Как найти максимальное ускорение груза пружинного маятника

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

  • Все категории
  • экономические
    43,653
  • гуманитарные
    33,653
  • юридические
    17,917
  • школьный раздел
    611,912
  • разное
    16,901

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С течением времени смещение груза уменьшается относительно Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами) равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами):

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

здесь: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами– циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – начальная фаза, (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами) фаза колебания с течением времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами.
Из математики известно, что Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами поэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений. 

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – время одного полного колебания:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами)

б) частота колебания Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Единица Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
c) циклическая частота Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – количество колебаний за Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами секунд:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются. 
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Найти:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Формула и решение:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами сила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – масса шарика, закрепленного на пружине, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — проекция ускорения шарика вдоль оси Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — жесткость пружины, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами -удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами– постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения – известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами соответствует квадрату циклической частоты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами фаза колебания, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ – радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами или Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник – это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Сила тяжести Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами действующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Однако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и перпендикулярная нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Сила натяжения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и составляющая силы тяжести Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами уравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами “пытающейся” вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в проекциях на ось ОХ:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Приняв во внимание, что:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Для уравнения движения математического маятника получим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — длина математического маятника (нити), Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – ускорение свободного падения, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами также соответствует квадрату циклической частоты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (а).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а колебания смещения на

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Превращения энергии при гармонических колебаниях 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами имеет максимальное значение:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а в точке равновесия максимальна: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами остается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

b) для математического маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):  

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника
 

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами    (2)

Высоту Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если колебания малые, то Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Из треугольника KCD на рисунке 8 находим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставив выражение для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в формулу I (2), получим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставляя выражения для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в соотношение (1), находим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами груза в точке с

координатой х:    

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Высоту Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами можно выразить через длину Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами маятника и амплитуду Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами колебаний. Если колебания малые, то Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Из Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (см. рис. 10) находим:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставив выражение (3) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в формулу (2), получим:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставляя выражения (3) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и (4) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в соотношение (1), находим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

В крайних положениях, когда Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами модуль скорости маятника Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С учетом выражений для координаты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и проекции скорости груза Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а также для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами находим его потенциальную энергию Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическую энергию Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в произвольный момент времени 

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, начальное смещение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами определяет начальную потенциальную, а начальная скорость Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами см и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Определите период Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами колебании маятника.
Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Решение

По закону сохранения механической энергии

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Ответ: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример №2

Груз массой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами г находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Его смешают на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами см от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Определите потенциальную Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическую Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Решение Потенциальная энергия груза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Кинетическая энергия груза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Циклическая частота:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
В начальный момент времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами координата груза Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Отсюда начальная фаза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Ответ: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерамиГармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

  • Вынужденные колебания в физике
  • Электромагнитные колебания
  • Свободные и вынужденные колебания в физике
  • Вынужденные электромагнитные колебания
  • Закон Архимеда
  • Движение жидкостей
  • Уравнение Бернулли
  • Механические колебания и волны в физике

Формулы пружинного маятника в физике

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Формулы пружинного маятника, рисунок 1

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1right),]

где ${щu}^2_0=frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi right)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1right) } }left(2right),]

где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ – фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde{x}=Releft(Acdot exp left(ileft({omega }_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}}left(4right).]

Так как частота колебаний ($nu $) – величина обратная к периоду, то:

[nu =frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}left(5right).]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

[A=sqrt{x^2_0+frac{v^2_0}{{omega }^2_0}}left(6right),]

начальная фаза при этом:

[tg varphi =-frac{v_0}{x_0{omega }_0}left(7right),]

где $v_0$ – скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

[E_p=-frac{dF}{dx}(8)]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

Формулы пружинного маятника, рисунок 2

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}left(9right).]

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

[frac{m{dot{x}}^2}{2}+frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}=const left(10right),]

где $dot{x}=v$ – скорость движения груза; $E_k=frac{m{dot{x}}^2}{2}$ – кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

Формулы пружинного маятника, пример 1

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

[E_{pmax}=E_{kmax }left(1.1right),]

где $E_{pmax}$ – потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax }$ – кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

[E_{kmax }=frac{mv^2}{2}left(1.2right).]

Потенциальная энергия равна:

[E_{pmax}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.3right).]

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

[frac{mv^2}{2}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.4right).]

Из (1.4) выразим искомую величину:

[x_0=vsqrt{frac{m}{k}}.]

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

[x_0=1cdot sqrt{frac{0,36}{1600}}=1,5 cdot {10}^{-3}(м).]

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Пример 2

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{cos left(omega tright), } $где $A$ и $omega $ – постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$.
В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

[F=-kx=-kA{cos left(omega tright)left(2.1right). }]

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{kA^2{{cos }^2 left(omega tright) }}{2}left(2.2right).]

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:

[frac{E_{p0}}{F_0}=-frac{A}{2}{cos left(omega tright) }to t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}right) }.]

Ответ. $t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}right) }$

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Механические колебания и волны

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

  • повторяемость движения;
  • возвратность движения.

Для существования механических колебаний необходимо:

  • наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
  • наличие малого трения в системе.

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Содержание

    • Виды волн
  • Гармонические колебания
  • Амплитуда и фаза колебаний
  • Период колебаний
  • Частота колебаний
  • Свободные колебания (математический и пружинный маятники)
  • Вынужденные колебания
  • Резонанс
  • Длина волны
  • Звук
  • Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»

Виды волн

  • Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

  • Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​( x )​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​( A )​ – амплитуда колебаний; ​( omega t+varphi_0 )​ – фаза колебаний; ​( omega )​ – циклическая частота; ​( varphi_0 )​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​( v )​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​( a )​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​( F )​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​( W_k )​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:

  • потенциальная энергия равна нулю;
  • кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

  • кинетическая энергия равна нулю;
  • потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ​( A, (X_{max}) )​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ​( varphi )​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний.
Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.
( varphi_0 )​ – начальная фаза колебаний.
Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ​( T )​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени.
Обозначение – ​( nu )​, единицы времени – с-1 или Гц (Герц).

1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ​( omega )​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

  • при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
  • силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​( h )​, определяется по формуле:

где ​( l )​ – длина нити, ​( alpha )​ – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.

Условие резонанса:

( v_0 )​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ​( lambda )​, единицы измерения – м.

Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.

Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

  • наличие источника звука;
  • наличие упругой среды между источником и приемником звука;
  • наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
  • мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

  • инфразвук (​( nu )​ < 16 Гц);
  • звуковой диапазон (16 Гц < ( nu ) < 20 000 Гц);
  • ультразвук (( nu ) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

  • от упругих свойств среды:

в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;

  • от температуры среды:

в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.

Характеристики звуковой волны

  • Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
  • Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
  • Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.

Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»

Механические колебания и волны

3 (59.28%) 138 votes

Механическая колебательная система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) (k), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы (m), называется пружинным маятником.

колебанияvilcināšanāshesitation.gif

Рис. (1). Колебания пружинного маятника

Рассмотрим простейший пружинный маятник — движущееся по горизонтальной плоскости твёрдое тело (груз), прикреплённое пружиной к стене (рис. (1)). Допустим, что силы трения не оказывают существенного влияния на движение груза.

Первоначально пружина не деформирована (не растянута и не сжата), поэтому никакие силы в горизонтальном направлении на груз не действуют. Точка О — положение равновесия груза.

Переместим груз вправо. Пружина при этом растянется, и в ней возникнет сила упругости, направленная влево, к положению равновесия, и по модулю равная:

где (x=A) — максимальное (амплитудное) отклонение груза от положения равновесия.

Если отпустить груз, то под действием силы упругости он начнёт ускоренно перемещаться влево, к точке (О), по мере приближения к которой скорость груза будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения. При приближении к точке равновесия деформация пружины уменьшается, а значит, уменьшается и сила упругости. Так как груз имеет скорость при прохождении положения равновесия, то он по инерции продолжает свое движение влево. Теперь пружина начинает сжиматься (деформация сжатия), что приводит к возникновению силы упругости, направленной вправо, т.е. к положению равновесия. По мере возрастания степени деформации пружины сила растет и все больше тормозит движение груза. В конце концов, груз останавливается.

Но сила упругости, направленная к точке (О), будет продолжать действовать, поэтому груз вновь придёт в движение в обратную сторону, вправо, и на обратном пути его скорость будет возрастать от нуля до максимального значения в точке (О).

Движение груза от точки (О) к крайней правой точке снова приведёт к растяжению пружины, опять возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия и замедляющая движение груза до полной его остановки.

Мы описали одно полное колебание.

В каждой точке траектории, кроме положения равновесия, на груз действует сила упругости пружины, которая направлена к положению равновесия.

Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:

a=−kmx

 — ускорение пружинного маятника.

Обрати внимание!

Данная формула справедлива и для вертикального пружинного маятника (рис. (2)) в котором действуют сила тяжести груза и сила упругости пружины.

вертикальный маятник.gif

Рис. (2). Колебания вертикального пружинного маятника

Обрати внимание!

Ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к первоначальному изменению (смещению вниз) положения равновесия (рис. (3)).

схема движения.png

Рис. (3). Изображение смещения маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле Гюйгенса:

(m) — масса груза,

(k) — коэффициент жёсткости пружины.

Пружинные маятники широко используются в качестве акселерометра в системах управления баллистических ракет, контактных взрывателях артиллерийских и авиационных боеприпасов и т. п.

Акселерометр (лат. accelero — «ускоряю» и др.-греч. μετρέω — «измеряю») — прибор, измеряющий проекцию кажущегося ускорения (разности между истинным ускорением объекта и гравитационным ускорением). Как правило, акселерометр представляет собой чувствительную массу, закреплённую в упругом подвесе. Отклонение массы от её первоначального положения при наличии кажущегося ускорения несёт информацию о величине этого ускорения.

400px-Pendular_accel_ru.svg.png

Рис. (4). Схема акселерометра

На рисунке (4) — схема простейшего акселерометра. Груз закреплён на пружине. Демпфер подавляет колебания груза. Чем больше кажущееся ускорение, тем сильнее деформируется пружина, изменяя показания прибора.

Источники:

Рис. 1. Колебания пружинного маятника. © ЯКласс.
Рис. 2. Колебания вертикального пружинного маятника. © ЯКласс.

Рис. 3. Изображение смещения маятника.

Рис. 4. Схема акселерометра.

Добавить комментарий