Как найти линейную комбинацию заданных матриц

Пример 1.

Матрицы    и    составлены из одних и тех же элементов, но имеют различные размеры.

Следовательно,  A ≠ B.

***

Пример 2.

Матрицы    и    составлены из одних и тех же элементов и имеют одинаковые размеры. Однако не все соответствующие матричные элементы попарно равны.

Следовательно,  C ≠ D.

***

Пример 3.

Если   ,   то     .

***

***

***

Примеры решения задач

1.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где,.

Решение:

.

2.
Пусть
– матрица размерности 2x
3,
– матрица размерности 3 х 3. Найти
произведенияи(если это возможно).

Решение:
Используем
формулу (2.1):

Произведение
не существует, так как число столбцов
матрицыB
не совпадает с числом строк матрицы A:

.

3.
Найти,
если.

Решение:
.

.

4.
Найти значение матричного многочлена
,
если
,

.

Решение:

.

.

5.
Транспонировать матрицу
.

Решение:
Так как у матрицы A
две строки и три столбца, то у матрицы
будет три строки и два столбца:.

6.
Дана матрица
.
Найти обратную матрицу.

Решение:
Воспользуемся первым способом нахождения
обратной матрицы, т.е. формулой (2.2).
Вычисляем определитель матрицы A:

.

Так
как
,
то матрицасуществует. Найдем алгебраические
дополнения ко всем элементам матрицыA:

; ;

; ;

; ;

;

;

.

Составим
присоединенную матрицу:
.
Находим обратную матрицу, поделив каждый
элемент присоединенной матрицы на
определитель матрицы A.
Получаем ответ:

.

7.
Решить матричное уравнение:
.

Решение:
Запишем данное матричное уравнение в
виде
.
Его решением является матрица
(если существует матрица).
Найдем определитель матрицыA:

.
Значит,
обратная матрица
существует, и исходное уравнение имеет
(единственное) решение. Найдем обратную
матрицу:
,

;

,

.
Найдем
решение матричного уравнения:

.

8.
Найти обратную к матрице
,
используя метод элементарных
преобразований.

Решение:
Припишем справа единичную матрицу

.

Разделив первую
строку на три и обнулив элемент в первом
столбце ниже тройки, получим

.

Умножив
вторую строку на три и обнулив элемент
во втором столбце выше
,
получим

.

Таким
образом,
.

Задачи для самостоятельного решения

1.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где

.

2.
Найти произведения матриц
и
(если они существуют), где

.

3.
Проверить коммутируют ли матрицы

и

.

4.
Найти значение матричного многочлена
,
еслии.

5.
Вычислить произведение
при заданной матрице
.

6.
Привести к ступенчатому виду матрицу

.

7.
Найти произведения матриц
и,
где

.

8.
Найти обратную матрицу к матрице
.

Решить
матричные уравнения:

9.
;

10.
.

11.
Найти линейную комбинацию матриц
,
где

.

12.
Найти произведения матриц
и
(если они существуют), где

.

13.
Проверить, коммутируют ли матрицы

и
.

14.
Найти значение матричного многочлена
,
если
.

15.
Вычислить произведение
при заданной матрице.

16.
Привести к ступенчатому виду матрицу
.

17.
Найти произведения матриц
и,
если

.

18.
Найти обратную матрицу к матрице
.

Решить
матричные уравнения:

19.
;

20.
.

Ответы:

1)

;
2)

;3)
Да;
4) ;5)
;
6)
;7)
;8) ;9)
;10)
;11)
;
12)
;13)
Нет; 14)
;15) ;
16) ;17)
;18)
;19) ;20) .

ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ 3

Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса

1. Метод Крамера.

Система
уравнений вида

(3.1)

называется
системой
m
линейных уравнений с n
неизвестными.

Коэффициенты
этих уравнений записываются в виде
матрицы А,
называемой матрицей
системы,
а числа, стоящие в правой части системы,
образуют столбец В,
называемый столбцом
свободных членов.
Неизвестные системы так же записываются
в столбец, называемый столбец
неизвестных:

,

,

Используя
произведение матриц, можно записать
данную систему в матричном виде:
.

Совокупность
чисел
называетсярешением
системы,
если каждое уравнение системы обращается
в равенство после подстановки в него
чисел
вместо неизвестных.

Системы,
не имеющие решения, называются
несовместными.

Системы,
имеющие решения, называются совместными.
Заметим, что система может иметь
единственное решение, а может иметь
бесконечно много решений.

Для
нахождения единственного решения систем
с одинаковым количеством уравнений и
неизвестных есть метод, называемый
метод
Крамера.

Система
n
уравнений с n
неизвестными

имеет
единственное решение, если определитель
матрицы системы отличен от нуля.
Это решение находится по
формулам
Крамера:

,
(3.2)

где

– определитель матрицы системы, а _k
– определитель матрицы, полученной
из матрицы системы заменой k-го
столбца столбцом свободных членов.

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

I am going through Gilbert Strang’s Intro To Linear Algebra class. I believe I am misunderstanding how the questions in the textbook are written, however.

The first question of section 1.3 is:

Find the linear combination $3s_1 + 4s_2 +5s_3=b$

My understanding of a linear combination was that it was the multiplication of matrices itself that creates a linear combination of the columns.

So, is the answer here:

$begin{bmatrix}s_1 & s_2 & s_3end{bmatrix}begin{bmatrix}3\4\5end{bmatrix}$ = b?

I am confused on the rest of the question as well. It states to:

Write b as a matrix-vector multiplication multiplication $Sx$ with 3,4,5 in $x$. Compute the three dot products (row of S)$cdot x$ such that the following go into columns of S:
$\ s_1 = begin{bmatrix}1\1\1end{bmatrix}, s_2 = begin{bmatrix}0\1\1end{bmatrix}, s_3 = begin{bmatrix}0\0\1end{bmatrix} $

Then, is this asking me to set the question up in the following form:

$begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 0 \
1 & 1 & 1 end{bmatrix}begin{bmatrix}3\4\5end{bmatrix}$

And then solve to get

$b = begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \
3 & 4 & 0 \
3 & 4 & 5 end{bmatrix}$?

I know this question is long winded and basic, but understanding what’s being asked would be really helpful for me