Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, aneq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.
(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)
Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).
|
Примеры: |
(log_{5}{25}=2) |
т.к. (5^{2}=25) |
||
|
(log_{3}{81}=4) |
т.к. (3^{4}=81) |
|||
|
(log_{2})(frac{1}{32})(=-5) |
т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32}) |
Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм – нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3}) в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})
а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:
(log_{4}{16}=2)
б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)
в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
(log_{sqrt{5}}{1}=0)
г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)
д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень – это степень (frac{1}{2}).
(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})
Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})
Решение:
|
(log_{4sqrt{2}}{8}=x) |
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: |
|
|
((4sqrt{2})^{x}=8) |
Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: |
|
|
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}) |
Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}) |
|
|
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3}) |
Основания равны, переходим к равенству показателей |
|
|
(frac{5x}{2})(=3) |
Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5}) |
|
|
(x=1,2) |
Получившийся корень и есть значение логарифма |
Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).
А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).
Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм – это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)
Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)
Решение:
|
(4^{5x-4}=10) |
(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма: |
|
|
(log_{4}{10}=5x-4) |
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева |
|
|
(5x-4=log_{4}{10}) |
Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. |
|
|
(5x=log_{4}{10}+4) |
Поделим уравнение на 5 |
|
|
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5}) |
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают. |
Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание – число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln{a}).
То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) – некоторое число.
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg{a}).
То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) – некоторое число.
Основное логарифмическое тождество
У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:
Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.
Вспомним краткую запись определения логарифма:
если (a^{b}=c), то (log_{a}{c}=b)
То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.
Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.
Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})
Решение:
|
(36^{log_{6}{5}}=) |
Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2}) |
|
|
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=) |
Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение |
|
|
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=) |
Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством. |
|
|
(=5^{2}=25) |
Ответ готов. |
Ответ: (25)
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}).
Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9}) . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается
(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)
И с четверкой:
(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)
И с минус единицей:
(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)
И с одной третьей:
(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)
И так далее.
Любое число (a) может быть представлено как логарифм с основанием (b): (a=log_{b}{b^{a}})
Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})
Решение:
|
(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=) |
Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2}) |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=) |
Теперь пользуемся свойством логарифмов: |
|
|
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=) |
В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить. |
|
|
(=1) |
Ответ готов. |
Ответ: (1)
Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
#статьи
- 6 окт 2022
-
0
Стыдные вопросы о логарифмах: всё, что нужно знать программисту
Объясняем, почему не стоит бояться логарифмов и как их считать в Python.
Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media
Журналист, изучает Python. Любит разбираться в мелочах, общаться с людьми и понимать их.
Прежде чем начать обсуждение, давайте немного освежим знания и решим несколько стандартных задачек:
- Чему равен log3 81?
- А lg 2 × lb 10?
- А сумма log216 2 + log216 3?
Если вы легко прорешали все три примера в уме, не пользуясь калькулятором, — можете сразу переходить к заключительной главе. Для тех же, кто слегка подзабыл школьные годы чудесные, — буквально пять минут ликбеза.
По большому счёту, логарифм — это просто перевёрнутая степень. Рассмотрим выражение 23 = 8. В нём:
- 2 — основание степени;
- 3 — показатель степени;
- 8 — результат возведения в степень.
У возведения в степень существует два обратных выражения. В одном мы ищем основание (это извлечение корня), в другом — показатель (это логарифмирование).
Таким образом, выражение 23 = 8 можно превратить в log2 8 = 3.
Закрепляем знания: логарифм — это число, в которое нужно возвести 2 (основание степени), чтобы получить 8 (результат возведения в степень).
Форма записи неинтуитивна, и поначалу можно легко спутать основание со степенью. Чтобы избежать этого, можно использовать следующее правило:
Основание у логарифма, как и у возведения в степень, находится внизу.
Чтобы лучше запомнить структуру записи, посмотрите на эти выражения и постарайтесь понять их смысл:
- log3 9 = 2
- log4 64 = 3
- log5 625 = 4
- log7 343 = 3
- log10 100 = 2
- log2 128 = 7
- log2 0,25 = −2
- log625 125 = 0,75
В общем виде запись logAB читается так: логарифм B по основанию A.
Главная часть любого логарифма — его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций позволяет проводить с ними различные операции.
Основанием натурального логарифма является число Эйлера (e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828.
На всякий случай напомним, что такое иррациональные числа. Так называют числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.
Например, 0,333… — рациональное число, потому что его можно записать как 1/3. А вот число Пи или корень из 2 — иррациональны.
Так как натуральные логарифмы часто используются, для них ввели особый способ записи: ln x — это то же самое, что loge x.
Представим кристалл, который весит 1 кг и растёт со скоростью 100% в год. Можно ожидать, что через год он будет весить 2 кг, но это не так.
Каждая новая выращенная часть начнёт растить свою собственную. Когда в кристалле будет 1,1 кг, он будет расти со скоростью 1,1 кг в год, а когда в нём будет 1,5 кг — со скоростью 1,5 кг в год. Математики подсчитали, что через год масса кристалла составит e, или ≈ 2,71828 кг.
Такой рост называется экспоненциальным. По экспоненте размножаются бактерии, увеличиваются популяции, приумножаются доходы, растут снежные комья, распадается радиоактивное вещество и остывают напитки.
Чтобы узнать, какой массы достигнет кристалл через три, пять, десять лет, нужно возвести e в соответствующую степень.
e3 ≈ 20,0855 кг
e5 ≈ 148,4132 кг
e10 ≈ 22 026,4658 кг
Но как рассчитать, когда кристалл будет весить тонну? Составим уравнение:
ex = 1000
Нам известны основание степени и результат возведения в степень — осталось найти её показатель. Ничего не напоминает? Это ведь и есть логарифм x = loge 1000! Или, если использовать сокращённую запись, x = ln 1000.
Подставим в калькулятор и выясним, что x ≈ 6,9. Именно столько лет потребуется кристаллу, чтобы его масса достигла тонны.
Десятичный логарифм — логарифм, основание которого равно 10. Он обозначается lg x и очень удобен, потому что с ним легко вычислять круглые числа.
Двоичный логарифм — логарифм, основание которого равно 2. Он обозначается lb x и часто используется программистами, потому что компьютеры думают и считают в двоичной системе.
Список операций, которые можно совершать с логарифмами, ограничен. Если вы запомните все и научитесь их выполнять, то сможете щёлкать логарифмические задачки, как семечки.
У всех логарифмов есть ограничения. Их основание и аргумент должны быть больше нуля, при этом основание не может быть равно единице. На математическом языке это звучит так:
Перейдём к свойствам логарифмов. Они работают в обе стороны, и их применяют как слева направо, так и справа налево.
1. Логарифм единицы по любому основанию всегда равен нулю:
Например: log17 1 = 0
2. Логарифм, где число и основание совпадают, равен единице:
Например: log17 17 = 1
3. Основное логарифмическое тождество:
Например: log17 175 = 5
4. Логарифм произведения чисел равен сумме их логарифмов:
Например: log5 12,5 + log5 10 = log5 (12,5 × 10) = log5 125 = 3
5. Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя:
Например: log3 63 − log3 7 = log3 63/7 = log3 9 = 2
6. Если основание или аргумент возведены в степень, то их можно удобно выносить перед логарифмом:
Из этих двух формул следует:
Например: log23 49 = 9/3 × log2 4 = 3 × 2 = 6
7. Если нам неудобно основание логарифма, то его можно изменить:
Например: log25 125 = log5 125/log5 25 = 3/2 = 1,5
Из этой формулы следует, что мы можем поменять местами основание и аргумент вот так:
Например: log16 4 = 1/log4 16 = 1/2 = 0,5
А теперь возвращаемся к задачам, которые мы дали в начале статьи.
Пример 1
log3 81
Вспомните, что 81 — это 92. А 9 — это 32. Таким образом:
log3 81 = log3 92 = log3 32+2 = log3 34
Теперь логарифм не представляет для нас никаких сложностей. Воспользуемся свойством степени и вынесём четвёрку.
log3 34 = 4 × log3 3 = 4 × 1 =4
Ответ: 4.
Пример 2
lg 2 × lb 10
Переведём сокращённые записи в полный вид:
lg 2 × lb 10 = log10 2 × log2 10
Приведём оба логарифма к одному основанию.
log10 2 × log2 10 = 1/log2 10 × log2 10 = log2 10/log2 10 = 1
Ответ: 1.
Пример 3
log216 2 + log216 3
Воспользуемся свойством суммы.
log216 2 + log216 3 = log216 2 × 3 = log216 6
Представим 216 в виде степени числа 6 и вынесем с помощью свойства степени.
log216 6 = log63 6 = 1/3 × log6 6 = 1/3 × 1 = 1/3
Ответ: 1/3.
Чтобы работать с логарифмическими выражениями в Python, необходимо импортировать модуль math:
import math
И теперь посчитаем log2 8, используя метод math.log (b, a):
print (math.log (8, 2)) >>> 3.0
Обратите внимание на два момента. Во-первых, мы сначала передаём функции аргумент и только потом — основание. Во-вторых, функция всегда возвращает тип данных float, даже если результат целочисленный.
Если мы не передаём функции основание, то логарифм по умолчанию считается натуральным:
#math.e — метод для вызова числа Эйлера. print (math.log (math.e)) >>> 1.0
Для подсчёта десятичного и двоичного логарифма есть отдельные методы:
#Для десятичного. print (math.log10 (100)) >>> 2.0 #Для двоичного. print (math.log2 (512)) >>> 9.0
Ещё в Python есть специфичный метод, который прибавляет к аргументу единицу и считает натуральный логарифм от получившегося числа:
x = math.e print (math.log1p (x-1)) >>> 1.0
Когда х близок к нулю, этот метод даёт более точные результаты, чем math.log (1+x). Сравните:
x = 0.00001 print (math.log(x+1)) >>> 9.999950000398841e-06 print (math.log1p(x)) >>> 9.99995000033333e-06
Это все основные инструменты для работы с логарифмами в Python.
Научитесь: Профессия Python-разработчик
Узнать больше
Натуральный логарифм, функция ln x
Определение
Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x )′ = 1/ x .
Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045. ;
.
График натурального логарифма ln x
График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .
Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).
При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.
| Область определения | 0 |
| Область значений | – ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает |
| Нули, y = 0 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет |
| + ∞ | |
| – ∞ |
Значения ln x
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
Доказательства этих формул представлены в разделе “Логарифм”.
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента.
Если 0)” style=”width:132px;height:20px;vertical-align:-11px;background-position:-296px -320px”> , то
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-04-2014 Изменено: 20-03-2017
Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.
Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!
Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:
Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:
Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:
так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).
Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xn существует тождество :
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,
А значит имеет место равенство:
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. 
и преобразовываем в 
и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:
А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Два очевидных следствия определения логарифма
log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.
Свойства логарифмов
Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:
( основное свойство логарифмов ),
( основное свойство логарифмов ),
Проверь удачу, набери 60+
Математика – это систематицация и результат, а общественные науки и история – процесс осмысления результата.
Пример Найдите корень уравнения.
Используя определение логарифма, получим:
Проверим: 
Ответ: .
Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:
- Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
- Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
- Решаем получившееся обычное уравнение — как найти корень уравнения смотрите здесь .
- Делаем проверку
- Записываем ответ.
Логарифмы со специальным обозначением
Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.
Десятичный логарифм
Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Например, вычислим lg100
Натуральный логарифм
Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть
Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…
Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что
И вычислить его можно таким образом:
Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,
Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!
Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:
Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма: 
Применяем эти знания и получаем: 
Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма: 
Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:
Тогда получим: 
Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть: 
Делаем проверку: 
Делаем проверку: Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:
Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.
Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием. 
Преобразуем правую часть уравнения: 
Преобразуем правую часть уравнения: Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части: 
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: 
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:
1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:
2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:
Сведем все требования в систему:
Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему: 
Перепишем нашу систему: 
Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система примет следующий вид: 
Теперь решаем наше уравнение: 
Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:
Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.
Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:
Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.
Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств
Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе, следует применять внимательно и аккуратно.
Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение
Логарифмическое уравнение: решение на примерах
Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.
Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.
Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.
Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.
При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!
Давайте посмотрим, как это работает на примере:
Воспользуемся определением логарифма и получим:
Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:
Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.
Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.
Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:
Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.
Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.
Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:То есть в нашем случае:Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:
Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:
Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.
Разберем другой пример:Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:Вспоминаем свойства степеней:
Теперь делаем проверку:то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Еще один пример решения логарифмического уравнения:Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:Теперь преобразуем правую часть уравнения:Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение:Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.
Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.
Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,
Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!
Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:
Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:Применяем эти знания и получаем:Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:
Тогда получим:Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:Делаем проверку:Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.
Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.Преобразуем правую часть уравнения:Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:
1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:
2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:
Сведем все требования в систему:
Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:Перепишем нашу систему:Следовательно, наша система примет следующий вид:Теперь решаем наше уравнение:Справа у нас квадрат суммы:Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.
Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:
Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.
Как сделать проверку
Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.
Если наше уравнение имеет вид loga (f(x)) = loga (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:
После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!
Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.
[spoiler title=”источники:”]
http://exceltut.ru/kak-reshat-logarifmicheskie-uravneniya-podrobnyj-razbor-primerov/
http://yourrepetitor.ru/kak-reshit-logarifmicheskoe-uravnenie/
[/spoiler]
 |
 |
||||||||||
|
 |
||||||||||
|
 |
||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
||||||||||
|
( формула перехода к новому основанию логарифмов ), |
||||||||||
|
|||||||||||
|
Степень можно выносить за знак логарифмаИ вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример: log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x ) Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени. Логарифм произведения и логарифм частногоlog a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ. log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля. Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6). Формула перехода к новому основаниюТот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной. Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8): log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) Сумма логарифмов. Разница логарифмовЛогарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя! Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор. Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице: loga a = 1 – это логарифмическая единица. Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1: loga 1 = 0 – логарифмический ноль. Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерамиРешить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку! Давайте посмотрим, как это работает на примере:
Воспользуемся определением логарифма и получим: Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда: Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение: Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ. Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений. Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:
Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере. Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений. Разберем другой пример: Теперь делаем проверку: Еще один пример решения логарифмического уравнения:
Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение: Сравнение логарифмов |
||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: 
Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: 
Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.
Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.
То есть в нашем случае: 
То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:
Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:
Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:
Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:
Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: 
Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: 
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: 
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней:
то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: 
Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: 
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: 
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: 
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: 
Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.
Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.
Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.
Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_{2}(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:
$$ log_{2}(32)=5;$$
Аналогично, глядя в таблицу получим, что:
$$log_{2}(4)=2;$$
$$log_{2}(8)=3;$$
$$log_{2}(16)=4;$$
$$log_{2}(64)=6;$$
$$log_{2}(128)=7.$$
Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.
Теперь дадим определение логарифма в общем виде:
Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)
$$log_{a}(b)=c;$$
$$a^{c}=b.$$
Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм – это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.
Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:
$$log_{2}(5)=???$$
Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:
$$log_{2}(5)=2,32192809…$$
Или логарифм шести по основанию 4:
$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$
На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!
Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_{4}(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:
$$ log_{4}(4) lt log_{4}(6) lt log_{4}(16);$$
$$ 1 lt log_{4}(6) lt 2. $$
Значит (log_{4}(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:
$$ log_{4}(6) in (1;2). $$
Как посчитать логарифм
Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма (log_{a}(b)) существует только при положительных значениях основания (a) и аргумента (b). И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно (1).
$$ log_{a}(b) quad существует,;при quad a gt 0; ;b gt 0 ;a neq 1.$$
Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).
При этих ограничениях логарифм существует.
В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.
Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.
$$log_{3}(frac{1}{3})=-1;$$
Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)
$$3^{-1}=frac{1}{3};$$
Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:
- Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
- Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
- (x) и будет искомым значением логарифма.
Давайте разберем на примерах.
Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_{3}(9))
- Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
$$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$ - Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2)
$$ (3^1)^x=3^2, $$
$$ 3^{1*x}=3^2, $$
$$ 1*x=2,$$
$$ x=2.$$ - Вот мы и решили:
$$log_{3}(9)=2.$$
Пример 2. Вычислить логарифм (frac{1}{125}) по основанию (5): (log_{5}(frac{1}{125}))
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1, qquad frac{1}{125}=frac{1}{5^3}=5^{-3};$$ - В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^{-3}):
$$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
$$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
$$1*x=-3,$$
$$x=-3.$$ - Получили ответ:
$$ log_{5}(frac{1}{125})=-3.$$
Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_{64}(4))
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$ - В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^{2}):
$$ (2^6)^x=2^{2}, $$
$$ 2^{6*x}=2^{2},$$
$$6*x=2,$$
$$x=frac{2}{6}=frac{1}{3}.$$ - Получили ответ:
$$ log_{64}(4)=frac{1}{3}.$$
Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_{8}(1))
- Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$ - В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^{0}):
$$ (2^3)^x=2^{0}, $$
$$ 2^{3*x}=2^{0},$$
$$3*x=0,$$
$$x=frac{0}{3}=0.$$ - Получили ответ:
$$ log_{8}(1)=0.$$
Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_{5}(15))
- Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 qquad 15= ???;$$
(15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$
Внимание!
Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.
$$16=2*2*2*2=2^4,$$
(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.
$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$
Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.
Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.
Десятичный логарифм
На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается – (lg(a)).
Пример 6
$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$
$$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$
$$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$
Натуральный логарифм
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение – (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.
Пример 7
$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$
$$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$
$$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$
Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.
У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.
Свойства логарифмов
$$1. ; log_{a}(1)=0;$$
$$2. ; log_{a}(a)=1;$$
$$3. ; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$4. ; log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$5. ; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$6. ; log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
$$ 7. ; log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0; ; c gt 0; ; c neq 1; $$
$$ 8. ; log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$ 9. ; a^{ log_{a}(b)}=b.$$
Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.
Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.
$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$
$$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$
Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.
$$ log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}(frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$
Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.
$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
Логично, что будет выполняться и такое соотношение:
$$log_{a^m}(b^n)=frac{n}{m}* log_{a}(b);$$
И если (m=n), то:
$$log_{a^m}(b^m)=frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$
$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$
Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.
$$ log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0;c gt 0;c neq 1; $$
$$ log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$log_{4}(5)=frac{1}{log_{5}(4)};$$
$$log_{4}(5)=frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$
Как взять логарифм от логарифма
Логарифм используется для нахождения показателя степени, в которую следует возвести основание для получения числа, указанного под знаком логарифма. Не обязательно под знаком логарифма должно быть число – можно указывать переменную, многочлен, функцию и т.д. Может подлогарифменное выражение содержать и еще один логарифм. Операция вычисления логарифма от логарифма особой сложности не представляет, тем более что часто ее можно упростить преобразованиями внутреннего логарифма.
Инструкция
Само по себе нахождение логарифма от логарифма никаких специальных преобразований не предполагает – просто выполните последовательно две таких операции. Единственная особенность – начинать надо с внутреннего логарифма, т.е. с того, который является подлогарифменным выражением другого. Например, если нужно найти log₃ log₂ 512, начинайте с вычисления логарифма 512 по основанию 2 (log₂ 512 = 9), а затем посчитайте логарифм полученного результата с основанием 3 (log₃ 9 = 2), т.е. log₃ log₂ 512 = log₃ 9 = 2.
Если одним из подлогарифменных выражений является многочлен, используйте формулы преобразования до того, как приступить к вычислениям. Например, сумму логарифмов по одинаковому основанию преобразуйте в логарифм произведения их подлогарифменных выражений по тому же основанию: logₐ (logᵤ x + logᵤ y) = logₐ logᵤ (x*y). Аналогичным способом трансформируйте и разность логарифмов: logₐ (logᵤ x – logᵤ y) = logₐ logᵤ (x/y).
В некоторых случаях, если подлогарифменное выражение содержит число или переменную, возведенную в степень, появляется возможность еще больше упростить выражение. Скажем, использованный в первом шаге пример log₃ log₂ 512 можно представить в таком виде: log₃ log₂ 2⁹. Это позволяет вывести 9 из под знака внутреннего логарифма и необходимость вычислять логарифм 512 отпадет, так как log₃ log₂ 2⁹ = log₃ (9*log₂ 2) = log₃ (9*1) = 2.
Описанное в предыдущем шаге правило можно применять и для логарифмов от выражений, содержащих корень или дробь. Для этого представьте корень в виде дробного показателя степени. Например, если надо найти log₃ log₂ ⁹√2, то ⁹√2 можно представить как 2 в степени 1/9. Тогда log2 ⁹√2 = 1/9 * log₂ 2 = 1/9 = 1/3² = 3⁻². А log₃ 3⁻² = -2. Все эти преобразования позволили обойтись вообще без вычислений, а записать решение можно так: log₃ log₂ ⁹√2 = log₃ (1/9 * log₂ 2) = log₃ (1/9) = log₃ (1/3²) = log₃ 3⁻² = -2.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
