Как найти линейный угол тетраэдра

План урока:

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Перпендикулярность плоскостей

Прямоугольный параллелепипед

Трехгранный угол

Многогранный угол

Типичные задачи на углы между плоскостями

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.

По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.

Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:

Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.

Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.

Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.

Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:

Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.

Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).

Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

Прямоугольный параллелепипед

Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.

Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:

Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А₁, B₁, C₁ и D₁. При этом одноименные вершины (например, А и А₁) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.

Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ₁А₁ и CDD₁C₁. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD₁, ведь и ADD₁A₁ – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD₁C₁ (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.

Эти грани пересекаются по ребру А₁D₁. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА₁ и А₁В₁, лежащие в гранях ADD₁A₁ и A₁D₁C₁B₁. Значит, ∠АА₁В₁ и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.

Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:

Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:

Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ₁ – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В₁D:

Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:

Теперь перейдем к ∆В₁ВD. Так как ребро BB₁ перпендикулярно грани ABCD, то ∠В₁ВD – прямой. Тогда и ∆В₁ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:

Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть

Именно это неравенство и необходимо было доказать.

Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:

Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:

Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и

Многогранный угол

Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.

Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:

Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА₁, КА₂, КА₃…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА₁А₂А₃А₄А₅ – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А₁А₂А₃А₄А₅ – это сечение многогранного угла. Углы ∠А₁КА₂, ∠А₂КА₃, ∠А₃КА₄… – это плоские углы многогранного угла.

Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:

Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.

Докажем важное утверждение:

Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А₁А₂А₃…А_n, которое будет являться выпуклым многоугольником:

В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А₁А₂А₃…А_n. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть

В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А₁А₂А₃…А_n. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть

Последнее неравенство и необходимо было доказать.

Типичные задачи на углы между плоскостями

В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.

Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.

Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:

Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).

Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:

Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?

Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:

По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:

Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?

Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:

Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.

Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.

Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:

Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.

Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:

Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.

Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?

Решение.

Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.

Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.

По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:

Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:

Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?

Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:

Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.

Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:

Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:

Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.

Ответ: 45°.

Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:

Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.

Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.

Ответ: 90°.

Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:

Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:

Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.

Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому

Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:

Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.

Ответ: ≈ 54,74°.

Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?

Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):

Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.

Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что

Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.

Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:

Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:

Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:

Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:

Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов

Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Ответ: 90°.

Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:

Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.

Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:

Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.

Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:

KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.

Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:

Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.

Ответ: 60°.

Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих плоскостей – ребром двугранного угла.

В реальности мы встречаемся с предметами, которые  имеют форму двугранного угла: двускатные крыши домов, приоткрытая дверь, полураскрытая папка и т. п.

Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.

У каждого двугранного угла сколько угодно линейных углов: через каждую точку ребра можно провести плоскость, перпендикулярную этому ребру; лучи, по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла, и образуют линейные углы.

Все линейные углы двугранного угла равны между собой.

Пример.

Докажем, что если равны двугранные углы, образованные плоскостью основания пирамиды КАИС и плоскостями её боковых граней, то основание перпендикуляра, проведённого из вершины К, является центром вписанной в треугольник АВС окружности.

Доказательство. Прежде всего, построим линейные углы равных двугранных углов.

По определению, плоскость линейного угла должна быть перпендикулярна ребру двухгранного угла.

Следовательно, ребро двугранного угла должно быть перпендикулярно сторонам линейного угла. Если КО перпендикуляр к плоскости основания, то можно провести ОР перпендикулярно АС, ОR перпендикулярно CB, OQ перпендикулярно  АВ, а затем соединить точки Р, Q, R с точкой К. Тем самым, мы построим проекции наклонных РК, QК, RК так, что рёбра АС, СВ, АВ перпендикулярны этим проекциям. Следовательно, эти рёбра перпендикулярны и самим наклонным. И потому плоскости треугольников РОQ, QOК, RОК перпендикулярны соответствующим рёбрам двугранного угла и образуют те равные линейные углы, о которых сказано в условии.

Прямоугольные треугольники РОК, QOК, RОК равны (так как у них общий катет ОК и равны противолежащие этому катету углы). Следовательно, ОР = ОR = OQ. Если провести окружность с центром О и радиусом ОР, то стороны треугольника АВС перпендикулярны радиусам ОР, OR, OQ, а потому являются касательными к этой окружности.

Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Что такое двугранный угол

Двугранным углом называют геометрическую фигуру, которая сформирована парой полуплоскостей, выходящие из общей прямой.

Заметим, что угол, измеряемый в градусах, разделяющий пару плоскостей, является минимальным из количества двугранных углов, которые сформированы в результате пересечения плоскостей.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Источник: ru.wikipedia.org

Как найти

В поиске ответов на различные примеры из геометрии следует руководствоваться основными понятиями. Введем несколько обозначений для элементов двугранного угла.

Грани двугранного угла представляют собой полуплоскости, которые образовали данный угол.

Ребро двугранного угла является единой прямой для рассматриваемых полуплоскостей.

В процессе измерения двугранных углов используют величины линейных углов, то есть тех, что образованы при пересечении двугранного угла и плоскости, расположенной под прямым углом к ребру рассматриваемого угла. В результате для поиска величины двугранного угла рекомендуется следовать следующему алгоритму действий:

• следует определить какую-либо точку на его ребре;
• далее под прямым углом к ребру нужно опустить из определенной ранее точки лучи ко всем граням;
• угол, который разделяет изображенные лучи, соответствует величине искомого двугранного угла.

Запишем в табличной форме значения двугранных углов, характерные для правильных многогранников:

 

В данном случае следует считать (phi) равным (frac{1+sqrt{5}}{2}), то есть золотым сечением.

Виды двугранных углов

Тупой двугранный угол представляет собой такой угол, градусная величина которого превышает значение в 90°.

Тупой двугранный угол:

Источник: rusinfo.info

Прямой двугранный угол является таким двугранным углом, градусная мера которого соответствует 90°.

Прямой двугранный угол:

 

Источник: rusinfo.info

Острым двугранным углом называют двугранный угол с градусной мерой, равной 90°.

Острый двугранный угол:

Источник: rusinfo.info

Задачи

Решение

Предположим, что искомая пирамида имеет следующее название SABCD. Пусть S играет роль вершины геометрической фигуры, а ее ребра соответствуют а. Тогда, согласно условию задания, требуется найти угол, разделяющий грани SAD и SCD.

Источник: shkolkovo.net

Построим (CHperp SD). Заметим, что:

(triangle SAD=triangle SCD)

В этом случае AH также играет роль высоты в (triangle SAD). Таким образом, исходя из определения:

(angle AHC=alpha)

Заметим, что (alpha) является линейным углом, разделяющим грани SAD и SCD. При условии квадратного основания в пирамиде запишем следующее:

(AC=asqrt2)

Кроме того, имеет место такое равенство:

CH=AH

Высота AH находится в треугольнике с одинаковыми сторонами, равными а. Таким образом:

(CH=AH=frac{sqrt3}2a)

Воспользуемся теоремой косинусов применительно к (triangle AHC):

(cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH} =-dfrac13 quadRightarrowquad 6cosalpha=-2.)

Ответ: -2.

Решение

Источник: shkolkovo.net

Заметим, что треугольник AMN обладает прямым углом, тогда:

(AN^2 = AM^2 + MN^2)

В результате:

(AM^2 = 39^2 – 15^2 = 36^2)

Прямоугольным также является треугольник BMN. В таком случае:

(BN^2 = BM^2 + MN^2)

Исходя из этого, получим:

(BM^2 = 17^2 – 15^2 = 8^2)

Воспользуемся теоремой косинусов применительно к треугольнику AMB:

(AB^2 = AM^2 + MB^2 – 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB)

Таким образом:

(40^2 = 36^2 + 8^2 – 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12})

Исходя из того, что угол (alpha), разделяющий плоскости, является острым, а угол (angle AMB) определяется как тупой, получим следующее равенство:

(cosalpha=dfrac5{12})

(3cosalpha = dfrac54=1,25)

Ответ: 1,25.

Решение

Источник: shkolkovo.net

Геометрические фигуры в виде треугольников с прямыми углами (triangle SAO) и (triangle SDO) являются идентичными, согласно паре сторон и углу, который их разделяет:

(SO perp ABC Rightarrow angle SOA = angle SOD = 90^circ)

AO = DO

Записанные выше равенства являются справедливыми, так как в точке O пересекаются диагонали квадрата, а SO служит общей стороной.

(Rightarrow AS = SD Rightarrow triangle ASD)

(triangle ASD) является равнобедренным. Точка K делит пополам AD. В таком случае SK представляет собой высоту в треугольнике (triangle ASD), а OK обозначает высоту в треугольнике AOD. Таким образом, плоскость SOK расположена под прямым углом к плоскостям ASD и ABC. Можно сделать вывод о том, что (angle SKO)  является линейным углом, который соответствует искомому двугранному углу.

Источник: shkolkovo.net

Рассмотрим треугольник (triangle SKO):

(OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO)

Таким образом, (triangle SOK) является равнобедренным прямоугольным треугольником. Тогда:

(angle SKO = 45^circ.)

Ответ: (45^circ.)

В планиметрии основными
объектами являются прямые, отрезки, лучи и точки. Лучи исходящие из одной
точки, образуют одну их геометрических фигур–угол.

Мы  знаем, что линейный
угол измеряется в градусах и радианах.

В
стереометрии к объектам добавляется плоскость. Фигура,
образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а,
не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом.
Полуплоскости – это грани двугранного угла. Прямая а – это ребро
двугранного угла.

Двухгранный
угол как и линейный угол можно назвать, измерить, построить. Это и предстоит
нам выяснить в этом уроке.

Найдём
двухгранный угол на модели тетраэдра АВСD.

Двугранный
угол с ребром АВ  называют CABD, где С и D точки
принадлежащие разным граням угла а ребро АВ называют в середине

Вокруг
нас достаточно много предметов с элементами в виде двухгранного угла.

Во
многих городах в парках установлены специальные скамейки для примирения.
Скамейка выполнена в виде двух
сходящихся к центру наклонных плоскостей.

При
строительстве домов часто используется так называемая двухскатная крыша. На
этом доме крыша выполнена в виде двухгранного угла в 90 градусов.

Двугранный
угол тоже измеряется в градусах или радианах, но как его измерить.

Интересно
заметить, что крыши домов лежат на стропилах. А обрешётка стропил образует
два ската крыши под заданным углом.

Перенесем
изображение на чертёж. На чертеже для нахождения двухгранного угла на его
ребре отмечается точка В. Из этой точки проводятся два луча ВА и ВС 
перпендикулярно ребру угла. Образованный этими лучами угол АВС называется
линейным углом двугранного угла.

Градусная
мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.

Измерим
угол АОВ.

Градусная 
мера данного двугранного угла равна шестидесяти градусам.

Линейных
углов для двугранного угла можно провести бесконечное количество, важно знать,
что все они равны.

Рассмотрим
два линейных угла АОВ и А₁О₁В₁ . Лучи ОА и О₁А₁
лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой ОО₁, поэтому они
сонаправлены. Лучи ОВ и О₁В₁ так же сонаправлены.
Поэтому угол АОВ равен углуА₁О₁В₁ как углы с
сонаправленными сторонами.

Так
двугранный угол характеризуется линейным углом, а линейные углы бывают
острые, тупые и прямые. Рассмотрим модели двугранных углов.

Тупой угол,
если его линейный угол от 90  до 180 градусов.

Прямой
угол, если его линейный угол равен 90 градусов.

Острый
угол, елси его линейный угол от 0 до 90 градусов.

На экране изображение

Линейный
угол

На экране изображение и
текст

Двугранный
угол

прямая а –ребро угла

Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а,  не принадлежащие одной плоскости.

На экране изображение

На экране обновляется
изображение и текст

CABD– двухгранный угол. Обозначение CABD, АВ– ребро, САВС, DACD

На экране изображение

На экране изображение

На экране изображение

На экране изображение

текст

 АВС– линейный угол, АВа, ВСа

текст

Градусной мерой
двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

На экране появляется
анимацию по измерению градусной меры линейного угла с наложением транспортира):

∠АОВ=60°

На экране изображение с
анимацией элементов.

АОВ и А1О1В1 линейные углы, ОА и О1А1, ОВ и О1В1– сонаправлены  АОВ =А1О1В1

На экране изображение с
анимацией появления.

Тупой угол	Прямой угол
Острый угол

Докажем
одно из важных свойств линейного угла.

Плоскость линейного угла перпендикулярна
к ребру двугранного угла.

Пусть
угол АОВ – линейный угол данного двугранного угла. По построению лучи АО и ОВ
перпендикулярные  прямой а.  

Через
две пересекающиеся прямые АО и ОВ проходит плоскость АОВ по теореме: Через
две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Прямая 
а перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости,
значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а
перпендикулярна плоскости АОВ.

На экране тест

Плоскость линейного угла
перпендикулярна к ребру двугранного угла.

На экране изображение и
доказательство:

Доказательство: 1)      АО, ОВ а (по построению)

На экране добавляется
пункт доказательства:

2)   АО  АОВ
единственная

На экране добавляется
пункт доказательства и чертёж

3)   (АОВ)

Для
решения задач важно уметь строить линейный угол заданного двухгранного угла.
Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ для тетраэдра АВСD.

Речь
идет о двугранном угле, который образован, во-первых, ребром АВ, одной гранью
АВD, второй
гранью АВС.

Вот
один из способов построения.

Проведем
перпендикуляр из точки D к
плоскости АВС, Отметим точку М основание перпендикуляра. Вспомним, что в
тетраэдре основание перпендикуляра совпадает с центром вписанной окружности в
основание тетраэдра.

Проведем
наклонную из точки D
перпендикулярно к ребру АВ, отметим  точку N основание
наклонной.

В
треугольнике DMN отрезок
NM будет
проекций наклонной DN на
плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах ребро АВ будет
перпендикулярно проекции NМ.

Значит
cтороны
угла DNM
перпендикулярны к ребру АВ, значит построенный угол  DNM 
искомый линейный угол.

На экране изображение с
анимацией элементов:

На экране изображение и
текст:

Построение: 1)      DM: DM⊥(ABC)

На экране обновляется
чертёж и текст:

2)      DN: DN⊥AB

На экране обновляется
чертёж и построения:

3)   В : DM⊥ NM, АВ⊥ DNАВ⊥ NM

 На экране добавляется
пункт построения:

4)   

Рассмотрим
пример решения задачи на вычисление двугранного угла.

Задача

Равнобедренный
треугольник АВС и правильный треугольник АDB
не лежат в одной плоскости. Отрезок CD является перпендикуляром
к плоскости ADB. Найдите двугранный угол
DABC, если AC=CB=2 см,
АB= 4см.

Двугранный
угол DABC равен его линейному
углу. Построим этот угол.

Проведем
наклонную СМ перпендикулярно к ребру АВ, так как треугольник АСВ
равнобедренный, то точка М совпадёт с  серединой ребра АВ.

Прямая СD по условию перпендикулярна
плоскости ADB, значит перпендикулярна
прямой DM лежащей в этой
плоскости. А отрезок МD является проекцией
наклонной СМ на плоскость АDВ.

Прямая АВ
перпендикулярна наклонной СМ по построению, значит   по теореме о трех
перпендикулярах перпендикулярна проекции MD.
 

Итак к
ребру АВ найдены два перпендикуляра СМ и DМ.
Значит они образуют линейный угол СMD двугранного угла DАВС. И нам останется его найти из
прямоугольного треугольника СDM.

Так отрезок
СМ медиана и высота  равнобедренного треугольника АСВ, то  по теореме
Пифагора катет СМ равен 4 см.  

Из
прямоугольного  треугольника DMB по теореме Пифагора 
катет DM равен двум корням из
трёх.

Косинус
угла  из прямоугольного треугольника
равен отношению прилежащего катета МD к гипотенузе СМ и равен
три корня из трёх на два. Значит угол СМD
равен 30
градусам.

На экране текст задачи и
изображение:

.

изображение:

Дано: ΔАВС–равнобедренный,            ΔАDB правильный не лежат в             одной плоскости, CD  ADB.                         AC=CB=2 см, АB= 4см Найти: угол DABC, Решение : 1) Проведём СМ: СМАВ, АМ=МВ (по свойству р/б треу-ка)

На экране изображение и
текст решения:

2) CD(ADB) MD, и МD-проекция СМ

На экране добавляется
пункт решения и отметки прямых углов:

3) АВСМ, где СМ –наклонная, а МD-проекция

На экране обновляется
чертёж и текст решения:

Решение: 1)      искомый линейный  угол.

На экране обновляется
чертёж и текст решения:

Решение: 2)      ΔСМВ– прям. СМ= см.

 На экране добавляется
пунк решения:

3)      ΔDМВ– прям.DМ= см.

На экране добавляется
пунк решения:

4)      ΔСDМ– прямcos ==30°

Ответ:
30°