Как найти максимальную скорость при гармонических колебаниях

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями. Например, в случае механических гармонических колебаний:. В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0’ = φ0 +π/2 полностью совпадают.
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0  смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0.
Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: . Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.
Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.
Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени
Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2.
Величина  – максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).
Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: ,  а для случая нулевой начальной фазы  (см. график).
Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:  – вторая производная от координаты по времени. Тогда: . Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе).
Величина  – максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: , а для случая нулевой начальной фазы:  (см. график).
Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:    и    .
Можно записать:  – т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.
Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: , где T – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: . Аналогично для скорости и ускорения.

Оглавление:

• Основные теоретические сведения
  • Гармонические колебания
  • Математический маятник
  • Пружинный маятник
  • Механические волны
  • Электрический контур
  • Переменный ток. Трансформатор
  • Электромагнитные волны

Основные теоретические сведения

Гармонические колебания

К оглавлению…

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебаниями называют изменения физической величины, происходящие по определенному закону во времени. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник. Для существования в системе гармонических колебаний необходимо, чтобы у нее было положение устойчивого равновесия, то есть такое положение, при выведении из которого на систему начала бы действовать возвращающая сила.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

Простейшим видом колебательного процесса являются колебания, происходящие по закону синуса или косинуса, называемые гармоническими колебаниями. Уравнение описывающее физические системы способные совершать гармонические колебания с циклической частотой ω₀ задаётся следующим образом:

Решение предыдущего уравнения является уравнением движения для гармонических колебаний, которое имеет вид:

где: x – смещение тела от положение равновесия, A – амплитуда колебаний, то есть максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний (ω = 2Π/T), t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса: φ = ωt + φ₀, называется фазой гармонического процесса. Смысл фазы колебаний: стадия, в которой колебание находится в данный момент времени. При t = 0 получаем, что φ = φ₀, поэтому φ₀ называют начальной фазой (то есть той стадией, из которой начиналось колебание).

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Если же количество колебаний N, а их время t, то период находится как:

Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Зависимость скорости от времени при гармонических механических колебаниях выражается следующей формулой:

Максимальное значение скорости при гармонических механических колебаниях:

Максимальные по модулю значения скорости υ_m = ωA достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a_x тела при гармонических колебаниях. Зависимость ускорения от времени при гармонических механических колебаниях:

Максимальное значение ускорения при механических гармонических колебаниях:

Знак минус в предыдущем выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, возвращает тело в начальное положение (x = 0), т.е. заставляет тело совершать гармонические колебания.

Следует обратить внимание на то, что:

• физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω₀ или период T.
• Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда A = x_m и начальная фаза φ₀, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени, т.е. начальными условиями.
• При колебательном движении тело за время, равное периоду, проходит путь, равный 4 амплитудам. При этом тело возвращается в исходную точку, то есть перемещение тела будет равно нулю. Следовательно, путь равный амплитуде тело пройдет за время равное четверти периода.

Чтобы определить, когда в уравнение колебаний подставлять синус, а когда косинус, нужно обратить внимание на следующие факторы:

• Проще всего, если в условии задачи колебания названы синусоидальными или косинусоидальными.
• Если сказано, что тело толкнули из положения равновесия – берем синус с начальной фазой, равной нулю.
• Если сказано, что тело отклонили и отпустили – косинус с начальной фазой, равной нулю.
• Если тело толкнули из отклоненного от положения равновесия состояния, то начальная фаза не равна нолю, а брать можно и синус и косинус.

Математический маятник

К оглавлению…

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой, длинной и нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. Только в случае малых колебаний математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические (по закону sin или cos) колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 5–10°. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Циклическая частота колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний математического маятника:

Полученная формула называется формулой Гюйгенса и выполняется, когда точка подвеса маятника неподвижна. Важно запомнить, что период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Такое свойство маятника называется изохронностью. Как и для любой другой системы, совершающей механические гармонические колебания, для математического маятника выполняются следующие соотношения:

1. Путь от положения равновесия до крайней точки (или обратно) проходится за четверть периода.
2. Путь от крайней точки до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну шестую периода.
3. Путь от положения равновесия до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну двенадцатую долю периода.

Пружинный маятник

К оглавлению…

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Таким свойством обладает сила упругости.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют пружинным маятником.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника рассчитывается по формуле:

Период колебаний пружинного маятника:

При малых амплитудах период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды (как и у математического маятника). При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x₀, равную:

А колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω₀ и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Таким образом, полученная формула для периода колебаний груза на пружине остается справедливой во всех случаях, независимо от направления колебаний, движения опоры, действия внешних постоянных сил.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а, следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругой деформации пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией (как правило, потенциальную энергию в положении равновесия полагают равной нулю). Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и так далее.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. При этом, максимальное значение кинетической энергии при механических гармонических колебаниях задаётся формулой:

Максимальное значение потенциальной энергии при механических гармонических колебаниях пружинного маятника:

Взаимосвязь энергетических характеристик механического колебательного процесса (полная механическая энергия равна максимальным значениям кинетической и потенциальной энергий, а также сумме кинетической и потенциальной энергий в произвольный момент времени):

Механические волны

К оглавлению…

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной.

Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют немеханические волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые, т.е. электромагнитные волны могут распространяться в вакууме).

• Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
• Поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой ν и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Длиной волны λ называют расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за время равное периоду T, следовательно, длина волны может быть рассчитана по формуле:

где: υ – скорость распространения волны. При переходе волны из одной среды в другую длина волны и скорость ее распространения меняются. Неизменными остаются только частота и период волны.

Разность фаз колебаний двух точек волны, расстояние между которыми l рассчитывается по формуле:

Электрический контур

К оглавлению…

В электрических цепях, так же, как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный LC-контур. В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими. Энергетические характеристики и их взаимосвязь при колебаниях в электрическом контуре:

Период гармонических колебаний в электрическом колебательном контуре определяется по формуле:

Циклическая частота колебаний в электрическом колебательном контуре:

Зависимость заряда на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре описывается законом:

Зависимость электрического тока протекающего через катушку индуктивности от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при колебаниях в электрическом контуре:

Максимальное значение силы тока при гармонических колебаниях в электрическом контуре может быть рассчитано по формуле:

Максимальное значение напряжения на конденсаторе при гармонических колебаниях в электрическом контуре:

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в теплоту, выделяющуюся на резисторе, и колебания становятся затухающими.

Переменный ток. Трансформатор

К оглавлению…

Основная часть электроэнергии в мире в настоящее время вырабатывается генераторами переменного тока, создающими синусоидальное напряжение. Они позволяют наиболее просто и экономно осуществлять передачу, распределение и использование электрической энергии.

Устройство, предназначенное для превращения механической энергии в энергию переменного тока, называется генератором переменного тока. Он характеризуется переменным напряжением U(t) (индуцированной ЭДС) на его клеммах. В основу работы генератора переменного тока положено явление электромагнитной индукции.

Переменным током называется электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону. Величины U₀, I₀ = U₀/R называются амплитудными значениями напряжения и силы тока. Значения напряжения U(t) и силы тока I(t), зависящие от времени, называют мгновенными.

Переменный ток характеризуется действующими значениями силы тока и напряжения. Действующим (эффективным) значением переменного тока называется сила такого постоянного тока, который, проходя по цепи, выделил бы в единицу времени такое же количество теплоты, что и данный переменный ток. Для переменного тока действующее значение силы тока может быть рассчитано по формуле:

Аналогично можно ввести действующее (эффективное) значение и для напряжения, рассчитываемое по формуле:

Таким образом, выражения для мощности постоянного тока остаются справедливыми и для переменного тока, если использовать в них действующие значения силы тока и напряжения:

Обратите внимание, что если идет речь о напряжении или силе переменного тока, то (если не сказано иного) имеется в виду именно действующее значение. Так, 220В – это действующее напряжение в домашней электросети.

Конденсатор в цепи переменного тока

Строго говоря, конденсатор ток не проводит (в том смысле, что носители заряда через него не протекают). Поэтому, если конденсатор подключен в цепь постоянного тока, то сила тока в любой момент времени в любой точке цепи равна нулю. При подключении в цепь переменного тока из-за постоянного изменения ЭДС конденсатор перезаряжается. Ток через него по-прежнему не течет, но ток в цепи существует. Поэтому условно говорят, что конденсатор проводит переменный ток. В этом случае вводится понятие сопротивления конденсатора в цепи переменного тока (или емкостного сопротивления). Это сопротивление определяется выражением:

Обратите внимание, что емкостное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Оно в корне отличается от привычного нам сопротивления R. Так, на сопротивлении R выделяется теплота (поэтому его часто называют активным), а на емкостном сопротивлении теплота не выделяется. Активное сопротивление связано со взаимодействием носителей заряда при протекании тока, а емкостное – с процессами перезарядки конденсатора.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

При протекании переменного тока в катушке возникает явление самоиндукции, и, следовательно, ЭДС. Из-за этого напряжение и сила тока в катушке не совпадают по фазе (когда сила тока равна нулю, напряжение имеет максимальное значение и наоборот). Из-за такого несовпадения средняя тепловая мощность, выделяющаяся в катушке, равна нулю. В этом случае вводится понятие сопротивления катушки в цепи переменного тока (или индуктивного сопротивления). Это сопротивление определяется выражением:

Обратите внимание, что индуктивное сопротивление зависит от частоты переменного тока. Как и емкостное сопротивление, оно отличается от сопротивления R. Как и на емкостном сопротивлении, на индуктивном сопротивлении теплота не выделяется. Индуктивное сопротивление связано с явлением самоиндукции в катушке.

Трансформаторы

Среди приборов переменного тока, нашедших широкое применение в технике, значительное место занимают трансформаторы. Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении электромагнитной индукции. Простейший трансформатор состоит из сердечника замкнутой формы, на который намотаны две обмотки: первичная и вторичная. Первичная обмотка подсоединяется к источнику переменного тока с некоторым напряжением U₁, а вторичная обмотка подключается к нагрузке, на которой появляется напряжение U₂. При этом, если число витков в первичной обмотке равно n₁, а во вторичной n₂, то выполняется следующее соотношение:

Коэффициент трансформации вычисляется по формуле:

Если трансформатор идеальный, то выполняется следующее соотношение (мощности на входе и выходе равны):

В неидеальном трансформаторе вводится понятие КПД:

Электромагнитные волны

К оглавлению…

Электромагнитные волны – это распространяющееся в пространстве и во времени электромагнитное поле. Электромагнитные волны поперечны – векторы электрической напряженности и магнитной индукции перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью, которая может быть рассчитана по формуле:

где: ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε₀ и μ₀ – электрическая и магнитная постоянные: ε₀ = 8,85419·10^–12 Ф/м, μ₀ = 1,25664·10^–6 Гн/м. Скорость электромагнитных волн в вакууме (где ε = μ = 1) постоянна и равна с = 3∙10⁸ м/с, она также может быть вычислена по формуле:

Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме является одной из фундаментальных физических постоянных. Если электромагнитная волна распространяется в какой-либо среде, то скорость ее распространения также выражается следующим соотношением:

где: n – показатель преломления вещества – физическая величина, показывающая во сколько раз скорость света в среде меньше чем в вакууме. Показатель преломления, как видно из предыдущих формул, может быть рассчитан следующим образом:

• Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии.
• Электромагнитные волны могут возбуждаться только ускоренно движущимися зарядами. Цепи постоянного тока, в которых носители заряда движутся с неизменной скоростью, не являются источником электромагнитных волн. А вот цепи, в которых протекает переменный ток, т.е. такие цепи в которых носители заряда постоянно меняют направление своего движения, т.е. двигаются с ускорением – являются источником электромагнитных волн. В современной радиотехнике излучение электромагнитных волн производится с помощью антенн различных конструкций, в которых возбуждаются быстропеременные токи.

Характеристики колебательного процесса

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Колебательное движение — одно из самых распространенных движений в природе и технике. Колеблются деревья в лесу, струны музыкальных инструментов, вагоны на стыках рельсов, в природе наблюдаются приливы и отливы, возникают землетрясения, колеблются атомы в кристаллической решетке и т. д. Физическая природа колебаний может быть различной. Например, качание маятника в часах — это механические колебания, колебания напряжения в сети переменного тока — это электрические колебания. Однако, различные колебательные процессы описываются одинаковыми уравнениями и имеют одинаковые характеристики. Характеристиками колебательного процесса являются: T — период, ν — частота, ω — круговая частота, A — амплитуда, φ — фаза.

Периодом T называется время одного полного колебания.

Частотой ν  называется число колебаний в единицу времени.

Связь между частотой и периодом дается формулой

В системе СИ период измеряется в секундах, а частота в герцах, .

Круговой или циклической частотой называется число колебаний за промежуток времени 2π секунд. Связь между круговой частотой ω и частотой ν выражается формулой

Связь ω с периодом T  дается уравнением

Амплитудой называется наибольшее отклонение (смещение) колеблющейся величины от положения равновесия.

Фазой называется величина, определяющая отклонение (смещение) колеблющейся величины в данный момент времени

где α — начальная фаза.

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания.

Уравнение гармонических колебаний

В природе и технике существует множество самых разнообразных колебаний. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид

или

где x — смещение колеблющейся величины от положения равновесия.

Уравнение гармонических колебаний, описываемое формулой (3.5) или (3.6), является решением так называемого дифференциального уравнения гармонических колебаний.

На рисунке представлен график зависимости смещения от времени для гармонических колебаний. На нем показаны амплитуда A и T период .

Скорость и ускорение при гармоническом колебательном движении

Пусть тело совершает колебания вдоль оси х, т. е.

Скорость в этом случае равна производной от координаты по времени

Из этой формулы видно, что скорость тоже меняется по гармоническому закону с амплитудой скорости

Максимальное значение скорости при гармонических колебаниях равно

Ускорение равно производной от скорости по времени

Ускорение тоже меняется по гармоническому закону. Амплитуда ускорения равна

Максимальное значение ускорения при гармоническом колебании равно амплитуде ускорения

Значение возвращающей силы находится по II закону Ньютона

Энергия гармонических колебаний

Колеблющееся тело обладает кинетической и потенциальной энергией.

Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки с массой m вычисляется по формуле:

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей колебания под действием упругой силы вычисляется по формуле

Полная энергия гармонических колебаний равна

Учитывая, что   

   получим

Из формулы следует, что полная энергия при гармонических колебаниях не зависит от времени, т. е. остается постоянной. Следовательно, выполняется закон сохранения механической энергии.

Второй важный вывод: энергия при гармонических колебаниях пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.

Векторная диаграмма

При рассмотрении многих вопросов, в частности, при сложении колебаний одинакового направления и частоты бывает удобно гармоническое колебание представить в виде векторной диаграммы. Векторная диаграмма строится следующим образом: надо изобразить вектор, длина которого равна амплитуде, угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω₀, равной круговой частоте колебаний, то проекция его конца на выбранную ось будет изменяться по гармоническому закону.

На рисунке представлена векторная диаграмма для гармонического колебания

в момент времени t = 0.

Метод векторных диаграмм удобен при сложении колебаний одинаковой частоты.

Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты

Пусть надо сложить два колебания, которые определяются уравнениями

Представим каждое колебание в виде вектора и найдем по правилам сложения векторов результирующий вектор (рис. 3.4).

Результирующее колебание равно сумме складываемых колебаний, т. е.

Так как угловая скорость ω₀ у складываемых векторов одинакова, то результирующий вектор тоже вращается со скоростью ω₀. Тогда уравнение результирующего колебания имеет вид

Результирующую амплитуду можно найти по теореме косинусов

По формулам приведения в тригонометрии

Тогда квадрат результирующей амплитуды равен

Результирующая амплитуда равна

Проанализируем выражение для амплитуды. Это выражение показывает, что значение амплитуды результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний.

Если разность фаз (α₂ — α₁) = 2nπ, где n = 0, 1, 2, …, то A = A₁ + A₂ — это максимальное значение для результирующей амплитуды. Если разность фаз (α₂ — α₁) = (2n+1)π, где n = 0, 1, 2, …, то A = A₁ — A₂ — это минимальное значение амплитуды. Следовательно, колебания в зависимости от разности фаз могут усиливать или ослаблять друг друга. Этот важный вывод используется при описании интерференции волн.

Задачи:

1.  Грузик, колеблющийся на пружине, за 8 с совершил 32 колебания. Найти период и частоту колебаний.
2. Частота колебаний крыльев комара 600 Гц, а период колебаний крыльев шмеля 5 мс. Какое из насекомых сделает при полете больше взмахов крыльями за 1 мин и на сколько?
3.  Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.
4.  Во сколько раз изменится частота колебаний математического маятника при увеличении длины нити в 3 раза?
5. Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?
6. Определить по графику, приведенному на рисунке амплитуду, период и частоту колебаний.

7. Найти массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.

8. Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?

9. Во сколько раз изменится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать 3/4 длины жгута и подвесить на оставшуюся часть тот же груз?

10. Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды колебаний в 2 раза?

Задания и вопросы для самоконтроля

1. Что называется колебаниями?
2. Дайте определение периода, частоты, фазы, циклической частоты, амплитуды.
3. Какие колебания называются гармоническими?
4. Составьте дифференциальное уравнение гармонических колебаний на примере пружинного маятника.
5. Как вычислить скорость и ускорение гармонических колебаний?
6. От чего зависит энергия гармонических колебаний?
7. Как строится векторная диаграмма?
8. Как сложить два гармонических колебания одинакового направления и частоты? От чего зависит результирующая амплитуда?

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – , а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние и отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

С течением времени смещение груза уменьшается относительно , но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение () равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде ():

здесь: – циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, – начальная фаза, () фаза колебания с течением времени .
Из математики известно, что  поэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. 

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений. 

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания – время одного полного колебания:

)

б) частота колебания – количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Единица
c) циклическая частота – количество колебаний за секунд:

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются. 
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Дано:

Найти:

Формула и решение:

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения сила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

или

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где  – масса шарика, закрепленного на пружине, — проекция ускорения шарика вдоль оси  — жесткость пружины, -удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение – постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения – известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение соответствует квадрату циклической частоты

или

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь фаза колебания, — начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ – радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

или

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника: 

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник – это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Сила тяжести действующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Однако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол в сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити и перпендикулярная нити Сила натяжения  и составляющая силы тяжести уравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей “пытающейся” вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой в проекциях на ось ОХ:

Приняв во внимание, что:

Для уравнения движения математического маятника получим:

Где  — длина математического маятника (нити),  – ускорение свободного падения, — амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение — постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение  также соответствует квадрату циклической частоты 

или

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

или

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на (а).

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

или

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на а колебания смещения на

 (см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Превращения энергии при гармонических колебаниях 

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения имеет максимальное значение:

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна а в точке равновесия максимальна: 

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени остается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

b) для математического маятника:

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):  

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

• Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают:

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника
 

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

    (2)

Высоту можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Если колебания малые, то Из треугольника KCD на рисунке 8 находим

Отсюда

Подставив выражение для в формулу I (2), получим

Подставляя выражения для  и  в соотношение (1), находим

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение , модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

где — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости груза в точке с

координатой х:    

Так как

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол  (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю  то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что  т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Высоту  можно выразить через длину  маятника и амплитуду  колебаний. Если колебания малые, то  Из  (см. рис. 10) находим:

или 

Подставив выражение (3) для  в формулу (2), получим:

Подставляя выражения (3) для  и (4) для  в соотношение (1), находим:

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

В крайних положениях, когда  модуль скорости маятника  и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда  вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

где  — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

С учетом выражений для координаты  и проекции скорости груза  а также для  находим его потенциальную энергию  и кинетическую энергию  в произвольный момент времени 

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Таким образом, начальное смещение  определяет начальную потенциальную, а начальная скорость  определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние  см и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой  Определите период  колебании маятника.
Дано:

Решение

По закону сохранения механической энергии

Отсюда: 

Ответ: 

Пример №2

Груз массой  г находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью  Его смешают на расстояние  см от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой  Определите потенциальную  и кинетическую  энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Дано:

Решение Потенциальная энергия груза:

Кинетическая энергия груза:

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Отсюда

Циклическая частота:

В начальный момент времени  координата груза  Отсюда начальная фаза:

Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Ответ: 

Содержание книги

Предыдующая страница

§17. Механические колебания

17.2 Кинематика колебательного движения.

В данном разделе мы рассмотрим простейшую кинематическую модель колебательного движения материальной точки, движущейся вдоль прямой. Условия, при которых эта модель адекватно описывает реальные колебания, могут быть получены только на основании физических законов, в частности, законов динамики.

Для построения этой модели обратим внимание, что равномерное движение точки по окружности является периодическим процессом. Действительно, пусть материальная точка C движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса A. При этом угловая координата точки будет изменяться по линейному закону

(~varphi = varphi_0 + omega t) , (1)

где φ₀ – начальная координата точки. Не смотря на то, что угол поворота монотонно возрастает, через равные промежутки времени, равные периоду вращения (~T = frac{2 pi}{omega}) точка возвращается в исходное положение, в котором ее кинематические характеристики (скорость, ускорение) принимают исходные значения. Если радиус-вектор точки, векторы ее скорости и ускорения изменяются по периодическому закону, то и их проекции также изменяются по периодическим законам. Иными словами, движение проекции точки на любую из осей координат является колебательным движением вдоль прямой.

Отметим, что такое колебательное движение проекции можно наблюдать в реальном эксперименте. Для этого необходимо поместить вращающийся по окружности шарик перед плоским экраном и осветить его световым потоком, параллельным плоскости вращения (Рис. 187). В этом случае тень от шарика будет совершать колебания вдоль одной прямой.

Даже будучи не знакомы с тригонометрическими функциями, достаточно легко построить график закона движения тени шарика. Для этого необходимо изобразить окружность, отметить на ней равноотстоящие точки, а затем нанести на график временной зависимости их координаты через равноотстоящие интервалы времени. (Рис. 188).

Не будем делать вид, что нам совсем незнакома ни тригонометрия, ни кинематические законы равномерного движения по окружности, и на их основании получим строгие выражения для кинематических характеристик рассматриваемой модели колебательного движения.

Еще раз изобразим часть окружности радиуса A, по которой движется материальная точка C (Рис. 189). Положение точки задается радиус-вектором (~vec r), направленным под переменным углом φ к оси Ox. Проекция этого вектора на ось Ox равна

(~x = A cos varphi) . (2)

Учитывая, что угол поворота изменяется в соответствии с формулой (1), получим закон изменения координаты точки от времени

(~x(t) = A cos (varphi_0 + omega t)) . (3)

Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим ^[1] колебанием. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности ее проекция совершает гармонические колебания.

Как следует из вида функции (3), гармоническое колебание точки определяется тремя параметрами, каждый из которых имеет наглядный смысл^[2]. Параметр A называется амплитудой колебаний, он равен максимальному отклонению точки от центрального положения. Эта величина имеет ту же размерность, что и координата x, то есть размерность длины. Изменяющаяся величина (varphi = varphi_0 + omega t) называется фазой колебания, а величина φ₀ – начальной фазой.

Параметр ω называется круговой частотой колебаний. Так как период косинуса равен 2π, то при изменении аргумента косинуса на эту величину значения функции принимает прежнее значение. Это обстоятельство позволяет выразить круговую частоту через время одного колебания T (которое также называется периодом колебаний). Для этого следует учесть, что при изменении времени на период Δt = T фаза колебания изменяется на (Delta varphi = omega Delta t = 2 pi), то есть (omega T = 2 pi). Таким образом, круговая частота связана с периодом колебания соотношением

(~omega = frac{2 pi}{T}) . (4)

Более наглядной характеристикой колебаний является обычная частота ν – число колебаний в единицу времени. Если период – это время одного колебания, то величина обратная периоду равна числу колебаний в единицу времени, то есть частоте колебаний

(~nu = frac{1}{T}) . (5)

С помощью соотношений (4)-(5) легко связать круговую и обычную частоты колебаний

(~omega = 2 pi nu) . (5)

Очевидно, что круговая и обычные частоты являются размерными физическими величинами, их размерность обратная размерности времени [ω] = [ν] = [T]^-1 = c^-1. Для обычной частоты колебаний единица ее измерения называется Герц (сокращенно Гц): частота колебаний 1 Герц означает одно колебание в секунду.

На основании полученного соотношения (6) иногда говорят, что круговая частота колебаний равна числу колебаний за 2π секунд .Однако, по нашему мнению, такое определение является излишним, потому, что, во-первых, попробуйте точно отмерить указанное количество секунд, а, во-вторых, время не обязательно измерять в секундах. Поэтому к этой величине следует относиться как к удобной вспомогательной математической величине – если везде использовать только физически наглядную частоту колебаний ν, то во всех формулах придется дописывать множитель 2π, что приводит к необоснованному перерасходу чернил и бумаги. Также не следует искать особого наглядного смысла в фазе колебаний.

Отметим, что подобные замечания касательно угловой скорости вращения ω (аналогом которой является круговая частота) не обоснованы, так угловая скорость имеет явный физический смысл – угол поворота (измеренный в радианах) в единицу времени.

При движении по окружности вектор скорости точки направлен по касательной к окружности (см. Рис. 189), его модуль равен (upsilon = omega A) (напомним, здесь A – радиус окружности). Если проекция радиус-вектора (~vec r) есть координата точки x , то проекция вектора скорости (~vec upsilon) на ту же ось будет равна скорости движения проекции. Из рисунка не сложно определить, что проекция вектора скорости на ось Ox равна (upsilon_x = -upsilon sin varphi). Используя выражения для модуля скорости и выражение для угла поворота, определяем, что скорость точки при гармоническом колебании (3) зависит от времени по закону

(~upsilon(t) = – omega A sin (omega t + varphi_0)) . (7)

Величина (omega A = upsilon_0) равна максимальной скорости движения точки при гармонических колебаниях. Отметим также, что при гармонических колебаниях скорость точки также изменяется по гармоническому закону.

Аналогичным образом найдем ускорение точки, совершающей гармонические колебания. Так при равномерном движении по окружности ускорение точки является центростремительным, то есть вектор ускорения (~vec a) направлен к центру окружности, а его модуль равен (a = omega^2 A). Из рис. 189 следует, проекция вектора ускорения на выбранную ось Ox равна (a_x = -a cos varphi). Следовательно, зависимость ускорения от времени при гармонических колебаниях имеет вид

(~a(t) = – omega^2 A cos (omega t + varphi_0)) . (8)

Полученные функции зависимости скорости и ускорения точки от времени можно получить непосредственно из закона движения (3). Действительно, мгновенная скорость является первой производной координаты по времени, поэтому функция (7) является первой производной от функции (3).

(~upsilon(t) = (x(t))’ = – omega A sin (omega t + varphi_0)) . (7а)

Аналогично зависимость ускорения от времени (8) является первой производной от скорости (7) или второй производной координаты (3).

(~a(t) = (upsilon(t))’ = (x(t))” = – omega^2 A cos (omega t + varphi_0)) . (8а)

На рис. 190 показаны графики зависимостей координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) точки, совершающей гармонические колебания. Все эти зависимости описываются гармоническими функциями одного периода (одинаковой частоты), сдвинутыми друг относительно друга на четверть периода, (которой соответствует сдвиг фазы на (~frac{pi}{2})). Между нулями и экстремумами этих функций существуют очевидные соответствия: координата движущейся точки достигает максимального и минимального значения, когда ее скорость обращается в нуль; модуль скорости максимален, когда точка проходит через нулевую координату; модуль ускорения максимален, когда скорость равна нулю, а отклонение точки максимально.

Теперь обратим внимание, на чрезвычайно интересное и важное соотношение между ускорением точки и ее координатой^[3], которое следует из сравнения функций (8) и (3):

При гармонических колебаниях ускорение точки пропорционально его координате, с отрицательным коэффициентом пропорциональности.

При изучении механического движение мы неоднократно подчеркивали, что известная зависимость ускорения тела (~vec a(t, vec r, vec upsilon)) от времени, координат, скорости при известных начальных условиях позволяет однозначно найти закон движения – зависимость координат от времени (~vec r(t)), то есть решить основную задачу механики. Уравнение (9) является частным случаем этой задачи: ускорение зависит от координаты, причем элементарным образом, оно просто пропорционально ей. Следовательно, если на основании динамических законов нам удастся показать, что в некоторой реальной физической системе выполняется уравнение (9), то мы можем однозначно утверждать, что эта система может совершать гармонические колебания.

Мы получили это важнейшее уравнение исходя из рассмотрения закона движения (3). Теперь мы можем решить обратную задачу: если при движении материальной точки ее ускорение связано с координатой соотношением (9), то зависимость координаты от времени описывается функцией:

(~x(t) = A_0 cos (omega t + varphi_0)) . (10)

В этом выражении параметры A₀ (амплитуда колебаний) и φ₀ (начальная фаза) могут быть любыми – при любых значениях этих параметров, функция (10) удовлетворяет уравнению (9).

Заметим, что, не смотря на указанный произвол в решении уравнения (9), само уравнение уже немало говорит о возможных движениях системы: во-первых, оно указывает, что движение есть гармоническое колебание, во-вторых, однозначно указывает частоту колебаний. Коэффициент пропорциональности в этом уравнении есть квадрат круговой частоты, взятый с противоположным знаком.

Вспомним. Пусть все силы, действующие на тело постоянны, и по величине, и по направлению. В этом случае из законов динамики следует, что движение тела является равноускоренным, причем величина ускорения также определяется на основании этих же законов. Однако, для однозначного нахождения закона движение требуется задание начальных условий.

Чтобы однозначно определить закон движения при гармонических колебаниях необходимо произвольные параметры A₀ и φ₀ выразить через начальные условия. Итак, пусть заданы начальные условия:

при t = 0 (~left{begin{matrix} x = x_0 \ upsilon = upsilon_0 end{matrix}right.) . (11)

Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, перепишем выражение (10) в виде

(~x(t) = A_0 cos (omega t + varphi_0) = A_0 (cos varphi_0 cdot cos omega t – sin varphi_0 cdot sin omega t) = A cos omega t + B sin omega t) , (12)

в котором вместо двух произвольных параметров A₀ и φ₀ введены два новых параметра:

(~begin{matrix} A = A_0 cos varphi_0 \ B = -A_0 sin varphi_0 end{matrix}) . (13)

Аналогичным образом можно преобразовать выражение^[4] для скорости частицы (7)

(~upsilon(t) = – omega A_0 sin (omega t + varphi_0) = – omega A_0 (sin omega t cdot cos varphi_0 + cos omega t cdot sin varphi_0) = -omega A sin omega t + omega B cos omega t) . (14)

Подставим в функции (12) и (14) начальные условия (11) получим выражения

(~left{begin{matrix} x(0) = x_0 = A cos 0 + B sin 0 =A \ upsilon(0) = upsilon_0 = -omega A sin 0 + omega B cos 0 = omega B end{matrix}right.) ,

из которых следуют искомые формулы для параметров функции (12):

(~A = x_0 ; B = frac{upsilon_0}{omega}) .

Таким образом, решение уравнения (9) с начальными условиями (11) имеет вид

(~x(t) = x_0 cos omega t + frac{upsilon_0}{omega} sin omega t) . (15)

Не составляет труда представить эту же функцию в виде (10). Так амплитуда колебаний при заданных начальных условиях определяется выражением

(~A_0 = sqrt{A^2 + B^2} = sqrt{x^2_0 + left( frac{upsilon_0}{omega} right)^2}) . (16)

а начальная фаза удовлетворят условию

(~operatorname{tg} varphi_0 = frac{sin varphi_0}{cos varphi_0} = -frac{B}{A} = -frac{upsilon_0}{omega x_0}) . (17)

Подчеркнем еще одно важнейшее свойство гармонических колебаний, описываемых уравнением (9) – период и частота этих колебаний не зависят от их амплитуды. Если амплитуда колебаний определяется начальными условиями, то их частота полностью определяется коэффициентом пропорциональности между ускорением и координатой точки.

Отметим, что формально с математической точки уравнение (9) можно рассматривать в общем виде. Пусть некоторая функция X(t) удовлетворяет условию, что ее вторая производная пропорциональна самой функции (с отрицательным коэффициентом пропорциональности)

(~X” = -omega^2 X) . (18)

тогда эта функция изменяется по гармоническому закону (X(t) = A cos (omega t + varphi_0)), в котором параметры A и φ₀ находят из начальных условий, а круговая частота определяется самим уравнением.

17.2.1 Фазовые траектории колебательного движения.

Рассмотрим еще один наглядный способ графического представления произвольных (не только гармонических) колебаний. Пусть закон колебательного движения описывается функцией x(t), которая обязательно является периодической. По известному закону движения можно определить зависимость скорости от времени, как производную от координаты υ(t) = (x(t))′. Введем на плоскости систему декартовую систему координат, вдоль одной из осей которой будем откладывать координату точки, а вдоль другой – ее скорость. Введенная таким образом система называется фазовой плоскостью. Две функции x(t) и υ(t) в любой момент времени определяют на этой плоскости некоторую точку, а геометрическое место этих точек образует некоторую непрерывную линию, которая называется фазовой траекторией.

Приведем пример построения фазовой траектории. Пусть небольшой упругий шарик брошен вертикально вверх (Рис. 191) с начальной скоростью υ₀. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то скорость шарика будет изменяться со временем по закону

(~upsilon = upsilon_0 – gt) , (1)

где g – ускорение свободного падения. Изменение координаты шарика с течением времени описывается функцией

(~x = upsilon_0 t – frac{gt^2}{2}) . (2)

Поднявшись на максимальную высоту (~x_0 = frac{upsilon^2_0}{2g}), шарик упадет на горизонтальную поверхность и отразится от него. Если удар считать абсолютно упругим, то скорость шарика после удара примет первоначальное значение, после чего движение шарика будет повторяться. Графики зависимостей координаты и скорости шарика^[5] от времени показаны на Рис. 192а, б.

Эти же функции (1), (2) определяют в параметрической форме линию на фазовой плоскости – фазовую траекторию движения шарика. Эта линия показана на Рис. 192 в. Понятно, что при периодическом движении фазовая траектория является замкнутой. На фазовой траектории принято указывать направление движения: при положительной скорости координата возрастает, а при отрицательной скорости координат убывает.

Иногда говорят, что фазовая траектория указывает зависимость скорости от координаты, но такое высказывание не всегда корректно: так одной координате может соответствовать несколько значений скорости (как в рассмотренном примере). А функциональная зависимость требует однозначного соответствия – каждому значению координаты соответствует единственное значение скорости.

Особенно просто выглядит фазовая траектория гармонического колебания, при котором координата и скорость описываются функциями

(~left{begin{matrix} x = A cos (omega t + varphi_0) \ upsilon = -omega A sin (omega t + varphi_0) end{matrix}right.) . (3)

Из этих уравнений следует, что уравнение фазовой траектории можно записать в виде

(~left( frac{x}{A} right)^2 + left( frac{upsilon}{omega A} right)^2 = 1) , (4)

которое является уравнением эллипса^[6] с полуосями A и ωA (Рис. 193 а). Еще более предпочтительным является построение фазовой траектории в относительных единицах: когда по одной оси откладывается отношение координаты к амплитуде колебаний (~left( frac{x}{A} right)) , а на другой отношение скорости к максимальной скорости движения (~left( frac{upsilon}{omega A} right)) . В этих координатах

фазовая траектория гармонического колебания является окружностью единичного радиуса (Рис. 193 б). С помощью фазовой диаграммы легко анализировать характер колебания – так отличить окружность от другой замкнутой кривой легко даже «на глаз».

17.2.2 Негармонические колебания. Разложение Фурье.

Сейчас мы покажем, что использование модели гармонических колебаний позволяет описывать и более сложные периодические движения. Еще в 1822 году французский физик и математик Жан Батист Жозеф Фурье в своей работе «Аналитическая теория теплоты» показал, что любая периодическая функция может быть представлена в виде суммы гармонических функций (то есть синусов и косинусов), при чем частоты этих функций являются кратными основной частоте. Так, если период некоторой функции x(t) равен T, то эта функция может быть представлена в виде суммы (разложения Фурье):

(~x(t) = A_0 + (A_1 cos omega t + B_1 sin omega t) + (A_2 cos 2omega t + B_2 sin 2omega t) + (A_3 cos 3omega t + B_3 sin 3omega t)+ ldots = A_0 + sum_k (A_k cos komega t + B_k sin komega t)) .

В общем случае эта сумма должна содержать бесконечно много слагаемых, однако в большинстве практически значимых случаев коэффициенты этого разложения достаточно быстро убывают с ростом номера k (и соответствующе ей частоты (~omega_k = k frac{2 pi}{T})), поэтому практически всегда с достаточной степенью точности можно ограничиться относительно небольшим числом слагаемых.

С разложением периодической функции хорошо знакомы музыканты, которые знают, что каждой ноте (основному тону), взятой на любом музыкальном инструменте соответствует целый набор кратных частот (обертонов). Набор этих колебаний с кратными частотами составляет тембр звука.

Существуют достаточно простые формулы, позволяющие находить коэффициенты разложения Фурье. Мы не собираемся в дальнейшем использовать разложение Фурье, поэтому ограничимся рядом простых примеров разложения периодических функций.

На Рис. 194 а. показаны графики функций (~x(t) = sum_{k=1}^N frac{sin (kt)}{k}) при различных значения числа слагаемых N. Не трудно догадаться, что при больших N эти функции стремятся к рассмотренной выше зависимости скорости от времени, изображенной на Рис. 192. Даже при относительно небольшом N = 5 сходство этих функций уже вполне узнаваемо. Можно найти и разложение Фурье для зависимости координаты от времени в этом же примере, являющейся набором парабол. Эта зависимость выражается суммой (~x(t) = frac{pi}{2} – sum_{k=1}^N frac{cos (kt)}{k^2}).

Графики этих функций для разного числа слагаемых изображены на Рис. 194 б.

Таким образом, с математической точки зрения прыгающий шарик вполне можно описать суммой десяти гармонических колебаний с кратными частотами.

На этом мы заканчиваем рассмотрение кинематического описания колебательного движения, которое, во многом, построено на основании описания равномерного движения материальной точки по окружности. Подчеркнем, что многократное упоминание о равномерности движения не является излишним. Так как при неравномерном движении по окружности, движущаяся материальная точка, конечно, будет возвращаться в исходные положения, но не через равные промежутки времени – поэтому ее движение не будет периодическим, кроме того, скорость и ускорение также не будут изменяться периодически. Для примера, на Рис. 195 показан график зависимости координаты точки, движущейся по окружности равноускоренно. Эта функция описывается выражением (~x = A cos frac{beta t^2}{2}). Видно, что эта функция не периодическая.

Примечания

1. ↑ Подчеркнем, что не все колебания являются гармоническими, однако рассматриваемый здесь вид колебаний является простейшей моделью колебательного движения, тем не менее, достаточно часто встречающегося в действительности. Название этого вида движения связано с тем, что функции синус и косинус называются гармоническими функциями, как наиболее совершенные и изящные (по мнению некоторых математиков).
2. ↑ Все эти параметры имеют явные аналоги в характеристиках движения по окружности, однако в теории колебательного движения они получили «персональные имена».
3. ↑ Это соотношение настолько важно для дальнейшего изложения теории колебаний, что мы его заключили в рамку.
4. ↑ Конечно, можно просто взять производную от функции (12).
5. ↑ Строго говоря, процесс движения шарика не будет строго периодическим, так как скорость шарика будет изменяться вследствие сопротивления воздуха и неупругости его ударов, но этими факторами мы пренебрежем. Кроме того, удар шарика и изменение его скорости происходит не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, которой пренебрежимо мало по сравнением со временем его свободного движения.
6. ↑ Можно дать следующее «определение» этой хорошо знакомой линии: эллипс – «это круг, который можно вписать в квадрат со сторонами 3×4».

Следующая страница