Как найти линию центров окружностей

Быстрый способ, как найти центр окружности

В данном обзоре автор поделится с нами довольно простым способом, как быстро найти центр окружности.

Для этого нам потребуется всего два предмета: угольник и карандаш. Первым делом необходимо провести прямую линию в любом месте окружности.

Советуем также прочитать: как изготовить своими руками антенну для усиления 4G сигнала на даче или в частном доме.

После того, как начертили линию, измеряем длину, и делим это расстояние ровно пополам.

В данном случае длина линии составляет 210 мм. Разделив ее пополам, получаем 105 мм — ставим в этом месте отметку.

С помощью угольника проводим вторую линию, которая должна быть перпендикулярна первой (то есть проходить под углом 90 градусов).

Основные этапы работ

На следующем этапе проделываем те же операции с другой стороны окружности (только не параллельно, а немного в стороне).

Чертим линию, измеряем ее длину (в данном случае — 218 мм), делим пополам (109 мм) и откладываем в этом месте точку. После этого проводим перпендикулярную линию, как и в предыдущем случае.

Пересечение двух линий, которые мы чертили под углом 90 градусов, и будет являться центром круга.

Подробно об этом способе можно посмотреть на видео ниже. Статья подготовлена на основе видео с YouTube канала « ПОГРАНЕЦ 13 ».

Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Данный урок посвящён изучению окружности и круга. Также учитель научит отличать замкнутые и незамкнутые линии. Вы познакомитесь с основными свойствами окружности: центром, радиусом и диаметром. Выучите их определения. Научитесь определять радиус, если известен диаметр, и наоборот.

Всё про окружность и круг

Окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Центральный угол – это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

Периметр сектора: P = s + 2R.

Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

[spoiler title=”источники:”]

http://interneturok.ru/lesson/matematika/3-klass/tema-umnozhenie-i-delenie/krug-okruzhnost-tsentr-radius-diametr

http://www.stranamam.ru/post/8974384/

[/spoiler]

Радикальная ось — прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей.
Линия центров окружностей — прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Теорема 1.

1) Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.
2) Отрезки касательных, проведенных из любой точки радикальной оси к этим окружностям, равны.

Доказательство:

1) Рассмотрим (triangle BMN) и (triangle AMN): они равны по трем сторонам ((BM=AM=R_1, BN=AN=R_2) — радиусы первой и второй окружностей соответственно). Таким образом, (angle BNM=angle ANM), следовательно, (MN) — биссектриса в равнобедренном (triangle ANB), следовательно, (MNperp AB).

2) Отметим произвольную точку (O) на радикальной оси и проведем касательные (OK_1, OK_3) к первой окружности и (OK_2, OK_4) ко второй окружности. Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то (OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OBcdot OA).

Теорема 2.

Пусть две окружности с центрами (M) и (N) касаются внешним образом в точке (A). Две общие касательные (внутренняя и внешняя) (a) и (b) этих окружностей пересекаются в точке (B). Точки касания — точки (A, K_1, K_2) (как показано на рисунке). Тогда [(1) {large{K_1B=AB=K_2B}}] [(2) {large{angle K_1AK_2=90^circ}}]

Доказательство:

1) Т.к. (BA) и (BK_1) — две касательные, проведенные к первой окружности из одной точки, то отрезки касательных равны: (BA=BK_1). Аналогично, (BA=BK_2). Таким образом, (BA=BK_1=BK_2).

2) Значит, (BA) — медиана в (triangle K_1AK_2), равная половине стороны, к которой она проведена. Значит, (angle A=90^circ).

Теорема 3.

Пусть две окружности касаются внешним образом в точке (A). Через точку (A) проведены две прямые (B_1B_2) и (C_1C_2), пересекающие каждую окружность в двух точках, как показано на рисунке. Тогда: [(1) {large{triangle AB_1C_1 sim triangle AB_2C_2}}] [(2) {large{B_1C_1parallel B_2C_2}}]

Доказательство:

1) Проведем через точку (A) общую касательную этих окружностей (OQ). (angle OAC_2=angle QAC_1=alpha) как вертикальные. Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle
OAC_2=frac12buildrelsmileover{AC_2})
, (angle
QAC_1=frac12buildrelsmileover{AC_1})
. Следовательно, (buildrelsmileover{AC_1}=buildrelsmileover{AC_2}=2alpha). Таким образом, (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2=alpha). Значит, по двум углам (triangle AB_1C_1sim triangle AB_2C_2).

2) Т.к. (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2), то прямые (B_1C_1parallel
B_2C_2)
по накрест лежащим углам при секущей (B_1B_2).

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: [ACcdot BD=ABcdot CD+BCcdot AD]

Доказательство

Пусть для определенности (angle ABD<angle CBD). Проведем отрезок (BO) так, чтобы (O) лежала на (AC) и (angle ABD=angle CBO):

Т.к. (angle ACB=angle ADB) (опираются на одну и ту же дугу), то по двум углам (triangle OBCsim triangle ABD). Значит: [dfrac{OC}{AD}=dfrac{BC}{BD} Rightarrow ADcdot BC=OCcdot BDphantom{00000000000} (1)]

Т.к. (angle BAC=angle BDC) (опираются на одну и ту же дугу), (angle ABO=angle CBD) (состоят из равных по построению (оранжевых) углов и общего угла (angle DBO)), то по двум углам (triangle
ABOsim triangle BDC)
. Значит: [dfrac{AO}{DC}=dfrac{AB}{BD} Rightarrow ABcdot CD=AOcdot BD phantom{00000000000} (2)]

Сложим равенства ((1)) и ((2)): (ADcdot BC+ABcdot CD=OCcdot
BD+AOcdot BD=ACcdot BD)
, чтд.

Формула Эйлера:

Пусть (R) — радиус описанной около треугольника (ABC) окружности, (r) — радиус вписанной окружности. Тогда расстояние (d) между центрами этих окружностей вычисляется по формуле: [{large{d^2=R^2-2Rr}}]

Доказательство:

а) Предположим, что (dne 0). Пусть (O, Q) — центры описанной и вписанной окружности соответственно. Проведем диаметр описанной окружности (PS) через точку (Q). Проведем также биссектрисы углов (angle A, angle B)(AA_1, BB_1) соответственно (заметим, что они пересекутся в точке (Q), т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис). Хорды (PS) и (BB_1) пересекаются, следовательно, отрезки этих хорд равны: (PQcdot QS=BQcdot QB_1).

Т.к. (OP=OS=R, OQ=d), то последнее равенство можно переписать в виде ((R-d)(R+d)=BQcdot QB_1 (*)).

Заметим, что т.к. (AA_1, BB_1) — биссектрисы, то (buildrelsmileover{AB_1}=buildrelsmileover{B_1C}=x,
buildrelsmileover{CA_1}=buildrelsmileover{A_1B}=y)
. Т.к. угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними, то:
(angle AQB_1=frac12(x+y)).

С другой стороны, (angle
B_1AA_1=frac12big(buildrelsmileover{B_1C}+buildrelsmileover{CA_1}big)=frac12(x+y))

Таким образом, (angle AQB_1=angle B_1AA_1). Следовательно, (triangle QB_1A) — равнобедренный и (B_1Q=B_1A). Значит, равенство ((*)) можно переписать как:
(R^2-d^2=BQcdot AB_1 (**)).

Проведем еще один диаметр описанной окружности (B_1B_2). Тогда (triangle B_1AB_2) — прямоугольный ((angle A) опирается на диаметр). Пусть также вписанная окружность касается стороны (AB) в точке (K). Тогда (triangle BKQ) — прямоугольный.
Заметим также, что (angle KBQ=angle AB_2B_1) (т.к. они опираются на одну и ту же дугу).
Значит, (triangle B_1AB_2sim triangle BKQ) по двум углам, следовательно:

(dfrac{KQ}{AB_1}=dfrac{BQ}{B_1B_2} Rightarrow
dfrac{r}{AB_1}=dfrac{BQ}{2R} Rightarrow BQcdot AB_1=2Rr)
.

Подставим это в ((**)) и получим:

(R^2-d^2=2Rr Rightarrow d^2=R^2-2Rr).

б) Если (d=0), т.е. центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то (AK=BK=sqrt{R^2-r^2} Rightarrow AB=2sqrt{R^2-r^2}). Аналогично (AC=BC=AB=sqrt{R^2-r^2}), т.е. треугольник равносторонний. Следовательно, (angle A=60^circ Rightarrow angle
KAO=30^circ Rightarrow r=frac12R Rightarrow R=2r)
или (0=R^2-2Rr) (т.е. в этом случае формула также верна).

Теорема о бабочке:

Пусть через середину хорды (AB) — точку (O), проведены две хорды (MN) и (KP). Пусть (MPcap AB=X, KNcap AB=Y). Тогда [{large{OX=OY}}]

Доказательство:

Проведем перпендикуляры (XX_1, YY_2perp
MN, XX_2, YY_1perp KP)
.
Следующие углы равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу: (angle
PMO=angle NKO, angle MPO=angle KNO)
.
Следующие углы равны, т.к. вертикальные: (angle XOX_1=angle YOY_2,
angle XOX_2=angle YOY_1)
.

Следующие прямоугольные треугольники подобны:

1) (triangle XX_1Osim triangle YY_2O Rightarrow
dfrac{XO}{YO}=dfrac{XX_1}{YY_2})

2) (triangle XX_2Osim triangle YY_1O Rightarrow
dfrac{XO}{YO}=dfrac{XX_2}{YY_1})

3) (triangle MXX_1sim triangle KYY_1 Rightarrow
dfrac{XX_1}{YY_1}=dfrac{MX}{KY})

4) (triangle PXX_2sim triangle NYY_2 Rightarrow
dfrac{XX_2}{YY_2}=dfrac{PX}{NY})

Из 1) и 2) следует, что

(dfrac{XO^2}{YO^2}=dfrac{XX_1cdot XX_2}{YY_1cdot YY_2})

Из 3) и 4) следует, что

(dfrac{XX_1cdot XX_2}{YY_1cdot YY_2}=dfrac{MXcdot PX}{KYcdot
NY})

Совместив последние два равенства, получим:

(dfrac{XO^2}{YO^2}=dfrac{MXcdot PX}{KYcdot NY})

Заметим, что для пересекающихся хорд (AB) и (MP): (AXcdot
XB=MXcdot PX)
. Аналогично (AYcdot YB=KYcdot NY). Значит:

(dfrac{XO^2}{YO^2}==dfrac{AXcdot XB}{AYcdot YB})

Обозначим (OX=x, OY=y, OA=OB=t Rightarrow)

(dfrac{x^2}{y^2}=dfrac{(t-x)(t+x)}{(t+y)(t-y)}=dfrac{t^2-x^2}{t^2-y^2}
Rightarrow x^2t^2-x^2y^2=y^2t^2-x^2y^2 Rightarrow x^2=y^2
Rightarrow x=y)
.

ПРИМЕР. Даны
вершины треугольника:. Написать:

а)
уравнение медианы , б) высоты , в) найти угол между   и  (рис.
25).    

                                          A         

B              M  
   H      C

Рис.25  

а)  – середина ВС (см.  (2.4)). Напишем
уравнение (3.4) прямой, проходящей через две точки: .
Вектор  – направляющий вектор прямой  .                                                                                   

Перепишем
уравнение  медианы в общем виде: 

 – нормаль АМ.

б)  – нормаль . Уравнение прямой (3.1), проходящей через
точку  перпендикулярно вектору :

в) . По формуле (3.7)  

РАССТОЯНИЕ  ОТ  ТОЧКИ  ДО  ПРЯМОЙ  НА  ПЛОСКОСТИ

Пусть  в некоторой пдск   задана прямая  и
точка  Найдем расстояние от точки  до прямой

                y

M

Р

О                                   x

Рис.
26                                                           

Пусть
 – проекция точки  на
 (рис. 26), тогда .
Нормаль

, где 
 – искомое расстояние, а  – скалярное произведение.

Следовательно,        .

Так
как  , то . Поэтому  

.

Отсюда
                                      .                                             (3.8)

(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до
прямой на плоскости.

ПРИМЕР
Найти длину высоты

Уравнение
 (3.4):   –
искомая длина высоты АН.

КРИВЫЕ  ВТОРОГО  ПОРЯДКА.

ОКРУЖНОСТЬ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Кривые второго порядка – плоские линии, которые в пдск   задаются уравнениями второй степени
относительно двух переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Окружностью называется совокупность точек  плоскости, равноудаленных от
фиксированной точки, называемой ее центром.

Выведем
уравнение окружности. Зададим пдск . Пусть  – фиксированная точка (центр окружности),
а  – расстояние от точек окружности до ее
центра (радиус окружности). Если  – произвольная точка
окружности, то длина  равна
 

                                            (3.9)

Если точка   не лежит на
окружности, то  и ее координаты уравнению (3.9)
не удовлетворяют, поэтому, (3.9) – уравнение окружности с центром   радиуса .

Если 
, то уравнение окружности примет вид:

                                                      .                                             (3.10)

(3.10)
– каноническое уравнение окружности.

ПРИМЕР. Показать, что уравнение   задает
окружность (то есть найти  ее центр и радиус).

Приведем
 данное  уравнение  к  виду (3.9), выделив  полный квадрат по переменной  :

ПРИМЕР. Написать уравнение линии центров окружностей   и  .

Найдем центр второй окружности:       

Уравнение
прямой (3.4), проходящей через две точки:

.

Эллипс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Эллипс – совокупность точек плоскости, сумма расстояний от которых до
двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина
постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Чтобы
вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс
проведем через фокусы   и , а ось
ординат – посередине отрезка  перпендикулярно оси
абсцисс.  Обозначим расстояние между фокусами , тогда  
. Пусть  –
произвольная точка, лежащая на эллипсе, а   – сумма
расстояний от точек на эллипсе до   и  ,   

                         У

    О 
                Х

Рис. 27                           

  по определению
эллипса.

 (рис.
27).

Запишем
в виде уравнения свойство точек, принадлежащих эллипсу, сформулированное в
определении:

   (3.11)

(3.11)
– уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к более
простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11)  на сопряженное
выражение:

                      .                       
(3.12)

Сложим
(3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат:

                                                                      (3.13)

Так
как по определению , то есть ,
то обозначим  . Тогда из (3.13) получим:

                                                                                                             (3.14)

(3.14)
– каноническое уравнение эллипса.

Уважаемый посетитель!

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Ссылка на скачивание – внизу страницы.


Download Article


Download Article

Finding the center of a circle can help you perform basic geometric tasks like finding the circumference or area. There are several ways to find the center point! You can draw crossed lines, you can draw overlapping circles, or you can use a straightedge and ruler.

Things You Should Know

  • Measure out and draw a set of crossed lines inside of a circle to pinpoint the center.
  • Sketch two separate sets of overlapping circles to identify the exact center point.
  • Draw a square snugly around the circle. Sketch an “X” between all 4 corners of the square to find the circle’s center.
  1. Image titled Find the Center of a Circle Step 1

    1

    Draw a circle. Use a compass, or trace any circular object. The size of the circle does not matter. If you’re finding the center of an existing circle, then you don’t need to draw a new circle.

    • A geometry compass is a tool specifically designed to draw and measure circles. Buy one in a school or office supply store![1]
  2. Image titled Find the Center of a Circle Step 2

    2

    Sketch a chord between two points. A chord is a straight line segment that links any two points along the edge of a curve.[2]
    Name the chord AB.

    • Consider using a pencil to sketch your lines. This way, you can erase the marks once you’ve found the center. Draw with a light touch so that it’ll be easier to erase.

    Advertisement

  3. Image titled Find the Center of a Circle Step 3

    3

    Draw a second chord. This line should be parallel and equal in length to the first chord that you drew. Name this new chord CD.[3]

  4. Image titled Find the Center of a Circle Step 4

    4

    Make another line between A and C. This third chord (AC) should stretch through the center of the circle – but you will need to draw one more line to find the exact center point.

  5. Image titled Find the Center of a Circle Step 5

    5

    Join B and D. Draw one final chord (BD) across the circle between Point B and Point D. This new line should cross over the third chord (AC) that you drew.

  6. Image titled Find the Center of a Circle Step 6

    6

    Find the center. If you have drawn straight and accurate lines, then the center of the circle lies at the intersection of the crossed lines AC and BD.[4]
    Mark the center point with a pen or pencil. If you only want the center point marked, then erase the four chords that you drew.

  7. Advertisement

  1. Image titled Find the Center of a Circle Step 7

    1

    Draw a chord between two points. Use a ruler or straightedge to draw a straight line inside the circle, from one edge to another. The points that you use don’t matter. Label the two points A and B.

  2. Image titled Find the Center of a Circle Step 8

    2

    Use a compass to draw two overlapping circles. The circles should be the exact same size. Make A the center of one circle, and B the center of the other. Space the two circles so that they overlap like a Venn diagram.

    • Draw these circles in pencil, not pen. The process will be simpler if you are able to erase these circles later on.
  3. Image titled Find the Center of a Circle Step 9

    3

    Draw a vertical line through the two points at which the circles intersect. There will be a point at the top and a point at the bottom of the “Venn diagram” space created between the overlap of the circles. Use a ruler to make sure that the line protrudes straight through these points. Finally, label the two points (C and D) at which this new line crosses the rim of the original circle. This line marks the diameter of the original circle.

  4. Image titled Find the Center of a Circle Step 10

    4

    Erase the two overlapping circles. This should clear up your work space for the next step of the process. Now, you should have a circle with two perpendicular lines running through it. Do not erase the center points (A and B) of these circles! You will be drawing two new circles.

  5. Image titled Find the Center of a Circle Step 11

    5

    Sketch two new circles. Use your compass to draw two equal circles: one with the point C at its center, and one with the point D. These circles, too, should overlap like a Venn diagram. Remember: C and D are the points at which the vertical line intersects the main circle.

  6. Image titled Find the Center of a Circle Step 12

    6

    Draw a line through the points at which these new circles intersect. This straight, horizontal line should cut through the overlap space of the two new circles. This line is the second diameter of your original circle, and it should be exactly perpendicular to the first diameter line.

  7. Image titled Find the Center of a Circle Step 13

    7

    Find the center. The intersection point of the two straight diameter lines is the exact center of the circle! Mark this center point for reference. If you want to clean up the page, feel free to erase the diameter lines and the non-original circles.

  8. Advertisement

  1. Image titled Find the Center of a Circle Step 14

    1

    Draw two straight, intersecting tangent lines onto the circle. The lines can be completely random. However, the process will be easier if you make them roughly square or rectangular.[5]

  2. Image titled Find the Center of a Circle Step 15

    2

    Translate both of the lines to the other side of the circle. You will end up with four tangent lines forming a parallelogram or a rough rectangle.

  3. Image titled Find the Center of a Circle Step 16

    3

    Draw the diagonals of the parallelogram. The point where these diagonal lines intersect is the circle’s center.

  4. Image titled Find the Center of a Circle Step 17

    4

    Check the accuracy of the center with a compass. The center should be on target as long as you didn’t slip while translating the lines or when drawing the diagonals. Feel free to erase the parallelogram and diagonal lines.

  5. Advertisement

Practice Problems and Answers

Add New Question

  • Question

    How do you find the center of a circle if you’re only given the equation?

    David Jia

    David Jia is an Academic Tutor and the Founder of LA Math Tutoring, a private tutoring company based in Los Angeles, California. With over 10 years of teaching experience, David works with students of all ages and grades in various subjects, as well as college admissions counseling and test preparation for the SAT, ACT, ISEE, and more. After attaining a perfect 800 math score and a 690 English score on the SAT, David was awarded the Dickinson Scholarship from the University of Miami, where he graduated with a Bachelor’s degree in Business Administration. Additionally, David has worked as an instructor for online videos for textbook companies such as Larson Texts, Big Ideas Learning, and Big Ideas Math.

    David Jia

    Academic Tutor

    Expert Answer

  • Question

    How do you find the center of the circle if you’re only given the endpoints of the diameter?

    David Jia

    David Jia is an Academic Tutor and the Founder of LA Math Tutoring, a private tutoring company based in Los Angeles, California. With over 10 years of teaching experience, David works with students of all ages and grades in various subjects, as well as college admissions counseling and test preparation for the SAT, ACT, ISEE, and more. After attaining a perfect 800 math score and a 690 English score on the SAT, David was awarded the Dickinson Scholarship from the University of Miami, where he graduated with a Bachelor’s degree in Business Administration. Additionally, David has worked as an instructor for online videos for textbook companies such as Larson Texts, Big Ideas Learning, and Big Ideas Math.

    David Jia

    Academic Tutor

    Expert Answer

  • Question

    In the first method, what do I do if the chords are of different lengths?

    Community Answer

    It’s not easy to construct parallel chords of equal length. In practice, it would be a process of trial and error until you get the chords you need. But the real goal here is to find the center of a circle, and here’s a way to do it without worrying about equal and parallel chords: (1) draw any two or more chords; (2) perpendicularly bisect each chord (using either a compass or a ruler and right triangle; (3) the perpendicular bisectors will intersect at the circle’s center.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • You can also find the center of a circle by mathematically “completing the square.”[6]
    This is useful if you are given a circle equation, but you aren’t working with a physical circle.

  • Try using graph paper instead of blank or ruled paper. It might help to have the perpendicular lines and boxes for guidance.

  • If you have right angled square, place the corner anywhere along the circumference. Draw the 2 lines that intersect the circumference. Draw a line between those 2 points. Repeat on any other point on the circle. Where the lines intersect is the centrepoint.

Advertisement

  • A straightedge is not the same as a ruler. A straightedge can be any straight and even surface, but a ruler shows measurements. You can turn a straightedge into a functional ruler by marking it with inch or centimeter increments.

  • In order to find the true center of a circle, you must use a geometric compass and a straightedge.

Advertisement

Things You’ll Need

  • Pencil
  • Paper
  • Straightedge
  • Geometric compass
  • Grid paper

References

About This Article

Article SummaryX

To find the center of a circle, start by drawing a straight line between 2 points on the circle. Don’t worry about trying to draw the straight line so it’s in the center — anywhere on the circle will do. Then, draw a second straight line that’s parallel to the first line on the opposite side of the circle. Next, draw a diagonal line from the first end of the first line to the opposite end of the second line. Repeat with the other two ends so that you’ve drawn an “X.” The point where the lines intersect is the center of the circle! If you want to learn how to draw overlapping circles to find the center, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 750,622 times.

Reader Success Stories

  • Robert

    “I had a circular piece of wood that was a circular tabletop that I wanted to use for something else. I needed to…” more

Did this article help you?

October 15 2017, 11:33

Category:

  • Общество
  • Cancel

Как найти центр окружности без измерительных инструментов?

Как найти центр окружности без измерительных инструментов?

Действительно как? Вот у вас есть круг. И есть необходимость или желание узнать, где у него центр.
Самое простое – это вписать в круг квадрат или прямоугольник.
Затем провести диагонали соединяющие противоположные углы. Место пересечения этих линий и будет центром окружности, а каждая из этих линий будет являться её диаметром. Место пересечения диаметров окружности всегда будет является её центром.

Из этого так же следует, что гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника так же всегда является ее диаметром. И здесь, чтобы найти центр окружности, достаточно найти ее середину. Ну, а середина находится легко: из вершины треугольника (прямого угла) к основанию (гипотенузе) проводится перпендикулярная линия. В прямоугольном треугольнике она делит основание ровно пополам. А так как гипотенуза – это диаметр окружности, то поделённая пополам, дает два радиуса и соответственно центр окружности.

Но центр можно найти не только с помощью прямоугольного треугольника. Можно вписать в окружность равносторонний или равнобедренный треугольник. С первым вообще все просто, как и с прямоугольником. У него все стороны равны и не составит труда вписать его в окружность. Здесь достаточно провести две медианы (они же высоты) из любых углов. Место их пересечения и будет центр окружности. Если их продолжить до линии окружности, то получим два пересекающихся диаметра.

Для нахождения центра круга при помощи равнобедренного треугольника необходимо произвести следующие действия. Вписать в окружность два любых равнобедренных треугольника. Форма треугольников и длина их бедер не имеют значения. После из вершин этих треугольников необходимо провести к основанию треугольника медиану/высоту. И продолжить ее до соприкосновения с окружностью. Место пересечения этих медиан/высот и будет центром круга. А они, как уже вы догадались, будут являться его диаметрами.

Как нетрудно увидеть, если чуть-чуть подумать, то можно вообще не чертить никаких фигур. Надо просто отложить внутри окружности две любых линии (хорды), не параллельных друг другу. Провести перпендикулярные линии через середины этих хорд к противоположной точке на окружности. И снова пересечение этих двух будет являться центром.

Так же центр окружности можно найти с помощью вписанной в круг трапеции. Используя трапеции несложно начертить прямоугольник или прямоугольный треугольник. А уже имея их – найти центр.


Но как начертить трапецию, треугольник или даже квадрат, не имея линейки с разметкой и транспортира? Как получить прямой угол? Ведь не все люди обладают точным глазомером и твердостью руки.
Для этого достаточно иметь под рукой веревку, полоску бумаги, да просто прямую палку. С помощью любого из этих подручных средств можно отложить на окружности линию (хорду). Далее, имея постоянную длинную отрезка, соединяя любые четыре точки на окружности, можно легко получить квадрат или равносторонний треугольник, соединив три точки. Ну а для верности, чтобы получить прямой угол можно применить лист бумаги, коробок спичек, симкарту, стол – любые предметы которые имеют прямой угол.
Осталось добавить, что выше перечисленные способы справедливы и в том случае, если окружность вписана в квадрат или равнобедренный треугольник, или проведены касательные к окружности.

Добавить комментарий