Как найти линейную плотность заряда на стержне

Сосредоточенные и распределенные заряды

Заряды можно распределять по какой-либо области тел, тогда их называют распределенными. Когда же заряд целиком собран в одну точку, его называют точечным. Большинство школьных задач физики связано с точечными зарядами.

Сосредоточенный заряд

Электрический заряд, сосредоточенный в какой-либо точке пространства, называют точечным.

Рис. 1. Точечный заряд

Силу взаимодействия точечных зарядов можно вычислить, используя закон Кулона.

Распределенные заряды

Электрический заряд, так же, можно распределять по объему, площади, или длине. Такие заряды называют распределенными. Чтобы описать эти заряды, используют понятие плотности заряда.

Если заряд распределен по:
— объему, говорят о объемной плотности заряда;
— площади, употребляют поверхностную плотность;
— длине, используют линейную плотность.

Примечание: Плотности отрицательных зарядов записывают со знаком «минус».

Формула линейной плотности заряда

Рис. 2. Заряд распределен по длинному тонкому телу

[ large boxed {tau = frac{q}{L} } ]

( large q left(text{Кл} right) ) – заряд;

( large L left(text{м} right) ) – длина, по которой распределен заряд;

( large tau left(frac{text{Кл}}{text{м}} right) ) – линейная плотность заряда;

Формула поверхностной плотности заряда

Любая поверхность обладает площадью, распределяя по ней заряд, получим поверхностную его плотность.

Этот термин используют, например, для вычисления электрического поля заряженной плоскости, или плоского конденсатора (двух параллельных плоскостей).

Рис. 3. Заряд распределен по плоской поверхности

[ large boxed {sigma = frac{q}{S} } ]

( large S left(text{м}^{2} right) ) – площадь, по которой распределен заряд;

( large sigma left(frac{text{Кл}}{text{м}^{2}} right) ) – поверхностная плотность заряда;

Формула объемной плотности заряда

Функция, описывающая плотность распределения заряда в трехмерном пространстве, входит в одно из уравнений Максвелла.

Рис. 4. Заряд распределен по объему тела

[ large boxed {rho = frac{q}{V} } ]

( large V left(text{м}^{3} right) ) – объем, по которому распределен заряд;

( large rho left(frac{text{Кл}}{text{м}^{3}} right) ) – объемная плотность заряда;

Примечание:

Джеймс Клерк Максвелл (1831 — 1879) – талантливый шотландский математик и физик. Популяризатор науки, экспериментатор и конструктор научных приборов.

Описал электромагнитное взаимодействие с помощью своих уравнений (уравнения Максвелла). Система этих уравнений лежит в основе современной электродинамики.

Предсказал электромагнитные волны, обнаружил, что свет имеет электромагнитную природу и может создавать давление.

Занимался исследованиями в области молекулярной физики и термодинамики. Использовал математический аппарат статистики, получил температурное распределение скоростей молекул.

Проводил исследования в области астрономии и оптики, для планеты Сатурн провел анализ устойчивости колец.

Именно Максвелл заложил трехцветный принцип, который используется в цветной фотографии и телевидении.

Оценка статьи:

Загрузка…

Примеры решения задач

Пример
1. На тонком
стержне длиной l
= 20 см находится рав­номерно распределенный
электрический заряд. На продолжении
оси стержня на расстоянии а = 10 см от
ближайшего конца находится то­чечный
заряд q₁
= 40 нКл, который взаимодействует со
стержнем с си­лой F
= 6 мкН. Определить линейную плотность
τ заряда на стержне.

Р
е ш е н и е. Сила взаимодействия F
заряженного стержня с точечным зарядом
q₁
зависит от линейной плотности τ заряда
на стержне. Зная эту зависимость, можно
определить τ. При вычислении силы F
следует иметь в виду, что заряд на стержне
не является точеч­ным, поэтому закон
Кулона непосредственно применить
нельзя. В этом случае можно поступить
следующим образом. Выделим из стержня
(рис. 1) малый участок dr
с зарядом dq
= τdr.
Этот заряд можно рас­сматривать как
точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

Интегрируя
это выражение в пределах от

до

+

,
полу­чаем

откуда

Проверим,
дает ли расчетная формула единицу
линейной плот­ности электрического
заряда. Для этого в правую часть формулы
вме­сто символов величин подставим
их единицы:

Найденная единица
является единицей линейной плотности
заряда.

Произведем
вычисления:

Пример
2. По тонкому
кольцу равномерно распределен заряд q
= 40 нКл с линейной плотностью τ = 50 нКл/м.
Определить напря­женность

электрического поля, создаваемого этим
зарядом в точке А, лежащей на оси кольца
и удаленной от его центра на расстоянии,
равное половине радиуса.

Р
е ш е н и е. Совместим координатную
плоскость xOy
с плос­костью кольца, а ось Oz
– с осью кольца (рис. 2). На кольце выделим
малый участок длиной dl.
Так как заряд dq=τdl,
находящийся на этом участке, можно
считать точечным, то напряженность d

электриче­ского поля, создаваемого
этим зарядом, может быть записана в виде

где

–
радиус-вектор, направленный от элемента
dl
к точке А.

Разложим
вектор d

на две составляющие: d
₁,
перпендику­лярную плоскости кольца
(сонаправленную с осью Oz),
и d
₂,
парал­лельную плоскости кольца
(плоскости xOy),
т. е.

.

Напряженность

электрического поля в точке А найдем
интегрированием:

где
интегрирование ведется по всем элементам
заряженного кольца. Заметим, что для
каждой пары зарядов dq
и dq`
(dq
= dq`),
расположен­ных симметрично относительно
центра кольца, векторы d
₂
и d
₂`
в точке А равны по модулю и противоположны
по направлению: d
<sub>2</sub>
= – d
<sub>2</sub>`.
Поэтому векторная сумма (интеграл)

Составляю­щие d
₁
для всех элементов кольца сонаправлены
с осью Oz
(единич­ным вектором
),
т. е. d
₁
=

dE₁.
Тогда

Так
как

и

то

Таким
образом,

Из
соотношения q
= 2πRτ
определим радиус кольца R
= q/(2πτ).
Тогда

Модуль
напряженности

(1)

Проверим,
дает ли правая часть полученного
равенства еди­ницу напряженности (В
/ м):

Выразим
физические величины, входящие в формулу
(1), в единицах СИ (τ = 5·10^-8
Кл/м, q=4·10^-8
Кл, ε₀
= 8,85·10^-12
Ф/м) и произ­ведем вычисления:

П
ример
3. Две
концентрические проводящие сферы
радиу­сами R₁
= 6 см и R₂
= 10 см несут соответственно заряды q₁
= 1нКл и q₂
= – 0,5нКл. Найти напряженность Е поля в
точках отстоящих от цен­тра сфер на
расстояниях r₁
= 5 см, r₂
= 9 см, r₃
= 15 см. Построить гра­фик E(r).

Р

е ш е н и е. Заметим, что точки, в
которых требуется найти напря­женности
электрического поля, лежат в трех
областях (рис. 3): об­ласти I
(r₁<R₁),
области II
(R₁<r₂<R₂),
области III
(r₂>R₂).

1.
Для определения напряженности Е₁
в области I
проведем гаус­сову поверхность S₁
радиусом r₁
и воспользуемся теоремой Остроград­ского
– Гаусса:

(так
как суммарный заряд, находящийся внутри
гауссовой поверхно­сти, равен нулю).
Из соображений симметрии E_n=E₁=const.
Следова­тельно,

и Е₁
(напряженность поля в области I)
во всех точ­ках, удовлетворяющих
условию r₁<R₁,
будет равна нулю.

2.
В области II
гауссову поверхность проведем радиусом
r₂.
В этом случае (диэлектрическую
проницаемость среды будем считать
равной единице (вакуум))

(так
как внутри гауссовой поверхности
находится только заряд q₁).

Так
как E_n
= E
= const,
то Е можно вынести за знак интеграла:

или
ES₂
= q₁/
.

Обозначив
напряженность Е для области II
через Е₂,
получим

Е₂
= q₁/(
S₂),

где
S₂
= 4πr₂²
– площадь гауссовой поверхности. Тогда

(1)

3.
В области III
гауссова поверхность проводится радиусом
r₃.
Обозначим напряженность Е области III
через Е₃
и учтем, что в этом случае гауссова
поверхность охватывает обе сферы и,
следовательно, суммарный заряд будет
равен q₁
+ q_2.
Тогда

Е₃
= (q₁+q₂)/4π
r₃².

Заметив,
что q₂<0,
это выражение можно переписать в виде

(2)

Убедимся
в том, что правая часть равенства (1) и
(2)дает единицу на­пряженности:

Выразим
все величины в единицах СИ (q₁
= 10^-9
Кл, q₂=
– 0,5·10^-9
Кл, r₁=0,09
м, r₂=0,15
м, 1/(4πε₀)=9·10⁹
м/Ф) и произведем вычисления:

Построим
график E(r).
В области I(r₁<R₁)
Е = 0. В области II
(R₁
r<R₂)
E₂(r)
изменяется по закону 1/r².
В точке r
= R₁
напряжен­ность E₂(R₁)
= q₁/(4π
R₁²)=2,25
кв/м. В точке r
= R₂
(r
стремится к R₂
слева) E₂(R₂)
= q₁/(4π
R₂²)
= 0,9 кВ/м. В области III
(r>R₂)
E₃(r)
изменяется по закону 1/r²,
причем в точке r
= R₂
(r
стремится к R₂
справа) E₃(R₂)
= (q₁
– |q₂|/(4π
R₂²)
= 0,45 кВ/м. Таким образом, функ­ция E(r)
в точках r
= R₁
и r
= R₂
терпит разрыв.

График
зависимости E(r)
представлен на рис. 4.

Пример
4. Электрическое
поле создано длинным цилиндром радиусом
R
= 1 см, равномерно заряженным с линейной
плотностью τ = 20 нКл/м. Определить разность
потенциалов двух точек этого поля,
находящихся на расстоянии

₁
= 0,5 см и

₂
= 2 см от поверхности цилиндра, в средней
его части.

Р
е ш е н и е. Для определения разности
потенциалов воспользуемся соотношением
между напряженностью поля и измене­нием
потенциала:

= – grad
φ.
Для поля с осевой симметрией, каким
является поле цилиндра, это соотношение
можно записать в виде

E
= – dφ/dr,
или dφ
= – Edr.

Интегрируя
это выражение, найдем разность потенциалов
двух точек, отстоящих на расстояниях
r₁
и r₂
от оси цилиндра:

(1)

Так
как цилиндр длинный и точки взяты вблизи
его средней части, то для выражения
напряженно­сти поля можно воспользоваться
формулой напряженности поля, соз­даваемого
бесконечно длинным цилиндром:

E
= τ/(2π
r).

Подставив
выражение Е в (1), получим

или

φ₁
– φ₂
= τ/(2π
)ln(r₂/r₁).
(2)

Произведем
подстановку, учитывая, что величины r₁
и r₂,
входящие в формулу (2) в виде отношения,
можно выразить в сантиметрах (r₁
= R
+

= 1,5 см r₂
= R
+
=
3 см):

φ₁
– φ₂
= 2 ·
10 ^–8
· 1,8
·
10¹⁰
ln(3/1,5)
= 3,6 ·10²
·
2,3 ln2
В = 250 В.

Пример
5. Конденсатор
емкостью С₁
= 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов
U₁
= 40 В. После отключения от источника тока
конденсатор соединили с другим
незаряженным конденсатором емко­стью
С₂
= 5 мкФ. Какая энергия

израсходуется на образование искры в
момент присоединения второго конденсатора?

Р
е ш е н и е. Энергия, израсходованная на
образование искры,

=
W₁
– W₂,
(1)

где
W₁
– энергия, которой обладает первый
конденсатор до присоеди­нения к нему
второго конденсатора; W₂
– энергия, которую имеет ба­тарея,
составленная из двух конденсаторов.

Энергия
заряженного конденсатора определяется
по формуле

W
= ½СU²,
(2)

где
С – емкость конденсатора или батареи
конденсаторов.

Выразив
в формуле (1) энергии W₁
и W₂
по формуле (2) и при­няв во внимание,
что общая емкость параллельно соединенных
кон­денсаторов равна сумме емкостей
отдельных конденсаторов, получим

=
½ C₁U₁²
– ½( C₁
+
C₂)U₂²,
(3)

где
U₂
– разность потенциалов на зажимах
батареи конденсаторов.

Учитывая,
что заряд после присоединения второго
конденса­тора остался прежним, выразим
разность потенциалов U₂
следующим образом:

Подставив
выражение U₂
в (3), найдем

или

Произведем
вычисления:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Плотность заряда

Материал из Большого Справочника