Как найти максимальную скорость электронов формула

КВАНТОВАЯ ОПТИКА И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

Найти максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности металла светом с длиной волны λ = 180 нм . Красная граница фотоэффекта λ = 275 нм

Дано:

λ_кр = 275 нм =275·10 -9 м

λ_кр = 180 нм =180·10 -9 м

Решение:

Зная красную границу фотоэффекта, найдем работу выхода

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

Откуда максимальная кинетическая энергия

Максимальная скорость фотоэлектронов

Ответ: ;

Определение и уравнение фотоэффекта

Фотоэффект является одним из примеров проявления корпускулярных свойств света. Вылет электронов из освещенных тел, называется внешним фотоэффектом.

Сущность внутреннего фотоэффекта состоит в том, что при освещении полупроводников и диэлектриков от некоторых атомов отрываются электроны, которые, однако, в отличие от внешнего фотоэффекта, не выходят через поверхность тела, а остаются внутри него. В результате внутреннего фотоэффекта возникают электроны в зоне проводимости и сопротивление полупроводников и диэлектриков уменьшается.

При освещении границы раздела между полупроводниками с различным типом проводимости возникает электродвижущая сила. Это явление называется вентильным фотоэффектом.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

Основным уравнением, описывающим внешний фотоэффект, является уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

где – энергия фотона монохроматической волны света, — масса электрона, — работа выхода электрона из фотокатода.

Уравнение фотоэффекта (1) является следствием закона сохранения энергии. В соответствии с законами сохранения энергии и импульса, поглощение фотона свободными электронами невозможно, и фотоэффект возможен только на электронах, связанных в атомах, молекулах и ионах, а также на электронах твердых и жидких тел.

Из уравнения фотоэффекта существует ряд важных выводов, которые характеризуют это явление:

1. Для данного фотокатода максимальная начальная скорость фотоэлектронов зависит от частоты падающего света и не зависит от его интенсивности.
2. При постоянном спектральном составе падающего света число фотоэлектронов, вырываемых светом из фотокатода за единицу времени, и фототок насыщения пропорциональны энергетической освещенности фотокатода.
3. Для каждого вещества фотокатода существует красная граница фотоэффекта (порог фотоэффекта) – минимальная частота , при которой еще возможен фотоэффект. Длина волны , соответствующая частоте , для большинства металлов находится в ультрафиолетовой части спектра.

Примеры решения задач

Вылет электронов прекратится тогда, когда потенциальная энергия электрона (U) в задерживающем поле станет равной его кинетической энергии (E), то есть:

Запишем уравнение фотоэффекта, в которое входит кинетическая энергия электрона:

Подставим (1.1) в (1.2), получим:

(1.3), откуда:

Полагая, что красная граница фотоэффекта соответствует энергии фотонов, при которой скорость вырываемых с металла электронов равна нулю, получим:

Подставим (1.5) в (1.4), получим:

Ответ
Искомая в задаче частота света может быть рассчитана по формуле:

Задание

Металлическую пластинку (работа выхода A) освещают светом с длинной волны . На какое максимальное расстояние от пластинки (d) может удалиться фотоэлектрон, если вне пластинки создано задерживающее однородное электрическое поле с напряженностью E?

Решение
Запишем уравнение фотоэффекта, в которое входит кинетическая энергия электрона:

По закону сохранения энергии, работа которую совершает электрическое поле при движении электрона (, равна максимальному значению кинетической энергии электрона при его максимальной удаленности от поверхности пластинки, следовательно, запишем:

Определить максимальную скорость v_max фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ ₁ =0,155 мкм; 2) γ-излучением с длиной волны λ ₂ =2,47 пм.

Решение . Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта:

Энергия фотона вычисляется по формуле ε = hc / λ , работа выхода А указана в табл. 20 для серебра A =4,7 эВ.

Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая скорость ему сообщается, может быть выражена или по классической формуле

или по релятивистской

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона ε много меньше энергии покоя электрона Е , то может быть применена формула (2); если же ε сравнима по размеру с Е , то вычисление по формуле (2) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по формуле (3)

1. В формулу энергии фотона ε = hc / λ подставим значения величин h , с и λ и, произведя вычисления, для ультрафиолетового излучения получим

Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена

по классической формуле (2) ε ₁ = A + ½ m v 2 _max , откуда

(4)

Выпишем величины, входящие в формулу (4): ε ₁ =1,28 × 10 -18 Дж (вычислено выше); A =4,7 эВ = 4,7 × 1,6*10 -19 Дж = 0,75*10 -18 Дж; m =9,11 × 10 -31 кг (см. табл. 24).

Подставив числовые значения в формулу (4), найдем максимальную скорость:

2. Вычислим теперь энергию фотона γ-излучения:

Работа выхода электрона (A = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ-фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии,

где E = m c 2 .

Выполнив преобразования, найдем

Сделав вычисления, получим

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ-излучением,

Сегодня у нас на рассмотрении вопрос касающийся электричества, а именно: с какой скоростью электроны движутся по проводам.

Думаю ни для никого не секрет, что носителями заряда в металле являются свободные электроны, которых там очень много. Если человек задастся сегодняшним вопросом, то может ответить, что скорость электронов в проводнике очень большая, сравнимая со скоростью света. Ведь как только мы переключаем выключатель, чтобы включить свет в комнате, тот в свою очередь появляется мгновенно. Можно простить обывателя за такой вывод, ведь мало кто изучал физику на серьезном уровне.

Сейчас мы с вами разберемся, где зарыта правда. Делать выводы мы будем исходя из классической теории металлов, не учитывая квантовых аспектов. В чем же суть классической теории металлов?

Классическую теорию металлов разработал Пауль Друде. Он предположил, что электроны проводимости в металле ведут себя словно молекулы идеального газа и в промежутках между соударениями движутся свободно. Но в отличие от молекул газа, пробег которых определяется соударениями друг с другом, электроны сталкиваются преимущественно с ионами, образующими кристаллическую решетку металла. Эти столкновения приводят к установлению теплового равновесия между электронами и кристаллической решеткой.

Полагая, что на электронный газ могут быть распространены результаты кинетической теории газов, можно оценить их среднюю скорость теплового движения. Вычисляется она по следующей формуле:

Подставим все величины, температуру примем за комнатную (27 градусов Цельсия или 300 Кельвин)

И мы получаем величину хоть как-то сравнимую со скоростью света (скорость света равняется 3*10^8 м/сек). Но мы посчитали скорость их хаотического, то есть беспорядочного движения. А насколько мы знаем, электрический ток – это упорядоченное движение частиц. Поэтому я предлагаю рассчитать максимально возможную скорость упорядоченного движения электронов.

Чтобы мы могли говорить боле общо, речь вести будем не о токе, а о плотности тока. Это величина равная силе тока, которая проходит через какое-либо поперечное сечение проводника (обозначается она буквой j). Например: пусть по проводу с площадью поперечного сечения 2 мм^2 течет ток силой 1 Ампер. Тогда плотность тока в данном случае будет составлять j= 1/2 = 0,5 А/мм^2. Плотность тока вычисляется по следующей формуле:

Максимально возможная конструктивная плотность тока составляет около 10 А/мм^2, если ток выше этого значения, то медные провода просто начнут плавиться. Ну и среднее значение концентрации электронов в металле составляет около 10^23 в каждом кубическом сантиметре. Выразив все в одной системе единиц и подставив в это уравнение, найдем максимальное значение скорости упорядоченного движения:

И как вы видите она составляет всего 1 мм в секунду! Явно не по этой причине лампочка загорается так быстро. Но мы так и не ответили на вопрос: почему так происходит?

На самом деле ответ на данный вопрос, в отличие от предыдущего, довольно прост. Представьте себе огромную очередь битком набитую людьми. И пусть с конца очереди кто-то большой и массивный начал сильно толкать всех вперед. В этом случае начало очереди довольно быстро придет в движение, хоть и хулиган, который толкал всех сзади, двигался очень медленно.

Тоже самое происходит в проводах: когда электроны от источника начали свое движение, их импульс быстро, практически со скоростью света, передался электронам у приемника. Только в очереди людей вы передаете взаимодействие путем толчков, а электроны взаимодействуют при помощи электромагнитных сил.

Думаю теперь тема полностью раскрыта. Поддержите статью вашим драгоценным лайком, это очень поможет каналу! А также обязательно подписывайтесь на канал, чтобы не пропускать новых выпусков! Всего вам доброго и до скорых встреч!

Примеры решения задач к теме

8.5. Элементы квантовой оптики Основные формулы

1. Энергия
   фотона

, (8. 5.1)

где
– частота света;
– длина световой волны,

– постоянная Планка,
– скорость света в вакууме.

1. Масса
   и импульс фотона:

, (8. 5. 2)

. (8. 5. 3)

1. Уравнение
   Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

, (8. 5. 4)

где
– энергия поглощенного электроном
фотона,

– максимальная кинетическая энергия
вылетающего электрона (фотоэлектрона).

4.
Давление света, падающего нормально на
поверхность с коэффициентом отражения

,
равно

, (8. 5. 5)

где
– интенсивность света, падающего на
поверхность (энергия падающих на
поверхность фотонов в единицу времени
и на единицу площади поверхности). В СИ

.

1. Изменение
   длины волны рентгеновских лучей при
   комптоновском рассеянии

, (8. 5. 6)

где
– угол рассеяния,

– масса покоя электрона.

Величина

– называется комптоновской длиной
волны частицы с массой покоя
. Для
электрона  м.

Методические указания

1. 1)
   В этой теме рассматриваются задачи на
   взаимодействие фотонов с веществом
   (давление света) или с отдельными
   электронами (внешний фотоэффект и
   эффект Комптона), которое подчиняется
   законам сохранения энергии и импульса.
   Так, закон сохранения импульса,
   примененный к взаимодействию фотонов
   с веществом, приводит к формуле (8. 5. 5)
   для светового давления; закон сохранения
   энергии, записанный для взаимодействия
   фотона с электроном, связанным в атоме
   металла, есть уравнение Эйнштейна для
   внешнего фотоэффекта (8. 5. 4), которое
   описывает единичный акт взаимодействия
   (одного фотона с одним электроном).
   Совместное же применение этих законов
   для взаимодействия фотона со свободным
   электроном приводит к формуле Комптона
   (8. 5. 6).

2. 2)
   Вычисляя скорость электрона, следует
   его считать классической частицей,
   если кинетическая энергия электрона

   ,
   где
   
   – энергия покоя электрона. Так как при
   внешнем фотоэффекте в кинетическую
   энергию электрона превращается лишь
   часть энергии фотона
   ,
   то неравенство
   
   будет заведомо выполняться при условии

   
   или
   ,
   с учетом
   
   последнее неравенство можно записать
   так:

(8. 5. 7)

где

– комптоновская длина волны для
электрона.

Если
неравенство (8. 5. 7) не выполняется,
то электрон следует считать релятивисткой
частицей и применять к нему соотношение

(8. 5. 8)

Отметим,
что значению
 м
()
соответствует очень коротковолновое
(«жесткое») рентгеновское излучение, а
так же

– излучение. Следовательно, если внешний
фотоэффект вызван излучением, относящимся
к видимой части спектра, или ультрафиолетовыми
лучами, то при расчете скорости
фотоэлектрона его можно считать
классической частицей.

1. 3)
   Формула давления света (8. 5. 5)
   справедлива лишь для случая нормального
   падения света на поверхность.

Решение задач

З а д а ч а  8. 5
На металлическую пластинку падает
монохроматический свет с
 мкм.
Фотоэлектроны задерживаются при
напряжении электрического поля
 В.
Определить работу выхода в электрон –
вольтах и красную границу фотоэффекта.

Дано: СИ м; В.	Решение Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна (8. 5. 4) в виде
-? -?	(1)

Так
как самые быстрые электроны задерживаются
электрическим полем, с разностью
потенциалов
,
то их кинетическая энергия полностью
расходуется на работу против сил этого
электрического поля, поэтому

,

где

– модуль заряда электрона.

С
учетом сказанного уравнение (1) принимает
вид

. (2)

Откуда
работа выхода, равна

 эВ.

Красной,
то есть длинноволновой границе фотоэффекта

в уравнении Эйнштейна соответствует

.
Поэтому, полагая
,
получим

 м.

Ответ:

,

эВ.

З а д а ч а  8. 5. 
Определить максимальную скорость
электронов, вылетающих из металла под
действием

– излучения с длиной волны
 м.

Дано: СИ м.	Решение Для решения задачи снова применим уравнение
-?	Эйнштейна (8. 5. 4), обратив внимание на то, что длина

волны
близка к комптоновской длине волны
 м
для электрона, а значит величина энергии

– фотона

одного порядка с энергией покоя электрона

 МэВ.
Так как работа выхода

электрона из любого металла измеряется
всего лишь несколькими электрон –
вольтами, то величиной

в (8. 5. 4) можно пренебречь, а электрон
следует рассматривать как релятивистскую
частицу, кинетическая энергия которой
выражается формулой

.

Таким
образом, имеем

,

или,
введя комптоновскую длину волны для
электрона, получим

.

Откуда

.

Следовательно,
искомая максимальная скорость электрона
равна

 м/c.

Ответ:
 м/c.

З а д а ч а  8. 5. 
В результате Комптон – эффекта фотон
при соударении с электроном был рассеян
на угол
.
Энергия рассеянного фотона
 МэВ.
Определить энергию фотона

до рассеяния.

Дано: ; МэВ.	Решение Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона (8. 5. 6) в виде
-?	(1)

Формулу
(1) преобразуем следующим образом: заменим

на

и выразим длины волн

и

через энергии

и

соответствующих фотонов, воспользовавшись
формулой
,
а затем умножим числитель и знаменатель
правой части формулы на
.
После всего этого получим

.

Сокращая
на
,
выразим из этой формулы искомую энергию

, (2)

где
– энергия покоя электрона.

Вычисления
по формуле (2) удобнее вести во внесистемных
единицах. Взяв из справочных таблиц
(см. справочное приложение табл. 9)
значение энергии покоя электрона в
мегаэлектрон – вольтах и подставив
данные задачи, получим:

 МэВ.

Ответ:
 МэВ.

З а д а ч а  8. 5. 
Определить минимальную длину волны в
сплошном спектре рентгеновских лучей,
если рентгеновская трубка работает под
напряжением
 кВ.

Дано: СИ кВ = 3.104 В; Дж.с; м/с; К.	Решение Сплошной рентгеновский спектр возникает вследствие торможения электронов, разогнанных в трубке электрическим полем, при их ударах об анод. Подлетая к антикатоду, электрон обладает кинетической энергией , равной работе, совершаемой над ним силами электрического поля, то есть
-?	, (1) где – заряд электрона по модулю.

При
ударе энергия

частично или полностью превращается в
квант с энергией
.
Наибольшей частоте (наименьшей длине
волны) соответствует случай, когда вся
энергия

превращается в энергию кванта
.

Следовательно,
согласно формуле (8. 5. 1), имеем

. (2)

Из
(1) и (2) следует

. (3)

Подставляя
в (3) значение величин (,

,

взяты из справочной таблицы), выраженных
в СИ,
после вычислений получим:

 А.

Ответ:

 А.

З а д а ч а  8. 5Пучок
параллельных лучей монохроматического
света с длиной волны
 нм
падает нормально на зеркальную
поверхность. Поток излучения
 Вт.
Определить силу давления на эту
поверхность

и число фотонов
,
ежесекундно падающих на нее.

Дано: СИ Вт; нм м; Дж.с; м/с.	Решение Сила света давления на поверхность равна произведению светового давления на площадь поверхности
-? -?	(1)

Световое
давление при нормальном падении
определяется формулой (8. 5. 5)

(2)

Следовательно

(3)

Так
как
 (интенсивность
света) – энергия переносимая светом
(световой волной) в ед. времени и через
единицу площади поверхности расположенной
перпендикулярно к направлению ее
распространения (Вт/м²),
то

– световому потоку излучения – энергии
переносимой световой волной в единицу
времени (Вт), а значит

,

так
как

(поверхность зеркальная).

После
подстановки значений физических величин,
входящих в эту формулу, получаем

 Н.

Учитывая,
что произведение энергии одного фотона

на число фотонов
,
падающих на поверхность в единицу
времени, равно мощности, то есть потоку
излучения

,

а
так как энергия фотона
,
то

 с^-1.

Ответ:

 Н.,
 с^-1.

Соседние файлы в папке Кононенко_Зеневич Методич. указания

• #

  13.02.20164.13 Кб37._MU KZ (chast 3, page 23).doc

• #

  13.02.20164.1 Кб31._MU KZ(chast 3, page 03_23).doc

• #

  13.02.20164.1 Кб39._МУиКЗ по ФИЗИКЕ, часть1.doc

• #
• #
• #

Спрятать решение

Источник: Гельф­гат И. М. Сбор­ник задач по фи­зи­ке для 11 клас­са, Х.: «Гим­на­зия», 2004 (№ 10.19)