Как найти линию регрессии по данным - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Основы линейной регрессии

Время на прочтение
13 мин

Количество просмотров 122K

Здравствуй, Хабр!

Цель этой статьи — рассказать о линейной регрессии, а именно собрать и показать формулировки и интерпретации задачи регрессии с точки зрения математического анализа, статистики, линейной алгебры и теории вероятностей. Хотя в учебниках эта тема изложена строго и исчерпывающе, ещё одна научно-популярная статья не помешает.

! Осторожно, трафик! В статье присутствует заметное число изображений для иллюстраций, часть в формате gif.

Содержание

Введение
Метод наименьших квадратов
- Математический анализ
- Статистика
- Теория вероятностей
Мультилинейная регрессия
- Линейная алгебра
Произвольный базис
Заключительные замечания
- Проблема выбора размерности
- Численные методы
Реклама и заключение

Введение

Есть три сходных между собой понятия, три сестры: интерполяция, аппроксимация и регрессия.
У них общая цель: из семейства функций выбрать ту, которая обладает определенным свойством.

Интерполяция — способ выбрать из семейства функций ту, которая проходит через заданные точки. Часто функцию затем используют для вычисления в промежуточных точках. Например, мы вручную задаем цвет нескольким точкам и хотим чтобы цвета остальных точек образовали плавные переходы между заданными. Или задаем ключевые кадры анимации и хотим плавные переходы между ними. Классические примеры: интерполяция полиномами Лагранжа, сплайн-интерполяция, многомерная интерполяция (билинейная, трилинейная, методом ближайшего соседа и т.д). Есть также родственное понятие экстраполяции — предсказание поведения функции вне интервала. Например, предсказание курса доллара на основании предыдущих колебаний — экстраполяция.

Аппроксимация — способ выбрать из семейства «простых» функций приближение для «сложной» функции на отрезке, при этом ошибка не должна превышать определенного предела. Аппроксимацию используют, когда нужно получить функцию, похожую на данную, но более удобную для вычислений и манипуляций (дифференцирования, интегрирования и т.п). При оптимизации критических участков кода часто используют аппроксимацию: если значение функции вычисляется много раз в секунду и не нужна абсолютная точность, то можно обойтись более простым аппроксимантом с меньшей «ценой» вычисления. Классические примеры включают ряд Тейлора на отрезке, аппроксимацию ортогональными многочленами, аппроксимацию Паде, аппроксимацию синуса Бхаскара и т.п.

Регрессия — способ выбрать из семейства функций ту, которая минимизирует функцию потерь. Последняя характеризует насколько сильно пробная функция отклоняется от значений в заданных точках. Если точки получены в эксперименте, они неизбежно содержат ошибку измерений, шум, поэтому разумнее требовать, чтобы функция передавала общую тенденцию, а не точно проходила через все точки. В каком-то смысле регрессия — это «интерполирующая аппроксимация»: мы хотим провести кривую как можно ближе к точкам и при этом сохранить ее максимально простой чтобы уловить общую тенденцию. За баланс между этими противоречивыми желаниями как-раз отвечает функция потерь (в английской литературе «loss function» или «cost function»).

В этой статье мы рассмотрим линейную регрессию. Это означает, что семейство функций, из которых мы выбираем, представляет собой линейную комбинацию наперед заданных базисных функций

${f_i}$

Цель регрессии — найти коэффициенты этой линейной комбинации, и тем самым определить регрессионную функцию

$f$ (которую также называют моделью). Отмечу, что линейную регрессию называют линейной именно из-за линейной комбинации базисных функций — это не связано с самыми базисными функциями (они могут быть линейными или нет).

Регрессия с нами уже давно: впервые метод опубликовал Лежандр в 1805 году, хотя Гаусс пришел к нему раньше и успешно использовал для предсказания орбиты «кометы» (на самом деле карликовой планеты) Цереры. Существует множество вариантов и обобщений линейной регрессии: LAD, метод наименьших квадратов, Ridge регрессия, Lasso регрессия, ElasticNet и многие другие.

Метод наименьших квадратов

Начнём с простейшего двумерного случая. Пусть нам даны точки на плоскости

${(x_1,y_1),cdots,(x_N,y_N)}$ и мы ищем такую аффинную функцию

чтобы ее график ближе всего находился к точкам. Таким образом, наш базис состоит из константной функции и линейной

Как видно из иллюстрации, расстояние от точки до прямой можно понимать по-разному, например геометрически — это длина перпендикуляра. Однако в контексте нашей задачи нам нужно функциональное расстояние, а не геометрическое. Нас интересует разница между экспериментальным значением и предсказанием модели для каждого

$x_i,$ поэтому измерять нужно вдоль оси

$y$ .

Первое, что приходит в голову, в качестве функции потерь попробовать выражение, зависящее от абсолютных значений разниц

. Простейший вариант — сумма модулей отклонений

приводит к Least Absolute Distance (LAD) регрессии.

Впрочем, более популярная функция потерь — сумма квадратов отклонений регрессанта от модели. В англоязычной литературе она носит название Sum of Squared Errors (SSE)

$text{SSE}(a,b)=text{SS}_{res[iduals]}=sum_{i=1}^N{text{отклонение}_i}^2=sum_{i=1}^N(y_i-f(x_i))^2=sum_{i=1}^N(y_i-a-bcdot x_i)^2,$

Метод наименьших квадратов (по англ. OLS) — линейная регрессия c

в качестве функции потерь.

Такой выбор прежде всего удобен: производная квадратичной функции — линейная функция, а линейные уравнения легко решаются. Впрочем, далее я укажу и другие соображения в пользу

Математический анализ

Простейший способ найти

$text{argmin}_{a,b} , text{SSE}(a,b)$ — вычислить частные производные по

$ a $ и

$ b $ , приравнять их нулю и решить систему линейных уравнений

$begin{aligned} frac{partial}{partial a}text{SSE}(a,b)&=-2sum_{i=1}^N(y_i-a-bx_i), \ frac{partial}{partial b}text{SSE}(a,b)&=-2sum_{i=1}^N(y_i-a-bx_i)x_i. end{aligned}$

Значения параметров, минимизирующие функцию потерь, удовлетворяют уравнениям

$begin{aligned} 0 &= -2sum_{i=1}^N(y_i-hat{a}-hat{b}x_i), \ 0 &= -2sum_{i=1}^N(y_i-hat{a}-hat{b}x_i)x_i, end{aligned}$

которые легко решить

$begin{aligned} hat{a}&=frac{sum_i y_i}{N}-hat{b}frac{sum_i x_i}{N},\ hat{b}&=frac{frac{sum_i x_i y_i}{N}-frac{sum_i x_isum_i y_i}{N^2}}{frac{sum_i x_i^2}{N}-left(frac{sum_i x_i^2}{N}right)^2}. end{aligned}$

Мы получили громоздкие и неструктурированные выражения. Сейчас мы их облагородим и вдохнем в них смысл.

Статистика

Полученные формулы можно компактно записать с помощью статистических эстиматоров: среднего

, вариации

$sigma_{cdot}$ (стандартного отклонения), ковариации

и корреляции

$begin{aligned} hat{a}&=langle{y}rangle-hat{b}langle{x}rangle, \ hat{b}&=frac{langle{xy}rangle-langle{x}ranglelangle{y}rangle}{langle{x^2}rangle-langle{x}rangle^2}. end{aligned}$

Перепишем

как

$hat{b} = frac{sigma(x,y)}{sigma_x^2},$

где

это нескорректированное (смещенное) стандартное выборочное отклонение, а

— ковариация. Теперь вспомним, что коэффициент корреляции (коэффициент корреляции Пирсона)

$rho(x,y)=frac{sigma(x,y)}{sigma_x sigma_y}$

и запишем

$hat{b}=rho(x,y)frac{sigma_y}{sigma_x}.$

Теперь мы можем оценить все изящество дескриптивной статистики, записав уравнение регрессионной прямой так

$boxed{y-langle {y} rangle = rho(x,y)frac{sigma_y}{sigma_x}(x-langle {x} rangle)}.$

Во-первых, это уравнение сразу указывает на два свойства регрессионной прямой:

Во-вторых, теперь становится понятно, почему метод регрессии называется именно так. В единицах стандартного отклонения

$y$ отклоняется от своего среднего значения меньше чем

$x$ , потому что

. Это называется регрессией(от лат. regressus — «возвращение») по отношению к среднему. Это явление было описано сэром Фрэнсисом Гальтоном в конце XIX века в его статье «Регрессия к посредственности при наследовании роста». В статье показано, что черты (такие как рост), сильно отклоняющиеся от средних, редко передаются по наследству. Характеристики потомства как бы стремятся к среднему — на детях гениев природа отдыхает.

Возведя коэффициент корреляции в квадрат, получим коэффициент детерминации

. Квадрат этой статистической меры показывает насколько хорошо регрессионная модель описывает данные.

$R^2$ , равный

$1$ , означает что функция идеально ложится на все точки — данные идеально скоррелированны. Можно доказать, что

$R^2$ показывает какая доля вариативности в данных объясняется лучшей из линейных моделей. Чтобы понять, что это значит, введем определения

$begin{aligned} text{Var}_{data} &= frac{1}{N}sum_i (y_i-langle y rangle)^2, \ text{Var}_{res} &= frac{1}{N} sum_i (y_i-text{модель}(x_i))^2, \ text{Var}_{reg} &= frac{1}{N} sum_i (text{модель}(x_i)-langle y rangle)^2. end{aligned}$

$text{Var}_{data}$ — вариация исходных данных (вариация точек

$y_i$ ).

$text{Var}_{res}$ — вариация остатков, то есть вариация отклонений от регрессионной модели — от

$y_i$ нужно отнять предсказание модели и найти вариацию.

$text{Var}_{reg}$ — вариация регрессии, то есть вариация предсказаний регрессионной модели в точках

$x_i$ (обратите внимание, что среднее предсказаний модели совпадает с

Дело в том, что вариация исходных данных разлагается в сумму двух других вариаций: вариации случайного шума (остатков) и вариации, которая объясняется моделью (регрессии)

$boxed{{color{red}{text{Var}_{data}}} ={color{green}{text{Var}_{res}}}+ {color{blue}{text{Var}_{reg}}}.}$

или

$sigma^2_{data} =sigma^2_{res}+ sigma^2_{reg}.$

Как видим, стандартные отклонения образуют прямоугольный треугольник.

Мы стремимся избавиться от вариативности, связанной с шумом и оставить лишь вариативность, которая объясняется моделью, — хотим отделить зерна от плевел. О том, насколько это удалось лучшей из линейных моделей, свидетельствует

$R^2$ , равный единице минус доля вариации ошибок в суммарной вариации

$R^2=frac{text{Var}_{data}-text{Var}_{res}}{text{Var}_{data}}=1-frac{color{green}{text{Var}_{res}}}{color{red}{text{Var}_{data}}}$

или доле объясненной вариации (доля вариации регрессии в полной вариации)

$R^2=frac{color{blue}{text{Var}_{reg}}}{color{red}{text{Var}_{data}}}.$

$R$ равен косинусу угла в прямоугольном треугольнике

$(sigma_{data}, sigma_{reg}, sigma_{res})$ . Кстати, иногда вводят долю необъясненной вариации

и она равна квадрату синуса в этом треугольнике. Если коэффициент детерминации мал, возможно мы выбрали неудачные базисные функции, линейная регрессия неприменима вовсе и т.п.

Теория вероятностей

Ранее мы пришли к функции потерь

из соображений удобства, но к ней же можно прийти с помощью теории вероятностей и метода максимального правдоподобия (ММП). Напомню вкратце его суть. Предположим, у нас есть

$N$ независимых одинаково распределенных случайных величин (в нашем случае — результатов измерений). Мы знаем вид функции распределения (напр. нормальное распределение), но хотим определить параметры, которые в нее входят (например

$mu$ и

$sigma$ ). Для этого нужно вычислить вероятность получить

$N$ датапоинтов в предположении постоянных, но пока неизвестных параметров. Благодаря независимости измерений, мы получим произведение вероятностей реализации каждого измерения. Если мыслить полученную величину как функцию параметров (функция правдоподобия) и найти её максимум, мы получим оценку параметров. Зачастую вместо функции правдоподобия используют ее логарифм — дифференцировать его проще, а результат — тот же.

Вернемся к задаче простой регрессии. Допустим, что значения

$x$ нам известны точно, а в измерении

$y$ присутствует случайный шум (свойство слабой экзогенности). Более того, положим, что все отклонения от прямой (свойство линейности) вызваны шумом с постоянным распределением (постоянство распределения). Тогда

где

— нормально распределенная случайная величина

$epsilon sim mathcal{N}(0,,sigma^{2}), qquad p(epsilon) = frac{1}{sqrt{2 pi sigma^2}} e^{-frac{epsilon^2}{2sigma^2}}.$

Исходя из предположений выше, запишем функцию правдоподобия

$begin{aligned} L(a,b|mathbf{y})&=P(mathbf{y}|a,b)=prod_i P(y_i|a,b)=prod_i p(y_i-a-bx|a,b)=\ &= prod_i frac{1}{sqrt{2 pi sigma^2}} e^{-frac{(y_i-a-bx)^2}{2sigma^2}}= frac{1}{sqrt{2 pi sigma^2}}e^{-frac{sum_i (y_i-a-bx)^2}{2 sigma^2}}=\ &= frac{1}{sqrt{2 pi sigma^2}}e^{-frac{text{SSE}(a,b)}{2 sigma^2}} end{aligned}$

и ее логарифм

Таким образом, максимум правдоподобия достигается при минимуме

$(hat{a},hat{b})=text{argmax}_{a,b} , l(a,b|mathbf{y}) = text{argmin}_{a,b} , text{SSE}(a,b),$

что дает основание принять ее в качестве функции потерь. Кстати, если

$begin{aligned} epsilon sim text{Laplace}(0, alpha), qquad p_{L}(epsilon; mu, alpha) =frac{alpha}{2}e^{-alpha |epsilon-mu|} end{aligned}$

мы получим функцию потерь LAD регрессии

$E_{LAD}(a,b)=sum_i |y_i-a-bx_i|,$

которую мы упоминали ранее.

Подход, который мы использовали в этом разделе — один из возможных. Можно прийти к такому же результату, используя более общие свойства. В частности, свойство постоянства распределения можно ослабить, заменив на свойства независимости, постоянства вариации (гомоскедастичность) и отсутствия мультиколлинеарности. Также вместо ММП эстимации можно воспользоваться другими методами, например линейной MMSE эстимацией.

Мультилинейная регрессия

До сих пор мы рассматривали задачу регрессии для одного скалярного признака

$x$ , однако обычно регрессор — это

$n$ -мерный вектор

. Другими словами, для каждого измерения мы регистрируем

$n$ фич, объединяя их в вектор. В этом случае логично принять модель с

$n+1$ независимыми базисными функциями векторного аргумента —

$n$ степеней свободы соответствуют

$n$ фичам и еще одна — регрессанту

$y$ . Простейший выбор — линейные базисные функции

. При

$n = 1$ получим уже знакомый нам базис

Итак, мы хотим найти такой вектор (набор коэффициентов)

, что

$sum_{j=0}^n w_j x_j^{(i)}= mathbf{w}^{top}mathbf{x}^{(i)} simeq y_i, qquad qquad qquad qquad i=1dots N.$

Знак “

$simeq$ ” означает, что мы ищем решение, которое минимизирует сумму квадратов ошибок

$hat{mathbf{w}}=text{argmin}_mathbf{w} , sum_{i=1}^N left({y_i - mathbf{w}^{top}mathbf{x}^{(i)}}right)^2$

Последнее уравнение можно переписать более удобным образом. Для этого расположим

$mathbf{x}^{(i)}$ в строках матрицы (матрицы информации)

$X= begin{pmatrix} - & mathbf{x}^{(1)top} & - \ cdots & cdots & cdots\ - & mathbf{x}^{(N)top} & - end{pmatrix} = begin{pmatrix} | & | & & | \ mathbf{x}_0 & mathbf{x}_1 & cdots & mathbf{x}_n \ | & | & & | end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & x^{(1)}_{1} & cdots & x^{(1)}_{n} \ cdots & cdots & cdots & cdots\ 1 & x^{(N)}_{1} & cdots & x^{(N)}_{n} end{pmatrix}.$

Тогда столбцы матрицы

$mathbf{x}_{i}$ отвечают измерениям

$i$ -ой фичи. Здесь важно не запутаться:

$N$ — количество измерений,

$n$ — количество признаков (фич), которые мы регистрируем. Систему можно записать как

Квадрат нормы разности векторов в правой и левой частях уравнения образует функцию потерь

$text{SSE}(mathbf{w}) = {|mathbf{y}-X mathbf{w}|}^2, qquad qquad mathbf{w} in mathbb{R}^{n+1}; , mathbf{y} in mathbb{R}^{N},$

которую мы намерены минимизировать

$begin{aligned} hat{mathbf{w}}&=text{argmin}_mathbf{w} , text{SSE}(mathbf{w}) = text{argmin}_mathbf{w} , (mathbf{y}-X mathbf{w})^{top}(mathbf{y}-X mathbf{w})=\ &= text{argmin}_mathbf{w} ,(mathbf{y}^{top}mathbf{y}-2mathbf{w}^{top}X^{top}mathbf{y}+mathbf{w}^{top}X^{top}Xmathbf{w}). end{aligned}$

Продифференцируем финальное выражение по

(если забыли как это делается — загляните в Matrix cookbook)

$frac{partial , text{SSE}(mathbf{w})}{partial mathbf{w}}=-2 X^{top}mathbf{y}+2 X^{top}Xmathbf{w},$

приравняем производную к

и получим т.н. нормальные уравнения

$X^{top}X , hat{mathbf{w}}=X^{top}mathbf{y}.$

Если столбцы матрицы информации

$X$ линейно независимы (нет идеально скоррелированных фич), то матрица

$X^{top}X$ имеет обратную (доказательство можно посмотреть, например, в видео академии Хана). Тогда можно записать

$boxed{hat{mathbf{w}} = (X^{top}X)^{-1}X^{top}mathbf{y}=X^{+}mathbf{y}},$

где

$X^{+}=(X^{top}X)^{-1}X^{top}$

псевдообратная к

$X$ . Понятие псевдообратной матрицы введено в 1903 году Фредгольмом, она сыграла важную роль в работах Мура и Пенроуза.

Напомню, что обратить

$X^{top}X$ и найти

$X^{+}$ можно только если столбцы

$X$ линейно независимы. Впрочем, если столбцы

$X$ близки к линейной зависимости, вычисление

$(X^{top}X)^{-1}$ уже становится численно нестабильным. Степень линейной зависимости признаков в

$X$ или, как говорят, мультиколлинеарности матрицы

$X^{top}X$ , можно измерить числом обусловленности — отношением максимального собственного значения к минимальному. Чем оно больше, тем ближе

$X^{top}X$ к вырожденной и неустойчивее вычисление псевдообратной.

Линейная алгебра

К решению задачи мультилинейной регрессии можно прийти довольно естественно и с помощью линейной алгебры и геометрии, ведь даже то, что в функции потерь фигурирует норма вектора ошибок уже намекает, что у задачи есть геометрическая сторона. Мы видели, что попытка найти линейную модель, описывающую экспериментальные точки, приводит к уравнению

Если количество переменных равно количеству неизвестных и уравнения линейно независимы, то система имеет единственное решение. Однако, если число измерений превосходит число признаков, то есть уравнений больше чем неизвестных — система становится несовместной, переопределенной. В этом случае лучшее, что мы можем сделать — выбрать вектор

, образ которого

ближе остальных к

. Напомню, что множество образов или колоночное пространство

— это линейная комбинация вектор-столбцов матрицы

$X$

$begin{pmatrix} | & | & & | \ mathbf{x}_0 & mathbf{x}_1 & cdots & mathbf{x}_n \ | & | & & | end{pmatrix} mathbf{w} = w_0 mathbf{x}_0 + w_1 mathbf{x}_1 + cdots w_n mathbf{x}_n .$

—

$n+1$ -мерное линейное подпространство (мы считаем фичи линейно независимыми), линейная оболочка вектор-столбцов

$X$ . Итак, если

принадлежит

, то мы можем найти решение, если нет — будем искать, так сказать, лучшее из нерешений.

Если в дополнение к векторам

мы рассмотрим все вектора им перпендикулярные, то получим еще одно подпространство и сможем любой вектор из

$mathbb{R}^{N}$ разложить на две компоненты, каждая из которых живет в своем подпространстве. Второе, перпендикулярное пространство, можно характеризовать следующим образом (нам это понадобится в дальнейшем). Пускай

$mathbf{v} in mathbb{R}^{N}$ , тогда

$X^top mathbf{v} = begin{pmatrix} - & mathbf{x}_0^{top} & - \ cdots & cdots & cdots\ - & mathbf{x}_n^{top} & - end{pmatrix} mathbf{v} = begin{pmatrix} mathbf{x}_0^{top} cdot mathbf{v} \ cdots \ mathbf{x}_n^{top} cdot mathbf{v} \ end{pmatrix}$

равен нулю в том и только в том случае, если

перпендикулярен всем

$mathbf{x}_i$ , а значит и целому

. Таким образом, мы нашли два перпендикулярных линейных подпространства, линейные комбинации векторов из которых полностью, без дыр, «покрывают» все

$mathbb{R}^N$ . Иногда это обозначают c помощью символа ортогональной прямой суммы

где

$text{ker}(X^{top})={mathbf{v}|X^{top}mathbf{v}=mathbf{0}}$ . В каждое из подпространств можно попасть с помощью соответствующего оператора проекции, но об этом ниже.

Теперь представим

в виде разложения

$mathbf{y} = mathbf{y}_{text{proj}} + mathbf{y}_{perp}, qquad mathbf{y}_{text{proj}} in mathcal{C}(X), qquad mathbf{y}_{perp} in text{ker}(X^{top}).$

Если мы ищем решение

, то естественно потребовать, чтобы

была минимальна, ведь это длина вектора-остатка. Учитывая перпендикулярность подпространств и теорему Пифагора

$text{argmin}_mathbf{w} || mathbf{y} - Xmathbf{w} || = text{argmin}_mathbf{w} || mathbf{y}_{perp} + mathbf{y}_{text{proj}} - Xmathbf{w} || = text{argmin}_mathbf{w} sqrt{|| mathbf{y}_{perp} ||^2 + || mathbf{y}_{text{proj}} - Xmathbf{w} ||^2},$

но поскольку, выбрав подходящий

, я могу получить любой вектор колоночного пространства, то задача сводится к

$Xhat{mathbf{w}} = mathbf{y}_{text{proj}},$

$mathbf{y}_{perp}$ останется в качестве неустранимой ошибки. Любой другой выбор

сделает ошибку только больше.

Если теперь вспомнить, что

$X^{top} mathbf{y}_{perp} = mathbf{0}$ , то легко видеть

$X^top X mathbf{w} = X^{top} mathbf{y}_{text{proj}} = X^{top} mathbf{y}_{text{proj}} + X^{top} mathbf{y}_{perp} = X^{top} mathbf{y},$

что очень удобно, так как

$mathbf{y}_{text{proj}}$ у нас нет, а вот

— есть. Вспомним из предыдущего параграфа, что

$X^{top} X$ имеет обратную при условии линейной независимости признаков и запишем решение

$mathbf{w} = (X^top X)^{-1} X^top mathbf{y} = X^{+} mathbf{y},$

где

$X^{+}$ уже знакомая нам псевдообратная матрица. Если нам интересна проекция

$mathbf{y}_{text{proj}}$ , то можно записать

$mathbf{y}_{text{proj}} = X mathbf{w} = X X^{+} mathbf{y} = text{Proj}_X mathbf{y},$

где

$text{Proj}_X$ — оператор проекции на колоночное пространство.

Выясним геометрический смысл коэффициента детерминации.

Заметьте, что фиолетовый вектор

$bar{y} cdot boldsymbol{1}=bar{y} cdot (1,1,dots,1)^{top}$ пропорционален первому столбцу матрицы информации

$X$ , который состоит из одних единиц согласно нашему выбору базисных функций. В RGB треугольнике

Так как этот треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора

${color{red}{|mathbf{y}-hat{y} cdot boldsymbol{1}|^2}}={color{green}{|mathbf{y}-bar{mathbf{y}}|^2}}+{color{blue}{|hat{mathbf{y}}-bar{y} cdot boldsymbol{1}|^2}}.$

Это геометрическая интерпретация уже известного нам факта, что

${color{red}{text{Var}_{data}}} = {color{green}{text{Var}_{res}}}+{color{blue}{text{Var}_{reg}}}.$

Мы знаем, что

$R^2=frac{color{blue}{text{Var}_{reg}}}{color{red}{text{Var}_{data}}},$

а значит

Красиво, не правда ли?

Произвольный базис

Как мы знаем, регрессия выполняется на базисных функциях

$f_i$ и её результатом есть модель

но до сих пор мы использовали простейшие

$f_i$ , которые просто ретранслировали изначальные признаки без изменений, ну разве что дополняли их постоянной фичей

$f_0(mathbf{x}) = 1$ . Как можно было заметить, на самом деле ни вид

$f_i$ , ни их количество ничем не ограничены — главное, чтобы функции в базисе были линейно независимы. Обычно, выбор делается исходя из предположений о природе процесса, который мы моделируем. Если у нас есть основания полагать, что точки

${(x_1,y_1),cdots,(x_N,y_N)}$ ложатся на параболу, а не на прямую, то стоит выбрать базис

. Количество базисных функций может быть как меньшим, так и большим, чем количество изначальных фич.

Если мы определились с базисом, то дальше действуем следующим образом. Мы формируем матрицу информации

$Phi = begin{pmatrix} - & boldsymbol{f}^{(1)top} & - \ cdots & cdots & cdots\ - & boldsymbol{f}^{(N)top} & - end{pmatrix} = begin{pmatrix} {f}_{0}left(mathbf{x}^{(1)}right) & {f}_{1}left(mathbf{x}^{(1)}right) & cdots & {f}_{n}left(mathbf{x}^{(1)}right) \ cdots & cdots & cdots & cdots\ {f}_{0}left(mathbf{x}^{(N)}right) & {f}_{1}left(mathbf{x}^{(N)}right) & cdots & {f}_{n}left(mathbf{x}^{(N)}right) end{pmatrix},$

записываем функцию потерь

$E(mathbf{w})={|{boldsymbol{epsilon}}(mathbf{w})|}^2={|mathbf{y}-Phi , mathbf{w}|}^2$

и находим её минимум, например с помощью псевдообратной матрицы

$hat{mathbf{w}} = text{argmin}_mathbf{w} ,E(mathbf{w}) = (Phi^{top}Phi)^{-1}Phi^{top}mathbf{y}=Phi^{+}mathbf{y}$

или другим методом.

Заключительные замечания

Проблема выбора размерности

На практике часто приходится самостоятельно строить модель явления, то есть определяться сколько и каких нужно взять базисных функций. Первый порыв «набрать побольше» может сыграть злую шутку: модель окажется слишком чувствительной к шумам в данных (переобучение). С другой стороны, если излишне ограничить модель, она будет слишком грубой (недообучение).

Есть два способа выйти из ситуации. Первый: последовательно наращивать количество базисных функций, проверять качество регрессии и вовремя остановиться. Или же второй: выбрать функцию потерь, которая определит число степеней свободы автоматически. В качестве критерия успешности регрессии можно использовать коэффициент детерминации, о котором уже упоминалось выше, однако, проблема в том, что

$R^2$ монотонно растет с ростом размерности базиса. Поэтому вводят скорректированный коэффициент

$bar{R}^2=1-(1-R^2)left[frac{N-1}{N-(n+1)}right],$

где

$N$ — размер выборки,

$n$ — количество независимых переменных. Следя за

$bar{R}^2$ , мы можем вовремя остановиться и перестать добавлять дополнительные степени свободы.

Вторая группа подходов — регуляризации, самые известные из которых Ridge(

$L_2$ /гребневая/Тихоновская регуляризация), Lasso(

$L_1$ регуляризация) и Elastic Net(Ridge+Lasso). Главная идея этих методов: модифицировать функцию потерь дополнительными слагаемыми, которые не позволят вектору коэффициентов

неограниченно расти и тем самым воспрепятствуют переобучению

$begin{aligned} E_{text{Ridge}}(mathbf{w})&=text{SSE}(mathbf{w})+alpha sum_i |w_i|^2 = text{SSE}(mathbf{w})+alpha | mathbf{w}|_{L_2}^2,\ E_{text{Lasso}}(mathbf{w})&=text{SSE}(mathbf{w})+beta sum_i |w_i| =text{SSE}(mathbf{w})+beta | mathbf{w}|_{L_1},\ E_{text{EN}}(mathbf{w})&=text{SSE}(mathbf{w})+alpha | mathbf{w}|_{L_2}^2+beta | mathbf{w}|_{L_1}, \ end{aligned}$

где

$alpha$ и

$beta$ — параметры, которые регулируют «силу» регуляризации. Это обширная тема с красивой геометрией, которая заслуживает отдельного рассмотрения. Упомяну кстати, что для случая двух переменных при помощи вероятностной интерпретации можно получить Ridge и Lasso регрессии, удачно выбрав априорное распределения для коэффициента

$b$

$y = a + bx + epsilon,qquad epsilon sim mathcal{N}(0,,sigma^{2}),qquad left{begin{aligned} &b sim mathcal{N}(0,,tau^{2})&leftarrowtext{Ridge},\ &b sim text{Laplace} (0,,alpha)&leftarrowtext{Lasso}. end{aligned}right.$

Численные методы

Скажу пару слов, как минимизировать функцию потерь на практике. SSE — это обычная квадратичная функция, которая параметризируется входными данными, так что принципиально ее можно минимизировать методом скорейшего спуска или другими методами оптимизации. Разумеется, лучшие результаты показывают алгоритмы, которые учитывают вид функции SSE, например метод стохастического градиентного спуска. Реализация Lasso регрессии в scikit-learn использует метод координатного спуска.

Также можно решить нормальные уравнения с помощью численных методов линейной алгебры. Эффективный метод, который используется в scikit-learn для МНК — нахождение псевдообратной матрицы с помощью сингулярного разложения. Поля этой статьи слишком узки, чтобы касаться этой темы, за подробностями советую обратиться к курсу лекций К.В.Воронцова.

Реклама и заключение

Эта статья — сокращенный пересказ одной из глав курса по классическому машинному обучению в Киевском академическом университете (преемник Киевского отделения Московского физико-технического института, КО МФТИ). Автор статьи помогал в создании этого курса. Технически курс выполнен на платформе Google Colab, что позволяет совмещать формулы, форматированные LaTeX, исполняемый код Python и интерактивные демонстрации на Python+JavaScript, так что студенты могут работать с материалами курса и запускать код с любого компьютера, на котором есть браузер. На главной странице собраны ссылки на конспекты, «рабочие тетради» для практик и дополнительные ресурсы. В основу курса положены следующие принципы:

все материалы должны быть доступны студентам с первой пары;
лекция нужны для понимания, а не для конспектирования (конспекты уже готовы, нет смысла их писать, если не хочется);
конспект — больше чем лекция (материала в конспектах больше, чем было озвучено на лекции, фактически конспекты представляют собой полноценный учебник);
наглядность и интерактивность (иллюстрации, фото, демки, гифки, код, видео с youtube).

Если хотите посмотреть на результат — загляните на страничку курса на GitHub.

Надеюсь вам было интересно, спасибо за внимание.

Источник

Простая линейная регрессия — это статистический метод, который можно использовать для понимания связи между двумя переменными, x и y.

Одна переменная x известна как предикторная переменная .

Другая переменная, y , известна как переменная ответа .

Например, предположим, что у нас есть следующий набор данных с весом и ростом семи человек:

Пусть вес будет предикторной переменной, а рост — переменной отклика.

Если мы изобразим эти две переменные с помощью диаграммы рассеяния с весом по оси x и высотой по оси y, вот как это будет выглядеть:

Предположим, нам интересно понять взаимосвязь между весом и ростом. На диаграмме рассеяния мы ясно видим, что по мере увеличения веса рост также имеет тенденцию к увеличению, но для фактической количественной оценки этой взаимосвязи между весом и ростом нам нужно использовать линейную регрессию.

Используя линейную регрессию, мы можем найти линию, которая лучше всего «соответствует» нашим данным. Эта линия известна как линия регрессии наименьших квадратов, и ее можно использовать, чтобы помочь нам понять взаимосвязь между весом и ростом. Обычно вы должны использовать программное обеспечение, такое как Microsoft Excel, SPSS или графический калькулятор, чтобы найти уравнение для этой линии.

Формула линии наилучшего соответствия записывается так:

ŷ = б 0 + б 1 х

где ŷ — прогнозируемое значение переменной отклика, b 0 — точка пересечения с осью y, b 1 — коэффициент регрессии, а x — значение переменной-предиктора.

Связанный: 4 примера использования линейной регрессии в реальной жизни

Поиск «Линии наилучшего соответствия»

Для этого примера мы можем просто подключить наши данные к калькулятору линейной регрессии Statology и нажать « Рассчитать »:

Калькулятор автоматически находит линию регрессии методом наименьших квадратов :

ŷ = 32,7830 + 0,2001x

Если мы уменьшим масштаб нашей диаграммы рассеяния и добавим эту линию на диаграмму, вот как это будет выглядеть:

Обратите внимание, как наши точки данных близко разбросаны вокруг этой линии. Это потому, что эта линия регрессии методом наименьших квадратов лучше всего подходит для наших данных из всех возможных линий, которые мы могли бы нарисовать.

Как интерпретировать линию регрессии методом наименьших квадратов

Вот как интерпретировать эту линию регрессии наименьших квадратов: ŷ = 32,7830 + 0,2001x

б0 = 32,7830.Это означает, что когда предикторная переменная веса равна нулю фунтов, прогнозируемый рост составляет 32,7830 дюйма. Иногда может быть полезно знать значение b 0 , но в этом конкретном примере на самом деле нет смысла интерпретировать b 0 , поскольку человек не может весить ноль фунтов.

б 1 = 0,2001.Это означает, что увеличение x на одну единицу связано с увеличением y на 0,2001 единицы. В этом случае увеличение веса на один фунт связано с увеличением роста на 0,2001 дюйма.

Как использовать линию регрессии наименьших квадратов

Используя эту линию регрессии наименьших квадратов, мы можем ответить на такие вопросы, как:

Какого роста мы ожидаем от человека, который весит 170 фунтов?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем просто подставить 170 в нашу линию регрессии для x и найти y:

ŷ = 32,7830 + 0,2001 (170) = 66,8 дюйма

Какого роста мы ожидаем от человека, который весит 150 фунтов?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем подставить 150 в нашу линию регрессии для x и найти y:

ŷ = 32,7830 + 0,2001 (150) = 62,798 дюйма

Предупреждение. При использовании уравнения регрессии для ответа на подобные вопросы убедитесь, что вы используете только те значения переменной-предиктора, которые находятся в пределах диапазона переменной-предиктора в исходном наборе данных, который мы использовали для создания линии регрессии методом наименьших квадратов. Например, вес в нашем наборе данных варьировался от 140 до 212 фунтов, поэтому имеет смысл отвечать на вопросы о прогнозируемом росте только тогда, когда вес составляет от 140 до 212 фунтов.

Коэффициент детерминации

Одним из способов измерения того, насколько хорошо линия регрессии наименьших квадратов «соответствует» данным, является использование коэффициента детерминации , обозначаемого как R 2 .

Коэффициент детерминации — это доля дисперсии переменной отклика, которая может быть объяснена предикторной переменной.

Коэффициент детерминации может варьироваться от 0 до 1. Значение 0 указывает на то, что переменная отклика вообще не может быть объяснена предикторной переменной. Значение 1 указывает, что переменная отклика может быть полностью объяснена без ошибок с помощью переменной-предиктора.

R 2 между 0 и 1 указывает, насколько хорошо переменная отклика может быть объяснена переменной-предиктором. Например, R 2 , равный 0,2, указывает, что 20% дисперсии переменной отклика можно объяснить переменной-предиктором; R 2 , равное 0,77, указывает, что 77% дисперсии переменной отклика можно объяснить переменной-предиктором.

Обратите внимание, что в нашем предыдущем выводе мы получили значение R2, равное 0,9311 , что указывает на то, что 93,11% изменчивости роста можно объяснить предикторной переменной веса:

Это говорит нам о том, что вес является очень хорошим предиктором роста.

Предположения линейной регрессии

Чтобы результаты модели линейной регрессии были достоверными и надежными, нам необходимо проверить выполнение следующих четырех допущений:

1. Линейная зависимость. Существует линейная зависимость между независимой переменной x и зависимой переменной y.

2. Независимость: Остатки независимы. В частности, нет корреляции между последовательными остатками в данных временных рядов.

3. Гомоскедастичность: остатки имеют постоянную дисперсию на каждом уровне x.

4. Нормальность: остатки модели нормально распределены.

Если одно или несколько из этих предположений нарушаются, то результаты нашей линейной регрессии могут быть ненадежными или даже вводящими в заблуждение.

Обратитесь к этому сообщению для объяснения каждого предположения, как определить, выполняется ли предположение, и что делать, если предположение нарушается.

Источник

Содержание:

Регрессионный анализ:

Регрессионным анализом называется раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования корреляционной зависимости между случайными величинами по результатам наблюдений над ними. Сюда включаются методы выбора модели изучаемой зависимости и оценки ее параметров, методы проверки статистических гипотез о зависимости.

Пусть между случайными величинами X и Y существует линейная корреляционная зависимость. Это означает, что математическое ожидание Y линейно зависит от значений случайной величины X. График этой зависимости (линия регрессии Y на X) имеет уравнение

Линейная модель пригодна в качестве первого приближения и в случае нелинейной корреляции, если рассматривать небольшие интервалы возможных значений случайных величин.

Пусть параметры линии регрессии неизвестны, неизвестна и величина коэффициента корреляции Над случайными величинами X и Y проделано n независимых наблюдений, в результате которых получены n пар значений: Эти результаты могут служить источником информации о неизвестных значениях надо только уметь эту информацию извлечь оттуда.

Неизвестная нам линия регрессии как и всякая линия регрессии, имеет то отличительное свойство, что средний квадрат отклонений значений Y от нее минимален. Поэтому в качестве оценок для можно принять те их значения, при которых имеет минимум функция

Такие значения , согласно необходимым условиям экстремума, находятся из системы уравнений:

Решения этой системы уравнений дают оценки называемые оценками по методу наименьших квадратов.

Известно, что оценки по методу наименьших квадратов являются несмещенными и, более того, среди всех несмещенных оценок обладают наименьшей дисперсией. Для оценки коэффициента корреляции можно воспользоваться тем, что где средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно. Обозначим через оценки этих средних квадратических отклонений на основе опытных данных. Оценки можно найти, например, по формуле (3.1.3). Тогда для коэффициента корреляции имеем оценку

По методу наименьших квадратов можно находить оценки параметров линии регрессии и при нелинейной корреляции. Например, для линии регрессии вида оценки параметров находятся из условия минимума функции

Пример:

По данным наблюдений двух случайных величин найти коэффициент корреляции и уравнение линии регрессии Y на X

Решение. Вычислим величины, необходимые для использования формул (3.7.1)–(3.7.3):

По формулам (3.7.1) и (3.7.2) получим

Итак, оценка линии регрессии имеет вид Так как то по формуле (3.1.3)

Аналогично, Поэтому в качестве оценки коэффициента корреляции имеем по формуле (3.7.3) величину

Ответ.

Пример:

Получена выборка значений величин X и Y

Для представления зависимости между величинами предполагается использовать модель Найти оценки параметров

Решение. Рассмотрим сначала задачу оценки параметров этой модели в общем виде. Линия играет роль линии регрессии и поэтому параметры ее можно найти из условия минимума функции (сумма квадратов отклонений значений Y от линии должна быть минимальной по свойству линии регрессии)

Необходимые условия экстремума приводят к системе из двух уравнений:

Откуда

Решения системы уравнений (3.7.4) и (3.7.5) и будут оценками по методу наименьших квадратов для параметров

На основе опытных данных вычисляем:

В итоге получаем систему уравнений (?????) и (?????) в виде

Эта система имеет решения

Ответ.

Если наблюдений много, то результаты их обычно группируют и представляют в виде корреляционной таблицы.

В этой таблице равно числу наблюдений, для которых X находится в интервале а Y – в интервале Через обозначено число наблюдений, при которых а Y произвольно. Число наблюдений, при которых а X произвольно, обозначено через

Если величины дискретны, то вместо интервалов указывают отдельные значения этих величин. Для непрерывных случайных величин представителем каждого интервала считают его середину и полагают, что и наблюдались раз.

При больших значениях X и Y можно для упрощения вычислений перенести начало координат и изменить масштаб по каждой из осей, а после завершения вычислений вернуться к старому масштабу.

Пример:

Проделано 80 наблюдений случайных величин X и Y. Результаты наблюдений представлены в виде таблицы. Найти линию регрессии Y на X. Оценить коэффициент корреляции.

Решение. Представителем каждого интервала будем считать его середину. Перенесем начало координат и изменим масштаб по каждой оси так, чтобы значения X и Y были удобны для вычислений. Для этого перейдем к новым переменным Значения этих новых переменных указаны соответственно в самой верхней строке и самом левом столбце таблицы.

Чтобы иметь представление о виде линии регрессии, вычислим средние значения при фиксированных значениях :

Нанесем эти значения на координатную плоскость, соединив для наглядности их отрезками прямой (рис. 3.7.1).

По виду полученной ломанной линии можно предположить, что линия регрессии Y на X является прямой. Оценим ее параметры. Для этого сначала вычислим с учетом группировки данных в таблице все величины, необходимые для использования формул (3.31–3.33):

Тогда

В новом масштабе оценка линии регрессии имеет вид График этой прямой линии изображен на рис. 3.7.1.

Для оценки по корреляционной таблице можно воспользоваться формулой (3.1.3):

Подобным же образом можно оценить величиной Тогда оценкой коэффициента корреляции может служить величина

Вернемся к старому масштабу:

Коэффициент корреляции пересчитывать не нужно, так как это величина безразмерная и от масштаба не зависит.

Ответ.

Пусть некоторые физические величины X и Y связаны неизвестной нам функциональной зависимостью Для изучения этой зависимости производят измерения Y при разных значениях X. Измерениям сопутствуют ошибки и поэтому результат каждого измерения случаен. Если систематической ошибки при измерениях нет, то играет роль линии регрессии и все свойства линии регрессии приложимы к . В частности, обычно находят по методу наименьших квадратов.

Регрессионный анализ

Основные положения регрессионного анализа:

Основная задача регрессионного анализа — изучение зависимости между результативным признаком Y и наблюдавшимся признаком X, оценка функции регрессий.

Предпосылки регрессионного анализа:

Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию;
X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
условное математическое ожидание можно представить в виде

Выражение (2.1), как уже упоминалось в п. 1.2, называется функцией регрессии (или модельным уравнением регрессии) Y на X. Оценке в этом выражении подлежат параметры называемые коэффициентами регрессии, а также — остаточная дисперсия.

Остаточной дисперсией называется та часть рассеивания результативного признака, которую нельзя объяснить действием наблюдаемого признака; Остаточная дисперсия может служить для оценки точности подбора вида функции регрессии (модельного уравнения регрессии), полноты набора признаков, включенных в анализ. Оценки параметров функции регрессии находят, используя метод наименьших квадратов.

В данном вопросе рассмотрен линейный регрессионный анализ. Линейным он называется потому, что изучаем лишь те виды зависимостей которые линейны по оцениваемым параметрам, хотя могут быть нелинейны по переменным X. Например, зависимости

линейны относительно параметров хотя вторая и третья зависимости нелинейны относительно переменных х. Вид зависимости выбирают, исходя из визуальной оценки характера расположения точек на поле корреляции; опыта предыдущих исследований; соображений профессионального характера, основанных и знании физической сущности процесса.

Важное место в линейном регрессионном анализе занимает так называемая «нормальная регрессия». Она имеет место, если сделать предположения относительно закона распределения случайной величины Y. Предпосылки «нормальной регрессии»:

Y — независимые случайные величины, имеющие постоянную дисперсию и распределенные по нормальному закону;
X— величины наблюдаемого признака (величины не случайные);
условное математическое ожидание можно представить в виде (2.1).

В этом случае оценки коэффициентов регрессии — несмещённые с минимальной дисперсией и нормальным законом распределения. Из этого положения следует что при «нормальной регрессии» имеется возможность оценить значимость оценок коэффициентов регрессии, а также построить доверительный интервал для коэффициентов регрессии и условного математического ожидания M(YX=x).

Линейная регрессия

Рассмотрим простейший случай регрессионного анализа — модель вида (2.1), когда зависимость линейна и по оцениваемым параметрам, и

по переменным. Оценки параметров модели (2.1) обозначил Оценку остаточной дисперсии обозначим Подставив в формулу (2.1) вместо параметров их оценки, получим уравнение регрессии коэффициенты которого находят из условия минимума суммы квадратов отклонений измеренных значений результативного признака от вычисленных по уравнению регрессии

Составим систему нормальных уравнений: первое уравнение

откуда

второе уравнение

откуда

Итак,

Оценки, полученные по способу наименьших квадратов, обладают минимальной дисперсией в классе линейных оценок. Решая систему (2.2) относительно найдём оценки параметров

Остаётся получить оценку параметра . Имеем

где т — количество наблюдений.

Еслит велико, то для упрощения расчётов наблюдавшиеся данные принята группировать, т.е. строить корреляционную таблицу. Пример построения такой таблицы приведен в п. 1.5. Формулы для нахождения коэффициентов регрессии по сгруппированным данным те же, что и для расчёта по несгруппированным данным, но суммызаменяют на

где — частоты повторений соответствующих значений переменных. В дальнейшем часто используется этот наглядный приём вычислений.

Нелинейная регрессия

Рассмотрим случай, когда зависимость нелинейна по переменным х, например модель вида

На рис. 2.1 изображено поле корреляции. Очевидно, что зависимость между Y и X нелинейная и её графическим изображением является не прямая, а кривая. Оценкой выражения (2.6) является уравнение регрессии

где —оценки коэффициентов регрессии

Принцип нахождения коэффициентов тот же — метод наименьших квадратов, т.е.

или

Дифференцируя последнее равенство по и приравнивая правые части нулю, получаем так называемую систему нормальных уравнений:

В общем случае нелинейной зависимости между переменными Y и X связь может выражаться многочленом k-й степени от x:

Коэффициенты регрессии определяют по принципу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид

Вычислив коэффициенты системы, её можно решить любым известным способом.

Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальная оценка коэффициентов регрессии

Проверить значимость оценок коэффициентов регрессии — значит установить, достаточна ли величина оценки для статистически обоснованного вывода о том, что коэффициент регрессии отличен от нуля. Для этого проверяют гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии, соблюдая предпосылки «нормальной регрессии». В этом случае вычисляемая для проверки нулевой гипотезы статистика

имеет распределение Стьюдента с к= n-2 степенями свободы (b — оценка коэффициента регрессии, — оценка среднеквадратического отклонения

коэффициента регрессии, иначе стандартная ошибка оценки). По уровню значимости а и числу степеней свободы к находят по таблицам распределения Стьюдента (см. табл. 1 приложений) критическое значение удовлетворяющее условию то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают, коэффициент считают значимым. Принет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Оценки среднеквадратического отклонения коэффициентов регрессии вычисляют по следующим формулам:

где — оценка остаточной дисперсии, вычисляемая по
формуле (2.5).

Доверительный интервал для значимых параметров строят по обычной схеме. Из условия

где а — уровень значимости, находим

Интервальная оценка для условного математического ожидания

Линия регрессии характеризует изменение условного математического ожидания результативного признака от вариации остальных признаков.

Точечной оценкой условного математического ожидания является условное среднее Кроме точечной оценки для можно
построить доверительный интервал в точке

Известно, что имеет распределение
Стьюдента с k=n—2 степенями свободы. Найдя оценку среднеквадратического отклонения для условного среднего, можно построить доверительный интервал для условного математического ожидания

Оценку дисперсии условного среднего вычисляют по формуле

или для интервального ряда

Доверительный интервал находят из условия

где а — уровень значимости. Отсюда

Доверительный интервал для условного математического ожидания можно изобразить графически (рис, 2.2).

Из рис. 2.2 видно, что в точке границы интервала наиболее близки друг другу. Расположение границ доверительного интервала показывает, что прогнозы по уравнению регрессии, хороши только в случае, если значение х не выходит за пределы выборки, по которой вычислено уравнение регрессии; иными словами, экстраполяция по уравнению регрессии может привести к значительным погрешностям.

Проверка значимости уравнения регрессии

Оценить значимость уравнения регрессии — значит установить, соответствует ли математическая, модель, выражающая зависимость между Y и X, экспериментальным данным. Для оценки значимости в предпосылках «нормальной регрессии» проверяют гипотезу Если она отвергается, то считают, что между Y и X нет связи (или связь нелинейная). Для проверки нулевой гипотезы используют основное положение дисперсионного анализа о разбиении суммы квадратов на слагаемые. Воспользуемся разложением – Общая сумма квадратов отклонений результативного признака

разлагается на (сумму, характеризующую влияние признака

X) и (остаточную сумму квадратов, характеризующую влияние неучтённых факторов). Очевидно, чем меньше влияние неучтённых факторов, тем лучше математическая модель соответствует экспериментальным данным, так как вариация У в основном объясняется влиянием признака X.

Для проверки нулевой гипотезы вычисляют статистику которая имеет распределение Фишера-Снедекора с А степенями свободы (в п – число наблюдений). По уровню значимости а и числу степеней свободы находят по таблицам F-распределение для уровня значимости а=0,05 (см. табл. 3 приложений) критическое значение удовлетворяющее условию . Если нулевую гипотезу отвергают, уравнение считают значимым. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Многомерный регрессионный анализ

В случае, если изменения результативного признака определяются действием совокупности других признаков, имеет место многомерный регрессионный анализ. Пусть результативный признак У, а независимые признаки Для многомерного случая предпосылки регрессионного анализа можно сформулировать следующим образом: У -независимые случайные величины со средним и постоянной дисперсией — линейно независимые векторы . Все положения, изложенные в п.2.1, справедливы для многомерного случая. Рассмотрим модель вида

Оценке подлежат параметры и остаточная дисперсия.

Заменив параметры их оценками, запишем уравнение регрессии

Коэффициенты в этом выражении находят методом наименьших квадратов.

Исходными данными для вычисления коэффициентов является выборка из многомерной совокупности, представляемая обычно в виде матрицы X и вектора Y:

Как и в двумерном случае, составляют систему нормальных уравнений

которую можно решить любым способом, известным из линейной алгебры. Рассмотрим один из них — способ обратной матрицы. Предварительно преобразуем систему уравнений. Выразим из первого уравнения значение через остальные параметры:

Подставим в остальные уравнения системы вместо полученное выражение:

Пусть С — матрица коэффициентов при неизвестных параметрах — матрица, обратная матрице С; — элемент, стоящий на пересечении i-Й строки и i-го столбца матрицы — выражение
. Тогда, используя формулы линейной алгебры,

запишем окончательные выражения для параметров:

Оценкой остаточной дисперсии является

где — измеренное значение результативного признака; значение результативного признака, вычисленное по уравнению регрессий.

Если выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, то, аналогично изложенному в п. 2.4, можно проверить значимость оценок коэффициентов регрессии, только в данном случае статистику вычисляют для каждого j-го коэффициента регрессии

где —элемент обратной матрицы, стоящий на пересечении i-й строки и j-
го столбца; —диагональный элемент обратной матрицы.

При заданном уровне значимости а и числе степеней свободы к=n— m—1 по табл. 1 приложений находят критическое значение Если то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают. Оценку коэффициента считают значимой. Такую проверку производят последовательно для каждого коэффициента регрессии. Если то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, оценку коэффициента регрессии считают незначимой.

Для значимых коэффициентов регрессии целесообразно построить доверительные интервалы по формуле (2.10). Для оценки значимости уравнения регрессии следует проверить нулевую гипотезу о том, что все коэффициенты регрессии (кроме свободного члена) равны нулю: — вектор коэффициентов регрессии). Нулевую гипотезу проверяют, так же как и в п. 2.6, с помощью статистики , где — сумма квадратов, характеризующая влияние признаков X; — остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтённых факторов; Для уровня значимости а и числа степеней свободы по табл. 3 приложений находят критическое значение Если то нулевую гипотезу об одновременном равенстве нулю коэффициентов регрессии отвергают. Уравнение регрессии считают значимым. При нет оснований отвергать нулевую гипотезу, уравнение регрессии считают незначимым.

Факторный анализ

Основные положения. В последнее время всё более широкое распространение находит один из новых разделов многомерного статистического анализа — факторный анализ. Первоначально этот метод

разрабатывался для объяснения многообразия корреляций между исходными параметрами. Действительно, результатом корреляционного анализа является матрица коэффициентов корреляций. При малом числе параметров можно произвести визуальный анализ этой матрицы. С ростом числа параметра (10 и более) визуальный анализ не даёт положительных результатов. Оказалось, что всё многообразие корреляционных связей можно объяснить действием нескольких обобщённых факторов, являющихся функциями исследуемых параметров, причём сами обобщённые факторы при этом могут быть и неизвестны, однако их можно выразить через исследуемые параметры.

Один из основоположников факторного анализа Л. Терстоун приводит такой пример: несколько сотен мальчиков выполняют 20 разнообразных гимнастических упражнений. Каждое упражнение оценивают баллами. Можно рассчитать матрицу корреляций между 20 упражнениями. Это большая матрица размером 20><20. Изучая такую матрицу, трудно уловить закономерность связей между упражнениями. Нельзя ли объяснить скрытую в таблице закономерность действием каких-либо обобщённых факторов, которые в результате эксперимента непосредственно, не оценивались? Оказалось, что обо всех коэффициентах корреляции можно судить по трём обобщённым факторам, которые и определяют успех выполнения всех 20 гимнастических упражнений: чувство равновесия, усилие правого плеча, быстрота движения тела.

Дальнейшие разработки факторного анализа доказали, что этот метод может быть с успехом применён в задачах группировки и классификации объектов. Факторный анализ позволяет группировать объекты со сходными сочетаниями признаков и группировать признаки с общим характером изменения от объекта к объекту. Действительно, выделенные обобщённые факторы можно использовать как критерии при классификации мальчиков по способностям к отдельным группам гимнастических упражнений.

Методы факторного анализа находят применение в психологии и экономике, социологии и экономической географии. Факторы, выраженные через исходные параметры, как правило, легко интерпретировать как некоторые существенные внутренние характеристики объектов.

Факторный анализ может быть использован и как самостоятельный метод исследования, и вместе с другими методами многомерного анализа, например в сочетании с регрессионным анализом. В этом случае для набора зависимых переменных наводят обобщённые факторы, которые потом входят в регрессионный анализ в качестве переменных. Такой подход позволяет сократить число переменных в регрессионном анализе, устранить коррелированность переменных, уменьшить влияние ошибок и в случае ортогональности выделенных факторов значительно упростить оценку значимости переменных.

Представление, информации в факторном анализе

Для проведения факторного анализа информация должна быть представлена в виде двумерной таблицы чисел размерностью аналогичной приведенной в п. 2.7 (матрица исходных данных). Строки этой матрицы должны соответствовать объектам наблюдений столбцы — признакамтаким образом, каждый признак является как бы статистическим рядом, в котором наблюдения варьируют от объекта к объекту. Признаки, характеризующие объект наблюдения, как правило, имеют различную размерность. Чтобы устранить влияние размерности и обеспечить сопоставимость признаков, матрицу исходных данных обычно нормируют, вводя единый масштаб. Самым распространенным видом нормировки является стандартизация. От переменных переходят к переменным В дальнейшем, говоря о матрице исходных переменных, всегда будем иметь в виду стандартизованную матрицу.

Основная модель факторного анализа. Основная модель факторного анализа имеет вид

где -j-й признак (величина случайная); — общие факторы (величины случайные, имеющие нормальный закон распределения); — характерный фактор; — факторные нагрузки, характеризующие существенность влияния каждого фактора (параметры модели, подлежащие определению); — нагрузка характерного фактора.

Модель предполагает, что каждый из j признаков, входящих в исследуемый набор и заданных в стандартной форме, может быть представлен в виде линейной комбинации небольшого числа общих факторов и характерного фактора

Термин «общий фактор» подчёркивает, что каждый такой фактор имеет существенное значение для анализа всех признаков, т.е.

Термин «характерный фактор» показывает, что он относится только к данному j-му признаку. Это специфика признака, которая не может быть, выражена через факторы

Факторные нагрузки . характеризуют величину влияния того или иного общего фактора в вариации данного признака. Основная задача факторного анализа — определение факторных нагрузок. Факторная модель относится к классу аппроксимационных. Параметры модели должны быть выбраны так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать корреляции между наблюдаемыми признаками.

Для j-го признака и i-го объекта модель (2.19) можно записать в. виде

где значение k-го фактора для i-го объекта.

Дисперсию признака можно разложить на составляющие: часть, обусловленную действием общих факторов, — общность и часть, обусловленную действием j-го характера фактора, характерность Все переменные представлены в стандартизированном виде, поэтому дисперсий у-го признака Дисперсия признака может быть выражена через факторы и в конечном счёте через факторные нагрузки.

Если общие и характерные факторы не коррелируют между собой, то дисперсию j-го признака можно представить в виде

где —доля дисперсии признака приходящаяся на k-й фактор.

Полный вклад k-го фактора в суммарную дисперсию признаков

Вклад общих факторов в суммарную дисперсию

Факторное отображение

Используя модель (2.19), запишем выражения для каждого из параметров:

Коэффициенты системы (2,21) — факторные нагрузки — можно представить в виде матрицы, каждая строка которой соответствует параметру, а столбец — фактору.

Факторный анализ позволяет получить не только матрицу отображений, но и коэффициенты корреляции между параметрами и

факторами, что является важной характеристикой качества факторной модели. Таблица таких коэффициентов корреляции называется факторной структурой или просто структурой.

Коэффициенты отображения можно выразить через выборочные парные коэффициенты корреляции. На этом основаны методы вычисления факторного отображения.

Рассмотрим связь между элементами структуры и коэффициентами отображения. Для этого, учитывая выражение (2.19) и определение выборочного коэффициента корреляции, умножим уравнения системы (2.21) на соответствующие факторы, произведём суммирование по всем n наблюдениям и, разделив на n, получим следующую систему уравнений:

где — выборочный коэффициент корреляции между j-м параметром и к-
м фактором; — коэффициент корреляции между к-м и р-м факторами.

Если предположить, что общие факторы между собой, не коррелированы, то уравнения (2.22) можно записать в виде

, т.е. коэффициенты отображения равны
элементам структуры.

Введём понятие, остаточного коэффициента корреляции и остаточной корреляционной матрицы. Исходной информацией для построения факторной модели (2.19) служит матрица выборочных парных коэффициентов корреляции. Используя построенную факторную модель, можно снова вычислить коэффициенты корреляции между признаками и сравнись их с исходными Коэффициентами корреляции. Разница между ними и есть остаточный коэффициент корреляции.

В случае независимости факторов имеют место совсем простые выражения для вычисляемых коэффициентов корреляции между параметрами: для их вычисления достаточно взять сумму произведений коэффициентов отображения, соответствующих наблюдавшимся признакам:
где —вычисленный по отображению коэффициент корреляции между j-м
и к-м признаком. Остаточный коэффициент корреляции

Матрица остаточных коэффициентов корреляции называется остаточной матрицей или матрицей остатков

где — матрица остатков; R — матрица выборочных парных коэффициентов корреляции, или полная матрица; R’— матрица вычисленных по отображению коэффициентов корреляции.

Результаты факторного анализа удобно представить в виде табл. 2.10.

Здесь суммы квадратов нагрузок по строкам — общности параметров, а суммы квадратов нагрузок по столбцам — вклады факторов в суммарную дисперсию параметров. Имеет место соотношение

Определение факторных нагрузок

Матрицу факторных нагрузок можно получить различными способами. В настоящее время наибольшее распространение получил метод главных факторов. Этот метод основан на принципе последовательных приближений и позволяет достичь любой точности. Метод главных факторов предполагает использование ЭВМ. Существуют хорошие алгоритмы и программы, реализующие все вычислительные процедуры.

Введём понятие редуцированной корреляционной матрицы или просто редуцированной матрицы. Редуцированной называется матрица выборочных коэффициентов корреляции у которой на главной диагонали стоят значения общностей :

Редуцированная и полная матрицы связаны соотношением

где D — матрица характерностей.

Общности, как правило, неизвестны, и нахождение их в факторном анализе представляет серьезную проблему. Вначале определяют (хотя бы приближённо) число общих факторов, совокупность, которых может с достаточной точностью аппроксимировать все взаимосвязи выборочной корреляционной матрицы. Доказано, что число общих факторов (общностей) равно рангу редуцированной матрицы, а при известном ранге можно по выборочной корреляционной матрице найти оценки общностей. Числа общих факторов можно определить априори, исходя из физической природы эксперимента. Затем рассчитывают матрицу факторных нагрузок. Такая матрица, рассчитанная методом главных факторов, обладает одним интересным свойством: сумма произведений каждой пары её столбцов равна нулю, т.е. факторы попарно ортогональны.

Сама процедура нахождения факторных нагрузок, т.е. матрицы А, состоит из нескольких шагов и заключается в следующем: на первом шаге ищут коэффициенты факторных нагрузок при первом факторе так, чтобы сумма вкладов данного фактора в суммарную общность была максимальной:

Максимум должен быть найден при условии

где —общностьпараметра

Затем рассчитывают матрицу коэффициентов корреляции с учётом только первого фактора Имея эту матрицу, получают первую матрицу остатков:

На втором шаге определяют коэффициенты нагрузок при втором факторе так, чтобы сумма вкладов второго фактора в остаточную общность (т.е. полную общность без учёта той части, которая приходится на долю первого фактора) была максимальной. Сумма квадратов нагрузок при втором факторе

Максимум находят из условия

где — коэффициент корреляции из первой матрицы остатков; — факторные нагрузки с учётом второго фактора. Затем рассчитыва коэффициентов корреляций с учётом второго фактора и вычисляют вторую матрицу остатков:

Факторный анализ учитывает суммарную общность. Исходная суммарная общность Итерационный процесс выделения факторов заканчивают, когда учтённая выделенными факторами суммарная общность отличается от исходной суммарной общности меньше чем на — наперёд заданное малое число).

Адекватность факторной модели оценивается по матрице остатков (если величины её коэффициентов малы, то модель считают адекватной).

Такова последовательность шагов для нахождения факторных нагрузок. Для нахождения максимума функции (2.24) при условии (2.25) используют метод множителей Лагранжа, который приводит к системе т уравнений относительно m неизвестных

Метод главных компонент

Разновидностью метода главных факторов является метод главных компонент или компонентный анализ, который реализует модель вида

где m — количество параметров (признаков).

Каждый из наблюдаемых, параметров линейно зависит от m не коррелированных между собой новых компонент (факторов) По сравнению с моделью факторного анализа (2.19) в модели (2.28) отсутствует характерный фактор, т.е. считается, что вся вариация параметра может быть объяснена только действием общих или главных факторов. В случае компонентного анализа исходной является матрица коэффициентов корреляции, где на главной диагонали стоят единицы. Результатом компонентного анализа, так же как и факторного, является матрица факторных нагрузок. Поиск факторного решения — это ортогональное преобразование матрицы исходных переменных, в результате которого каждый параметр может быть представлен линейной комбинацией найденных m факторов, которые называют главными компонентами. Главные компоненты легко выражаются через наблюдённые параметры.

Если для дальнейшего анализа оставить все найденные т компонент, то тем самым будет использована вся информация, заложенная в корреляционной матрице. Однако это неудобно и нецелесообразно. На практике обычно оставляют небольшое число компонент, причём количество их определяется долей суммарной дисперсии, учитываемой этими компонентами. Существуют различные критерии для оценки числа оставляемых компонент; чаще всего используют следующий простой критерий: оставляют столько компонент, чтобы суммарная дисперсия, учитываемая ими, составляла заранее установленное число процентов. Первая из компонент должна учитывать максимум суммарной дисперсии параметров; вторая — не коррелировать с первой и учитывать максимум оставшейся дисперсии и так до тех пор, пока вся дисперсия не будет учтена. Сумма учтённых всеми компонентами дисперсий равна сумме дисперсий исходных параметров. Математический аппарат компонентного анализа полностью совпадает с аппаратом метода главных факторов. Отличие только в исходной матрице корреляций.

Компонента (или фактор) через исходные переменные выражается следующим образом:

где — элементы факторного решения:— исходные переменные; .— k-е собственное значение; р — количество оставленных главных
компонент.

Для иллюстрации возможностей факторного анализа покажем, как, используя метод главных компонент, можно сократить размерность пространства независимых переменных, перейдя от взаимно коррелированных параметров к независимым факторам, число которых р

Следует особо остановиться на интерпретации результатов, т.е. на смысловой стороне факторного анализа. Собственно факторный анализ состоит из двух важных этапов; аппроксимации корреляционной матрицы и интерпретации результатов. Аппроксимировать корреляционную матрицу, т.е. объяснить корреляцию между параметрами действием каких-либо общих для них факторов, и выделить сильно коррелирующие группы параметров достаточно просто: из корреляционной матрицы одним из методов

факторного анализа непосредственно получают матрицу нагрузок — факторное решение, которое называют прямым факторным решением. Однако часто это решение не удовлетворяет исследователей. Они хотят интерпретировать фактор как скрытый, но существенный параметр, поведение которого определяет поведение некоторой своей группы наблюдаемых параметров, в то время как, поведение других параметров определяется поведением других факторов. Для этого у каждого параметра должна быть наибольшая по модулю факторная нагрузка с одним общим фактором. Прямое решение следует преобразовать, что равносильно повороту осей общих факторов. Такие преобразования называют вращениями, в итоге получают косвенное факторное решение, которое и является результатом факторного анализа.

Приложения

Значение t – распределения Стьюдента

Понятие о регрессионном анализе. Линейная выборочная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

Основные задачи регрессионного анализа:

Вычисление выборочных коэффициентов регрессии
Проверка значимости коэффициентов регрессии
Проверка адекватности модели
Выбор лучшей регрессии
Вычисление стандартных ошибок, анализ остатков

Построение простой регрессии по экспериментальным данным.

Предположим, что случайные величины связаны линейной корреляционной зависимостью для отыскания которой проведено независимых измерений

Диаграмма рассеяния (разброса, рассеивания)

– координаты экспериментальных точек.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии имеет вид

Задача: подобрать таким образом, чтобы экспериментальные точки как можно ближе лежали к прямой

Для того, что бы провести прямую воспользуемся МНК. Потребуем,

чтобы

Постулаты регрессионного анализа, которые должны выполняться при использовании МНК.

подчинены нормальному закону распределения.
Дисперсия постоянна и не зависит от номера измерения.
Результаты наблюдений в разных точках независимы.
Входные переменные независимы, неслучайны и измеряются без ошибок.

Введем функцию ошибок и найдём её минимальное значение

Решив систему, получим искомые значения

является несмещенными оценками истинных значений коэффициентов

где

несмещенная оценка корреляционного момента (ковариации),
несмещенная оценка дисперсии

выборочная ковариация,

выборочная дисперсия

– выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент детерминации

– наблюдаемое экспериментальное значение при

– предсказанное значение удовлетворяющее уравнению регрессии

– средневыборочное значение

– коэффициент детерминации, доля изменчивости объясняемая рассматриваемой регрессионной моделью. Для парной линейной регрессии

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем сильнее зависимость. При оценке регрессионных моделей это используется для доказательства адекватности модели (качества регрессии). Для приемлемых моделей предполагается, что коэффициент детерминации должен быть хотя бы не меньше 0,5 (в этом случае коэффициент множественной корреляции превышает по модулю 0,7). Модели с коэффициентом детерминации выше 0,8 можно признать достаточно хорошими (коэффициент корреляции превышает 0,9). Подтверждение адекватности модели проводится на основе дисперсионного анализа путем проверки гипотезы о значимости коэффициента детерминации.

регрессия незначима

регрессия значима

– уровень значимости

– статистический критерий

Критическая область – правосторонняя;

Если то нулевая гипотеза отвергается на заданном уровне значимости, следовательно, коэффициент детерминации значим, следовательно, регрессия адекватна.

Мощность статистического критерия. Функция мощности

Определение. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Задача: построить критическую область таким образом, чтобы мощность критерия была максимальной.

Определение. Наилучшей критической областью (НКО) называют критическую область, которая обеспечивает минимальную ошибку второго рода

Пример:

По паспортным данным автомобиля расход топлива на 100 километров составляет 10 литров. В результате измерения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки были проведены испытания 25 автомобилей с модернизированным двигателем; выборочная средняя расхода топлива по результатам испытаний составила 9,3 литра. Предполагая, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием и дисперсией проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

3) Уровень значимости

4) Статистический критерий

5) Критическая область – левосторонняя

следовательно отвергается на уровне значимости

Пример:

В условиях примера 1 предположим, что наряду с рассматривается конкурирующая гипотеза а критическая область задана неравенством Найти вероятность ошибок I рода и II рода.

автомобилей имеют меньший расход топлива)

автомобилей, имеющих расход топлива 9л на 100 км, классифицируются как автомобили, имеющие расход 10 литров).

Определение. Пусть проверяется – критическая область критерия с заданным уровнем значимости Функцией мощности критерия называется вероятность отклонения как функция параметра т.е.

– ошибка 1-ого рода

– мощность критерия

Пример:

Построить график функции мощности из примера 2 для

попадает в критическую область.

Пример:

Какой минимальный объем выборки следует взять в условии примера 2 для того, чтобы обеспечить

Лемма Неймана-Пирсона.

При проверке простой гипотезы против простой альтернативной гипотезы наилучшая критическая область (НКО) критерия заданного уровня значимости состоит из точек выборочного пространства (выборок объема для которых справедливо неравенство:

– константа, зависящая от

– элементы выборки;

– функция правдоподобия при условии, что соответствующая гипотеза верна.

Пример:

Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами известно. Найти НКО для проверки против причем

Решение:

Ошибка первого рода:

НКО:

Пример:

Для зависимости заданной корреляционной табл. 13, найти оценки параметров уравнения линейной регрессии остаточную дисперсию; выяснить значимость уравнения регрессии при

Решение. Воспользуемся предыдущими результатами

Согласно формуле (24), уравнение регрессии будет иметь вид тогда

Для выяснения значимости уравнения регрессии вычислим суммы Составим расчетную таблицу:

Из (27) и (28) по данным таблицы получим

по табл. П7 находим

Вычислим статистику

Так как то уравнение регрессии значимо. Остаточная дисперсия равна

Корреляционный анализ
Статистические решающие функции
Случайные процессы
Выборочный метод
Проверка гипотезы о равенстве вероятностей
Доверительный интервал для математического ожидания
Доверительный интервал для дисперсии
Проверка статистических гипотез

Источник

Линейная регрессия применяется для анализа данных и в машинном обучении. Постройте свою модель на Python и получите первые результаты!

Что такое регрессия?

Регрессия ищет отношения между переменными.

Для примера можно взять сотрудников какой-нибудь компании и понять, как значение зарплаты зависит от других данных, таких как опыт работы, уровень образования, роль, город, в котором они работают, и так далее.

Регрессия решает проблему единого представления данных анализа для каждого работника. Причём опыт, образование, роль и город – это независимые переменные при зависимой от них зарплате.

Таким же способом можно установить математическую зависимость между ценами домов в определённой области, количеством комнат, расстоянием от центра и т. д.

Регрессия рассматривает некоторое явление и ряд наблюдений. Каждое наблюдение имеет две и более переменных. Предполагая, что одна переменная зависит от других, вы пытаетесь построить отношения между ними.

Другими словами, вам нужно найти функцию, которая отображает зависимость одних переменных или данных от других.

Зависимые данные называются зависимыми переменными, выходами или ответами.

Независимые данные называются независимыми переменными, входами или предсказателями.

Обычно в регрессии присутствует одна непрерывная и неограниченная зависимая переменная. Входные переменные могут быть неограниченными, дискретными или категорическими данными, такими как пол, национальность, бренд, etc.

Общей практикой является обозначение данных на выходе – ?, входных данных – ?. В случае с двумя или более независимыми переменными, их можно представить в виде вектора ? = (?₁, …, ?ᵣ), где ? – количество входных переменных.

Когда вам нужна регрессия?

Регрессия полезна для прогнозирования ответа на новые условия. Можно угадать потребление электроэнергии в жилом доме из данных температуры, времени суток и количества жильцов.

Где она вообще нужна?

Регрессия используется во многих отраслях: экономика, компьютерные и социальные науки, прочее. Её важность растёт с доступностью больших данных.

Линейная регрессия

Линейная регрессия – одна из важнейших и широко используемых техник регрессии. Эта самый простой метод регрессии. Одним из его достоинств является лёгкость интерпретации результатов.

Постановка проблемы

Линейная регрессия некоторой зависимой переменной y на набор независимых переменных x = (x₁, …, xᵣ), где r – это число предсказателей, предполагает, что линейное отношение между y и x: y = 𝛽₀ + 𝛽₁x₁ + ⋯ + 𝛽ᵣxᵣ + 𝜀. Это уравнение регрессии. 𝛽₀, 𝛽₁, …, 𝛽ᵣ – коэффициенты регрессии, и 𝜀 – случайная ошибка.

Линейная регрессия вычисляет оценочные функции коэффициентов регрессии или просто прогнозируемые весы измерения, обозначаемые как b₀, b₁, …, bᵣ. Они определяют оценочную функцию регрессии f(x) = b₀ + b₁x₁ + ⋯ + bᵣxᵣ. Эта функция захватывает зависимости между входами и выходом достаточно хорошо.

Для каждого результата наблюдения i = 1, …, n, оценочный или предсказанный ответ f(xᵢ) должен быть как можно ближе к соответствующему фактическому ответу yᵢ. Разницы yᵢ − f(xᵢ) для всех результатов наблюдений называются остатками. Регрессия определяет лучшие прогнозируемые весы измерения, которые соответствуют наименьшим остаткам.

Для получения лучших весов, вам нужно минимизировать сумму остаточных квадратов (SSR) для всех результатов наблюдений: SSR = Σᵢ(yᵢ − f(xᵢ))². Этот подход называется методом наименьших квадратов.

Простая линейная регрессия

Простая или одномерная линейная регрессия – случай линейной регрессии с единственной независимой переменной x.

А вот и она:

Реализация простой линейной регрессии начинается с заданным набором пар (зелёные круги) входов-выходов (x-y). Эти пары – результаты наблюдений. Наблюдение, крайнее слева (зелёный круг) имеет на входе x = 5 и соответствующий выход (ответ) y = 5. Следующее наблюдение имеет x = 15 и y = 20, и так далее.

Оценочная функция регрессии (чёрная линия) выражается уравнением f(x) = b₀ + b₁x. Нужно рассчитать оптимальные значения спрогнозированных весов b₀ и b₁ для минимизации SSR и определить оценочную функцию регрессии. Величина b₀, также называемая отрезком, показывает точку, где расчётная линия регрессии пересекает ось y. Это значение расчётного ответа f(x) для x = 0. Величина b₁ определяет наклон расчетной линии регрессии.

Предсказанные ответы (красные квадраты) – точки линии регрессии, соответствующие входным значениям. Для входа x = 5 предсказанный ответ равен f(5) = 8.33 (представленный крайним левыми квадратом).

Остатки (вертикальные пунктирные серые линии) могут быть вычислены как yᵢ − f(xᵢ) = yᵢ − b₀ − b₁xᵢ для i = 1, …, n. Они представляют собой расстояния между зелёными и красными пунктами. При реализации линейной регрессии вы минимизируете эти расстояния и делаете красные квадраты как можно ближе к предопределённым зелёным кругам.

Пришло время реализовать линейную регрессию в Python. Всё, что вам нужно, – подходящие пакеты, функции и классы.

Пакеты Python для линейной регрессии

NumPy – фундаментальный научный пакет для быстрых операций над одномерными и многомерными массивами. Он облегчает математическую рутину и, конечно, находится в open-source.

Незнакомы с NumPy? Начните с официального гайда.

Пакет scikit-learn – это библиотека, широко используемая в машинном обучении. Она предоставляет значения для данных предварительной обработки, уменьшает размерность, реализует регрессию, классификацию, кластеризацию и т. д. Находится в open-source, как и NumPy.

Начните знакомство с линейными моделями и работой пакета на сайте scikit-learn.

Простая линейная регрессия со scikit-learn

Начнём с простейшего случая линейной регрессии.

Следуйте пяти шагам реализации линейной регрессии:

Импортируйте необходимые пакеты и классы.
Предоставьте данные для работы и преобразования.
Создайте модель регрессии и приспособьте к существующим данным.
Проверьте результаты совмещения и удовлетворительность модели.
Примените модель для прогнозов.

Это общие шаги для большинства подходов и реализаций регрессии.

Шаг 1: Импортируйте пакеты и классы

Первым шагом импортируем пакет NumPy и класс LinearRegressionиз sklearn.linear_model:

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

Теперь у вас есть весь функционал для реализации линейной регрессии.

Фундаментальный тип данных NumPy – это тип массива numpy.ndarray. Далее под массивом подразумеваются все экземпляры типа numpy.ndarray.

Класс sklearn.linear_model.LinearRegression используем для линейной регрессии и прогнозов.

Шаг 2 : Предоставьте данные

Вторым шагом определите данные, с которыми предстоит работать. Входы (регрессоры, x) и выход (предиктор, y) должны быть массивами (экземпляры класса numpy.ndarray) или похожими объектами. Вот простейший способ предоставления данных регрессии:

x = np.array([5, 15, 25, 35, 45, 55]).reshape((-1, 1))
y = np.array([5, 20, 14, 32, 22, 38])

Теперь у вас два массива: вход x и выход y. Вам нужно вызвать .reshape()на x, потому что этот массив должен быть двумерным или более точным – иметь одну колонку и необходимое количество рядов. Это как раз то, что определяет аргумент (-1, 1).

Вот как x и y выглядят теперь:

>>> print(x)
[[ 5]
 [15]
 [25]
 [35]
 [45]
 [55]]
>>> print(y)
[ 5 20 14 32 22 38]

Шаг 3: Создайте модель

На этом шаге создайте и приспособьте модель линейной регрессии к существующим данным.

Давайте сделаем экземпляр класса LinearRegression, который представит модель регрессии:

model = LinearRegression()

Эта операция создаёт переменную model в качестве экземпляра LinearRegression. Вы можете предоставить несколько опциональных параметров классу LinearRegression:

fit_intercept – логический (True по умолчанию) параметр, который решает, вычислять отрезок b₀ (True) или рассматривать его как равный нулю (False).
normalize – логический (False по умолчанию) параметр, который решает, нормализовать входные переменные (True) или нет (False).
copy_X – логический (True по умолчанию) параметр, который решает, копировать (True) или перезаписывать входные переменные (False).
n_jobs – целое или None (по умолчанию), представляющее количество процессов, задействованных в параллельных вычислениях. None означает отсутствие процессов, при -1 используются все доступные процессоры.

Наш пример использует состояния параметров по умолчанию.

Пришло время задействовать model. Сначала вызовите .fit() на model:

model.fit(x, y)

С помощью .fit() вычисляются оптимальные значение весов b₀ и b₁, используя существующие вход и выход (x и y) в качестве аргументов. Другими словами, .fit() совмещает модель. Она возвращает self – переменную model. Поэтому можно заменить две последние операции на:

model = LinearRegression().fit(x, y)

Эта операция короче и делает то же, что и две предыдущие.

Шаг 4: Получите результаты

После совмещения модели нужно убедиться в удовлетворительности результатов для интерпретации.

Вы можете получить определения (R²) с помощью .score(), вызванной на model:

>>> r_sq = model.score(x, y)
>>> print('coefficient of determination:', r_sq)
coefficient of determination: 0.715875613747954

.score() принимает в качестве аргументов предсказатель x и регрессор y, и возвращает значение R².

model содержит атрибуты .intercept_, который представляет собой коэффициент, и b₀ с .coef_, которые представляют b₁:

>>> print('intercept:', model.intercept_)
intercept: 5.633333333333329
>>> print('slope:', model.coef_)
slope: [0.54]

Код выше показывает, как получить b₀ и b₁. Заметьте, что .intercept_ – это скаляр, в то время как .coef_ – массив.

Примерное значение b₀ = 5.63 показывает, что ваша модель предсказывает ответ 5.63 при x, равном нулю. Равенство b₁ = 0.54 означает, что предсказанный ответ возрастает до 0.54 при x, увеличенным на единицу.

Заметьте, что вы можете предоставить y как двумерный массив. Тогда результаты не будут отличаться:

>>> new_model = LinearRegression().fit(x, y.reshape((-1, 1)))
>>> print('intercept:', new_model.intercept_)
intercept: [5.63333333]
>>> print('slope:', new_model.coef_)
slope: [[0.54]]

Как вы видите, пример похож на предыдущий, но в данном случае .intercept_ – одномерный массив с единственным элементом b₀, и .coef_ – двумерный массив с единственным элементом b₁.

Шаг 5: Предскажите ответ

Когда вас устроит ваша модель, вы можете использовать её для прогнозов с текущими или другими данными.

Получите предсказанный ответ, используя .predict():

>>> y_pred = model.predict(x)
>>> print('predicted response:', y_pred, sep='n')
predicted response:
[ 8.33333333 13.73333333 19.13333333 24.53333333 29.93333333 35.33333333]

Применяя .predict(), вы передаёте регрессор в качестве аргумента и получаете соответствующий предсказанный ответ.

Вот почти идентичный способ предсказать ответ:

>>> y_pred = model.intercept_ + model.coef_ * x
>>> print('predicted response:', y_pred, sep='n')
predicted response:
[[ 8.33333333]
 [13.73333333]
 [19.13333333]
 [24.53333333]
 [29.93333333]
 [35.33333333]]

В этом случае вы умножаете каждый элемент массива x с помощью model.coef_ и добавляете model.intercept_ в ваш продукт.

Вывод отличается от предыдущего примера количеством измерений. Теперь предсказанный ответ – это двумерный массив, в отличии от предыдущего случая, в котором он одномерный.

Измените количество измерений x до одного, и увидите одинаковый результат. Для этого замените x на x.reshape(-1), x.flatten() или x.ravel() при умножении с помощью model.coef_.

На практике модель регрессии часто используется для прогнозов. Это значит, что вы можете использовать приспособленные модели для вычисления выходов на базе других, новых входов:

>>> x_new = np.arange(5).reshape((-1, 1))
>>> print(x_new)
[[0]
 [1]
 [2]
 [3]
 [4]]
>>> y_new = model.predict(x_new)
>>> print(y_new)
[5.63333333 6.17333333 6.71333333 7.25333333 7.79333333]

Здесь .predict() применяется на новом регрессоре x_new и приводит к ответу y_new. Этот пример удобно использует arange() из NumPy для генерации массива с элементами от 0 (включительно) до 5 (исключительно) – 0, 1, 2, 3, и 4.

О LinearRegression вы узнаете больше из официальной документации.

Теперь у вас есть своя модель линейной регрессии!

Источник

Нравится Data Science? Другие материалы по теме:

6 советов, которые спасут специалиста Data Science
Как изучать Data Science в 2019: ответы на частые вопросы
Схема успешного развития data-scientist специалиста в 2019 году

Источник

Основы линейной регрессии

Содержание

Введение

Метод наименьших квадратов

Математический анализ

Статистика

Теория вероятностей

Мультилинейная регрессия

Линейная алгебра

Произвольный базис

Заключительные замечания

Проблема выбора размерности

Численные методы

Реклама и заключение

Поиск «Линии наилучшего соответствия»

Как интерпретировать линию регрессии методом наименьших квадратов

Как использовать линию регрессии наименьших квадратов

Коэффициент детерминации

Предположения линейной регрессии

Регрессионный анализ

Линейная регрессия

Нелинейная регрессия

Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальная оценка коэффициентов регрессии

Интервальная оценка для условного математического ожидания

Проверка значимости уравнения регрессии

Многомерный регрессионный анализ

Факторный анализ

Представление, информации в факторном анализе

Факторное отображение

Определение факторных нагрузок

Метод главных компонент

Приложения

Понятие о регрессионном анализе. Линейная выборочная регрессия. Метод наименьших квадратов (МНК)

Мощность статистического критерия. Функция мощности

Что такое регрессия?

Когда вам нужна регрессия?

Линейная регрессия

Постановка проблемы

Простая линейная регрессия

Пакеты Python для линейной регрессии

Простая линейная регрессия со scikit-learn

Шаг 1: Импортируйте пакеты и классы

Шаг 2 : Предоставьте данные

Шаг 3: Создайте модель

Шаг 4: Получите результаты

Шаг 5: Предскажите ответ

Нравится Data Science? Другие материалы по теме:

Вам также может понравиться

Как найти потерянные вещи в мцк

Как найти поставщика для своего кафе

Как найти сжимающий корсет в wolfenstein 2

Добавить комментарий Отменить ответ