Как найти максимальную температуру газа в цикле - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

На диаграмме зависимости температуры Т газа от объема V для гелия в количестве ν  =  2 моль показано, что сначала газ нагревается от температуры К в изохорическом процессе 1−2, затем газ охлаждается до температуры в процессе 2−3 прямо пропорциональной зависимости температуры от объема. Наконец, в изотермическом процессе 3−1 газ переходит в начальное состояние, увеличивая свой объем в 3 раза и совершив при этом работу Дж.

1)  Найти максимальную температуру газа в цикле.

2)  Найти работу А₂₃, совершенную над газом в процессе 2−3.

3)  Найти отношение количества теплоты Q⁺, подведенной к газу в цикле, к количеству теплоты Q⁻, отведенной от газа в цикле

Источник

Сообщение от maks.runner

Помогите решить, желательно с подробными действиями, чтобы было понятно)) спасибо…
С одним молем идеального одноатомного газа совершают цикл, который на диаграмме PV изображается окружностью. Нижней точке окружности соответствует давление 100 кПа, верхней 200 кПа. Максимальный объем в цикле равен 16,6 л. Минимальный объем равен 8,3 л. Найти максимальную температуру.

maks.runner, хорошей новостью является то, что в заданных условиях
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T=frac{PV}{R}$
а далее мне эта задачка видится, чисто алгебраической и это новость, – так себе, поскольку как математик математику признаюсь, что моё счастье форуме состоит в том, что меня за мои математические труды на этом форуме ещё не бьют.
Попробую порассуждать, а Вам решать, что верно, а что нет. В числовом виде P(V) окружностью не является, это эллипс который графически выглядит как окружность. Чтобы сохранить уравнение окружности примем по оси V масштабный коэффициент A=100/8,3. То есть координата X =AV. А по оси Y масштаб останется равным единице: Y=P
Радиус окружности равен r=50 (R занято универсальной газовой постоянной)), Yc=150, Xc=12,45 A, – то есть тоже 150. Забавное совпадение. Уравнение окружности:

распадается на два уравнения, верхней и нижней полуокружности, соответственно:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=Y_c + sqrt{r^2 - (X-X_c)^2}$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Y=Y_c - sqrt{r^2 - (X-X_c)^2}$
Вернёмся к P и V:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=P_c + sqrt{frac{(P_{max}-P_{min})^2}{2} - frac{1}{A^2}(V-V_c)^2}$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P=P_c - sqrt{frac{(P_{max}-P_{min})^2}{2} - frac{1}{A^2}(V-V_c)^2}$
вспомнив хорошую новость умножим обе части обоих уравнений на
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?frac{V}{nu R}$
и получим две кривые температуры (в смысле функции)) :
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T_w(V)=frac{V}{nu R}P_c +frac{V}{nu R} sqrt{frac{(P_{max}-P_{min})^2}{2} - frac{1}{A^2}(V-V_c)^2}$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T_n(V)=frac{V}{nu R}P_c - frac{V}{nu R}sqrt{frac{(P_{max}-P_{min})^2}{2} - frac{1}{A^2}(V-V_c)^2}$
индексы символизируют верхнюю и нижнюю часть полуокружности (не верхнее и нижнее значение температуры))
Обе являются функциями только V.
Теперь необходимо продифференцировать, приравнять к нулю и найти значения объёмов при которых наблюдается экстремум. Рискну предсказать, что один соответствует минимуму, а один максимуму T. Это выяснится подстановкой в уравнение состояния (PV=RT), хотя и на глаз будет видно: меньшему объёму соответствует большая температура. Отнеситесь критически и в бой. Удачи.
ps: признайтесь, где такие задачи задают?

Добавлено через 9 минут

Сообщение от IGPIGP

и получим две кривые температуры (в смысле функции)) :
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T_w(V)=frac{V}{nu R}P_c +frac{V}{nu R} sqrt{frac{(P_{max}-P_{min})^2}{2} - frac{1}{A^2}(V-V_c)^2}$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T_n(V)=frac{V}{nu R}P_c - frac{V}{nu R}sqrt{frac{(P_{max}-P_{min})^2}{2} - frac{1}{A^2}(V-V_c)^2}$

кривые таки, потому, что радиус выразил криво. Надо бы:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T_w(V)=frac{V}{nu R}P_c +frac{V}{nu R} sqrt{frac{(P_{max}-P_{min})^2}{4} - frac{1}{A^2}(V-V_c)^2}$
и
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?T_n(V)=frac{V}{nu R}P_c - frac{V}{nu R}sqrt{frac{(P_{max}-P_{min})^2}{4} - frac{1}{A^2}(V-V_c)^2}$
просмотрите всё внимательно, может, что-то и пригодится.

Добавлено через 9 часов 18 минут
Вот здесь:

Сообщение от IGPIGP

…Чтобы сохранить уравнение окружности примем по оси V масштабный коэффициент A=100/8,3…

и тут:

Сообщение от IGPIGP

… Xc=12,45 A, – то есть тоже 150…

неточно. Не учёл, что объём в литрах. Перевод в М3 приведёт к тому что:
…Чтобы сохранить уравнение окружности примем по оси V масштабный коэффициент A=100000/8,3…
и
…Xc=(12,45E-3) A, – то есть тоже 150…

Источник

Ученик

(206),
закрыт

11 лет назад

Дарья Д

Профи

(554)

11 лет назад

максимальная в точке 2, минимальная в 4, по закону R=p*V/T при R постоянной, т. е. и p, и V должны быть максим. для высшей температуры, и минимальны для высшей.
p2=1,5p4
v2=4v4
пропорция:
p2*v2/t2=p4*v4/t4
заменяем:
1,5*4*p4*v4/t2=p4*v4/t4
t2=6t4
разница в 6 раз

Источник

Речь в статье пойдет о КПД различных циклов, проводимых с газом. При этом давайте помнить, что внутренняя энергия изменяется тогда, когда изменяется температура, а в адиабатном процессе передачи тепла не происходит, то есть для совершения работы в таком процессе газ “изыскивает внутренние резервы”. Кроме того, работа численно равна площади под кривой процесса, а работа за цикл – площади внутри цикла.

Задача 1.

На рисунке представлена диаграмма цикла с одноатомным идеальным газом. Участки и – адиабаты. Вычислите КПД данной тепловой машины и максимально возможный КПД .

К задаче 1

КПД тепловой машины можно вычислить как

Машина получает тепло только на участке AB, и, так как работы здесь не совершается, то можно вычислить количество теплоты, полученное газом, как увеличение его внутренней энергии:

Работа численно равна площади, ограниченной циклом. Поэтому

Участк и по условию – адиабаты, то есть передачи тепла газу на этих участках не происходит, следовательно, работа будет совершена за счет «внутренних резервов» – то есть внутренней энергии. Нужно, следовательно, найти, как она изменилась.

Задачу можно решить двумя способами. Во-первых, просто определить температуры в точках и , и , это легко сделать из данных графика с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона, и затем посчитать . Но, так как , а ,то изменение внутренней энергии будет равно

Определим максимальный КПД. Посчитаем его как КПД цикла Карно. Максимальная температура газа будет достигнута в точке , а минимальная – в точке :

Ответ: , .

Задача 2.

Над идеальным одноатомным газом проводят цикл, включающий изобару, изохору, изотерму, при этом работа газа за цикл равна кДж. В процессе изотермического сжатия (3-1) внешние силы совершают над газом положительную работу кДж. Найдите КПД данной тепловой машины.

К задаче 2

Работа газа в процессе 1-2– площадь под линией процесса 1-2. Работа внешних сил – площадь под циклом (под линией 3-1). Поэтому полная работа за цикл – это разность работы газа и работы внешних сил, площадь, ограниченная линиями цикла. Она будет равна 5 кДж.

Работа газа в процессе 1-2, таким образом, равна 8 кДж. А поскольку процесс изобарный, то кДж. Тогда КПД

Ответ: .

Задача 3.

КПД тепловой машины, работающей по циклу, включающему изотермический (1-2) и адиабатный (3-1) процессы, равен , причем работа, совершенная 2 моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе кДж. Найдите разность максимальной и минимальной температур газа в цикле.

К задаче 3

Полная площадь под кривой процесса 1-2 равна кДж. При этом, так как КПД машины 25%, то площадь внутри цикла равна , а под кривой 3-1 – . В процессе 1-2 изменения внутренней энергии не было, так как температура не менялась, а в процессе 3-1 газу не передавали тепло, следовательно, работа совершена за счет внутренней энергии. Т.е.