Как найти магнитный поток количество витков

Всем доброго времени суток. В прошлой статье я начал рассказывать о магнитном поле в веществе и затронул вопросы напряженности магнитного поля, магнитной проницаемости и восприимчивости, а также рассказал о намагничивании и гистерезисе в ферромагнетиках. Однако магнитное поле зависит не только от свойств веществ, но и от их формы. Об этом я и расскажу в статье.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Что такое магнитная цепь?

Магнитной цепью называется, соединение магнетиков, по которым замыкается магнитный поток. То есть сердечник, на который намотан любой дроссель, трансформатор, катушка индуктивности и т.д. является магнитной цепью. Более того если веществом такого сердечника является воздух (то есть катушки индуктивности не имеющие каркаса), то и он является магнитной цепью. Очень часто магнитную цепь называют магнитопроводом, что по сути так и есть, сердечник проводит магнитное поле, также как и проводник проводит электрический ток. Более того на магнитные цепи распространяются законы электрического тока: закон Ома, правила Кирхгофа и так далее, но об этом ниже.

Магнитные цепи бывают однородные и неоднородные. Однородными называют магнитные цепи, которые на протяжении всей своей длины изготовлены из одного материала (то есть имеет одинаковую магнитную проницаемость) и одинаковое поперечное сечение. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то такая магнитная цепь называется неоднородной.

Также различают разветвлённые и неразветвлённые магнитные цепи. То есть не разветвлённые цепи состоят из одного контура, а разветвлённые, соответственно, состоят из нескольких контуров, по которым замыкается магнитный поток. Разветвлённые цепи могут быть симметричные и несимметричные. У симметричных цепей магнитный поток каждого контура одинаков.

Параметры магнитных цепей

Как я уже говорил многие законы для электрических цепей подходят и для магнитных. Для обобщения этих законов необходимо ввести некоторые параметры, характеризующие магнитные цепи. Представим неоднородную и неразветвлённую магнитную цепь

Неоднородная и неразветвлённая магнитная цепь.

Данная цепь состоит из трёх участков длиной l₁, l₂, l₃, имеющих поперечное сечение S_1, S_2, S₃, причем магнитное поле создается током I, протекающим по соленоиду, содержащему N витков. Так как линии магнитного поля в основном замыкаются через магнитопровод, то магнитный поток Φ, можно считать одинаковым на всём протяжении магнитной цепи и определяется следующим выражением

где В – магнитная индукция,

S – площадь поперечного сечения, которую пронизывает магнитный поток.

Таким образом, магнитный поток является аналогом силы тока в электрических цепях.

Согласно закона полного тока и циркуляции вектора магнитной индукции составим уравнение

где В₁, В₂, В₃ – соответственно магнитная индукция на участках l₁, l₂, l₃ магнитной цепи;

μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π*10^-7 Гн/м;

μ₁, μ₂, μ₃ – соответственно относительная магнитная проницаемость участков l₁, l₂, l₃ сердечника;

N – количество витков провода;

I – ток, протекающий по проводу.

При использовании ферромагнетиков определение относительной магнитной проницаемость составляет некоторые трудности, поэтому вместо магнитной индукции в данном законе используют напряженность магнитного поля, следовательно для данной магнитной цепи закон полного тока можно представить следующим образом

Выражая магнитную индукцию через магнитный поток, получим следующее выражение

где S_1, S_2, S₃ – соответственно, площадь поперечного сечения участков l₁, l₂, l₃ магнитной цепи.

Таким образом, проводя аналогию с электрической цепью, получим следующие параметры магнитной цепи

где E_m – магнитодвижущая сила,

R_m – магнитное сопротивление цепи.

Следовательно, вышеописанное выражение можно представить следующим выражением

где R_m1, R_m1, R_m1 – соответственно магнитные сопротивления участков l₁, l₂, l₃ магнитной цепи.

Законы магнитной цепи

Как я писал выше многие законы электрических цепей подходят и для магнитных цепей. Например, закон Ома для магнитной цепи звучит следующим образом: магнитный поток Φ прямо пропорционален магнитодвижущей силе E_m и обратно пропорционален полному сопротивлению магнитной цепи R_m. И выражается он следующей формулой, называемой также формулой Гопкинсона

Кроме закона Ома для магнитных цепей действуют правила Кирхгофа. Так первый закон Киргхофа для магнитных цепей звучит следующим образом: алгебраическая сумма магнитных потоков ∑Φ в узле магнитной цепи равна нулю. Для пояснения данного правила изобразим разветвлённую магнитную цепь

Разветвлённая магнитная цепь.

Данная магнитная цепь состоит из двух контуров АБВГ и АГДЕ. Ветвь АГ создает магнитный поток Φ₂, который в точке А делится на два потока Φ₁ и Φ₃. Таким образом, в точке А алгебраическая сумма магнитных потоков равна нулю

Аналогично второй закон Кирхгофа для магнитной цепи звучит следующим образом: в контуре магнитной цепи алгебраическая сумма магнитодвижущижся сил ∑Е_m равна алгебраической сумме магнитных напряжений на отдельных участках.

Магнитное напряжение на участке цепи определяется произведение магнитного потока Φ на магнитное сопротивление участка R_m, следовательно, второй закон Кирхгофа будет иметь вид

 тогда для магнитной цепи изображённой выше второе правило Кирхгофа будет иметь вид

Использую данные соотношения достаточно просто рассчитать необходимые геометрические размеры магнитопроводов для различных магнитных систем, например, трансформаторы, дроссели, катушки индуктивности и так далее, чем мы и займёмся ниже.

Расчёт магнитных цепей

Теория без практического приложения мало интересна радиолюбителям, поэтому приступим к практическому применению теории магнитных цепей. Практический расчёты магнитный цепей сводится к определению магнитодвижущей силы E_m (или как вариант определению количества витков провода N при некотором токе I), которая создает заданную магнитную индукцию B (или магнитный поток Φ). Для данных расчётов необходимо знать геометрические размеры магнитной цепи и магнитную проницаемость материала.

Для начала рассчитаем неразветвлённую магнитную цепь, пример которой дан на рисунке ниже

Расчёт неразветвлённой магнитной цепи (магнитопровода).

Данная магнитная цепь состоит из трех частей l₁, l₂, l₃ выполненных из различных материалов. Где участок l₁ – литая сталь, l₂ – электротехническая сталь, l₃ – воздушный разрыв.

Необходимо рассчитать число витков N обмотки для создания магнитного потока Φ = 3,6 * 10^-3 Вб, если сила тока протекающего по обмоткам составляет I = 2 A.

Так как магнитная цепь у нас неоднородная, то для начала необходимо рассчитать среднюю длину магнитных силовых линий l₁, l₂, l₃, которая проходит по центру магнитной цепи, а также сечение магнитной цепи S.

Далее рассчитываем магнитную индукцию заданных участков l₁, l₂, l₃

Найдём значение напряженности магнитного поля. Так как часть магнитопровода представлена ферромагнетиками, то магнитную индукцию для них находим с помощью графической зависимости магнитной индукции от напряженности магнитного поля

Зависимость индукции от напряженности магнитного поля электротехнической и листовой стали.

Так l₁ – литая сталь, то при В₁ = 1,5 Тл, напряженность магнитного поля Н₁ ≈ 7 А/см = 700 А/м;

l₂ – электротехническая сталь, про В₂ = 1,5 Тл, напряженность магнитного поля Н₂ ≈ 30 А/см = 3000 А/м;

l₃ – воздушный разрыв, напряженность магнитного поля определяется как

где μ₀ = 4π*10^-7 – магнитная постоянная,

μ_rB – относительная магнитная проницаемость воздуха, μ_rB ≈ 1.

Теперь используя закон полного тока, в котором магнитную индукцию выразим через напряженность магнитного поля, можно рассчитать количество витков провода N

В итоге получаем количество витков N = 4083,5.

Кроме неразветвленных магнитных цепей часто встречаются разветвлённые магнитные цепи, пример которой представлен на рисунке ниже

Расчёт разветвлённой магнитной цепи (магнитопровода).

В качестве примера рассчитаем количество витков провода N, который намотан на центральном стержне, при котором в крайних стержнях создается магнитная индукция B₂ = 1,2 Тл. При этом сила тока, протекающая по виткам провода I = 1 А, а материал магнитопровода – электротехническая сталь.

Первоначально разобьем контур АБВГА на два участка l₁ и  l₂, для который вычислим длину и поперечное сечение

Затем вычислим, какой магнитный поток необходимо создать в правом стержне

Согласно первому закону Кирхгофа для магнитных цепей магнитный поток центрального стержня Φ₁ будет равен сумме потоков из крайних стержней. Ввиду того, что данная разветвлённая магнитная цепь является симметричной, то

Тогда магнитная индукция в центральном стержне составит

Теперь определим напряженность магнитного поля по графику зависимости от магнитной индукции:

при В₁ = 1,6 Тл, напряженность составит Н₁ = 44 А/см = 4400 А/м;

при В₂ = 1,2 Тл, напряженность составит Н₁ = 10 А/см = 1000 А/м;

В итоге можно рассчитать количество витков провода, необходимых по условию задачи

На сегодня всё, в следующей статье я расскажу о таком явлении как электромагнитная индукция и самоиндукция, а также важнейшем параметре электромагнитных элементов – индуктивности.

Подробности

Обновлено 03.07.2018 17:37

Просмотров: 1894

Задачи по физике – это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Задача 2

Какой магнитный поток пронизывает каждый виток катушки, имеющей 1000 витков, если при равномерном исчезновении магнитного поля в течение 0,1 с в катушке индуцируется ЭДС равная 10 В ?

Задача 3

Виток проводника   площадью 2 см² расположен перпендикулярно вектору магнитной индукции.
Чему равна ЭДС индукции в витке, если за время 0,05 секунд магнитная индукция равномерно убывает с 0,5 Тл до 0,1 Тл?

Задача 4

В однородном
магнитном поле перпендикулярно к направлению вектора индукции , модуль которого 0,1 Тл, движется провод длиной 2 метра со скоростью 5 м/с, перпендикулярной проводнику.
Какая ЭДС индуцируется в этом проводнике?

Задача 6

Самолет имеет размах крыльев 15 метров. Горизонтальная скорость полета равна720 км/час.
Определить разность потенциалов, возникающих между концами крыльев. Вертикальная составляющая магнитной индукции (перпендикулярно поверхности Земли) равна 50 мкТл.

Задача 7

Магнитный поток через контур проводника сопротивлением 0,03 Ом за 2 секунды  изменился на 0,012 Вб.
Найдите  силу тока в проводнике если изменение потока происходило равномерно.

Задача 8

В однородном магнитном поле находится плоский виток площадью 10 см², расположенный перпендикулярно вектору магнитной индукции.
Какой ток течет по витку, если поле будет убывать с постоянной скоростью 0,5 Тл/с?

Задача 9

Сопротивление замкнутого контура равно 0,5 Ом. При перемещении кольца в магнитном поле магнитный поток через кольцо изменился на 5×10^-3 Вб.
Какой за это время прошел заряд через поперечное сечение проводника?

Содержание:

Магнитные цепи:

В конструкцию многих электротехнических устройств (электрических машин, трансформаторов, электрических аппаратов, измерительных приборов и т. д.) входят магнитные цепи.

Магнитной цепью называется часть электротехнического устройства, содержащая ферромагнитные тела, в которой при наличии намагничивающей силы возникает магнитный поток и вдоль которой замыкаются линии магнитной индукции. Источниками намагничивающей силы могут быть катушки с токами, постоянные магниты.

В конструктивном отношении магнитные цепи выполняют неразветвленными и разветвленными; применение того или иного вида цепи определяется в основном назначением электромагнитного устройства.

Расчет неразветвленной однородной магнитной цепи

В неразветвленной магнитной цепи (рис. 9.1, 9.2) магнитный поток во всех участках один и тот же.

При расчете и конструировании магнитной цепи электромагнитного устройства решаются вопросы, связанные с выбором размеров, формы, материалов. Эти вопросы изучают в специальных курсах.
Здесь рассмотрим расчет для существующей или сконструированной магнитной цепи, размеры и материалы которой, а также расположение обмоток с токами известны. При этом решают задачи двух типов.

Прямая задача:

По заданному магнитному потоку в цепи требуется определить намагничивающую силу, необходимую для создания этого потока.

Рассмотрим решение этой задачи для неразветвленной однородной магнитной цепи (см. рис. 9.1) без учета потоков рассеяния.

1.    По заданному магнитному потоку и известной площади S поперечного сечения сердечника находят магнитную индукцию:

2.    Определяют напряженность магнитного поля Н в сердечнике. Зависимость В(Н) — характеристика намагничивания — для стали нелинейная, а магнитная проницаемость 

Рис. 9.1. Неразветвленная однородная магнитная цепь

Рис. 9.2. Неразветвленная неоднородная магнитная цепь

Обычно напряженность магнитного поля определяют по кривой намагничивания данного сорта стали (см. рис. 8.30 и приложение 4).

3. Находят намагничивающую силу по закону полного тока [см. формулу (8.41)]:

где l — длина магнитопровода, подсчитанная по средней линии без учета закруглений, причем условно принимается, что эта средняя линия во всех точках совпадает с линией магнитной индукции.

Обратная задача:

По заданной намагничивающей силе требуется найти магнитный поток в магнитопроводе.
1.    Определяют напряженность магнитного поля в сердечнике:

2.    По кривой намагничивания данного сорта стали находят магнитную индукцию В.
3.    Определяют магнитный поток:

Для конкретных величин В и Н, определенных в ходе решения задачи, можно подсчитать статическую магнитную проницаемость данного сорта стали по формуле (8.37):

тогда магнитная индукция

магнитный поток

Обозначив знаменатель этого выражения через R_м:

получим

Магнитное сопротивление

Выражение (9.2) по форме напоминает закон Ома для электрической цепи: на месте тока стоит магнитный поток, на месте э. д. с. — намагничивающая сила (ее называют еще магнитодвижущей силой — м. д. с.). Величину R_м называют магнитным сопротивлением. Выражение магнитного сопротивления сердечника по форме аналогично выражению для определения сопротивления проводника электрическому току. Нужно отметить, что формулы для электрической и магнитной цепей похожи только написанием. Никакого физического подобия явлений в электрической и магнитной цепях не существует.

Расчет магнитных цепей обычно проводят без определения магнитного сопротивления. Это понятие используют в некоторых случаях при качественном рассмотрении явлений в магнитных цепях. Пользуясь им, найдем, как должна измениться намагничивающая сила катушки, если в стальном сердечнике (см. рис. 9.1) сделать хотя бы незначительный воздушный зазор, а магнитный поток при этом должен остаться таким же.
Предположим, что в стальном сердечнике длиной l = 100 мм имеется воздушный зазор δ = 1 мм.
Магнитное сопротивление сердечника

Магнитное сопротивление сердечника с воздушным зазором равно сумме сопротивлений двух участков.

Сопротивление стальной части магнитной цепи при той же магнитной индукции останется практически без изменения, так как уменьшение длины ее очень незначительно (≈ 1 %).

Сопротивление воздушного зазора

Предположим, что относительная магнитная проницаемость стали  = 1000, тогда

и

Магнитное сопротивление воздушного зазора оказывается в 10 раз больше сопротивления стального сердечника.

Отсюда следует, что для обеспечения того же магнитного потока при наличии воздушного зазора в 1 мм нужно иметь намагничивающую силу примерно в 10 раз большую, чем при его отсутствии. Эта разница оказывается во много раз большей для сердечников из специальных сплавов, для которых величина достигает сотен тысяч.

Поэтому во всех случаях, когда по условиям работы электромагнитного устройства без воздушного зазора обойтись нельзя, следует по возможности его сокращать.

Задача 9.1.

В сердечнике кольцевой формы из электротехнической стали нужно получить магнитный поток Ф = 2 • 10^-3 Вб. Определить: 1) ток в обмотке, имеющей N = 100 витков; 2) магнитную проницаемость стали при заданном потоке в сердечнике; 3) индуктивность катушки.
Размеры сердечника заданы в миллиметрах на рис. 9.3.

Рис. 9.3. К задаче 9.1

Решение. Площадь сечения сердечника

Считая магнитную индукцию по сечению сердечника постоянной, найдем ее величину по заданному потоку:

По кривой намагничивания (см.рис. 8.30) определим напряженность магнитного поля: H = 50 А/см = 5000 А/м.
Намагничивающая сила, необходимая для создания заданного потока,

Ток в обмотке

Магнитная проницаемость стали при найденных величинах В и H

Относительная магнитная проницаемость

Индуктивность катушки

 

Задача 9.3.

Определить магнитный поток и магнитное сопротивление сердечника (рис. 9.4), размеры которого заданы в миллиметрах, если в катушке с числом витков N = 200 ток I = 6 А. Сердечник изготовлен из электротехнической стали 1511, причем 10% его сечения занимает изоляция между листами.

Рис. 9.4. К задаче 9.3

Решение. Намагничивающая сила и напряженность поля


где I — длина замкнутого сердечника по средней линии; согласно размерам, указанным на чертеже, l = 80 см = 0,8 м.
Магнитная индукция по характеристике намагничивания электротехнической стали 1511 В = 1,42 Тл.
Полная площадь сечения сердечника

Активная площадь

Магнитный поток

Магнитная проницаемость при заданной величине намагничивающей силы
Магнитное сопротивление

Расчет неразветвленной неоднородной магнитной цепи

Неоднородная магнитная цепь состоит из нескольких участков, отличающихся в общем случае длиной, поперечным сечением и материалом. Чаще всего встречаются магнитные цепи, у которых кроме участков из ферромагнитных материалов имеются воздушные зазоры.

Прямая задача:

При решении прямой задачи размеры и материалы каждого участка цепи известны, а магнитный поток задан; определяют намагничивающую силу. Порядок решения прямой задачи такой же, как и для однородной цепи, но магнитную индукцию и напряженность поля определяют для каждого участка; при этом потоки рассеяния в расчет не принимают.

Магнитная индукция k-го участка

где S_k — площадь поперечного сечения k-го участка.
По магнитной индукции определяют напряженность поля: для участков из ферромагнитных материалов — по кривым намагничивания; для воздушных зазоров и других участков из неферромагнитных материалов — по формуле
Далее составляют уравнение согласно закону полного тока:

где Н_k — напряженность магнитного поля k-го участка (принимают ее одинаковой во всех точках этого участка); l_k — длина k-то участка, взятая по средней линии; Н_kl_k — магнитное напряжение _к-то участка (далее магнитное напряжение будем обозначать U_m);  — алгебраическая сумма намагничивающих сил всех обмоток, входящих в рассматриваемую цепь.

Намагничивающую силу считают положительной в левой части уравнения (9.3), если ее направление, определенное по правилу буравчика, совпадает с направлением обхода магнитного контура. Магнитное напряжение в правой части уравнения считают положительным, если направление магнитного потока совпадает с направлением обхода контура.
Для магнитной цепи (см. рис. 9.2) развернутое уравнение (9.3) имеет вид

 

Обратная задача:

Обратную задачу — определение магнитного потока по заданным намагничивающим силам — нельзя решить так же просто, как для однородной цепи, так как нельзя сразу установить распределение магнитного напряжения между участками.

Нельзя воспользоваться формулой (9.2), так как магнитное сопротивление участка из ферромагнитного материала зависит от величины , которая определяется не известной еще магнитной индукцией.

Задачу можно решить методом последовательных приближений.
При наличии в цепи воздушного зазора первое значение магнитного потока можно взять, считая магнитное сопротивление воздушного зазора равным сопротивлению всей магнитной цепи. 

Основанием для такого выбора является то, что даже малый воздушный зазор имеет магнитное сопротивление, значительно большее, чем вся остальная часть цепи, выполненная из ферромагнитных материалов.
Пренебрегая в первом приближении магнитным сопротивлением ферромагнитной части цепи, получим поток

Определить магнитный поток можно, построив кривую намагничивания цепи в целом. Для этого нужно задаться произвольно несколькими величинами магнитного потока и определить соответствующие им величины намагничивающей силы.

Рис. 9.5. Кривая намагничивания магнитной цепи

Рис. 9.6. К расчету неразветвленной неоднородной магнитной цепи (обратная задача)

По результатам расчета строится кривая намагничивания цепи (рис. 9.5). По кривой находят магнитный поток, соответствующий заданной намагничивающей силе.

Возможен и другой путь графо-аналитического решения обратной задачи (рис. 9.6). По взятым произвольно нескольким величинам магнитного потока находят величины  (для стальной части цепи) и (для воздушного зазора). Затем из начала координат строят кривую
На оси абсцисс находят точку a, соответствующую заданной намагничивающей силе IN, из которой влево проводят прямую Ф(IN — U_м0).
В точке пересечения этих графиков по оси ординат находят искомый поток, а по оси абсцисс — величины U_м.с = Нl_с и U_м0 = Н₀δ.
 

Задача 9.5.

Магнитная цепь электромагнитного реле клапанного типа, изготовленная из стали, имеет поток Ф = 1,2 • 10^-3 Вб. Определить число витков катушки реле, необходимое для возбуждения созданного магнитного потока при токе в катушке 0,2 А. Ярмо и якорь реле прямоугольного сечения 7,5 x 1,2 см, сердечник круглого сечения диаметром 3 см. Другие размеры показаны на рис. 9.2.
Решение. Магнитная цепь реле делится на однородные участки:

а) сердечник круглого сечения

длина l₁ = 8,6 см;
б) ярмо прямоугольного сечения

длина l₂ = 14,9 см (см. рис. 9.2);
в) якорь прямоугольного сечения

длина l₃ = 6,1 см;
г) воздушный зазор, сечение которого принимаем равным сечению сердечника, пренебрегая некоторым увеличением его за счет выпучивания линий магнитной индукции:

длина δ = 0,2 см.
Магнитная индукция в участках цепи:




Напряженность магнитного поля в стальных участках определена по кривой намагничивания литой стали, которая принята такой же и для кованой стали: Н₁ = 57 А/см; Н₂ = 18 А/см; Н_з = 18 А /см.

В воздушном зазоре

Составляем уравнение по закону полного тока:

Число витков обмотки

 

Задача 9.7.

Две катушки N₁ = 2000 и N₂ = 600 витков насажены на стержни сердечника из электротехнической стали 1211. Размеры магнитной цепи показаны на рис. 9.7. Определить магнитный поток при токе в катушках I = 0,8 А и при соединении концов катушек по схеме: К₁ соединен с К₂ напряжение приложено к зажимам Н₁ и Н₂.
Решение. Магнитная цепь рис. 9.7 имеет шесть участков, размеры которых найдены из чертежа:
а)    воздушный зазор — δ₀₁ = 0,09 см, S₀₁ = 5 • 4,5 = 22,5 см²;
б)    стержень А — l₁ = 20 см, S₁ = 22,5 см²;
в)    ярмо Б — l₂ = 25 см, S₂ = 22,5 см²;
г)    стержень В — l_з = 20 см, S₃ = 22,5 см²;
д)    воздушный зазор — δ₀₂ = 0,09 см, S₀₂ = 22,5 см²;
е)    якорь Д — l₀ = 25 см, S₆ = 22,5 см².

Рис. 9.7. К задаче 9.7

Задаемся несколькими величинами магнитного потока, причем наибольший возможный поток найдем в предположении, что магнитное сопротивление создают только воздушные зазоры [см. формулы (9.1), (9.2)]:


При определении потока учтено, что катушки включены согласно, поэтому их намагничивающие силы сложены.
Для полученного потока найдем намагничивающую силу с учетом стальной части магнитной цепи. Последовательность решения та же, что и при решении задачи 9.5. Результаты расчета для Ф₀ и других величин потока сведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Таблица 9.2

Зависимости Ф(U_m.c) и Ф(IN — U_m0) показаны на рис. 9.6, причем прямая Ф(IN — U_m0) построена по двум точкам. При IN — U_m0 = 0

при Ф = 0

В точке пересечения графиков определяем искомый магнитный поток, а также величины Hl_c = U_m.c и H₀δ = U_m0, соответствующие этому потоку:

Расчет разветвленной магнитной цепи

В разветвленной магнитной цепи магнитные потоки в общем случае различны в разных ветвях (рис. 9.8).

Разветвленные магнитные цепи делятся на симметричные и несимметричные.

Рис. 9.8. Разветвленная симметричная магнитная цепь

Рис. 9.9. Магнитная цепь четырехполюсной электрической машины

Симметричную магнитную цепь мысленно можно разделить на неразветвленные цепи таким образом, что во всех участках выделенной цепи магнитный поток будет один и тот же. Кроме того, предполагается симметричное расположение намагничивающих сил (рис. 9.8, 9.9).
Если указанные условия симметрии не соблюдаются, то магнитная цепь относится к несимметричным (рис. 9.10).

Узловые и контурные уравнения магнитной цепи

Симметричная магнитная цепь (см. рис. 9.8) состоит из двух одинаковых контуров. Средний стержень вместе с катушкой (источником намагничивающей силы) входит в оба контура.

Место соединения среднего стержня с ярмом является узлом магнитной цепи, в котором магнитный поток Ф₁, делится на два равных потока, если магнитное сопротивление обоих контуров одинаково:

Расчет разветвленной симметричной цепи из-за равенств потоков симметричных контуров сводится к расчету одного контура, который выполняют в том же порядке, что и расчет неразветвленной цепи.
В аналогичной несимметричной магнитной цепи поток в узле делится на неравные части, но для любого узла пригодно уравнение

Для схемы рис. 9.8 это уравнение в развернутом виде записывают так:
или
При составлении такого уравнения учитывают направления потоков: направленные к узлу и направленные от узла потоки берутся с разными знаками.

Для каждого контура магнитной цепи можно также составить уравнение по закону полного тока.

Предположим, что все участки магнитной цепи выполнены из материалов с постоянными значениями магнитной проницаемости. Каждый участок и вся цепь имеют линейную зависимость магнитного потока от магнитного напряжения Ф(U_м).

Определив для каждого участка магнитное сопротивление R_м, магнитную цепь можно представить соответствующей схемой замещения, в которую войдут постоянные магнитные сопротивления участков и намагничивающие силы.
На рис. 9.11, а показана схема замещения магнитной цепи (см. рис. 9.8). Пренебрегая потоками рассеяния, расчет магнитной цепи можно выполнить аналогично расчету электрической цепи, решая систему линейных уравнений, составленных для узлов (см. формулу (9.4)] и контуров [см. формулу (9.3)].

Графический расчет разветвленной цепи

Элементы схем замещения магнитных цепей, осуществляемых на практике (кроме элементов, соответствующих воздушным зазорам), имеют нелинейные характеристики Ф(U_м), так как магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от напряженности поля. Нелинейными являются и магнитные цепи в целом.

Аналогия с электрической цепью указывает на возможность графического расчета нелинейной магнитной цепи в порядке. Первый этап расчета состоит в построении характеристик Ф(U_м) для каждого участка цепи в общей системе координат. Для этого используются характеристики намагничивания материалов, из которых изготовлена магнитная цепь. Например, чтобы построить характеристику Ф₃(U_3м), нужно ряд величин напряженности поля Н₃, взятых из характеристики намагничивания материала третьего участка магнитной цепи, умножить на длину этого участка (H₃l₃ = U_3м), а соответствующие им величины магнитной индукции умножить на площадь S₃ этого участка (В₃S₃ = Ф₃).

По полученным значениям U_3м и Ф₃ строят график Ф₃(U_3м) (рис. 9.11, б). Магнитные сопротивления R_2м и R_3м соединены параллельно. Поэтому магнитные напряжения второго и третьего участков одинаковы: U_2м = U_3м = U_2.3м.

Сумма магнитных потоков этих участков равна магнитному потоку первого участка (сопротивление R_1м): Ф₁ = Ф₂ + Ф₃.
Складывая магнитные потоки Ф₂ и Ф₃ для ряда значений магнитного напряжения, получим кривую Ф₁ (U_2.3м).

На рис. 9.11, б это показано для одного значения U_м.п.Отрезки 4-3 и 4-2 в масштабе магнитных потоков выражают потоки Ф₃ и Ф₂. Сумма этих отрезков, равная отрезку 4-1, выражает магнитный поток Ф_1П. Магнитное сопротивление R_1м и сопротивление, эквивалентное R_2м и R_3м, соединены последовательно. Поэтому намагничивающая сила всей цепи IN равна сумме магнитных напряжений U_1м и U_2.3м: IN = U_1м + U_2.3м. Магнитные же потоки участков цепи с сопротивлениями R_1м и R_2.3м одинаковы.

Складывая магнитные напряжения U_1м и U_2.3м для ряда значений магнитного потока, получим кривую Ф₁(IN). На рис. 9.11, б это показано для одного значения Ф_1п. Отрезки 7-6 и 7-1 в масштабе магнитных напряжений выражают магнитные напряжения U_1м и U_2.3м. Сумма этих отрезков дает отрезок 7-5, выражающий намагничивающую силу IN.

Выполнив указанные построения, нетрудно решить различные задачи расчета магнитной цепи.

Задача 6.9.

Катушка, имеющая 500 витков, расположена на среднем стержне магнитопровода, изготовленного из стали 1511 (см. рис. 9.8). Определить ток в катушке, если в крайнем стержне поток Ф₂ = Ф₃ = 2 • 10^-3Вб. Рассеяние потока не учитывается.
Решение. В данной симметричной цепи можно наметить два одинаковых в магнитном отношении контура: а-б-в-г-а и а-е-д-г-а. В каждом из них по два участка:


Рассматривая один из контуров, решим задачу в порядке, принятом для неразветвленной цепи:

Магнитный поток в среднем стержне в два раза больше, чем в крайних:


По кривым намагничивания стали 1511 находим:

По закону полного тока,

Ток в катушке

 

Задача 9.10.

В крайнем стержне магнитопровода, взятого по условию задачи 9.9, имеется воздушный зазор δ = 0,1 см. Определить, как нужно изменить ток в катушке, чтобы сохранить прежнюю величину потока в этом стержне (см. рис. 9.10).
Решение. При наличии воздушного зазора в одном крайнем стержне магнитная цепь становится несимметричной.
В контуре а-е-д-г-а сохранились те же участки; в контуре а-б-в-г-а: l₁ = 16 см; l₃ = 41,9 см; δ = 0,1 см; S₁ = 30 см²;

Магнитная индукция в воздушном зазоре и крайнем стержне 6-в

Напряженность поля

по кривой намагничивания стали 1511 Н₃ = 3 А/см.
В магнитной цепи можно наметить третий контур (а-б-в-г-д-е-а). Для этого контура, по закону полного тока,


Магнитная индукция на участке l₂ по кривой намагничивания В₂ = 1,48 Тл. Магнитный поток на участке l₂

Магнитный поток в среднем стержне (участок l₁) определим на основании первого закона Кирхгофа для узла а:

Магнитная индукция на этом участке

Напряженность поля Н₁ = 69,5 А/см.
Для одного из контуров, включающего средний стержень, например а-б-в-г-а, по закону полного тока,


Ток в катушке

Вывод. Для того чтобы сохранить в крайнем стержне такой же магнитный поток при наличии воздушного зазора δ = 0,1 см, требуется увеличить ток в катушке почти в восемь раз по сравнению с тем случаем, когда зазор отсутствует.

Постоянные магниты

В измерительных приборах, электрической аппаратуре и других устройствах в качестве источников намагничивающей силы широко применяют постоянные магниты.

На рис. 9.12 схематично изображены магнитные системы магнито-электрического измерительного прибора (а) и поляризованного реле (б).
Эти системы, как и большинство им подобных, имеют несколько участков: 1) из магнитно-твердого материала— постоянного магнита 1; 2) из магнитно-мягкого материала 2, служащего магнитопроводом, и воздушного зазора 3, форма и размеры которого определяются конструкцией и назначением устройства.
При расчете магнитной цепи с постоянным магнитом требуется определить магнитный поток и индукцию в воздушном зазоре или по заданному потоку найти оптимальные размеры постоянного магнита (наименьшие объем и габариты).
 

Характеристики размагничивания постоянных магнитов

Величины остаточной магнитной индукции В_г и коэрцитивной силы H_с характеризуют материал постоянного магнита: чем они больше, тем выше его качество. Как известно, на петле гистерезиса В_г соответствует Н = 0, а при В = 0 Н = Н_с.

Рис. 9.12. Магнитные цепи с постоянными магнитами

Рис. 9.13. Характеристики размагничивания постоянных магнитов:
1 — АНКО-4; 2 — АНКО-2; З-АН-2; 4 — сталь с 30% СО

Промежуточные магнитные состояния определяются частью петли магнитного гистерезиса, лежащей во второй четверти, — характеристикой размагничивания (рис. 9.12). Эта характеристика используется при расчете постоянных магнитов.
Согласно закону полного тока, сумма магнитных напряжений участков магнитной цепи (рис. 9.12) равна нулю, так как внешняя намагничивающая сила (ампер-витки) отсутствует:

где U_м.т — магнитное напряжение постоянного магнита; — сумма магнитных напряжений всех участков магнитной цепи, включая воздушные зазоры, но без постоянного магнита.

Левая и правая части равенства (9.5) связаны с магнитной индукцией и потоком определенными зависимостями: Ф_т(U_м.т) — кривая размагничивания постоянного магнита (по форме повторяет кривую размагничивания материала, из которого выполнен постоянный магнит); Ф_м(U_м.с) — кривая намагничивания части конструкции устройства, изготовленной из магнитно-мягкого материала; Ф₀(U_м0) — прямая, проходящая через начало координат и повторяющая в других масштабах зависимость

Определение магнитного потока в магнитной цепи с постоянным магнитом

Пренебрегая потоком рассеяния  и магнитным напряжением в участках из магнитно-мягкого материала (), можно построить в общей системе координат зависимости  и .

В этом случае искомый магнитный поток Ф₀ определяется точкой их пересечения (рис. 9.14).

Магнитная индукция в воздушном зазоре

Из равенства (9.5) следует, что напряженности поля в воздушном зазоре и магните направлены в противоположные стороны.

При отсутствии воздушного зазора (постоянный магнит замкнут) остаточная индукция имеет величину В_г, а при наличии зазора будет меньше В_г (рис. 9.14). Воздушный зазор создает эффект размагничивания магнита.

Рис. 9.14. К расчету магнитной цепи с постоянным магнитом

Задача 9.12.

Определить магнитный поток и индукцию в воздушном зазоре постоянного магнита (см. рис. 9.12, а), если магнит, изготовленный из сплава АНКО-2, имеет длину l_т = 10 см; S_Т = 4 см². Полюса и цилиндрический сердечник изготовлены из магнитно-мягкой стали, имеют общую длину l_м = 15 см; воздушный зазор между полюсом и сердечником δ = 0,2 см с каждой стороны и площадь S = 10 см². Характеристика размагничивания сплава АНКО-2 представлена на рис. 9.13.
Решение. Построим зависимость магнитного потока в магните от магнитного напряжения Ф(U_м.т).
Для этого, согласно кривой 2 на рис. 9.13, берем величины В и Н, подсчитываем Ф и U_м.т и результаты подсчета сводим в табл. 9.3.
Для тех же величин магнитного потока определим U_м0 = Н₀δ для воздушного зазора. Величинами H_сl_с для участков из стали пренебрегаем из-за их незначительной величины.

Т а б л и ц а 9.3

Для потока Ф = 3,28 • 10^-4 Вб

Результаты подсчетов сводим в табл. 9.4.

Таблица 9.4

Зависимости Ф(U_м.т) и Ф(U_м0) построены на рис. 9.14. В точке пересечения этих графиков находим магнитный поток:

Магнитная индукция в воздушном зазоре

 Циркуляция вектора магнитной индукции
В вдоль замкну­того контура

где
B_i
— проекция
вектора магнитной индукции на направление
элементарного перемещения dl
вдоль контура L.
Циркуляция век­тора напряженности Н
вдоль замкнутого контура

,

 Закон полного тока (для магнитного
поля в вакууме)

где ₀
— магнитная постоянная;

— алгебраическая сумма токов,
охватываемых контуром; п — число
токов.

Закон полного тока (для произвольной
среды)

 Магнитный
поток Ф через плоский контур площадью
S:

а) в случае однородного поля

Ф=BS cos
; или Ф = B_nS,

где  — угол между
вектором нормали n к
плоскости контура и век­тором магнитной
индукции В; В_n
— проекция вектора В на нормаль
n (B_n=B
cos );

б) в случае неоднородного поля

где интегрирование ведется во всей
поверхности S.

 Потокосцепление,
т.е. полный магнитный поток, сцепленный
со всеми витками соленоида или тороида,

где Ф — магнитный поток через один
виток; N — число витков со­леноида
или тороида.


Магнитное поле тороида, сердечник
которого составлен из двух частей,
изготовлен­ных из веществ с раз­личными
магнитными проницаемостями:

а) магнитная индук­ция на осевой линии
тороида

где I — сила тока в
об­мотке тороида; N — чис­ло ее
витков; l₁ и l₂ -­
длины первой и второй частей сердечника
торо­ида; ₁ и
₂
—магнитные проницаемости ве­ществ
первой и второй частей сердечника
торо­ида; ₀
—магнитная постоянная

б) напряженность магнитного поля на
осе­вой линии тороида в первой и второй
частях сердечника

H₁=B
/(₁
₂);
H₁=B
/(₂
₀
);

в) магнитный поток в сердечнике тороида

или по аналогии с законом Ома (формула
Гопкинсона)

Ф_m=F_m/R_m,

где F_m
— магнитодвижущая сила; R_m
— полное магнитное сопро­тивление
цепи;

г) магнитное
сопротивление участка цепи

R_m=l/(μμ₀S).

• Магнитная проницаемость μ,
ферромагнетика связана с маг­нитной
индукцией В поля в нем и напряженностью
Н намагничи­вающего поля соотношением

μ=B/(μ₀H).

• Связь между магнитной индукцией В
поля в ферромагнетике и напряженностью
Н намагничивающего поля выражается
графи­чески (рис. 24.1).

Примеры решения задач

Пример 1. В одной плоскости с бесконечно
длинным прямым проводом, по которому
течет ток I=50 А,
расположена прямоуголь­ная рамка
так, что две большие стороны ее длиной
l=65 см парал­лельны
проводу, а расстояние от провода до
ближайшей из этих сторон равно ее ширине.
Каков магнитный поток Ф, пронизываю­щий
рамку?

Решение.
Магнитный поток Ф через поверхность
площадью S определяется
выражением

В нашем случае вектор магнитной индукции
В перпендикулярен плоскости рамки.
Поэтому для всех точек рамки В_n=В.
Магнитная индукция В, создаваемая
бесконечно длинным прямым проводником
с током, определяется формулой

,

где x— расстояние
от провода до точки, в которой определяется
В.

Для вычисления магнитного потока
заметим, что так как В зависит от х
и элементарный поток Ф будет также
за­висеть от х, то

dф=B(x)dS.

Разобьем площадь рамки на узкие
элементарные площадки длиной l,
шири­ной dx и площадью
dS=ldx
(рис. 24.2). В пределах этой площадки
магнитную индукцию можно считать
постоянной, так как все части площад­ки
равноудалены (на расстояние х) от
провода. С учетом сделанных замечаний
элементарный магнитный поток можно
записать в виде

dФ=

Проинтегрировав полученное выражение
в пределах от x₁=a
до х₂=2а, найдем

|_^2.

Подставив пределы, получим

Убедимся в том, что правая часть
полученного равенства дает единицу
магнитного потока (Вб): [₀]
[I] [l]=
Гн/м 1 А 1
м=1 Вб. Произведя вычисления по формуле
(1), найдем Ф=4,5 мкВб.

Пример 2. Определить индукцию В
и напряженность Н магнит­ного
поля на оси тороида без сердечника, по
обмотке которого, со­держащей N=200
витков, идет ток I=5 А. Внешний диаметр
d₁ тороида
равен 30 см, внутренний d₂=
20 см.

Решение. Для определения напряженности
магнитного поля внутри тороида вычислим
циркуляцию вектора Н вдоль линии
маг­нитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии
магнитной индукции тороида представляют
собой окружности и что во всех точках
этой линии напряженности одинаковы.
Поэтому в выражении циркуля­ции
напряженность Н можно вынести за
знак интеграла, а интегри­рование
проводить в пределах от нуля до 2 r,
где r — радиус
ок­ружности, совпадающей с линией
индукции, вдоль которой вычис­ляется
циркуляция, т. e.

(1)

С другой стороны, в соответствии с
законом полного тока цир­куляция
вектора напряженности магнитного поля
равна сумме то­ков, охватываемых
контуром, вдоль которого вычисляется
цирку­ляция:

(2)

Приравняв
правые части равенств (1) и (2), получим

(2)

Линия, проходящая вдоль тороида,
охватывает число токов, равное числу
витков тороида. Сила тока во всех витках
одинакова. Поэтому формула (3) примет
вид 2rH=-NI,
откуда

(4)

Для средней линии тороида
r=1/2(R₁R₂)=1/4(d₁+d₂).
Подставив это выражение r в формулу
(4), найдем

(5)

Магнитная индукция В₀ в
вакууме связана с напряженностью поля
соотношением B₀=₀H.
Следовательно,

(6)

Подставив значения величин в выражения
(5) и (6), получим:

H=1,37 кА/м, B₀=1,6
мТл.

Пример. 3. Чугунное кольцо имеет
воздушный зазор длиной lо=5 мм. Длина
l средней линии кольца равна 1 м.
Сколько витков N содержит обмотка
на кольце, если при силе тока I=4 А
индукция В магнитного поля в воздушном
зазоре равна 0,5 Тл? Рассеянием маг­нитного
потока в воздушном зазоре можно
пренебречь. Явление гистерезиса не
учитывать.

Решение. Пренебрегая рассеянием
магнитного потока, мы можем принять,
что индукция поля в воздушном зазоре
равна ин­дукции поля в чугуне. На
основании закона полного тока запишем

IN=Hl+H₀I₀.

По графику (см. рис. 24.1) находим, что при
В=0,5 Тл напря­женность Н
магнитного поля в чугуне равна 1,2 кА/м.
Так как для воздуха =1,
то напряженность поля в воздушном
зазоре

H₀=B₀=0,4
MA/м.

Искомое число витков

N=(Hl+H₀
l_o)/I==800.