Как найти угол между плоскостями?
Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.
Геометрический способ
При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.
Алгебраический способ
Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.
Вот такая:
( displaystyle cos gamma =frac{{{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}})
Здесь ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}) — коэффициенты уравнений плоскостей ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) соответственно.
Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!
( displaystyle alpha ): ( displaystyle {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+D=0)
( displaystyle beta ): ( displaystyle {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+D=0).
Какой же способ лучше? Зависит от задачи.
Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.
А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.
Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{A}_{2}},{{B}_{2}},{{C}_{2}}), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).
Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)
(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a), которая является их общей границей.
(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi), нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi):
Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp
a);
Шаг 2: проведем (FGperp pi);
Шаг 3: по ТТП ((FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a);
Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi).
Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG), построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi). Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi), образующими плоскость, перпендикулярную и (xi), и (pi).
Задание
1
#2875
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha), где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.
Пусть (SABCD) – данная пирамида ((S) – вершина), ребра которой равны (a). Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD).
Проведем (CHperp SD). Так как (triangle SAD=triangle SCD), то (AH) также будет высотой в (triangle SAD). Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD).
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2). Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a), следовательно, (CH=AH=frac{sqrt3}2a).
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC): [cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH}=-dfrac13 quadRightarrowquad
6cosalpha=-2.]
Ответ: -2
Задание
2
#2876
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2). Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3). Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3).
Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a), линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b), а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c). Так как (aparallel b), то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).
Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b)). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c), следовательно, (BCperp b). Тогда (ACperp c) и (ACperp a).
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b), то (b) перпендикулярна плоскости (ABC). Так как (cparallel aparallel b), то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC), а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC).
Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)), (angle
ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ), (angle BCA=angle (pi_3,
pi_1)). Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]
Ответ: 0,2
Задание
3
#2877
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Даны прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ). Найдите (cos^{-1}alpha), где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Ответ дайте в градусах.
Пусть прямые пересекаются в точке (O). Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ), то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp
b) и (ACperp c). Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC).
Проведем (AHperp (BOC)). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c), (HBperp b). Так как (AB=AC), то (triangle
AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC). Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).
Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c), и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c). Это угол (ACH).
Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2). Тогда в прямоугольном (triangle AOC): [sin 60^circ=dfrac{AC}{OA}
quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad
OC=sqrt{OA^2-AC^2}=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle
HOC=30^circ), следовательно, в прямоугольном (triangle HOC): [mathrm{tg},30^circ=dfrac{HC}{OC}quadRightarrowquad HC=dfrac1{sqrt3}.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH): [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac{HC}{AC}=dfrac13 quadRightarrowquad
cos^{-1}alpha=3.]
Ответ: 3
Задание
4
#2910
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l), на которой лежат точки (M) и (N). Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15), (AN = 39), (BN = 17), (AB = 40). Найдите (3cosalpha), где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2).
Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2), откуда [AM^2 = 39^2 – 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2), откуда [BM^2 = 17^2 – 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 – 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 – 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12}] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5{12}). Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]
Ответ: 1,25
Задание
5
#2911
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a), точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)), кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD). Известно, что (A_1M = dfrac{sqrt{3}}{2}a). Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)). Ответ дайте в градусах.
Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.
Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB), то (MNparallel BC). Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC), следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac{1}{2}a).
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)), причем (MN) перпендикулярен (AB), тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM).
[mathrm{tg}, angle A_1NM = dfrac{A_1M}{NM} = dfrac{frac{sqrt{3}}{2}a}{frac{1}{2}a} = sqrt{3}qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^{circ}]
Ответ: 60
Задание
6
#1854
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC), если (SO = 5), а (AB = 10).
Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ); (AO = DO), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
В (triangle SKO): (OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ).
Ответ: 45
Задание
7
#1855
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ
В квадрате (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC). Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC), если (SO = 5), а (AB = 10).
Прямоугольные треугольники (triangle SAO), (triangle SDO), (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ((SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ); (AO = OD = OB = OC), т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD), тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD), а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD). Точка (L) – середина (BC), тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC), а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK)) перпендикулярна плоскости (BSC). Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.
(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5); (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50). Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ).
Ответ: 90
Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.
Основные нюансы
-
Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.
-
Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.
-
Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.
-
Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.
-
Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.
Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха
В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.
Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.
Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».
Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.
УСТАЛ? Просто отдохни
План урока:
Понятие двугранного угла и угла между плоскостями
Перпендикулярность плоскостей
Прямоугольный параллелепипед
Трехгранный угол
Многогранный угол
Типичные задачи на углы между плоскостями
Понятие двугранного угла и угла между плоскостями
Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.
По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.
Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:
Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.
Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.
Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.
Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:
Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.
Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).
Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.
Перпендикулярность плоскостей
В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.
Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.
Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.
Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:
Прямоугольный параллелепипед
Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.
Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:
Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А1, B1, C1 и D1. При этом одноименные вершины (например, А и А1) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.
Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.
Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ1А1 и CDD1C1. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD1, ведь и ADD1A1 – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD1C1 (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.
Эти грани пересекаются по ребру А1D1. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА1 и А1В1, лежащие в гранях ADD1A1 и A1D1C1B1. Значит, ∠АА1В1 и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.
Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:
Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:
Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ1 – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В1D:
Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:
Теперь перейдем к ∆В1ВD. Так как ребро BB1 перпендикулярно грани ABCD, то ∠В1ВD – прямой. Тогда и ∆В1ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:
Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:
Трехгранный угол
Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:
В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:
Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:
Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство
Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:
Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть
Именно это неравенство и необходимо было доказать.
Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:
Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:
Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и
Многогранный угол
Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.
Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:
Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА1, КА2, КА3…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА1А2А3А4А5, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА1А2А3А4А5 – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А1А2А3А4А5 – это сечение многогранного угла. Углы ∠А1КА2, ∠А2КА3, ∠А3КА4… – это плоские углы многогранного угла.
Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:
Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.
Докажем важное утверждение:
Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А1А2А3…Аn, которое будет являться выпуклым многоугольником:
В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А1А2А3…Аn. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть
В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А1А2А3…Аn. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть
Последнее неравенство и необходимо было доказать.
Типичные задачи на углы между плоскостями
В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.
Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.
Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:
Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).
Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:
Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?
Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:
По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:
Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?
Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:
Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.
Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.
Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:
Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.
Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:
Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.
Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?
Решение.
Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.
Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.
По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:
Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:
Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?
Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:
Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.
Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:
Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.
Ответ: 90°.
Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:
Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.
Ответ: 45°.
Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:
Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.
Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.
Ответ: 90°.
Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:
Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:
Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.
Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому
Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:
Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.
Ответ: ≈ 54,74°.
Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?
Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):
Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.
Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что
Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.
Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:
Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:
Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:
Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:
Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов
Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.
Ответ: 90°.
Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:
Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.
Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:
Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.
Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:
KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.
Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:
Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.
Ответ: 60°.
Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих плоскостей – ребром двугранного угла.
В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: двускатные крыши домов, приоткрытая дверь, полураскрытая папка и т. п.
Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.
У каждого двугранного угла сколько угодно линейных углов: через каждую точку ребра можно провести плоскость, перпендикулярную этому ребру; лучи, по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла, и образуют линейные углы.
Все линейные углы двугранного угла равны между собой.
Пример.
Докажем, что если равны двугранные углы, образованные плоскостью основания пирамиды КАИС и плоскостями её боковых граней, то основание перпендикуляра, проведённого из вершины К, является центром вписанной в треугольник АВС окружности.
Доказательство. Прежде всего, построим линейные углы равных двугранных углов.
По определению, плоскость линейного угла должна быть перпендикулярна ребру двухгранного угла.
Следовательно, ребро двугранного угла должно быть перпендикулярно сторонам линейного угла. Если КО перпендикуляр к плоскости основания, то можно провести ОР перпендикулярно АС, ОR перпендикулярно CB, OQ перпендикулярно АВ, а затем соединить точки Р, Q, R с точкой К. Тем самым, мы построим проекции наклонных РК, QК, RК так, что рёбра АС, СВ, АВ перпендикулярны этим проекциям. Следовательно, эти рёбра перпендикулярны и самим наклонным. И потому плоскости треугольников РОQ, QOК, RОК перпендикулярны соответствующим рёбрам двугранного угла и образуют те равные линейные углы, о которых сказано в условии.
Прямоугольные треугольники РОК, QOК, RОК равны (так как у них общий катет ОК и равны противолежащие этому катету углы). Следовательно, ОР = ОR = OQ. Если провести окружность с центром О и радиусом ОР, то стороны треугольника АВС перпендикулярны радиусам ОР, OR, OQ, а потому являются касательными к этой окружности.
Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!
Зарегистрироваться
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Остались вопросы?
Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.
§ 14.Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями
14.1. Двугранный угол и его измерение
Рассмотрим два полупространства, образованные непараллельными плоскостями. Пересечение этих полупространств назовём двугранным углом.
Прямую, по которой пересекаются плоскости — границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, — гранями двугранного угла.
Двугранный угол с гранями α, β и ребром a обозначают αaβ. Можно использовать и такие обозначения двугранного угла, как K(AB)T; α(AB)β (рис. 94, 95).
Рис. 94
Рис. 95
Рис. 96
Замечание. Иногда говорят, что двугранный угол αaβ образован двумя полуплоскостями α и β, имеющими общую граничную прямую a.
Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.
Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла αaβ отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB, перпендикулярные ребру a (рис. 96, а). Угол AOB, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла αaβ.
Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a, то плоскость AOB перпендикулярна прямой a. Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру.
Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A1O1B1 двугранного угла αaβ (рис. 96, б). Лучи OA и O1A1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O1B1. Тогда ∠ AOB = ∠ A1O1B1 (как углы с сонаправленными сторонами).
Таким образом, нами доказана теорема.
Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.
Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.
Это позволяет ввести следующее определение.
Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.
Рис. 97
Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0°; 180°).
На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30°. В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.
Двугранный угол является острым (рис. 98, а), прямым (рис. 98, б) или тупым (рис. 98, в), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.
Рис. 98
Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а) и вертикальные (рис. 99, б) двугранные углы. При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.
Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.
На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B; A1 и B1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA1 = a; BB1 = b; A1B1 = h. Тогда
AB = .
Рис. 99
Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .
14.2. Угол между двумя плоскостями
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ, то величины трёх остальных равны соответственно 180° – ϕ, ϕ, 180° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.
Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.
Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.
Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ, то пишут: (α; β) = ϕ.
Рис. 100
Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0°; 90°].
Рис. 101
ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD (∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:
а) ABC и MBC; б) AMD и CMD.
Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC. Найдём величину этого угла.
По условию задачи DM ⊥ (ABC), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD, то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC, катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC = = = 10.
Учитывая, что S = •AC•BD = •12•16 = 96, находим: DE = = 9,6. Тогда tg ϕ = = = , откуда ϕ = arctg .
б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, то AD ⊥ DM, CD ⊥ DM, значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM. Найдём этот угол.
В треугольнике ACD по теореме косинусов находим
cos ψ = = = – ,
откуда ψ = arccos .
Ответ: а) arctg ; б) arccos .