Как найти максимальное удлинение пружины

2018-03-18   

Два груза с одинаковыми массами $m$, связанные невесомой нитью, прикрепляют к висящей пружине с жесткостью $k$ и отпускают (см. рис.). Максимальная сила натяжения, которую выдерживает нить, равна $3mg/2$. Найти максимальное удлинение пружины.

Решение:

Направим ось $x$ вниз и примем, что в начальный момент $x = 0$ для верхнего груза. Если бы нить не обрывалась, то движение грузов представляло бы собой гармонические колебания около положения равновесия $x = 2mg/k$ (отсчёт ведем по верхнему грузу), в котором сила упругости, равная $kx$, уравновешивает силу тяжести $2mg$. При этом координата верхнего груза изменялась бы во времени по закону

$x(t) = frac{2mg}{k} – frac{2mg}{k} cos omega t$,

где $omega = sqrt{k/(2m)}$, а его скорость и ускорение, соответственно, как

$v_{x}(t) = g sqrt{ frac{2m}{k}} sin omega t$,

$a_{x}(t) = g cos omega t$.

Зависимость силы натяжения нити $T$ от времени проще всего найти из второго закона Ньютона для нижнего груза (ускорения обоих грузов, если нить не оборвалась, очевидно, одинаковы):

$T = mg(1 – cos omega t)$.

Отсюда видно, что сила $T$ достигает максимального значения $3mg/2$ при $cos omega t = – 0,5$, т.е. в момент времени $t_{1} = frac{2 pi}{3 omega}$. В этот момент нижний груз отрывается. Далее следует рассматривать задачу о движении на пружине одного верхнего груза, имеющего в точке $x_{1} = x(t_{1}) = 3mg/k$ скорость $v_{1} = v_{x}(t_{1}) = g sqrt{ frac{3}{2} frac{m}{k} }$.

Максимальное удлинение пружины можно найти из закона сохранения энергии, учитывая, что в крайнем нижнем положении (обозначим эту координату через $x_{2}$) скорость груза обращается в нуль:

$frac{mv_{1}^{2} }{2} + frac{kx_{1}^{2} }{2} + mg (x_{2} – x_{1}) = frac{kx_{2}^{2} }{2}$,

(потенциальная энергия груза в поле тяжести отсчитывается здесь от крайнего нижнего положения). Подставляя выражения для $x_{1}$ и $v_{1}$, приводим это уравнение к виду

$x_{2}^{2} – frac{2mg}{k} x_{2} – frac{9}{2} frac{m^{2}g^{2} }{k^{2} } = 0$,

откуда находим

$x_{2} = frac{mg}{k} left ( 1 pm sqrt{ frac{11}{2} } right )$.

Выбирая верхний знак (иначе $x_{2} < 0$), окончательно получаем, что

$x_{2} = frac{mg}{k} left ( 1 + sqrt{ frac{11}{2} } right )$,

Величина $x_{2}$ равна, очевидно, максимальному удлинению пружины.

Содержание:

1. Колебания материальной точки
2. Свободные гармонические колебания материальной точки
3. Влияние постоянной силы на свободные колебания
4. Порядок решения задач на свободные колебания
5. Примеры решения задач на тему: Колебания материальной точки
6. Затухающие колебания материальной точки
7. Примеры решения задач на тему: Затухающие колебания материальной точки
8. Вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления
9. Амплитуда вынужденных колебаний
10. Явление резонанса
11. Примеры решения задач на тему: Вынужденные колебания точки

Прямолинейные колебания материальной точки – колебательное движение материальной точки – движение, происходящее при условии: имеется восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия при любом отклонении ее из этого положения. Свободные колебания – происходят под действием только восстанавливающей силы.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Колебания материальной точки

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Свободные гармонические колебания материальной точки

Свободные гармонические колебания материальной точки происходят под действием восстановительной силы, которая пытается вернуть точку в положение равновесия. Примером такой силы может быть сила упругости пружины.

Восстановительная сила меняется по линейному закону. Если на материальную точку действует сила упругости пружины , то:

где  – деформация пружины,

 – коэффициент жесткости.

Коэффициент жесткости многочисленно равен силе, которую необходимо приложить к пружине для того, чтобы деформировать ее на единицу длины.

Единицей измерения коэффициента жесткости в системе единиц Си является .
В практике чаще применяется единица .

Движение материальной точки с массой  по горизонтальной оси (рис.3.1) под действием восстановительной силы , которая равна по модулю , описывается дифференциальным уравнением:

Решение этого уравнения, или закон изменения координаты от времени , выглядит так:

где  и  – постоянные интегрирования, которые определяются по первоначальным условиям.

В амплитудной форме уравнение движения записывается следующим образом:

где  – амплитуда колебаний, то есть наибольшее отклонение колеблющейся точки от положения равновесия;

– фаза колебаний;
 – начальная фаза колебаний;
– круговая частота колебаний, то есть количество колебаний материальной точки за  секунд:

Если исходные условия движения материальной точки при  имеют вид то:

Из приведенных зависимостей вытекает, что амплитуда и начальная фаза  зависят от первоначальных условий, а период и круговая частота – не зависят от первоначальных условий.

Влияние постоянной силы на свободные колебания

В этом случае начало отсчета выбирается в положении статического равновесия, то есть на расстоянии, которое откладывается в направлении постоянной силы и определяется по соотношению:

где – модуль постоянной силы.

Дифференциальное уравнение движения при наличии постоянной силы совпадает по форме с дифференциальным уравнением свободных колебаний. Отсюда выходит, что

Период колебаний и круговая частота равны:

Порядок решения задач на свободные колебания

Решение задач на свободные колебания материальной точки рекомендуется делать в следующем порядке:

1. Изобразить материальную точку в произвольном положении и показать силы, которые на нее действуют.
2. Выбрать систему отсчета, начало координат разместить в положении статического равновесия и направить ось в сторону движения точки.
3. Записать начальные условия движения материальной точки.
4. Составить дифференциальное уравнение движения материальной точки в проекции на соответствующую ось.
5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение движения.
6. Определить постоянные интегрирования, используя исходные условия.
7. Записать окончательное уравнение движения.

Примеры решения задач на тему: Колебания материальной точки

Задача № 1

Определить максимальное удлинение  пружины (рис. 3.2, а) в сантиметрах при свободных вертикальных колебаниях груза, если он прикреплен в точке к недеформированной пружине и отпущен из состояния покоя. Статическая деформация пружины под действием груза равняется 

Решение. Изобразим груз в произвольном положении (рис.3.2, б) и покажем силы, которые на него действуют: силу упругости пружины , которая является восстановительной силой, и силу тяжести груза .

Поскольку на груз помимо восстановительной силы , действует и постоянная сила – сила тяжести груза , то центр колебаний сместим относительно конца недеформированной пружины в направлении силы тяжести на (точка ). Ось направим в направлении движения груза.

Когда груз будет находиться в крайнем нижнем положении (рис.3.2, б), то максимальное удлинение пружины будет состоять из статической деформации и амплитуды свободных колебаний:

Величину амплитуды можно определить из выражения:

где  – исходное положение груза;

 – начальная скорость груза.

По условию задачи при

Подставляя значения  и  в уравнение (1), достанем:

Таким образом, максимальное удлинение пружины равно:

Ответ:

Задача № 2

Груз массой подвешен к пружине с коэффициентом жесткости  и находится в свободном прямолинейном колебательном движении.

Определить модуль ускорения  груза в момент времени, когда его центр тяжести находится на расстоянии 5 см от положения статического равновесия.

Решение. При изучении свободных колебаний под действием восстановительной (сила упругости пружины) и постоянной силы (в данном случае – силы тяжести ) начало координат лучше всего выбрать в положении статического равновесия (точка ) (рис.3.3), то есть смещенным на относительно недеформированного состояния в направлении силы . Тогда уравнение движения груза будет иметь вид:

Для нахождения ускорения груза два раза продифференцируем это уравнение по времени:

Последнее выражение представим в виде:

поскольку

Определим круговую частоту колебаний, которая входит в правую часть уравнения (2):

По условиям задачи необходимо определить модуль ускорения груза, когда его центр тяжести находится на расстоянии 5 см от положения статического равновесия, то есть

Окончательно:

Ответ: 

Задача № 3

Определить эквивалентный коэффициент жесткости двух пружин и период колебаний груза весом , подвешенного к этим пружинам, если пружины соединены последовательно (рис. 3.4,а) и параллельно (рис. 3.5). Коэффициенты жесткости пружин:

Решение: в случае последовательного соединения пружин общее статическое удлинение будет равняться сумме статических удлинений первой и второй пружины:

Поскольку каждая из пружин в статическом положении растягивается силой , то согласно (3.7):

С учетом последних соотношений формула (1) примет вид:

Для эквивалентной расчетной схемы с одной пружиной (рис. 3.4, б):

где  – коэффициент жесткости эквивалентной пружины, заменяющей две последовательно соединенные пружины.

Поскольку статическое удлинение заданной (рис. 3.4,а) и эквивалентной (рис. 3.4,б) схем должно быть равным, то:

С учетом числовых данных:

Период колебаний по формуле (3.8):

В случае параллельного соединения пружин (рис. 3.5) их статическое удлинение будет одинаковым:

Исходя из формулы (3.7) пружины будут растянуты усилиями:

Таким образом, сила тяжести груза будет уравновешиваться двумя вертикальными усилиями  и  пружин, то есть, 

или

С другой стороны, для эквивалентной расчетной схемы с одной пружиной (рис. 3.4, б):

де  – коэффициент жесткости эквивалентной пружины, заменяющей две параллельные пружины.

Отсюда

С учетом числовых данных:

Период колебаний по формуле (3.8):

Ответ: 

Задача № 4

Пружина , которая закреплена одним концом в точке , является такой, что для удлинения ее на необходимо приложить в точке при статической нагрузке силу . В некоторый момент времени к нижнему концу недеформированной пружины подвешивают гирю , массой  и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и определить амплитуду и период ее колебаний, относя движение гири к оси, которая проведена вниз из положения статического равновесия гири.

Определить:

Решение. Изобразим гирю в промежуточном положении (рис.3.6). На нее действуют сила тяжести и сила упругости . Ось направим вертикально вниз, а начало отсчета
возьмем в точке , которая отдалена от конца  недеформированной пружины на величину .

Начальные условия при имеют вид:

Уравнение движения гири запишем в дифференциальной форме:

С другой стороны

Тогда

Статическое отклонение равно:

 или 

Подставив в (1) выражение для , получим:

Решение этого дифференциального уравнения в амплитудной форме имеет вид:

Круговая частота колебаний гири определяется зависимостью (3.4):

где 

Тогда 

Определим амплитуду колебаний гири по формуле (3.5):

где 

Тогда,

а поскольку

то амплитуда колебаний гири

Начальную фазу колебаний найдем по формуле (3.5):

С учетом найденных величин , и уравнение (1) движения гири имеет вид:

Период свободных колебаний гири равен (3.8):

Ответ: 

Задача № 5

Во время равномерного опускания груза весом со скоростью , от зажатия троса в обойме блока (рис.3.7), случилась внезапная задержка верхнего конца троса, на котором опускался груз.

Определить наибольшее натяжение троса во время колебания груза, если коэффициент жесткости троса . Весом троса пренебречь.

Решение. Начало координат выбираем в положении статического равновесия на расстоянии от начального состояния (точка ).

Из условия задачи вытекает, что максимальное натяжение троса будет при крайнем нижнем положении груза . В этом случае деформация будет равна сумме статического отклонения и амплитуды колебаний груза . Таким образом:

Итак, задача сводится к определению амплитуды колебаний.

Амплитуда колебаний определяется с помощью начальных условий:

где  – исходное положение груза ;

 – начальная скорость груза Q .

В данной задаче начальные условия при имеют вид:

Определяем круговую частоту колебаний:

и величину статического отклонения:

Тогда

Максимальное натяжение троса равно:

Надо обратить внимание на то, что груз весом при зажатии троса вызывает в нем усилие в 23 раза больше, чем его вес, что может привести к разрыву троса и аварии.

Ответ: 

Задача № 6

Груз , падающий с высоты без начальной скорости, бьется о середину упругой горизонтальной балки, концы которой  и  закреплены (рис.3.8).

Определить уравнение последующего движения груза вместе с балкой относительно оси, которая проведена вертикально вниз из положения статического равновесия балки вместе с грузом. При статической нагрузке балки в средней ее части силой, равной силе тяжести груза , прогиб составляет Массой балки пренебречь.

Решение. Изобразим груз в промежуточном положении. На груз действует: сила тяжести и сила упругости балки . Ось направим вниз, начало отсчета берем в точке , которая находится на расстоянии от горизонтального положения балки.

Запишем начальные условия движения.

Координата  груза в начале колебательного движения равна . Скорость средней точки балки, которая колеблется вместе с грузом, в начале движения будет равна скорости груза при его падении с высоты :

Таким образом, при :

Если начало отсчета совпадает с положением статического равновесия, то уравнение движения имеет вид:

Для определения постоянных интегрирования  и  нам кроме закона движения надо иметь и закон изменения скорости:

Для определения круговой частоты колебаний найдем коэффициент жесткости балки.

Поскольку  то 

Тогда 

Из начальных условий (при ) и закона движения (1) находим постоянную интегрирования :

Из уравнения (2) и начальных условий (при :  ) находим постоянную интегрирования :

Окончательно, уравнение движения груза примет вид

Ответ: 

Задача № 7

В клапанном механизме (рис. 3.9,а) закон движения толкателя 2 задается профилем кулачка 1 и передается на клапан 3. На клапане 3 установлена пружина 4, которая обеспечивает постоянный контакт между рабочими поверхностями кулачка 1 и толкателя 2. При проектировании быстроходных кулачковых механизмов приходится учитывать характеристики реальных деталей, которые отличаются от характеристик абсолютно твердых тел. Например, низкая жесткость, значительные массы и большие ускорения при движении деталей газораспределительных механизмов двигателей внутреннего сгорания приводят к возникновению упругих колебаний, которые накладываются на заданное движение деталей.

Считается, что податливость имеют кулачок 1, толкатель 2 и клапан 3 с пружиной 4. При создании динамической модели механизма, которая отражает влияние упругости деталей реального механизма, используют одномассовую модель (рис. 3.9, б). Масса учитывает массы кулачка, толкателя и клапана, пружина с коэффициентом жесткости клапанную пружину 4, а пружина  коэффициентом жесткости жесткость кулачка, толкателя и клапана.

Определить коэффициент жесткости и частоту колебаний деталей такого механизма, если: коэффициент жесткости клапанной пружины и статическую нагрузку величиной вызывает деформацию Силами трения в направляющих толкателя и клапана пренебречь.

Решение. При статической нагрузке на тело массой (рис. 3.9) действуют три силы: статическая нагрузка и силы упругости пружин и .

Сила упругости пружины , длина которой в недеформированном состоянии , пропорциональна статическому удлинению :

и направлена вверх, поскольку пружина сжата.

Сила упругости пружины , длина которой в недеформированном состоянии , пропорциональна статическому удлинению :

и направлена вверх, поскольку пружина растянута.

Спроектировав эти силы , и  на ось , получим:

или

Исходя из условия совместимости деформации системы имеем:

Тогда

Из уравнения (1) определяем коэффициент жесткости пружины :

Для эквивалентной расчетной схемы с одной пружиной (рис. 3.4, б):

где  – коэффициент жесткости эквивалентной пружины.

Приравняв уравнения (1) и (2) получим коэффициент жесткости эквивалентной пружины:

Круговая частота колебаний (3.4):

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 32.11; 32.15; 32.24 [2].

Затухающие колебания материальной точки

Материальная точка, которая колеблется при реальных условиях, испытывает сопротивление движению (силы трения, сопротивление воздуха и т.п.). Это значит, что помимо восстановительной силы, которая направлена к центру колебаний, действует сила сопротивления, которая направлена всегда в сторону, противоположную направлению движения точки.

Рассмотрим колебания материальной точки (рис.3.10) под действием восстановительной силы и силы сопротивления , которая пропорциональна модулю скорости точки .

Векторное уравнение движения точки в этом случае имеет вид:

В проекции на ось :

поскольку , где  – коэффициент сопротивления среды.

После преобразований, уравнение (3.11) примет вид:

Если обозначить:  то 

Уравнение (3.12) является дифференциальным уравнением движения материальной точки под действием восстанавливающей силы и силы сопротивления, пропорциональной скорости точки.

Решение уравнения (3.12) имеет разный вид в зависимости от соотношения коэффициентов и .

а) Случай малого сопротивления

В этом случае решение уравнения (3.12) имеет вид:

Движение, которое соответствует уравнению (3.13), имеет колебательный характер, потому что координата периодически меняет свой знак, что зависит от знака синуса, который входит в уравнение. Множитель  показывает на то, что амплитуда колебаний с течением времени уменьшается. Колебания такого вида называются затухающими.

В уравнении (3.13):

,  – постоянные интегрирования (определяются по начальным условиям);

 – коэффициент затухания;

 – частота затухающих колебаний, 

График затухающих колебаний показан на рис.3.11.

Поскольку:

то координата затухающих колебаний размещается между двумя симметричными относительно оси абсцисс кривыми, которые соответствуют уравнению

Промежуток  времени, который равен

называется периодом затухающих колебаний, то есть, это есть время, за которое точка совершает полное колебание.

Выражение (3.14) можно представить в виде:

где  – период свободных колебаний.

Амплитудой затухающих колебаний называют наибольшее отклонение точки в ту или иную сторону от положения равновесия.

На рис.3.11 показаны амплитуда  и  в промежуток половины одного периода:

Отношение следующей амплитуды к предыдущей представляет собой знаменатель геометрической прогрессии, который не изменяется во время всего колебательного процесса, и называется декрементом колебаний.

Модуль натурального логарифма декремента колебаний называется логарифмическим декрементом.

б) Предельный случай

В этом случае уравнение движения точки имеет вид

Движение точки, которое соответствует уравнению (3.18), называется апериодическим и не является колебательным. Точка из любого положения приближается к положению . График этого движения приведен на рисунке 3.12.

в) Случай большого сопротивления

Решение дифференциального уравнения (3.12) в этом случае имеет вид:

где

Поскольку функции  и  с течением времени монотонно уменьшаются, приближаясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колебательным и она под действием восстанавливающей силы будет постепенно приближаться к положению равновесия. Движение также будет апериодическим.

В зависимости от начальных условий материальная точка может совершать одно из апериодических движений, графики которых показаны на рис. 3.13.

Рис. 3.13, а характеризует движение точки с начальной скоростью , совпадающей с положительным направлением оси . Сначала точка отдаляется от положения равновесия, а затем под действием восстановительной силы постепенно приближается к этому положению.

Графики, приведенные на рис. 3.13,б и рис 3.13,в, соответствуют движению точки с начальной скоростью , которая направлена противоположно положительному направлению оси . При достаточно большой начальной скорости точка может совершить переход через положение равновесия и после этого при обратном движении приблизиться к этому положению (рис 3.13,б).

Примеры решения задач на тему: Затухающие колебания материальной точки

Решение задач на затухающие колебания состоит из 2-х частей. В первой части основное внимание отводится ознакомлению с важнейшими понятиями и характеристиками затухающего колебательного процесса. Вторая часть занятия посвящена составлению и решению уравнений затухающих колебаний.

Задача №8

Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

Определить максимальное значение массы точки, при котором движение будет апериодическим.

Решение. Движение точки будет апериодическим, если выполняется условие:

где  – коэффициент сопротивления,

 – частота свободных незатухающих колебаний.

Заданное дифференциальное уравнение приведем к каноническому виду, разделив на массу:

Отсюда:

С учетом полученных значений и , условие (1) примет вид:

Решаем неравенство (2) относительно массы :

Ответ: максимальное значение массы 

Задача №9

Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид: , где в см .

Определить максимальное значение коэффициента жесткости , при котором движение будет апериодическим.

Решение. Движение точки будет апериодическим, если выполняется условие:

Исходное дифференциальное уравнение движения материальной точки приводим к виду:

Тогда: 

Таким образом, условие (1) имеет вид:

Откуда

 и 

Ответ: максимальное значение коэффициента жесткости 

Задача № 10

Тело весом , что подвешенное на пружине, которую сила растягивает на , при движении встречает сопротивление, величина которого пропорциональна первой степени скорости. Сила сопротивления при скорости равна . В начальный момент пружина была растянута относительно положения равновесия на , и тело начало двигаться без начальной скорости, то есть, .

Определить уравнение движения тела .

Решение. Перед тем, как записать общее уравнение движения точки, необходимо выяснить, при каком сопротивлении происходит движение, то есть сравнить значения коэффициента и круговой частоты :

Из условия задачи вытекает:

Таким образом, , то есть коэффициент сопротивления равен круговой частоте, и движение точки будет апериодическим.

В этом случае закон движения точки определяется зависимостью (3.18):

Начальные условия: 

Подставляя их в уравнение (1), получим:

Ответ: 

Найдя по формуле (2) значение в зависимости от времени (табл. 3.1), построим график (рис.3.14).

Таблица 3.1

	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	5	3,68	2,0	0,99	0,46	0,2

Из графика видно, что при точка не колеблется и быстро приближается к положению равновесия () . Выясним теперь, переходит ли груз положения статического равновесия. Для этого приравняем  в уравнении (2) к нулю:

Моменты времени, в которые груз находится в положении статического равновесия определяются из уравнений:

 и 

Из первого уравнения вытекает: 

Из второго уравнения: 

Значение соответствует угасанию движения, отрицательное значение показывает на отсутствие перехода тела через положение статического равновесия.

Задача № 11

Грузы весом и подвешены (рис.3.15, а) в положении статического равновесия к пружине 1, коэффициент жесткости которой , и масляного демпфера 2, которая влечет пропорциональную первой степени скорости силу сопротивления, равную , где . Груз  вдруг сняли.

Определить уравнение движения груза после снятия груза .

Решение. Изобразим расчетную схему для движения груза (рис.3.15, б).

На схеме обозначено:

– длина недеформированной пружины;

– деформация пружины под действием силы тяжести груза ;

 – деформация пружины под действием силы тяжести груза .

– деформация пружины под действием сил тяжести грузов и .

Ось колебаний направим вниз (ось ). Начало отсчета возьмем в точке , в положении статического равновесия пружины под действием силы тяжести груза , поскольку во время движения груз отсутствует.

Исходя из принятой схемы, исходные условия будут:

исходное положение груза :

начальная скорость груза :

Для определения вида движения груза необходимо сравнить значения коэффициента затухания и круговой частоты свободных колебаний .

где  – масса груза ;

 – коэффициент жесткости пружины;

 – коэффициент сопротивления среды.

После подстановки числовых данных получим:

Итак, 

Таким образом, в задаче рассматривается случай большого сопротивления () и уравнение движения груза имеет вид (3.20):

где  и  – постоянные интегрирования, которые определяются по начальным условиям.

Подсчитаем величину коэффициента :

С учетом того, что  уравнение (1) примет вид:

Для определения постоянных интегрирования  и  выразим зависимость скорости груза  от времени:

Подставим в уравнение (2)  а в уравнение (3) 

Получим: 

Из уравнений (2′) и (3′) находим:

Окончательно, уравнение движения груза имеет вид:

Как и в предыдущей задаче, построим график изменения координаты (табл. 3.2) в зависимости от времени (рис.3.16).

Таблица 3.2

	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
	7,5	3,45	1,43	0,59	0,25	0,1

Ответ: 

Задача № 12

Тело весом , которое подвешено к пружине, при отсутствии силы сопротивления колеблется с периодом а если действует сила сопротивления, пропорциональная скорости, то с периодом

Определить силу сопротивления  при скорости и определить уравнение движения , если в начальный момент пружина была растянута из положения статического равновесия на

Решение. Если скорость тела то сила сопротивления численно будет равна коэффициенту силы сопротивления, поскольку

Коэффициент пропорциональности связан с коэффициентом затухания зависимостью:

Итак, для определения  необходимо найти значение коэффициента затухания , который можно определить из выражения:

где  – частота свободных колебаний при отсутствии сопротивления,

 – частота затухающих колебаний.

Поскольку

то

 и 

и

Следовательно, сила сопротивления при скорости движения равна:

Переходим к определению закона движения тела. Составим расчетную схему (рис.3.17).

На схеме

 – длина недеформированной пружины,

 – статическое удлинение пружины под действием силы тяжести тела,

 – переменная координата положения тела,

 – исходное положение тела.

Ось колебаний направляется вниз (ось ), а начало координат (точка ) выбирается в положении статического равновесия.

Поскольку (случай малого сопротивления), то закон движения тела под действием силы тяжести , восстанавливающей силы и силы сопротивления выражается уравнением:

Учитывая, что  то:

Для определения постоянных интегрирования и , кроме уравнения (2), запишем уравнение зависимости скорости от времени:

В уравнения (2) и (3) подставим начальные условия:

при , 

Из уравнения (3′) определяем постоянную :

Из уравнения (2′) находим постоянную :

С учетом полученных значений , уравнение движения тела будет:

Построим график зависимости (рис.3.18)

Таблица 3.3

Задача № 13

Материальная точка совершает прямолинейные колебания под действием восстанавливающей силы, модуль которой пропорционален расстоянию от точки к некоторому неподвижному центру , и силы сопротивления среды, модуль которой пропорционален скорости точки. В начальный момент времени смещение точки и ее скорость

Определить закон движения точки, если период колебаний равен , а декремент колебаний – 

Решение. Выберем начало координат в неподвижном центре , а ось направим вдоль прямолинейной траектории точки . Покажем силы, действующие на материальную точку (рис.3.19):

 – восстановительная сила, модуль которой пропорционален отклонению точки от положения равновесия , где  – коэффициент жесткости;

– сила сопротивления среды, модуль которой пропорционален скорости точки , где – коэффициент сопротивления среды.

Дифференциальное уравнение движения точки массой  будет иметь следующий вид:

или

Сведем записанное уравнение к виду:

или

где

Мы получили дифференциальное уравнение (3.12) затухающих колебаний.

Решение дифференциального уравнения (1) будет иметь вид:

Чтобы найти коэффициенты и воспользуемся формулами (3.14) и (3.16):

Из первой из этих формул найдем :

Из второй формулы найдем :

С учетом найденных значений и уравнение (2) примет вид:

Учитывая, что

то уравнение движения точки будет иметь вид:

Постоянные  и определим из начальных условий. При начальная скорость и начальная координата

После предварительного дифференцирования уравнения (2) по времени :

Поскольку при , то:

Из уравнения (4) определим постоянную . Поскольку , то , то есть .

Из уравнения (5) после подстановки найдем :

С учетом найденных значений и , уравнение (2) движения точки примет вид:

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 32.55; 32.58; 32.59; 32.64 [2]

Вынужденные колебания материальной точки без учета сопротивления

Вынужденные колебания совершает материальная точка (рис.3.20), на которую вместе с восстановительной силой действует возбуждающая сила , периодически изменяющаяся.

Пусть проекция возбуждающей силы на ось, которая совпадает с направлением движения точки меняется по закону:

где  – максимальное значение возбуждающей силы;

 – частота изменения возбуждающей силы;

 – фаза изменения возбуждающей силы;

 – начальная фаза изменения возбуждающей силы.

Дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось имеет вид:

или

Если обозначить

то получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки:

Решение уравнения (3.22) в амплитудной форме, то есть, зависимость координаты от времени , имеет вид:

где  – амплитуда вынужденных колебаний имеет вид:

Из уравнения (3.22) вытекает, что движение точки представляет собой наложение двух колебательных движений.

Колебания, определяемые первым слагаемым:

имеют частоту свободных гармонических колебаний и называются собственными колебаниями материальной точки.

Колебания, определяемые вторым слагаемым

имеют частоту возбуждающей силы и называются вынужденными колебаниями материальной точки.

Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возбуждающей сил точка совершает сложное колебательное движение, которое представляет собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний точки.

Из уравнения (3.24) вытекает, что вынужденные колебания не зависят от начальных условий.

Необходимо подчеркнуть, что частота и период  вынужденных колебаний являются также частотой и периодом возбуждающей силы.

Вынужденные колебания, частота которых меньше частоты свободных колебаний точки, называют вынужденными колебаниями малой частоты.

Вынужденные колебания, частота которых больше частоты свободных колебаний, называют вынужденными колебаниями большой частоты.

Фаза вынужденных колебаний

Если (случай вынужденных колебаний малой частоты), то , и фаза вынужденных колебаний совпадает с частотой возбуждающей силы. В этом случае:

Если вынужденные колебания происходят с большой частотой то и для того, чтобы амплитуда колебаний была положительной, ее записывают в виде:

При этом, фаза вынужденных колебаний большой частоты равна и отличается от фазы возбуждающей силы  на величину , то есть фазы возбуждающей силы и вынужденных колебаний противоположны.

В случае вынужденных колебаний малой частоты точка всегда отклонена от начала координат в ту сторону, в которую направлена в данный момент возбуждающая сила .

В случае вынужденных колебаний большой частоты отклонение точки от начала координат всегда противоположное направлению возбуждающая сила . При этом в обоих случаях максимальное отклонение точки от начала координат происходит в тот момент времени, когда модуль возбуждающей силы достигает максимума.

Амплитуда вынужденных колебаний

Статическим отклонением точки называется величина  (рис.3.21), которая определяется из условия:

Отсюда 

где  – максимальное значение возбуждающей силы.

Отношение амплитуды вынужденных колебаний к статическому отклонению называется коэффициентом динамичности.

При 

При 

График изменения коэффициента динамичности в зависимости от изменения частоты возбуждающей силы (рис.3.22) имеет разрыв при значении  В этом случае коэффициент динамичности увеличивается к бесконечности и наступает так называемое явление резонанса.

Явление резонанса

Явление резонанса возникает когда частоты вынужденных и свободных колебаний точки совпадают, то есть:

При этом амплитуда вынужденных колебаний точки равна бесконечности и большинство уравнений вынужденных колебаний, полученных при условии , теряют смысл.

Дифференциальное уравнение движения при , примет вид:

Уравнение (3.28) отличается от уравнения (3.22) тем, что в правой части стоит частота , которая равна частоте собственных колебаний точки.

Решение дифференциального уравнения (3.28) имеет вид:

При резонансе частота и период вынужденных колебаний равны, соответственно, частоте и периоду свободных колебаний точки, а фаза вынужденных колебаний  отстает от фазы возбуждающей силы на величину

Графиком отклонений для вынужденных колебаний во время резонанса является периодическая кривая, напоминающая синусоиду (рис.3.23), что вписывается в область, ограниченную прямыми  и  поскольку не больше единицы. При точки графика лежат на этих прямых.

Из графика видно, что амплитуды колебаний увеличиваются со временем.

Примеры решения задач на тему: Вынужденные колебания точки

Задачи на вынужденные колебания точки рекомендуется решать в следующей последовательности:

1. Выбрать систему координат, взяв за начало положение статического равновесия точки;

2. Записать начальные условия движения точки;

3. Изобразить на рисунке силы, приложенные к точке;

4. Составить дифференциальное уравнение движения в проекции на соответствующую ось;

5. Проинтегрировать дифференциальное уравнение движения, использовав начальные условия для определения постоянных интегрирования, определить искомые величины.

При решении задачи материальную точку рекомендуется изображать в промежуточном положении, где ее координата на оси будет положительной.

Если составленное дифференциальное уравнение движения точки тождественно с одним из выше записанных уравнений, то не интегрируя это уравнение, можно сразу получить решение по приведенным формулам.

Задача № 14

На тело, которое подвешено к пружине, действует вертикальная возбуждающая сила

Определить коэффициент динамичности, если круговая частота свободных колебаний тела

Решение. Сравнивая заданное в условиях значение для возбуждающей силы с выражением (3.21):

получим, что частота ее изменения

Поскольку , то в данной задаче имеем вынужденные колебания малой частоты.

Коэффициент динамичности в этом случае соответственно с (3.26) равен:

Ответ: 

Задача № 15

Дифференциальное уравнение колебательного движения материальной точки имеет вид:

Определить коэффициент динамичности .

Решение. Сравнивая заданное в условиях задачи уравнение колебательного движения с (3.22):

получим: 

Поскольку , то имеем вынужденные колебания малой частоты и коэффициент динамичности равен:

Ответ:  

Задача № 16

Статическое удлинение пружины

Определить коэффициент динамичности, если на груз действует вертикальная возбуждающая сила

Решение. Сравнивая заданное в условиях задачи выражение для возбуждающей силы с (3.21):

получим: 

Для определения коэффициента динамичности необходимо найти частоту собственных колебаний .

Учитывая, что

а статическое удлинение пружины

то

 или 

Поскольку то из (3.26) получим:

Ответ:  

Задача №17

Материальная точка массой  совершает прямолинейные колебания вдоль оси (рис.3.24) под действием возбуждающей силы и восстановительной силы , модуль которой пропорционален расстоянию точки от начала координат (коэффициент пропорциональности равен ).

Определить закон движения точки, если в начальный момент и

Решение. Дифференциальное уравнение движения материальной точки в данном случае имеет вид:

или

Уравнение (1) является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний (3.22), в котором:  (то есть );  и 

Поскольку , то общее решение уравнения (1) находим из формулы (3.23):

В нашем случае это уравнение будет иметь вид:

или

Учитывая, что , то 

Окончательно,

Перейдем к нахождению постоянных и α. Для этого продифференцируем уравнение (2) по времени :

Подставим в уравнение (2) и (3) начальные условия: при 

Тогда

или

Из второго уравнения находим постоянную . Поскольку , то нулю равен , то есть 

Из первого уравнения находим постоянную :

Таким образом, искомый закон движения точки будет иметь вид:

Ответ: 

Задача № 18

Точка массой движется прямолинейно и притягивается к неподвижному центру силой, которая пропорциональна расстоянию точки к этому центру, причем коэффициент пропорциональности равен  Кроме того, на точку действует возбуждающая сила , которая выражена в Ньютонах (рис.3.24).

Определить закон движения точки , если в начальный момент и

Решение. Составим дифференциальное уравнение движения материальной точки , выбрав при этом начало координат в центре и направив ось (рис.3.24) вдоль траектории точки:

Получим дифференциальное уравнение в виде (3.22), в котором:

Поскольку частота свободных колебаний и частота вынужденных колебаний совпадают, то имеет место явление резонанса. Закон движения точки определим из формулы (3.29):

В нашем случае эта формула приобретет вид:

Постоянные и найдем из начальных условий. Продифференцировав уравнение (2) по времени , получим:

Подставим в уравнение (2) и (3) начальные условия: при 

Тогда:

или

Из первого уравнения находим постоянную . Поскольку , то нулю равно , то есть

Из второго уравнения находим постоянную :

Таким образом, закон движения точки будет иметь вид:

Ответ: 

Задача № 19

К вертикальной пружине, верхний конец которой закреплен, подвешен груз весом , который придает статическое удлинение пружине . На груз действует вертикальная возбуждающая сила  При пружина была растянута на и грузу предоставлена вниз скорость

Определить закон движения груза 

Решение. Изобразим схему движения груза (рис.3.25).

Вертикаль, по которой движется груз, принимаем за ось , положительным выбираем направление вниз. Начало координат совпадает с положением статического равновесия груза (точка ). В начальный момент времени тело находилось в точке , то есть на расстоянии от конца недеформированной пружины.

Начальные условия для точки (при  ) будут иметь следующий вид:

Для определения закона движения груза необходимо сравнить значения частоты собственных колебаний  и частоты возбуждающей силы .

Из уравнения возбуждающего силы вытекает, что 

Вычислим значение частоты собственных колебаний , исходя из того, что 

Поскольку  а то 

Тогда

Следовательно, , то есть имеет место резонанс, и уравнение движения тела записывается в виде:

где

Следовательно,

или

Для определения постоянных интегрирования и необходимо иметь два уравнения. Одно уравнение получено – это зависимость (2) координаты точки от времени .

Второе уравнение получим, продифференцировав уравнение (2) по времени:

или

Подставим в уравнение (2) и (3) начальные условия: при 

После упрощений:

Решая эти уравнения, находим:

Таким образом, закон движения груза имеет вид:

Построим график (рис.3.26) по уравнению (4) в соответствии с координатами и , которые приводятся в таблице.

Ответ: 

Задача № 20

Определить, какова должна быть величина статического прогиба рессор железнодорожного вагона, чтобы при скорости к  вагон не попал в резонанс с толчками на стыках колеи, расстояние между которыми

Решение. Резонанс наступает тогда, когда период свободных колебаний вагона совпадает с периодом возбуждающего силы, которой будут толчки на стыках рельсов.

Период собственных колебаний вагона равен

Найдем круговую частоту свободных колебаний:

Следовательно, период собственных колебаний равен:

где 

Вычислим период возбуждающей силы, который равен времени прохождения вагоном длины рейки :

Определим , при котором будет явление резонанса, то есть когда :

 или 

Откуда

Таким образом, для избежания резонанса вагона необходимо, чтобы выполнялась неровность:

Ответ: 

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Работа и мощность силы
31. Обратная задача динамики
32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
34. Сферическое движение твёрдого тела
35. Движение свободного твердого тела
36. Сложное движение твердого тела
37. Сложное движение точки
38. Плоское движение тела
39. Статика твердого тела
40. Равновесие составной конструкции
41. Равновесие с учетом сил трения
42. Центр масс
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Сообщения без ответов | Активные темы

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Определить максимальное значение внутренней энергии газа в форуме Молекулярная физика и Термодинамика	Kikki	1	1175	06 июн 2013, 16:28
Работа пружины в форуме Интегральное исчисление	Ryslannn	16	431	12 апр 2017, 14:07
7 класс задача на блоки и пружины в форуме Школьная физика	Antilopa111	6	263	27 июл 2022, 12:12
Максимальное отношение в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад	Nastya Way	2	371	27 фев 2016, 20:45
Найти максимальное значение в форуме Дифференциальное исчисление	arabic	2	283	13 окт 2015, 21:32
Найти максимальное значение OE * AC в форуме Геометрия	Igor kupryniuk	3	159	01 фев 2020, 16:15
Максимальное значение выражения в форуме Алгебра	gfibr	4	176	12 мар 2019, 20:22
Задача про максимальное значение в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад	rabbit-a	9	429	18 авг 2021, 23:47
Максимальное значение интеграла в форуме Интегральное исчисление	KOPMOPAH	3	288	13 фев 2020, 18:35
Максимальное число заказов в форуме Теория вероятностей	Krik7	1	221	25 апр 2016, 00:23

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Спрятать решение