Как найти лорановские разложения данной функции

Ряд Лорана и разложение функций по целым степеням

Ранее рассматривалась задача разложения функции в степенной ряд sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n, при этом функция предполагалась аналитической в точке z_0, а ряд сходящимся в круге |z-z_0|<R,~ 0<Rleqslantinfty.

Другим частным случаем функциональных рядов, наряду со степенными, является ряд sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n ряд по целым степеням разности (z-z_0). Такой ряд сходится в кольце r<|z-z_0|<R,~ r geqslant0,~ Rleqslantinfty и его сумма — функция аналитическая внутри этого кольца.

Можно рассматривать задачу разложения функции, аналитической в кольце r<|z-z_0|<R. Имеет место теорема, аналогичная теореме 3.3.

Теорема Лорана о разложении функции в ряд по целым степеням

Теорема 3.5 (Лорана). Функция f(z), аналитическая в кольце, представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство

f(z)=sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n.

(3.24)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле

c_n= frac{1}{2pi i} ointlimits_{gamma} frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}},dz,quad n=0,pm1,pm2,ldots,

(3.25)

где gamma — произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z_0; в частности, gamma — окружность |z-z_0|=rho,~ r<rho<R.

Имеют место следующие определения.

1. Ряд sum_{n=-infty}^{infty} c_n(z-z_0)^n коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25), называется рядом Лорана функции f(z).

Заметим, что формула (3.16) получается из формулы (3.25) при ngeqslant0, но для коэффициентов ряда Лорана не имеет места формула вида (3.17), так как функция в точке z_0 может быть не определена.

2. Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями — sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n называется правильной частью ряда Лорана; члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана: sum_{n=-infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n или sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}.

3. При r=0 получаем частный случай кольца — вырожденное кольцо 0<|z-z_0|<R. Это — круг с выколотым центром. Точка z_0 — особая точка функции, и разложение в этом случае называется разложением функции в окрестности особой точки.

4. При R=infty область |z-z_0|>r есть внешность круга. В частном случае при z_0=0 — внешность круга |z|>r. Разложение в этом случае называется разложением в окрестности бесконечно удаленной точки и имеет вид

f(z)= sum_{n=-infty}^{infty}c_nz^n= sum_{n=0}^{infty} c_nz^n+ sum_{n=-infty}^{-1}c_nz^n,

(3.26)

или, что то же,

f(z)= sum_{n=0}^{infty} c_nz^n+ sum_{n=1}^{infty} frac{c_{-n}}{z^n},.

(3.27)

Здесь совокупность неотрицательных степеней sum_{n=0}^{infty}c_nz^n образует главную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки; совокупность отрицательных sum_{n=-infty}^{-1}c_nz^n — правильную часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 3.30. Исследовать возможность разложения функции f(z)= sqrt{frac{z}{(z+1)(z-2)}} в ряды Тейлора и Лорана.

Решение

Функцию f(z)= sqrt{frac{z}{(z+1)(z-2)}} нельзя разложить в ряд по степеням z ни в окрестности точки z_0=0 (ряд Тейлора), ни в окрестности точки z_0=infty (ряд Лорана), так как эти точки являются точками ветвления функции и в их окрестностях невозможно выделение однозначных ветвей.

Невозможны также разложения этой функции в ряды по степеням (z+1) и (z-2), поскольку точки z=-1 и z=2 — также точки ветвления. Разложения по степеням (z-z_0), где z_0ne0,~z_0ne-1,~ z_0ne2, возможны.

Функция же f(z)= frac{z}{(z+1)(z-2)} раскладывается по степеням z и в ряд Тейлора в круге |z|<1 и в ряд Лорана в области |z|>2 (окрестность бесконечно удаленной точки), а также в кольце 1<|z|<2. Возможны разложения и по степеням (z+1) и (z-2) в кольцевых областях, а также в окрестностях особых точек z=-1,~ z=2.

Так как ряды по целым степеням обладают свойствами степенных рядов (см. утверждение 3.2), то, учитывая теорию и практику решения задачи разложения функции в степенной ряд (см. утверждения 3.3 и 3.4), можно сформулировать следующее утверждение.


Утверждение 3.6

1. Функция, аналитическая в кольце r<|z-z_0|<R,~ rgeqslant0,~ Rleqslantinfty, разлагается в этом кольце в ряд Лорана (3.24), коэффициенты которого вычисляются по формуле (3.25).

2. Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов — неравенство Коши:

|c_n|leqslant frac{M}{rho^n},quad n=0,pm1,pm2,ldots

(3.28)

где M=max_{zingamma}|f(z)|,~rho — радиус окружности (частный случай контура gamma), по которой производится интегрирование в (3.25).

3. На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) — его суммы.

4. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z_0~(r=0) и окрестности бесконечно удаленной точки (z_0=0,~ R=infty).

5. Разложение в ряд Лорана сводится к разложению в ряд Тейлора, используются основные разложения и действия над рядами.

6. При разложении рациональных дробей, как и в случае рядов Тейлора, выдерется целая часть неправильной дроби, а правильная записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:

– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге |z-z_0|<R, разложение элементарной дроби записывается в виде

frac{1}{a-(z-z_0)}= frac{frac{1}{a}}{1-frac{z-z_0}{a}}= sum_{n=0}^{infty} frac{(z-z_0)^n}{a^{n+2}}= sum_{n=0}^{infty} c_n(z-z_0)^n,quad |z-z_0|<|a|,quad ane0;

– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга |z-z_0|>r, изложение элементарной дроби записывается в виде

frac{1}{a-(z-z_0)}= frac{-frac{1}{z-z_0}}{1-frac{a}{z-z_0}}= -sum_{n=0}^{infty} frac{a^n}{(z-z_0)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{c_n}{(z-z_0)^n},,quad left|frac{a}{z-z_0}right|<1~ Leftrightarrow~ |z-z_0|>|a|.


Примеры разложения функций в ряд Лорана

Пример 3.31. Разложить функцию f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3} в ряд Лорана по степеням z.

Решение

Функция является аналитической всюду, кроме точек z_1=-1 и z_2=3, в частности: в круге |z|<1, в кольце 1<|z|<3 и в окрестности бесконечно удаленной точки |z|>3 (рис. 3.4).

В круге |z|<1 функция раскладывается в ряд Тейлора (см. пример 3.21). Получим разложения в двух других областях.

Рассмотрим разложение в кольце. Дробь правильная, ее разложение на элементарные дроби получено в примере (3.21):

f(z)= frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3},.

Чтобы получить разложение в кольце, первое слагаемое раскладываем в области |z|>1, т.е. записываем главную часть ряда, второе — в круге |z|<3 — правильная часть. Получаем разложения:

begin{gathered}frac{1}{z+1}= frac{1 slash z}{1+1 slash z}= frac{1 slash z}{1-(-1 slash z)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{z^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{z^n},quad left|-frac{1}{z}right|= frac{1}{|z|}<1~ Leftrightarrow~ |z|>1;\[2pt] frac{1}{z-3}= frac{-1 slash 3}{1-z slash 3}= -sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{3^{n+1}},quad |z|<3. end{gathered}

Записываем окончательный результат:

frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{4cdot z^n}-sum_{n=0}^{infty} frac{5cdot z^n}{4cdot 3^{n+1}},quad 1<|z|<3.

Здесь первое слагаемое — главная часть, а второе — правильная часть ряда Лорана в кольце 1<|z|<3.

Чтобы получить разложение в области |z|>3 — окрестности бесконечно удаленной точки, нужно и второе слагаемое разложить по отрицательным степеням:

frac{1}{z-3}= frac{1}{z}cdot frac{1}{1-frac{3}{z}}= sum_{n=0}^{infty} frac{3^n}{z^{n+1}},~~ left|frac{3}{z}right|<1 или frac{1}{z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{3^{n-1}}{z^n},~~ |z|>3..

В результате получаем разложение в окрестности бесконечно удаленной точки:

frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{4z^n}+ frac{5}{4} sum_{n=1}^{infty} frac{3^{n-1}}{z^n}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},,quad |z|>3.

Заметим, что главная часть ряда отсутствует, так как в разложении присутствуют только члены с отрицательными степенями.

Круг и кольцо на комплексной плоскости

Пример 3.32. Разложить функцию f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3} в ряд Лорана: а) по степеням (z-2); б) по степеням (z-1).

Решение

а) Особыми точками функции являются точки z_1=-1 и z_2=3, причем вторая — ближайшая к центру разложения, т.е. к z_0=2 (рис. 3.5,а); расстояние между z_0=2 и z_2=3 равно единице, поэтому в круге |z-2|<1 функция раскладывается в ряд Тейлора. Расстояние от z_0=2 до другой особой точки z_1=-1 равно трем, и в кольце 1<|z-2|<3 данная функция является аналитической и раскладывается в ряд Лорана. Аналитической она является и в области |z-2|>3 и раскладывается в ней также в ряд Лорана по степеням (z-2). Оба разложения получаем, как в предыдущем примере, причем замену z-2=t можно сделать в исходной дроби, а можно не вводить обозначения (см. пример 3.21). Запишем разложения в каждой из двух областей, учитывая представление функции в виде суммы элементарных дробей (см. примеры 3.21 и 3.31):

f(z)= frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{z+2}{(z+1)(z-3)}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3},.

Разложение в кольце 1<|z-2|<3,colon

begin{aligned}frac{1}{z+1}&= frac{1}{z-2+3}= frac{1}{3! left(1+frac{z-2}{3}right)}= frac{1}{3! left(1-left(-frac{z-2}{3}right)right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(z-2)^n}{3^{n+1}},quad |z-2|<3;\[2pt] frac{1}{z-3}&= frac{1}{z-2-1}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1-frac{1}{z-2}}= sum_{n=0}^{infty} frac{1}{(z-2)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(z-2)^n},,quad |z-2|>1.end{aligned}

Получаем ответ: frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4cdot3^{n+1}}(z-2)^n+ sum_{n=1}^{infty} frac{5}{4(z-2)^n},~1<|z-2|<3.

Разложение в области |z-2|>3,colon

begin{aligned}frac{1}{z+1}&= frac{1}{z-2+3}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1+ frac{3}{z-2}}= frac{1}{z-2}cdot frac{1}{1-left(-frac{3}{z-2}right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n3^n}{(z-2)^{n+1}}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n-1}3^{n-1}}{(z-2)^n},~~ |z-2|>3;\[2pt] frac{1}{z-3}&= sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(z-2)^n},quad |z-2|>1. end{aligned}

Получаем ответ: frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^n3^{n-1}}{4}+ frac{5}{4}right)!cdot frac{1}{(z-2)^n},,~ |z-2|>3..

б) Задача решается так же, как и в предыдущем пункте. Различие заключается в том, что в данном случае обе особые точки расположены на одном расстоянии от центра — точки z_0=1. Поэтому разложения по степеням (z-1) могут быть получены в круге |z-1|<2 и в вырожденном кольце — в области |z-1|>2 (рис. 3.5,б). Разложение в круге ||z-1|<2 — ряд Тейлора — получено в примере 3.21. Запишем разложение в области |z-1|>2colon

begin{aligned}frac{1}{z+2}&= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1+frac{1}{z-1}}= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1-left(-frac{1}{z-1}right)}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{(z-1)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^n},,quad |z-1|>1;\[2pt] frac{1}{z-3}&= frac{1}{z-1-2}= frac{1}{z-1}cdot frac{1}{1-frac{2}{z-1}}= sum_{n=0}^{infty} frac{2^n}{(z-1)^{n+1}}= sum_{n=1}^{infty} frac{2^{n-1}}{(z-1)^n},,quad |z-1|>2. end{aligned}

Получаем ответ: frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty}! left(frac{(-1)^n}{4}+ 5cdot2^{n-3}right)! frac{1}{(z-1)^n},,quad |z-1|>2..

Пример 3.33. Записать разложения функции f(z)=frac{z+2}{z^2-2z-3} в окрестностях особых точек.

Решение

Особыми точками дроби являются z_1=infty,~ z_2=-1,~ z_3=3. Решим задачу для каждой особой точки z_0.

Разложение в окрестности бесконечно удаленной точки (z_0=infty) получено в примере 3.31:

frac{z+2}{z^2-2z-3}= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n+5cdot3^{n-1}}{4}cdot frac{1}{z^n},,quad |z|>3.

Заметим, что в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с положительными степенями z.

Запишем разложение в окрестности точки z_0=-1. Расстояние до другой особой точки z=3 равно четырем, поэтому окрестность точки z_0=-1 — проколотая окрестность, которая записывается в виде 0<|z+1|<4 (рис. 3.6).

Пересечение окружностей на комплексной плоскости

В разложении frac{z+2}{z^2-2z-3}= -frac{1}{4}cdot frac{1}{z+1}+ frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3} исходной дроби на элементарные первое слагаемое записано по степеням (z+1) (уже разложено). Это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного члена: здесь все c_k=0, кроме c_{-1}=-frac{1}{4}, и разложение имеет место в области |z+1|>0. Второе слагаемое раскладываем в окрестности z_0=-1 и, так как для него эта точка не является особой, получим ряд Тейлора в круге |z+1|<4. Для исходной дроби это будет правильная часть ряда Лорана:

frac{1}{z-3}= frac{1}{z+1-4}= frac{-1}{4! left(1-frac{z+1}{4}right)}= -sum_{n=0}^{infty} frac{(z+1)^n}{4^{n+1}},,quad left|frac{z+1}{4}right|<1~ Leftrightarrow~ |z+1|<4.

Получаем ответ: frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{-1}{4}cdot frac{1}{z+1}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^{n}}{4^{n+2}},~ 0<|z+1|<4.

Для точки z_0=3 задача решается аналогично (рис. 3.6):

frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}-frac{1}{4}cdot frac{1}{(z-3)+4}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}-frac{1}{4} sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(z-3)^n}{4^{n+1}},.

Получаем ответ: frac{z+2}{z^2-2z-3}= frac{5}{4}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4 — разложение функции в окрестности особой точки z_0=3. Заметим, что в полученных разложениях в окрестности каждой особой точки главная часть содержит только одно слагаемое.

Пример 3.34. Исследовать разложения функции f(z)=frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)} по степеням (z-z_0). Записать разложения в окрестностях особых точек.

Решение

Функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням (z-z_0). окрестности любой конечной точки z_0ne-1,~z_0ne3; окрестностью будет круг |z-z_0|<r, где r=minbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr} — наименьшее из расстояний от точки z_0 до особых точек (рис. 3.7,а).

В ряд Лорана по степеням (z-z_0) функция может быть разложена в кольце r<|z-z_0|<R, где r=minbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr}, R=maxbigl{|z_0+1|,|z_0-3|bigr} и operatorname{Re}z_0ne1, а также во внешности круга, т.е. в области |z-z_0|>R (рис. 3.7,а). Если operatorname{Re}z_0=1, то разложение будет иметь место только в вырожденном кольце вида |z-z_0|>R, так как в этом случае точка го одинаково удалена от обеих особых точек и r=R (рис. 3.7,б).

Расстояния от точек до особых точек на комплексной плоскости

Особенностью примера является наличие в знаменателе множителя (z+1)^2, поэтому в разложении дроби на элементарные присутствует дробь frac{1}{(z+1)^2}, а именно имеет место равенство

frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdot frac{1}{(z+1)^2}+ frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3},.

Для разложения дроби frac{1}{(z+1)^2} по степеням (z-z_0),~z_0ne-2 используется правило дифференцирования рядов (см. пример 3.22).

Запишем разложение функции в окрестности z_0 — особой точки.

В случае z_0=-1 в разложении дроби на элементарные две первые дроби представляют собой слагаемые требуемого вида (уже разложены): frac{1}{z+1}=(z+1)^{-1},~ frac{1}{(z+ 1)^2}=(z+1)^{-2}. Эти разложения справедливы во всей плоскости с выколотой точкой z_0=-1, т.е. в области |z+1|>0.

От третьего слагаемого получаем правильную часть ряда Лорана:

frac{1}{z-3}=-sum_{n=0}^{infty} frac{(z+1)^n}{4^{n+1}},,quad |z+1|<4.

Окончательный ответ: frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{-5}{16}cdot frac{1}{z+1}+ frac{-1}{4}cdot frac{1}{(z+1)^2}-sum_{n=0}^{infty} frac{5(z+1)^n}{4^{n+3}},~0<|z+1|<4.

В главной части разложения присутствуют два члена, при этом c_{-1}=-frac{5}{16},~ c_{-2}=-frac{1}{4}.

В случае разложения в окрестности z_0=3 главная часть разложения содержит одно слагаемое frac{5}{16}frac{1}{z-3}; правильная получается от разложения дробей frac{1}{z+1} и frac{1}{(z+1)^2} по степеням (z-3).

Найдем эти разложения:

begin{gathered}frac{1}{z+1}= frac{1}{(z-3)+4}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(z-3)^n,quad |z-3|<4;\[2pt] frac{1}{(z+1)^2}=-left(frac{1}{z+1}right)'=-sum_{n=0}^{infty}! left(frac{(-1)^n}{4^{n+1}}(z-3)^nright)'= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}n}{4^{n+1}}(z-3)^{n-1}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n(n+1)}{4^{n+2}}(z-3)^n,quad |z-3|<4.end{gathered}

Записываем ответ: frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}= frac{5}{16}cdot frac{1}{z-3}+ sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,quad 0<|z-3|<4.

Пример 3.35. Разложить функцию z^3e^{frac{1}{z}} в окрестностях точек z_0=0 и z_0=infty.

Решение

Оба разложения — разложения по степеням z и получаются из основного разложения, а именно

z^3e^{frac{1}{z}}= z^3! left(1+frac{1}{z}+ frac{1}{2!z^2}+ ldots+ frac{1}{n!z^n}+ ldotsright)!,

или

z^3e^{frac{1}{z}}=z^3+z^2+frac{1}{2!}z+frac{1}{3!}+frac{1}{4!z}+ ldots+ frac{1}{n!z^{n-3}}+ldots,quad |z|>0.

Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей. Так, в случае точки z_0=0 правильная часть содержит конечное число слагаемых — четыре и ответ записывается в виде

z^3e^{frac{1}{z}}= z^3+z^2+frac{1}{2}z+frac{1}{6}+ sum_{n=-infty}^{-1} frac{z^n}{(3-n)!},quad |z|>0.

В случае z_0=infty конечное число слагаемых образует главную часть и ответ записывается в виде

z^3e^{frac{1}{z}}= z^3+z^2+frac{1}{2}z+ sum_{n=-infty}^{0} frac{z^n}{(3-n)!},quad |z|>0.

Пример 3.36. Разложить по степеням z функции: а) frac{1-cos z}{z^2}; б) frac{sin z}{z}. С помощью полученных разложений найти limlimits_{zto0}f(z).

Решение

Применяем основные разложения для cos z и sin z и записываем ряды для заданных функций:

а)

begin{aligned}frac{1-cos z}{z^2}&= frac{1}{z^2}! left(1-sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} right)= frac{1}{z^2}! left(1-1-sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!} right)= frac{1}{z^2} sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n}}{(2n)!}=\ &= sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-2}}{(2n)!}= sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n+2)!},,quad |z|>0.end{aligned}

Таким образом, получаем результат: frac{1-cos z}{z^2}= frac{1}{2}-frac{z^2}{4!}+ frac{z^4}{6!}-ldots.

Справа записан степенной ряд, сходящийся всюду, его сумма при zne0 равна frac{1-cos z}{z^2}, а при z=0, очевидно, равна frac{1}{2}.

Получаем limlimits_{zto0} frac{1-cos z}{z^2} = frac{1}{2} или 2limlimits_{} frac{1-cos z}{z^2}=1. Результат можно записать в виде асимптотической формулы:

1-cos zsim frac{1}{2},z^2,quad zto0.

б) frac{sin z}{z}= frac{1}{z} sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1}z^{2n-1}}{(2n-1)!}= sum_{n=0}^{infty} frac{z^{2n}(-1)^n}{(2n+1)!},~~|z|>0.

Получен результат: frac{sin z}{z}=1-frac{z^2}{3!}+ldots. Отсюда limlimits_{zto0}frac{sin z}{z}=1. Результат, как и в случае “а”, можно записать в виде асимптотической формулы: sin zsim z,~zto0.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Пример 1.
Требуется получить все возможные
разложения в ряд Лорана по степеням z
– 2 функции .

Здесь z0
= 2; функция теряет аналитичность в точках

z1
= 0, z2
= -4. Легко видеть, что существует три
области аналитичности с центром в z0
(один круг и два кольца), на границах
которых функция теряет аналитичность:

1. |
z
– 2|
< 2; 2. 2
< |
z
– 2|
< 6; 3. |
z
– 2|
> 6. В
каждой из этих областей разложение
будет таким:

1. В первой области
(круге) функция аналитична, поэтому ряд
Лорана будет совпадать с рядом Тейлора.

– таково разложение f(z)
на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора
каждую их них. ,
где | z
– 2| < 2; ;
это разложение справедливо, если |
z
– 2| < 6, т.е. в первой и второй областях.
Окончательно в первой области .
Этот ряд содержит только правильную
часть.

2. В кольце 2 < |
z
– 2| < 6 знаменатель второй геометрической
прогрессии (для дроби )
по модулю ,
поэтому разложение остаётся в силе. Для
первой дроби, с учётом того, что ,
получим
=.
Это – главная часть ряда Лорана. Разложение
имеет вид.

3. В кольце
для первой дроби разложение такое же,
как и в предыдущем случае:
или.
Для второй дроби
.
Ответ можно записать и в форме ,
и в форме .
В этом разложении имеется только главная
часть.

Пример
2
. Разложить
функцию
в ряд Лорана по степеням.

Решение.
Здесь функция теряет аналитичность
только в точке
,
поэтому

.
Главная часть здесь равна
,
остальные слагаемые образуют правильную
часть.

Пример 3.
Разложить функцию
в ряд Лорана по степенямz
+ 2.

Решение.
Здесь z0
= -2; функция теряет аналитичность только
в точке z0
и в точке z1
= 2, отстоящей от z0
на расстоянии 4, поэтому имеется два
кольца: 1. 0 < |
z
+ 2| < 4 и 2. |
z
– 2| > 4.
.
Первый множитель уже представлен в виде
суммы по степеням |
z
+ 2|, работаем со вторым. Третью степень
в знаменателе получим, дважды дифференцируя
разложение функции
.

1. В первом кольце
0 < | z
+ 2| < 4 получаем
,,,

.

Это и есть искомое
разложение в первом кольце. Его можно
преобразовывать, например, собрать
вместе члены с одинаковыми степенями
z
+ 2, выделить главную часть:
и т.д., но это уже не принципиально.

2. Во втором кольце
| z
+ 2| > 4 получаем
,,,.

133

Соседние файлы в папке tfcv

  • #
  • #
  • #
  • #

1°. Ряд Тейлора. Функция однозначная и аналитическая в точке разлагается (то есть является суммой) в окрестности этой точки в степенной ряд – ряд Тейлора

, (5.10)

Где коэффициенты вычисляются по формулам

, (5.11)

Где Г – окружность с центром в точке , целиком лежащая в области аналитичности . Областью сходимости ряда является круг с центром в точке разложения радиуса R, равном расстоянию от центра разложения до ближайшей осо бой точки – точки, в которой теряет аналитичность.

Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (5.10), коэффициенты которого определяются по формулам (5.11).

Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцирования степенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (5.10) называется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

1) , ; 2) , ;

3) ,; 4) , ; (5.12)

5) , ; 6) ,

, ; 7) ;

8) .

Для непосредственного разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора), необходимо найти закон получения производной N-го порядка (подобные примеры опустим).

Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .

Решение. Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции . Воспользуемся разложением 4) из (5.12) для , полагая . Так как разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, для : .

Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.

Пример 2. Разложить в ряд по степеням Z функцию .

Решение. Разложим на простейшие дроби: . По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (5.12) получим:

, и ,

. Замечая, что и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости, получим , . Складывая ряды для и , имеем , .

2°. Ряды Лорана.

Определение. Рядом Лорана называется ряд (5.6)

; (5.6)

При этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд – правильной частью. Если , то областью сходимости ряда (5.6) является кольцо .

Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана (5.6), коэффициенты которого вычисляются по формулам:

(5.13)

Заметим, что из этой теоремы “кольца разложимости” определяются через расстояния от центра разложения до двух “соседних” особых точек . Вычисление контурных интегралов (5.14), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию .

Решение. Преобразуем данную функцию:

. (1)

Первые два слагаемых в правой части (1) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , . Применяя формулу 7), а затем 8) (из (5.12)), найдем

, (2)

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), после несложных преобразований получим разложение в кольце в ряд Лорана:

.

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности .

Решение. Для любого комплексного имеем
Полагая , получим: . Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае “кольцо” представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой : .

Пример 3. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции .

Решение. Функция имеет две особые точки: и . Следовательно, имеется три “кольца” с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) кольцо ; в) – внешность круга . Найдем ряды Лорана для функции В каждом из этих “колец”. Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей: (1). а)разложение в круге . Преобразуем (1) следующим образом: (2). Используя формулу 7) из (5.12), получим: , (3); , (4). Подставляя эти разложения в (2), получим: – это разложение есть ряд Маклорена функции . б) разложение в кольце . Ряд (4) для функции остается сходящимся в этом кольце, так как . Ряд (3) для функции расходится для . Поэтому преобразуем следующим образом:
(5). Применяя формулу 7), получим: (6). Этот ряд сходится, если , то есть при . Подставляя (4) и (6) в (5), найдем . в) разложение для . Ряд (4) для функции при расходится, а ряд (6) для функции будет сходиться, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде . Используя формулу 7), получаем . Заметим, что этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Решение. Особые точки функции: . а) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Представим функцию в виде суммы простейших дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в котором Z Заменим на , получим или . б) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Имеем .

< Предыдущая   Следующая >

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Определение[править | править код]

Ряд Лорана в конечной точке {displaystyle z_{0}in mathbb {C} } — функциональный ряд по целым степеням {displaystyle (z-z_{0})} над полем комплексных чисел:

{displaystyle sum _{n=-infty }^{+infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},quad } где переменная {displaystyle zin {mathbb {C} }setminus {z_{0}}}, а коэффициенты {displaystyle c_{n}in mathbb {C} } для {displaystyle nin mathbb {Z} }.

Этот ряд является суммой двух степенных рядов:

  1. {displaystyle sum _{n=0}^{+infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}} — часть по неотрицательным степеням {displaystyle (z-z_{0})},
  2. {displaystyle sum _{n=-infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}} — часть по отрицательным степеням {displaystyle (z-z_{0})}.

Ряд Лорана сходится тогда и только тогда, когда сходятся обе (как по отрицательным, так и по положительным степеням) его части.

Если {displaystyle A_{z_{0}}subseteq ({mathbb {C} }setminus {z_{0}})} — область сходимости ряда Лорана такая, что {displaystyle z_{0}in partial {A_{z_{0}}}}, то для {displaystyle A_{z_{0}}}

ряд {displaystyle sum _{n=0}^{+infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}} называется правильной частью,
ряд {displaystyle sum _{n=-infty }^{-1}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}} называется главной частью.

Ряд Лорана в бесконечно удалённой точке {displaystyle z_{0}=infty in {overline {mathbb {C} }}} — функциональный ряд по целым степеням z над полем комплексных чисел:

{displaystyle sum _{n=-infty }^{+infty }c_{n}z^{n},quad } где переменная {displaystyle zin mathbb {C} setminus {0}}, а коэффициенты {displaystyle c_{n}in mathbb {C} } для {displaystyle nin mathbb {Z} }.

По внешнему виду ряд для {displaystyle z_{0}=infty } совпадает с рядом для {displaystyle z_{0}=0}, однако, с формальной точки зрения получен с помощью замены {displaystyle zleftrightarrow {frac {1}{zeta }}} для {displaystyle zeta _{0}=0}.

Если {displaystyle A_{infty }subseteq ({mathbb {C} }setminus {0})} — область сходимости ряда Лорана такая, что {displaystyle infty in partial {A_{infty }}}, то для {displaystyle A_{infty }}

ряд {displaystyle sum _{n=-infty }^{0}c_{n}z^{n}} называется правильной частью,
ряд {displaystyle sum _{n=+1}^{+infty }{c_{n}}{z^{n}}} называется главной частью.

Свойства[править | править код]

часть по отрицательным степеням {displaystyle (z-z_{0})} сходится во внешности {displaystyle Delta _{r}={overline {mathbb {C} }}setminus {overline {D}}_{r}={zin {overline {mathbb {C} }}:|z-z_{0}|>r}} круга {displaystyle D_{r}} радиуса {displaystyle r={varlimsup limits _{nrightarrow +infty }},|c_{-n}|^{1/n}in [0;+infty ]}.
Поэтому, если {displaystyle r<R,}, то внутренность A области сходимости ряда Лорана непуста и представляет собой круговое кольцо

{displaystyle A={zin mathbb {C} mid 0leq r<|z-z_{0}|<Rleq +infty }=Delta _{r}cap D_{R}}.
а в точках граничной окружности {displaystyle C_{r}(z_{0})={zin mathbb {C} :|z-z_{0}|=r}} — только от {displaystyle sum _{n=-infty }^{-n_{s}}{c_{n}}{(z-z_{0})^{n}}} для произвольного {displaystyle n_{s}in mathbb {N} }.
Таким образом, как и для степенных рядов поведение ряда Лорана в граничной точках кольца A может быть разнообразным.
{displaystyle sum _{n=-infty }^{+infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}=sum _{k=0}^{+infty }t_{k}(zeta _{0})(z-zeta _{0})^{k},quad } где {displaystyle zin D_{rho }(zeta _{0})}, а {displaystyle t_{k}(zeta _{0})={frac {f^{(k)}(zeta _{0})}{k!}}} для {displaystyle kin {0}cup mathbb {N} },
т.е. {displaystyle zeta _{0}} является для f(z) правильной точкой. Таким образом, сумма ряда Лорана в A есть аналитическая функция f(z).
Ряд {displaystyle sum _{n=-infty ,nneq -1}^{+infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},}, представляющий в двусвязной области A функцию {displaystyle f(z)-{frac {c_{-1}}{z-z_{0}}},}, для любого компактного {displaystyle Ksubset A} и любой спрямляемой ориентированной кривой {displaystyle gamma subset K} можно интегрировать по gamma почленно, при этом результат интегрирования зависит только от начальной и конечной точек gamma и не зависит от формы кривой gamma .
{displaystyle c_{n}={frac {1}{2pi i}}int limits _{gamma }{frac {f(z),dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}={frac {1}{2pi i}}int limits _{|z-z_{0}|=rho }{frac {f(z),dz}{(z-z_{0})^{n+1}}}},
где gamma — любая спрямляемая кривая, лежащая в компактном {displaystyle Ksubset A} и один раз обходящая против часовой стрелки точку z_{{0}}. В частности, в качестве gamma можно взять любую окружность {displaystyle C_{rho }={z_{0}+rho e^{it}mid tin [0;2pi ]}} радиуса {displaystyle rho in (r;R)} с центром в z_{{0}}, расположенную внутри кольца сходимости и ориентированную положительно (параметр t должен возрастать).

Теорема Лорана[править | править код]

Применение рядов Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая функция f(z), являющаяся однозначной и аналитической в кольце {displaystyle A={zin mathbb {C} mid 0leq r<|z-z_{0}|<Rleq +infty }}, представима в A сходящимся рядом Лорана по степеням {displaystyle (z-z_{0})}.

Представление однозначной аналитической функции f(z) в виде ряда Лорана служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности {displaystyle A_{z_{0}}} изолированной особой точки:

1) если точка {displaystyle z_{0}neq infty }, то существует радиус {displaystyle R_{z_{0}}in (0;+infty ]} такой, что
в проколотой окрестности

{displaystyle A_{z_{0}}={zin mathbb {C} mid 0<|z-z_{0}|<R_{z_{0}}}quad }

функция f(z) представима (сходящимся) рядом Лорана;

2) если точка {displaystyle z_{0}=infty }, то существует радиус {displaystyle r_{infty }in [0;+infty )} такой, что
в проколотой окрестности

{displaystyle A_{infty }={zin mathbb {C} mid r_{infty }<|z|<infty }}

функция f(z) представима (сходящимся) рядом Лорана.

Тип изолированной особой точки z_{{0}} определяется главной частью ряда Лорана в проколотой окрестности {displaystyle A_{z_{0}}}:

  • Устранимая особая точка — главная часть ряда Лорана равна 0.
  • Полюс — главная часть содержит конечное число ненулевых членов.
  • Существенно особая точка — главная часть содержит бесконечное число ненулевых членов.

Литература[править | править код]

  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
  • Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том 1: Начала теории. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — 486 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е. — М.: Наука, 1984. — 432 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Все. Решил. Вроде бы. С полными выкладками своих рассуждений. Проверьте кому не лень именно ход.

Арифметика- не страшно, ее можно всегда быстро поправить.

Изображение

Рассмотрим поведение функции. в данном интервале.

(кольцо представленное окружностью до первой критической точки) $$zk=0$$

От точки разложения $$z=1+3i$$ ближайшей точкой(из особых) является точка $$zk=0$$ На основе данного факта и сформирована данная окружность.

Функция $$w= frac {z-1} {z(z+1)}$$ разложена на две простые дроби.

$$w= frac {z-1} {z(z+1)} = frac {2} {z+1} - frac {1} {z}$$

Обе данные функции не встречаются с особыми точками на интервале $$(1+3i;0)$$ т.е для обоих выполняется условие $$|z-z0|<|varepsilon-z0|$$

Где $$varepsilon$$ соответствующая особая точка для каждой из двух функций.

(Т.е радиус изменения $$z$$ (от точки $$1+3i$$) меньше радиуса от точки $$1+3i$$ до ближайшей особой).

Разложение ведется по формуле:

Если $$|z-z0|<|varepsilon -z0|$$ т.е как бы изменение z не превосходит $$varepsilon$$

$$frac {1} {1-z} = frac {1} {(varepsilon-z0)-(z-z0)}= frac {1} {(varepsilon -z0)(1-frac {z-z0}{varepsilon-z0})}= sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(z-z0 )^n}{(varepsilon-z0)^{n+1}}$$

$$frac {2} {z+1} = 2 frac {1}{z+1} =2 (frac {-1}{-z-1}) = -2 frac {1} {-z-1}= -2 (frac {1}{-1-z})$$

Сопоставим с формулой: В нашем случае $$varepsilon =-1$$ $$ z0=1+3i$$

$$-2 (frac {1}{-1-z})=-2(sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(z-1-3i) ^n}{(-1-1-3i)^ {n+1}})=-2(sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(z-1-3i) ^n}{(-2-3i)^ {n+1}})$$

$$frac {-1} {z} = frac {1} {-z} = frac {1} {0-z}$$

В нашем случае $$ varepsilon=0 $$ $$z0=1+3i$$

$$ frac {-1} {z} = frac {(z-1-3i) ^n} {(0-1-3i)^ {n+1}} =sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(z-1-3i) ^n} {(-1-3i)^ {n+1}}$$

Итого в круге $$ f(z)=-2(sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(z-1-3i) ^n}{(-2-3i)^ {n+1}}) +sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(z-1-3i) ^n} {(-1-3i)^ {n+1}}$$

Изображение

От особой точки z=0 до точки z=-1 образуется интервал, представленный кольцом. Рассмотрим как ведут себя функции $$frac {2} {z+1}$$ и $$frac {-1} {z}$$ внутри кольца

Точка z=0 является особой для второй функции. Точка 0 не является особой для первой функции. По этому разложение $$frac {2} {z+1}$$ внутри кольца остается таким же, как и разложение внутри круга.

Остается разложить $$frac {-1} {z}$$ в данном интервале. Данная функция как бы уже вывалилась за особую точку.

Т.е выполняется равенство $$|z-z0|>|varepsilon -z0|$$ в нашем случае $$varepsilon = 0$$

В такой ситуации разложение ведется по формуле.

$$ frac {1} {varepsilon -z} = frac {-1} {z-varepsilon} =frac {-1}{(z-z0)-(varepsilon - z0)} =frac {-1} {(z-z0)(1-frac {varepsilon-z0}{z-z0})} = sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(varepsilon - z0) ^n}{(z-z0)^{n+1}}$$

Разложим $$frac {-1}{z} = frac {1} {0-z}$$ В нашем случае $$varepsilon=0$$ и $$ z0=1+3i$$

Тогда $$frac {-1} {z} = frac {1} {0-z} =sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(0-1-3i) ^n} {(z-1-3i) ^{n+1}}=sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(-1-3i) ^n} {(z-1-3i) ^{n+1}}$$

Итого в кольце $$f(z)=-2(sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(z-1-3i) ^n}{(-2-3i)^ {n+1}})+sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(-1-3i) ^n} {(z-1-3i) ^{n+1}}$$

Изображение

Окружающая бесконечность. Сдесь уже для обоих функций выполняется условие $$|z-z0|>|varepsilon-z0|$$

Т.е обе функции как бы вывалились за свои соответственные особые точки.

$$frac {1} {varepsilon -z} = frac {-1} {z-varepsilon} = frac {-1} {(z-z0)-(varepsilon-z0)}=frac {-1}{(z-z0)(1-frac {varepsilon-z0}{z-z0})}}=
=sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(varepsilon - z0) ^n} {(z-z0) ^ {n+1}}$$

Условие $$|z-z0|>|varepsilon - z0|$$ уже выполнялось для frac {-1} {z} внутри кольца. Сдесь оно тоже выполняется, по этому разложение будет таким же как и в кольце.

Разложим $$ frac {2} {z+1}= -2(frac {1} {-1-z})= -2 sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(-1-1-3i) ^n} {(z-1-3i) ^ {n+1}} =
-2 sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(-2-3i) ^n} {(z-1-3i) ^ {n+1}}$$

Итого $$f(z)=sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(-1-3i) ^n} {(z-1-3i) ^{n+1}}-2 sumlimits_{n=0}^{infty} frac {(-2-3i) ^n} {(z-1-3i) ^ {n+1}}$$

Добавить комментарий