Векторы
1. Векторы на
плоскости и в пространстве
Обобщим некоторые
сведения о векторах, известные в основном
из школьного курса геометрии.
Вектором
называется
направленный отрезок
с начальной
точкой
А
и
конечной точкой В
(который
можно перемещать параллельно
самому себе.
Векторы
могут обозначаться как двумя
прописными буквами, так и одной строчной
с чертой или стрелкой,
например:
.
Длиной
(или
модулем)
вектора
называется
число, равное
длине отрезка АВ,
изображающего
вектор.
Векторы,
лежащие на одной прямой или на параллельных
прямых,
называются коллинеарными
(параллельными).
Если
начало
и конец вектора совпадают, например,
,
то
такой
вектор называют нулевым
и
обозначают
.
Длина
нулевого
вектора равна нулю. Так как направление
нулевого вектора
произвольно, то считают, что он коллинеарен
(параллелен) любому вектору.
Произведением
вектора
на
число
(лямбда)
называется
вектор
,
имеющий длину
,
направление
которого совпадает
с направлением вектора
,
если
,
и противоположно
ему, если
.
Противоположным
вектором
называется
произведение вектора
на
число (-1).
Суммой
двух
векторов
и
называется вектор
,
начало
которого совпадает
с началом вектора
,
а конец – с концом вектора
при условии, что начало вектора
совпадает
с концом вектора
(правило
треугольников).
Аналогично
определяется сумма
нескольких векторов.
Так,
например,
сумма четырех векторов (рис. а)
есть
вектор
,
начало
которого совпадает с началом вектора
,
а
конец – с концом вектора
(правило многоугольника)
(рис.
б).
Разностью
двух
векторов
и
называется сумма вектора
и
вектора
,
противоположного
.
Легко
убедиться в том,
что в параллелограмме,
построенном
на векторах
и
,
одна диагональ
– вектор
–
представляет
сумму векторов
и
,
а
другая диагональ
— вектор
–
их разность.
Перенесем
вектор
параллельно
самому себе так, чтобы его начало
совпало с началом координат.
Координатами
вектора
называются
координаты его конечной
точки.
Так,
координатами вектора
на
плоскости
Оxy
являются
два
числа x
и
y:
,
а
в
пространстве
Oxyz
– три
числа x,
y
и z:
.
Для
векторов
и
,
заданных координатами,
сумма
определяется по формуле
разность
– по формуле
произведение
вектора
на число
λ – по формуле
.
Длина вектора
равна корню квадратному из суммы
квадратов его координат:
.
Если
A(a1,
a2,
a3)
– начало вектора, B(b1,
b2,
b3)
– его конец, то
Скалярное
произведение.
Скалярным произведением векторов
называется произведение их модулей на
косинус угла между векторами (не больше
пи)
.
Из
данного выражения можно найти косинус:
.
Если
векторы выражены через координаты в
декартовой системе координат
,
,
то скалярное произведение определяется
как сумма попарных произведений
соответствующих координат
.
Условием
перпендикулярности векторов является
равенство нулю их скалярного произведения
.
Скалярное
произведение обладает следующими
свойствами:
-
; -
.
;
.
Модуль
вектора можно представить в виде
.
Соседние файлы в папке Matematika
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Даны вектор а = (4; -2) и число лямбда. найдите координаты вектора лямбда а, если: 1) лямбда=2; 2) лямбда=-3; 3) лямбда = одна вторая; 4) …» по предмету 📙 Математика, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Главная » Математика » Даны вектор а = (4; -2) и число лямбда. найдите координаты вектора лямбда а, если: 1) лямбда=2; 2) лямбда=-3; 3) лямбда = одна вторая; 4) лямбда=корень из трех
Два вектора
a→
и
b→
всегда образуют угол.
Угол между векторами может принимать значения от
0°
до
180°
включительно.
Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.
Векторы могут образовать:
1. острый угол;
2. тупой угол;
3. прямой угол (векторы перпендикулярны).
Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:
4. угол величиной
0°
(векторы сонаправлены);
5. угол величиной
180°
(векторы противоположно направлены).
Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен
0°
.
Угол между векторами записывают так:
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ
.
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен
0°
, а косинус равен (1), скалярное произведение также будет положительным.
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен
180°
. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен (-1).
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай!
Обрати внимание!
3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен (0).
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как
a→2
.
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1.
a→2≥0
, к тому же
a→2>0
, если
a→≠0→
.
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения:
a→⋅b→=b→⋅a→
.
3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения:
a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→
.
4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения:
k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→
.
Использование скалярного произведения
Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.
Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.
Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.
Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.
Если
a→x1;y1;z1
,
b→x2;y2;z2
, то
a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2
.
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.
Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что
cosα=a→⋅b→a→⋅b→
, то
.
Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла
β
между нормальным вектором
n→
данной плоскости и неким вектором
b→
равен синусу угла
α
между прямой и плоскостью, так как
α
и
β
вместе образуют угол в
90°
.
При нахождении косинуса угла между
n→
и
b→
можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор
b→
, и плоскостью.
Уважаемые студенты!
Заказать задачи по физике, информатике, экономике, праву, химии, теормеху, сопромату и другим предметам можно здесь всего за 10 минут.
Модуль вектора
Формула
Чтобы найти модуль вектора по координатам нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат, то есть найти длину вектора.
Если вектор задан на плоскости в виде $ overline{a} = (x;y) $, то вычисляется модуль по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2} $$
В случае, когда вектор задан в пространстве тремя координатами $ overline{a}= (x;y;z) $, то модуль находится по формуле: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$
Для нахождения модуля вектора нам понадобится знать:
- Координаты вектора
- Формулы
Примеры решений
| Пример |
| Найти модуль вектора $ overline{a} = (3;4;0) $ |
| Решение |
|
Зная координаты мы первым делом определяем на плоскости или в пространстве задана задача. В нашем случае координат у вектора три, поэтому в пространстве (было бы две координаты, то на плоскости). Используем вторую формулу для пространственной задачи: $$ |overline{a}|=sqrt{x^2+y^2+z^2} $$ Подставляя в формулу в место $ x,y,z $ числа из задания получаем модуль: $$ |overline{a}|=sqrt{3^2+4^2+0^2} = sqrt{9+16+0} = sqrt{25}=5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ |overline{a}|= sqrt{25}=5 $$ |
