Как найти ложное равенство

Тип урока: урок формирования
первоначальных предметных навыков и УУД,
овладения новыми предметными умениями.

Цель: расширить знания детей о
равенствах и неравенствах, познакомить с
понятием истинных и ложных равенств и
неравенств.

Задачи:

• учить определять истинность или ложность
  утверждений для данного объекта с точки зрения
  объективной действительности;
• понимать описание объекта с помощью истинных и
  ложных утверждений;
• расширять, обогащать и активизировать словарь
  учащихся (предметная);
• формировать навыки аккуратности,
  дисциплинированности и усидчивости;
• сформировать мотивационную основу учебной
  деятельности, положительное отношение к уроку,
  понимание необходимости учения;
• следовать установке на здоровый образ жизни и
  ее реализации в реальном поведении;
• способствовать проявлению самостоятельности в
  разных видах детской деятельности;
• создавать   условия для проявления
  обучающимися интереса к учебному материалу и
  учебной деятельности (личностная);
• развивать умения выделять главное в изученном
  материале, сравнивать, обобщать, логически
  излагать свои мысли;
• развивать умение работать с разными видами
  информации;
• работать над использованием знаково –
  символичных средств;
• уменее ориентироваться в своей системе знаний:
  отличать новое от уже известного с помощью
  учителя;
• развивать словесно-логическую память,
  абстрактное мышление, устойчивое внимание,
  умение выполнять построение цепочки суждений и
  выражать результат в устной речи (познавательная);
• формировать умение принимать и сохранять
  учебную задачу;
• уметь определять и формулировать цель на уроке
  с помощью учителя;
• планировать свое действие в соответствии с
  поставленной задачей;
• высказывать свое предложение (регулятивная);
• создавать условие для учебного сотрудничества
  с учителем и сверстником;
• формировать умение использовать в общении
  правила вежливости;
• воспитывать навыки учебного сотрудничества (коммуникативная);

Предварительная подготовка учителя: загадки,
сигнальные карточки, тест, презентации.

ТСО: мультимедиапроектор,
интерактивная доска, презентация (Power Point),
видеоролик, ИНФОРМАТИКА  учебник-тетрадь 2 кл (2
часть).

ХОД УРОКА

1. Мотивация к учебной деятельности

– Здравствуйте, на перемене вы отдохнули,
теперь давайте успокоимся, сосредоточимся ,
настроимся на работу. В этом вам поможет
видеоролик «Истина в красоте» (Приложение
1)

2. Актуализация знаний

– Свой урок я хотела бы начать с загадок.

1 Загадка

От человека утаишь, от совести не утаишь. –
Ложь

2 Загадка

В огне не горит, в воде не тонет, в земле не
гниет. – Истина

(На доске есть подсказки)

Правильно давайте же мы с вами поиграем в
истинные и ложные высказывания. (На столе лежат
карточки).

Работа с карточками (3 мин)

1. Все птицы хорошо летают  (Л)
2. Некоторые луговые цветы желтые (И)
3. Если  Даша учиться во втором классе, то Даша –
   школьница (И)
4. Если Витя – школьник, то он учиться во втором
   классе (Л)
5. Если число записано двумя цифрами, то оно
   двузначное (И)
6. Информатика изучает числа и фигуры (Л)
7. Информатика изучает только устройство
   компьютера (Л)
8. Человек получает информацию через органы
   чувств (И)
9. Компьютер получает информацию через устройства
   ввода (И)
10. Монитор – устройство ввода (Л)

3. Вхождение в проблему

Предлагаю вспомнить следующих высказываний, и
определить истинные они или ложные. (Презентация
1) (10 мин)

Вспомним некоторые равенства и неравенства (1
человек у доски)

–  Ребята нам пришло письмо! В этом письме
белочка просит помощи, ей нужно собрать, как
можно больше грибов на зиму, но прежде мы должны
разобраться, съедобный этот гриб или нет, а в этом
ей помогут наши знания.
– Посмотрите у нас грибы необычные!
– Что они содержат?  ответ детей: (Равенства
и неравенства)
– Но не все грибы соберет белка, а только те в
которых высказывания будут истинными, те и будут
являться съедобными.
– Ребята, какая задача стоит перед нами?

Ответ детей: определить истинность и
ложность высказываний в равенствах,
и неравенствах.

– Совершенно верно, мы сегодня с вами будем
определять истинность и ложность высказываний в
равенствах,  и неравенствах, ставить знак  <
или  > или = так, чтобы
получилось истинные высказывания, решать задачи
на логику.

№47 (1 человек у доски)

№ 49 (1 человек у доски)

№ 5 (1 человек у доски)

– Ребята, хочу предложить вам решить одну очень
интересную задачку  на логику. На арене четыре
клоуна. Топ полнее Мима, а Смех худее Мима, но
полнее Бона. Подпишите имена клоунов, (каждый
работает в своей карточке)

Для проведения самопроверки,
поменяйтесь карточками с соседом по парте.

4. Физкультминутка

– Мы хорошо поработали теперь можно и
отдохнуть.  (Презентация 2)

5. Закрепление полученных знаний

Приступаем к самостоятельной работе.
Пожалуйста будьте внимательны и аккуратны (7 мин.)

1 вариант

2 вариант

6. Рефлексия

– Мы с вами узнали, что истинные и ложные
высказывания могут быть не только в
высказываниях, но и в равенствах и неравенствах.
– Назовите синоним к слову истина?  (правда,
да)
– Назовите синоним к слову ложь?  (не правда,
нет)
– Итак, давайте вспомним, что является
равенством? (Равенства – это два выражения,
соединенных знаком «=»)
– Что является неравенством? (Два выражения,
соединенных знаком «>» или «<» – неравенство.)

(Презентация 3)

– Перед вами два дерева, дерево лжи и дерево
истины.
– Как вы думаете какое дерево Истины?
– Почему?
– Правильно, истина – это правда, истины в нашей
жизни больше, поэтому дерево развивается, растет,
дает плоды, оно пышное и красивое.
– А теперь я прочитаю вам высказывания, если оно
для вас истинное, то приклейте свой улыбающийся
смайлик на дерево истины, а если ложно на дерево
лжи: «Я удовлетворен уроком, урок был полезен для
меня, я много и с пользой работал на уроке, я понял
все, о чем говорилось и делалось на уроке».

Ложные равенства

Пусть даны 2
числовых выражения АиВ. Соединив
их знаком равенства, получим некоторое
высказывание, называемое числовым
равенством.

Равенство А=В считается истинным тогда и только
тогда, когда оба выраженияАиВимеют числовые значения, причем эти
значения одинаковы.

Пример. 1) 16 :
2 = 3 + 5 – истинное числовое равенство,
т.к. левая и правая части этого неравенства
имеют значение 8;

2) 3 ∙ 4 = 15 – 4 –
ложное равенство, т.к. значение левой
части равно 12, а правой 11;

3) 15 : (10 – 10) = 15 –
ложно, т.к. выражение в левой части не
имеет значения.

Из данного выше
определения вытекает, что если истинны
равенства А=В иС=D,
гдеА,В,С,D
– числовые выражения, то при условии
выполнимости соответствующих операций,
истинны и равенства (А) + (С) = (В)
+ (D), (А) – (С)
= (В) – (D), (А)
∙ (С) = (В) ∙ (D),
(А) : (С) = (В) : (D),
т.е. числовые равенства можно почленно
складывать, вычитать, умножать, делить.

Отношение равенства
числовых выражений обладает свойствами:

1) рефлексивности
(А=А);

2) симметричности
(А=В В
=А);

3) транзитивности
(А=В  В =С А=С), т.о. данное отношение является
отношением эквивалентности и множество
числовых выражений разбивается на
классы эквивалентности, состоящие из
выражений, имеющих одно и то же значение;

4) если к обеим
частям истинного числового равенства
прибавить одно и то же числовое выражение,
имеющее смысл, то полученное числовое
равенство будет также истинным (А=В (А) +
(С) = (В) + (С));

5) если обе части
истинного числового равенства умножить
на одно и то же числовое выражение,
имеющее смысл, то полученное числовое
равенство будет также истинным (А=В (А) ∙
(С) = (В) ∙ (С));

6) если обе части
истинного числового равенства возвести
в одну и ту же нечетную степень, то
получим истинное числовое равенство
(если п– нечетное натуральное
число, тоА=В (А)^п = (В) ^п;

7) если обе части
истинного числового равенства, левая
и правая части которого имеют
неотрицательное значение, возвести в
одну и ту же четную степень, то получим
истинное числовое равенство (если п– четное натуральное число, значения
числовых выраженийАиВнеотрицательны, тоА=В (А)^п = (В)^п.
Если снять условие, что значения числовых
выраженийАиВнеотрицательны,
то вместо эквивалентности будем иметь
лишь импликациюА=В 
(А)^п = (В)^п.

§ 3. Числовые неравенства и их свойства

Пусть АиВ
– два числовых выражения. Соединив
их знаком > или <, получим некоторое
высказывание, называемое числовым
неравенством. НеравенствоА<Всчитается истинным, еслиАиВ
имеют числовые значения, причем
числовое значение выраженияАменьше числового значения выраженияВ.

Пример. 2 + 5 <
3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая
часть имеет значение 7, правая имеет
значение 12 и 7 < 12.

Неравенство А≤В является дизъюнкцией неравенстваА<В и равенстваА=В.Оно истинно тогда и только тогда, когда
истинно хотя бы одно из данных элементарных
высказываний.

Неравенство А<В <С является конъюнкцией
неравенствА<В иВ <С.Оно истинно тогда и только тогда, когда
истинны оба неравенства.

Выполнив указанные
в числовых выражениях действия, мы
получим в левой и правой части неравенства
соответствующие числа. Пусть а,
b,с,d– соответствующие значения числовых
выраженийА,B,C,D.

Свойства
числовых неравенств

1) если к обеим
частям истинного числового неравенства
прибавить одно и то же числовое
выражение, имеющее смысл, то получим
также истинное числовое неравенство
(А<В (А)
+ (С) < (В) + (С));

2) если обе части
истинного числового неравенства
умножить на одно и то же числовое
выражение, имеющее смысл и принимающее
положительное значение, то полученное
числовое неравенство будет также
истинным (А<В (А) ∙ (С) < (В) ∙ (С));

3) если обе части
истинного числового неравенства
умножить на одно и то же числовое
выражение, имеющее смысл и принимающее
отрицательное значение, то, чтобы
получить истинное числовое неравенство,
необходимо знак неравенства поменять
на противоположный (А<В (А) ∙ (С) > (В) ∙ (С));

4) неравенства
одного знака можно почленно складывать
(А<В,С <D
(А) + (С)
< (В) + (D));

5) неравенства
одного знака, имеющие положительные
значения, можно почленно перемножать
(если А<В,С <D,
причема, b,с,d > 0, то
(А) ∙ (С) < (В) ∙ (D));

6) обе части
истинного числового неравенства можно
возвести в одну и ту же нечетную степень
(если п– нечетное натуральное
число, тоА<В (А)^п < (В) ^п);

7) возводить в
четную степень обе части неравенства
можно лишь в том случае, если обе они
имеют неотрицательные значения (если
п– четное натуральное число иа,
b ≥ 0, тоА<В (А)^п
< (В) ^п);

8) если а, b
< 0,А<В >.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Опубликовано 23.01.21 в 20:24 в группе «Учителя начальных классов»

Комментарии (9)

сменить сортировку

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.

Числовые равенства и неравенства. Методика
изучения числовых равенств и неравенств.

Возьмём
два числовых выражения  32-20 и 144 : 12.

Соединим
их знаком равенства. 32 -20 = 144 : 12 (и), т. к. 12=12

Получим
высказывание, которое называется числовым равенством.

Это
высказывание истинно.

 14 +
4 • 8 = 4 • 9 (л), т. к. 46≠ 36

Определение 1. Два числа или
два числовых выражения, соединённые знаком равенства, называются числовым
равенством.

Определение 2. Высказывание
вида a = b , где
а и в числовые выражения, называется числовым равенством.

Символически числовое равенство записывается так: a = b.

Если знаком равенства соединены 2 числовых выражения,
значения которых равны, то получится истинное числовое равенство, если не
равны, то ложное.

Таким образом, с логической
точки зрения числовое равенство – это высказывание, истинное или ложное.

Числовое
равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой
частях равенства, совпадают.

Свойства истинных числовых равенств

1) Если к обеим
частям истинного числового равенства прибавить одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то
получится истинное числовое равенство.

Если a = b  (и), то a +c = b + c  тоже
истинно.

Дано: a = b  истинное числовое равенство, c – число или
числовое выражение, имеющее смысл

Доказать:
a +c =
b + c   (и).

Доказательство:

По
свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a +c = a + c .

 По условию a = b  , в правой части равенства заменим а на в, получим, а + с =
в + с ч.т.д.

Следствие: Любой член
истинного числового равенства можно переносить из одной части в другую, поменяв
знак на противоположный.

a + m = b + m
+ n

a = – m + b +
m + n

a = b + n

2)
Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то
получится истинное числовое равенство.

Если a = b  (и), то a • c = b • c  тоже истинно.

Дано: a = b  истинное числовое равенство, c – число или
числовое выражение, имеющее смысл

Доказать:
a •c =
b • c   (и).

Доказательство:

По свойству
рефлексивности отношения «равно» можно записать a • c = a • c .

 По условию a = b  , в правой части равенства заменим а на в, получим, а • с = в • с ч.т.д.

Следствие: Обе части
истинного числового равенства можно разделить на одно и то же число, не равное нулю.

В начальной школе
истинные числовые равенства называют верными, ложные– неверными.

II.
Повторение.

-Какие выражения называются числовыми выражениями? (Они образуются из чисел, знаков действий и
скобок).

-Что такое значение числового выражения? (Если
выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое
называется значением
числового выражения).

-Существуют ли числовые выражения, значения
которых нельзя найти?

Какие действия
выполняются раньше 1 или 2 ступени? (действия второй ступени (умножение и
деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание)).

-Что называется выражением с переменной  (Запись,
состоящая из чисел, знаков действий, скобок и букв)

-Областью определения выражения с переменной? (множество тех значений
переменной, при которых выражение имеет смысл).

-Какие преобразования относятся к
тождественным?

-приведение подобных;

-раскрытие скобок;

-приведение дробей к общему знаменателю;

-группировка или заключение в скобки)

-Что такое тождественное преобразование? (Замена
выражения с переменной другим выражением тождественно равным ему называется тождественным
преобразованием).

-Как называются такие
записи: (3 + 2)) – 12 или 3х-у:+)8, (их нельзя назвать ни
числовым выражением, ни выражением с переменной).

Задача 1. Найти
значение выражения Зх(х-2) + 4(х-2) при х = 6.

Решение.

1          способ. Подставим число 6
вместо переменной в данное выражение: 3-6(6-2) + 4(6-2). Чтобы найти значение
полученного числового выражения, выполним все указанные действия:

3-6-(6-2) + 4-(6-2) = 18-4 + 4-4 = 72+ 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения

 Зх(х-2)+4(х-2) равно 88.

2          способ. Прежде чем подставлять
число 6 в данное выражение, упростим его:

 Зх(х-2) + 4(х-2) =
(х-2)(Зх+4). И затем, подставив в полученное выражение вместо Х число 6, выполним
действия: (6-2)-(3-6 + 4)= 4-(18+4) = 4-22 = 88.

Обратим внимание на
следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение
заменяли другим. Например, выражение 18-4+4-4 заменяли выражением 72+16, а выражение
Зх (х-2) + 4(х-2)-выражением (х – 2)(3х + 4), причем эти замены привели к
одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи,
говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.

-Какие два выражения называются
тождественно равными? (если при любых значениях переменных из области
определения выражений их соответственные значения равны).

– Как получить тождество? (Если два
тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком
равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве).

Например, 5(х + 2) = 5х + 10 – тождество на
множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел
значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора
общности, это тождество можно записать так: (“ х Î R) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.

Замена выражения другим, тождественно равным
ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Задача 2. Разложить на множители выражение ax–bx+ab–b².

Решение. Сгруппируем члены данного выражения по
два (первый со вторым, третий с четвертым): ax–bx+ab–b² = = (ax–bx) + (ab–b²). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности
сложения действительных чисел.

Вынесем в полученном выражении из каждой скобки
общий множитель: (ax–bx)+(ab–b²) = x(a–b)+b(a–b) – это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности
умножения относительно вычитания действительных чисел.

В полученном выражении слагаемые имеют общий
множитель, вынесем его за скобки: x(a–b)+b(a–b) = (a–b)(x–b). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности
умножения относительно сложения.

Итак, ax–bx+ab–b² – (a–b)(x–b).

Числовые неравенства.

I. Повторение изученного:

– Какое предложение 
называют числовым равенством?

– Приведите примеры
числовых равенств.

Возьмем, например, числовые
выражения 3 + 2 и 6 – 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком
равенства 3 + 2 и 7 – 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = 7-3.

– Можно ли числовое
равенство считать высказыванием? (Да)

– Какое числовое равенство
истинно? (Если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях
равенства, совпадают).

– Назовите свойства
истинных числовых равенств.

Если к обеим частям
истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение,
имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.

Если обе части истинного
числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл,
то получим также истинное числовое равенство.

Если два числовых выражения
соединить знаком «>» или «<», то получим числовое  неравенство.

Определение.
Два числовых выражения, соединённые знаком «>» или «<», образуют числовое 
неравенство.

Например, если соединить
выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>»,
то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7 (И). Если соединить те же выражения знаком «<», получим
ложное числовое неравенство 6 +2 < 13-7(Л).

Таким образом, с логической
точки зрения числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное. А,
следовательно, к числовым неравенствам можно применить логические операции.

Конъюнкцию двух числовых неравенств принято записывать в
виде двойного неравенства.

(5 > 4  /
 5 < 6) <=> (4 <  5
< 6)

Дизъюнкцию числового
равенства и неравенства записывают в виде нестрогого неравенства

(5 > 4    V  5
= 4) <=>
(5≥
4 )

Определение.
Если два числовых неравенства имеют одинаковые знаки, то их называют неравенствами
одинакового смысла, если у неравенств разные знаки,
то неравенствами противоположного смысла.

a >b и c
> d – одинакового смысла;

a >b и c
< d – противоположного смысла.

Рассмотрим свойства  истинных
числовых неравенств.

Свойство 1.

Для любых чисел a  и  b верно, что если a >b, то a –  b > 0.

(“a, b) (a >b =>a –  b > 0).

Доказательство:

Нам дано, что a >b.По
опр отношения «>», существует такое натуральное число к, что a = b +
к. => по 2 опр разности a –  b = к. Так как к ÎN , к > 0, то a –  b
> 0 ч.т.д.

Свойство 2.

Если к обеим частям истинного числового
неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то
получим также истинное числовое неравенство.

(“a, b, с) (a >b => a +с > b +
с).

Доказательство:

По условию a >
b, тогда по 1 свойству a – b
> 0 => (a –  b) +
(с – с)
> 0 =>применяем сочет
свойство (a +  с) – (b + с) > 0 => по свойству 1  a +с > b +
с  ч.т.д.

Свойство 3.

Обе части истинного числового неравенства
можно умножать на одно и то же положительное число, в результате получим
истинное числовое неравенство того же смысла.

(“a, b,
с>0) (a >b => a • с > b • с).

Доказательство:

По условию a >
b, =>
a – b > 0 => (a –  b) • с
> 0 =>применяем
распределит свойство a •  с – b •  с > 0 => a • с > b • с  ч.т.д.

Свойство 4.

Обе части истинного числового неравенства
можно умножать на одно и то же отрицательное число, в результате получим
истинное числовое неравенство противоположного смысла (с противоположным
знаком).

(“a, b,
с<0) (a >b => a • с < b • с).

Свойство 5

Истинные числовые неравенства одинакового
смысла можно почленно складывать, в результате получается неравенство того же
смысла.

(“a, b, с, d) (a >b и  c >d  => a + c > b +d).

Свойство 6

Истинные числовые неравенства противоположного
смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак того неравенства, из которого
вычитаем.

(“a, b, с, d) (a > b и  c <d  => a – c > b – d).

Свойство 7

Истинные числовые неравенства одинакового
смысла с положительными частями можно почленно перемножать, в результате
получается истинное числовое неравенство того же смысла.

(“a, b, с, d) (a >b
>0   и c >d >0 =>  a  • c > b • d).

Свойство 8

Истинные числовые неравенства одинакового
смысла с отрицательными частями можно почленно перемножать, в результате
получается истинное числовое неравенство противоположного смысла.

(“a, b, с, d) (a < b <
0   и c < d  < 0 =>  a  • c > b • d).

Свойство 9

Обе части истинного числового неравенства
можно возводить в одну и ту же степень с натуральным показателем, при этом
получается неравенство того же смысла.

(“a, b и nÎN ) (a > b => aⁿ  >  bⁿ).