Y
1
8
2
9
3
10
4
11
5
12
6
13
7
14
(демонстрирует, что Y с ростом X растёт почти линейно) или быть двумерными
(состоять из n строк и m столбцов):
X
10
30
50
70
Y
10
12
14
9
4
1
1
10
2
16
9
6
1
18
3
14
10
20
6
18
6
(X – количество удобрений на 100 га, Y – урожайность в ц/га; на пересечении строки и
столбца указано количество хозяйств, в которых при указанном количестве удобрений
получен соответствующий урожай).
Графически взаимосвязь двух признаков изображается в виде поля корреляции. При
отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек (x,y). Чем
сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг
определённой линии, выражающей форму связи.
Иногда одним из двух признаков, например x, выступает в качестве независимой
компоненты (чаще всего время). Однако переменная х не случайна, а случайна только
переменная y. В этом случае говорят о регрессионной модели.
Когда обе переменные “равноправны”, то модель называется корреляционной.
4.2 Построение прямой методом наименьших квадратов.
Пусть известны результаты опыта, целью которого является исследование
зависимости определённой величины от другой (y от x) (например, величины прибыли от
объёма инвестиций, изменения по месяцам курса доллара и т.д.).
Предположим вначале, что имеет место зависимость y=φ(x). В результате опыта
получен ряд точек (xi, yi). Обычно эти точки не ложатся точно на график функции y=φ(x).
Всегда имеется некоторый разброс, то есть обнаруживаются случайные отклонения от
этой функциональной зависимости. Эти отклонения связаны с различными случайными
колебаниями.
В связи со сказанным возникает естественный вопрос: как наилучшим образом
воспроизвести эту зависимость по полученным данным?
Простое проведение через все полученные точки некоторой кривой, являющейся
графиком определённой функции, лишено смысла. Вид этой зависимости будет меняться
от одной серии измерений к другой, а в некоторых случаях её в принципе нельзя получить
(несколько экспериментальных точек могут иметь одинаковые абсциссы и разные
ординаты). В этом случае возникает типичная для практики задача: найти такую функцию
y = ϕ (x) , которая некоторым наилучшим образом отражала бы функциональную
зависимость y от x, и вместе с тем были бы сглажены случайные, незакономерные
отклонения.
К счастью, обычно ситуация облегчается тем, что из теоретических или других
соображений, связанных с существом рассматриваемой задачи, и даже функциональной
зависимости y от x (линейная, квадратичная, показательная или какая-нибудь другая
функция). Требуется только установить численные значения параметров этой
зависимости. Именно задачу рационального выбора таких числовых значений параметров
мы и будем решать.
Рассмотрим решение этой задачи на частном примере проведения прямой методом
наименьших квадратов (МНК) через точки (x1, y1),…,(xn, yn).
Итак, пусть имеются результаты n независимых измерений – опытные точки (xi, yi),
где i=1,…,n.
Среди всех прямых линий y = ax + b на плоскости мы ищем наиболее близкую к
данной системе точек, причём близость измеряем суммой квадратов отклонений
n
S = ∑ [ y i − (axi + b)
]2 .
i =1
Теперь для определения параметров a и b воспользуемся идеей, согласно которой из
всех прямых наилучшей является та, для которой сумма S минимальна.
Поскольку минимизируется сумма квадратов разностей экспериментальных и
теоретических значений функции (их называют невязками), предложенная процедура
получила название метод наименьших квадратов (МНК).
Эта задача сводится к решению двух уравнений:
n
∂ n

2
(
y
−
ax
−
b
)
=
−
2
i
 ∂a ∑ i
 ∑ ( y i − axi − b) * xi = 0;
 i =1
 i =1
⇒

n
n
2
∂
 − 2 ( y − a * x − b ) = 0.
(
y
−
ax
−
b
)
=
i
i
i
i
 ∂b ∑
 ∑
i =1
i =1
Раскрывая скобки и группируя, в результате получим следующую систему двух
линейных уравнений для определения а и b:
 1 n 2 
1 n
1 n 
 ∑ xi  * a +  ∑ xi  * b = ∑ xi * yi ;
n i =1
 n i =1 
 n i =1 
 1 n 
1 n
 ∑ xi  * a + b = ∑ y i .
n i =1
 n i =1 



Решая эту систему методом исключения (Гаусса), в итоге получим:
1
1
1
xi y i − ∑ xi * ∑ y i
∑
n
n
a= n
=
2
1
1

2
∑ xi −  n ∑ xi 
n
b = y − a * x;
x=
1
∑ xi ;
n
∑ y ∆x
∑ (∆x )
i
i
i
2
=
∑ y ∆x
∑ x ∆x
i
i
i
i
;
∆xi = xi − x;
n
(во всех суммах знак ∑ означает суммирование по всем точкам
∑
).
i =1
Уравнение МНК можно написать и в такой форме:
y = a( x − x) + y,
откуда видно, что эта прямая проходит через точку ( x, y ) , являющуюся центром
тяжести данной системы точек.
Пример 8. Проведена серия опытов по определению влияния дозы внесённых
удобрений на повышение урожайности пшеницы. Соответствующие данные приведены в
первых трёх столбцах таблицы (x- внесённая доза удобрений в центнерах на гектар, y –
прирост урожайности в центнерах с гектара).
Требуется по методу наименьших квадратов подобрать линейную функцию,
выражающую y через x.
i
xi
yi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,342
0,417
0,675
0,867
1,000
1,158
1,283
1,500
1,733
2,008
2,10
4,70
6,05
8,65
10,00
12,60
12,08
14,68
16,65
19,25
xi2
0,1170
0,1739
0,4556
0,7517
1,0000
1,3410
1,6461
2,2500
3,0033
4,0321
xi*yi
0,718
1,960
4,084
7,500
10,000
14,591
15,499
22,020
28,854
38,654
11
12
13
1 13
∑
13 i =1
2,083
2,242
2,508
19,98
23,20
23,93
4,0321
4,3389
5,0266
41,618
52,014
60,016
1,370
13,37
2,3405
22,887
Решение. Искомые величины связаны линейной
коэффициенты которой и требовалось определить:
зависимостью:
y=ax+b,
a=9,86; b=-0,14 ⇒ y=9,86x-0,14.
a
+ b, линейные
x
относительно параметров a и b. В этом случае задача легко может быть сведена к
1
предыдущей заменой переменной: u = .
x
Построенная методом наименьших квадратов линия часто используется для получения
представления о динамики процесса и, следовательно, для прогнозов.
Во многих приложениях часто используются зависимости вида y =
Пример 9 Динамика производства готовой продукции на фирме:
ti (годы)
1989
yi
18
(продукция)
1990
1991
21
1992
26
1993
22
1994
25
1995
28
30
Поскольку начало отсчёта времени мы можем выбрать произвольно, при построении
прямой для облегчения счета мы переходим от года к условной единице измерения
x=t-1992. За ноль мы приняли среднюю точку. Тогда x = 0; ∆xi = xi − x = xi .
ti (годы)
1989
yi
18
(продукция)
xi или ∆xi
-3
2
xi или
9
(∆xi ) 2
yi*xi
-54
a=
∑ y ∆x
∑ (∆x )
i
i
2
i
=
1990
1991
1992
1993
1994
1995
21
26
22
25
28
30
-2
-1
1
2
3
4
1
1
4
9
28
-42
-26
25
49
= 1,75;
28
170
− 1,75 * 0 = 24,286;
7
y = 1,75( x − x) + 24,286 = 1,75 x + 24,286.
b = y −a*x =
Здесь х измеряется в годах и отсчитывается от 1992 года.
Прогнозом на 1996 год будет значение:
56
90
Σ
170
49
y=1,75*(1996-1992)+24,286=7+24,286=31,284
Такой прогноз будет точечным.
Приведённый пример демонстрирует самую простую схему, позволяющую быстро и
прочно получить представление о динамике процесса и элементарный прогноз на
ближайшее будущее. Перед тем, как начать строить методом наименьших квадратов
прямую (или другую линию), обычно применяют сглаживание данных методом
скользящих средних
Эмпирический коэффициент корреляции.
Когда наблюдения проводятся над системой (X,Y) двух равноправных случайных
величин, то по результатам выборки может быть построена статистика, называемая
эмпирическим коэффициентом корреляции.
n
rxy =
∑ (x
i
− x)( y i − y )
i =1
n
∑ (x
i =1
n
i
− x) 2 ∑ ( y i − y ) 2
i =1
или, что то же самое:
rxy =
1 n
∑ ( xi − x)( yi − y ) / S x S y .
n i =1
Эту формулу легко преобразовать к виду
rxy =
1 n
∑ ( xi y i ) − x * y
n i =1
2
1 n 2
1 n 2
xi − x *
yi − y
∑
∑
n i =1
n i =1
По виду формулы легко заметить, что в неё входят отнормированные значения обеих
компонент – из каждого значения вычитается среднее и разность делится на
среднеквадратическое отклонение. Эта операция проделывается для того, чтобы
избавиться от влияния сдвига и выбора масштаба, в котором измеряется компонента. Так
что нормировка переводит каждый ряд значений в шкалу, у которой нулём считается
среднеарифметическое исходных цифр, а за единицу принята величина
среднеквадратического отклонения.
Выборочный коэффициент корреляции rxy заключён между –1 и +1. Если точки (xi,yi)
лежат строго на прямой, то есть имеет место строгая линейная зависимость между
значениями X и Y, то rxy=±1. В этом можно убедиться, подставив в формулу (2.24)
yi = axi + b .
Пример 10. В таблице приведены идеальные данные о росте и весе людей среднего
возраста, сохранивших “спортивный” вес – вес=рост-102:
Рост xi
Вес yi
178
76
166
64
172
70
168
66
176
74
Вычислите по формуле коэффициент корреляции и убедитесь, что он равен 1.
Случаи, когда эмпирическая корреляция оказывается близкой по модулю к 1,
указывает на то, что компоненты связаны друг с другом и связь близка к линейной
зависимости.
Пример 11. В таблице приведены данные о производительности труда (Y – в единицах
т/ч) и уровне механизации работ (X – в процентах) для 14 предприятий. Требуется
установить зависимость между производительностью труда и уровнем механизации
работ:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
∑
X,
32
30
36
40
41
47
56
54
60
55
61
67
69
76
724
%
Y,
20
24
28
30
31
33
34
37
38
40
41
43
45
48
492
т/ч
ax+b 24,4 23,3 26,6 28,8 29,3 32,6 37,5 36,4 39,6 36,9 40,2 43,5 44,5 48,3
∆y
4,4 -0,7 -1,4 -1,2 -1,7 -0,4 3,5 -0,6 1,6 -3,1 -0,8 0,5 -0,5 0,3
x=
1
(32 + 30 + … + 76) = 51,71
14
y=
1
(20 + 24 + … + 48) = 35,14
14
1 n
1
xi y i = (32 * 20 + 30 * 30 + … + 76 * 48) = 1921,92
∑
n i =1
14
1 n 2 1
∑ xi = 14 (32 * 32 + 30 * 30 + … + 76 * 76) = 2866,71
n i =1
1 n 2 1
∑ yi = 14 (20 * 20 + 24 * 24 + … + 48 * 48) = 1295,57;
n i =1
r=
1921,93 − 51,71 * 35,14
(2866,71 − 51,712 )(1295,57 − 35,14 2 )
=
104,14
192,79 * 60,75
=
104,14
= 0,96.
108,22
Величина r близка к единице. Следовательно, между величинами существует линейная
корреляционная зависимость. Построим по этим точкам прямую, методом наименьших
квадратов:
1
1
1
xi y i − ∑ xi * ∑ y i
∑
104,14
n
n
a= n
=
= 0,54;
2
192
,
8
1
1


∑ xi2 −  n ∑ xi 
n
b = y − a * x = 7,04
Следовательно, уравнение прямой имеет вид: y=0,54x+7,04 и можно сделать вывод,
что производительность труда в среднем возрастает на 0,54 т/ч, если коэффициент
механизации работ увеличится на один процент. Вычислив значения axi+b, можно
посмотреть, на каких предприятиях отклонения положительные, на каких –
отрицательные, на каких – самые большие.
Статистика ω =
rxy
1 − rxy2
n − 2 имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями
свободы (2 средних заменены на эмпирические значения). Это обстоятельство можно
использовать для построения доверительного интервала для истинного коэффициента
корреляции, для которого эмпирический коэффициент является точечной оценкой.
Близость коэффициента корреляции к нулю не говорит прямо о независимости величин,
но является одним из её признаков. Так что при близости эмпирического коэффициента к
нулю можно с помощью распределения Стьюдента проверить гипотезу о равенстве нулю
истинного коэффициента корреляции.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Трудно перечислить всё многообразие задач, решаемых статистикой. К ним относятся
и задачи дисперсионного анализа, которых мы не касались в нашем курсе. Подробнее с
этими и другими вопросами статистики можно познакомиться в книгах [1,2,3,4,5]. Но в
основе всех методов всегда лежит один и тот же подход – вычисление по выборке
интересующих исследователя характеристик, распространение их на всю генеральную
совокупность или на будущее и определение уровня доверия к полученным результатам.
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ
1.
2.
3.
4.
5.
. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 2003,
479с.
. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистики. М., 2003, 405с.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М., 2007, 573с.
Калинина В.Н.,. Панкин В.Ф. Математическая статистика. М., 1998.
Чернышева И.Б.. Основные понятия математической статистики. М., 2001, 120с.

Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

А) линейной;

Б) степенной;

В) равносторонней гиперболы.

2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.

Решение:

1. Для расчёта параметров линейной регрессии

 

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

Среднее значение определим по формуле:

Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

и занесём полученный результат в таблицу 1.

Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии:

Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь прямая, достаточно тесная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .

Так как

,

следовательно, параметры уравнения определены правильно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.

Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.

F-тест состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера.

F_факт определяется по формуле:

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

2. Степенная регрессия имеет вид:

Для определения параметров производят логарифмиро­вание степенной функции:

Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наи­меньших квадратов:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.

Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

 Решая   систему   нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

3. Уравнение равносторонней гиперболы

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

Произведем замену переменных

и получим следующую систему нормальных уравнений:

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.

Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.

Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

Значения параметров регрессии a и b составили:

Получено уравнение:

Индекс корреляции:

Связь достаточно тесная.

 

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне.

Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов (МНК)

Краткая теория

---

Простейшей системой
корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками – парная
линейная корреляция. Практическое значение ее в том, что есть системы, в
которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется
один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного
признака. Измерение парных корреляций составляет необходимый этап в изучении
сложных, многофакторных связей. Есть такие системы связей, при изучении которых
следует предпочесть парную корреляцию. Внимание к линейным связям объясняется
ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные
формы связей для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму.

Уравнение парной линейной
корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

где

 –
среднее значение результативного признака

 при
определенном значении факторного признака

;

 – свободный
член уравнения;

 – коэффициент
регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от
его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины
на одну единицу его измерения – вариация

, приходящаяся на единицу вариации

.

Параметры уравнения

 находят
методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в
качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то
есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов
отклонений эмпирических данных

 от
выровненных

:

Для нахождения минимума
данной функции приравняем к нулю ее частные производные.

В результате получим
систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных
уравнений:

Решая эту систему в общем
виде, получим:

Параметры уравнения парной
линейной регрессии иногда удобно исчислять по следующим формулам, дающим тот же
результат:

или

Если
коэффициент линейной корреляции

 уже
рассчитан, то легко может быть найден коэффициент

 парной
регрессии:

где

,

 – стандартные
отклонения.

Примеры решения задач

---

Задача 1

Имеются следующие данные о
цене на нефть

 (ден.
ед.) и индексе акций нефтяных компаний

 (усл.
ед.).

Цена на нефть (ден. ед.)	17,28	17,05	18,30	18,80	19,20	18,50
Индекс акций (усл. ед.)	537	534	550	555	560	552

• Построить
  корреляционное поле.
• Предполагая, что между
  переменными x и y существует линейная зависимость, найти уравнение линейной
  регрессии 

   

• Оценить тесноту связи.

Решение

Построим корреляционное
поле, для этого отметим в системе координат  
6 точек, соответствующих данным парам значений этих признаков.

Корреляционное поле и линия регрессии

Расположение точек на
рисунке показывает, что зависимость между компонентами

 и

 двумерной дискретной случайной величины может
выражаться линейным уравнением регрессии

.

Составим
расчетную таблицу:

Расчетная вспомогательная таблица

1	17,28	537	298,5984	288369	9279,36
2	17,05	534	290,7025	285156	9104,7
3	18,3	550	334,89	302500	10065
4	18,8	555	353,44	308025	10434
5	19,2	560	368,64	313600	10752
6	18,5	552	342,25	304704	10212
Сумма	109,13	3288	1988,521	1802354	59847,06

Коэффициенты
уравнения регрессии

 можно найти методом наименьших квадратов,
решив систему нормальных уравнений:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Подставляя
в систему уравнений числовые значения, получаем:

Решая
систему уравнений, получаем:

Уравнение
парной линейной регрессии:

Коэффициент линейной корреляции
вычислим по формуле:

Вывод

Таким
образом уравнение линейной регрессии, устанавливающее зависимость между ценой
на нефть и индексом акций имеет вид

 – с увеличением цены на нефть на 1 ден.ед.
цена акций увеличивается на 12,078 ед. Коэффициент корреляции очень близок к
единице – между исследуемыми величинами существует очень тесная связь.

---

Задача 2

По
территории региона приводятся данные за 2011 г.

Требуется:

Построить линейное уравнение парной регрессии

 от

.
Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку
аппроксимации.
Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью

 –критерия Фишера и

 –критерия Стьюдента.
Выполнить прогноз заработной платы

 при прогнозном значении среднедушевого
прожиточного минимума

, составляющем
107% от среднего уровня.
Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный
интервал.
На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Уравнение линейной парной регрессии

1)
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу:

Получено
уравнение линейной регрессии

Вывод

С
увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная
заработная плата возрастает в среднем на 1.012 руб.

Коэффициент линейной корреляции

2)
Теснота линейной связи оценивается с помощью
коэффициента корреляции
:

Коэффициент
детерминации:

Вывод

Это
означает, что 69.2% вариации заработной платы

 объясняется вариацией фактора

 –среднедушевого прожиточного минимума.

Средняя ошибка аппроксимации

Качество
модели можно оценить с помощью средней ошибки аппроксимации:

Вывод

Качество
построенной модели оценивается как хорошее, так как средняя ошибка
аппроксимации не превышает 8-10%.

F-критерий

3)
Рассчитаем

 – критерий.

По таблице F-распределения Фишера-Снедекора, при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k₁=1 и k₂=12-2=10, критическое значение:

Вывод

 – гипотеза о статистической незначимости
уравнения регрессии отклоняется.

Статистическая значимость параметров регрессии

Оценку
статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью

t–статистики Стьюдента
и путем расчета
доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем
гипотезу

 о статистически незначимом отличии показателей
от нуля:

  для числа степеней свободы

 и

 составит 2,23

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Определим
случайные ошибки

Тогда:

Фактическое значение превосходит

табличное значение t–статистики.
Нулевая
гипотеза отклоняется – то есть

 не случайно отличается от нуля, а
статистически значимо.

Фактическое значение превосходит

табличное значение t–статистики. Нулевая
гипотеза отклоняется – то есть

 не случайно отличается от нуля, а
статистически значимо.

Фактическое значение превосходит

табличное значение t–статистики. Нулевая
гипотеза отклоняется – то есть

 не случайно отличается от нуля, а
статистически значимо.

Рассчитаем
доверительные интервалы для параметров регрессии

 и

. Для этого
определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные
интервалы:

 или  

 или  

Точечный прогноз

4)
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.
Если прогнозное значение прожиточного минимума составит

 руб., тогда прогнозное значение среднедневной
заработной платы составит:

Интервальный прогноз

5)
Ошибка прогноза составит:

Предельная
ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный
интервал прогноза:

6) Построим исходные данные
и теоретическую прямую:

Корреляционное поле и прямая уравнения регрессии