Как найти логарифм по таблице логарифмов

Как найти логарифм числа

На практике чаще всего применяются десятичные логарифмы, которые принято называть стандартными. Для их нахождения составлены специальные таблицы, используя которые можно найти значение логарифма любого положительного числа с той или иной точностью, предварительно приведя его к стандартному виду. Для решения большинства задач вполне достаточны четырехзначные таблицы Брадиса с точностью до 0,0001, которые содержатся мантиссы десятичных логарифмов. Характеристику можно легко найти по одному виду числа. Обращение с таблицами весьма простое.

Вам понадобится

• – формула перехода от одного основания логарифма к другому;
• – четырехзначные математические таблицы Брадиса.

Инструкция

Приведите логарифм к стандартному виду, если его основание не равно 10. Используйте формулу перехода от одного основания к другому.

Найдите характеристику логарифма. Если число больше или равно единице, то сосчитайте количество цифр в целой части данного числа. Отнимите из этого количества единицу и получите значение характеристики. Например, у логарифма числа 56,3 характеристика равна 1. Если число является десятичной дробью, меньшей 1, то сосчитайте в ней количество нулей до первой цифры, отличной от нуля. Сделайте отрицательным подученное значение характеристики. Например, у логарифма числа 0,0002 характеристика равна -4.

Определите число для нахождения мантиссы как целое. Проигнорируйте в данном числе запятую, если она есть и отбросьте все нули, стоящие в конце числа. Положение запятой в десятичном числе и последние нули никаким образом не влияют на величину мантиссы. Запишите образовавшееся целое число. Например, у логарифма числа 56,3 оно равно 563. В зависимости от того, сколько цифр содержится в этом числе, зависит алгоритм работы с четырехзначными таблицами. Существует три типа алгоритмов.

Найдите мантиссу логарифма, выполнив следующие действия, если число для ее нахождения является трехзначным. Найдите в четырехзначных математических таблицах Брадиса таблицу XIII «Мантиссы десятичных логарифмов». Перейдите на строчку, содержащую в первом столбце «N» эти две первые цифры числа, по которому ищется мантисса. Например, если имеем число 563, то ищите строчку, где в первом столбе стоит 56. Затем продвигайтесь по этой строчке вправо до ее пересечения со столбцом, номер которого совпадает с третьей цифрой исходного числа. В нашем примере это столбец с номером 3. На пересечении найденной строки и столбца находится значение мантиссы. Мантисса, найденная по числу 563 равна 0,7505.

Найдите мантиссу логарифма, выполнив следующие действия, если число для ее нахождения состоит из двух или одной цифры. Припишите мысленно к этому числу такое количество нулей, чтобы оно стало трехзначным. Если число равно 56, то получается 560. Найдите мантиссу по полученному трехзначному числу. Для этого выполните действия из шага 4. Мантисса по числу 560 равна 0,7482.

Найдите мантиссу логарифма, выполнив следующие действия, если число для ее нахождения является четырехзначным. Найдите мантиссу для числа, изображенного первыми тремя цифрами данного числа. Для этого выполните действия из шага 4. Затем передвигайтесь по горизонтальной строке от найденной мантиссы в правую часть таблицы, расположенную за вертикальной жирной чертой и содержащей поправки на четвертую цифру. Найдите в области поправок столбец с номером, совпадающим с четвертой цифрой числа. Прибавьте поправку, находящуюся на пересечении строки и столбца, к мантиссе, найденной по трехзначному числу. Например, если число для нахождения мантиссы равно 5634, то мантисса по 563 равна 0,7505. Поправка по цифре 4 равна 3. Окончательный результат равен 0,7508.

Найдите мантиссу логарифма, выполнив следующие действия, если число для ее содержит более четырех цифр. Округлите число до четырех знаков так, чтобы все цифры, начиная с пятой, были нулями. Отбросьте последние нули и найдите мантиссу по четырехзначному числу. Для этого выполните действия из шага 7.

Найдите логарифм числа как сумму характеристики и мантиссы. В рассматриваемом примере логарифм числа 56,3 равен 1,7505.

Видео по теме

Источники:

• Таблицы десятичных логарифмов

Как использовать логарифмические таблицы

3 методика:Как читать логарифмическую таблицуКак найти антилогарифмПеремножение чисел с помощью логарифмической таблицы

До появления компьютеров и калькуляторов люди считали логарифмы с помощью логарифмических таблиц. Эти таблицы по-прежнему могут использовать для быстрого вычисления логарифмов или умножения больших чисел.

Шаги

Метод 1 из 3: Как читать логарифмическую таблицу

1. 
   1
   Что такое логарифм. 102 = 100. 103 = 1000. Степени 2 и 3 являются логарифмами с основанием 10 (или десятичными логарифмами) чисел 100 и 1000.[1] Иначе говоря, ab = c может быть записано, как logac = b. То есть, сказать “10 в степени 2 равно” – это все равно, что сказать “логорифм 100 с основанием 10 равен 2”. Логарифмические таблицы используют логарифм с основанием 10, поэтому а = 10.
   • Перемножьте два числа, сложив показатели их степеней. Например: 102 * 103 = 105, или 100 * 1000 = 100,000.
   • Натуральный логарифм (ln) имеет основание е. е – это константа, равная 2.718. Число е используется в разных областях математики и физики. В таблице можно использовать как десятичные, так и натуральные логарифмы.
2. 
   2
   Определите характеристики числа, натуральный логарифм которого вы хотите определить. 15 находится между 10 (101) и 100 (102), поэтому его логарифм будет находиться между 1 и 2. 150 находится между 100 (102) и 1000 (103), поэтому его логарифм будет находиться между 2 и 3. Смысл использования логарифмической таблицы как раз состоит в поиске точного значения, то есть дробной части числа (значения после запятой). То, что находится до запятой (1 в первом случае, 2 во втором), является характеристикой.
3. 
   3
   Найдите нужную строку, используя колонку слева. Эта колонка показывает первые 2 или, если это большая таблица, 3 цифры числа, логарифм которого вы ищете. Если вы ищете логарифм числа 15,27, вам нужна строка 15. Если вы ищете логарифм числа 2,57, отправляйтесь на строку 25.
   • Иногда числа на этой строки будут с запятыми, поэтому вы будете искать 2,5, а не 25. Вы можете игнорировать запятую, так как это не повлияет на ответ.[2]
   • Также игнорируйте запятую в числе, логарифм которого вы ищете, так как дробная часть логарифма от 1,527 не отличается от дробной части логарифма 152,7.
4. 
   4
   После того, как вы нашли строку, найдите правильную колонку. Вам нужна колонка с номером, равным следующей цифре в вашем числе. Например, если вы ищете логарифм числа 15,27, номер строки равен 15, а номер колонки равен 2. Таким образом, на пересечении колонки и строки окажется число 1818. Запишите его.
5. 
   5
   Если в вашей логарифмической таблице есть таблица среднего расхождения, найдите в ней колонку с номером, равным следующей цифре в вашем числе. Для числа 15,27 это будет номер 7. В данный момент, вы находитесь на пересечении 15 строки и 2 колонки. Теперь переместитесь на пересечение строки 15 и колонки таблицы среднего расхождения 7. Таким образом, на пересечении колонки и строки окажется число 20. Запишите его.
6. 
   6
   Сложите два числа, полученные на предыдущих этапах. Для числа 15,27 это будет 1838. Это дробная часть логарифма числа 15,27.
7. 
   7
   Добавьте характеристику. Поскольку 15 находится между 10 и 100 (101 и 02), логарифм 15 находится между 1 и 2. Следовательно, характеристика этого числа равна 1. Соедините характеристику и дробную часть, чтобы получить результат. Итак, логарифм 15,27 равен 1,1838.

Метод 2 из 3: Как найти антилогарифм

1. 
   1
   Что такое таблица антилогарифмов. Используйте эту таблицу, если вам известно значение логарифма числа, но не само число. В формуле 10n = x n – это обычный десятичный логарифм х. Если вам известно значение х, вы можете найти n с помощью таблицы логарифмов. Если вам известно n, вы можете найти х с помощью таблицы антилогарифмов.
   • Антилогарифм также известен как обратный логарифм.
2. 
   2
   Запишите характеристику. Это число перед запятой. Если вы ищете антилогарифм числа 2,8699, характеристикой будет 2. Мысленно уберите ее из своего числа, она понадобится позже.
3. 
   3
   Найдите строку, соответствующую дробной части. У числа 2,8699 дробная часть – это ,8699. В большинстве антилогарифмических таблиц, так же как и в большинстве логарифмических, в левой колонке только два числа, поэтому вам следует искать ,86.
4. 
   4
   Найдите колонку с номером, равным следующей цифре в вашей дробной части. Для числа 2,8699 вам нажно найти пересечение строки ,86 и колонки 9. Это даст вам число 7396. Запишите его.
5. 
   5
   Если в вашей антилогарифмической таблице есть таблица среднего расхождения, найдите в ней строку с номером, соответствующим первым цифрам дробной части, то есть ,86. Затем, в таблице среднего расхождения найдите колонку с номером, равным следующей цифре в дробной части вашего числа, то есть 9. На пересечении строки с номером ,86 и колонки таблицы среднего расхождения 9 будет число 15. Запишите его.
6. 
   6
   Сложите два числа из предыдущих шагов. В нашем примере, 7396 и 15. Их сумма равна 7411.
7. 
   7
   Используйте характеристику. В нашем случае 2. Это значит, что ответ расположен между 102 и 103, или между 100 и 1000. Чтобы наше число 7411 попало в промежуток между 100 и 1000, запятая должна находиться после первых 3 цифр. Итак, наш результат 741,1.

Метод 3 из 3: Перемножение чисел с помощью логарифмической таблицы

1. 
   1
   Как перемножать числа, используя их логарифмы. Мы знаем, что 10 * 100 = 1000. Запишем это выражение, используя степени: 101 * 102 = 103. Мы также знаем, что 1 + 2 = 3. Таким образом, 10x * 10y = 10x + y. То есть, сумма логарифмов двух разных чисел равна логарифму произведения этих чисел. Мы можем перемножить два числа с одинаковым основанием, складывая их степени.
2. 
   2
   Найдите логарифмы чисел, которые вы хотите перемножить. Для поиска логарифма используйте метод, описанный ранее. Например, если вы хотите умножить 15,27 но 48,54, найдите их логарифмы, равные соответственно 1,1838 и 1,6861.
3. 
   3
   Сложите эти числа, чтобы найти логарифм решения. В этом примере сложите 1,1838 и 1,686, чтобы получить 2,8699. Это число является логарифмом вашего ответа.
4. 
   4
   Воспользуйтесь антилогарифмической таблицей, чтобы найти решение исходной задачи. Следуйте ранее описанному методу. Для этого примера ответ равен 741,1.

Советы

• Выполняйте вычисления на листке бумаги, а не в уме, так как числа могут быть довольно громоздкими.
• Внимательной прочитайте Оглавление страницы. В логарифмической книге около 30 страниц, и использование неправильной страницы приведет вас к неправильному ответу.

Предупреждения

• Убедитесь, что данные из одной строки. Иногда можно случайно перепутать строки и колонки из-за их маленького размера.
• Данные методы подходят для поиска логарифмов с основанием 10.
• Большинство таблиц имеет точность до 3-4 знаков. Если вы посчитаете антилогарифм числа 2,8699 на калькуляторе, то получите ответ, округленный до 741,2, хотя таблицы дадут вам 741,1. Это зависит от округлений в таблицах. Если вам нужен более точный ответ, используйте калькулятор вместо таблиц.

Что вам понадобится

• Логарифмическая таблица или книга
• Листок бумаги

Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).

Примеры:		(log_{5}{25}=2)		т.к. (5^{2}=25)
		(log_{3}{81}=4)		т.к. (3^{4}=81)
		(log_{2})(frac{1}{32})(=-5)		т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32})

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Например, вычислите логарифм:  а) (log_{4}{16})     б) (log_{3})(frac{1}{3})     в) (log_{sqrt{5}}{1})     г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}})      д) (log_{3}{sqrt{3}})

а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

(log_{4}{16}=2)

б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)

в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

(log_{sqrt{5}}{1}=0)

г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)

д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень – это степень (frac{1}{2}).

(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})

Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})

Решение:

(log_{4sqrt{2}}{8}=x)		Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: (log_{a}{c}=b)       (Leftrightarrow)       (a^{b}=c)
((4sqrt{2})^{x}=8)		Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: (4=2^{2})         (sqrt{2}=2^{frac{1}{2}})         (8=2^{3})
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3})		Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n})
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3})		Основания равны, переходим к равенству показателей
(frac{5x}{2})(=3)		Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5})
(x=1,2)		Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).

А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).

Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм – это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)

Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)

Решение:

(4^{5x-4}=10)		(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма. Воспользуемся определением логарифма: (a^{b}=c)       (Leftrightarrow)       (log_{a}{c}=b)
(log_{4}{10}=5x-4)		Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
(5x-4=log_{4}{10})		Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
(5x=log_{4}{10}+4)		Поделим уравнение на 5
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5})		Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) – некоторое число.

То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) – некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если     (a^{b}=c),    то   (log_{a}{c}=b)

То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})

Решение:

(36^{log_{6}{5}}=)		Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2})
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=)		Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=)		Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
(=5^{2}=25)		Ответ готов.

Ответ: (25)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}). 

Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9})  . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается  

(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)

И с четверкой:

(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)

И с минус единицей:

(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)

И с одной третьей:

(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)

И так далее.

Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})

Решение:

(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=)		Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2})
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=)		Теперь пользуемся свойством логарифмов: (log_{a}{b}+log_{a}{c}=log_{a}{(bc)})
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=)		В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.
(=1)		Ответ готов.

Ответ: (1)

Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Содержание:

Множеством (областью) значений показательной функции

Такое значение аргумента единственное, так как если и то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают т. е.

Таким образом, равенство означает, что Сформулируем определение логарифма еще раз.

Определение:

Пусть Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Приведем несколько примеров:

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Обозначим Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство т. е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Согласно этому тождеству, например, имеем: Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.

Например:

История логарифма

Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552—1632).

Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других содействовал Jl. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и аритмос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения».

Пример:

а) Записать число в виде логарифмов по основанию

б) Записать число -5 в виде логарифмов по основанию и х

Решение:

а) По определению логарифма имеем:

б) По определению логарифма имеем:

Пример:

Между какими целыми числами находится число

Решение:

Пусть тогда верно равенство Поскольку По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем Значит,находится между числами 4 и 5.

Ответ:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

а) Поскольку то по определению логарифма имеем

б)

Ответ:

Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается . Таким образом,

▲ Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е:

Такие логарифмы называются натуральными.

Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение.▲

Основные свойства логарифмов

Теорема:

При любых положительных значениях b и с верно равенство:

Доказательство:

Докажем утверждение (1).

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем:

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1).

Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):

I используя равенство (1), получим

Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно.

Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными. числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях a, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл.

Теорема:

При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство

Доказательство:

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).

Следствие 1. Если числа одного знака, то имеет место равенство

Следствие 2. При любом целом имеет место равенство

Пример №1

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:

Теорема:

При любых значениях и верно равенство

Доказательство:

Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем

Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию а, получим

Применив тождество (3), имеем

Так как Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на В результате получим тождество (6).

Способ 2. Пусть тогда Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Откуда имеем

Итак,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Следствием из тождества (6) при основании а = с является формула

(убедитесь в этом самостоятельно).

Пример №2

Найти значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получим

используя тождество (1), имеем

с учетом условия получим

6)

на основании тождеств (6) и (7) получим

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Ответ:

Следствие 3. Имеют место тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта.

Пример №3

Упростить выражение

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

воспользовавшись формулой (7), получим

Ответ:

Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Логарифмическая функция

Рассмотрим выражение где х — переменная, а — постоянная, Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении Таким образом, естественной областью определения выражения является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения т.е. множество

Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков.

График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).

Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции при а > 1 (рис. 35). График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).

Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции при 0 < а < 1 (рис. 36).

Теорема (о свойствах логарифмической функции )

1. Областью определения логарифмической функции является интервал
2. Множеством (областью) значений логарифмической функции является множество R всех действительных чисел.
3. Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
4. График логарифмической функции пересекается с осью абсцисс в точке (1; 0) и не пересекается с осью ординат.
5. Значение аргумента х = 1 является нулем логарифмической функции.
6. 6. При а > 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале И при 0 < а < 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале и принимает положительные значения на интервале (0; 1).
7. Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной.
8. При а > 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает на всей области определения.
9. Логарифмическая функция не является периодической.

Изображение графика логарифмической функции позволяет наглядно представить эти свойства.

Множество (область) значений логарифмической функции — проекция ее графика на ось Оу, а на рисунках 35 и 36 видно, что эта проекция есть ось Оу. Это значит, что для любой точки лежащей на оси Оу, найдется такая точка принадлежащая интервалу (свойство 2).

Множество (область) значений логарифмической функции — это множество всех действительных чисел, а в нем нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3).

График логарифмической функции проходит через точку (1; 0) и лежит в правой полуплоскости (свойства 4, 5).

При а > 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда и лежит в I координатном угле, когда При 0 < а < 1 график логарифмической функции лежит в I координатном угле, когда и лежит в IV координатном угле, когда (свойство 6).

Область определения логарифмической функции — интервал поэтому логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической (свойства 7, 9).

На рисунке 35 видно, что при а > 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0 < а < 1 логарифмическая функция убывает на области определения (свойство 8).

Пусть точка лежит на графике функции Это значит, что верно числовое равенство следовательно, согласно определению логарифма верно числовое равенство В свою очередь, последнее равенство означает, что точка лежит на графике функции

Заметим, что точки симметричны относительно прямой Таким образом, каждой точке М на графике функции соответствует симметричная ей относительно этой прямой точка N на графике функции и наоборот. Следовательно, графики функций симметричны относительно прямой у = х (рис. 37).

Последнее утверждение дает возможность, зная график функции изобразить график функции (не используя построение по точкам).

▲ Симметричность графиков функций относительно прямой у=х означает, что эти функции взаимно обратны.

Функции называются взаимно обратными, если для любого верно равенство и для любого верно равенство

Покажем, что показательная и логарифмическая функции с одним, и тем же основанием а взаимно обратны.

Пусть Тогда

Для любого

Для любого

Покажем, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

Пусть точка лежит на графике функции Это означает, что верно числовое равенство Тогда по определению взаимно обратных функций А равенство означает, что точка лежит на графике функции

Таким образом, каждой точке М на графике функции соответствует симметричная относительно прямой у = х точка N на графике функции и наоборот. Следовательно, графики функций симметричны относительно прямой

• Заказать решение задач по высшей математике

Логарифмы и их свойства

В предыдущем параграфе вы находили корни уравнения вида  Например:  А какой корень имеет уравнение  Графическим методом можно убедиться, что оно имеет единственное решение (рис. 28). Это число больше 2 и меньше 3, но как его записать?

Для записи корней показательного уравнения используют понятие «логарифм» и соответствующий символ. Корнем уравнения  является число, которое записывают в виде  и читают «логарифм числа 5 по основанию 2».

Рассмотрим общий случай-.

Пусть  — действительные числа;  Если  то число называют логарифмом числа  по основанию 

Логарифмом числа  по основанию  называют показатель степени, в которую нужно возвести число  чтобы получить 

Логарифм числа  по основанию  обозначают символом 

Примеры:

 так как 

  так как  так как 

Основанием логарифма может быть произвольное положительное число, кроме единицы. Как известно, если  то область определения показательной функции  — множество всех действительных чисел  а область значений — множество всех положительных действительных чисел. Поэтому при таких значениях  для любого положительного числа  найдётся такое  что  Другими словами: при любом основании  где  существует логарифм каждого положительного числа. Логарифм отрицательного числа и нуля не существует.

Полезно помнить, что для каждого 

  (почему?).

Нахождение логарифма числа называют логарифмированием. Эта операция обратная к операции возведения в степень с соответствующим основанием.

Согласно определению логарифма, если  Это разные записи одной зависимости. Из них следует равенство

которое называют основным логарифмическим тождеством. Оно правильное для любых положительных 

Например: 

С помощью основного логарифмического тождества любое положительное число можно представить в виде степени, имеющей заданное основание.

Например: 

Докажем ещё несколько важных свойств логарифмов (для положительных 

1) По основному логарифмическому тождеству и основному свойству степени

Итак,  — показатель, в который нужно возвести число  чтобы получить  то есть

Эту формулу можно обобщить на три и более множителя:

Кратко говорят: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

2)    Доказательство аналогичное предыдущему:

отсюда

Кратко говорят: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

3)    Возведём обе части тождества  в степень 

Итак,

Доказанные формулы можно использовать и справа налево, например:

В логарифмах переходить от одного основания к другому можно при помощи формулы перехода

где 

Докажем эту формулу. Поскольку положительные числа  и  равны, то равны и их логарифмы по основанию  Поэтому

 откуда и следует доказываемая формула.

Обратите внимание! Как следствия из формулы перехода можно получить следующие формулы:

Докажите их самостоятельно.

Пример №4

Упростите выражение  

Решение:

Сведём все логарифмы к основанию 5. Имеем:

Особенно часто используют логарифмы по основаниям 10 и  их называют десятичными и натуральными логарифмами. Вместо  пишут соответственно 

 Рассмотренные в параграфе свойства логарифмов правиль-1 ные при условии, что переменные принимают положительные значения. С помощью модуля можно расширить использование некоторых формул. Например:

 Для преобразования выражений, решения уравнений и неравенств используют и другие формулы, содержащие логарифмы:

Докажите их самостоятельно.

Пример №5

Вычислите: 

Решение:

Пример №6

Решите уравнение: 

Решение:

Пусть  тогда  Подставим  в данное уравнение.

Получим:  отсюда 

Поскольку  или 

Ответ. 

Пример №7

Найдите  из равенства:

Решение:

Поскольку 

Ответ. 

Пример №8

Вычислите  если

Решение:

Ответ.