Как найти лучше если три точки

Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки

Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее O x y z . В ней лежат три точки M с координатами M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.

1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как A ( x – x 1 ) + B ( y – y 1 ) + C ( z – z 1 ) = 0 . С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) . У нас получается, что нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A , B , C .

Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.

Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его n → .

Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что n → будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Тогда мы можем обозначить n → как векторное произведение вида M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Поскольку M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) а M 1 M 3 → = x 3 – x 1 , y 3 – y 1 , z 3 – z 1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1

Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора n → . Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) , основан на таком понятии, как компланарность векторов.

Если у нас есть множество точек M ( x , y , z ) , то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) только в том случае, когда векторы M 1 M → = ( x – x 1 , y – y 1 , z – z 1 ) , M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) и M 1 M 3 → = ( x 3 – x 1 , y 3 – y 1 , z 3 – z 1 ) будут компланарными.

На схеме это будет выглядеть так:

Это будет означать, что смешанное произведение векторов M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → будет равно нулю: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , поскольку это является основным условием компланарности: M 1 M → = ( x – x 1 , y – y 1 , z – z 1 ) , M 1 M 2 → = ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) и M 1 M 3 → = ( x 3 – x 1 , y 3 – y 1 , z 3 – z 1 ) .

Запишем полученное уравнение в координатной форме:

x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0

После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) .

От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

Есть три точки, не лежащие на одной прямой, с координатами M 1 ( – 3 , 2 , – 1 ) , M 2 ( – 1 , 2 , 4 ) , M 3 ( 3 , 3 , – 1 ) . Составьте уравнение плоскости, проходящей через них.

Решение

Используем поочередно оба способа.

1. Найдем координаты двух нужных нам векторов M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = – 1 – – 3 , 2 – 2 , 4 – – 1 ⇔ M 1 M 2 → = ( 2 , 0 , 5 ) M 1 M 3 → = 3 – – 3 , 3 – 2 , – 1 – – 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = – 5 · i → + 30 · j → + 2 · k →

У нас получился нормальный вектор плоскости, которая проходит через три искомые точки: n → = ( – 5 , 30 , 2 ) . Далее нам нужно взять одну из точек, например, M 1 ( – 3 , 2 , – 1 ) , и записать уравнение для плоскости с вектором n → = ( – 5 , 30 , 2 ) . Мы получим, что: – 5 · ( x – ( – 3 ) ) + 30 · ( y – 2 ) + 2 · ( z – ( – 1 ) ) = 0 ⇔ – 5 x + 30 y + 2 z – 73 = 0

Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.

2. Используем другой подход. Запишем уравнение для плоскости с тремя точками M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 ( x 3 , y 3 , z 3 ) в следующем виде:

x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0

Сюда можно подставить данные из условия задачи. Поскольку x 1 = – 3 , y 1 = 2 , z 1 = – 1 , x 2 = – 1 , y 2 = 2 , z 2 = 4 , x 3 = 3 , y 3 = 3 , z 3 = – 1 , в итоге мы получим:

x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = x – ( – 3 ) y – 2 z – ( – 1 ) – 1 – ( – 3 ) 2 – 2 4 – ( – 1 ) 3 – ( – 3 ) 3 – 2 – 1 – ( – 1 ) = = x + 3 y – 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = – 5 x + 30 y + 2 z – 73

Мы получили нужное нам уравнение.

Ответ: – 5 x + 30 y + 2 z – 73 .

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой размещены три точки с координатами M 1 ( 5 , – 8 , – 2 ) , M 2 ( 1 , – 2 , 0 ) , M 3 ( – 1 , 1 , 1 ) . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через нее.

Решение

Используем первый способ и начнем с вычисления координат двух векторов M 1 M 2 → и M 1 M 3 → . Подсчитаем их координаты: M 1 M 2 → = ( – 4 , 6 , 2 ) , M 1 M 3 → = – 6 , 9 , 3 .

Векторное произведение будет равно:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → – 4 6 2 – 6 9 3 = 0 · i ⇀ + 0 · j → + 0 · k → = 0 →

Поскольку M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , то наши векторы будут коллинеарными (перечитайте статью о них, если забыли определение этого понятия). Таким образом, исходные точки M 1 ( 5 , – 8 , – 2 ) , M 2 ( 1 , – 2 , 0 ) , M 3 ( – 1 , 1 , 1 ) находятся на одной прямой, и наша задача имеет бесконечно много вариантов ответа.

Если мы используем второй способ, у нас получится:

x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0 ⇔ x – 5 y – ( – 8 ) z – ( – 2 ) 1 – 5 – 2 – ( – 8 ) 0 – ( – 2 ) – 1 – 5 1 – ( – 8 ) 1 – ( – 2 ) = 0 ⇔ ⇔ x – 5 y + 8 z + 2 – 4 6 2 – 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Из получившегося равенства также следует, что заданные точки M 1 ( 5 , – 8 , – 2 ) , M 2 ( 1 , – 2 , 0 ) , M 3 ( – 1 , 1 , 1 ) находятся на одной прямой.

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение прямой М 1 М 2 , М 1 М 3 или М 2 М 3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).

2. Взять точку M 4 ( x 4 , y 4 , z 4 ) , которая не лежит на прямой М 1 М 2 .

3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М 1 , М 2 и M 4 , не лежащих на одной прямой.

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

x – x 1	y – y 1	z – z 1	= 0
x 2 – x 1	y 2 – y 1	z 2 – z 1
x 3 – x 1	y 3 – y 1	z 3 – z 1

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Задача C2: уравнение плоскости через определитель

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости. Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока — «Матрицы и определители». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D — коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ — подставить координаты в уравнение Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала — теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

a = 1 · 1 · ( z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · ( z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (− x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − ( x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, рекомендуется — чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель — и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит а в какой — Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

Берем любую точку из первой тройки (например, и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы — и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2. Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

Итак, рассматриваем 4 точки:

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

a = 0 · 1 · ( z − 1) + 1 · 0 · ( x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · ( x − 1) + 1 · (−1) · ( z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = ( x − 1) · 1 · (−1) + ( z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = ( z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + ( x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку но вполне можно было взять В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

Уравнение плоскости через 3 точки

Вы будете перенаправлены на Автор24

Для начала стоит напомнить, как выглядит общее уравнение плоскости:

$Ax cdot + By + Cz + D = 0left(1right)$,

при этом: $$ — координаты нормального вектора данной плоскости, а $D$ — свободный член.

В общем уравнении коэффициенты $A, B, C$ не могут быть одновременно равны нулю, если же один из коэффициентов нулевой — уравнение называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через центр осей координат.

Также в дальнейшем нам пригодится уравнение плоскости, заданной точкой, лежащей в данной плоскости и нормальным вектором:

здесь $(x_0; y_0; z_0)$ — координаты точки плоскости.

Теперь непосредственно к делу.

Уравнение плоскости через три точки можно выразить несколькими способами: с помощью смешанного произведения векторов и выразив сначала нормальный вектор плоскости и используя одну точку.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, через смешанное произведение векторов

Рассмотрим три точки $M_1, M_2, M_3$, не находящиеся на одной прямой. Соответственно аксиоме стереометрии о том, что три точки задают плоскость, и притом только одну, все эти точки лежат в одной плоскости $α$.

Рисунок 1. Плоскость через 3 точки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим точку $M$, лежащую в плоскости $α$. Если описать плоскость $α$ как множество точек $M$, вектора $vec$, $vec$ и $vec$ должны быть компланарны между собой. А как известно, вектора компланарны между собой если их смешанное произведение равно нулю.

Соответственно, для того чтобы вычислить это смешанное произведение, необходимо вычислить определитель третьего порядка, каждая строка которого является координатами вышеперечисленных векторов.

Готовые работы на аналогичную тему

Пусть координаты точек $M, M_1, M_2, M_3$ — $(x; y; z), (x_1;y_1; z_1), (x_2;y_2; z_2), (x_3;y_3;z_3)$ соответственно. Тогда координаты каждого из вышеперечисленных векторов составят:

Составим определитель, описывающий смешанное произведение векторов:

$begin <|ccc|>x-x_1 && y-y_1 && z-z_1 \ x_2-x_1 && y_2-y_1 && z_2-z_1 \ x_3-x_1 && y_3-y_1 &&z_3-z_1 \ end=0$ — уравнение плоскости через 3 точки.

При вычислении этого определителя получается общее уравнение плоскости, проходящей через три точки. Это можно увидеть, раскрыв определитель по первой строке:

$begin <|cc|>y_2-y_1 && z_2-z_1 \ y_3-y_1 &&z_3-z_1 \ end cdot ( x-x_1) + begin <|cc|>x_2-x_1 && z_2-z_1 \ x_3-x_1 &&z_3-z_1 \ end cdot (y-y_1) + begin <|cc|>x_2-x_1 && y_2-y_1 \ x_3-x_1 && y_3-y_1 \ end cdot (z-z_1) = 0left(3right)$.

Коэффициенты из уравнения $(3)$ также совпадают с координатами векторного произведения $vec×vec$ и, так как два этих вектора неколлинеарны и параллельны рассматриваемой плоскости $α$, данное векторное произведение представляет собой нормальный вектор к плоскости, для которой составляется уравнение.

Уравнение плоскости, заданной 3 точками, через нормальный вектор и точку

Другим альтернативным методом задания плоскости является использование нормального вектора плоскости и точки, принадлежащей данной плоскости.

Для того чтобы воспользоваться данным методом, найдём векторное произведение векторов $vec$ и $vec$:

$[vec × vec]= begin <|ccc|>vec &&vec &&vec \ x_2-x_1 &&y_2-y_1 &&z_2-z_1 \ x_3-x_1 &&y_3-y_1 &&z_3-z_1 \ end=0$.

Данное произведение является нормальным вектором плоскости, для которой составляется уравнение. Полученные координаты нормального вектора можно использовать непосредственно для составления уравнения плоскости.

Зная точку, принадлежащую этой плоскости, можно подставить координаты нормального вектора и координаты точки в уравнение $(2)$ и получить уравнение плоскости:

В этом уравнении $n_x; n_y; n_z$ — координаты нормального вектора, определённого из векторного произведения векторов $vec$ и $vec$, а $(x_3; y_3; z_3)$ — некая точка, принадлежащая данной плоскости.

По сути, два вышеприведённых метода представляют одно и то же, так как в обоих необходимо найти координаты нормального вектора и затем, используя их и координаты третьей неиспользованной точки, получить уравнение самой плоскости.

К данной задаче можно также свести задачу с нахождением уравнения плоскости по уравнениям лежащих в ней параллельных и пересекающихся прямых.

Cоставить уравнение плоскости, проходящей через 3 точки $M_1,M_2, M_3$ c координатами $(1;2;3), (1;2;4)$ и $(4;2;-1)$ соответственно.

Воспользуемся вторым способом и найдём координаты вектора через векторное произведение. Для этого сначала выразим координаты векторов:

Найдём их векторное произведение:

Подставим координаты нормального вектора в уравнение $(2)$:

$0cdot(x-4)+(-3) cdot (y-2)+0 cdot(z+1)=0$.

$-3y+6=0$ — искомое уравнение плоскости.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 14.03.2022

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/cartesian_coordinate/plane/

http://www.berdov.com/ege/solid_geometry/uravnenie-ploskosti-opredelitel/

http://spravochnick.ru/matematika/uravnenie_ploskosti_cherez_3_tochki/

[/spoiler]

В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее Oxyz. В ней лежат три точки M с координатами M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.

1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку M1(x1, y1, z1). У нас получается, что нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A, B, C. 

Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.  

Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его n→.

Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что n→ будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек M1M2→ и M1M3→. Тогда мы можем обозначить n→ как векторное произведение видаM1M2→·M1M3→.

Поскольку M1M2→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) а M1M3→=x3-x1, y3-y1, z3-z1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:

n→=M1M2→×M1M3→=i→j→k→x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1

Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора n→. Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), основан на таком понятии, как компланарность векторов.

Если у нас есть множество точек M (x, y, z), то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) только в том случае, когда векторы M1M →=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2 →=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 →=(x3-x1, y3-y1, z3-z1) будут компланарными.

На схеме это будет выглядеть так:

Это будет означать, что смешанное произведение векторов M1M→, M1M2→, M1M3→ будет равно нулю: M1M→·M1M2→· M1M3→=0, поскольку это является основным условием компланарности: M1M →=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2 →=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3 →=(x3-x1, y3-y1, z3-z1).

Запишем полученное уравнение в координатной форме:

x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0

После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3).

От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать уравнение прямой М1М2, М1М3 или М2М3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).

2. Взять точку M4(x4, y4, z4), которая не лежит на прямой М1М2.

3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М1, М2 и M4, не лежащих на одной прямой.  

Высшая математика. Шпаргалка

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Высшая математика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой

3. Пусть имеются точка М (х₁, у₁) и некоторая прямая L, представленная уравнением у = ах + с. Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М, описывается уравнением А(х — х₁) + В(у — у₁) = 0.

Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М:

Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М(х₁, у₁), описывается уравнением А (у — у₁) — В(х — х₁) = 0.

4. Пусть даны две точки А₁ (х₁, у₁), А₂ (х₂, у₂) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:

1) точки А₁, А₂ лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах₁ + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) имеют одинаковые знаки;

3) одна или обе точки А₁, А₂ лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах₁ + + Ву₁ + С) и (Ах₂ + Ву₂ + С) принимают нулевое значение.

5. Центральный пучок — это множество прямых, проходящих через одну точку М (х₁, у₁), называемую центром пучка. Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у — у₁ = к (х — х₁) (параметр пучка к для каждой прямой свой).

Все прямые пучка можно представить уравнением: l(y — y₁) = m(x — x₁), где l, m — не равные одновременно нулю произвольные числа.

6. Пусть даны точка М (х₁, у₁) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояние d от этой точки М до прямой:

Источник

Как проверить что три точки лежат на одной прямой

Если три точки A, B и C лежат на одной прямой, то треугольник ABC обратится в отрезок прямой, а потому его площадь должна быть равна нулю. Полагая в формуле

S = 0, получим условие, при котором три точки лежат на одной прямой

В более удобной форме условие, при котором три точки лежат на одной прямой, можно записать так:

(1)

Подставляя сюда координаты данных точек, получим, что левая часть (1) будет равна

Требование (1) выполнено:

и, значит, три данные точки лежат на одной прямой.

Источник

Когда 3 точки лежат на одной прямой

Очень часто при решения домашней работы возникает вопрос: когда 3 точки лежат на одной прямой, ответ очень прост и он лежит в основе геометрии.

Осуществить проверку того, что три точки лежат на одной прямой можно через составления уравнения, рассматриваемой прямой, которая проходит через две наугад выбранные точки из этих трех. И проверки того, что этому уравнению удовлетворяют координаты оставшейся из этих трех точек.

Есть разные виды уравнения прямой. Воспользуемся одним из простейших способов и рассмотрим его для конкретно заданных точек.

Это сделаем лишь для того, чтобы не решать поставленную задачу в общем виде, а чтобы дать ответ на вопрос лежат ли 3 именно эти точки с этими координатами на одной прямой. Сформулируем задачу: Необходимо проверить лежат ли точки A(-2;1), Б(0;3), В (5;-7) на одной прямой.

Решим поставленную задачу

Как известно, через любые две точки можно провести прямую, причем единственную. Вот и проведем мысленно эту прямую. Допустим, прямую АБ. Значит, решение нашей задачи свелось к тому, что нужно проверить: принадлежит ли точка В прямой АБ. Если окажется, что точка В принадлежит прямой АБ, то все точки из условия будут лежать на одной прямой. Если мы выясним, что точка В не принадлежит прямой АБ, то можно будет утверждать, что точки А, Б и В на одной прямой не лежат. Составим уравнение прямой АБ как уравнение прямой проходящей через две точки:

После преобразования получим:

Как видим, не получили верное числовое равенство. Значит в этом случае точки А, Б, В не лежат на одной прямой.

Пример, когда 3 точки лежат на одной прямой можно легко подобрать для этой задачи. Всего лишь точка В должна иметь координаты (0;3) или (-7;-4)

Источник

Лежат ли 3 точки на прямой. Как определить, лежат ли точки на одной прямой

Очень часто при решения домашней работы возникает вопрос: когда 3 точки лежат на одной прямой, ответ очень прост и он лежит в основе геометрии.

Осуществить проверку того, что три точки лежат на одной прямой можно через составления уравнения, рассматриваемой прямой, которая проходит через две наугад выбранные точки из этих трех. И проверки того, что этому уравнению удовлетворяют координаты оставшейся из этих трех точек.

Есть разные виды уравнения прямой. Воспользуемся одним из простейших способов и рассмотрим его для конкретно заданных точек.

Это сделаем лишь для того, чтобы не решать поставленную задачу в общем виде, а чтобы дать ответ на вопрос лежат ли 3 именно эти точки с этими координатами на одной прямой. Сформулируем задачу: Необходимо проверить лежат ли точки A(-2;1), Б(0;3), В (5;-7) на одной прямой.

Решим поставленную задачу

Как известно, через любые две точки можно провести прямую, причем единственную. Вот и проведем мысленно эту прямую. Допустим, прямую АБ. Значит, решение нашей задачи свелось к тому, что нужно проверить: принадлежит ли точка В прямой АБ. Если окажется, что точка В принадлежит прямой АБ, то все точки из условия будут лежать на одной прямой. Если мы выясним, что точка В не принадлежит прямой АБ, то можно будет утверждать, что точки А, Б и В на одной прямой не лежат. Составим уравнение прямой АБ как уравнение прямой проходящей через две точки:

После преобразования получим:

Как видим, не получили верное числовое равенство. Значит в этом случае точки А, Б, В не лежат на одной прямой.

Пример, когда 3 точки лежат на одной прямой можно легко подобрать для этой задачи. Всего лишь точка В должна иметь координаты (0;3) или (-7;-4)

Инструкция

Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой

Инструкция

5. Разглядите 2-й вариант определения принадлежности точки примой: на данный раз надобно проверить принадлежит ли точка С(x,y) отрезку с концевыми точками В(x1,y1) и А(x2,y2), тот, что является частью прямой z.

6. Точки рассматриваемого отрезка опишите уравнением pOB+(1-p)OА=z, при условии, что 0?p?1. ОВ и ОА являются векторами. Если есть такое число p, которое огромнее либо равно 0, но поменьше либо равно 1, то pOB+(1-p)OА=С, а значит, точка С будет лежать на отрезке АВ. В отвратном случае, данная точка не будет принадлежать этому отрезку.

7. Распишите равенство pOB+(1-p)OА=С покоординатно: px1+(1-p)x2=x и py1+(1-p)y2=y.

8. Обнаружьте из первого уравнения число р и подставьте его значение во второе равенство. Если равенство будет соответствовать условиям 0?p?1, то точка С принадлежит отрезку АВ.

Обратите внимание!
Удостоверитесь в правильности расчетов!

Полезный совет
Дабы обнаружить k – угловой показатель прямой, надобно (y2 – y1)/(x2 – x1).

Инструкция

1. Начните с классического построения. Определите плоскость, в которой вы будете строить прямую. Пускай это будет плоскость листа бумаги. В зависимости от условий задачи расположите точки. Они могут быть произвольными, но не исключено, что задана какая-то система координат. Произвольные точки поставьте там, где вам огромнее понравится. Обозначьте их как А и В. С поддержкой линейки объедините их. Согласно аксиоме, через две точки неизменно дозволено провести прямую, притом только одну.

2. Начертите систему координат. Пускай вам даны координаты точки А (х1; у1). Дабы их обнаружить, нужно отложить по оси х надобное число и провести через подмеченную точку прямую, параллельную оси у. После этого отложите величину, равную у1, по соответствующей оси. Из подмеченной точки проведите перпендикуляр до его пересечения с первым. Место их пересечения и будет точкой А. Таким же образом обнаружьте точку В, координаты которой дозволено обозначить как (х2; у2). Объедините обе точки прямой.

3. В программе AutoCAD прямую дозволено возвести несколькими методами. Функция «по двум точкам» обыкновенно установлена по умолчании. Обнаружьте в верхнем меню вкладку «Основная». Вы увидите перед собой панель «Рисование». Обнаружьте кнопку с изображением прямой линии и нажмите на нее.

4. Прямую по двум точкам в этой программе дозволено возвести двумя методами. Поставьте курсор в надобную точку на экране и щелкните левой кнопкой мыши. После этого определите вторую точку, протяните туда линию и тоже щелкните мышкой.

5. AutoCAD разрешает также задать координаты обеих точек. Наберите в находящейся внизу командной строке (_xline). Нажмите Enter. Введите координаты первой точки и тоже нажмите на ввод. Верно также определите и вторую точку. Ее дозволено указать и щелчком мыши, поставив курсор в необходимую точку экрана.

6. В AutoCAD дозволено возвести прямую не только по двум точкам, но и по углу наклона. В контекстном меню «Рисование» выберите прямую, а после этого опцию «Угол». Начальную точку дозволено поставить щелчком мыши либо по координатам, как и в предыдущем методе. После этого задайте размер угла и нажмите на ввод. По умолчании прямая расположится под необходимым углом к горизонтали.

Совет 4: Как подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника

Подтвердить, что точка не лежит в плоскости треугольника, дозволено легкой проверкой всех допустимых обстановок, тем больше что их не много. Не следует только забывать, что дозволено придти и к событию противоположному, то есть случаю, когда точка является внутренней для заданного треугольника.

Инструкция

1. Раньше чем искать решение поставленной задачи, читателю следует самому принять решение о принадлежности сторон треугольника. Считать их точки внешними для треугольника либо нет. На данной стадии считаем, что это область замкнутая, а следственно она включает свои границы. Для простоты разглядите «плоский случай», но не забывайте и о пространственном обобщении. Следственно типовые уравнения для прямых плоскости вида y=kx+b, применять не следует, по весьма мере в начале решения.

2. Выберите метод задания для сторон треугольника. Судя по постановке задачи, это не имеет твердого значения. Следственно считайте, что даны координаты его вершин A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) (см. рис. 1.). Обнаружьте направляющие векторы сторон треугольника AB=, BC=, AC= и запишите канонические уравнения прямых, содержащих эти стороны. Для AB – (x-xa)/(xb-xa)=(y-ya)/(yb-ya). Для BС – (x-xb)/(xc-xb)=(y-yb)/(yc-ya). Для AС – (x-xa)/(xc-xa)=(y-ya)/(yc-ya). В соответствии с рисунком проведите горизонтальные и вертикальные линии, которые дозволено записать как x=xc, x= xa, x=xb, y=yc, y=ya, y=yb. Это дозволит до минимума сократить число вычислений. Дальше следуйте предложенному алгорифму. На рисунке заданная точка М(xo,yo) помещена в самом «неблагополучном» месте.

3. Следуя по оси 0х, проверьте выполнение неравенства xc?xo?хb. Если оно не исполнено, то точка теснее лежит вне пределов треугольника, потому что «не внутри» – это и есть «снаружи». Если же неравенство исполнено, то дальше проверьте честность xc

4. Проверьте выполнение неравенства уc?уo?уа. Если оно не объективно, то точка не лежит внутри треугольника. В отвратном случае обнаружьте ординату прямой, содержащей АB. у1=y(xo)=[(yb-ya)(xo-xa)]/(xb-xa)+ya. Также поступите с ординатой прямой для BC. у2=у(хо)=[(yс-yb)(xo-xb)]/(xc-xb)+yc. Составьте неравенство y2?yo?y1. Его выполнение разрешает сделать завершение о том, что заданная точка находится внутри треугольника. Если же это неравенство ложно, то она лежит вне его пределов, в частности в соответствии с рисунком.

Если точки А, B и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков AB, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (AB+BC) равна 7 см. Поэтому точки А, B и С не лежат на одной прямой.

Если точки А, В, С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВ, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (АС =5 см), а АВ + ВС = 7 см, поэтому точки А, В, С не лежат на одной прямой.

1. Площадь ромба равна S. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон ромба.

3. Медианы треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника.

4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что угол ABD=30*, угол ACB=30*, угол BDC=20*. Найти углы четырехугольника ABCD.

1) Катеты прямоугольного треугольника равны 15см и 20см. Найдите длину окружности, диаметром которой является высота, проведенная к гипотенузе.

2) Площадь квадрата равна S. Найдите:

а) длину вписанной окружности

б) длину дуги, заключенной между двумя соседними точками касания.

в) площадь части квадрата, лежащей вне вписанной окружности.

1. Две окружности с центрами О и К имеют соответственно радиусы 4 и 8 см. Найдите радиусы окружностей, касающихся одновременно двух данных, если их центры лежат на прямой ОК, и отрезок ОК равен 6 см.

2. Высоты треугольника, пересекаясь в точке Н, образуют шесть углов с вершиной в точке Н. Определите эти углы, если углы данного треугольника равны: 50, 60, 70 градусов.

Вам понадобится

Инструкция

Совет 2: Как проверить, что точки не лежат на одной прямой

Вам понадобится

Инструкция

Источник

Определить,лежат ли 3 точки на одной прямой на C#

Необходимо определить,лежат ли какие-либо 3 точки из множества на 1 прямой. Проблема в том,что координаты точек вводятся графически,по клику мышки,и идеально на одной прямой они оказываются очень редко.В дальнейшем на этих точках нужно строить треугольники,и выходит,что треугольник сливается в одну линию,поскольку разницы в несколько пикселей на picturebox’е не видно. Для вычислений я использовала формулу,полученную из уравнения прямой и приравнивала к нулю. Толку мало. Понимаю,что необходимо ввести погрешность,но не понимаю,как ее рассчитать и как это записать в код. сейчас имею вот что:`

Координаты записаны в два списка.

3 ответа 3

Внутри оператора if рассчитывается площадь (удвоенная) треугольника, построенного по трём точкам.

Но вместо сравнения с нулём лучше абсолютное значение этой площади сравнивать с некой малой величиной. Или не площадь, а величину, по порядку близкую к отклонению точек от прямой (вместо 1.0 подберите разумное значение):

Я вижу два пути решения вашей проблемы.

Уменьшить погрешность графического ввода путем приведения координат клика к координатам более крупной сетки. Общая идея в следующем: Мы фиксируем сетку, в узлах которой могут располагаться точки треугольников с шагом, допустим в 5 пикселей (подбирается опытным путем до комфортного значения.). Визуализировать сетку не обязательно. Далее, получив координаты клика, вычисляем локальные координаты ближайшего узла сетки путем деления координаты на шаг сетки и округления до ближайшего целого. Таким образом мы делаем принудительную корректировку пользовательского ввода. Далее пользуетесь уже имеющимися способами проверки существования невырожденного треугольника используя полученные локальные координаты точек на сетке. При последующей отрисовке, не забываем умножать значения локальных координат сетки на шаг сетки, для получения координат в пикселях.

Вероятно математики смогут предложить еще несколько вариантов оценки погрешности, я на вскидку вспомнил только эти. С практической точки зрения, лично я предпочел бы первый вариант за его простоту, но тут уже все зависит от вашей конечной цели.

Источник

Как определить, лежат ли точки на одной прямой

Если вам даны две точки, то вы можете смело заявить, что они лежат на одной прямой, так как через любые две точки можно провести прямую. Но как же выяснить, лежат ли все точки на прямой, если точек три, четыре или больше? Доказать принадлежность точек одной прямой можно несколькими способами.

Вам понадобится

• Точки, заданные координатами.

Инструкция

Если вам даны точки с координатами (х1, у1, z1), (х2, у2, z2), (х3, у3, z3), найдите уравнение прямой, используя координаты любых двух точек, например, первой и второй. Для этого подставьте соответствующие значения в уравнение прямой: (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)=(z-z1)/(z2-z1). Если один из знаменателей равен нулю, просто приравняйте к нулю числитель.

Найти уравнение прямой, зная две точки с координатами (х1, у1), (х2, у2), еще проще. Для этого подставьте значения в формулу (х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1).

Получив уравнение прямой, проходящей через две точки, подставьте значения координат третьей точки в него вместо переменных х и у. Если равенство получилось верное, значит все три точки лежат на одной прямой. Точно так же можете проверять принадлежность этой прямой других точек.

Проверьте принадлежность всех точек прямой, проверив равенство тангенсов углов наклона соединяющих их отрезков. Для этого проверьте, будет ли верным равенство (х2-х1)/(х3-х1)=(у2-у1)/(у3-у1)=(z2-z1)/(z3-z1). Если один из знаменателей равен нулю, то для принадлежности всех точек одной прямой должно выполняться условие х2-х1=х3-х1, у2-у1=у3-у1, z2-z1=z3-z1.

Еще один способ проверить принадлежность трех точек прямой – посчитайте площадь треугольника, который они образуют. Если все точки лежат на прямой, то его площадь будет равна нулю. Подставьте значения координат в формулу: S=1/2((х1-х3)(у2-у3)-(х2-х3)(у1-у3)). Если после всех вычислений вы получили ноль – значит, три точки лежат на одной прямой.

Чтобы найти решение задачи графическим способом, постройте координатные плоскости и найдите точки по указанным координатам. Затем проведите прямую через две из них и продолжите до третьей точки, посмотрите, пройдет ли она через нее. Учтите, этот способ подходит только для точек, заданных на плоскости с координатами (х, у), если же точка задана в пространстве и имеет координаты (х, у, z), то такой способ неприменим.

Источники:

• Вершины B и C треугольника ABC лежат в плоскости альфа

3704

Сложнейшие головоломки, о которых мы хотим Вам рассказать, недавно набрали безумную популярность в Интернете. Как правило, задания типа »соедините точки» считается одним из самых трудных. Во-первых, нужно мыслить нестандартно, во-вторых, нужно стараться рассчитать множество разных комбинаций.

Если Вы думаете, что это для Вас »детский сад», тогда попробуйте справиться с этими заданиями. Процент тех пользователей Интернета, для которых эта задача оказалась под силу, крайне невысок.

Знаете, что оказалось самым сложным? Количество линий строго фиксировано. Просто подождите, пока Вы не узнаете остальные требования.

Многие люди называют эти головоломки »Точками судоку».

Если Вы справитесь лишь с 1 заданием из 5 – освежите свои знания по геометрии.

2/5 или 3/5 – Вы в топе!

Сначала все будет очень просто, но затем начнется настоящий ад…

Заметка: линии не должны пересекаться!

По словам создателей этих викторин, лишь 20% людей способно справиться с 4 из них. 5-ое задание под силу лишь гениям!

Многие люди утверждают, что правила этих заданий не определены слишком точно.

По словам создателей: ‘’Существуют несколько способов решения данных задач. Вам всего лишь нужно задействовать свой творческий подход’’.

Более того, есть еще одна веская причина, почему правила не объясняются до самого конца. Увидев правильные ответы этих заданий, Вы поймете, что в случае объяснений всех правил задание стали бы бессмысленными.

Обязательно проверьте свое знание и творческое мышление. Не разочаровывайтесь, если у Вас что-то не получится. Зачастую мы не способны контролировать или развивать свои оригинальные представления о решении тех или иных задач.

Сегодня отличный шанс, узнать свой реальный потенциал!

1.Первое задание не покажется Вам слишком сложным.

Соедините 9 точек с помощью 4 прямых лини

Ответ

2.Убедитесь, что все линии соединены!

Теперь: соедините все точки с помощью
3 линий

Ответ

3.Убедитесь, что все линии соединены!

Соедините 16 точек с помощью 6 прямых линий.

Ответ

4.И еще один шедевр…

Разрежьте бумагу на две части так, чтобы точка оказалась посередине.

На первом изображении Вы видите разрез.
На втором – перемещение!

5.Последний бонус!

Напишите цифры от 1 до 9 так, чтобы каждая сторона треугольника равнялась 17-и!

Ответ

6.У Вас получилось?

Если Вы справились с 1 заданием из 5 – освежите свои знания по геометрии.

2/5 или 3/5 – Вы в топе!

4/5 или 5/5 – Вы настоящий гений.

Рис. 4. Соединяем девять точек четырьмя линиями

Всё гениальное просто! Почему же не все находят решение!? Проблема в неявной (скрытой, замаскированной) посылке, заключающейся в том, что линии должны опираться на вершины фигуры, очерченной девятью точками. Как только такое ограничения снять, явно заявив об этом испытуемому, то у последнего словно наступает прозрение, и решение находится моментально…

На похожей неявной посылке основано и стремление многих менеджеров к сокращению расходов. Они исходят из того, что величиной доходов (объемом продаж) управлять гораздо сложнее, чем величиной расходов, и стремятся максимально сократить последние. Не учитывая, что некоторые расходы являются очень важными, так сказать, генерящими доходы, и сокращение таких расходов неминуемо приведет к падению продаж. С другой стороны, увеличение генерящих прибыль расходов, скорее всего, приведет к опережающему росту доходов.

Очень хорошо эту ситуацию описывает Элияху Голдратт в своей книге «Правила Голдратта»
.

Подход к разрешению конфликтов должен заключаться в попытках устранить мешающую исходную предпосылку, что нейтрализует и саму конфликтную ситуацию. Устранение конфликта открывает путь к желаемым изменениям. Мы сможем сосредоточиться на том, чтобы увеличить размер пирога, вместо того чтобы биться за бóльшую долю в процессе дележки маленького куска. Это и будет решением, при котором выигрывают все.

Нужно изначально учитывать, что в любых отношениях возможны изменения, благодаря которым каждая из сторон приходит к удовлетворению своих потребностей. Неважно, есть ли такая возможность на данный момент. Важно при любой напряженности в отношениях быть уверенным, что такая возможность существует. Искать ее, а не вину другой стороны. Если мы позволяем себе осуждать других, эмоции ослепляют нас. Каковы при этом шансы сосредоточить силы и время на поиске изменений, которые восстановят гармонию? Ничтожны.

Поиск решения, при котором выигрывают обе стороны, предполагает поиск предпосылки, подлежащей устранению. Но обнаружить ее не всегда просто. Выигрышное для всех решение увеличивает размер общего пирога. Чем больше пирог, тем больше может быть кусок, который мы получим. …при возникновении конфликтов нужно сконцентрироваться на выработке решения, при котором выиграют обе стороны. А приняв во внимание, что подсознательно мы всегда стремимся к собственной победе, не следует ли нам сознательно искать решение, которое обеспечит выигрыш другой стороне? Не повысит ли такой подход шансы и на наш собственный успех?

Поразительно, как все связано между собой – утверждение, что гармония существует в любых отношениях; подход, при котором выигрывают обе стороны; совет начать с поиска большой (или большей) заинтересованности второй стороны; возможность выявлять самый большой выигрыш, таящийся в решении скрытых проблем. Все это дополняет друг друга, образуя единую картину.

Подведем краткие итоги:

Ситуация, где выигрыш одной стороны превращается в потери другой, не является непреложной

Если от одномерного взгляда перейти к двумерному (или, более того, к многомерному), можно найти варианты, когда выигрывают обе стороны

Поскольку мы функционируем в рамках различных систем, а этим системам присущи эмерджентные свойства, следует стремиться к большому числу измерений проявления этих свойств

В основе одномерного взгляда в стиле win-lose лежит какая-то неявная посылка; необходимо вскрыть ее и перевести ситуацию в плоскость (двумерную) win-win.

Похожая информация:

1. IV. Изучение нового материала. Несмотря на то что определение окружности учащимся не дается, необходимо познакомить их со свойством точек окружности

9 точек 4 линии

Условие: нужно соединить нарисованные девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги.

Вообще между всеми девятью точками можно провести всего 20 прямых линий: 4 стороны квадрата; 2 диагонали; 6 линий, соединяющих центры сторон большого квадрата; 8 линий соединяющих центры сторон большого квадрата с его углами. Как нарисовать все отрезки, соединяющие наши 9 точек, показано на рисунке ниже:

Но, даже используя эту схему, невозможно найти 4 линии, которыми можно было бы соединить все девять точек, не отрывая руки.

Верное решение «теста 9 точек»

Спойлер

Решение этой головоломки лежит несколько шире нашего стандартного восприятия задачи. Для того, чтобы самостоятельно найти верный подход вспомните, что:

• Через любые 2 точки можно провести только одну прямую линию.
• Прямая линия – это не отрезок и, следовательно, нам не обязательно ограничиваться при рисовании линий нашими девятью синими кружками.

Таким образом, давайте попробуем продолжить линии за пределы, ограничивающего нас до недавнего времени квадрата. Тут видно, что область нашего поиска значительно увеличилась. Потрудившись немного можно прийти к одному из правильных решений.

Последовательность соединений девяти точек четырьмя линиями:

Можно посмотреть видео решения этой задачи:

Творческий подход в этой головоломке

Большинство людей, которые решали эту задачу, так и не смогли выбраться за рамки стандартного мышления, которое в данном тесте выражено квадратом, образованным девятью точками. Нам комфортно смотреть на любую жизненную задачу прямо, наиболее просто. С другой стороны, человек может потратить много времени и сил для того, чтобы, используя стандартный подход, найти верное решение, когда это решение лучше искать, изначально подойдя к процессу творчески.

Даже в нашем изображении 4-х точек, которое дано в нашем условии головоломки о 9 точках, сами точки-кружки достаточно большие, чтобы можно было их соединить 3-мя линиями вот так:

Если вы попали на эту страницу, то вы наверняка уже пытались решить «тест 9 точек», а именно соединить девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги. Если у вас не получилось разгадать эту головоломку, не отчаивайтесь. На этой странице вы сможете найти несколько решений этой знаменитой непростой задачи о девяти точках, которые напрягли умы уже многих тысяч, если не миллионов людей.

Условие задачи

Условие:

Условие:
нужно соединить нарисованные девять точек четырьмя прямыми линиями не отрывая ручки от листа бумаги.

Эта задача является не такой уж простой, как может показаться. Чтобы ее решить нужно думать нестандартно и применить свое творческое мышление , иначе ничего не получится. Если пытаться действовать в лоб начать соединять все точки стандартными линиями, то вы можете потратить уйму времени и так и не решить задачу девяти точек. Наше стандартное мышление, которому нас учат в школе, направляет нас искать решение, опираясь лишь на шесть типичных линий: 4 стороны квадрата и 2 его диагонали. Большинству людей кажется, что решение головоломки о 9 точках должно лежать именно в этих рамках. Но его там нет. Его даже не найти если подключить еще 2 линии между центрами сторон квадрата:

Вообще между всеми девятью точками можно провести всего 20 прямых линий: 4 стороны квадрата; 2 диагонали; 6 линий, соединяющих центры сторон большого квадрата; 8 линий соединяющих центры сторон большого квадрата с его углами. Как нарисовать все отрезки, соединяющие наши 9 точек, показано на рисунке ниже:

Но, даже используя эту схему, невозможно найти 4 линии, которыми можно было бы соединить все девять точек, не отрывая руки.

Верное решение «теста 9 точек»

Решение этой головоломки лежит несколько шире нашего стандартного восприятия задачи. Для того, чтобы самостоятельно найти верный подход вспомните, что:

1. Через любые 2 точки можно провести только одну прямую линию.
2. Прямая линия – это не отрезок и, следовательно, нам не обязательно ограничиваться при рисовании линий нашими девятью синими кружками.

Таким образом, давайте попробуем продолжить линии за пределы, ограничивающего нас до недавнего времени квадрата. Тут видно, что область нашего поиска значительно увеличилась. Потрудившись немного можно прийти к одному из правильных решений.

Последовательность соединений девяти точек четырьмя линиями:

1. Для начала проведите линию, соединяющую точку №1 и точку №7, через точку №4. Не останавливайте движение и рисуйте дальше примерно столько, сколько от точки №4 до точки №7.
2. Далее двигайтесь по диагонали направо-вверх, соединяя точки №8 и №6. Не останавливайтесь на точке №6 и продолжайте линию до мысленной прямой, проходящей через верхнюю сторону нашего квадрата.
3. Нарисуйте линию справа налево последовательно через точки №3, №2 и №1. Остановитесь на точке №1.
4. Теперь проведите финальный отрезок через точки №1, №5 и №9. Все 9 точек, и правда, соединены четырьмя линиями, как и требовалось в условии задачи.

Другие варианты.
Этот способ не единственный, начинать можно от любого угла и двигаться одном из двух направлений. На сайте 4brain таких вариантов решения задачи «9 точек 4 линии» представлено минимум 12:

Только подумайте, задача, которую многие никак не могут решить, имеет 12 способов решения. Также смотрите упрощенный вариант этой задачи : как соединить 4 точки тремя линиями, чтобы линии замыкались в целую фигуру.

Творческий подход в этой головоломке

Большинство людей, которые решали эту задачу, так и не смогли выбраться за рамки стандартного мышления, которое в данном тесте выражено квадратом, образованным девятью точками. Нам комфортно смотреть на любую жизненную задачу прямо, наиболее просто. С другой стороны, человек может потратить много времени и сил для того, чтобы, используя стандартный подход, найти верное решение, когда это решение лучше искать, изначально подойдя к процессу творчески.

В нашей жизни мы часто сталкиваемся с такими задачами о «девяти точках и четырех линиях», и для того, чтобы их решать развивайте свое креативное мышление , в том числе и при помощи нашего тренинга . Ведь задача о 9 точках имеет и другие решения (об этом читайте дальше).

Другие способы решения

Изменив наш фрейм или применив латеральный разрыв можно найти и другие варианты решения этой задачи. Например, метод гиперболизации при создании латерального разрыва может нас привести к мысли, что никто не уточняет, что в задаче должны применяться стандартные условия геометрии (о бесконечной малости точек и бесконечной тонкости линий). Пусть наша линия будет настолько широкой, что сможет сразу пересекать несколько точек по своей ширине. Тогда мы не то что 4-мя линиями сможем соединить все 9 точек, а даже одной.

Кроме того, даже в нашем изображении 4-х точек, которое дано в нашем условии головоломки о 9 точках, сами точки-кружки достаточно большие, чтобы можно было их соединить 3-мя линиями вот так:

А может вообще не стоит ограничиваться двухмерным пространством или использовать концепцию искривления пространства. Также мы можем акцентировать внимание на фразу «не отрывая ручки от листа бумаги», и просто положив ручку на бок передвинуть ее и таким образом нарисовать просто 3 параллельных линии.

Нестандартная по своему рассуждению задачка о том, как соединить 9 точек 4 линиями, заставляет разбить стереотипы и включить творчество.

Как правильно расположить точки и рисунок?

На листе бумаги, лучше если он будет в клеточку, нужно нарисовать 9 точек. Они должны быть расположены по три в ряд. Выглядеть схема будет, как квадратик, в центре которого стоит точка, и посередине каждой из сторон тоже она имеется. Лучше, если этот рисунок расположить в стороне от краев листа. Такое размещение квадратика потребуется для того, чтобы правильно решить задачу о том, как соединить 9 точек 4 линиями.

Условие задачи

Требования, которые обязательно нужно учесть:

Соблюдая эти правила, нужно соединить 9 точек 4 линиями. Очень часто уже через пару минут размышлений над этим рисунком человек начинает утверждать, что ответа у этого задания нет.

Решение задачи

Главное в том, чтобы забыть все, чему учили в школе. Там дают стереотипные представления, которые здесь только помешают.

Основная причина того, что задание о том, как соединить 9 точек 4 линиями, не разгадывается
в следующем случае: они заканчиваются в нарисованных точках.

Это принципиально неправильно. Точки — это концы отрезков, а в задаче явно говорится о линиях. Этим и нужно обязательно воспользоваться.

Начинать можно с любой вершины квадрата. Главное, именно угол, какой конкретно, не принципиально. Пусть обозначены точки будут слева, двигаясь направо, и сверху, перемещаясь вниз. То есть в первом ряду находятся 1, 2 и 3, второй состоит из 4, 5 и 6, а третий образован 7, 8 и 9.

Пусть начало будет находиться в первой точке. Тогда, чтобы соединить 9 точек 4 линиями, потребуется выполнить следующее.

1. Вести луч по диагонали к точкам 5 и 9.
2. На последней нужно остановиться — это конец первой линии.
3. Дальше есть два пути, они оба равноценны и приведут к одинаковому результату. Первый направится к числу 8, то есть влево. Второй — к шестерке или вверх. Пусть будет последний вариант.
4. Вторая линия начинается в точке 9 и идет через 6 и 3. Но на последней цифре она не заканчивается. Ее нужно продолжить вверх еще на такой отрезок, как если бы там была нарисована еще одна точка. Здесь будет конец второй линии.
5. Теперь снова диагональ, которая пройдет через цифры 2 и 4. Нетрудно догадаться, что второе число не является концом третьей линии. Ее нужно продолжить, как было со второй. Так закончилась третья линия.
6. Осталось провести четвертую через точки 7 и 8, которая должна закончиться в цифре 9.

На этом задание завершено и все условия соблюдены. Кому-то эта фигура напоминает зонт, а кто-то утверждает, что она — стрелка.

Если записать короче план того, как соединить 9 точек 4 линиями, то получится следующее: начать в 1, продолжить в 5, поворот в 9, провести в 6 и 3, продлить до (0), повернуть на 2 и 4, продолжить до (0), свернуть к 7, 8 и 9. Здесь (0) обозначены концы отрезков, у которых нет цифр.

В качестве заключения

Теперь можно еще поломать голову над более сложной задачкой. В ней уже 16 точек, расположенных аналогично рассмотренному заданию. И соединить их нужно уже 6 линиями.

Если и это задание оказалось по зубам, то можно попытаться решить другие, с такими же требованиями, но отличающиеся набором точек и прямых, из следующего списка:

• 25 точек в порядке квадрата, как и все последующие, и 8 прямых;
• 36 точек на 10 линий, которые не прерываются, потому что ручку нельзя отрывать от листа;
• 49 точек, соединенные 12 линиями.