Как найти максимальное напряжение на катушке

Условие задачи:

Максимальное напряжение в колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктивностью 5 мкГн и конденсатора емкостью 13330 пФ, равно 1,2 В. Сопротивление ничтожно мало. Определить действующее значение тока в контуре.

Задача №9.10.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(L=5) мкГн, (C=13330) пФ, (U_m=1,2) В, (I_д-?)

Решение задачи:

Известно, что согласно закону сохранения энергии при колебаниях максимальная энергия электрического поля конденсатора равна максимальной энергии магнитного поля тока катушки, поэтому справедливо записать следующее равенство:

[frac{{CU_m^2}}{2} = frac{{LI_m^2}}{2}]

Откуда максимальное (амплитудное) значение силы тока (I_m) равно:

[{I_m} = {U_m}sqrt {frac{C}{L}};;;;(1)]

Действующее значение силы тока (I_д) связано с максимальным значением силы тока (I_m) по формуле:

[{I_д} = frac{{{I_m}}}{{sqrt 2 }};;;;(2)]

Подставим выражение (1) в формулу (2):

[{I_д} = {U_m}sqrt {frac{C}{{2L}}} ]

Задача решена в общем виде, теперь посчитаем численный ответ:

[{I_д} = 1,2 cdot sqrt {frac{{13330 cdot {{10}^{ – 12}}}}{{2 cdot 5 cdot {{10}^{ – 6}}}}} = 0,044;А]

Ответ: 0,044 А.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.10.6 Вольтметр, включенный в цепь переменного тока, показывает 220 В. На какое
9.10.8 При включении конденсатора на синусоидальное напряжение 220 В с частотой 50 Гц
9.10.9 Определить емкость конденсатора фильтра выпрямителя, если частота тока 50 Гц

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Если
катушка индуктивности
находится в контуре с переменным током,
то в ней все время будет возникать ЭДС
самоиндукции, которая противодействует
внешний переменной ЭДС. Вследствие
этого катушка будет создавать сопротивление
(дополнительное к активному) переменному
току, который называют индуктивным
сопротивлением. Найдем это сопротивление.

Пусть
активное сопротивление катушки очень
мало ().
Тогда на индуктивности создается падение
напряжения,
которое равняется минус ЭДС самоиндукции
(ЭДС самоиндукции противодействует
внешнему напряжению),.
Подставив выражение для силы тока (1) в
выражение для ЭДС самоиндукции (11*),
получим значение напряжения на
индуктивности,
или учитывая, что

Величина
является амплитудным значением напряжения
на индуктивности, а отношение

называют
индуктивным
сопротивлением.
Анализируя это выражение, можно сделать
вывод, что катушка индуктивности хорошо
пропускает постоянный ток ()
и хуже пропускает переменный ток ().
В отличие от активного сопротивления,
индуктивное сопротивление не вызывает
выделение джоулева тепла.

Из
сравнения выражений для силы тока (1) и
напряжения (3) на индуктивности вытекает,
что колебания напряжения на катушке
опережают колебания тока на
(рис. 2). Это означает, что на катушке
сначала возникает напряжение – ЭДС
самоиндукции, а уже потом начинает
возрастать ток (мгновенному росту тока
мешает ЭДС самоиндукции, которая
противодействует первичной переменной
ЭДС). Когда ток достигает максимального
значения – напряжение на катушке
минимально (производная в максимуме
равна нулю), И наоборот, когда напряжение
максимально – ток равняется нулю.

2.3. Емкость в цепи переменного тока

Рассмотрим
электрическую цепь, которая состоит
только из источника переменного тока
и конденсатора
.
Как известно, конденсатор (две металлические
пластины, между которыми – диэлектрик)
вообще не пропускает постоянный ток
(ток будет протекать только до тех пор,
пока конденсатор заряжается, а потом
исчезает). Но если на конденсатор подавать
переменное напряжение, он все время
будет перезаряжаться, то есть через
конденсатор может идти переменный ток.
Чем больше частота переменного тока и
емкость конденсатора, тем лучше он
пропускает ток, тем меньшим будет егоемкостное
сопротивление.
Найдем это сопротивление, то есть
сопротивление, которое создает конденсатор
переменному току.

Пусть
через конденсатор течет ток, который
меняется по закону (1)
.
Из определения силы тока (1*),
можно найти зарядна обкладках конденсатора:,.
Учитывая, что,
получаем.
Из определения электроемкости конденсатора
(7),
вытекает, что напряжение на его обкладках
будет

Величина
является амплитудным значением напряжения
на емкости, а отношение

называют
емкостным
сопротивлением.
На емкостном сопротивлении, как и на
индуктивном, джоулево тепло не выделяется.
Анализируя это выражение, можно сделать
вывод, что конденсатор хорошо пропускает
переменный ток высокой частоты и хуже
пропускает ток малой частоты.

Из
сравнения выражений для силы тока (1) и
напряжения (5) на конденсаторе вытекает,
что колебания напряжения на конденсаторе
отстают от колебаний тока на
(рис. 3). То есть сначала через конденсатор
протекает ток (конденсатор заряжается),
а уже потом на нем возникает напряжение.
Когда ток достигает максимального
значения – напряжение на конденсаторе
равняется нулю, и наоборот, когда
напряжение максимальное – ток равняется
нулю.

Соседние файлы в папке doc-формат

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Опишем колебания, которые происходят в цепи переменного тока при включении в нее конденсатора и катушки индуктивности. А также рассмотрим условия, при выполнении которых в цепи переменного тока наступает резонанс. Получим формулы для вычисления амплитуд напряжений, введем понятия емкостного и индуктивного сопротивления и выясним, какую роль играют эти величины.

Конденсатор в цепи переменного тока

Постоянный ток не может существовать в цепи, содержащий конденсатор. Движению электронов препятствует диэлектрик, расположенный между обкладками. Но переменный ток в такой цепи существовать может, что доказывает опыт с лампой (см. рисунок ниже).

Пусть фактически такая цепь разомкнута, но если по ней течет переменный ток, конденсатор то заряжается, то разряжается. Ток, текущий при перезарядке конденсатора нагревает нить лампы, и она начинает светиться.

Найдем, как меняется сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивление проводов и обкладок конденсатора можно пренебречь (см. рис. выше). Напряжение на конденсаторе будет равно:

u=φ1−φ2=qC

Учтем, что напряжение на конденсаторе равно напряжению на концах цепи:

qC=Umaxcosωt

Следовательно, заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:

q=CUmaxcosωt

Тогда сила тока, представляющая собой производную заряда по времени, будет равна:

i=q´=−CUmaxsinωt=CUmaxcos(ωt+π2)

Следовательно, колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на π2 (см. график ниже). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того, как напряжение достигнет максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.

Амплитуда силы тока равна:

Imax=UmaxCω

Примем, что:

1Cω=XC

Также будем использовать действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим, что:

Определение

I=UXC

Величина XC, равная обратному произведению циклической частоты на электрическую емкость конденсатора, называется емкостным сопротивлением. Роль этой величины аналогична роли активного сопротивления R в законе Ома.

Обратите внимание, что на протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергии электрического поля. В следующую четверть периода (при разрядке конденсатора), эта энергия возвращается в сеть.

Пример №1. Максимальный заряд на обкладках конденсатора колебательного контура qmax=10−6 Кл. Амплитудное значение силы тока в контуре Imax=10−3 А. Определите период колебания (потерями на нагревание проводника пренебречь).

Согласно закону сохранения энергии максимальное значение энергии электрического поля конденсатора равно максимальному значения магнитного поля катушки:

q2max2C=LI2max2

Отсюда:

LC=q2maxI2max

√LC=qmaxImax

T=2π√LC=2πqmaxImax=2·3,1410−610−3≈6,3·10−3 (с)

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Соберем две электрических цепи, состоящих из лампы накаливания, катушки индуктивности и источника питания: в первом случае постоянного, во втором — переменного (см. рисунки «а» и «б» ниже).

Опыт покажет, что в цепи постоянного тока лампа светится ярче по сравнению с той, что включена в цепь переменного тока. Это говорит о том, что сила тока в цепи постоянного тока выше действующего значения силы тока в цепи переменного тока.

Результат опыта легко объясняется явлением самоиндукции. При подключении катушки к постоянному источнику тока сила тока нарастает постепенно. Возрастающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь спустя какое-то время сила тока достигает наибольшего значения, соответствующему данному постоянному напряжению.

Если напряжение быстро меняется, то сила тока не успевает достигнуть максимального значения. Поэтому максимальное значение силы тока в цепи переменного тока с катушкой индуктивности ограничивается индуктивность. Чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения, тем меньше амплитуда силы переменного тока.

Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь (см. рисунок ниже). Для этого найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней.

Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна равняться нулю. Иначе, согласно закону Ома, сила тока была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля →Ei, порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля →Eк, создаваемого в проводнике зарядами, расположенными на зажимах источника и в проводах цепи.

Из равенства →Ei=−→Eк следует, что удельная работа вихревого поля (т.е. ЭДС самоиндукции ei) равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля.

Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжения на концах катушки, можно записать:

ei=−u

Напомним, что сила переменного тока изменяется по гармоническому закону:

i=Imaxsinωt

Тогда ЭДС самоиндукции равна:

ei=−Li´=−LωImaxcosωt

Так как u=−ei, то напряжение на концах катушки оказывается равным:

u= LωImaxcosωt=LωImaxsin(ωt+π2)=Umax(ωt+π2)

Амплитуда напряжения равна:

Umax=LωImax

Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока на π2, или колебания силы тока отстают от колебаний напряжения на π2, что одно и то же.

В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (см. график ниже).

Но в момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю. Амплитуда силы тока в катушке равна:

Imax=UmaxLω

Введем обозначение:

Lω=XL

Также будем использовать вместо амплитуд действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим:

Определение

I=UXL

Величина XL, равная произведению циклической частоты на индуктивность, называется индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление зависит от частоты. Поэтому в цепи постоянного тока, в котором отсутствует частота, индуктивное сопротивление катушки равно нулю.

Пример №2. Катушка с индуктивным сопротивлениемXL=500 Ом присоединена к источнику переменного напряжения, частота которого ν = 1000 Гц. Действующее значение напряжения U = 100 В. Определите амплитуду силы тока Imax в цепи и индуктивность катушки L. Активным сопротивлением пренебречь.

Индуктивное сопротивление катушки выражается формулой:

XL=Lω=2πνL

Отсюда:

Так как амплитуда напряжения связана с его действующим значением соотношением Umax=U√2, то для амплитуды силы тока получаем:

Резонанс в электрической цепи

Механические и электромагнитные колебания имеют разную природу, но процессы, происходящие при этом, идентичны. Поэтому можно предположить, что резонанс в электрической цепи так же реален, как резонанс в колебательной системе, на которую действует периодическая сила.

Напомним, что в механической системе резонанс тем более заметен, чем меньше в колебательной системе трение между ее элементами. Роль трения в электрической цепи играет активное сопротивление R. Ведь именно наличие этого сопротивления в цепи приводит к превращению энергии тока во внутреннюю энергию проводника, который при этом нагревается. Следовательно, резонанс в электрической цепи будет отчетливо наблюдаться при малом активном сопротивлении R.

Если активное сопротивление мало, то собственная частота колебаний в колебательном контуре определяется формулой:

ω0=1√LC

Сила тока при вынужденных колебаниях должна достигать максимальных значений, когда частота переменного напряжения, приложенного к контуру равна собственной частоте колебательного контура:

ω=ω0=1√LC

Определение

Резонанс в электрическом колебательном контуре — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура.

После включения внешнего переменного напряжения резонансное значение силы тока в цепи устанавливается не моментально, а постепенно. Амплитуда колебаний силы тока возрастает до тех пор, пока энергия, выделяющаяся за период на резисторе, не сравняется с энергией, поступающей в контур за это же время:

I2maxR2=UmaxImax2

Упростив это уравнение, получим:

ImaxR=Umax

Следовательно, амплитуда установившихся колебаний силы тока при резонансе определяется уравнением:

Imax=UmaxR

При сопротивлении, стремящемся к нулю, сила тока возрастает до бесконечно больших значений. При большом сопротивлении сила тока возрастает незначительно. Это хорошо видно на графике ниже.

Пример №3. В цепь переменного тока с частотой ν = 500 Гц включена катушка индуктивностью L = 10 мГн. Какой емкости конденсатор надо включить в эту цепь, чтобы наступил резонанс?

Электрическая цепь, описываемая в условии, представляет собой колебательный контур. Резонанс в этой цепи наступит, когда частота переменного тока будет равна собственной частоте колебательного контура (ν = ν₀).

Но:

ν0=12π√LC

Тогда:

ν=12π√LC

Отсюда:

Алиса Никитина | Просмотров: 10k