Как найти максимальное число в системе счисления

Привет! Сегодня исследуем 10 Задание из ОГЭ по информатике 2023.

Задание 9 из ОГЭ по информатике Вы можете научиться решать, прочитав статью по 13 заданию из ЕГЭ по информатике. Эту статью Вы можете найти здесь.

Десятое задание проверяет умение работать с различными системами счисления.

Задача (Классическая)

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

14₁₆, 26₈, 11000₂.

Решение:

Число 14 находится в шестнадцатеричной системе. Об этом говорит маленький индекс возле числа. Переведём его в нашу родную десятичную систему.

Берём поочередно цифры, начиная с младшего разряда. Первую правую цифру умножаем на 16 в нулевой степени, вторую цифру на 16 в первой степени и т.д. Умножаем на 16, потому что переводим из шестнадцатеричной системы. Степень потихоньку увеличивается на 1.

Необходимо помнить, что любое число в нулевой степени это единица!

Остаётся только посчитать полученный пример. Получается число 20 в десятичной системе.

Переведём число 26₈ из восьмеричной системы в нашу родную десятичную систему. Делаем аналогично предыдущему примеру.

Аналогично переведём число и из двоичной системы.

Наибольшее из трёх чисел это 24.

Ответ: 24

Задача (Классическая, закрепление)

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

1D₁₆, 36₈, 11011₂

Решение:

В шестнадцатеричной системе буквы при переводе в десятичную систему нужно превратить в числа.

A	B	C	D	E	F
10	11	12	13	14	15

Переведём первое число.

Переведём второе число.

Переведём третье число.

Наибольшее число получается 30.

Ответ: 30

Задача (Из десятичной в двоичную)

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, в двоичной записи которого наименьшее количество единиц. В ответе запишите количество единиц в двоичной записи этого числа.

59₁₀, 71₁₀, 81₁₀

Решение:

Нужно каждое число перевести в двоичную систему счисления.

Переведём число 59₁₀ в двоичную систему.

Получается 59₁₀ = 111011₂. Здесь мы делим уголком на 2 (на основание системы, куда переводим) с остатком. Продолжаем делить, пока не получим 1. Затем остатки записываем задом наперёд. Получается число в двоичной системе счисления. Последнее число 1 (единицу) тоже берём.

Переведём число 71₁₀ в двоичную систему.

Получается 71₁₀ = 1000111₂.

Переведём число 81₁₀ в двоичную систему.

Получается 81₁₀ = 1010001₂.

Найдём количество единиц для каждого числа, записанного в двоичной системе.

111011₂, Кол. ед.: 5
1000111₂, Кол ед.: 4
1010001₂, Кол ед.: 3

Ответ: 3

Задача (Из десятичной в восьмеричную)

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в десятичной системе счисления, найдите число, сумма цифр которого в восьмеричной записи наименьшая. В ответе запишите сумму цифр в восьмеричной записи этого числа.

86₁₀, 99₁₀, 105₁₀

Решение:

Переведём число 86₁₀ в восьмеричную систему.

Делаем аналогично тому, как мы переводили в двоичную систему, только теперь уголком делим на 8. Остатки могут получатся от 0 до 7.

Как только в результате деления получили число меньшее, чем 8, то завершаем процесс перевода.

Остатки опять записываем задом наперёд. Последнее число тоже участвует в формировании результата наравне с остатками.

Получается 86₁₀ = 126₈.

Переведём число 99₁₀ в восьмеричную систему.

Получается 99₁₀ = 143₈.

Переведём число 105₁₀ в восьмеричную систему.

Получается 105₁₀ = 151₈.

Найдём сумму цифр у полученных чисел.

126₈, Сумма цифр: 9
143₈, Сумма цифр: 8
151₈, Сумма цифр: 7

Наименьшая сумма цифр равна 7.

Ответ: 7

Разберём несколько нестандартных тренировочных задач для подготовки к 10 заданию ОГЭ по информатике.

Задача(Неожиданная)

Число 3322_n записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите наименьшее возможное значение n. Для этого значения n в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Наименьшее значение n в этой задаче может быть равно 4, потому что самая большая цифра – это тройка. Мы берём на 1 больше, т.к. в четверичной системе могут применяться только цифры: 0, 1, 2, 3. Тоже самое, как в нашей родной десятичной системе могут применяться 10 цифр: от нуля, до девяти. Самая большая цифра в нашей родной десятичной системе девятка.

Осталось перевести данное число из четверичной системы в десятичную.

Ответ: 250

Задача (Уже знаем)

Число 2023_n записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите значение n, при котором данное число минимально. Для этого значения n в ответе запишите представление данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Здесь нужно, чтобы само число 2023_n было минимальным. Но это число будет минимальным, если мы выберем самое маленькое значение n при данных цифрах.

Самое маленькое основание системы может вновь 4. Переведём наше число 2023₄ из четверичной системы в десятичную.

Получается число 139.

Ответ: 139

Задача (Крепкий орешек)

Число 121_n записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите наибольшее возможное значение n, для которого 121_n < 108₁₀. Для этого значения n в ответе запишите представления данного числа в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Мы не знаем в какой системе счисления записано число. Но всё равно начнём переводить его в десятичную систему, оставив переменную n в виде неизвестной.

Попробуем подобрать n.

При n=10

1*10⁰ + 2*10¹ + 1*10² = 121 > 108₁₀

Перебор. Ну это и так было понятно.

Значит, нужно уменьшать n. Возьмём n = 9.

1*9⁰ + 2*9¹ + 1*9² = 100 < 108₁₀

Как раз получилось число, которое меньше числа 108₁₀. Это и есть наибольшее n!

В ответе просили перевести исходное число в десятичную систему. Это и есть число 100, уже всё переведено.

Ответ: 100

Задача (Не все цифры одинаковые)

Десятичное число 511 записано в системе счисления с основанием n (n > 1). Определите минимальное значение n, при котором в полученной записи числа не все цифры одинаковые. В ответе запишите запись числа в системе счисления с найденным основанием n. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение:

Начнём перебирать основание системы n, начиная с наименьшего значения 2. Переведём число 511₁₀ в двоичную систему.

Можно переводить стандартно, через деление уголком на 2. Но в данном случае видно, что число 511 близко к 512. Число 512 = 2⁹.

Существует правило:

2⁴ = 10000₂
2⁶ = 1000000₂

Т.е. степень двойки показывает, сколько после единицы нулей у числа в двоичной системе.

Это касается любой системы счисления.

3² = 100₃
3³ = 1000₃

Наше число

511₁₀ = 512₁₀ – 1 = 2⁹ – 1 = 1000000000₂ – 1

Сделаем вычитание столбиком.

Вычитание или суммирование столбиком в любой системе счисления выполняются так же, как и в нашей системе счисления. Здесь мы вычитаем единицу из нуля. Ноль идёт занимать у более старшего разряда и т.д. В итоге обращаемся к самой старшей единице. Эта единица превращается в младшем разряде в двойку, потому что работаем в двоичной системе. Как и в нашей системе, когда занимаем у старшего разряда единицу, она превращается в десяток. В итоге каждая двойка отдаёт единицу в младший разряд. В самом младшем разряде получается действие 2-1=1. А все разряды, т.к. отдали единицу в младший разряд превратятся в 1.

Получается 511₁₀ = 200221₃.

Видим, что не все цифры у числа одинаковые в троичной системе. И число n = 3 – это минимально возможное число.

Ответ: 200221

Задача(Диапазон чисел)

Сколько существует целых чисел x, для которых выполняется неравенство

2B₁₆ < x < 62₈?

В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.

Решение:

Нам нужно узнать сколько чисел находятся в диапазоне от 2B₁₆ до 62₈.
Переведём числа 2B₁₆ и 62₈ в нашу родную десятичную систему счисления. Затем, мы уже сможем сообразить, сколько чисел вмещается в этот диапазон.

Чтобы перевести число из любой системы счисления в нашу родную десятичную, необходимо воспользоваться методом “возведения в степень”.

Начинаем с младшего разряда. Цифра “B” превращается в 11. 2B₁₆ = 43₁₀. Теперь переведём число
62₈ в десятичную систему.

Таким образом, наше неравенство принимает вид 43 < x < 50. Кажется, что нужно сделать 50 – 43 = 7. Но если мы подставим небольшие числа 4 < x < 6, то мы увидим, что метод 6-4=2 неверен. Число будет только одно: 5 (пять). Поэтому и от нашего числа 7 мы тоже должны отнять единицу. 7 – 1 = 6. И ответ будет 6.

Если бы у нас было в одном месте знак “больше или равно”: 2B₁₆ ≤ x < 62₈, то мы бы оставили число 7. А если было бы два знака “больше или равно”, то даже прибавили единицу.

Ответ: 6

Перейти к контенту

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям