Как найти максимальное значение логарифмической функции

Как найти максимальное значение логарифмической функции

Наибольшее и наименьшее значение логарифмической функции. Задание 12

В этой статье мы рассмотрим решение двух примеров, которые на первый взгляд очень похожи, а на второй принципиально отличаются друг от друга.

Итак.

Пример 1

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y=ln(x+5)^5-5x на от­рез­ке delim{[}{-4,5;0}{]}.

Чтобы найти наибольшее значение функции, нам надо найти ее производную, затем приравнять производную к нулю, определить ее знаки и выяснить поведение функции на отрезке.

В этом примере под знаком логарифма стоит выражение  x+5 в пятой, то есть в нечетной степени. Если мы возводим отрицательное число в нечетную степень, то в результате получаем отрицательное число. Поскольку выражение по знаком логарифма должно быть больше нуля, следовательно, (x+5)^5>0 и отсюда x+5>0 .

Упростим функцию: вынесем показатель степени за знак логарифма. Получим y=5ln(x+5)-5x.

Найдем производную функции. (Не забываем, что мы, строго говоря, имеем дело со сложной функцией.)

y{prime}=5/{x+5}{(x+5)}{prime}-5=5/{x+5}-5

Найдем нули производной:

5/{x+5}-5=0

{5-5x-25}/{x+5}=0

{-5x-20}/{x+5}=0

-5x-20=0;~~x=-4

Определим знаки производной: (учитываем, что x+5>0)

И, соответственно, поведение функции:

В точке x=-4 производная меняет знак с “+” на “-“, следовательно, это точка максимума функции. Точка -4 принадлежит заданному отрезку:

Следовательно, в точке x=-4 функция y=ln(x+5)^5-5x принимает наибольшее значение на отрезке delim{[}{-4,5;0}{]}.

Найдем значение функции при x=-4: y(-4)=ln(-4+5)^5-5(-4)=ln1+20=20

Ответ: 20.

Замечание. Так как при решений заданий В-части в ответе должно получиться целое число или конечная десятичная дробь, а  натуральный логарифм при рациональном аргументе принимает такие значения только в том случае, если его аргументом является число 1, то мы могли бы сразу сказать, что x=-4, т.к. x+5=1 . Но это для тех, кому трудно освоить алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.

Пример 2.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y=ln(x+4)^2+2x+7

В этом примере под знаком логарифма стоит выражение в квадрате. Выражение в четной степени больше нуля, если основание степени не равно нулю, поэтому область допустимых значений этой функции x<>-4. Если бы мы решили вынести показатель степени за знак логарифма, то получили бы такое выражение:

y=2ln{delim{|}{x+4}{|}}+2x+7

При вынесении четной степени не забываем ставить модуль! Если бы мы забыли поставить знак модуля, то сузили бы область определения функции.

Далее, чтобы взять производную, нам пришлось бы раскрыть модуль, а для этого рассмотреть два промежутка: x>-4 и x<-4. Но поскольку в школе практически не рассматривают нахождение производной от функции с модулем, мы не будем выносить показатель степени за знак производной, а найдем производную сложной функции:

y=ln(x^2+8x+16)+2x+7

y{prime}={1/{x^2+8x+16}}*(x^2+8x+16){prime}+2={2x+8}/{x^2+8x+16}+2={2(x+4)}/{(x+4)^2}+2=2/{x+4}+2

Найдем нули производной:

2/{x+4}+2=0

{2+2x+8}/{x+4}=0

2x+10=0

x=-5;

В точке -4 производная не определена, но меняет знак.

Исследуем знаки производной:

В точке x=-5 производная равна нулю и меняет знак с “+” на “-“, следовательно, это точка максимума функции.

Ответ: -5

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр “Час ЕГЭ”, попробуйте скачать

Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

   Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую повторить теорию, необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.

Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы уже рассмотрели. В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.  

Теоретический момент:

По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).

5. Делаем вывод.

Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу  запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).

Найдём производную заданной функции:

Нахождение точек максимума (минимума) функции

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 11,2  

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Посмотреть решение

Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию будем на интервале  (– 5;+∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5  не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75  производная функции меняет знак с отрицательного на положительный,  значит это искомая точка минимума.

Ответ: – 4,75   

Решите самостоятельно:

Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции у = х2–34х+140lnх–10

По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное уравнение, получим: D = 9    х1 = 10   х2 = 7.

Точка х = 0  не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10.

Ось ох разбивается на интервалы:  (0;7),  (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х = 7 производная функции меняет знак с положительного на  отрицательный,  значит это искомая точка максимума.

Ответ: 7

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у = 2х2 –13х+9lnх+8

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Нахождение
наибольшего значения логарифмической  функции.

Краткая
теоретическая часть

Рассмотрим,
как производная используется для нахождения  наибольшего  и наименьшего
значения функции  на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной
функции на отрезке может быть как на концах отрезка, так и внутри него. ( в
отличие от  экстремумов функции, которые на концах промежутка не могут быть).
Если наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, то это
только в стационарных точках (где производная равна нулю)  или в
критических ( где производная не существует). Будем их называть
одним словом «Критические».

        Алгоритм нахождения
наибольшего и наименьшего значения функции  y
= f(x)
на отрезке [a;b]

1.  Найти
производную f  ´(x).

2.  Найти
стационарные и критические точки  (приравнять производную к нулю, то есть

найти  f 
´(x)=0).

3.   Из
полученных точек выбрать те, которые попадают в заданный  по  условию отрезок.

4.  Вычислить
значение функции в выбранных точках и на концах промежутка.

5.   Из
полученных чисел выбрать самое наибольшее Унаиб
или самое наименьшее Унаим.

           Самостоятельная
работа.

Вариант
1.

1.    Найдите наибольшее
значение функции y~=~ln {{(x+5)}^{5}}-5x

на отрезке [-4,5;0].

 2.Найдите
наибольшее значение функции y~=~ln {{(x+4)}^{9}}-9x

на
отрезке [-3,5;0].

3. Найдите
наибольшее значение функции y~=~8ln (x+7)-8x+3 на отрезке [-6,5;0].

4.
Найдите наибольшее значение функции y~=~ln (4x)-4x+9  

на
отрезке [frac{1}{8};frac{5}{8}].

5.
Найдите наибольшее значение функции y~=~ln (11x)-11x+9  

на
отрезке [frac{1}{22};frac{5}{22}].

6.
Найдите наибольшее значение функции y~=~2x^2-10x+6ln x+5на отрезке [frac{10}{11};frac{12}{11}].

7.
Найдите наибольшее значение функции y=log_8(4-4x-x^2)+8.

8.
Найдите наибольшее значение функции y=log_2(-17+10x-x^2)+7.

                                                                    Вариант
2.

1.    Найдите наибольшее
значение функции y~=~ln {{(x+5)}^{7}}-7x

   
на отрезке [-4,5;0].

2.    Найдите наибольшее
значение функции y~=~ln {{(x+4)}^{5}}-5x

   
на отрезке [-3,5;0].

   3.
Найдите наибольшее значение функции y~=~6ln (x+6)-6x+5        на
отрезке [-5,5;0].

 
4. Найдите наибольшее значение функции y~=~ln (5x)-5x+11

  
на отрезке [frac{1}{10};frac{1}{2}].

 5.Найдите
наибольшее значение функции y~=~ln (2x)-2x+11

  
на отрезке [frac{1}{4};frac{5}{4}].

 6.
Найдите наибольшее значение функции y~=~x^2-7x+5ln x-12     на отрезке
[frac{7}{8};frac{9}{8}].

 7.
Найдите наибольшее значение функции y=log_3(242-2x-x^2)+3.

8.
Найдите наибольшее значение функции y=log_5(-39+16x-x^2)+2

                            Вариант 3.

 
1.Найдите наибольшее значение функции y~=~ln {{(x+5)}^{3}}-3x

  
на отрезке [-4,5;0].

  
2. Найдите наибольшее значение функции y~=~ln {{(x+3)}^{9}}-9x

  
на отрезке [-2,5;0].

3.    Найдите наибольшее
значение функции y~=~4ln (x+6)-4x+3

на отрезке [-5,5;0].

4.   
Найдите
наибольшее значение функции y~=~ln (10x)-10x+5

на
отрезке [frac{1}{20};frac{1}{4}].

5.   
Найдите
наибольшее значение функции y = ln (7x)-7x+16

на
отрезке [frac{1}{14};frac{5}{14}].

6.   
Найдите
наибольшее значение функции y~=~x^2-5x+3ln x-4   

на
отрезке [frac{5}{6};frac{7}{6}].

7.
Найдите наибольшее значение функции y=log_8(503-6x-x^2)-3.

8.
Найдите наибольшее значение функции y=log_2(-17+10x-x^2)+7

                                Вариант 4

 
1.Найдите наибольшее значение функции y = ln {{(x+15)}^{12}}-12x 

  
на отрезке [-14,5;0].

2.    Найдите наибольшее
значение функции y~=~ln {{(x+7)}^{2}}-2x

на отрезке [-6,5;0].

3.    Найдите наибольшее
значение функцииy~=~8ln (x+7)-8x+10 

 на отрезке [-6,5;0].

4.    Найдите наибольшее
значение функции y = ln (2x)-2x+8

на отрезке [frac{1}{4};frac{5}{4}].

5.    Найдите наибольшее
значение функции y = ln (6x)-6x+18

на отрезке [frac{1}{12};frac{5}{12}].

6.    Найдите наибольшее
значение функции y=log_3(-198-30x-x^2)+2.

7.    Найдите наибольшее
значение функции y~=~x^2-8x+6ln x+5

на
отрезке [frac{8}{9};frac{10}{9}].

 8.Найдите
наибольшее значение функции y=log_7(-74+18x-x^2)-1 

Источник

Запишем область определения для функции (displaystyle f(x)=3x-lnleft(x+3right)^3{small.})

Так как (displaystyle ln((x+3)^3)) определен только тогда, когда (displaystyle (x+3)^3>0{small,}) то область определения имеет вид

(displaystyle x > -3{small.})

1) Найдем производную функции (displaystyle f(x)=3x-lnleft(x+3right)^3{small.})


(displaystyle f^{prime}(x)=left(3x-lnleft(x+3right)^3right)^{prime}=3-frac{3}{x+3}{small.})

2) Найдем интервалы знакопостоянства (displaystyle f^{prime}(x)=3-frac{3}{x+3}{small.})


(displaystyle {left(-3;, -2right)}{small,}) (displaystyle {left(-2;,+inftyright)}) – интервалы знакопостоянства (displaystyle f^{prime}(x)=3-frac{3}{x+3}{small.})

3) Определим знаки производной на получившихся интервалах.


  • на интервале (displaystyle color{green}{left(-2;, +infty right)}) функция (displaystyle f^{prime}(x)>0{small,})
  • на интервале (displaystyle textcolor{blue}{left(-3;,-2right)}) функция (displaystyle f^{prime}(x)<0{small.})

Отмечая знаки производной на рисунке, получаем:

4) Определим промежутки возрастания и убывания функции (displaystyle f(x)=3x-lnleft(x+3right)^3{small ,}) пользуясь правилом.

Правило

Если для любой точки (displaystyle x_0in(a;,b)) производная (displaystyle f'(x_0)) существует и (displaystyle f'(x_0)>0{small,}) то

функция (displaystyle f(x)) возрастает (displaystyle nearrow) на всем интервале (displaystyle (a;,b){small.})

Если для любой точки (displaystyle x_0in(a;,b)) производная (displaystyle f'(x_0)) существует и (displaystyle f'(x_0)<0{small,}) то

функция (displaystyle f(x)) убывает (displaystyle searrow) на всем интервале (displaystyle (a;,b){small.})

Зная знаки производной (displaystyle f'(x){small,}) определим промежутки возрастания и убывания (displaystyle f(x){small:})

Схематично изобразим график (displaystyle f(x){small:})

Значит, (displaystyle x=-2) – точка минимума функции (displaystyle f(x)=3x-lnleft(x+3right)^3{small.})

Ответ: (displaystyle -2{small.})

Источник

Маркер СМИ

© 2007 – 2023 Сообщество учителей-предметников “Учительский портал”
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель / главный редактор: Никитенко Е.И.

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание этих материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Источник

Добавить комментарий