Как найти магнитную индукцию тороида

Соседние файлы в предмете Физика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах
→
2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах

Расчет магнитных цепей при постоянных токах

Основанием к расчету магнитных цепей служат: первый закон Кирхгофа для магнитных цепей и закон полного тока — второй закон Кирхгофа для магнитных цепей.
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей гласит: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю.

Закон полного тока применяется к замкнутому контуру, образованному средними магнитными линиями магнитной цепи и имеет вид:

∫ H → ⋅ dl → = ∑ I⋅w ,

где

∫ H → ⋅ dl → = ∑ H⋅l   — падение магнитного напряжения U_M = H·l в контуре;

F= ∑ I⋅w  — магнитодвижущая сила контура (м. д. с.).

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей сформулируем следующим образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений U_M = H·l в замкнутом контуре магнитной цепи  ( ∑ U M = ∑ H⋅l )  равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил F = I·w в том же контуре  ( ∑ F = ∑ I⋅w ) :

∑ U M = ∑ F

или

∑ H⋅l = ∑ I⋅w .

Задачи на расчет магнитной цепи могут быть двух видов: прямая задача на расчет магнитной цепи — когда задан поток и требуется рассчитать магнитодвижущую силу (м. д. с.) и обратная задача на расчет магнитной цепи — когда по заданной м. д. с. требуется рассчитать магнитный поток.

В обоих случаях должны быть известны геометрические размеры магнитной цепи и заданы кривые намагничивания ее материалов.

Алгоритм прямой задачи расчета неразветвленной магнитной цепи

Дана конфигурация и геометрические размеры неразветвленной магнитной цепи, кривая (или кривые) намагничивания магнитного материала и магнитный поток или индукция магнитного поля в каком-либо сечении. Требуется найти магнитодвижущую силу, ток или число витков намагничивающей обмотки.

Расчет проводим в соответствии с алгоритмом:

1. Разбиваем магнитную цепь на однородные (из одного магнитного материала) участки постоянного сечения и определяем длины l_k и площади поперечного сечения S_k участков. Длины участков (в метрах) берем по средней силовой линии.

2. Исходя из постоянства потока вдоль всей неразветвленной магнитной цепи, по заданному магнитному потоку Ф и сечениям S_k участков находим магнитные индукции на каждом участке:

B k = Ф S k .

Если задана магнитная индукция на каком-либо участке магнитной цепи, то магнитный поток вдоль всей неразветвленной цепи

Ф = B_k·S_k.

3. По найденным магнитным индукциям B_k участков цепи и кривой намагничивания материала k-го участка цепи (например, рис. 2.1, табл. 2.1) определяем напряженности поля H_k на каждом участке магнитной цепи.

Напряженность поля в воздушном зазоре находим по формуле

H возд = B возд μ 0 = B возд 4π⋅ 10 −7 .

4. Подсчитаем сумму падений магнитных напряжений U_Mk = H_k·l_k вдоль всей магнитной цепи  ∑ U Mk = ∑ H k ⋅ l k  и на основании второго закона Кирхгофа для магнитной цепи приравниваем сумме магнитодвижущих сил F_k = I_k·w_k вдоль всей магнитной цепи:

∑ H k ⋅ l k = ∑ I k ⋅ w k .

Основным допущением при расчете является то, что магнитный поток вдоль всей неразветвленной магнитной цепи полагаем неизменным. В действительности не большая часть потока всегда замыкается, минуя основной путь. Этот поток называют потоком рассеяния.

---

Единицы измерения магнитных величин

B — индукция магнитного поля, Тл (Тесла);

H — напряженность магнитного поля, А/м (Ампер/метр);

Ф — поток индукции магнитного поля, Вб (Вебер);

F = I·w — магнитодвижущая сила (м. д. с.), А (Ампер);

U_M = H·l — магнитное напряжение, А (Ампер!).

---

Константы

μ 0 =4π⋅ 10 −7 Гн/м — магнитная постоянная.

---

Рис. 2.1 Кривые намагничивания стали и чугуна

Таблица 2.1 — Данные основной кривой намагничивания листовой электротехнической стали Э11

B, Вб/м2	H, А/м
0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,4	140	143	146	149	152	155	158	161	164	167
0,5	171	175	179	183	187	191	195	199	203	207
0,6	211	216	221	226	231	236	241	246	251	256
0,7	261	266	271	276	281	287	293	299	306	312
0,8	318	324	330	337	344	352	360	369	378	387
0,9	397	407	417	427	437	447	458	469	480	491
1,0	502	514	527	541	555	570	585	600	615	631
1,1	647	664	682	701	720	739	759	779	800	821
1,2	843	866	891	918	946	976	1010	1040	1070	1100
1,3	1140	1180	1220	1260	1300	1340	1380	1430	1480	1530
1,4	1580	1640	1710	1780	1860	1950	2050	2150	2260	2380
1,5	2500	2640	2790	2950	3110	3280	3460	3660	3880	4120
1,6	4370	4630	4910	5220	5530	5880	6230	6600	6980	7370
1,7	7780	8200	8630	9070	9630	10100	10600	11100	11600	12200
1,8	12800	13400	14000	14600	15200	15900	16600	17300	18000	18800
1,9	19700	20600	21600	22 600	23600	24600	25600	26800	28200	29600
2,0	31000	32500	34300	36500	39000	42000	45500	49500	54500	59500

Примеры пользования таблицей:

1) При B = 0,80 Вб/м²: H = 318 А/м; при B = 0,85 Вб/м²: H = 352 А/м.

2) При B = 1,13 Вб/м²: H = 701 А/м.

---

Решение задач на расчет магнитных цепей при постоянных токах

---

Задача 2.1. На рис. 2.2 изображен разрез трех катушек, по которым проходят токи I₁ = 8 А, I₂=10 А и I₃ = 5 А.

Рис. 2.2

Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w₁ имеет 8 витков, вторая (средняя) w₂ — 10 витков и третья (правая) w₃ — 6 витков. Определить полную магнитодвижущую силу (м. д. с.) по замкнутым контурам а, b, с, d, е, f, показанным на рис. 2.2. Контур е охватывает катушки w’₂ с 4 витками и w’₃ с 2 витками.

Изменится ли результат решения задачи, если при тех же данных катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала?

Решение

Воспользуемся законом полного тока. Линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов, проходящих сквозь поверхность, ограничиваемую контуром интегрирования,

∫ H → ⋅ dl → = ∑ I⋅w .

Пользуясь законом полного тока, найдем:

∫ a H → ⋅ dl → = w 1 ⋅ I 1 =8⋅8=64  А; ∫ b H → ⋅ dl → =− w 1 ⋅ I 1 =−8⋅8=−64  А; ∫ c H → ⋅ dl → = w 2 ⋅ I 2 − w 1 ⋅ I 1 =10⋅10−8⋅8=36  А; ∫ d H → ⋅ dl → = w 1 ⋅ I 1 − w 2 ⋅ I 2 + w 2 ⋅ I 2 + w 3 ⋅ I 3 =8⋅8+6⋅5=94  А; ∫ e H → ⋅ dl → = w ′ 2 ⋅ I 2 − w ′ 3 ⋅ I 3 =4⋅10+2⋅5=50  А; ∫ f H → ⋅ dl → =2 w 3 ⋅ I 3 =2⋅6⋅5=60  А.

В правой части последнего выражения коэффициент 2 учитывает то обстоятельство, что витки w₃ охватываются контуром интегрирования (циркуляции) дважды.

Следует заметить, что при пользовании правилом винта необходимо всегда сопоставлять направление обхода по контуру циркуляции с направлениями токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром циркуляции.

Результаты решения задачи не изменятся, если катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала, так как м. д. с. определяется только величиной полного тока и не зависит от магнитных свойств вещества.

---

Задача 2.2. Определить магнитодвижущую силу (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), необходимую для получения магнитного потока в 5,9·10^–4 Вб в кольцеобразном сердечнике, сечением S = 5 см². Длина средней линии магнитной индукции l = 25 см.

Определить Н (напряженность магнитного поля в сердечнике) и  μ r   (относительная магнитная проницаемость материала сердечника). Материал сердечника — слаболегированная электротехническая листовая сталь Э11.

Решение

Найдем магнитную индукцию

B= Ф S = 5,9⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =1,18   Вб м 2 .

По кривой намагничивания для стали Э11 найдем, что индукции B = 1,18 Вб/м² соответствует H = 800 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H·l = 800·0,25 = 200 А.

Определим абсолютную магнитную проницаемость:

μ a = B H = 1,18 800 =1475⋅ 10 −6    Гн м .

Магнитная проницаемость (относительная магнитная проницаемость)

μ r = μ a μ 0 = 1475⋅ 10 −6 4π⋅ 10 −7 =1175.

---

Задача 2.3. На рис. 2.3 изображен электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали.

Рис. 2.3

Какой ток должен быть пропущен через обмотку электромагнита (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), состоящую из w = 500 витков, для того, чтобы в якоре была создана магнитная индукция в 0,84 Вб/м². Размеры на рис. 2.3 даны в миллиметрах. Длина воздушного зазора δ  = 1 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сечения сердечника (пренебрегаем потоком рассеяния). Чему равна статическая индуктивность электромагнита?

Решение

Это пример прямой задачи на расчет магнитной цепи. На рис. 2.3 пунктиром проведена средняя линия магнитной индукции (приближенно). Длина проходящей вдоль сердечника части средней линии магнитной индукции abсd = l₁ = 0,28 м. Сечение сердечника S₁ = 2·2 = 4 см² = 4·10^–4 м².

Сечение якоря S₂ = 2·2,5 = 5 см² = 5·10^–4 м², длина проходящей через него части средней линии магнитной индукции efgh = l₂ = 0,16 м. Магнитная индукция в якоре B₂ = 0,84 Вб/м² (по условию задачи).

Из условия равенства магнитных потоков в якоре и в сердечнике (одноконтурная магнитная цепь, потоком рассеяния пренебрегаем)

Ф₁ = B₁·S₁ = B₂·S₂

найдем магнитную индукцию в сердечнике:

B 1 = B 2 ⋅ S 2 S 1 = 0,84⋅5⋅ 10 −4 4⋅ 10 −4 =1,05   Вб м 2 .

Сечение воздушного зазора, длина проходящей в нем части линии магнитной индукции и магнитная индукция равны:

S 3 =4⋅ 10 −4    м 2 ;   l 3 =2δ=2⋅ 10 −3   м;   B 3 =1,05   Вб м 2 ,

напряженность магнитного поля в воздухе:

H 3 = B 3 μ 0 = 1,05 4π⋅ 10 −7 =84⋅ 10 4    А м .

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H₁·l₁ + H₂·l₂ + H₃·l₃.

В целях большей наглядности расчеты удобно свести в таблицу, в которой данные для напряженности магнитного поля в отдельных элементах магнитопровода взяты по соответствующим кривым намагничивания. Так, для сердечника, изготовленного из стали Э11, находим, что индукции B₁ = 1,05 Вб/м² соответствует значение напряженности магнитного поля H₁ = 570 А/м, а для якоря, изготовленного из литой стали, имеем, что величине B₂ = 0,84 Вб/м² соответствует значение H₂ = 540 А/м.

Название участка	Материал	S, м2	l, м	B, Вб/м2	H, А/м	H·l, А
Сердечник	Сталь Э11	4·10–4	0,28	1,05	570	160
Якорь	Литая сталь	5·10–4	0,16	0,84	540	85
Воздушный зазор	Воздух	4·10–4	0,002	1,05	84·104	1680

                                                                                                                                     F= ∑ H k ⋅ l k =160+85+1680=1925  А.

Искомый ток найдем, пользуясь формулой F = I·w:

I= F w = 1925 500 =3,85  А.

Статическая индуктивность электромагнита равна отношению потокосцепления (полного магнитного потока) к току:

L ст = Ψ I = w⋅Ф I = 500⋅4,2⋅ 10 −4 3,85 =0,053  Гн=053  мГн.

---

Задача 2.4. Найти магнитную индукцию в якоре электромагнита (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изображенном на рис. 2.3, если на электромагнит намотано w = 250 витков, по которым проходит ток I = 4,4 А. Сердечник изготовлен из листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали. Размеры сердечника и якоря те же, что и в предыдущей задаче. Длина воздушного зазора 0,5 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сердечника.

Решение

Это пример обратной задачи на расчет магнитной цепи. Для ее решения надо построить кривую зависимости магнитного потока Ф в функции магнитодвижущей силы F и на кривой найти рабочую точку.

Чтобы построить кривую Ф = f (F) будем задаваться различными величинами магнитных потоков Ф, по которым вычисляем соответствующие им значения магнитной индукции B в каждом из участков магнитной цепи. Затем по кривым намагничивания находим напряженность поля H, соответствующую каждому значению индукции B, и, наконец, вычисляем магнитодвижущую силу по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F= ∑ H k ⋅ l k .

Так, например, примем Ф = 3,2·10^–4 Вб. Тогда

B серд = Ф S серд = 3,2⋅ 10 −4 4⋅ 10 −4 =0,8   Вб м 2 ; B як = Ф S як = 3,2⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =0,64   Вб м 2 ; B заз = B серд =0,8   Вб м 2 .

По кривым намагничивания находим напряженности магнитного поля:

H серд =318   А м ; H як =330   А м ; H заз = B заз μ 0 = 0,8 4π⋅ 10 −7 =64⋅ 10 4    А м .

Магнитодвижущая сила

F= H серд ⋅ l серд + H як ⋅ l як + H заз ⋅ l заз =       =318⋅0,28+330⋅0,16+64⋅ 10 4 ⋅ 10 −3 =780  А.

Эта магнитодвижущая сила меньше заданной, которая равна

I·w = 4,4·250 = 1100 А.

Аналогично проводим расчеты для больших значений Ф, которые сведены в следующую таблицу:

Ф, Вб	Bсерд, Вб/м2	Нсерд, А/м	lсерд, м	Bяк, Вб/м2	Hяк, А/м	lяк, м	Bзаз, Вб/м2	Hзаз, А/м	lзаз, м	F, А
3,2·10–4	0,8	318	0,28	0,64	330	0,16	0,8	64·104	1·10–3	780
3,6·10–4	0,9	397	0,28	0,72	400	0,16	0,9	72·104	1·10–3	895
4,0·10–4	1,0	502	0,28 На http://www.online-invest.org проекты хайп.	0,80	490	0,16	1,0	80·104	1·10–3	1020
4,4·10–4	1,1	647	0,28	0,88	600	0,16	1,1	88·104	1·10–3	1160

Мы остановились на величине Ф = 4,4·10^–4 Вб потому, что для этого значения магнитного потока суммарная магнитодвижущая сила равна 1160 А, что больше заданных 1100 А. По данным расчетов построена кривая Ф = f (F) и на ней определена рабочая точка, которая при F = 1100 А соответствует значению магнитного потока в 4,24·10^–4 (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Следовательно, искомая индукция в якоре электромагнита

B як = Ф S як = 4,24⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =0,848   Вб м 2 .

Обычно в технических расчетах значения магнитной индукции округляют до сотых долей Вб/м² (целые сотни гауссов); поэтому считаем B_як = 0,85 Вб/м².

Укажем, что задача могла бы быть решена и другим путем — методом проб: суть его состоит в том, что так же, как и выше, задаются некоторым значением магнитного потока Ф, для которого подсчитывают магнитодвижущую силу F. Если она окажется меньше заданной, то берут большие значения Ф до тех пор, пока не получат F больше заданной величины. После этого значения Ф, соответствующие большим и меньшим против заданного значениям F сужают до тех пор, пока для одного из сечений магнитной цепи полученные значения магнитной индукции будут различаться друг от друга не более чем на 0,1 Вб/м² (1000 Гс). Искомое значение Ф можно затем найти путем интерполирования.

Так, например, задаемся величиной Ф = 3,2·10^–4 Вб, которой соответствует магнитодвижущая сила F = 780 А, что меньше заданного значения F_зад = 1100 А. Теперь зададимся Ф’ = 4,4·10^–4 Вб, для которого найдем F’ = 1160 А; это больше заданной величины F_зад. Уменьшаем значение Ф, принимая его, например, равным 4·10^–4 Вб; ему соответствует значение F” = 1020 А, что вновь меньше заданной величины магнитодвижущей силы. Итак, при Ф” = 4·10^–4 Вб: B”_як = 0,8 Вб/м², а при Ф’ = 4,4·10^–4 Вб: B’_як = 0,88 Вб/м².

Таким образом, значения магнитной индукции B в одном из сечений (в данном случае в якоре) отличаются одно от другого менее, чем на 0,1 Вб/м² (0,88 — 0,8 = 0.08 Вб/м²).

Окончательное значение магнитного потока найдем линейным интерполированием.

Рис. 2.5

Из треугольника MNP (рис. 2.5) имеем:

ΔФ 4,4⋅ 10 −4 −4⋅ 10 −4 = 1100−1020 1160−1020 ,

отсюда

ΔФ=0,23⋅ 10 −4   Вб,  а  Ф=4⋅ 10 −4 +0,23⋅ 10 −4 =4,23⋅ 10 −4   Вб.

Искомая индукция в якоре

B як = Ф S як = 4,23⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 ≈0,85   Вб м 2 .

---

Задача 2.5. Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали (рис. 2.6), если на тороид намотано w = 400 витков, по которым проходит ток I = 4 А. Воздушный зазор = 2 мм. Размеры тороида на рисунке даны в мм.

Рис. 2.6

Решение

Задача может быть решена аналогично предыдущей. Мы здесь укажем, как быстрее всего найти первое приближенное значение магнитного потока. Для этого предполагаем, что вся заданная магнитодвижущая сила F = I·w расходуется на ту часть магнитопровода, которая предполагается имеющей наибольшее магнитное сопротивление. Получаемое при этом значение магнитного потока будет завышено по сравнению с фактическим, ибо в расчете не были учтены магнитные сопротивления других участков цепи.

Полагая в нашем случае, что вся магнитодвижущая сила падает на магнитном сопротивлении воздушного зазора, запишем по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока):

F=I⋅w= H возд ⋅δ= B μ 0 ⋅δ,

откуда

B= I⋅w⋅ μ 0 δ = 4⋅400⋅4π⋅ 10 −7 2⋅ 10 −3 =1,0   Вб м 2 .

Так как это значение индукции, как указано выше, явно завышено, проведем новый расчет для меньшего значения магнитной индукции, например, для 0,8 Вб/м². По кривой намагничивания для литой стали этой индукции соответствует величина напряженности магнитного поля H_ст = 490 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока) при этом будет равна

F= H ст ⋅ l ст + H возд ⋅δ=490⋅0,785+ 0,8 4π⋅ 10 −7 ⋅2⋅ 10 −3 =1650  А,

что превышает заданную величину 1600 А.

Теперь проведем расчет для еще меньшей индукции B = 0,7 Вб/м². Для нее по кривой намагничивания напряженность H_ст = 380 А/м. Общая магнитодвижущая сила в этом случае будет

F= H ст ⋅ l ст + H возд ⋅δ=490⋅0,785+ 0,7 4π⋅ 10 −7 ⋅2⋅ 10 −3 =1410  А,

что меньше заданной величины 1600 А.

Таким образом, истинная величина индукции находится в пределах от 0,7 до 0,8 Вб/м². Ее мы найдем интерполированием (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Искомая индукция B=0,7+ΔB,  где  ΔB  находится из соотношения

ΔB 0,1 = 1600−1410 1650−1410 = 190 240 ,

откуда

ΔB= 190 240 ⋅0,1≈0,08   Вб м 2 .

Итак, искомая индукция равна 0,78 Вб/м² (7800 Гс).

---

Задача 2.6. Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/м². Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника — листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.

Рис. 2.8

Решение

Покажем на рисунке средние линии магнитной индукции. По данным задачи найдем их длины:

l_A = 60 см; l_B = 25 см; l_C = 70 см.

Задачи на сложную разветвленную несимметричную магнитную цепь решаются на основании первого и второго законов Кирхгофа для магнитной цепи:

для узла n

                                                Ф_B = Ф_A + Ф_C;                                       (1)

для контура npqn

                                             H_B·l_B + H_C·l_C = I·w;                               (2)

для контура npqmn

                                              H_C·l_C — H_A·l_A = 0.                                 (3)

В уравнениях (2) и (3) H_A, H_B и H_C соответственно напряженности магнитного поля в стержнях A, B и C.

Для магнитной индукции в левом стержне B_A = 0,95 Вб/м² по кривой намагничивания для листовой стали найдем H_A = 447 А/м.

Из уравнения (3) получим

H C = H A ⋅ l A l C = 447⋅60 70 =384   А м .

По кривой намагничивания находим, что H = 384 А/м соответствует индукция B_C = 0,89 Вб/м².

По уравнению (1) получим

Ф B = Ф A + Ф C = B A ⋅ S A + B C ⋅ S C =         =0,95⋅20⋅ 10 −4 +0,89⋅20⋅ 10 −4 =36,8⋅ 10 −4   Вб.

Следовательно,

B B = Ф B S B = 36,8⋅ 10 −4 40⋅ 10 −4 =0,92   Вб м 2 .

Этой индукции по кривой намагничивания соответствует H_B = 417 А/м. По уравнению (2) найдем

I·w = H_B·l_B + H_C·l_C = 417·0,25 + 384·0,7 = 373 А.

Искомый ток

I= F w = 373 500 ≈0,75  А.

---

Задача 2.7. Магнитная цепь изготовлена из листовой электротехнической стали Э11. На средний стержень сердечника намотана катушка, содержащая w = 930 витков, по которым проходит ток I = 1 А (рис. 2.8). На всем участке A сечение магнитной цепи считать S_A = 20 см², на участке B — S_B = 40 см², на участке С — S_C = 20 см². Длины средних линий магнитной индукции каждого из участков считать равными: l_A = 55 см, l_B = 25 см, l_C = 80 см.

Найти значения магнитной индукции во всех стержнях.

Решение

Выберем на рис. 2.8 пути средних линий магнитной индукции и запишем уравнения:

для узла n

                                                Ф_B = Ф_A + Ф_C;                                       (1)

для контура npqn

                                             H_B·l_B + H_C·l_C = I·w;                                (2)

для контура npqmn

                                              H_C·l_C — H_A·l_A = 0.                                     (3)

Построим кривые зависимостей

Ф_A = f₁ (H_A·l_A) = f₁ (U_Mnq);

Ф_B = f₂ (I·w — H_B·l_B) = f₂ (U_Mnq);

Ф_C = f₃ (H_C·l_C) = f₃ (U_Mnq).

Здесь U_Mnq — разность скалярных магнитных потенциалов точек n и q, или магнитодвижущая сила между теми же точками.

Для построения кривой f₁ задаемся различными величинами магнитных потоков Ф_A, по которым находим соответствующие им значения магнитной индукции B_A, для которых по кривой намагничивания определяем напряженность магнитного поля H_A. Беря произведение H_A·l_A, находим для различных потоков значения магнитных напряжений на участке A. Результаты вычислений сводим в таблицу. Таким же путем производим расчет для построения кривой на участке C. Наконец, для построения кривой f₂ (участок B) задаемся значениями Ф_B и по ним находим B_B, H_B, H_B·l_B и разность I·w — H_B·l_B. Указанные вычисления сведены в таблицу.

ФА, 10–4 Вб	BA, Вб/м2	HA, А/м	HAlA, А	ФC, 10–4 Вб	BC, Вб/м2	HC, А/м	HClC, А	ФB, 10–4 Вб	BB, Вб/м2	HB, А/м	HBlB, А	Iw–HBlB, Смотрите на сайте tłumacz Warszawa. Вкусы одноразок. А
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	930
10	0,5	171	94	10	0,5	171	137	20	0,5	171	43	887
12	0,6	211	116	12	0,6	211	169	24	0,6	211	53	877
14	0,7	261	143	14	0,7	261	209	28	0,7	261	65	865
16	0,8	318	175	16	0,8	318	254	32	0,8	318	80	850
18	0,9	397	218	18	0,9	397	318	36	0,9	397	99	831
20	1,0	502	276	20	1,0	502	402	40	1,0	502	126	804
22	1,1	647	356	22	1,1	647	518	44	1,1	647	162	768
24	1,2	843	463	24	1,2	843	675	48	1,2	843	210	720
26	1,3	1140	626	26	1,3	1140	913	52	1,3	1140	285	645
28	1,4	1580	870	28	1,4	1580	1265	56	1,4	1580	395	535
30	1,5	2500	1375	30	1,5	2500	2000	60	1,5	2500	625	305

По этим данным построены кривые Ф_A, Ф_B, Ф_C (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Так как величины магнитных потоков должны удовлетворять уравнению (1), то проводим еще одну вспомогательную кривую Ф_B = Ф_A + Ф_C; она строится путем суммирования ординат кривых Ф_A и Ф_C для одних и тех же значений абсцисс. Точка m ее пересечения с кривой Ф_B = f₂ (I·w — H_B·l_B) определяет величину искомого потока

Ф_B = 50,4·10^–4 Вб.

Перпендикуляр mm’, опущенный из m на ось абсцисс, пересечет кривую Ф_A в точке n, а кривую Ф_C — в точке p, отрезок nm’ выражает искомый магнитный поток в стержне A:

Ф_A = 26,4·10^–4 Вб, а отрезок pm’ — поток Ф_C = 24·10^–4 Вб.

По найденным потокам находим магнитные индукции в каждом из стержней:

B A = Ф A S A = 26,4⋅ 10 −4 20⋅ 10 −4 =1,32   Вб м 2 ; B B = Ф B S B = 50,4⋅ 10 −4 40⋅ 10 −4 =1,26   Вб м 2 ; B C = Ф C S C = 24,0⋅ 10 −4 20⋅ 10 −4 =1,20   Вб м 2 .

Проверка. Можно убедиться, что при найденных значениях магнитных индукций удовлетворяются уравнения (1) — (3). Для этого по кривой намагничивания надо найти для каждого значения B соответствующее значение H и подставить в указанные уравнения.

---

Задача 2.8. Сердечник собран из листов электротехнической стали марки Э11. Форма и размеры сердечника (в мм) указаны на рис. 2.10.

Рис. 2.10

Обмотка имеет w = 400 витков, по которым проходит ток I = 3,5 А. Длина воздушного зазора составляет 1 мм. Определить магнитный поток в сердечнике. При расчете следует считать, что сечение воздушного зазора равно сечению сердечника.

Задачу решить следующими аналитическими методами: а) линейной аппроксимации, б) кусочно-линейной аппроксимации, в) дробно-линейной аппроксимации.

Результаты, полученные для каждого из случаев, сравнить с теми, какие получаются при решении задачи обычным способом.

Решение

Найдем длину средней линии магнитной индукции и сечение стального сердечника (рис. 2.10):

l₁ = 2· (90 — 8) + 2· (46 — 8) = 240 мм = 0,24 м;

S₁ = 8·5 = 40 мм² = 0,4·10^–4 м².

Длина средней линии магнитной индукции в воздушном зазоре и его сечение равны:

l₂ = 1 мм = 1·10^–3 м;

S₂ = 8·5 = 40 мм² = 0,4·10^–4 м².

Решая задачу способом, указанным в решении задачи 2.4, найдем магнитную индукцию B = 1,35 Вб/м² и соответствующий магнитный поток

Ф = B·S = 1,35·0,4·10^–4 = 0,54·10^–4 Вб.

а) Расчет магнитной цепи методом линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания прямой линией в некоторой области изменения магнитной индукции. Примем, например, что магнитная индукция изменяется в пределах от нуля до 1,5 Вб/м². Заменим кривую намагничивания (рис. 2.11) прямой линией 0b.

Рис. 2.11

Ее уравнение B = k₁·H, здесь коэффициент k₁ равен тангенсу угла наклона прямой 0b к оси абсцисс и выражает приближенное значение абсолютной магнитной проницаемости стали в рассматриваемом интервале

μ a1 = μ r1 ⋅ μ 0 = k 1 = B H = 1,5 2500 =6⋅ 10 −4    Гн м .

Искомый магнитный поток определяем по уравнению:

Ф= I⋅w R M1 + R M2 ,

где

R M1 = l 1 μ a1 ⋅ S 1 = l 1 μ r1 μ 0 ⋅ S 1 ;   R M2 = l 2 μ 0 ⋅ S 2 — магнитные сопротивления, соответственно стальной части и воздушного зазора.

Производим вычисления:

R M1 = l 1 μ a1 ⋅ S 1 = 0,24 6⋅ 10 −4 ⋅0,4⋅ 10 −4 =1,0⋅ 10 7    1 Гн ; R M2 = l 2 μ 0 ⋅ S 2 = 1⋅ 10 −3 4π⋅ 10 −7 ⋅0,4⋅ 10 −4 =1,98⋅ 10 7    1 Гн ; Ф= I⋅w R M1 + R M2 = 3,5⋅400 1,0⋅ 10 7 +1,98⋅ 10 7 =0,47⋅ 10 −7   Вб.

Ошибка в сравнении с результатами, полученными обычным способом, составляет

0,54⋅ 10 −4 −0,47⋅ 10 −4 0,54⋅ 10 −4 ⋅100%≈13%.

б) Расчет магнитной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания отрезками прямых линий, например, из двух прямых отрезков 0a и ab (рис. 2.11).

Предполагается, что рабочий режим лежит в области индукций между B₁ и B₂, соответствующих точкам a и b.

Уравнение прямой ab, выражающей зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля в стали, имеет вид:

B ст = B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 ),                (1)

где k₂ — тангенс угла наклона прямой ab с осью абсцисс:

k 2 = B 2 − B 1 H 2 − H 1 .                    (2)

Напряженность магнитного поля в воздухе может быть выражена следующим образом:

H в = B в μ 0 = Ф μ 0 ⋅ S 2 = B ст ⋅ S 1 μ 0 ⋅ S 2 = B ст μ ′ 0 ,     (3)

где ради краткости обозначено

μ ′ 0 = μ 0 ⋅ S 2 S 1 .                (4)

Подставляя в уравнение (3) вместо B_ст его значение из уравнения (1), получим:

H в =[ B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 ) ]⋅ 1 μ ′ 0 .     (5)

Для определения H_ст воспользуемся уравнением второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (законом полного тока)

H_ст·l₁ + H_в·l₂ = I·w.          (6)

Подставляя в уравнение (6) значение Н_в из уравнения (5), будем иметь:

H ст ⋅ l 1 + B 1 ⋅ l 2 μ ′ 0 + k 2 ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ ( H ст − H 1 )=I⋅w.

Решая это алгебраическое уравнение относительно H_ст, найдем:

H ст = I⋅w⋅ μ ′ 0 − B ′ ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 ,       (7)

где

B ′ = B 1 − k 2 ⋅ H 1 .           (8)

Величина магнитной индукции в стали находится путем подстановки найденного значения H_с в уравнение (1):

B ст = μ ′ 0 ⋅ I⋅w⋅ k 2 + B ′ ⋅ l 1 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 ,        (9)

Для нашей задачи выберем ломаную так, что:

в точке a

B₁ = 1,2 Вб/м², соответствующее H₁ = 843 А/м,

в точке b

B₂ = 1,5 Вб/м², соответствующее H₂ = 2500 А/м.

По формулам (2), (4), (8), (7) и (1) находим:

k 2 = B 2 − B 1 H 2 − H 1 = 1,5−1,2 2500−843 =18,15⋅ 10 −5    Гн м ; μ ′ 0 = μ 0 ⋅ S 2 S 1 = μ 0 ⋅ 0,4⋅ 10 −4 0,4⋅ 10 −4 = μ 0 =4π⋅ 10 −7    Гн м ; B ′ = B 1 − k 2 ⋅ H 1 =1,2−18,15⋅ 10 −5 ⋅843=1,05   Вб м 2 ; H ст = I⋅w⋅ μ ′ 0 − B ′ ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 = 3,5⋅400⋅4π⋅ 10 −7 −1,05⋅1⋅ 10 −3 4π⋅ 10 −7 ⋅0,24+18,15⋅ 10 −5 ⋅1⋅ 10 −3 =1470  А м ; B ст = B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 )=1,2+18,15⋅ 10 −5 ⋅ ( 1470−843 )=1,314   Вб м 2 .

И, наконец, искомый поток

Ф = B_ст·S₁ = 1,314·0,4·10^–4 = 0,525·10^–4 Вб.

Ошибка по сравнению с обычным способом расчета составляет

0,54⋅ 10 −4 −0,525⋅ 10 −4 0,54⋅ 10 −4 ⋅100%≈3%.

в) Расчет магнитной цепи методом дробно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Дробно-линейная аппроксимация делается посредством уравнения:

B ст = H ст α+β⋅ H ст .          (10)

Входящие сюда коэффициенты α  и  β  находятся из известных значений магнитной индукции и напряженности магнитного поля в двух выбранных точках кривой намагничивания, между которыми ожидается действительный режим работы стального участка магнитной цепи.

Для определения Н_ст поступим следующим образом: из уравнения (10) значение В_ст подставим в уравнение (3), тогда получим:

H в = B ст μ ′ 0 = H ст μ ′ 0 ⋅ ( α+β⋅ H ст ) .

Это значение Н_в подставим в уравнение (6) второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (закона полного тока):

H ст ⋅ l 1 + H ст ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ ( α+β⋅ H ст ) =I⋅w.

Решая относительно Н_ст это квадратное уравнение, найдем:

H ст = 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )+ 1 4 ( I⋅w l 1 − 1+p q ) 2 + I⋅w q⋅ l 1 .        (11)

Второй корень квадратного уравнения, как не имеющий физического смысла, ввиду того что Н_ст должна выражаться положительным числом, опущен.

В уравнении (11) введены ради краткости обозначения:

p= l 2 ⋅ S 1 l 1 ⋅ S 2 ⋅ μ 0 ⋅α ;   q= β α .         (12)

Проведем числовые расчеты для нашей задачи, принимая для B и H те числовые значения, какие они имеют на границах рассматриваемого интервала в указанных выше точках a и b. По уравнению (10) имеем:

1,2= 843 α+β⋅843 ;   1,5= 2500 α+β⋅2500 .

Решая эти два уравнения, найдем:

α=213   м Гн ;   β=0,581    м 2 Вб .

Далее по формулам (12), (13), (11) и (10) получим:

p= l 2 ⋅ S 1 l 1 ⋅ S 2 ⋅ μ 0 ⋅α = 1⋅ 10 −3 ⋅0,4⋅ 10 −4 0,24⋅0,4⋅ 10 −4 ⋅4π⋅ 10 −7 ⋅α 213=15,6;  q= β α = 0,581 213 =2,73⋅ 10 −3    м А ; I⋅w q⋅ l 1 = 3,5⋅400 2,73⋅ 10 −3 ⋅0,24 =2,14⋅ 10 6    А 2 м 2 ; 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )= 1 2 ( 3,5⋅400 0,24 − 16,6 2,73⋅ 10 −3 )=−125; H ст = 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )+ [ 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q ) ] 2 + I⋅w q⋅ l 1 =            =−125+ 125 2 +2,14⋅ 10 6 =−125+1515=1390    А м ; B ст = H ст α+β⋅ H ст = 1390 213+0,581⋅1390 =1,363   Вб м 2 .

Искомый магнитный поток равен:

Ф = B_ст·S₁ = 1,363·0,4·10^–4 = 0,545·10^–4 Вб.

Ошибка в сравнении с обычным методом расчета магнитных цепей составляет:

0,545⋅ 10 −4 −0,54⋅ 10 −4 0,545⋅ 10 −4 ⋅100%≈0,9%.

Отметим, что расчет при помощи дробно-линейной аппроксимации приводит к удовлетворительным результатам даже в тех случаях, когда велико расстояние между граничными точками.

закон полного тока,
магнитная цепь,
расчет магнитной цепи,
методы расчета магнитных цепей,
решение задач магнитные цепи

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля. Расчет полей соленоида и тороида

Построим картину линий напряженности магнитного ноля вокруг бесконечного прямолинейного проводника с током (рис. 22.4). По аналогии с циркуляцией вектора напряженности электростатического поля (17.7) введем понятие циркуляции вектора напряженности магнитного

Для простоты сначала в качестве контура выберем окружность, совпадающую с одной из линий напряженности магнитного поля. В соответствии с формулой (22.12) напряженность на этой окружности является константой. А в соответствии с рис. 22.4 вектор напряженности направлен но касательной к окружности. Эти соображения позволяют вычислить циркуляцию:

Принцип суперпозиции магнитных полей и рассуждения, аналогичные предпринятым в разделе о циркуляции вектора напряженности электростатического поля, позволяют обобщить полученное выражение на несколько токов и произвольный контур:

Это и есть теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром.

Теперь домножением обеих частей уравнения (22.18) на р₀ц получим теорему о циркуляции вектора магнитной индукции:

Искусство применения теоремы о циркуляции состоит в выборе удобного для расчета контура.

Применим теорему о циркуляции для вычисления напряженности магнитного поля длинного соленоида с током I. Соленоид — это провод, равномерно навитый на цилиндрический каркас (рис. 22.5). Будем считать, что диаметр каркаса много меньше его длины, а шаг плотной намотки (расстояние между витками) много меньше диаметра. При этих условиях поле внутри соленоида, как будет очевидно из результата, много больше поля вне соленоида и достаточно однородно (заметим, что поле вне соленоида можно определить по формуле для магнитного поля прямого тока (22.12)). Из соображений симметрии поле внутри соленоида направлено вдоль оси соленоида. Пусть плотность намотки витков (количество витков на единицу длины каркаса) равна п витков на метр.

В соответствии с рис 22.5 выберем прямоугольный контур, у которого малые (по сравнению с большими сторонами длиной /) стороны 2—3 и 4—1 в точке протыкания каркаса перпендикулярны каркасу, большая сторона 1—2 находится внутри каркаса, большая сторона 3—4 находится вне каркаса. В такой ситуации в циркуляции, состоящей из четырех интегралов по отрезкам, доминирует составляющая по отрезку 1—2. Составляющими по отрезкам 2—3 и 4—1 можно пренебречь вследствие малости отрезков. Составляющей по отрезку 3—4 можно пренебречь вследствие перпендикулярности (приблизительно) поля отрезку и малости этого поля. Внутрь контура попадает п! витков с током. Таким образом, циркуляция сводится к отрезку 1—2, но в соответствии с формулой (22.19) определяется полным током nil внутри контура:

Отметим, что это поле достаточно однородно по диаметру каркаса, ведь стороны 2—3 и 4— 1 малы лишь по сравнению с длиной каркаса, но могут быть сравнимы с диаметром каркаса и углубляться внутрь каркаса на любое расстояние.

Соответственно, магнитная индукция внутри длинного соленоида равна

Вычислим теперь магнитное иоле тороида. Тороид — это провод, навитый на тор (бублик). Его можно получить из соленоида, изогнув его в кольцевую катушку (рис. 22.6). Поле тороида похоже на поле соленоида, и линии напряженности тороида параллельны оси тороида. Покажем это, выбрав в качестве контура для вычисления циркуляции окружность радиуса г внутри тора с центром в центре тороида. По теореме о циркуляции для тороида с полным числом витков провода N

откуда магнитное поле внутри тороида

Если контур проходит вне тороида, то внутри него токи отсутствуют, т.е.

и поле из теоремы о циркуляции равно нулю. Таким образом, магнитное поле тороида локализовано внутри тороида и спадает по мере удаления от центра симметрии.

Если тороид тонкий и его радиус R

г много больше радиуса витка, то несложно получить, что поле внутри тороида (22.24) дается формулой, аналогичной формуле для поля соленоида (22.22):

Индуктивность и ее расчет

Содержание:

Индуктивность и ее расчет:

Основным соотношением для магнитного поля является принцип непрерывности магнитного потока:

На рис. 1.12, а и б проиллюстрировано различие между потоком и
потокосцеплением, причем число линий в условном масштабе равно
величине потока.

Индукция измеряется в тесла (тл), магнитный поток и потокосцепление — в веберах (вб).
Индуктивность уединенного контура, равная отношению потокосцепления к току:

пропорциональна магнитной проницаемости среды, в которой он находится, и определяется конфигурацией контура. Единицей индуктивности является генри (гн).
Для расчета индуктивности контура необходимо предварительно рассчитать его магнитное поле по основному соотношению — закону полного тока:

устанавливающему связь между напряженностью магнитного поля и полным током I — алгебраической суммой токов, сцепляющихся с путем интегрирования. При этом положительное направление тока I связано с направлением dI обхода правилом правого винта.
Напряженность магнитного поля измеряется в а/м, магнитная проницаемость — в гн/м.
Если потокосцепление контура изменяется во времени, то в контуре появляется э. д. с. индукции е, величина и направление которой определяется законом электромагнитной индукции:

где Е — вектор напряженности наведенного в контуре электрического поля.
Таким образом, закон электромагнитной индукции связывает между собой изменение магнитного поля с возникающим электрическим полем.
Максвеллом было постулировано обобщение этого закона, заключающееся в том, что электрическое поле возникает при изменении магнитного поля в любой среде, а не только в проводящем контуре.

Закон электромагнитной индукции, открытый Фарадеем в 1831 г., был дополнен Ленцем в 1832— 1834 гг. Им было установлено общее правило: з. д. с. индукции всегда стремится создать ток, направленный так, чтобы препятствовать изменению потока, сцепляющегося с контуром.
При изменении тока в контуре изменяется потокосцепление ψ_L созданное этим током, и в контуре наводится э. д. с. самоиндукции

Индуктивность тороида и соленоида

Если на кольцевой сердечник — тороид, выполненный из материала проницаемостью µ > µ₀, нанести обмотку не по всей его длине (рис. 1.13), то только часть потока проходит по сердечнику, остальная часть — поток рассеяния — замыкается в воздухе. Тороид же, содержащий витки, плотно и равномерно распределенные по всей длине сердечника (рис. 1.14), замечателен тем, что практически весь магнитный поток сосредоточивается в сердечнике, т. е. потока рассеяния нет. Линии вектора напряженности поля представляют собой окружности, сцепляющиеся со всеми витками. Ввиду симметрии напряженность поля в каждой точке окружности по величине постоянна; по направлению она совпадает с касательной к окружности.

Тороиды широко применяются в трансформаторах, магнитных усилителях и электроизмерительных приборах.

Пусть тороид имеет прямоугольное сечение высотой Н, с радиусами г₁ и г₂, магнитная проницаемость материала µ.

По закону полного тока для окружности с радиусом

т. е. напряженность поля убывает по мере приближения к наружному краю тороида. Это в равной мере относится и к индукции

Поток в сердечнике тороида

Отсюда индуктивность тороида

Если расчет вести для средней линии I и приближенно считать поле в тороиде распределенным равномерно, то напряженность

где w₀ — число витков на единицу длины, а магнитный поток и индуктивность, соответственно,

Обычно в реальных тороидах отношение что приводит при этих приближенных формулах к погрешности, не превышающей 1,2 %. Последняя формула для индуктивности может быть применена и к длинному соленоиду, рассматриваемому как часть тороида бесконечно большого радиуса. Для соленоида конечной длины µ=µ₀

где k µ₀. Посередине между проводами поле минимально, но в нуль не обращается. Поле также не равно нулю на осях проводов.

На внутренней стороне проводов напряженность поля и индукция больше, чем на внешней. В отличие от напряженности поля индукция имеет разрыв у поверхности проводов. Для вычисления индуктивности линии необходимо найти потокосцепление. Элементарный поток, проходящий через площадку Idx в воздухе между проводами,

Весь поток между проводами – внешний поток

одновременно является внешним потокосцеплением, так как сцепляется с контуром один раз. Поэтому

а соответствующая ему внешняя индуктивность

Для большинства линий расстояние d между проводами значительно превышает радиус r₀ проводов. В этом случае

Для определения внутренней индуктивности, соответствующей внутреннему потоку, при d > r₀ поле внутри провода линии может вычисляться как поле уединенного провода, так как поле, создаваемое вторым проводом внутри первого, по сравнению с полем первого, пренебрежимо мало. Тогда элементарный поток внутри провода

Так как поток dФ_i охватывает не весь ток, а только его часть [см. формулу (1.3)], элементарное потокосцепление

Весь поток между проводами — внешний поток

Соответственно, внутренняя индуктивность

Суммарная индуктивность линии

При медных или алюминиевых проводах () в большинстве случаев вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым и тогда

Для стальных проводов () основной частью потока является
внутренний поток и индуктивность

практически не будет зависеть от расстояния между проводами.

Взаимоиндуктивность и ее расчет

Для двух контуров, имеющих w₁ и w₂ витков с токами I₁ и I₂ (рис. 1.17), поток первого контура, определяемый током этого контура, — поток самоиндукции Ф_1l—может быть разложен на поток рассеяния Ф_1s, пронизывающий только этот контур, и поток взаимоиндукции Ф_1m, пронизывающий также и второй контур:

Потокосцепление, соответствующее потоку Ф₁₁ (при условии, что этот поток пронизывает все витки первого контура, равно

а потокосцепление рассеяния

Аналогично для второго контура

Потокосцепление второго контура, определяемое током первого,

а потокосцепление первого контура, определяемое током второго,

Можно показать, что

Величина M называется взаимоиндуктивностью и определяется конфигурацией контуров, их взаимным расположением и магнитной проницаемостью среды. Взаимоиндуктивность также измеряется в генри (гн).
Суммарный поток, пронизывающий первый контур,

Суммарное потокосцепление первого контура

и соответственно для второго контура

В этих алгебраических суммах первый член всегда положителен, а знак перед вторым членом определяется направлением токов в контурах; положительный знак соответствует случаю совпадения направлений потоков Ф_1м и Ф_2м (см. рис. 1.17).
Из изложенного видно, что

Таким образом, взаимоиндуктивность и индуктивности всегда удовлетворяют неравенству

а используемый в технических расчетах коэффициент связи двух контуров

Аналогично, в системе многих контуров потокосцепление контура определяется токами всех контуров:

где L_q — индуктивность q-то контура, М_qp = М_рq — взаимоиндуктивность q- и р-го контуров. Общий прием расчета взаимоиндуктивности контуров заключается
в нахождении потокосцепления, пронизывающего контур q, но созданного током р-го контура, и делении его на этот ток.

Взаимоиндуктивность двух параллельных двухпроводных линий

Пусть две параллельные двухпроводные линии расположены симметрично так, как это было показано на рис. 1.4. При условии d> г₀ внутренним потоком в проводах по сравнению с внешним можно пренебречь.
Магнитный поток, пронизывающий первую линию и созданный током I₂ второй, может быть найден как сумма потоков, создаваемых каждым из проводов второй линии в отдельности.
Тогда магнитный поток, пронизывающий первую линию,

расстояния от провода линии 1 до проводов линии 2 .

Магнитный поток Ф одновременно является потокосцеплением первой линии, так как сцепляется с ней один раз; поэтому

Для уменьшения коэффициента связи между линиями связи l и передачи 2 применяют транспозицию линии связи, заключающуюся в перекрещивании проводов линии связи через равные расстояния; тогда суммарное потокосцепление будет равно нулю.

Линейные и нелинейные катушки индуктивности

У линейных материалов магнитная проницаемость µ, не зависит от напряженности поля и характеристика для них изображается прямой линией (рис. 1.18, а). Магнитная проницаемость пропорциональна тангенсу угла а наклона этой прямой:

где k — масштабный коэффициент.

К нелинейным материалам относятся ферромагнетик и — железо, никель, кобальт и гадолиний. Важное значение в электротехнике имеют первые три элемента, главным образом в виде сплавов. У нелинейных материалов магнитная проницаемость очень велика и зависит от напряженности поля.

Подобно нелинейным диэлектрикам по кривой первоначальногo намагничивания В (Н) (рис. 1.18, б) могут быть определены статическая магнитная проницаемость

и дифференциальная, а при быстрых изменениях поля — динамическая магнитная проницаемость

На рис. 1.18, б эти проницаемости представлены в функции напряженности поля. Максимальные значения магнитной проницаемости в очень чистом железе и в некоторых сплавах, например в пермаллое (сплав железа и-никеля с различными присадками), в сотни тысяч раз превышают магнитную постоянную равную

магнитной проницаемости вакуума.

В переменных магнитных полях в ферромагнетиках имеет место явление магнитного гистерезиса (рис. 1.19), заключающееся в несовпадении кривой В (Н) при возрастании напряженности поля с кривой при убывании поля.

Кривая, соединяющая вершины петель гистерезиса, называется основной кривой намагничивания и практически совпадает с кривой первоначального намагничивания, Ферромагнитные свойства зависят от температуры и проявляются лишь в определенном ее интервале.

Для расчета индуктивности основной является зависимость потокосцепления ψ от тока I, называемая веберамперной характеристикой.

В зависимости от материала сердечника тороиды по виду своей веберамперной характеристики будут также линейными или нелинейными. В качестве примера рассматривается нелинейный тороид.

Для тороида и веберамперные характеристики ψ (I) в соответствующем масштабе совпадают с кривыми В (H); поэтому прямая и кривые на рис. 1.18 а и б соответствуют также веберамперным характеристикам при величинах, указанных в скобках.

Для нелинейных тороидов вводятся понятия статической индуктивности

и дифференциальной, а также динамической индуктивности

являющихся функциями тока (см. рис. 1.18, б); для линейных тороидов эти индуктивности совпадают.

Аналогично индуктивностям в нелинейных системах контуров вводятся статическая взаимоиндуктивность

и дифференциальная, взаимоиндуктивность, а также динамическая

Индуктивность нелинейного тороида

Расчет нелинейного тороида может быть произведен, если задана зависимость В (H) или µ(H). Так как эти зависимости теоретически не выводятся, то для приближенного решения подбирают по кривой В(H) аппроксимирующую функцию.

Пусть аппроксимирующая функция для характеристики В (H) (рис. 1.20)
материала сердечника тороида будет

где а и b — постоянные.

Так как для тороида с ферромагнитным однородным cердечником напряженность поля по-прежнему определяется формулой

то индукция будет равна

откуда статическая индуктивность

а дифференциальная индуктивность

Кривые зависимости этих индуктивностей от тока представлены
на рис. 1.20.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Электротехника Основы теории цепей

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Энергия в электрических цепях
• Линейные электрические цепи
• Нелинейные электрические цепи
• Магнитные цепи и их расчёт
• Электрическая ёмкость и ее расчет
• Линейные н нелинейные диэлектрики и конденсаторы
• Сопротивление и его расчет
• Линейные и нелинейные резисторы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Закон полного тока для магнитного поля

В электрических цепях всегда присутствует магнитное поле, которое оказывает электромагнитное взаимодействие с токами этих цепей. Данный фактор учитывается при расчетах цепей, а закон полного тока для магнитного поля является инструментом для подобных вычислений.

Если поднести магнитную стрелку к проводнику, по которому течёт ток, её положение изменится. Это говорит о наличии вокруг проводника кроме электрического ещё и магнитного поля. В результате многочисленных исследований электромагнитных явлений установлено, что существует взаимное влияние полей, имеющих электрическую и магнитную природу.

Физический смысл закона

Рассмотрим упрощённый вариант влияния магнитной индукции на электрическое поле. Для этого представим себе два параллельных проводника, по которым циркулируют постоянные токи, например, I₁ и I₂. Вблизи этих проводников образуется поле, которое мысленно можно ограничить неким контуром L – воображаемой замкнутой фигурой, плоскость которой пересекает потоки движущихся зарядов.

В пределах плоскости, охватываемой контуром L, формируется магнитное поле, напряжённость которого распределена в соответствии с направлениями токов. При этом циркуляция вектора магнитного поля в плоскости замкнутого контура прямо пропорциональна сумме токов, пронзающих данный контур. Полный электрический ток равен векторной сумме его составляющих:

Направления векторов I₁ и I₂ определяется по правилу буравчика.

Приведённые выше рассуждения можно рассматривать в качестве примера изображающего упрощённую модель частного случая рассматриваемого закона. В действительности же, процессы взаимного влияния магнитных и электрических полей намного сложнее, и они описываются интегральными и дифференциальными уравнениями Максвелла.

Упрощенный подход

Выразить закон в дифференциальном представлении довольно сложно. Потребуется вводить дополнительные компоненты. Необходимо учитывать влияние молекулярных токов. Наличие вихревых токов является причиной образования магнитного вихревого поля в пределах контура.

Вектор электрического смещения сравним с вектором напряжённости присутствующего магнитного поля H. При этом Ориентация вектора смещения зависит от быстроты изменения магнитной индукции.

Для упрощения вычислений на практике часто пользуются формулами закона для магнитного поля полных токов, представленных в виде суммирования предельно малых участков контура, с учётом влияния вихревых полей. При реализации этого метода контур мысленно разбивают на бесконечно малые отрезки. На этих отрезках проводники считаются прямолинейными, а магнитное поле на таких участках контура считают однородным.

На одном дискретном участке вектор напряженности U_m определяется по формуле: U_m= H_L×ΔL, где H_L– циркуляция вектора напряжённости на участке ΔL контура L. Тогда суммарная напряжённость U_L вдоль всего контура вычисляется по формуле: U_L= Σ H_L× ΔL.

Закон в интегральном представлении

Рассмотрим бесконечно прямой проводник, по которому циркулирует электрический ток, образующий поле, ограниченное контуром в виде окружности. Плоскость, пронизывающая проводник, – это круг, очерчённый линией данной окружности (см. рис. 1).

Рис. 1. Поле бесконечно прямого тока

Воспользуемся методом разбиения контура на мизерные участки dl (элементарные векторы длины контура). Пусть φ – угол между векторами dl и B. В нашем случае, при суммировании отрезков, вектор индукции B поворачивается так, что он очерчивает круг, то есть угол φ → 2π.

Из теоремы Остроградского-Гаусса вытекает формула:

Учитывая, что cos φ = 1,

Данная формула – постулат, подтверждённый экспериментально. Согласно этому постулату, циркуляция вектора B по окружности, то есть по замкнутому контуру, равна μ₀I, где μ₀ = 1/c 2 ε₀ – магнитная постоянная.

Ориентация вектора dB определяется путём применения правила буравчика. Это направление всегда перпендикулярно вектору плотности. Если проводников будет несколько (например, N), тогда

Каждый ток, с учётом знака, необходимо учитывать такое количество раз, которое соответствует числу его охватов контуром.

Ток берётся со знаком «+», если он по направлению обхода образует правовинтовую систему. При этом, отрицательным считается ток противоположного направления.

Заметим, что формула справедлива только для вакуума. В обычных условиях необходимо учитывать проницаемость среды.

Если ток распределён в пространстве (произвольный ток), тогда

где S – натянутая на контур поверхность, j – объёмная плотность тока. С учётом последнего выражения, формулу полного тока в вакууме можно записать:

Рис. 2. Иллюстрация закона для вакуума

1. Закон справедлив не только для бесконечно прямолинейного проводника, но и для контуров, произвольной конфигурации.
2. Циркуляция вектора магнитной индукции B сориентированного вдоль магнитных линий, всегда отлична от нуля.
3. Ненулевая циркуляция свидетельствует о том, что магнитное поле прямолинейного, бесконечно длинного проводника не потенциально. Такое поле называют вихревым, либо соленоидным.

Влияние среды

На результат взаимодействия магнитных потоков и постоянных токов влияет среда. Вещества обладают магнитной проницаемостью в потоке вектора индукции, что вносит коррективы на взаимодействие магнитной среды с токами проводимости. В однородной изотопной среде, где значение вектора электромагнитной индукции одинаково во всех точках, векторы B и H связаны между собой следующим соотношением:

где H — напряжённость магнитного поля, символом μ обозначена магнитная проницаемость.

Носители электрических зарядов создают собственные микротоки. Циркуляция вектора, характеризующего электростатическое поле, всегда нулевая. Поэтому электростатические поля, в отличие от магнитных, являются потенциальными.

Вектор B отображает результирующее значение полей макро- и микротоков. Линии электростатической индукции всегда остаются замкнутыми, в том числе и на положительных зарядах.

Рис. 3. Закон полного тока в веществе

Для полей, которые действуют в среде, состоящей из разных веществ, необходимо учитывать микротоки, характерные именно для конкретных структур, образующих данную среду.

Утверждение, изложенное выше, верно для полей соленоидов или любой другой структуры, обладающей свойствами конечной магнитной проницаемости.

Торойд

В электротехнике часто приходится иметь дело с катушками разных видов и размеров. Катушка, образованная витками намотанными на сердечник тороидальной формы (в виде бублика), называется тороидом. Важными характеристиками сердечника тора являются его радиусы — внутренний (R₁) и внешний (R₂).

Поле внутри соленоида на расстоянии r от центра равно:

Выводы

На основании изложенного, приходим к заключению:

1. Закон полного тока устанавливает зависимость между напряжённостью магнитного поля и перемещением в этом поле электрических зарядов.
2. Действие закона распространяется на все среды, при допустимых плотностях тока.
3. Закон также выполняется в полях постоянных магнитов.

При вычислениях не имеет значения, какую формулу мы используем – суть закона остаётся неизменной: он выражает взаимодействия, которые происходят между токами и создаваемыми ими магнитными полями, пронизывающими замкнутый контур.

Выводы закона учитываются при конструировании электромагнитных устройств. Наличие завихрений в электромагнитных полях приводит к снижению КПД. Кроме того, вихревые поля негативно влияют на работоспособность электронных элементов, расположенных в зоне их действий.

Конструкторы электротехнических приборов стремятся свести к минимуму таких влияний. Например, вместо обычных соленоидов применяют тороидальные катушки, за пределами которых отсутствуют электромагнитные поля.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/induktivnost-i-ee-raschet

http://www.asutpp.ru/zakon-polnogo-toka-dlya-magnitnogo-polya.html

[/spoiler]

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---